Как найти площадь участка сферы


Download Article


Download Article

The surface area of a sphere is the number of square units (cm2, square inches, square feet — whatever your measurement) that are covering the outside of a spherical object.[1]
 Discovered by the Greek philosopher and mathematician Aristotle thousands of years ago, the equation is relatively simple, even if its origins are not. To find the surface area of a sphere, use the formula (4πr2), where r = the radius of the circle.

  1. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 1

    1

    Know the parts of the equation, Surface Area = 4πr2. This nearly ancient formula is still the easiest way to determine the surface area of a sphere.[2]
     Using almost any calculator, you can plug in the radius to get the surface area of your sphere.

    • r, or «radius: The radius is the distance from the center of the sphere to the edge of that sphere.
    • π, or «pi:» This incredible number (equalling roughly 3.14) represents the ratio between a circle’s circumference and diameter, and is useful in all equations with circles and spheres. It is commonly shortened as π = 3.1416, but there are an infinite number of decimals.[3]
    • 4: For somewhat complex reasons, the surface area of a sphere is always 4 times as large as the area of a circle with the same radius.

  2. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 2

    2

    Find the radius of the sphere. Sometimes your problem will supply you the radius, and other times you will have to find it yourself. If you are given the diameter of a circle, simply divide the diameter by 2 to get the radius.[4]
     For example, a sphere of diameter 10 inches has a radius of 5 inches.

    • Advanced Tip:If you only know the volume of a sphere, you need to do a little more work to get the radius. Divide the volume by 4π, then multiply that answer by 3. Finally, take the cube root of this answer.[5]

    Advertisement

  3. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 3

    3

    Square the radius by multiplying it by itself. You can either do this by manually multiplying (52 = 5 * 5 = 25) or by using your calculator’s «square» function (sometimes labeled as «x2«).[6]

  4. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 4

    4

    Multiply this result by 4. While you can multiply either 4 or pi first, it is generally easier to start with 4 since there are no decimals to multiply yet.[7]

    • If our radius is 5, like above, you would be left with 4 * 25 * π, or 100π.

  5. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 5

    5

    Multiply the results by pi (π). If your problem says «exact value», write the symbol π after your number and call it done. Otherwise, use the approximation π=3.14 or your calculator’s π button.[8]

    • 100 * π = 100 * 3.14
    • 100π = 314

  6. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 6

    6

    Remember to add you units to the final answer. Is your sphere’s surface area 314 inches big, or 314 miles (505 km) big? The units need to be written as «units2,» because this denotes area, otherwise known as «square units».[9]

    • The full answer to the sphere in the pictures is: Surface Area = 314 units2.
    • The units you use are always the same ones used to measure the radius. If the radius is in meters, the answer will be in meters.
    • Advanced Tip: We square the units because area measures how many flat squares we could fit on the surface of the sphere. Say we measure the practice problem in inches. This means on a sphere where r=5, we could fit 314 squares on the surface of the sphere if the sides of every square are 1 inch long.

  7. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 7

    7

    Practice with an example. If the radius of a sphere is 7 centimeters, what is the surface area of that sphere?

    • 4πr2
    • r = 7
    • 4 * π * 72
    • 49 * 4 * π
    • 196π
    • Answer: Surface Area = 615.75 centimeters2, or 615.75 square centimeters.

  8. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 8

    8

    Understand surface area. The surface area of a sphere is the area covering the outside of the sphere — think of it as the rubber covering a kickball or the surface of the earth. Because it is curved, it is much harder to measure the surface area of a sphere than a box, so we need an equation to determine the area.[10]

    • Rotating a circle around its axis (the center point) will produce a sphere. Think of spinning a coin on the table and how it appears to form a sphere. While it won’t be explained here, this is where our equation comes from.
    • Advanced Tip: Spheres have a smaller surface area per volume than any other shape — that means it can hold more things in a smaller area than any other shape.

    9. Advertisement

Add New Question

  • Question

    How do I find the volume of a sphere?

    Donagan

    Volume = (4/3) π r³.

  • Question

    What is the circumference of a sphere?

    Donagan

    Pi multiplied by the diameter.

  • Question

    How do I find the area of half a sphere?

    Donagan

    Divide total area by 2.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Video

  • If your radius includes a square root, like 3 √ 5, remember to square coefficient squares and the radical. (3 √ 5)2 becomes 9×5 which gives 45.

Thanks for submitting a tip for review!

Advertisement

References

About This Article

Article SummaryX

To find the surface area of a sphere, use the equation 4πr2, where r stands for the radius, which you will multiply by itself to square it. Then, multiply the squared radius by 4. For example, if the radius is 5, it would be 25 times 4, which equals 100. If the problem calls for an exact answer, then leave the answer as 100π. If the answer doesn’t need to be exact, multiply by 3.14 to get the surface area. Be sure to label your answer as the appropriate units squared. If you want to learn how to find the radius of a sphere, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 330,966 times.

Did this article help you?

Источник

Калькулятор площади сферы

Рассчитайте онлайн площадь поверхности шарообразного объекта (сферы).

Что известно

Длина

Размерность

Раcсчитать

Оглавление:

  • 📝 Как это работает?
  • 🤔 Частые вопросы и ответы
  • 📋 Похожие материалы
  • 📢 Поделиться и комментировать

Что такое калькулятор площади поверхности шара?

Калькулятор площади шара (сферы)

Калькулятор расчета площади шара (сферы) — это онлайн инструмент, который помогает определить площадь поверхности сферы на основе заданных параметров. Площадь поверхности сферы представляет собой сумму всех площадей ее точечных элементов.

Для использования калькулятора расчета площади шара (сферы) необходимо знать радиус сферы. Радиус — это расстояние от центра сферы до любой ее точки. Введите значение радиуса в соответствующее поле в калькуляторе и нажмите на кнопку «Рассчитать».

Какую формулу использует калькулятор?

Формула для расчета площади поверхности шара (сферы) выглядит следующим образом:

S = 4πr2

где S обозначает площадь поверхности, π (пи) — математическую константу, примерное значение которой равно 3,14159, а r — радиус сферы.

Калькулятор автоматически применяет эту формулу, используя введенное значение радиуса, и выводит площадь поверхности шара (сферы) в соответствующем поле.

Как определить радиус шара (сферы)

Радиус шара (сферы) можно определить несколькими способами, в зависимости от доступных данных:

  1. Измерение. Если у вас есть физический объект в форме шара, вы можете использовать линейку или мерную ленту для измерения расстояния от центра шара до его внешней поверхности. Полученное значение будет радиусом шара.
  2. Информация о диаметре. Если у вас есть информация о диаметре шара (расстояние между двумя точками на его внешней поверхности, проходящих через его центр), вы можете разделить значение диаметра на 2, чтобы получить радиус. Формула для этого: r = D/2, где r — радиус, D — диаметр.
  3. Заданная площадь поверхности. Если вам известна площадь поверхности шара, вы можете использовать обратную формулу, чтобы вычислить радиус. Формула для этого: r = √(S/4π), где r — радиус, S — площадь поверхности.
  4. Другие известные параметры. В некоторых случаях у вас может быть информация о других параметрах, таких как объем шара или площадь поперечного сечения. В таких случаях можно использовать соответствующие формулы, чтобы выразить радиус через эти данные.

В каких областях можно применить такой калькулятор?

Калькулятор расчета площади шара (сферы) может быть полезен в различных областях, где требуется работа со сферическими формами и расчеты их площади. Некоторые из таких областей включают:

  1. Геометрия. Калькулятор позволяет быстро и удобно рассчитать площадь поверхности сферы при известном радиусе. Это может быть полезно в учебных задачах, связанных с геометрией и сферическими формами.
  2. Физика. В физике сферические объекты могут встречаться в различных контекстах, таких как моделирование планет, атомов, молекул или капель жидкости. Расчет площади поверхности сферы может быть важным для определения поверхностных свойств или характеристик таких объектов.
  3. Инженерия. В инженерных расчетах может возникнуть необходимость в определении площади поверхности сферы, например, при проектировании шаровых резервуаров, сферических антенн или шаровых линз.
  4. Астрономия. В астрономии сферические формы широко присутствуют, начиная от планет и спутников до звезд и галактик. Расчет площади поверхности сферы может быть полезен при изучении этих объектов и астрономических явлений.
  5. 3D-моделирование и компьютерная графика. Когда создаются трехмерные модели объектов в компьютерной графике или игровой индустрии, площадь поверхности сферы может быть необходима для определения освещения, текстурирования или коллизий объекта.

Это лишь несколько примеров областей, в которых калькулятор расчета площади шара (сферы) может быть полезен. Его применение может быть более широким, в зависимости от конкретных потребностей и задачи.

Пример

Расчет площади поверхности Земли может быть интересным примером для применения калькулятора расчета площади шара. Земля приближенно является геоидом, то есть ее форма приближенно сферическая с некоторыми нерегулярностями.

Для расчета площади поверхности Земли можно использовать радиус, который обычно указывают в километрах. Приближенное значение радиуса Земли составляет около 6 371 километр.

Применяя формулу для расчета площади поверхности шара, получим:

  • S = 4πr2
  • S = 4 * 3.14159 * (6,371)2
  • S ≈ 4 * 3.14159 * 40,518,241
  • S ≈ 509,904,080 квадратных километров

Таким образом, приближенная площадь поверхности Земли составляет около 509,904,080 квадратных километров.

Отметим, что это приближенное значение, так как форма Земли не является точной сферой. В реальности форма Земли более сложная и неоднородная, и точное измерение ее поверхности требует более сложных геодезических методов.

❓ Вопросы и ответы

Вот некоторые вопросы, которые могут возникнуть при использовании калькулятора площади шара (сферы) и ответы на них.

Что такое площадь поверхности шара?

Площадь поверхности шара представляет собой сумму площадей всех его точечных элементов.

Какова формула для расчета площади поверхности шара?

Формула для расчета площади поверхности шара выглядит так: S = 4πr^2, где S — площадь поверхности, π — математическая константа (приблизительное значение 3.14159), r — радиус шара.

Как использовать калькулятор площади шара?

Введите значение радиуса шара в соответствующее поле на калькуляторе и нажмите кнопку «Рассчитать». Калькулятор автоматически применит формулу и выдаст результат — площадь поверхности шара.

Могу ли я использовать дробные значения радиуса?

Да, вы можете использовать дробные значения радиуса при расчете площади поверхности шара. Просто введите соответствующее десятичное число в поле радиуса.

В каких единицах измерения будет выведен результат площади?

Результат площади будет выведен в квадратных единицах измерения, соответствующих используемой системе измерения радиуса (например, квадратных метрах, квадратных сантиметрах и т.д.).

Можно ли использовать калькулятор для других форм, а не только для шара?

Нет, калькулятор расчета площади шара предназначен исключительно для расчета площади поверхности шара. Для расчета площади других форм (например, цилиндра, конуса и т.д.) вы можете использовать другие наши калькуляторы.

Можно ли использовать калькулятор для расчета объема шара?

Нет, калькулятор площади шара предназначен только для расчета площади его поверхности. Для расчета объема шара используется другая формула: V = (4/3)πr^3.

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

  • Площадь правильного шестиугольника: калькулятор. Рассчитайте площадь правильного (равностороннего) шестиугольника с помощью онлайн-калькулятора.
  • Калькулятор числа «e». Посмотрите онлайн нужное число знаков после запятой в числе «e» (Эйлера или Непера).
  • Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
  • Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
  • Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
  • Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
  • Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
  • Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
  • Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
  • Калькулятор длины дуги. Рассчитайте онлайн длину дуги окружности по радиусу и углу или по формуле Гюйгенса.

Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Показать комментарии

Источник

Введение

Мы с вами живем на планете Земля, которая, с некоторыми допущениями, имеет форму шара. А сколько места на поверхности этой планеты? (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Планета имеет форму шара

Если мы очистим яблоко, поверхность какой пощади можно покрыть его кожурой? (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Очищенное яблоко

Сколько краски потребуется для того, чтобы покрасить какой-либо шарик? (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Шарик для покраски

Чтобы ответить на все эти и многие другие вопросы, необходимо уметь находить площадь сферы.

Метод нахождения площадей фигур

Обычно мы находили площади объектов путем разбиения их на знакомые нам фигуры и складывали площади полученных фигур. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Разбиение объекта на знакомые фигуры

Но сферу трудно разбить на какие-либо объекты: она, с одной стороны, объемная, а с другой стороны, мы хотим посчитать площадь, поэтому ни на «квадратики», ни на другие фигуры мы разбить ее не можем. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Сфера

План для нахождения формулы площади сферы

Шаг 1. Опишем около сферы произвольный многогранник. (Сфера должна касаться всех граней многогранника). (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Вписанная сфера

Шаг 2. Соединим центр сферы с каждой вершиной многогранника и получим разбиение многогранника ровно на столько пирамид, сколько у многогранника граней. (Заметьте: от многогранника не требуется не только равенство граней, но и одинаковое количество вершин на этих гранях.) (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Разбиение многогранника на пирамиды

Шаг 3. Объём каждой пирамиды мы можем выразить через её высоту (которая является радиусом сферы) и площадь основания . (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Радиус сферы является высотой каждой пирамиды

Шаг 4. Поскольку объём многогранника равен сумме объёмов составляющих его пирамид, мы можем, произведя суммирование, выразить объём многогранника через площадь его поверхности и радиус вписанной сферы . (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Площадь поверхности многогранника

Шаг 5. А теперь станем неограниченно увеличивать количество граней многогранника, одновременно уменьшая размеры самой большой из них. Тогда в пределе многогранник перейдёт в шар, а зависимость между его объёмом и площадью поверхности станет зависимостью между объёмом шара и площадью поверхности сферы. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Многогранник переходит в шар

Выведение формулы площади сферы

Итак, нам дана сфера. Известен её центр – некоторая точка  – и её радиус – некоторое положительное число .

Шаг 1. Описываем около сферы многогранник, имеющий  граней. Пусть  – площадь n-й грани (; ). (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Описанный многогранник, имеющий  граней

Шаг 2. Соединяем центр сферы с каждой вершиной многогранника и получаем  пирамид. (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Одна из  пирамид

Шаг 3. Объём n-й пирамиды  (так как многогранник касается сферы, то расстояние до каждой грани есть радиус). (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Данные для вычисления объёма n-й пирамиды

Шаг 4. Объём многогранника 

Шаг 5. При   сумма площадей граней многогранника также будет стремиться к площади сферы. Тогда получаем, что . Откуда . Подставим , значит, .

Теперь рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1

Во сколько раз увеличится площадь поверхности мяча, если его радиус увеличится вдвое? (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 1

Решение. Имеем: . Тогда площадь поверхности одного мяча , а второго – . Значит, .

Ответ: в  раза.

Замечание: данная задача иллюстрирует идею, что если фигура пропорционально увеличена в  раз, то её площадь увеличится в  раз, а её объём – в  раз.

Пример 2

Сколько кожи требуется, чтобы сшить гандбольный мяч радиусом  см, если  от площади поверхности мяча уходит на швы? (См. Рис. 15.)

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 2

Решение. Найдём по выведенной формуле площадь поверхности сферы и добавим к ней .

Таким образом, получается: .

Ответ: .

Задача

Сравнить площади полной поверхности сферы и конуса (), у которого высота равна диаметру сферы (), а диаметр основания – образующей (). (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Иллюстрация к задаче

Решение. Пусть радиус сферы равен . Тогда высота конуса . Радиус основания конуса в  раза меньше образующей , значит, если рассмотреть прямоугольный треугольник – половину осевого сечения конуса – то из него получается, что радиус основания , высота конуса , а образующая . (См. Рис. 17.) Тогда по теореме Пифагора , откуда .

Рис. 17. Измерение элементов данных фигур

Если , то . Значит, площадь полной поверхности конуса

.

Площадь поверхности шара (по формуле) . Значит, площади поверхностей равны.

Ответ: 

Заключение

На этом уроке мы выяснили, как выглядит формула площади сферы, разобрали, как она выводится, и решили несколько примеров на использование данной формулы.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт terver.ru (Источник)

2. Интернет-сайт calc.ru (Источник)

3. Интернет-сайт bitclass.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Дана площадь поверхности сферы . Определите диаметр сферы.

2. Площади поверхностей двух шаров относятся как . Найдите отношение их диаметров.

3. Объем шара равен . Найдите площадь его поверхности.

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Вывод формулы для вычисления площади поверхности сферы – непростая задача. Однако сама формула проста – S = 4πr2.

Шаги

  1. 1

    Определите радиус.

    • Если дан диаметр, разделите его на 2, чтобы получить радиус.

      Изображение с названием Find the Surface Area of a Sphere Step 1Bullet1

    • Если дан объем, разделите его на пи, полученное значение умножьте на 3, а затем полученное значение разделите на 4; из полученного значения извлеките кубический корень.

      Изображение с названием Find the Surface Area of a Sphere Step 1Bullet2

  2. Изображение с названием Find the Surface Area of a Sphere Step 2

    2

    Возведите радиус в квадрат (то есть умножьте самого на себя).

  3. Изображение с названием Find the Surface Area of a Sphere Step 3

    3

    Полученный результат умножьте на 4.

  4. Изображение с названием Find the Surface Area of a Sphere Step 4

    4

    Полученный результат умножьте на пи (π). Вы можете записать в ответе знак «π», либо подставить вместо него число 3,14 и найти численное значение площади поверхности сферы.

    Реклама

Пример

  • r = 5
  • 52=25
  • 25×4=100
  • S = 100π или 314,2

Советы

  • Если значение радиуса включает квадратный корень, например 3√5, то при возведении такого значения в квадрат вы получите: (3√5)2 = 9 × 5 = 45.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 5860 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь шара (сферы) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Формула вычисления площади шара/сферы

    • 1. Через радиус

    • 2. Через диаметр

  • Примеры задач

Формула вычисления площади шара/сферы

1. Через радиус

Площадь (S) поверхности шара/сферы равняется произведению четырех его радиусов в квадрате и число π.

S = 4 π R2

Площадь поверхности шара

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Через диаметр

Как известно, диаметр шара/сферы равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь поверхности фигуры можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2)2

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)2 = 615,44 см2.

Задание 2
Площадь поверхности сферы равна 200,96 см2. Найдите ее диаметр.

Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:
Расчет диаметра сферы через площадь ее поверхности

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Raw формат флешки как исправить на ntfs
  • Как найти долю от числа excel
  • Как найти углы прямоугольного треугольника через катеты
  • Как найти угол между касательными производная
  • Как найти огненную соль в скайриме

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии