Как найти площадь синусоиды - Autoru.top - решение различных проблем

Центральная симметрия подсказывает идею модели, иллюстрирующую подсчёт площади. На листе бумаги распечатаем график синуса и закрасим под ним
площадь на отрезке $[-pi/2, pi/2]$. На «прозрачке» повторим картинку.

Если наложить прозрачку на бумажный график, то картинки, естественно, совпадут. Воткнув канцелярскую скрепку в начало координат, повернём
прозрачку на $180^circ$. Кривая синуса совпадёт с собой! А вот закрашенным, причём без наложений, окажется уже весь прямоугольник $[-pi/2, pi/2]times [-1,1]$. Посчитать площадь прямоугольника, а затем поделить пополам, — несложно.

Итак, площадь под синусом (между графиком функции $sin x$ и его «основанием») на участке $[-pi/2, pi/2]$ равна $pi$, а на полном периоде, соответственно, $2pi$. Этот факт в совокупности с лепестками Роберваля, о которых будет отдельный сюжет, дают способ вычислить площадь под аркой циклоиды.

По сути, модель основана на том, что синусоида делит прямоугольник на две равновеликие части. Подобный трюк, очевидно, можно проводить
и с другими нечётными (или сводящимися к ним) функциями.

Источник

	Найти площадь части синусоиды — как? 13.07.2007, 13:05
13/07/07 2	Найти площадь части синусоиды от 0 до pi/2 в зависимости от частоты этой синусоиды(под частотой я имею в виду множитель b в формуле y:=asin(bx) То есть — Дано: y:=asin(bx) Надо: найти площадь четверти периода этой синусоиды, причём в общем виде, что бы в ответной формуле задавать переменную b и получать площадь синусоиды частоты b Понятно что взять интеграл, но это и не получается, не силён я в них. Подскажите, пожалуйста.

photon

13.07.2007, 13:10

Экс-модератор

23/12/05
11956

led9 писал(а):

Понятно что взять интеграл, но это и не получается, не силён я в них.

Если Вы хотите научиться сам считать площадь под кривой, то придется-таки осваивать интегралы, если для Вас важен только ответ — мат.пакеты вам в помощь: даже MathCAD даст вам аналитическое решение

led9	13.07.2007, 13:13
13/07/07 2	photon мне правда ответ нужен, системы пробовал — не дают ответ. Спрашивал в реале — говорят отношение площадей двух синусоид разных частот, если взять обе по модулю, а затем вычислить площадь — одинаково. как это я не понимаю, но вижу что у синусоид с меньшей частотой горбы толще и площади там больше.. у синусоиды с большей частотой горбы чаще, но — они не прямые эти горбы, неужели если частота в два раза больше, то два кривых горба в точности сравняются с одним по площади?

photon

13.07.2007, 13:36

Экс-модератор

23/12/05
11956

Толь Толич	15.07.2007, 01:07
15/07/07 1

незваный гость

15.07.2007, 02:01

Заслуженный участник

17/10/05
3709

:evil:

«Интегралы нам што! дробя вот заедает…»

1) Четверть периода равны $pi/2$ толькко если $b = 1$ . В остальных случаях, как и указал photon

, это $frac{pi}{2 b}$ .

2) Под $b$ подразумевается, видимо, $b$ . Другое дело, что в физики и инженеры традиционно используют другую букву. Идея поменять обозначения (по сравнению с условием задачи) особенно хорошо запутывает тех, кто пытается понять решение.

3) Если же аккуратно подставить правильный верхний предел, то получится в точности формула photon

а.

15.07.2007, 04:10

Экс-модератор

17/06/06
5004

На примитивном уровне можно считать так:

Синусоида имеет площадь $1$ под графиком от $0$ до $pi/2$ . Тогда синусоида , полученная растяжением вдоль оси $y$ в $a$ раз и сжатием вдоль оси $x$ в $b$ раз, будет, конечно, иметь площадь $a/b$ . Зависимость легко угадать, проблема лишь в том, чтобы найти какую-нибудь одну синусоиду.

led9 писал(а):

неужели если частота в два раза больше, то два кривых горба в точности сравняются с одним по площади?

$a/b$ — это мы посчитали площадь одного горба (потом исправил: ой-ой-ой, даже половинки!). Да, они сравняются по площади, потому что мы как раз в два раза их и сжали, и их стало в два раза больше.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

К этой странице обращались 1132 раза.

Текст страницы доступен по условиям лицензии GNU Free Documentation License. Материалы могут быть скопированы при условии указания активной ссылки на источник копирования в теле статьи (на той же странице). В отдельных случаях могут действовать условия лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike (CC BY-SA 3.0), информацию об этом можно просмотреть на странице обсуждения или в истории правок. В частности, условия лицензии CC BY-SA 3.0 действуют в отношении статей, перенесенных из Википедии, Викии/Fandom и Руниверсалиса (указание на факт переноса всегда есть в истории правок статьи или на ее странице обсуждения).

В текстах могут упоминаться организации, признанные на территории Российской Федерации террористическими и/или в отношении которых судом принято вступившее в законную силу решение о запрете деятельности — см. полный список, а также деятельность которых запрещена по решению суда — см. полный список.

Источник

Внимательно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 193—196. Разберите примеры, приведенные в п° 196. При решении задач с геометрическим содержанием всегда старайтесь сопроводить решение чертежом.

I. Уравнения кривых заданы в декартовой системе координат.

443. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы, прямыми X=I9 х — А и отрезком

оси абсцисс.

Решение. В теоретическом курсе показано, что площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

В данном случае (рис. 5) криволинейная трапеция ABDC9 площадь которой мы вычисляем, ограничена параллельными прямыми AB и CD, отрезком прямой AC и отрезком кривой линии BD.

Искомая площадь равна:

444. Вычислить площадь трапеции, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой х = 2.

Решение. Из рисунка 6 видно, что искомая площадь расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно,

445. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми;

Решение. На рисунке 7 изображена фигура, площадь которой мы должны вычислить. Как видно из рисунка, площадь фигуры OBMAO можно представить как разность двух площадей (пл. OBMPO и OAMPU1 где MP — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Ох).

Найдем координаты точки Al. Решая систему уравнений

получимСледов ат ельн о,

Легко видеть, что данную задачу можно решить и другим путем. Искомую площадь можно представить в виде разности двух площадей—пл. OAMNO и пл. OBMNO (MN — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Oy):

Тогда

Ясно, что значение площади OBMAO не зависит от способа ее вычисления.

446. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой:

Решение. Из уравнений кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Ох. Следовательно, можно легко вычислить половину искомой площади (см. рис. 8).

Рекомендуем провести самостоятельно подробное исследование кривой.

Записав уравнение кривой в виде легко найдем точки пересечения кривой с осью Ох, положив у = 0. Мы получим.Учитывая все сказанное, окончательно найдем:

447. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой wИ осью Ох, если

Вся площадь петли равна:

Решение. Из рисунка 9 видно, что искомая площадь на сегментеРасположена над осью Ох, а на сегменте

Под осью Ох. Следовательно, достаточно вычислить площадь, ограниченную полуволной синусоиды на отрезке|, и удвоить полученный результат:

448. Найти всю площадь фигуры, ограниченной кривыми, прямыми X = 3, X = —2 и осью Ох.

Решение. Из рисунка 10 видно, что искомая площадь может быть представлена как сумма площадей:

где BA и MN—перпендикуляры, опущенные из точек В и Al на ось Ох.

Определим координаты точек В, С, М, Р. Для этого решим следующие системы уравнений:

Решая систему (I) уравнений, найдем координаты точек В и M : В (I, 2), M {— I, 2).

Решая систему (2) уравнений, найдем координаты точки С : С (3, К».

Решая систему (3) уравнений, найдем координаты точки P : Р(— 2, 5).

Найдем теперь значения промежуточных площадей:

Отсюда

449. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

450. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

451. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами:

452. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

453. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

454. Найти площадь «Ьигуоы. огоаниченной линиями:

455. Найти площадь круга:

456. Найти площадь эллипса

457. Найти площадь, заключенную между кривыми

458. Найти площадь фигуры, ограниченной гипоци-лоидой

459. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой

И прямой

460. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой, осями координат и прямой х=3,5.

461. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми:

462. Найти площадь частей эллипса отсеченных гиперболой

463. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

464. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми

2. Кривые заданы параметрическими уравнениями. Если кривая, ограничивающая площадь плоской фигуры, задана параметрическими уравнениями:

где функцииНепрерывны вместе со своими про

изводными наТо для вычисления площади

плоской фигуры следует в определенном интеграле произвести замену переменной:

465. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом!

Решение. Эллипс расположен симметрично относительно обеих осей (рис. Последовательно, можно вычислить сначала• часть площади данной фигуры. Вычислим площадь той части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте:

Найдем пределы интегрирования для переменной t из условий:

Имеем:

466. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой:

PsP ш е н и е. Искомая площадь изображена на рисунке 12. Вычислим сначала площадь тсй части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте, это будет

Рис. 12.

часть всей искомой площади. Найдем пределы интегрирования для переменной / из условий:

Следовательно,

467. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды:И осью Ох.

Решение. Из рисунка 13 видно, что при изменении параметра t от 0 до 2л точка (ху у) обегает всю арку циклоиды, причем х изменяется в промежутках от 0 до 2т. Следовательно,

Вся площадь, ограниченная астроидой, равна:

468. Вычислить площадь четверти круга: x = 2cos t, y = 2sint.

469. Найти площадь, ограниченную эволютой эллипса:

(.Эволютой кривой называется геометрическое место её центров кривизны. Эволютой эллипса является деформированная астроида.)

470. Найти площадь, ограниченную кардиоидой:

х = a(2cost — cos 21), у = a (2sin/— sin 2/).

3. Кривые заданы в полярной системе координат. Из

теоретического курса известно, что площадь S1 ограниченная неподвижным полярным радиусом г0, подвижным полярным радиусом г и кривой г — /(ф), может быть вычислена по следующей формуле:

<Р> Ч, г

S = — j J/-2 Лр = J — j /(<р)]2<*Ф.

471. Вычислить площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда г — а<р (рис. 14).

Решение. Найдем пределы интегрирования. Первый виток спирали образуется при изменении параметра t от О до 2зх. Следовательно,

,12*

D3 Д

472. Найти площадь, ограниченную одним лепестком кривой г = a sin 2<р.

Решение. Пределы интегрирования для <р найдем из условий:

О < 2<р<я.

Отсюда

и, следовательно,

473. Вычислить площадь, ограниченную кривой г = = a cos ф.

Решение. Данная кривая—окружность радиуса у,

проходящая через полюс, расположенная симметрично относительно полярной оси. Эго легко увидеть, если перейти к декартовым координатам. (Проделайте это самостоя-

а2 I

тельно.) Тогда S = я — — = —я;а2.

7 4 4

Можно было найти искомую площадь, используя полярное уравнение данной кривой. Пределы для q> найдут* ся из условия cos ф> 0, следовательно,

S = J a® cos2 ф dq> =

TC TC

—< ф < —.

2 Y 2

Таким образом, имеем:

474. Вычислить площадь OAB (см. рис. 15), ограниченную полярными радиусамиг, = OA и r2 = OB и дугой логарифмической спирали

Решение. Будем считать, что полярному радиусу г, соответствует полярный угол фг, а полярному радиусу г2 соответствует полярный угол ф2. Тогда

475. Найти площадь петли листа Декарта:

Решение. Перейдем к полярным координатам с помощью известных соотношений:

Уравнение данной кривой в полярных координатах примет вид:

откуда

На получим

откуда

, в этом промежутке изменения полярного

углаф кривая опишет петлю. ПриИли

знаменатель стремится к нулю и, следовательно, р —» оо. Это значит, что существует асипмтота данной кривой. Найдем ее, пользуясь исходным уравнением кривой в лекап-товых координатах. Разделив обе части равенства

Из полученного уравнения кривой видно, чтоПри

и, следовательно, таким образом,

Уравнение асимптоты:

Подставляя вместо k и b найденные значения, получим искомое уравнение асимптоты данной кривой:

Для построения данной кривой совместим полюс с началом декартовых координат и будем считать положительное направление оси Ox совпадающим с направлением полярной оси. Составим таблицу значений

Соединяя теперь плавной кривой полученные точки, получим петлю данной кривой (рис. 16).

Найдем площадь, ограниченную петлей листа Декарта. Из геометрических соображений видно, что полярный угол <р

изменяется от 0 до.Tаким образом, находим:

476. Вычислить площадь круга

477. Найти площадь, ограниченную петлей лемнискаты>

Построив предварительно данную кривую.

478. Найти площадь, ограниченную кривой:

P = a cos 4<р.

479. Найти площадь, ограниченную одним лепестком кривой:

P = a cos 2ф.

480. Найти площадь фигуры, ограниченной вторым витком спирали Архимеда р = аф и отрезком полярной оси, соединяющим концы первого и второго витков (см. рис. 14).