Как найти площадь кривой через интеграл

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен график прямой ;
2) на отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс  зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой  и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
 – нижний предел интегрирования,  – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция  (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Криволинейный
интеграл по простому замкнутому гладкому
контуру L,
ограничивающему односвязную область
D
может быть преобразован в некоторый
двойной интеграл по области D,
ограниченной этим контуром.

Это
преобразование выполняется по формуле
Грина, которая имеет вид:

.
(3.32)

Предполагается,
что функции Р(х,
у) и Q(x,
y),
а также их
частные производные

непрерывны в области D
и на контуре L,
который ее ограничивает, причем, контур
L,
пробегается в положительном направлении,
т.е. так, что область D
остается слева.

Если
формулу Грина прочесть справа налево,
то можно сказать, что она сводит вычисление
двойного интеграла по области D
к вычислению криволинейного интеграла
взятого по контуру L,
ограничивающему
эту область.

Формула
(3.32) справедлива не только для области
D
указанного вида, но и для более сложных
областей, ограниченных несколькими
простыми гладкими контурами. В случае:

,

следует
рассматривать как сумму интегралов по
составляющим контурам, причем,
интегрирование по этим контурам должно
вестись в таком направлении, чтобы
область D
оставалась слева.

Многие
криволинейные интегралы, взятые по
замкнутому контуру, удобно вычислять,
сводя их к двойному.

Задача
3.19.
Вычислить, применяя формулу Грина,
интеграл.

,

где
L
– окружность х²
+ у²
= а²,
пробегаемая в положительном направлении.

Решение.
Здесь Р(х,
у) = — х²
у; Q(х,
у) = — х у²;

;

.

Подставляя
эти значения в формулу (3.17), получим:

,

где
D –
круг, ограниченный окружностью х²
+ у²
= а².
Вычисление
полученного интеграла удобно провести
в полярных координатах, при этом элемент
площади dxdy
= rdrd,

а
х²
+ у²
= r².

Получим

.

Ответ:

.

Задачи
для самостоятельного решения

Задача
3.20. С помощью
формулы Грина вычислить интеграл

,
где

С
– замкнутый контур, составленный дугами
двух окружностей х²
+ у²
= 1 и
х²
+ у²
= 4 (y > 0) и
отрезками прямых у
= х и

(у 
0), заключенных
между этими окружностями (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Указание.
Найти

.

;

;

.

По
формуле Грина интеграл равен:

.

В
данной задаче перейдем к полярным
координатам

.

Ответ:

.

Задача
3.21.
Криволинейный
интеграл из предыдущей задачи и по тому
же контуру вычислить, не прибегая к
формуле Грина.

Указание.
Уравнения окружности преобразовать к
параметрической форме. Получим уравнение:

и

Параметр
t на дуге ВС
изменяется от

до ,

,

а на дуге DА от

до

.
Интегралы по этим двум дугам взаимно
уничтожаются. Перемещая х на отрезке
АВ применяется от

,
а на отрезке СD от 1 до 1/2.

С
помощью интеграла второго рода, площадь
плоской фигуры, ограниченной кусочно-гладкой
кривой вычисляется, по формуле:

,
(3.33)

где L
– контур, ограничивающий искомую
площадь, а интегрирование по этому
контуру ведется в положительном
направлении, т.е. чтобы область D
оставалась слева.

Для
вычисления площади с помощью криволинейного
интеграла применяются такие формулы:

;
(3.34)

.
(3.35)

Задача
3.22. С помощью
криволинейного интеграла, вычислить
площадь, ограниченную эллипсом:

(0 
t 
2).

Решение.
Найдем: dx
= — a 
sin t dt, dy= b 
cos t dt.

Подынтегральное
выражение по этой формуле равно:

x dy – y dx =
(ab
cos²
t + ab
sin²
t)dt = a 
b 
dt.

Получим:

(кв. ед.).

Ответ:

(кв.ед.).

Задача
3.23. Определить площадь, ограниченную
одной аркой циклоиды (рис. 3.4).

(0 
t 
2).

Рис.
3.4

Решение. Найдем
dx = a(1–cost)dt,
dy = a
sin t dt.

Тогда,
подынтегральное выражение примет вид:

x dy–y
dx=a(t–sint)a
sint dt–a(1–cost)a(1–cost)
dt=

= a²(t
sint + 2cost – 2)dt.

Интегрирование
ведется по контуру ОАВО в направлении,
указанном стрелками. На отрезке ОА у
= 0 и dу = 0.
Поэтому на этом отрезке подынтегральное
выражение примет вид: x
dy–y
dx = 0. На дуге АВО
периметр t изменяется
от 2 до 0.
Учитывая это, получим:

Ответ:
S = 3
a²
(кв.
ед.).

Задачи
для самостоятельного решения

Задача
3.24. Определить площадь, ограниченную
астроидой:

(0 
t 
2).

Ответ:

.

Задача
3.25. Найти площадь,
ограниченную кардиоидой:

(0 
t 
2).

Ответ:
S = 6
a²
(кв.
ед.).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #

  30.04.2022655.36 Кб144.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Разберем готовые ответы к примерам на нахождение площади плоской фигуры, которая ограничена кривыми через двойные интегралы.
Задание не сложные, а вся схема нахождения площади требует всего трех вещей:
знание элементарных функций и умение искать точки их пересечения;
понимание как через криволинейные интегралы искать площадь, умение правильно расставлять пределы;
хорошых знаний теории вычисления интегралов, поскольку к этому все сводится.

ЗАДАНИЕ 4.1 Найти площадь плоской фигуры, которая образована линиями:
x=4-y², x+2y=4.
Решение: Фигура ограничена x=4-y² — параболой с вершиной в точке O(4;0) и ветками влево;
но x+2y=4 — прямой, которая отрезается на осях в точках (4;0) и (0;2).
Найдем точки пересечения графиков функций из системы уравнений:

При ее решении получим две точки

График параболы и прямой приведен на рисунку

Запишем пределы интегрирования:
D: 0≤x≤4,
Здесь имеем y=√(4-x) — уравнение верхней части параболы x=4-y^2;
Вычислим площадь фигуры нахождением двойного интеграла:

Площадь равна 1,33 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 4.2 Найти площадь плоской фигуры, которая образована кривыми:
y=2-x, y²=4x+4.
Решение: y^2=4x+4 — парабола с вершиной в точке O (-1;0) и ветками вправо;
y=2-x, x+y=2 — прямая, которая отрезается на осях в точках (2;0) и (0;2).
Складываем систему уравнений для нахождения точек пересечения графиков заданных кривых:

При решении получим две точки

График области интегрирования имеет вид

Пределы в области D:
-6≤x≤2, 0,25y²-1≤y≤2-y.
Находим площадь фигуры через криволинейный интеграл:

Кратный интеграл не трудно интегрировать.

ЗАДАНИЕ 4.3 Найти площадь плоской фигуры, которая образована линиями:
x²+y²=4, x²+y²=4x.
Решение: Область интегрирования ограничена x²+y²=4 — кругом с центром в точке O₁(0;0) и радиусом R=2;
x²+y²=4x, x²-4x+4+y²=4, (x-2)²+y²=2² — круг с центром в точке O₁(2;0) и радиусом R=2.
Найдем точки пересечения графиков заданных функций из системы уравнений:

отсюда

График фигуры, площадь которой ищем приведен на рисунку 

Расставим пределы в области D
(поскольку область симметрична относительно прямой y=0, то будем рассматривать ее половину, а результат умножим на 2):
D: 0≤y≤√3,
Здесь записали:
— уравнение левого полукруга (x-2)²+y²=4;
— уравнение правого полукруга x²+y²=4.
Вычислим площадь фигуры через двойной интеграл:

При интегрировании получили арксинусы, дальше подставили пределы интегрирования и округлили конечные значения.

ЗАДАНИЕ 4.4 Найти площадь плоской фигуры, которая образована кривыми:
x²+y²=2x, x²+y²=4x, y=x, y=0.
Решение: Начнем вычисление с анализа того, что собой представляет фигура, площадь которой нужно найти.
Сведем уравнения к простому виду
x²+y²=2x, x²-2x+1 +y²=1, (x-1)²+y²=1² — круг с центром в точке O₁(1;0) и радиусом R=1.
x²+y²=4x, x²-4x+4+y²=4, (x-2)²+y²=2² — круг с центром в точке O₁(2;0) и радиусом R=2.
y=x — прямая, которая является биссектрисой первой и третьей четверти. 
Рисунок к задаче илюстрирует площадь которой фигуры нужно найти

Поскольку поверхность ограничена кругами, то целесообразно перейти к полярным координатам.

Найдем якобиан перехода:

Запишем заданные функции в полярной системе координат:

отсюда

отсюда
y=0, тогда
y=x, тогда
Это нам нужно, чтобы знать пределы в новой системе координат.
Пределы интегрирования в полярной системе координат:

Вычислением кратного интеграла находим площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми:

Конечное значение площади можно еще округлить.
Из этого примера Вы ознакомились как искать площадь в полярной системе координат.
В следующей статье разберем еще несколько примеров на нахождение площади фигур интегрированием.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

.

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Как мы пытались ее решить:

Первый способ.

Разбили отрезок на  одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили  в пределе и

получили искомую площадь S. Ввели обозначение .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2. Функция S (x)

Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому  соответствует единственное значение .

Мы доказали, что производная этой же функции  и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функциии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке  и отнять первообразную в точке  И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

 .

2. Методика нахождения площади на примере

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Вот искомая площадь:

Рис. 3. Площадь

Вот формула:

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

Пределы интегрирования .

=.

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

Ответ:

В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью  А именно:

3. Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).

Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями

Формула та же самая:

В нашем случае . Итак, надо найти определенный интеграл

=-(-1)+1=1+1=2.

Искомая площадь найдена, и ответ получен.

Ответ: 2

4. Пример 3

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Формула для площади та же самая:

В нашем случае .

Ответ:

В следующем примере ищется площадь под параболой.

5. Пример 4

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Схематически изобразим параболу  Корни

Рис. 6. Парабола

Применим известную формулу

И применим ее для данной функции  и пределов интегрирования

Искомая площадь найдена.

Ответ:

В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.

6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение.

Посмотрим, что это за фигура. График в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).

Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π

Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.

Вычисляем.

1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции

Надо найти первообразную.

По таблице первообразных: .

=-1-1=-2.

2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль =2.

Ответ: 2.

7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы

Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.

А именно:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис.

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .

Каким образом мы будем решать эту задачу?

Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное , что площадь находится над осью . Рис. 9.

Рис. 9. Сдвиг фигуры

Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.

Площадь под верхней кривой  минус площадь под нижней кривой .

Каждую из площадей мы умеем находить.

Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.

Ответ:

Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.

Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 .

Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это  Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:

Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями  непрерывных на отрезке  и таких, что для всех  из отрезка  вычисляется по формуле, которую мы вывели:

Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.

8. Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

 .

Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График

 – биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Рис. 10. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: .

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

Теперь стандартное действие:

2. =  =()

Искомая площадь равна 4,5

Ответ: 4,5

9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью

Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.

Пример 6.

Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.

Пределы интегрирования найдем из системы.

То есть, пределы интегрирования найдены.

= ()

Ответ:

Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ru.scribd.com (Источник).
2. Math4you.ru (Источник).
3. Dok.opredelim.com (Источник).

Домашнее задание

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.