Как найти площадь усеченной призмы

Определение площади поверхности и объема усеченных цилиндров и призм

Джон Рэй Куэвас

Что такое усеченный цилиндр?

Усеченный круговой цилиндр, также известный как цилиндрический сегмент, представляет собой твердое тело, образованное пропусканием непараллельной плоскости через круговой цилиндр. Некруглое верхнее основание наклонено к круглому сечению. Если круговой цилиндр является правильным цилиндром, то каждая правая часть представляет собой круг, имеющий такую ​​же площадь, что и основание.

Пусть K — площадь правого сечения, а h ₁ и h _{2 —} самый короткий и самый длинный элемент усеченного цилиндра соответственно. Объем усеченного кругового цилиндра определяется формулой, приведенной ниже. Если усеченный цилиндр представляет собой правильный круговой цилиндр радиуса r, объем можно выразить через радиус.

V = K

V = πr ²

Усеченные цилиндры

Джон Рэй Куэвас

Что такое усеченная призма?

Усеченная призма — это часть призмы, образованная путем прохождения плоскости, не параллельной основанию и пересекающей все боковые края. Поскольку плоскость усечения не параллельна основанию, сформированное твердое тело имеет два непараллельных основания, которые являются многоугольниками с одинаковым количеством ребер. Боковые края не совпадают, а боковые грани представляют собой четырехугольники (прямоугольники или трапеции). Если отрезанная призма — это правая призма, то боковые грани — правильные трапеции. Общая площадь поверхности усеченной призмы — это сумма площадей двух многоугольных оснований и правых трапециевидных граней.

В общем, объем усеченной призмы равен произведению площади ее правого сечения на среднее значение длин ее боковых краев. K — площадь правого сечения, L — средняя длина боковых краев. Для усеченной призмы правильное сечение равно площади основания. Объем усеченной призмы определяется формулой ниже. K — это B, умноженное на значение sinθ, L равно средней длине его боковых краев, а n — количество сторон основания.

V = KL

V = BL

Усеченные призмы

Джон Рэй Куэвас

Задача 1. Площадь поверхности и объем усеченной треугольной призмы.

Усеченная правая призма имеет равностороннее треугольное основание, одна сторона которого составляет 3 сантиметра. Боковые края имеют длину 5 см, 6 см и 7 см. Найдите общую площадь поверхности и объем усеченной правой призмы.

Площадь и объем усеченной треугольной призмы.

Джон Рэй Куэвас

Решение

а. Так как это усеченная справа призма, все боковые грани перпендикулярны нижнему основанию. Это делает каждую боковую грань призмы правильной трапецией. Вычислить для ребер AC, AB и BC верхнего основания, используя заданные в задаче меры.

AC = √3 ² + (7-5) ²

AC = √13 сантиметров

АВ = √3 ² + (7-6) ²

AB = √10 сантиметров

BC = √3 ² + (6-5) ²

AB = √10 сантиметров

б. Вычислите площадь треугольника ABC и треугольника DEF, используя формулу Герона.

s = (a + b + c) / 2

s = (√13 + √10 + √10) / 2

s = 4,965

_АВС = √4.965 (4,965 — √13) (4,965 — √10) (4,965 — √10)

A _ABC = 4,68 см ²

A _DEF = 1/2 (3) ² (sin (60 °))

A _DEF = 3,90 см ²

c. Вычислите площадь трапециевидных граней.

_ACED = 1/2 (7 + 5) (3)

A _ACED = 18 см ²

_BCEF = 1/2 (6 + 5) (3)

_BCEF = 16,5 см ²

_ABFD = 1/2 (7 +6) (3)

A _ABFD = 19,5 см ²

d. Найдите общую площадь усеченной призмы, суммируя все площади.

TSA = B ₁ + B ₂ + LSA

TSA = 4,68 + 3,90 + 18 +16,5 +19,5

TSA = 62,6 см ²

е. Найдите объем усеченной правой призмы.

V = BL

V = 3,90

V = 23,4 см ³

Окончательный ответ: общая площадь поверхности и объем усеченной правой призмы, приведенные выше, составляют 62,6 см ² и 23,4 см ³ соответственно.

Задача 2: объем и поперечная площадь усеченной прямоугольной призмы

Найдите объем и поперечную площадь усеченной прямоугольной призмы с краем основания 4 фута. Боковые края имеют размеры 6 футов, 7 футов, 9 футов и 10 футов.

Объем и поперечная площадь усеченной прямоугольной призмы.

Джон Рэй Куэвас

Решение

а. Поскольку это прямоугольная усеченная призма, все боковые грани перпендикулярны нижнему основанию. Это делает каждую боковую грань призмы правильной трапецией. Вычислите края верхнего квадратного основания, используя указанные в задаче меры.

S ₁ = √4 ² + (10-9) ²

S ₁ = √17 футов

S ₂ = √4 ² + (9-6) ²

S ₂ = 5 футов

S ₃ = √4 ² + (7-6) ²

S ₃ = √17 футов

S ₄ = √4 ² + (10-7) ²

S ₄ = 5 футов

б. Вычислите площадь трапециевидных граней.

А ₁ = 1/2 (10 + 9) (4)

A ₁ = 38 футов ²

А ₂ = 1/2 (9 + 6) (4)

A ₂ = 30 футов ²

А ₃ = 1/2 (7 +6) (4)

А ₃ = 26 футов ²

А ₄ = 1/2 (7 + 10) (4)

А ₄ = 34 фута ²

c. Вычислите общую боковую площадь, получив сумму всех площадей боковых поверхностей.

TLA = А ₁ + А ₂ + А ₃ + А ₄

TLA = 38 + 30 + 26 + 34

TLA = 128 футов ²

е. Найдите объем усеченной прямоугольной призмы.

V = BL

V = 4 ²

V = 128 футов ³

Окончательный ответ: общая площадь поверхности и объем усеченной правой квадратной призмы, приведенные выше, составляют 128 футов ² и 128 футов ³ соответственно.

Задача 3: объем правого кругового цилиндра

Покажите, что объем усеченного правого кругового цилиндра равен V = πr ².

Объем правого кругового цилиндра.

Джон Рэй Куэвас

Решение

а. Упростите все переменные данной формулы для объема. B обозначает площадь основания, а h ₁ и h ₂ обозначают самый короткий и самый длинный элементы усеченного цилиндра, показанного выше.

B = площадь круглого основания

B = πr ²

б. Разделите усеченный цилиндр на два твердых тела так, чтобы клиновая часть имела объем, равный половине объема верхнего цилиндра высотой h ₂ — h ₁. Объем верхнего цилиндра обозначен V ₁. С другой стороны, нижняя часть представляет собой цилиндр высотой h ₁ и объемом V ₂.

V = (1/2) V ₁ + V ₂

V ₁ = B (h ₂ — h ₁)

V ₂ = B xh ₁

V = (1/2) (B (h ₂ — h ₁)) + (B xh ₁)

V = (1/2) (B xh ₂) — (1/2) (B xh ₁) + (B xh ₁)

V = B

V = πr ²

Окончательный ответ: объем усеченного правого кругового цилиндра равен V = πr ².

Задача 4: Полная площадь поверхности усеченной прямоугольной призмы

Блок земли в виде усеченной правой призмы имеет квадратное основание с размером ребер 12 сантиметров. Два смежных боковых края имеют длину 20 см каждый, а два других боковых края имеют длину 14 см каждый. Найдите общую площадь поверхности блока.

Общая площадь усеченной прямоугольной призмы.

Джон Рэй Куэвас

Решение

а. Поскольку это прямоугольная усеченная призма, все боковые грани перпендикулярны нижнему основанию. Это делает каждую боковую грань призмы правильной трапецией. Вычислите края верхнего квадратного основания, используя указанные в задаче меры.

S ₁ = √12 ² + (20-20) ²

S ₁ = 12 сантиметров

S ₂ = √12 ² + (20 — 14) ²

S ₂ = 6√5 сантиметров

S ₃ = √12 ² + (14 — 14) ²

S ₃ = 12 сантиметров

S ₄ = √12 ² + (20 — 14) ²

S ₄ = 6√5 сантиметров

б. Вычислите площадь нижнего квадратного основания и верхнего прямоугольного основания.

_{ВЕРХНИЙ} = 12 х 6√5

_{ВЕРХНИЙ} = 72√5 см ²

_НИЖНИЙ = 12 х 12

_НИЖНИЙ = 144 см ²

б. Вычислите площадь прямоугольной и трапециевидной граней данной усеченной прямоугольной призмы.

А ₁ = 20 х 12

A ₁ = 240 см ²

А ₂ = 1/2 (20 + 14) (12)

A ₂ = 204 см ²

А ₃ = 14 х 12

А ₃ = 168 см ²

А ₄ = 1/2 (20 + 14) (12)

А ₄ = 204 см ²

d. Найдите общую площадь поверхности усеченной квадратной призмы, суммируя все площади.

TSA = _{ВЕРХНИЙ} + _НИЖНИЙ + LSA

TSA = 72√5 + 144 + 240 + 204 + 168 + 204

TSA = 1120,10 см ²

Окончательный ответ: Общая площадь поверхности данной усеченной квадратной призмы составляет 1120,10 см ².

Другие темы о площади поверхности и объеме

• Как рассчитать приблизительную площадь фигур неправильной формы с помощью правила Симпсона 1/3

  Узнайте, как приблизить площадь фигур неправильной формы с помощью правила 1/3. В этой статье рассматриваются концепции, проблемы и решения о том, как использовать правило Симпсона 1/3 для аппроксимации площади.

• Как вычислить

  площадь поверхности и объем призм и пирамид Это руководство научит вас определять площадь поверхности и объем различных многогранников, таких как призмы, пирамиды. Есть примеры, чтобы показать вам, как решать эти проблемы шаг за шагом.

© 2020 Луч

Виды призм

Основные свойства призмы

• Основание призмы — равные многоугольники
• Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
• Боковые грани призмы — параллелограммы
• Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
• В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Площадь основания правильной призмы

$$
S_{осн} = {N * a^2 over 4 * tan(180/N)}
$$

Формулы объёма призмы

Объём призмы через площадь основания (S_ОСН) и высоту (h):

$$
V = S_{ОСН} * h
$$

Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения (S_П) и длину бокового ребра (b):

$$
V = S_П * b
$$

Объём правильной прямой призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

$$
V = {N over 4} * h * a * ctg({pi over N})
$$

Формулы площади поверхности правильной призмы

Площадь боковой поверхности призмы через периметр (P) основания и высоту (h)

$$
S_Б = P * h
$$

Площадь поверхности призмы через площадь основания (S_ОСН), периметр основания (P) и высоту (h):

$$
S = 2 * S_{ОСН} + P * h
$$

Площадь поверхности правильной призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

$$
S = {N over 2} * a^2 * ctg({pi over N}) + N * a * h
$$

Формулы призма

Для расчёта всех основных параметров призма воспользуйтесь калькулятором.

Виды призм

Основные свойства призмы

• Основание призмы — равные многоугольники
• Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
• Боковые грани призмы — параллелограммы
• Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
• В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Площадь основания правильной призмы

$$ S_ <осн>= $$

Формулы объёма призмы

Объём призмы через площадь основания (S_ОСН) и высоту (h):

Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения (S_П) и длину бокового ребра (b):

Объём правильной прямой призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

$$ V = * h * a * ctg(<pi over N>) $$

Формулы площади поверхности правильной призмы

Площадь боковой поверхности призмы через периметр (P) основания и высоту (h)

Площадь поверхности призмы через площадь основания (S_ОСН), периметр основания (P) и высоту (h):

Площадь поверхности правильной призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

Формулы площади поверхности тел

Площадь поверхности геометрической фигуры измеряется в квадратных единицах. Очень часто используется в повседневной жизни, в строительстве, на производствах. Например, нужно вам покрасить комнату, зная сколько краски используется на кв. метр, и площади стен комнаты легко можно вычислить, сколько всего вам нужно купить краски.

Различают два вида площадей поверхности тел: S_бок — площадь боковой поверхности тела, и Р — площадь полной поверхности тела, которая равна сумме площадей боковой поверхности и основания тела.

Формула площади поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания умноженному на высоту призмы (высота=боковому ребру).

р — периметр основания;

h — высота;

l — боковое ребро.

Формула площади поверхности куба

Площадь боковой поверхности куба равна числу боковых граней умноженному на квадрат ребра.

Площадь полной поверхности куба равна числу всех граней куба умноженному на квадрат ребра.

P = 6a 2

а — ребро куба.

Формула площади поверхности пирамиды

1) Правильная пирамида:

S_бок = 1/2pA

p — периметр основания;

A — апофема.

S — площадь основания;

φ — угол между боковой гранью и основанием пирамиды.

S_бок = S_гр n

S_гр — площадь одной боковой грани;
n — количество боковых граней пирамиды.

2) Правильная усеченная пирамида:

A — апофема.

Р — площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;

S_бок — площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

Формула площади поверхности цилиндра

S_бок = 2πrh = πdh

P = 2πr 2 +2πrh = 2π(r+h)

P — площадь полной поверхности цилиндра;

r — радиус цилиндра;

d — диаметр цилиндра;

h — высота цилиндра.

Формула площади поверхности конуса

1) Прямой круговой конус:

P = πr 2 + πrl= πr(r+l)

P — площадь полной поверхности конуса;

r -радиус конуса;

d -диаметр конуса;

l — образующая конуса.

2) Усеченный прямой круговой конус:

P — площадь полной поверхности усеченного конуса;

d₁, d₂ — диаметры оснований усеченного конуса;

l — образующая усеченного конуса.

Формула площади поверхности шара (сферы)

Шар — тело, созданное вращением полукруга вокруг диаметра.

Сфера — поверхность шара.

Формула площади поверхности сферического сегмента

Сферический сегмент — часть сферы, что отсекается от сферы плоскостью.

Формула площади поверхности шарового сегмента

Шаровой сегмент — часть шара, что отсекается от шара плоскостью, и ограничивается кругом (основание шарового сегмента) и сферическим сегментом.

S_{шар. сегм.} = π(2Rh+a 2 )=π(h 2 +2a 2 )

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

h — высота сегмента;

a — радиус основания сегмента.

Что такое призма: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения призмы. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение призмы

Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами.

На рисунке ниже представлен один из самых распространенных видов призмы – четырехугольная прямая (или параллелепипед). Другие разновидности фигуры рассмотрены в последнем разделе данной публикации.

Элементы призмы

Для рисунка выше:

Основания – равные многоугольники. Это могут быть треугольники, четырех-, пяти-, шестиугольники и т.д. В нашем случае – это параллелограммы (или прямоугольники) ABCD и A₁B₁C₁D₁.

Развёртка призмы – разложение всех граней фигуры в одной плоскости (чаще всего, одного из оснований). В качестве примера – для прямоугольной прямой призмы:

Примечание: свойства призмы представлены в отдельной публикации.

Варианты сечения призмы

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через диагональ основания призмы и два соответствующих боковых ребра.Примечание: У треугольной призмы нет диагонального сечения, т.к. основанием фигуры является треугольник, у которого нет диагоналей.
2. Перпендикулярное сечение – секущая плоскость пересекает все боковые ребра под прямым углом.

Примечание: другие варианты сечения не так распространены, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.

Виды призм

Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.

1. Прямая призма – боковые грани расположены под прямым углом к основаниям (т.е. перпендикулярны им). Высота такой фигуры равняется ее боковому ребру.
2. Наклонная призма – боковые грани фигуры не перпендикулярны ее основаниям.
3. Правильная призма – основаниями являются правильные многоугольники. Может быть прямой или наклонной.
4. Усеченная призма – часть фигуры, оставшаяся после пересечения ее плоскостью, не параллельной основаниям. Также может быть как прямой, так и наклонной.