Площади фигур. Основные формулы.
Площадь треугольника.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а — основание, h — высота, проведенная к этому основанию. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b — стороны, α — угол между этими сторонами. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b, с — стороны, р — полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
r — радиус вписанной в треугольник окружности, р — полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b, с — стороны, R — радиус описанной около треугольника окружности, d — диаметр описанной окружности. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
R — радиус описанной около треугольника окружности, α, β, γ — углы треугольника. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b — катеты. Формула применима для прямоугольного треугольника. |
 |
 |
a — сторона. Формула применима для равностороннего (правильного) треугольника. |
Площадь квадрата и прямоугольника.
Площадь параллелограмма и ромба.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а — одна из сторон параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне |
 |
 |
а, b — стороны параллелограмма, α — угол между этими сторонами |
 |
 |
d1, d2 — диагонали, α — угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны) |
 |
 |
а — сторона ромба, h — высота, проведенная к этой стороне |
 |
 |
а — сторона ромба, α — угол между этими сторонами |
 |
 |
d1, d2 — диагонали ромба |
Площадь трапеции.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а, b — основания трапеции, h — высота. Формула применима для любой* трапеции. |
 |
 |
m — средняя линия трапеции, h — высота. Формула применима для любой трапеции. |
 |
 |
d1, d2 — диагонали трапеции, α — угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны). Формула применима для любой трапеции. |
*Любая трапеция — это и равнобедренная, и прямоугольная, и тупоугольная, и произвольная 
Площадь круга и кругового сектора.
Площадь многоугольника.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
р — полупериметр (сумма всех сторон многоугольника, деланная на 2), r — радиус вписанной в этот многоугольник окружности. *Пятиугольник нарисован для примера. Формула работает как для правильного, так и для произвольного многоугольника, главное, чтобы в него можно было вписать окружность. |
Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
Некоторые свойства площади фигур
-
Если многоугольники равны, то они имеют равные площади.
-
Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Рис. (1). Нахождение площади многоугольника
Рассмотрим, как найти площадь у разных фигур.
Площадь квадрата
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
, где
a
— длина стороны квадрата.
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину (смежные стороны).
, где
a
и
b
— длина и ширина.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Рис. (2). Параллелограмм
,
a
(
AD
и
CD
) — основание,
h
(
BE
и
BF
) — высота.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Рис. (3). Ромб
Рис. (4). Треугольник
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
, где
a
(
AD
) — основание,
h
(
BE
) — высота треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Рис. (5). Трапеция
Площадь трапеции равна половине суммы оснований, умноженной на высоту.
, где
a
(
BC
) и
b
(
AD
) — основания,
h
(
BE
) — высота.
Площадь круга и кругового сектора
Рис. (6). Круг
— площадь кругового сектора.
Более подробно ознакомиться с примерами можно здесь.
Формулы площади геометрических фигур
Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
-
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты -
Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
-
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. -
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
-
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.где S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,p = a + b + c — полупериметр треугольника. 2
Формулы площади квадрата
-
Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.S = a2
-
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон
S = a · b
где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
-
Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
-
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.S = a · b · sin α
-
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.где S — Площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма.
Формулы площади ромба
-
Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
-
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.S = a2 · sin α
-
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.где S — Площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d1, d2 — длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
-
Формула Герона для трапеции
S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d) |a — b| -
Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высотугде S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,p = a + b + c + d — полупериметр трапеции. 2
Формулы площади выпуклого четырехугольника
-
Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника. -
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности
S = p · r
-
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ
где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
-
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность
S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)
Формулы площади круга
-
Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.S = π r2
-
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.где S — Площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга.
Формулы площади эллипса
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.
S = π · a · b
где S — Площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.
Формулы площадей фигур
Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
- формулы площади треугольника
- формулы площади квадрата
- формула площади прямоугольника
- формулы площади параллелограмма
- формулы площади ромба
- формулы площади трапеции
- формулы площади дельтоида
- формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника
- формулы площади круга
- формула площади эллипса
Формулы площади треугольника
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.
S = 12 a · h
,
где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.
Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c.
S = pp-ap-bp-c
,
где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c2
a, b, c — стороны треугольника.
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
S = 12 a · b · sinγ
,
где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
S = a · b · c4R
,
a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
S = p · r
,
где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c2
Формулы площади квадрата
Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
S = a2
,
где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = d22
,
где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.
S = a · b
,
где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
S = a · h
,
где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
S = a · b · sinα
,
где S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма.
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.
S =
d1 · d2
· sinβ2 = d1 · d2
· sinγ2
,
где S — площадь параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
β, γ — угол между диагоналями параллелограмма.
Формулы площади ромба
Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
S = a · h
,
где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
S = a2 · sinα
,
где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
S = d1 · d22
,
где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.
Формулы площади трапеции
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две (a, b) стороны параллельны (основания), а две другие (c, d) стороны не параллельны (боковые стороны).
Формула Герона для трапеции
S = a + b|a — b| p-ap-bp-a-cp-a-d
,
где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,
p=a+b+c+d2 — полупериметр трапеции.
Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
S = a + b · h2
,
где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.
Формулы площади дельтоида
Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.
Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними
Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.
S = a·b sinβ
,
где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
β — угол между неравными сторонами дельтоида.
Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними
Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.
S = a2 sinγ + b2 sinα2
,
где S — площадь дельтоида,
a, b — длины сторон дельтоида,
α — угол между равными сторонами b,
γ — угол между равными сторонами a.
Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.
S = a+b r
,
где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.
Формула площади дельтоида по двум диагоналям
Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.
S = d1 · d22
,
где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.
Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника
Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.
S = d1 · d2 · sinγ2
,
где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — диагонали четырехугольника,
γ — любой из четырёх углов между диагоналями.
Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
S = p-ap-bp-cp-d — a·b·c·d ·cos2θ
,
где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p=a+b+c+d2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)
Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна
S = p-ap-bp-cp-d
,
где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p=a+b+c+d2 — полупериметр четырехугольника.
Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:
S = p· r
,
где S — площадь четырехугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p=a+b+c+d2 — полупериметр четырехугольника.
Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями
Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна:
S = a·b·c·d
,
где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.
Формулы площади круга
Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.
S = πr2
,
где S — площадь круга,
r — радиус круга.
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.
S = πd24
,
где S — площадь круга,
d — диаметр круга.
Площадь сегмента круга
Площадь кругового сегмента через угол в градусах.
S = R22 · π · α°180° — sinα
,
где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в градусах.
Площадь кругового сегмента через угол в радианах.
S = R22 · αрад. — sinα
,
где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в радианах.
Формула площади эллипса
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.
S = π · a · b
,
где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.
- Коротко о важном
- Таблицы
- Формулы
- Формулы по геометрии
- Теория по математике
4
Как найти площадь ромба?
12 ответов:
1
0
Нужно перемножить его диагонали и разделить произведение пополам. Чтобы не зубрить и не путать, можно объяснить как-нибудь этот процесс для себя. Лично я в школе прибегал к такой уловке. Диагонали делят ромб на 4 прямоугольных треугольника. Добавляя еще четыре таких же, мы получим прямоугольник, в который вписан этот ромб. Его площадь равна произведению сторон, которые равны диагоналям ромба. При этом площадь самого прямоугольника в 2 раза больше площади ромба. Поэтому площадь ромба равна половине площади прямоугольника, в который он вписан. Это долго объяснять словами, но картинка говорит сама за себя.
1
0
Еще со школы помню, что узнать площадь данной фигуры можно так:
- перемножить диагонали и поделить на два (2)
- умножить высоту фигуры на длину стороны
К примеру, если диагонали ромба имеют длину 5 и 6 см, то площадь ромба равна 15 см. То есть умножает 5 на 6 и делим на 2.
0
0
В переводе с латинского слово ромб означает бубен. Это многое объясняет для любителей карточных игр. Просто в древности бубны делали не круглыми, а в виде параллелограммов. Поскольку ромб – параллелограмм, то площадь ромба можно найти несколькими способами.
Во-первых, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Это многие помнят еще со школы.
Во-вторых, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту.
А в-третьих, площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус прилегающего угла.
0
0
Площадь ромба можно вычислить по нескольким формулам, важно знать хоть какие-нибудь величины, характеризующие его.
Если известны его диагонали, то площадь — это произведение диагоналей, разделенные на два.
Если знаете его сторону и высоту, то их нужно перемножить, чтобы узнать площадь.
0
0
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат тоже является ромбом, это частный случай. для расчета площади ромба существует формула:
S= 1/2 d1*d2, где d1, d2 — диагонали ромба. То есть площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Так как ромб — это параллелограмм, то площадь также равна произвению его стороны на высоту.
0
0
Для того что бы найти площадь ромба, необходимо знать, что площадь ромба равна половине произведений его диагоналей. Это дети учат в восьмом классе. Так же, нужно знать, что ромб является параллелограммом, его площадь так же равна произведению его стороны на высоту.
0
0
Площадь ромба S можно найти несколькими способами:1)S=a*a*sinA=a^2*sinA,где а -сторона ромба,А-угол между сторонами.2)S=а*h,где а-сторона ромба,h-высота,опущенная на сторону из вершины.3)S=d1*d2,где d1,d2-диагонали ромба.Делить на 2 не надо,просто перемножить диагонали!
0
0
Возможны три варианта нахождения площади ромба, в зависимости от исходных данных:
1) даны основание (а) и высота (h). S=a*h.
2) даны сторона (a) и угол между ними (y). S=a*a*sin(y).
3) даны размеры диагоналей (d1 и d2). S=d1*d2/2.
0
0
Площадь ромба определяется пересечением двух прямых по середине данной геометрической фигуры, делается это достаточно просто, проведя две линии выявляется непосредственно площадь ромба, которая напрямую зависит от сторон того же ромба.
0
0
Это сделать легко.
Нужно умножить одну диагональ на другую. Полученное произведение дальше делится пополам. Это и будет искомая площадь такой фигуры,как ромб.
Сложность в том,что в задачах как правило,сначала нужно узнать,чему же равны диагонали ромба.
0
0
Рассчитать площадь ромба можно различными способами. Наиболее простой формулой, по моему мнению, является произведение длины перпендикуляра, проведенного из угла к противоположной стороне, и длины этой стороны.
Для наглядности размещаю схематичный вид поиска площади ромба.
Согласно другому способу, зная расстояние двух диагоналей фигуры, легко произвести искомый расчет.
Читайте также
Площадь треугольника равняется корню квадратному из произведения разностей полупериметра со всеми сторонами (три сомножителя) и самого полупериметра. Полупериметр, естественно, равен сумме всех сторон, деленной на два.
<h2>Площадь параллелограмма</h2>
Простые геометрические расчеты, такие как нахождение площади параллелограмма, можно производить при помощи Яндекса. Наберите в Яндексе:
площадь параллелограмма
Яндекс предложит следующий интерфейс, в который нужно будет подставить значения:
<h2>Формула площади параллелограмма</h2>
S=ah
где «a» — основание, «h» — высота.
Если предположить, что в ответе не дробь, а целое число, то считать вообще ничего не нужно: получается известный «египетский треугольник» с диагональю 5 и катетами 3 и 4. Периметр прямоугольника равен 2(3 + 4) = 14 см. Если не делать такое предположение о целых числах, вычисления тоже будут несложными. Пусть стороны прямоугольника равны а и с. Тогда а2 + с2 = 25, ас = 12, 2ас = 24. Если сложим первое и третье равенства, получим
а2 + 2ас + с2 = 49, (а + с)2 = 49, а + с = ±7 (в зависимости от а > с или а < c). Если вычесть третье равенство из первого, получим а2 — 2ас + с2 = 1, (а — с)2 = 1, а — с = ±1. Теперь совсем легко: а + с = 7, а — с = 1, откуда 2а = 8, а = 4, с = 3.
При известных длинах двух смежных сторон и угле между ними площадь параллелограмма находится очень просто. Вот формула:
S = a * b * sin (alfa)
где
S — площадь параллелограмма (искомая);
a, b — длины двух смежных, то есть соседних, соприкасающихся сторон. Обычно буквой a обозначают бо́льшую сторону, буквой b — меньшую;
alfa — величина угла между сторонами a и b.
Пример. Стороны параллелограмма равны 7 см и 6 см, а угол между ними равен 30°. Тогда площадь нашей фигуры будет равна: S = 7 см * 6 см * sin 30° = 21 (см^2).
Площадь прямоугольника вычисляется произведением его ширины (пусть это будет а) и длины (сообветственно, б), увеличив длину на 2см, получим площадь, равную (а+2)*б = а*б+2*б. Таким образом, получается, что при увеличении ширины на 2 см площадь увеличится на величину удвоенной длины квадратных сантиметров.