Как найти половинный угол

Определение и формулы половинного угла

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла [frac{alpha}{2}] при помощи тригонометрических функций угла [a].

Дальше в статье, мы рассмотрим доказательства этих формул, а также примеры их решений.

У этих формул есть ещё одно название, их также называют «формулами понижения степени». Причины такого название кроется в том, что в части слева находится вторая степень синуса и косинуса, а в части справа первая, что означает степень понизилась, но не забывайте, что степени снижается, а аргумент удваивается.

Формулы половинного угла: примеры

Давайте рассмотрим основные тригонометрические формулы половинного угла в тригонометрии.

[
sin ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{2}
]

[
cos ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}
]

[
tan ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

[
cot ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha}
]

Формулы, применяемые как для синуса, так и косинуса половинного угла не зависит от заданного значения угла α.  Для тангенса в независимости от угла α определяется следующим видом [tan frac{alpha}{2}], где значение  угла a≠π+2π•z, а значение z равняется любому целому числу. Значение выражения 1+cosα не должно быть равно нулю. Формула котангенса угла будет считаться верной, если любой угол α, где имеет место быть половинный угол α в тригонометрии, принимает следующий вид α ≠2π•z.

Самыми важными тригонометрическими формулами половинного угла являются тригонометрических функций с квадратами, которые могут быть выведены и через положительные, и отрицательное значение арифметического квадратного корня. Получаются следующие формулы половинного угла:

[
frac{sin sin alpha}{2}=pm frac{sqrt{1-cos alpha}}{sqrt{2}}, frac{cos cos alpha}{2}=pm frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}, quad tan frac{alpha}{2}=frac{sqrt{1-cos alpha}}{sqrt{1+cos alpha}}, cot frac{alpha}{2}=frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{1-cos alpha}}
]

Знак «-» свидетельствуют о том, что тригонометрическая функция определяется четвертью угла [frac{alpha}{2}]

Доказательство тригонометрических функций половинного угла

Доказательство тригонометрических формул половинного угла строится на основании формулы косинуса двойного угла [cos alpha=1-2 times frac{alpha}{2}] и [cos alpha=2 times frac{alpha}{2}-1]. Упростим первое выражение по [frac{alpha}{2}], придем к формуле половинного угла в тригонометрии [frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{2}], упростим по тому принципу второе выражение [frac{alpha}{2}], получаем выражение [frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}].

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса угла [frac{alpha}{2}] применим основное тригонометрическое тождество:

[
frac{cot ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha} text { и }frac{tan ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

В основное тригонометрическое тождество нужно подставить тригонометрические формулы половинного угла косинуса и синуса, доказанные выше. При подстановке получаем выражение следующего вида:

[
frac{tan ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

[
frac{cot ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha}
]

Посмотрим применение форму тригонометрического половинного угла на решение примеров.

Рассмотрим первое задание.

Найдите cos15°, если известно, что [cos 30^{circ}=frac{sqrt{3}}{2}].

Решение данного задания.

Воспользуемся формулой половинного угла для функции косинус в тригонометрии имеет следующий вид [frac{cos ^{2} alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}].

Подставим значения, которая известная, в указанную тригонометрическую формулу:

[15^{circ}=frac{1+cos 30^{circ}}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4}]

Так как у нас имеется значение 15°, найдем cos15°. 

Так как угол 15° находится в первой координатной четверти, а косинус там имеет положительное значение, то [cos 15^{circ}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{sqrt{4}}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{2}]

Ответ: [cos 15^{circ}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{2}]

Рассмотрим ещё одно задание.

Необходимо вычислить значение указанного выражения [frac{4 cos alpha}{2}+2 cos alpha+5], где [cos alpha=frac{1}{8}].

Решение:

Нужно использовать  ту же самую формулу, которую применяли в первом примере [frac{cos alpha}{2}=pm frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}]. Подставим значение косинуса, упростим данное выражение:

[
frac{4 sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}+2 cos alpha+5=frac{4 sqrt{1+frac{1}{8}}}{sqrt{2}}+2 times frac{1}{8}+5=frac{4 sqrt{9}}{sqrt{16}}+frac{1}{4}+5=8 frac{1}{4}
]

Ответ: [frac{4 cos alpha}{2}+2 cos alpha+5=8 frac{1}{4}].

Применяя формулы тригонометрического половинного угла, нужно учитывать, что угол может быть и нестандартного вида a2 и a, а его нужно будет привести к такому стандартному виду. Главным пунктом является то, что аргумент в правой части должен быть в два раза больше, чем в левой. В противном случае применить формулу не получится.

Если тождество записано в таком виде [7 alpha=frac{1-cos 14 alpha}{2}] или [frac{5 a}{17}=frac{1-frac{cos cos 10 alpha}{17}}{2}], то формулу применять можно.

Для того чтобы научиться правильно преобразовать и применять описанные выше формулы, нужна пристально изучить тему функции тригонометрических выражений. Не каждое выражение поддается преобразованию. И особое внимание нужно обратить на то, что значение углов тригонометрических функций зависит от их нахождения в разных четвертях для определения положительного и отрицательного знака выражения.

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `frac{alpha}2` через эти ж функции аргумента `alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

`sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`
`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`
`tg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1+cos alpha}=frac {1-cos alpha}{sin alpha}`
`ctg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1-cos alpha}=frac {1+cos alpha}{sin alpha}`

Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `frac{alpha}2`.

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

`sin^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}2`
`cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`
`tg^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}`
`ctg^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}`

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `alpha`, при которых определен `tg frac alpha 2`, то есть при ` alphanepi+2pi n, n in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `alpha`, при которых определен `ctg frac alpha 2`, то есть при ` alphane 2pi n, n in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `alpha` через тангенс половинного угла.

`sin alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alphane pi +2pi n, n in Z`
`cos alpha= frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z`
`tg alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z,` ` alpha ne frac{pi}{2}+ pi n, n in Z`
`ctg alpha = frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{2tgfrac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi n, n in Z,` `alpha ne pi + 2pi n, n in Z`

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos alpha=1-2 sin^2 frac alpha 2` и `cos alpha=2 cos^2 frac alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin frac alpha 2` получим `sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos frac alpha 2` в результате будем иметь `cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}` и `ctg frac alpha 2=frac{cos frac alpha 2}{sin frac alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

В результате будем иметь: `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}` и `ctg frac alpha 2=frac{cosfrac alpha 2}{sin frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}`.

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15^circ`, если известно, что `cos 30^circ=frac{sqrt3}2`.

Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`. Подставив известные значения, имеем `cos^2 15^circ=frac {1+cos 30^circ}2=` `frac{1+frac{sqrt3}2}2=frac{2+sqrt3}4`. Имея значение `cos^2 15^circ`, найдем `cos 15^circ`. Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15^circ=sqrt{frac{2+sqrt3}4}=` `frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.

Ответ. `cos 15^circ=frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5`, если `cos alpha=frac {1}8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4sqrt{frac {1+cos alpha}2}+2cos alpha+5=4sqrt{frac {1+frac {1}8}2}+2 cdot frac {1}8+5=` `4sqrt{frac {9}16}+frac{1}4+5=8frac{1}4`.

Ответ. `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5=8frac{1}4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

Материалы по теме:

• Тригонометрические формулы: косинус, синус и тангенс двойного угла
• Формулы понижения степени в тригонометрии: вывод и примеры
• Все формулы по тригонометрии
• Формулы приведения тригонометрических функций

Half Angle formulas are used to find various values of trigonometric angles such as for 15°, 75°, and others, they are also used to solve various trigonometric problems.

Several trigonometric ratios and identities help in solving problems of trigonometry. The values of trigonometric angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, and 180° for sin, cos, tan, cosec, sec, and cot are determined using a trigonometry table. Half-Angle formulas are widely used in mathematics, let’s learn about them in detail in this article. 

Half-Angle Formulae

For finding the values of angles apart from the well-known values of 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, and 180°. Half angles are derived from double angle formulas and are listed below for sin, cos, and tan:

• sin (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2]^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ sin x

Trigonometric identities of double-angle formulas are useful for the derivation of half-angle formulas.

Half Angle Identities

Half-angle identities for some popular trigonometric functions are,

• Half Angle Formula of Sin,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Half Angle Formula of Cos, 

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Half Angle Formula of Tan,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = sin A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / sin A

Half Angle Formulas Derivation Using Double Angle Formulas

Half-Angle formulas are derived using double-angle formulas. Before learning about half-angle formulas we must learn about Double-angle in Trigonometry, most commonly used double-angle formulas in trigonometry are:

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos² x – sin² x
             = 1 – 2 sin²x
             = 2 cos²x – 1
• tan 2x = 2 tan x / (1 – tan²x)

Now replacing x with x/2 on both sides in the above formulas we get

• sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos² (x/2) – sin² (x/2)
            = 1 – 2 sin² (x/2)
            = 2 cos²(x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan²(x/2)]

Half-Angle Formula for Cos Derivation

We use cos2x = 2cos²x – 1 for finding the Half-Angle Formula for Cos

Put x = 2y in the above formula

cos (2)(y/2) = 2cos²(y/2) – 1

cos y = 2cos²(y/2) – 1

1 + cos y = 2cos²(y/2) 

2cos²(y/2) = 1 + cosy

cos²(y/2) = (1+ cosy)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ cosy)/2}

Half-Angle Formula for Sin Derivation

We use cos 2x = 1 – 2sin²x for finding the Half-Angle Formula for Sin

Put x = 2y in the above formula

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin²(y/2)     

cos y = 1 – 2sin²(y/2)   

2sin²(y/2) = 1 – cosy

sin²(y/2) = (1 – cosy)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – cosy)/2}

Half-Angle Formula for Tan Derivation

We know that tan x  = sin x / cos x such that,

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Putting the values of half angle for sin and cos. We get,

tan(x/2) = ± [(√(1 – cosy)/2 ) / (√(1+ cosy)/2 )]

tan(x/2) = ± [√(1 – cosy)/(1+ cosy) ]

Rationalising the denominator

tan(x/2) = ± (√(1 – cosy)(1 – cosy)/(1+ cosy)(1 – cosy))

tan(x/2) = ± (√(1 – cosy)²/(1 – cos²y))

tan(x/2) = ± [√{(1 – cosy)²/( sin²y)}]

tan(x/2) = (1 – cosy)/( siny)

Also, Check

• Real-Life Applications of Trigonometry
• Sin Cos Formulas

Solved Examples on Half Angle Formulas

Example 1: Determine the value of sin 15°

Solution:

We know that the formula for half angle of sine is given by:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2) ^1/2

The value of sine 15° can be found by substituting x as 30° in the above formula

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2) ^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0.866)/ 2) ^1/2

sin 15° = ± (0.134/ 2) ^1/2

sin 15° = ± (0.067) ^1/2

sin 15° = ± 0.2588

Example 2: Determine the value of sin 22.5°

Solution:

We know that the formula for half angle of sine is given by:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2) ^1/2

The value of sine 15° can be found by substituting x as 45° in the above formula

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2) ^1/2

sin 22.5° = ± ((1 – 0.707)/ 2) ^1/2

sin 22.5° = ± (0.293/ 2) ^1/2

sin 22.5° = ± (0.146) ^1/2

sin 22.5° = ± 0.382

Example 3: Determine the value of tan 15°

Solution:

We know that the formula for half angle of sine is given by:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

The value of tan 15° can be found by substituting x as 30° in the above formula

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

tan 15° = ± (1 – 0.866)/ sin 30

tan 15° = ± (0.134)/ 0.5

tan 15° = ± 0.268

Example 4: Determine the value of tan 22.5°

Solution:

We know that the formula for half angle of sine is given by:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

The value of tan 22.5° can be found by substituting x as 45° in the above formula

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

tan 22.5° = ± (1 – 0.707)/ sin 45°

tan 22.5° = ± (0.293)/ 0.707

tan 22.5° = ± 0.414

Example 5: Determine the value of cos 15°

Solution:

We know that the formula for half angle of sine is given by:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2) ^1/2

The value of sine 15° can be found by substituting x as 30° in the above formula

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2) ^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0.866)/ 2) ^1/2

cos 15° = ± (1.866/ 2) ^1/2

cos 15° = ± (0.933) ^1/2

cos 15° = ± 0.965

Example 6: Determine the value of cos 22.5°

Solution:

We know that the formula for half angle of sine is given by:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2) ^1/2

The value of sine 15° can be found by substituting x as 45° in the above formula

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2) ^1/2

cos 22.5° = ± ((1 + 0.707)/ 2) ^1/2

cos 22.5° = ± (1.707/ 2) ^1/2

cos 22.5° = ± ( 0.853 ) ^1/2

cos 22.5° = ± 0.923

FAQs on Half-Angle Formula

Question 1: What is the use of Half-Angle Formulas?

Answer:

Half-Angle formulas are used for finding trigonometric ratios of half of the standard angles such as 15°,22.5° and others. They are also used for solving complex trigonometric equations and are required in solving integrals, and differential equations.

Question 2: What is Half Angle Formula for Sin?

Answer:

Half-Angle formula for sin is 

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Also, for any triangle with sides a, b, and c and semiperimeter be s, then

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Question 3: What is Half Angle Formula for Cosine?

Answer:

Half-angle formula for cos is

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Also, for any triangle with sides a, b, and c and semiperimeter be s, then

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Question 4: What is the formula for cos θ?

Answer:

For any right-angled triangle, with an angle θ the formula that is used to calculate the Cosine of the angle (θ) is 

Cos(θ) = adjacent / hypotenuse

Что такое формулы половинного угла в тригонометрии

Перечислим их:

• (sin^2left(fracalpha2right)=frac{1-cosleft(alpharight)}2), где (alpha) — любой угол;
• (cos^2left(fracalpha2right)=frac{1+cosleft(alpharight)}2), где (alpha) — любой угол;
• (tan^2left(fracalpha2right)=frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)}), где (alphaneqmathrmpi+2mathrmpitimesmathrm z)  (z — любое целое число);
• (cot^2left(fracalpha2right)=frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)}), где (alphaneq2mathrmpitimesmathrm z) (z — любое целое число).

Все формулы половинного угла даны для вычисления квадрата функции. Выражение решается до конца с помощью нахождения арифметического квадратного корня, т.е.:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• (sinleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1-cosleft(alpharight)}2});
• (cosleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1+cosleft(alpharight)}2});
• (tanleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)}});
• (cotleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)}}).

Знак, стоящий перед ответом, обозначает координатную четверть, в которой находится угол (fracalpha2. )

График:

Доказательство формул половинного угла

Данное доказательно основано на формулах косинуса двойного угла:

(cosleft(alpharight)=1-2timessin^2fracalpha2;)

(cosleft(alpharight)=2timescos^2(fracalpha2)-1.)

И основных тригонометрических тождествах:

(tanleft(fracalpha2right)=frac{sinleft({displaystylefracalpha2}right)}{cosleft({displaystylefracalpha2}right)};)

(cotleft(fracalpha2right)=frac{cosleft(fracalpha2right)}{sinleft(fracalpha2right)}.)

Вывод с доказательством через синус, косинус, тангенс и котангенс

Для доказательства формул синуса и косинуса половинного угла используем формулы косинуса двойного угла.

Решим первое равенство относительно (sin^2left(fracalpha2right)) для выведения синуса

Решим второе уравнение относительно (sin^2left(fracalpha2right)) для выведения косинуса.

Перейдем к приведению тангенса и котангенса половинного угла через тригонометрические тождества.

(tan^2left(fracalpha2right)=frac{sin^2left({displaystylefracalpha2}right)}{cos^2left(fracalpha2right)}=frac{displaystylefrac{1-cosleft(alpharight)}2}{displaystylefrac{1+cos(alpha)}2}=frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)} )

(cot^2left(fracalpha2right)=frac{cos^2left({displaystylefracalpha2}right)}{sin^2left(fracalpha2right)}=frac{displaystylefrac{1+cosleft(alpharight)}2}{displaystylefrac{1-cos(alpha)}2}=frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)})

ЧТД.

Пример задачи с решением

Задача 1

Косинус угла в 30 градусов равен (frac{sqrt3}2.)

Найдите косинус угла в 15 градусов.

Решение

Воспользуемся формулой половинного угла для косинуса. Получим:

(cos^2left(15^circright)=frac{1+cosleft(30^circright)}2=frac{1+{displaystylefrac{sqrt3}2}}2=frac{2+sqrt3}4.)

Угол в 15 градусов находится в первой координатной четверти. Следовательно, его косинус будет являться положительным. 

Ответ:

(cosleft(15^circright)=sqrt{frac{2+sqrt3}4}=frac{sqrt{2+sqrt3}}2.)

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №36. Формулы половинного аргумента.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;

2) Преобразовывать тригонометрические выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;

3) Решение уравнения с использованием формулы синуса, косинуса половинного аргумента.

Глоссарий по теме

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла  при помощи тригонометрических функций угла α. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы узнаем формулы, позволяющие нам по известным значениям ; находить ; ; . Их называют формулы половинного аргумента.

Повторим формулу косинуса двойного аргумента .

А если учесть, что и , то получим ещё две формулы, которые нам сегодня понадобятся:

и

Пример. а) Найти , если .

Вычислим по формуле

б) Найти , если .

Вычислим по формуле .

, получаем

(1) формула синуса половинного аргумента.

Запишем формулу косинуса двойного угла, где в виде

(2) формула косинуса половинного угла.

По формулам (1) и (2) можно найти или , если известны значения и положение угла , т.е. в какой координатной четверти он находится, чтобы определить знак выражения или .

Эти формулы ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Но будьте внимательны: степень понижается, а аргумент удваивается.

Например, .

Пример. Известно, что . Найдите ; ;

1) найдём по формуле: ; .

По условию . Разделив обе части неравенства на 2, получаем , значит угол во второй четверти, здесь синус положительный. .

2) ; найдём по формуле ,

Мы уже выяснили, что угол во второй четверти, косинус отрицательный.

3) Так как тангенс это отношение синуса на косинус, то

• Выведем формулу для тангенса половинного аргумента. Для этого разделим левую часть формулы (1) на левую часть формулы (2) и правую часть формулы (1) на правую часть формулы (2).

сократим на 2 , и учитывая, что , получим:

формула тангенса половинного аргумента (3).

Так как котангенс это число, взаимообратное тангенсу, то

Пример. Найти и , если известно, что и .

По формуле (3) находим , а Найдём положение угла

По условию ,( разделим на 2)

, угол в первой четверти, тангенс положительный, , а .

Для этого используем формулу синуса двойного угла , заменив в ней х на . Получаем , учтём, что , то

, разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(4)

(5)

Пример. Найти , если .

По формуле (5) .

С помощью доказанных на этом уроке формул можно не только вычислять значения выражений, но и упрощать выражения, доказывать тождества и решать тригонометрических уравнений.

Пример. Доказать тождество .

Представим , а , преобразуем левую часть тождества

, но , то

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Известно, что и . Найдите ; ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) cos 2)

в) tg 3)

г) ctg 4)3

5)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

№2. Известно, что . Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента.

№3.Вычислите

Ответ:12.

Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .

№4. Известно, что , Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№5.Вычислите .

Ответ: 0,5.

Подсказка: используйте формулу половинного аргумента.

№6. Известно, что. Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)-

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, определения тангенса и котангенса.

№7. Вычислите и установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) ; 1)

б) ; 2)

в) ; 3) 0,25

Ответ:

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где .

№8.Упростите выражения и установите соответствие между множествами выражений А и В:

А В

а); 1)

б); 2)

в) ; 3)

Ответ:

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса.

№9*. Упростите выражение .

Выберите правильный ответ:1)2)3)2.

Ответ:2)

Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .

№10*. Известно, что . Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№11*.Вычислите .

Ответ:1,5.

Подсказка: используйте формулы синуса двойного угла, где ; квадрата суммы и основное тригонометрическое тождество.

№12*.Известно, что , Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№13*.Вычислите. Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса и котангенса.

№14*.Решите уравнения и выберите верный ответ:

1); 2);3)

Ответ: 2)

Подсказка: используйте формулу половинного аргумента, разделив предварительно обе части уравнения на 2.

Проверочная работа:

№1.

а) Известно, что , ,

Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:

А В

а) ; 1)

б) cos; 2)

в) ; 3)

г) ; 4)

5)2

Ответ:

Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

б) Известно, что , ,

Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:

А В

а) ; 1)

б) cos; 2)

в) ; 3)

г) ; 4)

5)

Ответ:

Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

№2.Вычислите: а); б)

Ответ: а) 5; б) 6

Подсказка: используйте формулу тангенса двойного угла, где .

№3.

а)Упростите выражение:

Выберите верный ответ:1)

Ответ: 1)

б) Упростите выражение:

Выберите верный ответ:1)

Ответ: 1)

Подсказка: используйте определение тангенса и котангенса, основное тригонометрическое тождество, формулу синуса и косинуса двойного угла, где .