Как найти полную производную функции двух переменных

Функции нескольких переменных:

До сих пор мы изучали лишь числовые функции одной числовой переменной. Однако часто встречаются такие процессы, в которых связываются не только числовые, но и векторные величины. В связи с этим необходимо дать более общее определение понятия функции.

Пусть даны два множества U и V произвольной природы. Говорят, что на множестве U определена функция со значениями в V, если дан закон, по которому каждому элементу и из множества U поставлен в
соответствие один и только один элемент из множества V.

Символически пишут : или . Если при этом некоторому элементу соответствует элемент , то пишут . Элемент называется значением функции при .

Множество U называется областью определения функции . Множество всех , которые являются значениями функции при некоторых , называетcя множеством значений функции
.

Если элементами множества U являются числа, а элементами множества V — векторы, то говорят о векторнозначной функции от числового (скалярного) аргумента. Таковы, например, зависимости скорости непрямолинейного движения, напряжения в электрической
цепи от времени.

Если U состоит из векторов, а V из чисел, то говорят о скалярной (числовой) функции векторного аргумента.

Если U является множеством упорядоченных систем чисел , а V — числовым множеством, то функция
: называется числовой функцией от n переменных .

Так как каждый вектор определяется совокупностью своих координат, то скалярная функций от векторного аргумента может быть рассмотрена как функция от нескольких переменных.

Остановимся подробнее на случае (числовой) функции двух переменных.

Определение:

Функцией от двух переменных называется закон, по которому каждой паре чисел (x; у) из некоторого множества пар D ставится в соответствие определенное число z. Пишут .

При исследовании функций от двух переменных часто прибегают к их геометрической интерпретации. Пара чисел (x; y), для которой определена функция , изображается некоторой точкой плоскости . Тогда область определения D функции представляет собой некоторое множество точек в плоскости ; при этом говорят о
значениях функции в точках (x; у) этой области. Каждой точке (x; у) области определения функции ставим в соответствие точку т. е. (x; у; z) в трехмерном пространстве. Множество всех таким образом полученных точек
трехмерного пространства называется графиком функции Очевидно, что проекция графика на плоскость совпадает с областью определения функции.

Как и в случае функций одной переменной, функции двух переменных могут быть заданы таблицей, графиком, но чаще всего задаются аналитической формулой.

Пример:

Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и у, является функцией от x и у, которая задается формулой

Областью определения этой функции (с учетом ее геометрического смысла) является множество . Область определения функции, заданной формулой точки зрения выполнимости операций — вся плоскость Oxy. В таком случае будем

говорить, что естественной областью определения функции является вся плоскость Oxy,

Пример:

Согласно закону Ома

Ток I является функцией от двух переменных — электродвижущей силы и сопротивления в цепи.

Пример 3. Дальность R полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту, является функцией от двух переменных , и задается формулой

где g — ускорение силы тяжести.

Аналогично определяются функции трех и большего числа переменных.

Определение:

Функцией от трех переменных называется закон, по которому каждой тройке (x; y; z) из некоторого множества троек D ставится в соответствие определенное число . Пишут .

Пример:

Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, у и z, является функцией от x, у, и z, которая задается формулой

Пример:

Формула

задает функцию от четырех переменных

Частное и полное приращения функций. Непрерывность функций

Если в функции от двух переменных

фиксировать значение одной из независимых переменных, например, , то получим функцию

которая зависит от одной переменной x. Так как геометрически функция представляет собой некоторую поверхность, то уравнение представляет собой линию пересечения этой поверхности с плоскостью Аналогично, если фиксировать переменную , то получим функцию от одной переменной у (рис. 139)

Величина

называется частным приращением функции в точке по аргументу x. Величина

называется частным приращение ем функции в точке по аргументу у.
Величина

называется полным приращением функции в точке

Пример:

Дана функция

Найти и вычислить их при

Решение:

При получаем:

Для функций от двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности аналогично случаю функций от одной переменной.

Число А называется пределом функции при (или, что то же самое, при

если для любого существует такое, что из следует

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому P стремится к .

Предел функции нескольких переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной («теоремы о пределах»); доказательства также аналогичны.

Пример:

Найти

Используя свойства пределов, имеем:

Пример:

Существует ли

Решение:

Берем точку на оси Ох, т. е. полагаем у = 0, и пусть тогда

Берем теперь точку P(x, у) на оси Oy, т. е. полагаем x = 0. Тогда

Так как при стремлении к точке O(0, 0) вдоль двух разных прямых мы получили разные пределы , то не существует.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки называется непрерывной в этой точке, если предел функции при равен значению функции в этой точке, т. е.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать следующие свойства непрерывности функций от нескольких переменных.

1. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией.

2. Произведение непрерывных функций является также непрерывной функцией.

3. Частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция в точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

4. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, есть непрерывная функция.

Например, функции непрерывны всюду, функция непрерывна всюду, кроме точек прямой x = у.

Частные производные функций нескольких переменных

Пусть дана функция от двух переменных . Фиксируя одну из переменных, например, полагая у = const, мы приходим к функции от одной переменной x. Тогда можем говорить о производной полученной функции, которую обозначим через . Согласно определению производной функции от одной переменной, имеем:

называется частной производной функции по переменной x и обозначается еще символами ,

Аналогично определяется и обозначается частная производная по переменной у:

Если функция z зависит от трех или более переменных, то можно говорить о ее частных производных по каждой из ее переменных.

Исходя из геометрической интерпретации производной функции от одной переменной, можем сказать, что частная производная при численно

равна тангенсу угла (см. рис. 139), образованного касательной в точке к линии, являющейся сечением поверхности плоскостью , с положительным направлением оси Ох.

Аналогично, частная производная при , численно равна тангенсу угла (рис, 139), образованного касательной в точке к линии, являющейся сечением поверхности плоскостью , с положительным направлением оси Oy

Пример:

Найти частные производные функции и вычислить их значения в точке

Решение:

Пример:

Найти частные производные функции:

Решение:

Пример:

Вычислить если

Решение:

Пример:

Найти частные производные функции

Решение:

Так как частные производные от функции нескольких переменных также являются, вообще говоря, функциями от нескольких переменных, то для них можно вычислять частные. производные. По отношению к исходной функции эти производные от производных называются частными производными высшего порядка.

Например, для функции от двух переменных имеем следующие типы производных второго порядка:
— частная производная от функции взятая дважды по аргументу x;
— смешанные частные производные;
— частная производная от функции взятая дважды по аргументу у.

Для этих производных и других более сложных употребляются также обозначения

и т. д.

Приводим без доказательства следующую теорему.

Теорема:

Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного и того же порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, если вторые производные непрерывны, то

Пример:

Вычислить частные производные первого, второго и третьего порядков функции

Решение:

Нахождение экстремумов функции многих переменных

Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность этой точки такая, что из всех значений, принимаемых функцией в этой окрестности, наименьшим (наибольшим) оказывается значение в точке .

Ясно, что если у функции фиксировать все независимые переменные, кроме одной, то , как функция этой одной переменной, будет иметь в точке минимум (максимум). Отсюда следует, что производная по этой переменной должна равняться нулю. Таким
образом, необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю всех частных производных. Следовательно, для нахождения экстремума надо сначала найти стационарные точки, т. е. точки, в которых все частные производные равные нулю, а потом дополнительными исследованиями определить характер экстремума (если он вообще существует).

Пример:

Из всех прямоугольных параллелепипедов с данной полной поверхностью А найти тот, который имеет наибольший объем.

Решение:

Пусть x, у, z — ребра параллелепипеда.

Тогда

Из условия имеем

Отсюда

Значит,

Находим частные производные:

откуда

Аналогично,

Если x = 0 или у = 0, то V = 0, поэтому считаем x > 0, Тогда система

равносильна системе

Отсюда , и так как . Тогда В таком случае Следовательно, искомым параллелепипедом является куб с ребром

Полный дифференциал функции двух переменных

Для приращения функции , имеющей непрерывные частные производные

имеет место следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема. Если частные производные и функции непрерывны в данной области, то ее полное приращение представляется в этой области в виде

Пусть условия теоремы выполнены. Рассмотрим правую часть разложения (1) Слагаемое является бесконечно малым более высокого порядка, чем так как Слагаемое в котором и не зависят от приращений аргументов ; и , является линейной функцией от и . Поэтому можно записать

Правая часть формулы (2) — главная линейная часть полного приращения функции — называется полным дифференциалом функции и обозначается через или . Итак,

Если , то . В этом случае по формуле (3) находим

Аналогично находим, что

Поэтому формулу (3) можно переписать в виде

или

Пример:

Найти полный дифференциал функции

вычислить его значение при , , и найти абсолютную и относительную погрешности приближения .

Решение:

Следовательно,

Далее имеем

Вычислим точное значение . Следовательно, абсолютная погрешность а
относительная

Пример:

Вычислить приближенно

Решение:

Рассмотрим функцию Берем тогда и отсюда Вычислим частные производные и их значения в точке (3; 4):

Тогда

откуда

Аналогичное выражение и смысл имеет полный дифференциал и для функций большего числа переменных:

Двойной интеграл

Рассмотрим вначале задачу вычисления массы одномерного стержня, если известна его плотность в каждой точке.

Разделим стержень, т. е. отрезок [а, b] (рис. 140), на n частей выберем в каждой элементарной части по одной точке и вычислим в этой точке плотность Тогда масса элементарного отрезка приближенно будет равна . Для массы всего стержня

получаем приближение (1)

Приближение (1) будет тем точнее, чем мельче будет разбиение отрезка [а; b]. Следовательно, можно принять

где — наибольший из элементарных отрезков деления.
Как мы знаем, выражение из правой части (1)
является интегральной суммой, следовательно,

Переходим теперь к задаче о нахождении массы материальной двумерной пластинки а, если известна плотность в каждой ее точке . Разделим данную область произвольным образом на n частей (рис.141). В каждой элементарной части — выберем
по одной точке и вычислим плотность в точке Тогда масса элементарной пластинки приближенно будет равна Для массы всей пластинки получаем

Приближение (4) будет тем точнее, чем мельче будет разбиение области а на элементарные части, т. е. чем меньше будет наибольшее расстояние между произвольными точками любой элементарной области Следовательно, можно принять, что

где — наибольший из диаметров элементарных частей (диаметр области — это наибольшее расстояние между произвольными ее точками).

К аналогичным выражениям приходим, если рассматривать задачу вычисления объемов цилиндрических тел.

Пусть требуется вычислить объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью снизу конечной замкнутой областью плоскости Оху и с боков цилиндрической поверхностью, построенной на границе области и имеющей образующие, параллельные оси Oz (рис. 142).

Делим область на элементарные области В каждом выбираем по одной точке Тогда объем прямого элементарного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью и снизу областью , приближенно равен где площадь соответствующей элементарной области (мы для удобства элементарную область и ее площадь обозначаем одинаково). Для объема всего нашего цилиндрического тела получаем приближение

Приближение (6) будет тем точнее, чем меньше будет наибольший из диаметров элементарных областей Следовательно, можно и в этом случае принять, что

Необходимость рассмотрения выражений вида (4), (6) и пределов вида (5), (7) возникает и при решении многих других физических и геометрических задач. В связи с этим даются следующие определения. Пусть функция определена в некоторой области . Делим область на n элементарных частей

В каждой части выбираем по одной точке и составляем выражение:

Выражение (8) называется интегральной суммой для функции в области . Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей , при разбиении области . Если существует предел

и он не зависит от способа деления области на части и выбора точек то этот предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается

Здесь называется подынтегральной функцией, — областью интегрирования, x и y — переменными интегрирования, (или ) — элементом площади.

Таким образом, по определению,

Способ вычисления двойного интеграла подсказывается следующими интуитивными соображениями. Пусть материальная область ограничена снизу кривой , сверху кривой с боков прямыми x = а и x = b (рис. 143).

Пусть, далее, функция выражает плотность (т. е. «концентрацию массы») в точке (x; у). Для некоторого значения x выделим материальный отрезок от точки до точки и вычислим массу , сконцентрированную на этом отрезке:

Если сейчас «спроектировать» нашу материальную пластинку на ось Оx то получим материальный отрезок [a; b], плотность

которого в каждой точке x будет выражаться функцией m(x). Следовательно, масса этого отрезка будет

или

Выражение (11) записывают в виде

и называют повторным интегралом.

Заметим, что в случае вычисления объема цилиндрических тел интеграл

дает площадь поперечного сечения нашего тела, следовательно, весь
объем будет

Пусть область а ограничена снизу кривой , сверху, кривой , с боков прямыми x = а и x = b (см. рис. 143). Для вычисления двойного интеграла от функции по такой области принимаем следующую формулу, сводящую его вычисление к
повторному интегралу:

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного
снизу областью, указанной на рис. 144, и сверху
плоскостью z = x — у.

Решение:

Область интегрирования ограничена снизу кривой , сверху кривой По формуле (13) при имеем

Пример:

Вычислить массу пластинки, ограниченной прямой и параболой (рис. 145),

если плотность распределения массы выражается функцией

Решение:

Понятие о тройном интеграле

Рассмотрим задачу вычисления массы тела, если известна плотность в каждой его точке. Делим данное тело V на элементарные части . В каждой части выбираем по одной точке и вычисляем в ней значение плотности Тогда масса элементарного объема приближенно будет равна Для массы, заключенной во всем объеме V, получим приближение

Как и в предыдущих случаях, можно принять

где — наибольший из «диаметров» элементарных областей при данном разбиении.

Выражения вида (1) возникают и при решении других задач. В связи с этим даются следующие определения.

Пусть функция . определена в некоторой пространственной ограниченной замкнутой области V. Разделим область V на n элементарных частей . В каждой части выберем по одной точке и составим выражение

Выражение (3) называется интегральной суммой для функции в области V. Обозначим через наибольший из «диаметров» элементарных областей при.данном разбиении. Если существует предел

и он не зависит от способа деления области V на части и выбора точек , то этот предел называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается

Пусть область V ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью , а с боков цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Оz, и пусть проекцией области V на плоскость Оxу является область . Для вычисления тройного интеграла от функции по такой
области V принимаем следующую формулу, сводящую его вычисление к повторному интегралу

Исходя из задачи вычисления массы тела, можно интуитивно объяснить формулу (5) следующим образом. «Проектируя»
материальное тело V с плотностью на область плоскости Оxу, получим материальную область, в каждой точке (x; у) которой
окажется «сконцентрированной» масса

Массу полученной материальной области (которая совпадает с массой данного тела) можно вычислить при помощи двойного интеграла от функции m(x; у) по области :

Следовательно,

Тройной интеграл (5) от произвольной функции по области V можно интерпретировать как массу материальной области V с плотностью распределения массы, заданной функцией . В частности, если плотность распределения массы равна единице, т.е.
, то масса тела численно совпадает с его объемом. Следовательно, объем тела можно вычислить по формуле

Пример:

Вычислить массу параллелепипеда V, ограниченного плоскостями x = 0, x = 2, у = 0, у = 1, z = 0, z = 2 (рис. 146), если плотность распределения массы задана функцией

Решение:

Согласно формуле (5) (и исходя из приведенной выше интерпретации тройного, интеграла), имеем:

Так как область V ограничена снизу плоскостью z = 0, а сверху — плоскостью z = 2, то Следовательно,

Областью а в нашем случае является прямоугольник, ограниченный прямыми следовательно, по формуле (13) § 6 при имеем:

Пример:

Вычислить объем V тела, ограниченного координатными плоскостями, плоскостью и цилиндром (рис. 147).

Решение:

Данное тело ограничено снизу плоскостью z = 0, сверху — поверхностью , т. е. имеем . По формулам (6) и (5) имеем:

Проекция данного тела на Рис. 147. плоскости Оxу есть прямоугольный треугольник , ограниченный координатными осями и прямой или ; поэтому x изменяется в пределах от 0 до 3, а y от 0 до Следовательно,

Дополнение к функциям многих переменных

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Функции нескольких переменных — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

При изучении темы «Функции нескольких переменных»
вы на примерах познакомитесь с понятиями частных производных,
полного дифференциала, градиента, производной по направлению и
научитесь их вычислять. Вы также научитесь дифференцировать
сложные функции нескольких переменных и функции, заданные неявно. Эти умения вы сможете применить для нахождения касательной плоскости и нормали к поверхности и точек экстремума функции двух переменных.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить частные производные, решить системы уравнений (для нахождении стационарных точек), выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.

Частные производные

Постановка задачи. Найти частные производные до второго
порядка включительно функции

План решения.

1.Чтобы найти частную производную функции
по переменной , фиксируем остальные переменные и дифференцируем f как функцию одной переменной .

2.Частные производные высших порядков вычисляются аналогично последовательным дифференцированием, т.е.

Замечание. Частные производные можно обозначать также
и т.д.

Пример:

Найти частные производные до второго порядка включительно функции

Решение:

1.Для того чтобы найти частную производную по х, фиксируем
у и дифференцируем функцию как функцию одной переменной х. Используя формулу для производной степенной функции получим

Для того чтобы найти частную производную по у, фиксируем х
и дифференцируем функцию как функцию одной переменной у. Используя формулу для производной показательной функции получим

2.Частную производную второго порядка вычисляем, дифференцируя по х (при фиксированном у), т.е.

Частную производную второго порядка вычисляем, дифференцируя по у (при фиксированном х), т.е.

Частную производную второго порядка вычисляем, дифференцируя по х (при фиксированном у), т.е.

Частную производную второго порядка вычисляем, дифференцируя по у (при фиксированном х), т.е.

Ответ.

Градиент

Постановка задачи. Найти градиент функции и = f(x,y,z) в
точке

План решения. Градиент функции f(x,y,z) — это вектор, координаты которого в базисе являются частными производными
функции f(x,y,z), т.е.

1.Находим частные производные функции f(x,y,z)

2.Вычисляем частные производные функции f(x,y,z) в точке

4.Вычисляем градиент функции u = f(x, у, z) в точке

Записываем ответ.

Пример:

Найти градиент функции

в точке М(2,1,1).

Решение:

1.Находим частные производные функции

2.Вычисляем частные производные функции
в точке М(2,1,1):

3.Вычисляем градиент функции в точке М (2,1,1):

Ответ.

Производная по направлению

Постановка задачи. Найти производную функции u(x,y,z) в
точке no направлению к точке

План решения.

1.Если функция u(x,y,z) дифференцируема в точке ,
то в этой точке существует ее производная по любому направлению определяемая формулой

где

2.Находим координаты вектора В данном случае

3.Находим единичный вектор (орт)

4.Вычисляем частные производные и градиент функции
в точке

5.Вычисляя скалярное произведение в формуле (1), получаем
ответ.

Пример:

Найти производную функции

в точке А(2,1,1) по направлению к точке В(2, 4, —3).

Решение:

1.Так как функция дифференцируема в
точке -4B,1,1), то в этой точке существует ее производная по любому
направлению которая определяется формулой (1).

2.Находим координаты вектора В данном случае

3.Находим единичный вектор (орт)

4.Вычисляем частные производные функции
в точке А(2,1,1) :

Тогда

5.Подставляя полученные значения в формулу (1) и вычисляя
скалярное произведение, получим

Ответ.

Производные сложной функции

Постановка задачи. Найти производные и функции
z = z(u, v), где и = и(х, у) и v = v(x, у).

План решения. Поскольку z является сложной функцией двух
переменных х и у, то ее производные и вычисляются по формулам

1.Вычисляем частные производные

2.Подставляем полученные результаты в формулы (1) и (2) и записываем ответ.

Замечание:

Формулы (1) и (2) можно обобщить на функции любого числа переменных. Например, если дана функция f(u,v,w), где
u = u(х,y,t), v = v(x,y,t) к w = w(x, y, t), то ее частные производные
вычисляются по формулам

Пример:

Найти производные и функции z = u/v, где
и

Решение:

1.Вычисляем частные производные

2.Подставляя полученные результаты в формулы (1) и (2), получаем

Ответ.

где

Производная неявной функции

Постановка задачи. Найти производную функции у = у(х),
заданной неявно уравнением

F(x,y) = 0. (1)

План решения. Если при каждом фиксированном ж, принадлежащем некоторой области D, уравнение (1) имеет единственное решение у, принадлежащее некоторой области Е, то уравнение (1) задает
функцию у = у(х) с областью определения D и областью значений Е.

Если в некоторой окрестности точки функция
F(x,y) дифференцируема и то уравнение (1) определяет функцию у = у(х), дифференцируемую в точке причем ее производная определяется формулой

1.Вычисляем частные производные и в точке где есть корень уравнения

2.Находим по формуле (2) и записываем ответ.

Замечание. Аналогично вычисляются частные производные
функций нескольких переменных, заданных неявно. Например, если
уравнение F(x,y,z) = 0 задает функцию z = z(x,y), то при известных условиях функция z = z(x,y) дифференцируема в точке
и ее частные производные определяются формулами

где есть корень уравнения

Пример:

Найти производную функции у = у(х), заданной неявно
уравнением

Решение:

1.В данном случае Вычисляем ее
частные производные:

Очевидно, что F(x, у), и непрерывны при всех и при Следовательно, уравнение (3) определяет функцию у(х), дифференцируемую во всех точках в области, где и

2.Находим у’ по формуле (2)

Ответ. при всех удовлетворяющих уравнению (3), в области, где и

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Постановка задачи. Найти уравнения касательной плоскости
и нормали к поверхности, заданной уравнением

F(x,y,z)=0,

в точке

План решения.

Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнением

F(x,y,z)=0,

в точке определяется формулой

Следовательно, уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке есть

и уравнения нормали —

1.Находим частные производные точке

2.Подставляем найденные значения в уравнения (1) и (2) и записываем ответ.

Замечание:

Если заданы только значения и то координата
точки М определяется из условия, что точка М принадлежит данной поверхности, т.е.

Пример:

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением

z = ху,

в точке М(1,1).

Решение:

Запишем уравнение поверхности в виде ху — z = 0, т.е.
F = ху — z.

Координаты точки М: и Координату определяем из условия, что точка М принадлежит данной поверхности, т.е. Получаем

1.Находим частные производные в точке М(1,1,1):

2.Подставляя найденные значения в уравнения (1) и (2), получаем
уравнение касательной плоскости

1(х — 1) + 1(у — 1) — 1(z — 1) = 0

и уравнения нормали

Ответ. Уравнение касательной плоскости: х + у — z — 1 = 0.
Уравнения нормали: х — 1 = у — 1 = 1 — z.

Экстремум функции двух переменных

Постановка задачи. Найти стационарные точки функции
z = z(x,y) и исследовать их характер.

План решения.

1.Стационарными точками функции нескольких переменных называются точки, в которых все ее частные производные равны нулю. Следовательно, чтобы найти стационарные точки функции z(x,y), нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными

Решая эту систему уравнений, находим стационарные точки функции

2.Для того чтобы исследовать характер стационарных точек, воспользуемся достаточными условиями экстремума функции двух переменных.

Пусть функция z = z(x, у) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в стационарной точке
(т.е. Тогда если в этой точке:

а) то М — точка экстремума, причем при
— точка минимума, при — точка максимума;

б) то М не является точкой экстремума;

в) тпо требуется дополнительное исследование (например, по определению).

3.Вычисляем производные второго порядка функции z(x,y).

4.В каждой стационарной точке вычисляем выражение

и определяем его знак.

Анализируем полученные результаты и записываем ответ.

Пример:

Найти стационарные точки функции

и исследовать их характер.

Решение:

1.Вычисляем частные производные

2.Для того чтобы найти стационарные точки функции, решаем
систему двух уравнений с двумя неизвестными

Получаем два решения: Следовательно, стационарные точки функции и

3.Вычисляем производные второго порядка:

4.В каждой стационарной точке вычисляем выражение

и определяем его знак.

В точке

Следовательно, точка не является точкой экстремума.

В точке

Следовательно, точка является точкой экстремума. Так как то — точка минимума.

Ответ. Функция имеет две стационарные точки и В точке экстремума нет, —
точка минимума.

Определение функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных:

1°. Переменная величина z называется функцией переменных x,y,t,…u, если каждому набору этих переменных соответствует единственное, определенное значение переменной z. Пишут z = f(x,y,…,u), или z = z(x,y, …,и).

Каждая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать.

Например, функции

z = z(x,a,b), z = f(x, у, b), z = f(x,y,u),

где a,b — постоянные (параметры), являются функциями соответственно одной, двух и трех переменных.

2°. Функция двух переменных z = f(x,y) допускает геометрическое изображение в виде поверхности в пространстве.

3°. Линией уровня функции двух переменных z = f(x,y) называется множество всех точек плоскости Оху, для которых данная функция принимает постоянное значение f(x,y) = С. Линия уровня принадлежит области определения функции. Под областью определения понимается множество всех пар (х, у), для которых функция z = f(x, у) имеет смысл.

Например, функция определена при всех (х,у), т.е. на всей плоскости Оху, ее линии уровня — окружности (точка при С = 0);

функция определена только внутри круга , ее линии уровня — тоже окружности

функция определена при (рис. 8.1),линиями уровня этой функции являются прямые

Предел и непрерывность функции двух переменных

1°. Число А называется пределом функции z = f(x, у) в точке если для любого существует такое, что для всех точек М(х, у), отстоящих от на расстояние меньше , выполняется неравенство Употребляются обозначения

2°. Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке если

Точки, в которых не выполняются условия непрерывности, называются точками разрыва.

3°. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Для функций нескольких переменных, непрерывных в некоторой точке, имеют место свойства, аналогичные свойствам функций одной переменной.

В частности, если z = f(x,y) непрерывна в и то в некоторой окрестности этой точки f(x,y) > 0.

4°. Область называется замкнутой, если ей принадлежат все точки ее границы.

Функция, непрерывная в замкнутой области, ограничена в этой области и достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений.

Например, функция не определена только в точке — это точка разрыва данной функции, имеем

функция не определена в точках линии , каждая точка параболы является точкой разрыва; при этом если — точка параболы , то в частности,

Примеры с решениями

Пример:

Вычислить пределы:

Решение:

Заметим, что функции не определены только в точке (0,0), а не определена на координатных осях х = 0 и у = 0.

а) Перейдем к полярным координатам Тогда влечет r —> 0. Используя следствие первого замечательного предела, получаем

б) Если (х, у) —> (0,0) по разным лучам то

Правая часть этого равенства зависит от k, а потому предел данной функции при (x, у) —» (0,0) не существует (предел должен быть единственным).

в) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя. Получаем

Примечание:

Из определения непрерывности следует, что функции

и

непрерывны на всей плоскости Оху, а функцию нельзя доопределить в точке (0,0) так, чтобы она была непрерывной в этой точке.

Частные производные и дифференциал функции двух переменных

1°. Частными приращениями функции z = f(x,y) по независимым переменным х и у называются разности

где — приращения независимых переменных х и у.

Полным приращением функции z = f(x,y) называется разность

В общем случае полное приращение не равняется сумме частных приращений:

2°. Частной производной функции z = f (х, у) по переменной х или у называется предел отношения соответствующего частного приращения к приращению данной переменной при условии, что приращение переменной стремится к нулю.

Для частных производных приняты обозначения

3°. При нахождении частной производной (дифференцировании) по какой-либо переменной пользуются формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменную фиксированной, постоянной.

4°. Частная производная в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z = f (х, у) плоскостью (рис. 8.2)

5°. Частными дифференциалами функции z = f(x,y) называются величины

6°. Полным дифференциалом функции z = f (х ,у) называется выражение

Полный дифференциал dz представляет собой главную линейную (относительно ) часть полного приращения функции z = f (х ,у)

Примеры с решениями

Пример:

Найти частные и полное приращения функции при начальных значениях х = 1, у = 2, если

Решение:

Имеем:

Пример:

Найти частные производные функции

Решение:

Имеем:

Пример:

Найти частные дифференциалы и полный дифференциал функции Найти также значение этих величин в точке (1,2).

Решение:

Имеем: Следовательно,

В частности,

— дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Линеаризация функций двух переменных

1°. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, которой принадлежат все касательные к кривым, проведенным на поверхности через точку .

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной плоскости.

2°. Если поверхность задается функцией z = f(x,y), то уравнения касательной плоскости t и нормали п имеют вид

3°. Если поверхность задана неявно посредством уравнения F(x, у, z) = 0, то уравнения t и п имеют вид

4°. Замена полного приращения функции в данной точке ее полным дифференциалом называется линеаризацией функции. Геометрически это означает замену графика функции, т. е. поверхности, касательной плоскостью. Имеет место приближенное равенство

Примеры с решениями

Пример:

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Решение:

Имеем:

Следовательно,

Пример:

Вычислить приближенно

Решение:

Обозначим:

тогда

Имеем:

Наконец, согласно соотношению п. 4°, получаем

Пример:

Даны функция и две точки .Требуется:

1) вычислить значение функции f(x,y) в точке А и значение в точке В;

2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения функции в точке А, заменив приращение функции дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом;

3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности

Решение:

1) Имеем

2) Найдем сначала:

Из точки А в точку В придем с приращениями

Теперь применяем формулу п. 4°:

При вычислении по этой формуле возникает погрешность

3) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке С(2,3,18) имеет вид (см. п. 2°)

Частные производные и дифференциалы высших порядков

1°. Частными производными второго порядка функции z= f(х ,у) называются частные производные от частных производных первого порядка:

Частные производные второго порядка и называются смешанными.

Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков:

Теорема:

Если смешанные производные непрерывны, то омы равны между собой.

Таким образом, результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

2°. Дифференциалом п—го порядка функции z = f(x,y) называется дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка, т.е.

Если функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле

Символически это равенство можно записать в виде

По аналогии, дифференциал n-го порядка можно записать символически в виде

Примеры с решениями

Пример:

Найти если

Решение:

Последовательное дифференцирование данной функции дает

Следовательно,

Пример:

Найти если

Решение:

Имеем:

Производная по направлению. Градиент

1°. Пусть — некоторый вектор, — его модуль (длина). Тогда где а — угол наклона к оси Ох.
Вектор — коллинеарен вектору а и называется ортом, или единичным вектором вектора , модуль равен 1.

2°. Пусть z= f(x,y) — функция двух переменных, имеющая частные производные в некоторой области D, точка М(х, у) € D.

Пусть — произвольный единичный вектор с началом в точке В направлении на расстоянии берем точку При этом

Разность называется приращением функции z= f(x,y) вдоль направления , а предел

называется производной функции z= f(x,y) по направлению в точке М(х, у).

Теорема:

Если f(x, у) имеет непрерывные частные производные в точке М(х ,у), то

3°. Функция z = f(x,y), определенная в области D, называется также скалярным полем в этой области. Вектор

называется градиентом скалярного поля, или градиентом функции f(x,y).

Обозначим через угол между вектором и вектором

Теорема:

Имеют место равенства

4°. Следующие свойства градиента вытекают из теорем 2 и 3.

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно ||.

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору равна нулю.

3) Вектор направлен перпендикулярно к линии уровня f(x,y)= C.

Примеры с решениями

Пример:

Найти производную функции в точке М(3,1) по направлению к точке

Решение:

Имеем:

Положим и находим

Имеем:

Окончательно, Знак минус у значения производной означает, что в направлении функция убывает.

Пример:

Найти направление максимального роста функции в точке М( 1,2). Найти также наибольшее из значений производных по разным направлениям в точке М.

Решение:

Найдем градиент функции z в данной точке (1,2). Имеем

Градиент данного поля в точке М(1,2) равен = {6,-8}. Этот вектор указывает на направление максимального роста z. Наибольшее значение производной в (1,2) равно

Пример:

Даны функция , точка A(-2,—1) и вектор Найти:

1) в точке А;

2) производную в точке А по направлению вектора .

Решение:

1) Для нахождения координат вектора (см. п. 3°) найдем частные производные

Их значения в точке А(—2, —1) следующие:

значит,

2) Найдем направляющие косинусы вектора

Тогда (см. п. 2°)

По направлению вектора а функция убывает.

Формула Тейлора для функций двух переменных

Пусть z = f(x,y) — функция двух переменных х и у, непрерывная вместе со своими частными производными до (п+ 1)-го порядка включительно в окрестности данной точки Тогда, аналогично тому, как это было в случае функций одной переменной, функцию двух переменных можно представить в виде многочлена степени п от х — а и у —b и некоторого остаточного члена:

при этом можно считать, что dx = х — a, dy = у — b.

Многочлен, фигурирующий в этой формуле, называется многочленом Тейлора функции f(x,y). Он представляет приближенное значение данной функции в окрестности точки

Примеры с решениями

Пример:

Составить формулу Тейлора при п = 2 для функции в окрестности точки и вычислить приближенно

Решение:

Имеем

Находим сначала частные производные первых двух порядков:

Теперь вычислим значения полученных частных производных в данной точке (1,1):

Соответствующая формула Тейлора имеет вид

т.е.

Подставляя х = 1,1. у = 1,02, х — 1 = 0,1, у — 1 = 0,02, получаем

Экстремум функции двух переменных

1°. Функция z = f(x,у) имеет максимум (минимум) в точке , если для всех (х,у), достаточно близких к и таких, что

Максимумы и минимумы называются экстремумами.

Точка называется критической для функции f(x,y), если частные производные в этой точке либо равны нулю, либо не существуют.

Если в данной точке, то эта точка называется стационарной.

Теорема:

Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции. Если функция z = f(x,y) имеет экстремум в точке , то эта точка стационарная, т.е.

Теорема :

Достаточные условия экстремума. Пусть — стационарная точка. Обозначим

1) Если — точка максимума.

2) Если — точка минимума.

3) Если то точка не является точкой экстремума.

4) Если то в точке функция f(x,y) может иметь и может не иметь экстремума (в этом случае требуется дополнительное исследование).

2°. Под условным экстремумом функции z = f(x,y) подразумевается экстремум этой функции при некотором дополнительном условии, например, уравнении

Необходимый признак условного экстремума дифференцируемой функции. Если функция z = f(x,y) имеет экстремум в точке при выполнении условия , то в этой точке

где — функция Лагранжа, соответствующая — постоянная величина (множитель Лагранжа).

Достаточный признак условного экстремума. Если точка удовлетворяет системе уравнений (1) и то точка является точкой условного максимума (минимума) функции f(x,y) при условии

Примеры с решениями

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

Функция определена и дифференцируема при всех (x,y)

1) Найдем стационарные точки:

Имеем две стационарные точки

2) Проверим достаточные условия:

Для имеем:

В точке (1,1) имеем минимум и

Для имеем

В точке (0,0) функция z экстремума не имеет.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

(-4,1) — точка минимума,

Пример:

На гиперболе найти точку, наименее удаленную от точки А(0, —3).

Решение:

Исследуем на экстремум функцию, выражающую квадрат расстояния точки М(х ,у) от точки А(0,-3):

при условии, что координаты точки М(х ,у) удовлетворяют уравнению гиперболы

Составим функцию Лагранжа:

Координаты точек, в которых функция f(x,y) имеет условный экстремум, найдем, решая систему уравнений

Получаем: Функция f(x,y) может

иметь условный экстремум в двух точках:

Проверим для них достаточные условия, для чего найдем дифференциал второго порядка функции F(x,y) в найденных точках. Имеем:

Если Следовательно, обе точки — являются точками условного минимума нашей функции. При этом

Наибольшее и наименьшее значения функции

При отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в некоторой замкнутой области следует найти все внутренние точки области, в которых функция может иметь экстремум. Затем надо исследовать функцию на экстремум на границе области. При этом часто приходится разбивать границу области на части, заданные различными уравнениями. Вычислив значения функции во всех найденных экстремальных точках, следует сравнить их между собой: наибольшее (наименьшее) из этих значений и является наибольшим (наименьшим) значением функции во всей замкнутой области.

Примеры с решениями

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной осью Оу, прямой у= 2 и параболой при х > 0.

Решение:

Соответствующая область изображена на рис. 8.3.

1) Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Приравниваем нулю частные производные

Решив систему уравнений

найдем две стационарные точки О(0,0) и М( 1,1). Первая из них лежит на границе области, вторая внутри области. Следовательно, если функция г принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М( 1,1). При этом z( 1, 1) = 12.

2) Исследуем функцию на границе области.

а) На отрезке OA имеем х = 0. Поэтому на этом отрезке исследуем функцию Это — возрастающая функция одной переменной у наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка

б) На отрезке АВ имеем Следовательно, на этом отрезке исследуем функцию одной переменной

Ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в стационарных точках и на концах отрезка.

Находим производную Решая уравнение z’ = 0, или находим

Внутри отрезка имеется лишь одна стационарная точка ; соответствующей точкой отрезка АВ является точка Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z на отрезке АВ находятся среди ее значений в точках и

в) На дуге ОВ параболы имеем

Решаем уравнение и находим его корни: Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции у на дуге ОВ находятся среди ее значений в точках

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках т.е. среди значений

Наибольшее и наименьшее из них равны соответственно 12 и -1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области:

Решение функции нескольких переменных

Функции одной переменной не охватывают все зависимостей, существующих в природе. Так, например, объем v прямоугольного параллелепипеда, ребра которого имеют длины х,у, z соответственно, выражается формулой

где х, у, z могут принимать любые положительные значения. В этом примере имеем четыре переменных величины, причем значение v вполне определяется заданием трех остальных переменных х, у, z. Для изучения таких и.подобных им зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Некоторые определения и обозначения:

Пусть -мерное евклидово пространство. Расстояние между двумя любыми точками обозначается символом и определяется формулой

При n = 1 получаем

— расстояние между точками прямой имеем

— расстояние между точками плоскости

Определение:

Пусть точка и пусть — действительное число. Совокупность всех точек таких, что называется n-мерным (открытым) шаром с центром в точке и радиусом или шаровой -окрестностью точки

В случае n= 2 имеем

Это внутренность круга с центром в точке радиуса (круг без ограничивающей его окружности; рис. 1). Для n= 3 имеем Это шар радиуса с центром в точке (шар без ограничивающей его сферы; рис. 2).

Наряду с шаровыми окрестностями рассматривают прямоугольные окрестности точки Это совокупность всех точек таких, что

В случае n= 1 имеем обычную -окрестность точки хо на числовой прямой. При n= 2 это прямоугольник со сторонами длины (без границы, рис. 3). Для n= 3 это (Открытый) параллелепипед с центром в точке ребра которого имеют длины (рис. 4).

Определение:

Пусть множество Точка называется внутренней точкой множества Е, если существует такое, что точка М содержится в множестве Е вместе со своей -окрестностью.

Если все точки множества Е внутренние для Е, то множество Е называется открытым множеством. Так, в случае n= 2 любой круг без ограничивающей его окружности является примером открытого множества. ,

Определение:

Точка называется граничной точкой множества если в любой окрестности точки Р существуют точки, как принадлежащие множеству Е, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничны точек множества Е называется его границей и обозначается

Если к множеству Е присоединить его границу, то получим замкнутое множество

Примером замкнутого множества может служить круг вместе с ограничивающей его окружностью.

Определение:

Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой (в частности, ломаной), всеми своими точками содержащейся в множестве Е (рис. 5).

Определение:

Открытое связное множество называется областью.

Область называется ограниченной, если существует шар (круг), содержащий эту область.

Всякую область, содержащую данную точку будем называть окрестностью точки (просто окрестностью, в отличие от -окрестности).

Понятие функции нескольких переменных

Если каждой точке множества Е точек n-мерного евклидова пространства по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число то говорят, что на множестве Е определена функция точки М или функция n переменных и пишут

Множество Е называется областью определения функции

При изучении функций нескольких переменных мы, как правило, будем ограничиваться рассмотрением функций двух переменных так как обычно бывает ясно, как перенести выводы, сделанные для функции двух переменных, на функции большего числа переменных.

‘ Если функция задана одним аналитически^ выражением, причем область определении функции заранее не указана, то в качество области определения принимают совокупной всех тех точек которых данное аналитическое выражение имеет конечное действительное значение (естественная область определения). Так, для функции

область определения — вся плоскость хОу, для функции

область определения — замкнутый круг

Пусть функция определена в некоторой области Е на плоскости хОу. Тогда каждой точке будет отвечать точка трехмерного пространства. Множество всех таких точек где точка называется графиком функции Например, график функции

— параболоид вращения (рис. 6).

Для изучения характера изменения функции пользуются линиями уровня. Линией уровня называется множество точек на плоскости хОу, в которых функция принимает данное постоянное значение Эту линию можно также получить, пересекая график функции плоскостью z = с, параллельной плоскости хОу, и проектируя линию пересечения ортогонально на плоскость хОу. Система линий уровня позволяет судить о ходе изменения функции. Там, где линии уровня расположены густо, функция изменяется быстро, а где линии уровня расположены редко, функция изменяется медленно. Для функции.

линии уровня — концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 7; здесь шаг h= 1).

Этот прием изучения функции может быть распространен и на функции трех независимых переменных. Вместо линий уровня тогда возникают поверхности уровня — множество точек пространства, в которых функция принимает данное постоянное значение. Например, для функции

поверхности уровня — концентрические сферы с центром в начале координат.

Предел функции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке если для любого числа существует число такое, что для всех точек отличных от точки и удовлетворяющих условию верно неравенство

Обозначения:

Предполагается, что точка М может стремиться к точке по любому закону, по любому направлению, и все соответствующие предельные значения существуют и равны числу А.

Примеры:

1.Рассмотрим функцию

Она определена на всей плоскости хОу, причем Покажем, что предел этой функции е точке O(0,0) равен нулю. Возьмем любое Тогда условие запишется так: или

Замечая, что точка с координатами (х, у), последнему неравенству можно придать вид или

Если взять то для любой точки М(х,у), для которой будем иметь или

(рис. 8). Согласно определению это означает, что число А=0 есть предел данной функции в точке О(0,0).

2.Рассмотрим функцию

Этим заданием она определена всюду, исключая точку О(0,0). Рассмотрим поведение функции на различных лучах Имеем

откуда

так что при разных k мы получаем различные предельные значения. Следовательно, данная функция в точке O(0,0) предела не имеет.

3.Пусть

Эта формула задает функцию во всех точках плоскости хОу, кроме начала координат O(0,0). Исследуем поведение функции на различных лучах Имеем

так что

т.е. предел функции по любому направлению существует и равен нулю. Если же то

и, значит, предел вдоль параболы существует, но равен Таким образом, данная функция в точке O(0,0) предела не имеет.

Теорема:

Если функции имеют предел в точке то в точке существуют пределы суммы разности произведения и частного (последнее при дополнительном условии, что причем

Замечание:

Удобным бывает следующее определение предела функции в точке (эквивалентное определению 1).

Определение:

Пусть функция определена в некоторой «проколотой» окрестности точки (т. е. окрестности, из которой удалена точка ). Число А называется пределом функции в точке если для любой последовательности точек сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Замечание:

Рассмотренное выше понятие предела предполагает одновременное стремление всех аргументов к их предельным значениям:

Для функций многие переменных приходится иметь дело и с пределами другого рода, получаемыми в результате ряда последовательных предельных переходов в том или ином порядке. Такие пределы называются повторными. Они составляют специфику функций многих переменных. Рассмотрим, например, функцию

определенную этой формулой всюду, кроме точки О (0,0). При постоянном имеем

при постоянном получаем

Стало быть, для этой функции

и результат зависит от порядка предельных переходов.

Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки

Определение. Функция называется непрерывной в точке если

или, что то же,

Предполагается, что точка может стремиться к точке произвольным образом, но все время оставаясь в области определения функции На языке непрерывность функции в точке выражается так: функция непрерывна в точке если для всякого существует такое, что для всех точек таких, что выполняется неравенство

Определению непрерывности функции в точке можно придать еще следующую форму. Если обозначить через приращения независимых переменных х и у при переходе от точки к точке а через

обозначить соответствующее полное приращение функции то равенство

будет равносильно равенству

выражающему условие непрерывности функции в точке Величины могут стремиться здесь к нулю произвольным образом, независимо друг от друга.

Понятие непрерывности функции, введенное выше, называется непрерывностью по совокупности переменных х, у. Из этого определения следует, что ес и функция непрерывна в точке то она непрерывна в этой точке по каждой из беременных х и у. Напротив, из непрерывности функции в точке по каждой из переменных х, у не вытекает непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например, функцию

По заданию функции имеем так что

Поэтому функция непрерывна по х при х =0. Аналогично функция непрерывна по у при у = 0, так как для всякого у, и потому

Однако данная функция в точке О(0,0) разрывна. В самом деле, пусть у = х. Тогда

Это не удивительно. Говоря о непрерывности по х и по у в отдельности, мы учитываем лишь приближения к точке О(0, 0) по оси Ох или по оси Оу, оставляя в стороне бесконечное множество других способов приближения.

Теорема:

Сумма, разность и произведение функций непрерывных в точке есть функция непрерывная в точке Частное непрерывных в точке функций непрерывно в точке если

Если функция непрерывна в каждой точке области D, то она называется непрерывной в области D. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции могут быть изолированными и могут заполнять целые линии. Так, функция

имеет единственную точку разрыва О(0,0); точки разрыва функции

заполняют прямые

Теорема:

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области то
1) ограничена в 2) принимает в наибольшее и наименьшее значения.

§ 5. Частные производные

Пусть функция определена в некоторой области D на плоскости хОу. Возьмем внутреннюю точку (х, у) из области D и дадим х приращение такое, чтобы точка (рис. 9). Величину

назовем частным приращением функции z по х. Составим отношение Для данной точки (х,у) это отношение является функцией от

Определение:

Если при отношение имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции по независимой переменной х в точке (х, у) и обозначается символом

Таким образом, по определению

или, что то же самое,

Аналогично

Если — функция n независимых переменных, то

Заметив, что вычисляется при неизменном значении переменной — при неизменном значении переменной х, определения частных производных можно сформулировать так:

частной производной по х функции называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у — постоянная;

частной производной по у функции называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х — постоянная.

Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, доказанными для функции одной переменной.

Пример:

Найти частные производные функции

Имеем

Замечание:

Из существования у функции в данной точке частных производных по всем аргументам не вытекает непрерывности функции в этой точке. Так, функция

не является непрерывной в точке О(0,0). Однако в этой точке указанная функция имеет частные производные по х и по у. Это следует из того, что и поэтому

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Пусть в трехмерном пространстве поверхность S задана уравнением

где — функция, непрерывная в некоторой области D и имеющая там частные производные по х и по у. Выясним геометрический смысл этих производных в точке которой на поверхности соответствует точка

При нахождении частной производной в точке мы полагаем, что z является только функцией аргумента х, тогда как аргумент у сохраняет постоянное значение т.е.

Функция геометрически изображается кривой L, по которой поверхность S пересекается плоскостью В силу геометрического смысла производной функции одной переменной

где — угол, образованный касательной к линии L в точке с осью Ох (рис. 10). Но

так что

Таким образом, частная производная равна тангенсу угла а между осью Ох и касательной в точке к кривой, полученной в сечении поверхности плоскостью

Аналогично получаем, что

Дифференцируемость функции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой области D на плоскости хОу. Возьмем точку и выбранным значениям х и у дадим любые приращения но такие, чтобы точка

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке если полное приращение

этой функции, отвечающее приращениям аргументов, можно представить в виде

где А и В не зависят от (но вообще зависят от х и у), а стремятся к нулю при стремлении к нулю

Если функция дифференцируема в точке (x, у), то часть приращения функции, линейная относительно называется полным дифференциалом этой функции в точке (х, у) и обозначается символом dz:

Таним образом,

Пример:

Пусть Во всякой точке (х,у) и для любых имеем

Здесь так что стремятся к нулю при стремлении к нулю Согласно определению, данная функция дифференцируема в любой точке плоскости хОу. При этом

Заметим, что в наших рассуждениях не был формально исключен тот случай, когда приращения порознь или даже оба сразу равны нулю.

Формулу (1) можно записать более компактно, если ввести выражение

(расстояние между точками Пользуясь им, можем написать

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через будем иметь

где зависит от и стремится к нулю, если или, короче, если

Формулу (1), выражающую условие дифференцируемости функции в точке можно теперь записать в виде

где Так, в приведенном выше примере так что тут

6.1. Необходимые условия дифференцируемости функции

Теорема:

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

Если в точке (х, у) функция дифференцируема, то полное приращение функции я в этой точке, отвечающее приращениям аргументов, можно представить в виде

(величины А, В для данной точки постоянны; откуда следует, что

Последнее означает, что в точке (х, у) функция непрерывна.

Теорема:

Если функция дифференцируема в данной точке, то она имеет в этой точке частные производные

Пусть функция дифференцируемаjs точки (x, у). Тогда приращение этой функции, отвечающее приращениям аргументов, можно представить в виде (1). Взяв в равенстве (1) получим

откуда

Так как в правой части последнего равенства величина А не зависит от а то

Это означает, что в точке (х, у) существует частная производная функции по х, причем

Подобными же рассуждениями убеждаемся в том что в точке (x,y) существует частная производная функции причем

Из теоремы следует, что

Подчеркнем, что теорема 5 утверждает существование частных производных только в точке (х, у), но ничего не говорит о непрерывности их в этой точке, а также об их поведении в окрестности точки (х, у).

Достаточные условия дифференцируемое функций нескольких переменных

Как известно, необходимым и достаточным условием дифференцируемое функции одной переменной в точке является существование конечной производной в точке В случае, когда функция зависит от нескольких переменных, дело обстоит значительно сложнее: необходимых и достаточных условий дифференцируемости нет уже для функции двух независимых переменных х, у; есть лишь отдельно необходимые условия (см. выше) и отдельно — достаточные. Эти достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных выражаются следующей теоремой. ,

Теорема:

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и если эти производные непрерывны в самой точке то функция дифференцируема в точке

Пример:

Рассмотрим функцию

Она определена всюду. Исходя из определения частных производных, имеем

Для исследования дифференцируемости данной функции в точке О(0,0) найдем ее приращение в этой точке

Так как то

Для дифференцируем ости функции в точке О(0,0) необходимо, чтобы функция была бесконечно малой при Положим Тогда из формулы (1) будем иметь

Поэтому функция не дифференцируема в точке О(0,0), хотя и имеет в этой точке производные Полученный результат объясняется тем, что производные разрывны точке О(0,0).

Полный дифференциал. Частные дифференциалы

Если функция дифференцируема, то ее полный дифференциал dz равен

Замечая, что запишем формулу (1) в следующем виде

Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, положив дифференциалы независимых переменных равными их приращениям:

После этого формула полного дифференциала функции примет вид

Пусть Тогда

Аналогично, если есть дифференцируемая функция n независимых переменных, то

Выражение

называется частным дифференциалом функции по переменной х; выражение

называется частным дифференциалом функции по переменной у.

Из формул (3), (4) и (5) следует, что полный дифференциал функции является суммой ее частных дифференциалов:

Отметим, что полное приращение функции вообще говоря, не равно сумме частных приращений.

Если в точке (х, у) функция дифференцируема и дифференциал в этой точке, то ее полное приращение

отличается от своей линейной части

только на сумму последних слагаемых которые при являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем слагаемые линейной части. Поэтому при линейную часть приращения дифференцируемой функции называют главной частью приращения функции и пользуются приближенной формулой

которая будет тем более точной, чем меньшими по абсолютной величине будут приращения аргументов.

Производные сложной функции

1.Пусть функция

определена в некоторой области D на плоскости хОу, причем каждая из переменных х, у в свою очередь является функцией аргумента t:

Будем предполагать, что при изменении t в интервале соответствующие точки (х, у) не выходят за пределы области D. Если подставить значения в функцию то получим сложную функцию

одной переменной t.

Теорема:

Если в точке t существуют производные

и при соответствующих значениях функция дифференцируема, то сложная функция в точке t имеет производную причем

Дадим t приращение Тогда x и у получат некоторые приращения В результате этого при функция z также получит некоторое приращение которое в силу дифференцируемости функции в точке (х, у) может быть представлено в виде

где стремятся к нулю при стремлении к нулю До определим положив Тогда будут непрерывны при

Рассмотрим отношение Имеем

В каждом слагаемом в правой части (2) оба сомножителя имеют пределы при действительно, частные производные для данной точки (х,у) являются постоянными, по условию существуют пределы

из существования производных и в точке t следует непрерывность в этой точке функций поэтому при стремятся к нулю и что в свою очередь влечет за собой стремление к нулю

Таким образом, правая часть равенства (2) при имеет предел, равный

Значит, существует при и предел левой части (2), т. е. существует

равный Перехода в равенстве (2) к пределу при получаем требуемую формулу

Пример:

Пусть

Тогда в силу (3)

В частном случае, когда

и, следовательно, z является сложной функцией от х,

получаем

В формуле (5) есть частная производная функции при вычислении которой в выражении аргумент у принимается за постоянную. А есть полная производная функции z по независимой переменной х, при вычислении которой у в выражении уже не принимается за постоянную, а считается в свою очередь функцией от и поэтому зависимость z от х учитывается полностью.

Пример:

Найти если

2. Рассмотрим теперь дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Пусть

где в свою очередь

так что

Предположим, что в точке существуют непрерывные частные производные соответствующей точке (х,у), где Функция дифференцируема. Покажем, что при этих условиях сложная функция в точке имеет производные и найдем выражения для этих производных. Заметим, что этот случай от уже изученного существенно не отличается. Действительно, при дифференцировании вторая независимая переменная принимается за постоянную, вследствие чего х и у при этой операции становятся функциями одной переменной и вопрос о производной решается совершенно так же, как вопрос о производной при выводе формулы (3).

Используя формулу (3) и формально заменяя в ней производные на производные соответственно, получим

Аналогично находим

Пример:

Найти частные производные функции

Если сложная функция задана формулами

так что

то при выполнении соответствующих условий имеем

В частном случае, когда

где

имеем

Здесь — полная .частная производная функции и по независимой переменной x, учитывающая полную зависимость в том числе и через — частная производная функции по х, при вычислении которой аргументы у и z принимаются за постоянные. То же относится к

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала

Если — дифференцируемая функция независимых переменных х и у, то ее полный дифференциал dz равен

где

Пусть теперь

где

Предположим, что в точке функции имеют непрерывные частные производные по и а в соответствующей точке (x, у) существуют и непрерывны частные производные вследствие чего функция дифференцируема в этой точке. При этих условиях функция

имеет в точке производные

Как видно из формул (2), непрерывны в точке Поэтому функция в точке дифференцируема, примем согласно формуле полного дифференциала для функции от независимых переменных имеем

Заменив в правой части равенства (3) их выражениями из формул (2), получим

или

Так как по условию функции в точке имеют непрерывные частные производные, то они в этой точке дифференцируемы и

Из соотношений (4) и (5) получаем, что

Сравнение формул (1) и (6) показывает, что полный дифференциал функции выражается формулой одного и тога же вида как в случае, когда аргументы х к у функции являются независимыми переменными, так и в случае, когда эти аргументы являются в свою очередь функциями от некоторых переменных. Таким образом, полный дифференциал функции нескольких переменных обладает свойством инвариантности формы.

Замечание:

Из инвариантности формы полного дифференциала следует если x и у являются дифференцируемыми функциями какого угодно конечного числа переменных

то остаются в силе формулы

легко получаемые для случая, когда х и у — независимые переменные.

Неявные функции

Пусть имеем уравнение

где есть функция двух переменных, заданная в некоторой области G на плоскости хОу. Если для каждого значения х из некоторого интервала существует ровно одно значение у, которое совместно с х удовлетворяет уравнению (1), то этим определяется функция для которой равенство

выполняется тождественно по х в указанном интервале. В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет величину у как неявную функцию х.

Иными словами, функция заданная уравнением не разрешенным относительно у, называется неявной функцией, она становится явной, если зависимость у от х задается непосредственно. Примеры.

1.Уравнение

определяет на всей оси Ох величину у как однозначную функцию x:

2.Уравнением

величина у определяется как однозначная функция х. Проиллюстрируем это утверждение. Уравнение

удовлетворяется парой значений Будем считать х параметром и рассмотрим функции z= у и Вопрос о том, существует ли для выбранного соответствующее единственное значение такое, что пара удовлетворяет уравнению (2), сводится к тому, пересекаются ли кривые в единственной точке. Построим их графики на плоскости zOy (рис.11). Кривая где х рассматривается как параметр, получается параллельным переносом вдоль оси Оz кривой Геометрически очевидно, что при всяком х кривые имеют единственную точку пересечения, ордината у которой является функцией от х, определяемой уравнением (2) неявно. Через элементарные функции эта зависимость не выражается.

3.Уравнение

ни при каких действительных х не определяет как действительную функцию аргумента х.

В таком же смысле можно говорить о неявных функциях нескольких переменных. Следующая теорема дает достаточные условия однозначной разрешимости уравнения

относительно у в некоторой окрестности заданной точки

Теорема:

Существование неявной функции.

Пусть выполнены следующие условия:

1) функция определена и непрерывна в некотором прямоугольнике центром в точке

2)в точке функция обращается в нуль,

3) в прямоугольнике D существуют и непрерывны частные производные

Тогда для любого достаточно малого положительного числа найдется окрестность точки хо такая, что в этой окрестности существует единственная непрерывная функция (рис. 12),

которая принимает значение при удовлетворяет условию и обращает уравнение (1) в тождество:

Эта функция непрерывно дифференцируема в окрестности точки причем

Выведем формулу (3) для производной неявной функции, считая существование этой производной доказанным.

Пусть — неявная дифференцируемая функция, определяемая уравнением (1). Тогда в интервале имеет место тождество

вследствие чего в этом интервале

Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем

Отсюда при получаем, что

и, значит,

Пример:

Найти от функции определяемой уравнением

В данном случае

Отсюда в силу формулы (3)

Замечание:

Теорема 8 дает условия для существования единственной неявной функции, график которой проходит через заданную точку достаточные, но не Необходимые. В самом деле, рассмотрим уравнение

Здесь

имеет непрерывные частные производные но

равна нулю в точке О(0,0). Тем не менее, данное уравнение имеет единственное решение

равное нулю при х = 0.

Задача:

Пусть дано уравнение

и пусть

— однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (1 ).

1) Сколько однозначных функций (2′) удовлетворяет уравнению (1′)?

2) Сколько однозначных непрерывных функций удовлетворяет уравнению (1′)?

3) Сколько однозначных дифференцируемых функций удовлетворяет уравнению (1 )?

4) Сколько однозначных непрерывных функций удовлетворяет уравнению (1′), если достаточно мало?

Теорема существования, аналогичная теореме 8, имеет место и в случае неявной функции двух переменных, определяемой уравнением

Теорема:

Пусть выполнены следующие условия:

1) функция определена и непрерывна в области D :

2)

3) в области D существуют и непрерывны частные производные

4)

Тогда для любого достаточно малого найдется окрестность точки в которой существует единственная непрерывная функция принимающая значение удовлетворяющая условию и обращающая уравнение (4) в тождество:

При этом функция в области имеет непрерывные частные производные

Найдем выражения для этих производных. Пусть уравнение

определяет z как однозначную и дифференцируемую функцию независимых переменных х и у. Если в это уравнение вместо z подставить функцию то получим тождество

Следовательно, полные частные производные по x и по у функции где также дол;ны быть равны нулю. Дифференцируя, найдем

откуда

Эти формулы дают выражения для частных производных неявной функции двухнеза-висимых переменных. ►

Пример:

Найти частные производные от функции z(x, у), заданной уравнением

Имеем

откуда

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Предварительные сведения

Пусть имеем поверхность S, заданную уравнением

Определение:

Точка поверхности (1) называется обыкновенной точкой этой поверхности, если в точке М все три производные

существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля.

Если в точке поверхности (1) все три производные

равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности.

Пример:

Рассмотрим круговой конус

(рис. 13). Здесь

так что

Единственной особой точкой является начало координат О(0,0,0): а этой точке все частные производные

одновременно обращаются в нуль.

Рассмотрим пространственную кривую L, заданную параметрическими уравнениями

Пусть функции имеют непрерывные производные в интервале Исключим из рассмотрения особые точки кривой, в которых

Пусть — обыкновенная точка кривой L, определяемая значением параметра Тогда

— вектор касательной к кривой L в точке

Касательная плоскость поверхности

Пусть поверхность S задана уравнением

Возьмем на поверхности S обыкновенную точку Р и проведем через нее некоторую кривую L, лежащую на поверхности и задаваемую параметрическими уравнениями

Предположим, что функции имеют непрерывные производные, нигде на не обращающиеся одновременно в нуль. По определению, касательная кривой L в точке Р называется касательной к поверхности S в этой точке.

Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то, поскольку кривая L лежит на поверхности S, уравнение (1) обратится в тождество относительно t:

Дифференцируя это тождество по t, по правилу дифференцирования сложной функции получим

Выражение в левой части (3) является скалярным произведением двух векторов:

и

В точке P вектор направлен по касательной к кривой L в этой точке (рис. 14). Что касается вектора n, то он зависит только от координат этой точки и вида функции и не зависит от вида кривой, проходящей через точку Р. Так как Р — обыкновенная точка поверхности s, то длина вектора n отлична от нуля,

То, что скалярное произведение

означает, что вектор касательный к кривой L в точке Р, перпендикулярен вектору n в этой точке (рис. 14). Эти рассуждения сохраняют свою силу для любой кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности S. Следовательно, любая касательная прямая к поверхности S в точке Р перпендикулярна вектору n, и, значит, все эти прямые лежат в одной плоскости, тоже перпендикулярной вектору n.

Определение:

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к поверхности S, проходящие через данную обыкновенную точку называется касательной плоскостью поверхности в точке Р (рис. 15).

Вектор

есть нормальный вектор касательной плоскости к поверхности в точке Р. Отсюда сразу получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в обыкновенной точке этой поверхности:

Если поверхность S задана уравнением

то, записав это уравнение в виде

получим

и уравнение касательной плоскости в точке будет выглядеть так

Геометрический смысл полного дифференциала

Если в формуле (7) положить то она примет вид

Правая часть (8) представляет собой полный дифференциал функции в точке на плоскости хОу, так что

Таким образом, полный дифференциал функции двух независимых переменных x и у в точке отвечающий приращениям переменных х и у, равен приращению аппликаты z точки касательной плоскости поверхности S в точке при переходе от точки к точке

Нормаль к поверхности

Определение:

Прямая, проходящая через точку поверхности

перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке называется нормалью к поверхности в точке

Вектор

является направляющим вектором нормали, а ее уравнения имеют вид

Если поверхность S задана уравнением то уравнения нормали в точке выглядят так:

Пример:

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке O(0,0,0).

Здесь

так что

В точке (0,0) эти производные равны нулю:

и уравнение касательной плоскости в точке O(0,0,0) принимает следующий вид:

т.е. x=0 (плоскость хОу). Уравнения нормали:

или

Производные высших порядков

Пусть функция имеет частные производные в каждой точке х области D. Тогда эти производные

будут функциями от x и у в области D, которые в свою очередь в точках области D (во всех или в некоторых) могут иметь частные производные. Эти частные производные от (если они существуют) называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка функции Для функции двух независимых переменных х, у получаем четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются так:

Производные называются смешанными: одна из них получается дифференцированием функции сначала по х, затем по у; другая, наоборот, дифференцированием сначала по у, затем по х.

Аналогично определяются частные производные 3-го и т. д. порядков.

Пример:

Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от функции

Обратим внимание на то, что смешанные производные оказались тождественно равными. Это не случайно. Имеет место следующая теорема.

Теорема:

О равенстве смешанных производных. Пусть для функции

в некоторой окрестности точки существуют производные и пусть, кроме того, производные в точке непрерывны. Тогда в точке эти производные равны,

Требование непрерывности производных в точке существенно. Так, для функции

смешанные производные разрывны в точке О(0,0), и для этой функции имеем Верен и более общий факт:

если для функции какие-либо смешанные производные порядка отличаются между собой только порядком дифференцирования и непрерывны в некоторой точке, то они в этой точке имеют одно и то же значение.

Дифференциалы высших порядков

Пусть в области D задана функция независимых переменных! и у. Если эта функция дифференцируема в области D, то ее полный дифференциал в точке соответствующий приращениям dx и dy независимых переменных х, у, выражается формулой

(здесь — произвольные приращения независимых переменных, т. е. произвольные числа, не зависящие от х и у). Поэтому мы можем изменять x и у, оставляя dx и dy постоянными. При фиксированных dx и dy полный дифференциал dz есть функция от х и у, которая в свою очередь может оказаться дифференцируемой.

Определение:

Полный дифференциал от dz в точке (х, у), соответствующий приращениям независимых переменных, равным прежним dx и dy, называется дифференциалом второго порядка функции и обозначается символом

Пусть функция т.е. имеет в области D непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда полный дифференциал dz этой функции будет дифференцируемым, т. е. будет существовать Пользуясь известными правилами дифференцирования и помня, что dz и dy — постоянные, получим

По формуле полного дифференциала, примененной к имеем

Поэтому из формулы (2) следует

Так как

в силу непрерывности этих смешанных производных, то для получаем формулу

Здесь

С помощью формального символа формулу (3) записывают условным равенством

Здесь символы рассматриваются как «множители» и формула квадрата суммы с последующим условным умножением на z приводит к нужному результату. Именно, запишем

«Умножим» обе части полученного выражения почленно на z, поместив множитель z в «числители» дробей, стоящих в правой части. Получим

что совпадает с формулой (3).

Подобным же образом вводятся понятия дифференциалов 3-го, 4-го и т. д. порядков. Вообще, полный дифференциал n-го порядка есть полный дифференциал от полного дифференциала (n — 1) -го порядка:

Если функция то у нее существует дифференциал n-го порядка. Этот дифференциал выражается формулой следующего вида

Для функции независимых переменных при выполнении соответствующих условий получаем

Замечание:

Если x и у не являются независимыми переменными, а суть функции от то, как и в случае функции одной переменной, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

В самом деле, пусть

Тогда первый дифференциал может быть записан в прежнем виде

но теперь dx и dy сами есть функции и могут не быть постоянными. Поэтому

так что инвариантность формы вообще не имеет места.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Пусть функция имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно во всех точках (х,у) некоторой -окрестности точки и пусть точка принадлежит этой окрестности (рис. 16). Положим

где — новая независимая переменная. Тогда

так что величина z оказывается сложной функцией от t, определенной на отрезке [0,1] и имеющей там производные до порядка п включительно. Поэтому можно представить формулой Тейлора по степеням t:

Полагая t = 1, получим

Выразим величины в правой части формулы (2) при помощи исходной функции и ее производных. Заметим, что аргументы х и у функции являются функциями от t, но имеют постоянные дифференциалы фиксированные числа). Поэтому для вычисления последовательных дифференциалов функции применима формула

откуда

При t = 0 в силу соотношений (1) имеем и формула (3) принимает вид

При получаем

Заметим еще, что

Подставляя выражения (4), (5) и (6) в равенство (2), получим, что

Это — формула Тейлора для функции двух переменных, а

— остаточный член этой формулы в форме Лагранжа.

Приведем сокращенную форму записи формулы Тейлора. Перенося первое слагаемое правой часта формулы (7) в левую часть и обозначая разность через получаем, что

Формулой (8) пользуются для приближенного вычисления приращения функции в точке

При достаточно малых по модулю значениях и при за приращение функции приближенно можно принять дифференциал Это означает, что в правой части формулы Тейлора (8) берется только одно первое слагаемое. Если приближенное равенство не дает требуемой точности, то для повышения точности можно воспользоваться дальнейшими членами формулы Тейлора (8).

Пример:

Разложить функцию

по формуле Маклорена с остаточным членом 3-го порядке.

Формула Тейлора (7) с остаточным членом имеет вид

Формула Маклорена получается из нее, если положить

В данном случае

Таким образом, формула Маклорена (*) принимает вид

Замечание:

Нетрудно заметить, что формулу Маклорена можно записать так:

где однородный многочлен k-ой степени относительно х, у.

Экстремум функции нескольких переменных

Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Пусть функция определена в некоторой области D и пусть — внутренняя точка этой области.

Определение:

Если существует такое число что для всех удовлетворяющих условиям верно неравенство

то точка называется точкой локального максимума функции если же для всех удовлетворяющих условиям

то точка называется точкой локального минимума.

Иными словами, точка есть точка максимума или минимума функции если существует -окрестность точки такая, что во всех точках М(х, у) этой окрестности приращение функции

сохраняет знак.

Примеры:

1.Для функции

точка О(0, 0) — точка минимума (рис. 17).

2.Для функции

точка О(0,0) является точкой максимума (рис. 18).

3.Для функции

точка О(0,0) является точкой локального максимума.

В самом деле, существует окрестность точки О(0, 0), например,
круг радиуса (см. рис. 19), во всякой точке которого, отличной от точки О(0,0), значение функции меньше

Мы будем рассматривать только точки строгого максимума и минимума функций, когда строгое неравенство или строгое неравенство выполняется для всех точек М(х, у) из некоторой проколотой -окрестности точки

Значение функции в точке максимума называется максимумом, а значение функции в точке минимума — минимумом этой функции. Точки максимума и точки минимума функции называются точками экстремума функции, а сами максимумы и минимумы функции — ее экстремумами.

Теорема:

Необходимое условие экстремуме. Если функция

имеет экстремум в точке то в этой точке каждая частная производная и либо обращается в нуль, либо не существует.

Пусть в точке функция имеет экстремум. Дадим переменной у значение Тогда функция будет функцией одной переменной х;

Так как при она имеет экстремум (максимум или минимум, рис. 20), то ее производная по х при т.е. или равна нулю либо не существует. Аналогично убеждаемся в том, что или равна нулю, или не существует.

Точки, в которых либо не существуют, называются критическими точками функции Точки, в которых называются также стационарными точками функции.

Теорема 11 выражает лишь необходимые условия экстремума, не являющиеся достаточными.

Пример:

Функция

имеет производные

которые обращаются а нуль при х = у = 0. Но эта функция а точке О(0, 0) не имеет экстремума.

Действительно, функция

равна нулю в точке О(0,0) и принимает в точках М(х, у), как угодно близких к точке О(0,0), как положительные, так и отрицательные значения. Для нее

так что

при сколь угодно малых

Точку О(0,0) указанного типа называют точкой минимакса (рис. 21).

Достаточные условия экстремума функции двух переменных выражаются следующей теоремой.

Теорема:

Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Пусть точка является стационарной точкой функции

и в некоторой окрестности точки включая саму точку функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда :

1) в точке функция имеет максимум, если в этой точке определитель

2) в точке функция имеет минимум, если

и

3) в точке функция не имеет экстремума, если

Если же

то в точке экстремум функции может быть, а может и не быть. В этом случае требуется дальнейшее исследование.

Ограничимся доказательством утверждений 1) и 2) теоремы. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции

где По условию так что

откуда видно, что знак приращения определяется знаком трехчлена в правой части (1), т. е. знаком второго,дифференциала Обозначим для краткости

Тогда равенство (1) можно записать так:

Пусть в точке имеем

т. е.

Так как по условию частные производные второго порядка от функции непрерывны, то неравенство (3) будет иметь место и в некоторой окрестности точки

Если выполнено условие (3), то в точке и в силу непрерывности производная будет сохранять знак в некоторой окрестности точки В области, где имеем

Отсюда видно, что если в некоторой окрестности точки то знак трехчлена совпадает со знаком А в точке (а также и со знаком С, поскольку при А и С не могут иметь разные знаки).

Так как знак суммы в точке определяет знак разности

то мы приходим к следующему выводу: если для функции в стационарной точке выполнено условие то для достаточно малых будет выполняться неравенство

Тем самым, в точке функция имеет максимум.

Если же в стационарной точке выполнено условие то для всех достаточно малых

верно неравенство

и, значит, в точке функция имеет минимум.

Примеры:

1, Исследовать на экстремум функцию

Пользуясь необходимыми условиями экстремума, разыскиваем стационарные точки функции. Для этого находим частные производные и приравниваем их нулю. Получаем систему уравнений

х = 1, у = -1, так что — стационарная точка. Воспользуемся теперь теоремой 12.

Имеем:

так что

Значит, в точке экстремум есть. Поскольку то это — минимум.

Если преобразовать функцию z к виду

то нетрудно заметить, что правая часть (*) будет минимальной, когда х = 1, у = -1. Это — абсолютный минимум данной функции. ►

2.Исследовать на экстремум функцию ,

Находим стационарные точки функции, для чего составляем систему уравнений

Отсюда х = у = 0, так что точка — стационарная. Так как

то

и в силу теоремы 12 в точке экстремума нет.

3. Исследовать на экстремум функцию

Находим стационарные точки функции. Из системы уравнений

получаем, что х = у = 0, так что стационарной является точка Далее имеем

так что

и теорема 12 не дает ответа на вопрос о наличии или отсутствии экстремума. Поступим поэтому так. Для функции

во всех точках М(х, у), отличных от точки A

так что, по определению, в точке функция z имеет абсолютный минимум. Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что функция

имеет в точке О(0,0) максимум, а функция

в точке О(0,0) экстремума не имеет,

Пусть функция n независимых переменных

дифференцируема в точке Точка называется стационарной точкой функции если

Теореме:

Достаточные условии экстремуме. Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки которая является стационарной точкой функции Тогда, если квадратичная форма (второй дифференциал функции в точке

является положительно определенной (отрицательно определенной), то точкой минимума (соответственно, точкой максимума) функции является точка Если же квадратичная форма (4) является знакопеременной, то в точке экстремума нет.

Для того чтобы установить, будет ли квадратичная форма (4) положительно или отрицательно определенной, можно воспользоваться, например, критерием Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

Условный экстремум

До сих пор мы занимались отысканием локальных экстремумов функции во всей области ее определения, когда аргументы функции не связаны никакими дополнительными условиями. Такие экстремумы называются безусловными. Однако часто встречаются задачи на отыскание так называемых условных экстремумов.

Пусть функция определена в области D. Допустим, что в этой области задана кривая L, и нужно найти экстремумы функции только среди тех ее значений, которые соответствуют точкам кривой L. Также экстремумы называют условными экстремумами функции на кривой L

Определение. Говорят, что в точке лежащей на кривой L, функция имеет условный максимум (минимум), если неравенство

(соответственно

выполняется во всех точках М(х, у) кривой L, принадлежащих некоторой окрестности точки и отличных от точки (рис. 22).

Если кривая L задана уравнением то задача о нахождении условного экстремума функции на кривой L может быть сформулирована так: найти экстремумы функции в области D при условии, что

Таким образом, при нахождении условных экстремумов функции аргументы х и у уже нельзя рассматривать как независимые переменные: они связаны между собой соотношением которое называют уравнением связи.

Чтобы пояснить различие межд у безусловным и условным экстремумом, рассмотрим такой пример, безусловный максимум функции

(рис. 23) равен единице и достигается в точке (0,0). Ему соответствует точки М — вершина параболоида, Присоединим уравнение связи Тогда условный максимум будет, очевидно, равен Он достигается а точке и ему отвечает вершине параболы, являющейся линией пересечения параболоида с плоскостью В случае безусловного максимума мы имеем максимальную аппликату среди всех аппликат поверхности случае условного — только среди аппликат точек параболоида, отвечающих точкам прямой на плоскости хОу.

Один из методов отыскания условного экстремума функции

при наличии связи

состоит в следующем.

Пусть уравнение связи определяет у как однозначную дифференцируемую функцию аргумента х:

Подставляя в функцию вместо у функцию получаем функцию одного аргумента

в которой условие связи уже учтено. Экстремум (безусловный) функции F(x) является искомым условным экстремумом.

Пример:

Найти экстремум функции

при условии

Из уравнения связи (2) находим у = 1-х. Подставляя это значение у в (1′), получим функцию одного аргумента х:

Исследуем ее на экстремум:

откуда — критическая точка; доставляет условный минимум функции z (рис.24).

Укажем другой способ решения задачи об условном экстремуме, называемый методом множителей Лагранжа.

Пусть есть точка условного экстремума функции

при наличии связи

Допустим, что уравнение связи определяет единственную непрерывно дифференцируемую функцию

в некоторой окрестности точки Считая, что

получаем, что производная по х от функции в точке должна быть равна нулю или, что равносильно этому, должен быть равен нулю дифференциал от f(x, у) в точке

Из уравнения связи имеем

Умножая последнее равенство на неопределенный пока числовой множитель и складывая почленно с равенством (4), будем иметь

Предположим, что значение множителя выбрано следующим образом:

(считаем, что Тогда в силу произвольности dx получим

Равенства (6) и (7) выражают необходимые условия безусловного экстремума в точке функции

которая называется функцией Лагранжа.

Таким образом, точка условного экстремума функции обязательно стационарная точка функции Лагранжа

где — некоторый числовой коэффициент. Отсюда получаем правило для отыскания условных экстремумов;

чтобы найти точки, которые могут быть точками у шовного экстремума функции при наличии связи

1)составляем функцию Лагранжа

2) приравнивая нулю производные этой функции и присоединяя к полученным уравнениям уравнение связи, получаем систему из трех уравнений

из которой находим значения и координаты х, у возможных точек экстремума.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

для рассматриваемой системы значений полученной из (8) при условии, что

Если то в точке функция имеет условный максимум; если — то условный минимум. В частности, если в стационарной точке определитель D для функции положителен,

то в точке имеется условный максимум функции если

и условный минимум функции если

Пример:

Вновь обратимся к условиям предыдущего примера; найти экстремум функции при условии, что х + у = 1.

Будем решать задачу методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид

Для отыскания стационарных точек составляем систему

Из первых даух уравнений системы получаем, что х = у. Затем из третьего уравнения системы (уравнения связи) находим, что — координаты точки возможного экстремума. При этом указывается, что Таким образом, функция Лагранжа

Для нее так что

и т. е. точка есть точка условного минимума функции при условии х + у= 1.

Отсутствие безусловного экстремума для функции Лагранжа F(x, у) еще не означает отсутствия условного экстремума для функции при наличии связи

Пример:

Найти экстремум функции z= xу при условии

Составляем функцию Лагранжа

и выписываем систему для определения и координат возможных точек экстремума:

Из первых двух уравнений получаем х + у = 0 и приходим к системе

откуда Таким образом, соответствующая функция Лагранжа имеет вид

В точке (0,0) функция F(x, у; 0) не имеет безусловного экстремума, однако условный экстремум функции z = ху, когда у = х, имеется. Действительно, в этом случае Отсюда видно, что в точке (0,0) есть условный минимум.

Метод множителей Лагранжа переносится на случай функций любого числа аргументов.

Пусть ищется экстремум функции

при наличии уравнений связи

где Составляем функцию Лагранжа

где — неопределенные постоянные множители. Приравнивая нулю все частные производные первого порядка от функции F и присоединяя к полученным уравнениям уравнения связи (9), получим систему п+ m уравнений, из которых определяем и координаты возможных точек условного экстремума. Вопрос о том, являются ли найденные по методу Лагранжа точки действительно точками условного экстремума зачастую может быть решен на основании соображений физического или геометрического характера.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций

Пусть требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции непрерывной в некоторой замкнутой ограниченной области По теореме 3 в этой области найдется точка в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка лежит внутри области D, то в ней функция имеет максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка содержится среди критических точек функции Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция может достигать и на границе области. Поэтому, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение, принимаемое функцией в ограниченной замкнутой области нужно найти все максимумы (минимумы) функции, достигаемые внутри этой области, а также наибольшее (наименьшее) значение функции на границе этой области. Наибольшее (наименьшее) из всех этих чисел и будет искомым наибольшим (наименьшим) значением функции в области Покажем, как это делается в случае дифференцируемой функции.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области

Находим критические точки функции внутри области D. Для этого составляем систему уравнений

Отвода получаем х = у = 0, так что точка О(0,0) — критическая точка функции Так как

то в этой точке и. значит, в точке О(0,0) функция имеет минимум, равный нулю.

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе Г области D. На части границы имеем

так что у = 0 — критическая точка, и так как то в этой точке функция имеет минимум, равный единице. На концах отрезка в точках (1,-1) и (1,1), имеем Пользуясь соображениями симметрии, те же результаты получаем для других частей границы

Окончательно получаем: наименьшее значение функции в области равно нулю и достигается оно во внутренней точке О(0, 0) области, а наибольшее значение этой функции, равное двум, достигается в четырех точках границы (рис.25).

Функции нескольких переменных с подробным объяснением и теорией

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Функции двух переменных

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Соответствие f, которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z = f(x ,y) или При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), a z — зависимой переменной (функцией).

Множество D= D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество

Функцию z = f(x;y), где можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х,у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается . Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции z= f (x,y) в точке обозначают и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке области D в системе координат Oxyz соответствует точка , где — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z = f(x; у).

Например, функция имеет областью определения круг и изображается верхней полусферой с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом R = 1 (см. рис. 204).

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х; у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется -окрестностью точки . Другими словами,-окрестность точки — это все внутренние точки круга с центром и радиусом (см. рис. 205).

Пусть функция z = f(х; у) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = f(x; у) при (или, что то же самое, при ), если для любого существует такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной по двум направлениям: справа и слева!)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число, найдется -окрестность точки что во всех ее точках М(х;у), отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности z = f(х; у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на .

Пример:

Найти предел

Решение:

Будем приближаться к O(0; 0) по прямой у =kх, где k— некоторое число. Тогда

Функция в точке O(0; 0) предела не имеет, т. к. при разных значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной (см. п. 17.3). Это означает, что справедливы утверждения: если функции определены на множестве D и имеют в точке этого множества пределы А и В соответственно, то и функции имеют в точке пределы, которые соответственно равны

Непрерывность функции двух переменных

Функция z = f(х; у) (или f(М)) называется непрерывной в точке , если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции z в точке , т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=f(x;y) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у = х.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z = f(x; у) в точке. Обозначим

Величины называются приращениями аргументов х и у, a — полным приращением функции f(x;y) в точке .
Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной (см. п. 19.4).

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной — см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие области.
Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.
Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.
Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Точка называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой области (см. рис. 206). Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается . Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной — -окрестность точки .

Теорема:

Если функция z = f(N) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое число R > 0, что для всех точек N в этой области выполняется неравенство б) имеет точки, в которых принимает наименьшее m и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и М. Теорема дается без доказательства.

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Частные производные первого порядка и их геометрический смысл

Пусть задана функция z =f(х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение , сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается

Итак,

Аналогично получаем частное приращение z по у.

Полное приращение функции z определяется равенством

Если существует предел

то он называется частной производной функции z = f(x; y) в точке М(х ; у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по x в точке обычно обозначают символами

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x; у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x; у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример:

Найти частные производные функции

Решение:

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Графиком функции z= f(x;у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что , где — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой в точке (см. рис. 207).

Аналогично,

Частные производные высших порядков

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков. Так,

и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример:

Найти частные производные второго порядка функции

Решение:

Так как

Оказалось, что

Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема Шварца:

Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для z = f(x;y) имеем:

Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой окрестности точки М(х; у). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z = f(x; у), линейная относительно , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

Выражения называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

Теорема:

Необходимое условие дифференцируемости функции. Если функция z = f(х;у) дифференцируема в точке М(x; у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и причем

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что Это означает,

что функция непрерывна в точке М. Положив в равенстве (44.1), получим: Отсюда находим Переходя к пределу при получим т. е. Таким образом, в точке М существует частная производная Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная

Равенство (44.1) можно записать в виде

где

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция не дифференцируема в точке (0; 0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:

или

где — частные дифференциалы функции z = f(x,y).

Теорема:

Достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z =f(х; у) имеет непрерывные частные производные в точке М(х; у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).

Примем теорему без доказательства.

Отметим, что для функции у= f(х) одной переменной существование производной f'(x) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемое™ в этой точке.

Чтобы функция z = f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Из определения дифференциала функции z = f(х; у) следует, что при достаточно малых имеет место приближенное равенство

Так как полное приращение равенство (44.6) можно переписать в следующем виде:

Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах.

Пример:

Вычислить приближенно

Решение:

Рассмотрим функцию . Тогда где Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя

Следовательно,

Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.

Дифференциалы высших порядков

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.

Пусть функция z = f(x; у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:

Отсюда: Символически это записывается так:

Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:

где

Методом математической индукции можно показать, что

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = f(x;y) являются независимыми.

Производная сложной функции. Полная производная

Пусть z = f(х; у) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной переменные х и у — промежуточные переменные.

Теорема:

Если z = f(x;y) — дифференцируемая в точке М(х; у) € D функция и х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции вычисляется по формуле

Дадим независимой переменной t приращение . Тогда функции х = x(t) и у = y(t) получат приращения соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение функции z.

Так как по условию функция z = f(х; у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде

где (см. п. 44.3). Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда в силу непрерывности функций х = х(t) и у = у(t) (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:

т.е.

или

Частный случай: z = f(x;y), где у =y(x), т. e. — сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f(x;y), где х = x(u,v), у = y(u;v). Тогда — сложная функция независимых переменных и и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , соответствующими частными производными

Аналогично получаем:

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (и и v).
Пример:

Найти если

Решение: Найдем (— самостоятельно), используя формулу

Упростим правую часть полученного равенства:

т.е.

Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z = f(x;y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть z = f(x; у), где х и у — независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид

(формула (44.5)).

Рассмотрим сложную функцию т.е. функцию , где и и v — независимые переменные. Тогда имеем:

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = x(u;v) и у = у (и; v). Следовательно, и в этом случае,

Дифференцирование неявной функции

Функция z = f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию f(х; у), получим тождество

Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

Замечания:

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение определяет функции определенные в круге определенную в полукруге и т. д., а уравнение не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x;y;z) и ее производные F'(x;у;z), определены и непрерывны в некоторой окрестности точки , причем то существует окрестность точки , в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z =f(х; у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки и такую, что

б) Неявная функция у =f(х) одной переменной задается уравнением F(x; у) = 0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Пример:

Найти частные производные функции z, заданной уравнением

Решение: Здесь

По формулам (44.12) имеем:

Пример:

Найти если неявная функция у = f(x) задана уравнением

Решение: Здесь

Следовательно,

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f(х; у) дифференцируема в точке некоторой области .

Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями (см. рис. 208).

Плоскость пересекает поверхность S по некоторой линии , уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z= f(x;y) вместо х числа . Точка принадлежит кривой .В силу дифференцируемости функции z в точке функция также является дифференцируемой в точке . Следовательно, в этой точке в плоскости к кривой может быть проведена касательная 1. Проводя аналогичные рассуждения для сечения , построим касательную к кривой в точке . Прямые определяют плоскость а, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке .

Составим ее уравнение. Так как плоскость а проходит через точку , то ее уравнение может быть записано в виде

которое можно переписать так:

(разделив уравнение на — С и обозначив )

Найдем

Уравнения касательных имеют вид

соответственно.

Касательная лежит в плоскости а, следовательно, координаты всех точек удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно , получим, что

Проводя аналогичные рассуждения для касательной , легко установить, что

Подставив значения в уравнение (45.1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см. с. 103), легко получить канонические уравнения нормали:

Если поверхность S задана уравнением F(x; у, z) = 0, то уравнения (45.2) и (45.3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:

(см. формулы (44.12)), примут соответственно вид

и

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример:

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к параболоиду вращения

Решение: Здесь

Пользуясь формулами (45.2) и (45.3) получаем уравнение касательной плоскости: или и уравнение нормали:

Экстремум функции двух переменных

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = f(x;y) определена в некоторой области D, точка

Точка называется точкой максимума функции z = f(x;y), если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки (х; у), отличной от, из этой окрестности выполняется неравенство

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x; у), отличных от из -окрестности точки выполняется неравенство:

На рисунке 209: — точка максимума, а — точка минимума функции z= f(x;y).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема:

Необходимые условия экстремума. Если в точке дифференцируемая функция z = f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например,. Тогда получим функцию одной переменной, которая имеет экстремум при Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), т. е.

Аналогично можно показать, что

Геометрически равенства означают, что в точке экстремума функции z = f(x; у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(x;y), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть (см. формулу (45.2)).

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0; 0) (см. рис. 210), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z =f(x;y) равны нулю, т. е. называется стационарной точкой функции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию Для нее точка O(0; 0) является критической (в ней обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки O(0; 0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема:

Достаточное условие экстремума. Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения

Обозначим

Тогда:

1) если , то функция f(x,y) в точке имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2) если , то функция f(x; у) в точке экстремума не имеет.

В случае экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Примем без доказательства.

Пример:

Найти экстремум функции

Решение:

Здесь

Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки

Находим частные производные второго порядка данной функции:

В точке имеем: А = -18, В = 36, С = -108, отсюда

т. е. .

Так как , то в точке функция имеет локальный максимум:

В точке и, значит, . Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке равно нулю: z(0; 0) = 0. Можно заметить, что Значит, в окрестности точки функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке функция экстремума не имеет.

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция z = f(x; у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего М и наименьшего m значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахожденья наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области функции z = f(x; у) состоит в следующем:0

Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x;у) на границах области;

Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями: (см. рис. 211).

Решение:

Здесь

1.Находим все критические точки:

Решением системы являются точки

Ни одна из найденных точек не принадлежит области .

2.Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 211).

На участке АВ:

Значения функции

На участке ВС:

Значения функции

На участке СЕ:

Значения функции

На участке АЕ:

Значения функции

3.Сравнивая полученные результаты, имеем:

Частные производные

Если каждому упорядоченному набору возможных значений аргументов по закону f поставлено в соответствие единственное число, то говорят, что задана функция n переменных

Для задания такой функции необходимо указать n-мерную область D возможных значений независимых переменных. Так, если то D — часть плоскости, а определяет некоторую поверхность в пространстве (рис 3.14). Проекция этой поверхности на плоскость ХОY и есть

область D. Если то D — некоторая объемная область и рассматривается как функция от точки в трехмерном пространстве. Физически, например, функцию можно интерпретировать как плотность вещества в объемной области D.

Для простоты и наглядности обычно подробно рассматриваются функции двух переменных. Полученные при этом свойства остаются верными и для функций произвольного числа переменных. Пусть задана некоторая функция двух переменных Зафиксируем один из аргументов, выбрав, например, Тогда получим функцию одной переменной функцию переменной х. Производная от такой функции по х есть предел

Если этот предел существует и конечен, то его значение-называется частной производной от функции по переменной х. Частная производная от по у определяется и обозначается аналогичным образом

Замечание. При вычислении частной производной от функции по х второй аргумент у выступает как величина постоянная. Если же вычисляется частная производная по у, то х принимается постоянной величиной.

Пример:

Вычислить частные производные от функции

В соответствии с определением имеем

Частная производная от тоже является функцией двух переменных и от нее вновь можно вычислять частные производные, которые называются вторыми частными производными для и так далее. Функция двух переменных имеет следующие вторые частные производные:

вторая производная от по х дважды

вторая производная от по у дважды

вторая смешанная производная от по х и по у

вторая смешанная производная от по у и по х

Для функций, имеющих непрерывные частные производные; второго порядка, смешанные производные второго порядка совпадают

Пример:

Вычислить вторые производные для функции

Решение. Применяя правила дифференцирования, получим

Пример:

Вычислить четвертую производную, причем одну по х и три по у для функции

Решение:

Производные от функций большего числа производных вычисляются по тем же правилам. Пусть имеем функцию четырех переменных x, y, z, t

Вычислим вторую смешанную производную по аргументам z и t

Полный дифференциал

Полным приращением функции называется разность возникшая при приращении двух ее аргументов. Приближенное значение приращения функции вычисляют при помощи полного дифференциала. Полным дифференциалом функции называется выражение

Для независимых переменных по определению Полное приращение функции двух переменных, вызванное при ращением ее аргументов, равно полному дифференциалу плюс бесконечно малая функция более высокого порядка малости чем приращения аргументов, т.е.

В этой связи на практике при небольших изменениях аргументов приращение функции заменяют на ее полный дифференциал.

Пример:

Найдем дифференциал функции

Решение:

следовательно

Пример:

Найдем для функции приращение и соответствующий полный дифференциал в точке

Решение:

Следовательно, разность (рассогласование) между составит 0,06.

Экстремум функции двух переменных

Функция двух переменных имеет экстремум в точке если у нее есть экстремумы отдельно по переменным х и у, следовательно, в точке экстремума обе частные производные должны обращаться в ноль Следовательно,

первый дифференциал в точке экстремума равен нулю.

Для функции многих переменных, как и для функции одной переменной, справедлива формула Тейлора (3.23)

В точке экстремума следовательно, знак второго дифференциала совпадает со знаком приращения функции. Точки, в которых первый дифференциал равен нулю, называются стационарными точками. Среди стационарных точек есть не только точки экстремумов, следовательно, нужны дополнительные условия, которые выделяют точки экстремумов среди стационарных точек. Такие условия должны обеспечивать постоянство знака второго дифференциала в окрестности стационарной точки, т.е. связывать между собой вторые производные. Стационарная точка будет точкой экстремума, если в этой точке для вторых производных выполняется соотношение

причем, если то стационарная точка будет точкой минимума, если то это точка максимума.

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Вычислим производные Стационарная точка

Вычислим вторые производные

Следовательно, так как

то в точке (0,0) есть экстремум, а так как то это минимум.

Как найти функции многих переменных — подробная инструкция

Выше было дано определение функциональной зависимости. Теперь обобщим это определение.

Будем рассматривать несколько переменных величин:

Определение:

Если каждой возможной совокупности числовых значений переменных х, у, z, t …. соответствуют определенные значения переменного w, то w называется зависимым переменным, или функцией от независимых переменных х, у, z, t…… или функцией многих переменных. Функция многих переменных обозначается так: w = f(x, у, z, …, t). Приведем примеры функций двух и трех переменных.

Пример:

Площадь S прямоугольного треугольника

выражается через его катеты х и у формулой . Поэтому площадь S есть функция двух независимых переменных.

Пример:

По закону Ома , где I — ток, V — напряжение, a R —сопротивление. Значит, ток I есть функция двух переменных: V и R.

Пример:

Сила F равна произведению массы на ускорение: F = та. Здесь опять сила есть функция двух переменных: т и а.

Пример:

Как известно, площадь косоугольного треугольника выражается через две его стороны и угол между ними следующим образом:

Поэтому площадь треугольника является функцией трех независимых переменных: а, b и.

Может случиться, что уравнение, которое связывает переменные величины, не разрешено относительно ни одной из них, тем не менее оно определяет функцию или функции. Например, уравнение

определяет функцию Уравнение

определяет функции

Определение:

Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно этой функции, называется неявной.

Иногда удается представить неявную функцию в явном виде. Например, если дана неявная функция, определенная уравнением

то решая уравнение, получим две явные функции:

и

Совокупность всех значений независимых переменных, для которых можно найти значения функции, называется областью существования функции.

Например, если задана функция

то область ее существования будет состоять из значений х и у, удовлетворяющих неравенству

Координаты в пространстве

Для того чтобы иметь возможность дать геометрическое истолкование функции двух переменных, введем в пространстве систему координат.

Возьмем три взаимно перпендикулярные и пересекающиеся в одной точке прямые и на каждой из них: 1) установим направление, 2) выберем единицу масштаба, 3) укажем начало отсчета. Обычно масштаб берется одинаковый по всем трем прямым, а за начало отсчета принимается точка пересечения данных прямых.

Совокупность трех взаимно перпендикулярных пересекающихся в одной точке прямых, на которых: 1) установлено направление, 2) введен масштаб и 3) выбрано начало отсчета, называется системой координат.

Каждую из этих прямых называют осью координат, одну из них—осью абсцисс или осью Ох, другую—осью ординат или осью Оу и третью — осью аппликат или осью Оz. Точку начала отсчета, общую для трех осей, называют началом координат и обозначают буквой О. Положительное направление осей указано на рис. 99.

Пусть Р—произвольная точка пространства. Опустим из нее перпендикуляры на оси координат и назовем проекцию точки на ось Ох буквой А, на ось Оу—буквой В и на ось Оz—буквой С (рис. 99).

Отрезки ОА, ОВ, ОС назовем координатными отрезками точки Р (ср. с гл. I). Определение координат точки остается таким же, как и в гл. I, только добавляется, что координата, измеряемая по оси Оz, называется аппликатой. Точка Р, имеющая абсциссой число х, ординатой число у и аппликатой число z, записывается так: Р(х, у, х).

Точки А, В и С можно получить и другим способом. Покажем это для точки А (рис. 99).

Спроектируем точку Р на плоскость хОу, т. е. опустим из нее перпендикуляр на эту плоскость; получим точку М. Теперь опустим перпендикуляр из М на ось Ох. Основанием перпендикуляра на ось Ох как раз и будет точка А (это следует из теоремы о трех перпендикулярах).

Часто при изображении точки Р для наглядности, наряду с осями координат, изображают прямоугольный параллелепипед. Одна из вершин параллелепипеда находится в заданной точке Р, а противоположная—в начале координат О; три его ребра расположены по осям координат. На рис. 99 это параллелепипед ОАМВСLРN. Тогда становится очевидным, что

и что ОР—диагональ параллелепипеда. Так как МРО и ОАМ прямоугольные, то

откуда

и

Таким образом, расстояние точки от начала координат равно квадратному корню из суммы квадратов ее координат.

Задача:

Найти расстояние между точками

Решение:

Обозначим проекции точек Р1 и Р2 на ось Ох соответственно через А1 и А2 (рис. 100).

Тогда проекцией отрезка Р1Р2 будет являться отрезок А1А2. Выразим отрезок А1А2 через координаты начала и конца, он равен координате конца минус координата начала, т. е. А1А2 = х2 — х1, а его длина равна А1А2 = х2— х1 (см. гл. I). Кроме того, в силу равенства отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, имеем: А1А2 = КС Аналогично, проектируя точки Р1 и Р2 на ось Оу, получим, что

Также получаем, что

Диагональ|Р1Р2| прямоугольного параллелепипеда равна

или

Следовательно, расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Уравнения координатных плоскостей

Рассмотрим, например, плоскость хОу и произвольную точку М на ней.

Так как плоскость хОу Оz, то перпендикуляр, опущенный из точки М на ось Оz, попадает в начало координат, а это значит, что аппликата точки равна нулю. Очевидно и обратное, т. е. если аппликата точки равна нулю, то эта точка лежит в плоскости хОу. Поэтому уравнение z = 0 характеризует плоскость хОу, оно является уравнением плоскости хОу, т. е. координаты любой точки плоскости хОу удовлетворяют уравнению z = 0.

Рассуждая аналогично, получим, что координаты любой точки, принадлежащей плоскости хОz, удовлетворяют уравнению у = 0, т. е. это уравнение есть уравнение координатной плоскости хОz.

Также уравнение x = 0 есть уравнение координатной плоскости уОz.

Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости

Если точка М лежит в плоскости, параллельной плоскости хОу, то ее аппликата равна расстоянию точки от плоскости хОу, взятому со знаком плюс, если точка лежит выше, и со знаком минус, если она лежит ниже координатной плоскости хОу. Поэтому уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОу, имеет вид z = с, где с — постоянное.

Также плоскость, параллельная плоскости хОz, имеет уравнение у = b.

Плоскость, параллельная плоскости хОz, имеет уравнение х = а.

Уравнения координатных осей

Ось Оz является пересечением плоскости хОz и плоскости уОz, поэтому любая ее точка лежит в плоскости хОz и в плоскости уОz. Следовательно, координаты любой точки, принадлежащей оси Оz, должны удовлетворять и уравнению y = 0 и уравнению х = 0. Эти два уравнения x = 0 и y = 0 являются уравнениями оси Оz. Аналогично уравнениями оси Оу будут х = 0, z = 0. Уравнениями оси Ох будут у = 0, z = 0.

Поверхности

Пусть дана функция двух независимых переменных, определенная уравнением

Будем рассматривать переменные x, y, z как координаты точки.

Возьмем на плоскости хОу точку М, т.е. укажем пару чисел х и у (ее координаты). В силу уравнения (1) паре чисел х и у соответствует определенное число z. Поэтому можно сказать , что уравнение (1) ставит в соответствии точке М (х, у), лежащей на плоскости хОу, точку Р(х, у, z) , лежащую в пространстве. Меняя положение точки М на плоскости хОу, будем получать различные точки Р(х, у, z). Геометрическое место точек Р(х, у, z) , координаты которых удовлетворяют уравнению (1), называется поверхностью. Для примера возьмем формулу, выражающую расстояние между двумя точками (формула (*) из § 2):

Предположим, что точка Р1 неподвижна, расстояние между точками Р1 и Р2 постоянно и равно R, а точка Р2 может двигаться. Тогда геометрическое место точек Р2 будет являться поверхностью шара, или, как иначе говорят, сферой. Обозначим координаты точки Р1 через а, b, с, а координаты Р2 через x, y, z (здесь х, у и z являются переменными величинами). Тогда равенство (*) перепишется в виде

или

Это—неявная функция. Координаты, удовлетворяющие уравнению (), определяют точки, лежащие на сфере. Поэтому уравнение () называют уравнением сферы, имеющей центр в точке (а, b, с) и радиус, равный R.

Таким образом, уравнение (1) определяет поверхность и называется уравнением поверхности.

Для того чтобы выяснить вид поверхности, определенной уравнением (1), применяют метод сечений, с которым мы познакомимся на примерах,

Пример:

Выясним вид поверхности, заданной уравнением

иначе говоря, найдем геометрический смысл неявной функции, определенной уравнением (2). Для этого найдем сначала точки пересечения поверхности с осью Оz. Поскольку для любой точки, лежащей на оси Оz , абсцисса и ордината равны нулю, то искомая точка удовлетворяет этим условиям и уравнению (2). Подставляя в уравнение (2) x = 0, y = 0, найдем . Таким образом, точка , есть точка пересечения поверхности, заданной уравнением (2), с осью Оz. Чтобы найти точку пересечения поверхности с осью Ох, положим в уравнении (2) y = 0 и z = 0. Отсюда найдем. Итак, точка , есть точка пересечения поверхности с осью Ох.

Аналогично, полагая в уравнении (2) z = 0 и x = 0, получим, что точка является точкой пересечения поверхности (2) с осью Оу (рис. 101).

Выясним, что получится при пересечении поверхности (2) с плоскостью хОz. Так как уравнение этой плоскости y = 0, то, полагая в уравнении (2) у = 0, получим

Как было показано в гл. II, всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости поэтому уравнение (3) определяет прямую лежащую на плоскости хОz. Прямая, определенная уравнением (3), проходит через точки A и С, так как их координаты удовлетворяют уравнению (3). Проверим это для точки А:

Полагая в уравнении (2) х = 0, найдем пересечение поверхности с координатной плоскостью yOz. Снова получим прямую, определяемую уравнением

проходящую через точки В и С.

Наконец, пересекая поверхность (2) плоскостью хОу, т. е. полагая в уравнении (2) z = 0, получим

Уравнение (5) определяет прямую, лежащую в плоскости хОу и проходящую через точки А и В.

Итак, поверхность, заданная уравнением (2), пересекается с координатными плоскостями по треугольнику ABC.

Чтобы выяснить окончательно вид поверхности, пересечем ее плоскостью, параллельной плоскости хОу, которая имеет уравнение z = h. Полагая в уравнении (2) z = h, получим

Это — уравнение прямой, лежащей в плоскости z = h. Найдем точку пересечения прямой (6) с плоскостью yOz, для этого положим в уравнении (6) x = 0, тогда найденная точка

лежит и на прямой ВС, поскольку ее ордината и аппликата h удовлетворяют уравнению (4).

Также, если в уравнении (6) положить y = 0, то найдем точку пересечения прямой (6) с координатной плоскостью xOz; это будет точка

Точка Е лежит и на прямой АС, так как ее координаты удовлетворяют уравнению (3).

Число h можно менять, поэтому в результате проведенного исследования получается, что поверхность, определяемая уравнением (2), образована прямой КЕ, скользящей по пересекающимся прямым АС и СВ. Эта поверхность является плоскостью.

Итак, уравнение пер-вой степени с тремя неизвестными в пространстве определяет плоскость.

Пример:

Найдем вид поверхности, определяемой уравнением

Пересечем поверхность плоскостью хОz, т. е. положим в уравнении (7) у = 0. Получим , это — уравнение параболы, лежащей в координатной плоскости хОz (рис. 102).

Пересекая поверхность плоскостью уОz, т. е. полагая в уравнении (7) x = 0, получим уравнение , которое является также уравнением параболы (см. гл. III).

Найдем пересечение исследуемой поверхности с плоскостью z = h. т . е. с плоскостью, параллельной плоскости хОу и отстоящей от нее на расстояние h. Полагая z = h в уравнении (7), получим

или

Это есть уравнение эллипса с полуосями

Чем больше h, тем больше и полуоси эллипса, следовательно, эллипс расширяется по мере удаления от координатной плоскости хОу. При h < 0 выражения для полуосей теряют смысл, так как корень квадратный делается мнимым. При h = 0 полуоси равны нулю.

Поэтому исследуемая поверхность образована эллипсами, расположенными в плоскостях, параллельных плоскости z = 0, и нанизанными на параболы

Эта поверхность называется эллиптическим параболоидом.

Пример:

Исследуем вид поверхности, заданной уравнением

Найдем пересечение с плоскостью П1, уравнение которой x = 1 (рис. 103). Уравнение (8) после подстановки в него x = 1 примет вид

Эта кривая была исследована в гл. VIII, § 5, пр. 3; она лежит в плоскости, параллельной плоскости уОz и отстоящей от нее на расстояние 1.

Пересекая поверхность (8) плоскостью П2, уравнение которой у = 1, получим уравнение кривой того же типа, что и (9):

Ищем пересечение исследуемой поверхности с плоскостью, параллельной плоскости хОу и отстоящей от нее на расстояние h; уравнение этой плоскости z = h .

Подставляя z = h в уравнение (8), получаем

Прологарифмируем обе части последнего равенства и преобразуем; будем иметь:

Это—уравнение окружности радиуса , центр которой находится в точке (1, 1, h ). Чтобы радиус являлся действительным числом, под знаком квадратного корня должно стоять положительное число. А так как логарифмы положительны для чисел, бo’льших единицы, то должно бытьили h < 1. Это значит, что рассматриваемая поверхность пересекается с плоскостью z = h только в том случае, если 0 < h < 1. Если h = 1, то радиус обращается в нуль, т. е. окружность вырождается в точку. Итак, поверхность, определяемая уравнением (8), образована из окружностей (11), нанизанных на кривые (9) и (10). Окружности, образующие поверхность, увеличиваются по мере уменьшения h , т. е. по мере приближения к координатной плоскости хОу.

Линии уровня

Определение:

Линией уровня называется геометрическое место точек, расположенных на поверхности и имеющих одну и ту же определенную аппликату. Например, если дана поверхность то, взяв z = 1, получим . Уравнение z = 1 определяет плоскость, параллельную плоскости хОу и отстоящую от нее на расстояние, равное единице. Уравнение определяет окружность, лежащую в плоскости z = 1 . Поэтому для рассматриваемой поверхности линией уровня, соответствующей уровню z = 1 (аппликате z = 1 ), является окружность (рис. 104).

Ясно, что проекция линии уровня на плоскость хОу есть та же самая линия, только перенесенная параллельно самой себе в плоскость хОу. Ее также называют линией уровня. В некоторых случаях линии уровня называют горизонталями.

Часто прибегают к следующему приему изображения поверхностей: берут совокупность плоскостей, параллельных плоскости хОу и отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние. Находят пересечение каждой плоскости с поверхностью, т. е. линии уровня, изображают полученные линии на плоскости хОу и таким образом получают карту поверхности (вернее, план поверхности). На этом плане по расположению горизонталей можно судить о рельефе поверхности.

На рисунке 105 изображены три поверхности и под каждой из них нарисован ее план.

Хотя число горизонталей (линий уровня) одно и то же для всех трех поверхностей, но расположение горизонталей различное. Можно заметить, что там, где поверхность круче, горизонтали расположены ближе друг к другу, или, как говорят, горизонтали расположены гуще.

Частные производные

В главе VIII было показано, как с помощью производной исследовать функцию. Для исследования функций многих переменных вводится понятие частной производной.

Определение:

Частной производной от функции W = f (x, у, z) по переменному х называется производная, вычисленная в предположении, что все независимые переменные, кроме х, сохраняют постоянное значение.

Частная производная по х обозначается , или ,или . Аналогично определяют и частные производные по другим независимым переменным:обозначают частную ^производную по — частную производную по z.

Пример:

Вычислим частные производные по всем независимым переменным от функции

Будем считать сначала х переменным, а у постоянным. Тогда, используя правила вычисления производных (см. гл. VII, § 4), получим

Аналогично

Пример:

Найдем частные производные функции

Определение:

Частным приращением функции z= F(x, у) по х называется приращение функции, вычисленное в пред положении, что все независимые переменные, кроме х, сохраняют постоянные значения. Например, если дана функция то ее частное приращение по х найдем так: дадим х приращение h = , оставляя без изменения другое переменное у, получим

вычитая первоначальное значение функции, будем иметь

Это и есть частное приращение по х. Аналогично определяются и другие частные приращения.

Из определения частной производной вытекает (см. определение производной в гл. VII, § 3), что частная производная по х есть предел отношения частного приращения функции по х к приращению : при условии, что приращение стремится к нулю, т. е.

Выясним геометрический смысл частной производной для функции двух независимых переменных (рис. 106).

На рисунке 106 изображена поверхность, заданная уравнением z = F(x, у). На поверхности отмечена точка M, и через нее проведена плоскость П1, параллельная координатной плоскости хОz. Все точки, лежащие в плоскости П1 имеют одну и ту же ординату, т. е. в ней у постоянен.

В сечении поверхности плоскостью П1 получается кривая линия, которую обозначим буквой L. Формула (*) для этой кривой определяет тангенс угла, образованного касательной и прямой АВ. Иначе можно сказать, что есть тангенс угла между плоскостью хОу и касательной, проведенной к кривой L.

Также, если проведем через точку M плоскость П2, параллельную плоскости уОz, то получим кривую Q, лежащую в плоскости П2. Частная производная будет давать тангенс угла между плоскостью хОу и касательной, проведенной к кривой Q.

Покажем применение частных производных. Для этого предварительно дадим некоторые определения.

Значение функции z = F(x, у) при х = а и у = Ь, т. е. z = F(a, Ь), называется максимальным, если оно больше всех значений функции при х и у, мало отличаюoихся соответственно от а и b.

Иначе говоря, можно найти кусок плоскости хОу, содержащий точку (а, b) внутри себя и такой, что в любой его внутренней точке, кроме (a, b), функция будет иметь значение, меньше чем F(a, b).

Минимальное значение функции определяется сходным образом:

Значение функции называется минимальным при х = а, у = b, если оно меньше всех ее значений при х и у, мало отличающихся соответственно от а и b.

Например, функция имеет минимум, равный 0, так как при х = 0 и y = 0 функция равна 0, а при любых других значениях х и у она положительна, т. е. больше нуля (ср. гл. VIII, § 3).

Геометрически ясно, что максимальное значение функции определяет точку, находящуюся выше соседних, минимальное же значение определяет точку, находящуюся ниже соседних.

Если употребить географические термины, то максимальные значения функции определяют горные вершины, а минимальные— низины.

Также геометрически ясно, что касательная в вершине, проведенная к любой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через вершину, параллельна плоскости хОу.

Значит, частные производные и в вершине (и в низине) равны нулю (ср. гл. VIII, § 3).

Однако может случиться, что частные производные равны нулю в некоторой точке, но в ней нет ни максимума, ни минимума. Такие точки называются седловинами. Например, поверхность, изображенная на рис. 107, в начале координат имеет седловину. В самом деле, в сечении с плоскостью хОz получается кривая, имеющая в начале координат минимум, а в сечении с плоскостью уОz получается кривая, имеющая в начале координат максимум. Обе частные производные и равны нулю, но для поверхности нет ни максимума, ни минимума.

Когда мы уверены в существовании максимума или минимума, то их можно найти при помощи частных производных.

Пример:

Найти точку параболоида , наиболее близкую к точке .

Прежде всего посмотрим, не лежит ли точка М на параболоиде. Если лежит, то она и будет искомой. Если же нет, то расстояние от точки М до любой точки параболоида всегда будет больше нуля.

Подставим координаты

в уравнение параболоида, получим Значит, точка М не лежит на параболоиде. Рассмотрим теперь произвольную точку параболоида, для нее х и у произвольны, а z находится из уравнения . Следовательно, координаты произвольной точки Р параболоида будут . Напишем формулу, выражающую расстояние между точками М и Р (см. формулу (*) из § 2 этой главы):

Это расстояние (эта функция), как мы только что убедились, никогда не равно нулю, но оно может быть сколь угодно большим. Если частные производные обращаются в какой-то одной точке в нуль, то в этой точке возможно существование минимума. Если расстояние минимальное, то и его квадрат также будет иметь минимальное значение. Поэтому вместо расстояния МР будем рассматривать его квадрат, который обозначим буквой W. Таким образом, получилась следующая задача: найти минимум функции

Вычислим частные производные:

Приравниваем их нулю:

Решим полученную систему уравнений

Из второго уравнения или у = 0, или . Если у = 0, то из первого уравнения получаем, что откуда х = 2. Если же , то х = 0 и y = 0; подставляя в первое уравнение, получаем —16 = 0, т. е. эти значения ему не удовлетворяют. Таким образом, решением системы являются только х = 2, у = 0.

Следовательно, точка параболоида, ближайшая к точке, найдена, это Р(2, 0, 4).

Что такое функции многих переменных и как и решать

Функции многих переменных — естественное обобщение функций одной переменной. В этой главе изучаются основы дифференциального исчисления функций двух переменных. Почему двух, а не трех или большего числа переменных? Во-первых, принципиального различия между двумя и большим числом переменных нет, увеличение числа переменных ведет лишь к громоздкости выкладок. Во-вторых, случай двух переменных допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

Предел и непрерывность функции

Пусть даны два множества и пусть указано правило, по которому каждой точке соответствует некоторое число В этом случае говорят, что задана функция с областью определения D и областью значений в F. При этом х к у называют независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).

Функцию часто записывают в виде Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рис. 34.

Пример:

На множестве определим функцию: тогда ее областью значений является отрезок F= [2,3]. Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости в этом случае имеем

Графиком функции называют геометрическое место точек обычно графиком является некоторая поверхность (рис. 35 а). В частности, в примере 37.1 функция описывает поверхность, изображенную на рис. 35 б.

Предел функции

Сначала введем понятие сходимости последовательности точек на плоскости Напомним, что для последовательности чисел соотношение равносильно стремлению к нулю расстояния между На плоскости расстояние между двумя точками определяется равенством

Поэтому естественным является следующее понятие.

Будем говорить, что последовательность точек сходится при если

В этом случае точку (а, b) будем называть пределом указанной последовательности и писать:

Ясно, что если верно и обратное утверждение.

Например, последовательность сходится к пределу (0;1).

Теперь, как и для функции одной переменной (см. п. 11.1), введем понятие предельной точки множества

Точку называют предельной точкой множества если существует последовательность точек такая, что

Пример:

Пусть множество его предельных точек совпадает с кругом (покажите это!). Множество совпадает с множеством своих предельных точек (покажите это!). Множество имеет единственную предельную точку (0;0) (покажите это!).

Эти примеры показывают, что предельные точки множества могут и не принадлежать ему.

Пусть — предельная точка множества D.

Число А называют пределом функции если для любой последовательности точек такой, что последовательность чисел сходится к А : при В этом случае пишут

Важно отметить, что функция может быть и не определена в точке так как предельная точка множества D может ему и не принадлежать.

Сформулируем теперь равносильное определение предела функции на «языке

Число А называют пределом функции как только

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в

точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел — пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки в то время как для функций двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений, и потому требование существования предела у функции двух переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример:

Найти

Из двойного неравенства

следует, что искомый предел равен 0. Заметим, что предельная точка не принадлежит области определения функции.

Пример:

Найти

Пусть стремление к предельной точке (0;0) происходит по прямой у = kх. Тогда

Предел (37.1), очевидно, не существует, так как в (37.2) число зависит от k.

Пример:

Найти

По любой прямой у = kх предел один и тот же

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой Тогда

Следовательно,, предел (37.3) не существует.

Сформулируем, наконец, понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда (остальное предоставляем читателю!).

Число А называют пределом функции если для такое, что из неравенств следует неравенство Этот факт коротко записывают так

Читателю было бы полезно сформулировать понятие предела функции, когда одна координата предельной точки бесконечна. Также было бы полезным упражнением доказать какое-нибудь из утверждений следующей теоремы, являющейся аналогом теоремы 11.3.

Теорема:

Если существуют

где предельная точка может быть конечной или бесконечной. Нетрудно сформулировать и доказать и аналоги теорем 11.1 и 11.2.

Непрерывность функции в точке

Особый интерес представляет класс непрерывных функций. Пусть дана функция с областью определения D и пусть — предельная точка множества D.

Говорят, что функция непрерывна в точке если:

Говорят, что функция разрывна (или имеет разрыв) в точке если:

• либо при этом не существует предел или

• либо и не существует предел

Сформулируем равносильное определение непрерывности. С этой целью через обозначим приращения независимых аргументов, а через — приращение функции.

Говорят, что функция непрерывна в точке если выполнено равенство

Пример:

Показать, что функция непрерывна в произвольной (конечной) точке Зададим малые приращения и составим приращение функции в точке :

Так как

то

т. е. функция непрерывна.

Пример:

Рассмотрим функцию из примера Доопределим ее в точке (0,0) числом А. Очевидно, непрерывна в начале координат, если А = 0 и разрывна, если

На примерах функций отметим, что множества точек разрыва функции могут представлять собой кривые, называемые линиями разрыва: соответственно параболу и пару пересекающихся прямых

Действия с непрерывными функциями

Перефразируем теоремы 13.1 и 13.2 главы III, устанавливающие непрерывность широкого класса функций.

Теорема:

Если функции непрерывные точке то этим же свойством обладают функции: и а если той функция

Теорема:

О непрерывности сложной функции. Пусть функция непрерывна в точке а функции и непрерывны в точке где и Тогда сложная функция непрерывна в точке

► Имеем

что означает непрерывность функции

Пример:

Алгебраический многочлен n-й степени

где представляет собой непрерывную функцию в каждой точке плоскости Действительно, функции непрерывны в любой точке так как

Применяя к этим функциям нужное число раз теорему 37.2, убедимся в непрерывности многочлена

Пример:

Функция непрерывна в любой точке В самом деле, так как она является суперпозицией непрерывных функций то ее непрерывность следует из теоремы 37.3.

Непрерывные функции в замкнутой области

При изучении функций одной переменной были отмечены теоремы Вейерштрасса (см. с. 65), утверждающие, что непрерывная функция на замкнутом отрезке ограничена и достигает своих максимальных значений. Рассмотрим двумерные аналоги этих теорем. С этой целью введем необходимые понятия и обозначения.

Понятие области и ее границы

Сначала определим —окрестность точки как множество точек удовлетворяющих неравенству:

т. е. -окрестность точки — круг радиуса е с центром в точке

Далее, точку назовем внутренней точкой множества D, если существует -окрестность этой точки, целиком лежащая в D.

Ясно, что каждая внутренняя точка множества D является одновременно и предельной точкой этого множества. Обратное, конечно, не верно (приведите пример!).

Множество называют областью, если:

• все его точки внутренние;

• любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, лежащей в D.

Из этого определения, в частности, следует, что каждая точка области является ее предельной точкой. При этом область может иметь предельные точки, не принадлежащие ей. Например, множество является областью, при этом точка (0;0) и точки, лежащие на окружности являются предельными точками для D.

Предельные точки области D, не принадлежащие ей, образуют ее границу Область D вместе с ее границей называют замкнутой областью и обозначают Множество D называют также замыканием области D.

На рис. 36 а и б приведены примеры областей и их границ.

Теоремы Вейерштрасса

Пусть функция непрерывна в каждой точке множества В этом случае будем говорить, что функция непрерывна на М. Через С(М) обозначим класс функций, непрерывных на М.

В последующем изложении будем иметь дело либо с областью D, либо с ее замыканием

Теорема:

Первая теорема Вейерштрасса. Если то она ограничена, т. е. существуют m и М такие, что

Теорема:

Вторая теорема Вейерштрасса. Если то она достигает на своего минимального и максимального значений, т. е. существуют такие, что

Доказательство обеих теорем получают перефразированием доказательств соответствующих теорем в одномерном случае. При этом опираются на двумерный аналог леммы Больцано-Вейерштрасса (см. с. 39).

Лемма:

Из любой ограниченной последовательности точек можно извлечь сходящуюся под последовательность точек

► В силу леммы Больцано-Вейерштрасса последовательность содержит сходящуюся под последовательность то же верно и для последовательности что и завершает доказательство.

Теоремы Вейерштрасса позволяют ввести в рассмотрение линейное пространство (см. п. 29.2) непрерывных на функций с нормой

Частные производные первого порядка

Пусть функция определена в области Тогда при малых определено ее частное приращение по х

Частной производной функции по х в точке называют предел

если он существует. Частную производную по х обозначают одним из символов:

Аналогично определяется частная производная по у:

и вводятся ее обозначения:

Легко видеть, что частные производные по х или по у функции вычисляются так же, как и обыкновенная производная, при этом соответственно у или х считают постоянной величиной.

Пример:

Найти частные производные функции Имеем

Частные производные высших порядков

Рассматривая частные производные как функции от приходят к понятиям частных производных второго порядка, а именно:

Выражения

называют частной производной второго порядка функции по х и по у соответственно, а выражения

— смешанными частными производными второго порядка функции Их обозначают также символами: Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 4-го порядка (их будет ) и т. д.

Пример:

Найти частные производные второго порядка функции из примера 38.1. Так как то

В рассмотренном примере Это случайность или закономерность? Ответом на этот вопрос будет

Теорема:

Пусть функция и ее производные определены в области D. Если как функции (х, у) непрерывны в точке то

По индукции теорему можно распространить на любые непрерывные смешанные частные производные. Например,

Ниже через будем обозначать пространство функций определенных на и имеющих в каждой точке непрерывные частные производные до k-го порядка включительно.

Полное приращение и полный дифференциал функции

Пусть Составим полное приращение функции в точке

Если приращение функции выражается формулой

где А и В — некоторые числа и (здесь то функцию называют дифференцируемой в точке (х,у).

Другими словами, функция дифференцируема в точке (х,у), если ее приращение эквивалентно функции Выражение в указанном случае представляет собой главную часть приращения при этом линейно зависит от

Если функция дифференцируема в точке (х,у), то главную линейную часть ее приращения называют полным дифференциалом в точке (х,у) и обозначают в виде

При этом выражения называют частными дифференциалами.

Подчеркнем, что полный дифференциал — это линейная функция от Для независимых переменных х и у полагают и Поэтому полный дифференциал обозначают также в виде

Формула показывает, что, как и в случае функции одной переменной, верна

Теорема:

Если функция дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в этой точке.

Обратное к этой теореме утверждение, конечно, не верно (соответствующий пример приводится ниже).

Для функции одной переменной дифференцируемость отождествлялась с существованием производной (см. теорему 18.2). Для функции двух переменных это уже не так. Приведем пример, показывающий, что из существования частных производных еще не следует дифференцируемость функции.

Пример:

Рассмотрим функцию Так как Покажем, что формула не имеет места в точке (0;0). Допустим противное. Тогда, так как

то Полагая в этом соотношении поочередно придем к равенствам А = В= 0. Следовательно, где Полагая теперь получим противоречие:

Так как функция непрерывна, то последний пример, в частности, показывает, что из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Отметим, что в этом примере частные производные не являются непрерывными в точке (0;0), так как, например, при (здесь sgn х — определенная на с. 53 функция (11.8)) и, следовательно, разрывна в начале координат. То же самое верно и для частной производной

Оказывается, в этом и состоит причина того, что функция оказалась недифференцируемой.

Теорема:

Если функция имеет непрерывные частные производные то она дифференцируема и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой

Таким образом, в условиях этой теоремы числа А и В в определении (38.1) полного дифференциала совпадают с частными производными соответственно, при этом частными дифференциалами функции будут выражения

► Представим в виде

и к каждому слагаемому применим теорему Лагранжа (см. с. 82):

В силу непрерывности точке (х, у) имеем

где потому из (38.3) получим Завершает доказательство цепочка соотношений

Приближенные вычисления

Так как то с учетом (38.1) можно полагать другими словами, при малых имеет место приближенное равенство

Пример:

Вычислить приближенно Определим функцию Так как

то в силу (38.4) получим

Подставляя в него найдем Для сравнения: имеет место равенство с четырьмя верными знаками.

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим дифференциал (38.1) функции вычисленный в произвольной точке Пусть имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда, считая dz функцией от х и у (подчеркнем, что от х и у зависят только но не dx и dy, которые являются произвольными приращениями), естественно говорить о дифференциале от dz.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом функции называют выражение Найдем его:

где учтено, что по теореме 38.1 Аналогично определяются дифференциалы 3-го порядка, 4-го порядка и т. д. В общем случае

Укажем компактную (символическую) запись дифференциалов. В первом дифференциале «вынесем за скобки»:

(фигурные скобки подчеркивают символичность записи!). Аналогично

Методом математической индукции легко показать, что

Производная сложной функции

Теорема:

Пусть —дифференцируемая функция в точке —дифференцируемые функции независимой переменной t. Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле

или

► Для точки t составим приращение Оно вызовет приращение функций и соответственно, при этом в силу непрерывности этих функций при имеем и, следовательно, Функция также получит приращение Найдем используя для формулу (38.2):

Здесь использовано соотношение

Формулу (38.7) можно распространить на случай, когда х и у — функции двух переменных

Пример:

Найти По формуле (38.7) имеем

Пример:

Найти По формулам (38.8) имеем

В эти выражения следует подставить

Формулы Тейлора и Маклорена

Приведем аналог формулы Тейлора (19.11) (см. с. 85) для функции двух переменных. Если функция дифференцируема раз в некоторой окрестности точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора

где вычисляется по формуле (38.6), в которой а для остаточного члена можно использовать одну из следующих форм:

первая из которых называется формой Лагранжа, а вторая — Пеано при этом в (39.2) число в удовлетворяет неравенству а «возведение в степень осуществляется так же, как и в формуле (38.6).

При формулу Тейлора (39.1) обычно называют формулой Маклореиа.

Пример:

Разложить по формуле Маклорена до членов второго порядка включительно функцию Вычислим частные производные первого и второго порядка данной функции и их значения в точке (0;0). Найдем:

По формулам (39.1) и (39.3) имеем:

Экстремумы функции

Пусть где D — область в Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке если найдется -окрестность этой точки такая, что для каждой точки (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство

Если здесь знак равенства исключен (кроме случая ), то говорят о строгом локальном максимуме (минимуме). Локальный максимум и минимум объединяют общим термином — локальным экстремумом.

При отыскании локальных экстремумов полезно следующее очевидное утверждение.

Теорема:

Пусть

полное приращение функции в точке Точка тогда и только тогда является точкой строгого локального максимума (минимума) функции когда существует такое, что при выполнено неравенство Если для каждого приращение при удовлетворяющих неравенствам значениях принимает как положительные, так и отрицательные значения, то точка не является точкой экстремума функции.

Необходимые условия экстремума

Если функция является дифференцируемой, то для отыскания экстремумов обычно применяют более простые правила. Сначала приведем утверждение, содержащее необходимые условия экстремума.

Теорема:

Пусть — точка локального экстремума этой функции. Тогда

Точки удовлетворяющие равенствам (39.4), называют стационарными.

Это утверждение становится очевидным, если в функции фиксировать тогда она станет функцией одной переменной, и к ней можно применить теорему 19.1.

Таким образом, при отыскании экстремумов дифференцируемой функции следует предварительно решить систему уравнений (39.4); каждое решение будет точкой «подозрительной на экстремум» и требует дополнительной проверки.

Достаточные условия экстремума

Достаточные признаки экстремума приведем в предположении, что Вычислим в стационарной точке числа:

и определитель

Теорема:

Пусть — стационарная точка функции Тогда:

• если J > 0, то функция имеет экстремум в точке причем — максимум, если А < 0, и минимум, если А>0,
• если J < 0, то экстремума в точке нет.

► В соответствии с теоремой 39.1 достаточно изучить знаки полного приращения По формуле Тейлора (39.1) с остаточным членом в форме Лагранжа (39.2) в окрестности стационарной точки имеем:

Так как — стационарная точка, то Далее, в силу непрерывности частных производных второго порядка имеем (см. формулу (38.5)):

Очевидно, так как и

Переходя к обозначениям (39.5) и полагая получим

Здесь при второе слагаемое есть б. м. ф. высшего порядка по сравнению с первым слагаемым. Поэтому при малых р знак совпадает со знаком квадратичной формы*

Остается воспользоваться известным из курса алгебры так называемым критерием Сильвестра: если если не имеет определенного знака.

Если j = 0, то нужны дополнительные исследования с привлечением производных высших порядков.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию По теореме 39.2 найдем стационарную точку:

По теореме 39.3 имеем:

Пример:

Исследовать на экстремум функции

Нетрудно видеть, что обе функции имеют одну и ту же стационарную точку (0; 0), в которой J = 0. Поэтому теорема 39.3 не решает вопрос о точках экстремума функции. Воспользуемся теоремой 39.1. Для первой из рассматриваемых функций, очевидно, и потому она имеет минимум в точке (0,0). У второй функции нет экстремума, так как и, следовательно, при имеет разные знаки.

Глобальный экстремум

Под глобальным экстремумом функции на множестве и понимают наибольшее и наименьшее ее значения на этом множестве.

Пусть По теореме 37.5 (вторая теорема Вейерштрасса) она достигает на своего наибольшего М и наименьшего m значений. Укажем алгоритм их нахождения.

1. Найти все стационарные точки, принадлежащие D, и вычислить значения функции в них.
2. Исследовать функцию на экстремум на границах области.
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.

Пример:

Найти наибольшее_ и наименьшее значение функции на множестве (см. рис. 37).

• Решая систему

найдем единственную стационарную точку При этом

• Исследуем функцию z на сторонах треугольника.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат