Как найти площадь фигуры ограниченной неравенствами

Примеры решений двойных интегралов

В этом разделе вы найдете подробные решения заданий с использованием двойных интегралов разной сложности. Для удобства использования примеры разбиты по подразделам:

Порядок интегрирования: примеры решений

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

$$
int_0^1 dy int_{-sqrt{y}}^0 fdx +int_1^e dy int_{-1}^{ln{y}} fdx
$$

Задача 2. Свести к однократному интегралу

$$
iint_{x^2+y^2le x} x f(sqrt{x^2+y^2})dxdy.
$$

Задача 3. Изменить порядок интегрирования. Нарисовать область интегрирования и вычислить двойной интеграл двумя способами.

$$
int_{-1}^0 dx int_{-sqrt{1-x^2}}^0 x dy + int_0^1 dx int_{-sqrt{1-x^2}}^{1-x} xdy.
$$

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Двойной интеграл по области: примеры решений

Задача 4. Вычислить двойной интеграл по области $D$

$$
iint_D (x+y)dxdy, quad D: { y=x^2-1, y=-x^2+1}.
$$

Задача 5. Вычислить двойной интеграл от функции $z=x^3+y^3-3xy$ по области D, заданной системой неравенств $0 le x le 2$, $y le sqrt{x}$. Область D изобразить на рисунке.

Задача 6. Вычислить с помощью перехода к полярным координатам двойной интеграл по указанной области $D$.

$$ iint_D frac{ln(x^2+y^2)}{x^2+y^2}dxdy, D mbox{ – кольцо } 1 le x^2+y^2 le e^2. $$

Площади: примеры решений

Задача 7. Вычислить площадь области D: $y=-2x^2+2, y ge -6$.

Задача 8. Найти площадь области $x^2-2x+y^2=0$, $x^2-4x+y^2=0$, $y=0$, $y=sqrt{3}x$.

Задача 9. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (неравенствами) $y=x^2,x=2y^2$

Задача 10. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

$$y^2-4y+x^2=0, y^2-6y+x^2=0, y=sqrt{3}x, x=0.$$

Задача 11. Вычислить площадь области, заданной неравенствами $(x-r)^2+y^2 le r^2, y ge 0, -2x+2r ge y$, перейдя предварительно к полярным координатам.

Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы или типовика по интегральному исчислению, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 60 рублей, срок от нескольких часов.

Объемы: примеры решений

Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

$$ x^2+y^2=2y, quad x^2+y^2=5y, quad z=sqrt{x^2+y^2}, quad z=0. $$

Задача 13. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

$$ a^2 le x^2+y^2 le b^2, quad x^2-y^2-z^2 ge 0, xge 0$$

Задача 14. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, с помощью двойного и тройного интеграла
$x^2+y^2=4x,x^2+y^2+z^2=16$

Масса, центр тяжести, момент: примеры решений

Задача 15. Пластина $D$ задана уравнениями $x=1$, $y ge 0$, $y^2=4x$ с плотностью $mu = 6x+3y^2$. Найти массу пластины.

Задача 16. Найти координаты центра тяжести однородной пластины, ограниченной кривой

$$
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), quad 0 le t le 2pi; y=0.
$$

Задача 17. Найти центр тяжести плоской пластины, ограниченной кривой $(x+y)^4=xy$, имеющей плотность

$$ rho = frac{(x+y)^3}{xy(x^2+y^2+3xy)} $$

Задача 18. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси $Ox$ тонкой однородной пластинки, имеющей форму области $D$, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования

$$ D: x+y=1, x^2=y-1, x=1.$$

Задача 19. Найти массу круглой пластины $D: x^2+y^2 le 1$ с поверхностной плотностью $rho(x,y)=3-x-y$.

Задача 20. Найти момент инерции относительно оси $Ox$ однородной фигуры, ограниченной двумя кривыми $y^2=8x+4$, $y^2=-8x+4$.

Полезные ссылки

• Интегралы — примеры решений
• Применение интегралов — примеры решений
• Тройные интегралы — примеры решений
• Криволинейные интегралы — примеры решений
• Поверхностные интегралы — примеры решений
• Учебник с примерами онлайн по двойным интегралам

Содержание:

Интеграл

Центр Гейдара Алиева славится своим архитектурным стилем и является уникальной архитектурной работой. Красота архитектуры была достигнута при помощи решения многих систематических задач. Стены здания выполнены в виде волны и можно сказать, что в проекте не использовались прямые линии. Структура здания крыши, касаясь земли, формирует гладкое и гармоничное изображение. Такая структура представляет собой постмодернистскую архитектуру, а также эффект бесконечности. Линии здания символизируют связь прошлого и будущего. Для построения здания были использованы конструкции в виде металлической решетки, общая длина которой составила 90 км. При установки крыши, общая площадь которой составила 4 га, были использованы 12027 штук специальных панелей, имеющих форму треугольников, прямоугольников, трапеций и параллелограммов различных размеров. Если мы захотим найти площадь какой-либо части здания в виде волны, то нам придется прибегнуть к интегрированию.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Исследование. Путь, пройденный свободно падающим телом за время

экспериментально. Дифференцируя, находим скорость: Дифференцируя второй раз, найдем ускорение: А как, зная ускорение, найти закон, по которому изменяется скорость а также закон движения

Дифференцирование — это нахождение производной функции. Нахождение функции с заданной производной является действием, обратным к дифференцированию. В этом случае, зная производную или дифференциал, надо найти саму функцию, т. е для функции заданной на определенном интервале, нужно найти такую функцию что на этом интервале выполнялось или

Определение. Функция удовлетворяющая равенству для всех точек на заданном промежутке, называется первообразной для функции заданной на том же промежутке.

Например, функция есть первообразная для функции на промежутке так как для всех справедливо

С другой стороны, вообще для любой постоянной имеем поэтому каждая из функций является первообразной для функции

Таким образом, для заданной функции первообразная функция не является единственной. Если, функции и первообразные функции на определенном промежутке, то для функции на этом же промежутке выполняется тождество Тогда касательная к графику функции в каждой точке параллельна оси абсцисс. Значит график функции будет параллелен оси абсцисс, т. е. на том же промежутке (здесь произвольная постоянная). Отсюда Таким образом получаем, что если функция на заданном промежутке является первообразной для функции то для любой постоянной

называется общим выражением для первообразных функций.

Неопределенный интеграл

Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как «интеграл эф от икс де икс».

Если функция является одной из первообразных для то но определению

Здесь — знак интеграла, — подынтегральная функция, — переменная интегрирования, — постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Пример 1. По определению найдите неопределенные интегралы.

a) b) с)

Решение:

Так как:

Пример 2. Найдите интеграл

Решение: подумаем, производной какой функции является функция Например, известно, что производной функции является функция Значит, множителем искомой функции является дробь которая

потом сократиться с коэффициентом 4 и получится

Такой функцией является функция Значит,

Интеграл постоянной и степенной функции

Интеграл постоянной:

Интеграл степенной

функции

Пример 1. Найдите неопределенный интеграл

Решение:

Пример 2. Найдите общий вид первообразных функции

Решение: Так как функция одна из первообразных функции то одна из первообразных функции будет

Тогда общий вид первообразных имеет вид:

Значит,

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Пример 1. Найдите интеграл

Решение:

В отличии от производной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Пример. Найдите первообразную функции

Решение: запишем заданную функцию в виде

Тогда получим,

Интегралы показательной функции и функции

Интеграл показательной функции

Интеграл функции

При

При

При в любом промежутке

В общем случае:

Пример. Найдите неопределенные интегралы: a) b)

Решение: a)

b)

Интегралы тригонометрических функций

Пример 1. Найдите интеграл

Решение:

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Пример 2. Найдите первообразную функции

Решение: Так как то

Пример 3. Вычислите интеграл

Решение: Воспользуемся тождеством Тогда,

Пример 4. Найдите интеграл

Решение: Воспользуемся формулой

Прикладные задания

Задании на нахождение постоянной интегрирования

Пример. Найдите первообразную функции график которой проходит через точку:

Решение: Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке

a) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид

b) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид:

Задания на реальную жизненную ситуацию

Пример 1. Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как Здесь показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение: гак как то для функции неопределенным интегралом является функция

Как можно найти постоянную

Мяч брошен с высоты 1 м. Т. е. в момент мяч находился на высоте 1 м и Тогда отсюда Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти но формуле При получим

Т. е. в момент секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример 2. Прирост населении. Статистические исследования показывают, что при помощи отношения можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лег после 1960 года, — численность населения в данный год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение: найдем первообразную для функции показывающую численность населения, соответствующую функции

Теперь найдем постоянную

Например, по условию при численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. Тогда и

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции в

Т. е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Площадь, ограниченная кривой

Представьте, что вы проводите следующее исследование: определение количества солнечной энергии, которую получает растение. Для этого вам необходимо узнать площадь поверхности листа. Разместите лист на бумаге в клетку и приблизительно найдите площадь.

Если продолжить уменьшать размер клеток, то площадь листа можно найти, подсчитав сумму клеток, и, уменьшая приближения, можно достаточно точно найти значение действительной площади. Применяя этот способ, можно найти площади фигур различной формы. Например, можно найти площадь, ограниченную графиком неотрицательной функции непрерывной на отрезке и ограниченной осью абсцисс слева прямой справа прямой

Пример 1. Определите, приблизительно, площадь фигуры, ограниченной графиком осью абсцисс и прямыми и

Решение: На рисунке изображена площадь, ограниченная графиком функции осью абсцисс и прямыми и Показанную площадь можно приблизительно найти при помощи прямоугольников высотой и

Площадь:

Разбивая показанную площадь на еще более маленькие прямоугольники и найдя сумму площадей полученных прямоугольников, можно достаточно точно найти значение, близкое к реальному.

Если отрезок [2; 4] разделить на две части ([2;3] и [3;4]) (рис.а и b), то площадь, приблизительно, равна сумме площадей двух прямоугольников.

a) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной, равной 1, с высотами и

b) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной равной 1 с высотами и Значит реальное значение площади удовлетворяет соотношению

В рассмотренном случае площадь точно можно найти по формуле площади трапеции: и дать оценку погрешности, проведенных вычислений.

В 1-ом случае количество интервалов и вычисления отличаются от действительных размеров площади на 1 кв.ед., во 2-ом случае и разность уменьшается до 0,5 кв.ед. Если заданный интервал разделить на еще большее количество малых интервалов, то площадь можно найти как сумму более маленьких прямоугольников и получить значение, достаточно близкое к точному.

Под площадью фигуры, ограниченной графиком функции на отрезке понимают площадь фигуры, ограниченной графиком функции осью абсцисс и прямыми и (эту фигуру также называют криволинейной трапецией). В заданиях мы коротко будем называть это как «площадь, ограниченная кривой». Здесь функция/должна удовлетворять условиям.

Интеграл и его применение

Первообразная

Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон изменения ее скорости, а именно:

Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.

Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и и то закон движения задается формулой

Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.

Определение. Функцию называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции на промежутке если для всех выполняется равенство

Например, функция является первообразной функции на промежутке поскольку на выполняется равенство

Часто в задачах, связанных с первообразной функции, промежуток опускают. В таких случаях считают, что Так, функция является первообразной функции поскольку выполняется равенство

Рассмотрим еще один пример. Функция является первообразной функции на промежутке поскольку на этом промежутке выполняется равенство

Однако на промежутке функция не является первообразной функции так как в точке не выполняется равенство

Рассмотрим функции и Каждая из них имеет одну и ту же производную Поэтому обе функции и являются первообразными функции Понятно, что каждая из функций вида где любое число, является первообразной функции Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.

Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.

Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция является первообразной функции на промежутке и любое число, то функция также является первообразной функции на промежутке . Любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде , где некоторое число.

Доказательство. Поскольку функция первообразная функции на промежутке то для всех выполняется равенство Тогда

Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке

Пусть функция одна из первообразных функции на промежутке Тогда для всех Имеем:

Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) получаем, что функция является константой на промежутке то есть где некоторое число. Отсюда

Если функция является первообразной функции на промежутке то запись где любое число, называют общим видом первообразных функции на промежутке

Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).

Совокупность всех первообразных функции на промежутке называют ее неопределенным интегралом и обозначают (читают: «интеграл эф от икс де икс»).

Например, функция является первообразной функции на промежутке Из теоремы 24.1 следует, что любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторое число. Это можно записать так:

При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.

Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции

Решение:

Поскольку то одной из первообразных функции является функция

Тогда согласно теореме 24.1 запись где любое число, является общим видом первообразных.

Из решения примера 1 следует, что

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции на каждом из промежутков и

Решение:

На промежутке имеет место равенствона промежутке имеют место равенства

Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке а функция является первообразной функции на промежутке .

Поскольку то на любом промежутке, не содержащем точку 0, запись где любое число, является общим видом первообразных функции

Пример:

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

Решение:

Поскольку то функция является одной из первообразных функции Следовательно, искомая первообразная имеет вид где некоторое число. Найдем это число.

Из условия следует, что Тогда Отсюда

Таким образом, искомая первообразная имеет вид

Замечание.

Можно доказать, что функция является первообразной функции на промежутке Пользуясь этим, можно найти, например, первообразную функции на промежутке Поскольку то функция является первообразной функции на промежутке Учитывая равенства можно записать:

Правила нахождения первообразной

При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.

Теорема 25.1. Если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке то на этом промежутке функция является первообразной функции

Доказательство. Из условия следует, что для любого выполняются равенства и Тогда для любого из промежутка имеем:

Из теоремы 25.1 следует, что

где произвольное число.

Аналогично можно доказать, что

Теорема 25.2. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, то на этом промежутке функция является первообразной функции

Докажите теорему 25.2 самостоятельно.

Теперь можно записать: где произвольное число.

Теорема 25.3. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция является первообразной функции

Доказательство. Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем:

Коротко записывают: где произвольное число.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции на промежутке

Решение:

Напомним, что функция является первообразной функции на промежутке Поскольку на данном промежутке выполняется равенство то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Поскольку то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Тогда по теореме 25.2 функция является первообразной функции

Воспользовавшись теоремой 25.1, получаем, что функцияявляется первообразной заданной в условии функции Тогда запись является общим видом первообразных функции

Решение примера 1 можно записать и так:

Пример:

Найдите одну из первообразных функции:

на промежутке

Решение:

1) Поскольку функция является первообразной функции то по теореме 25.3 функция то есть функция является первообразной функции 2) Поскольку то первообразной функции является функция то есть

Тогда первообразная функции имеет вид то есть

Пример:

Для функции найдите первообразную на промежутке график которой проходит через точку

Решение:

Согласно теореме 25.3 запись где любое число, является общим видом первообразных функции на данном промежутке.

На промежутке искомая первообразная имеет вид

где некоторое число. Из условия следует, что Тогда отсюда Следовательно,

Пример:

Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону Найдите закон движения если (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах).

Решение:

Функция является первообразной функции на промежутке Тогда можно записать

то есть

где некоторое число. Найдем из условия

Имеем: отсюда

Тогда искомый закон движения задается формулой

В пункте 8 вы узнали, как найти производные произведения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом этого пункта у вас возник вопрос: как найти первообразные функций или если известны первообразные функций и К сожалению, общих правил нахождения первообразных таких функций не существует.

Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл

Рассмотрим функцию которая непрерывна на отрезке и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции и прямыми и называют криволинейной трапецией.

На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций.

Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.

Теорема 26.1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и можно вычислить по формуле

где любая первообразная функции на отрезке

Доказательство. Рассмотрим функцию где которая определена таким правилом.

Если то если то это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.

Докажем, что для всех

Пусть произвольная точка отрезка и приращение аргумента в точке Ограничимся рассмотрением случая, когда (случай, когда рассматривают аналогично).

Имеем:

Получаем, что это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.

На отрезке как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна (рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны и где некоторая точка промежутка Тогда Отсюда

Если то Поскольку функция непрерывна в точке то Отсюда, если то

Имеем

Поскольку произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство Получили, что функция является одной из первообразных функции на отрезке

Пусть некоторая первообразная функции на отрезке Тогда по основному свойству первообразной можно записать где некоторое число.

Имеем:

По определению функции искомая площадь криволинейной трапеции равна Следовательно,

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми и

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Одной из первообразных функции на отрезке я

является функция Тогда

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой

Решение:

График функции пересекает прямую в точках и (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции и прямыми

Одной из первообразных функции на отрезке является функция Тогда

Определение. Пусть первообразная функции на промежутке , числа и где принадлежат промежутку . Разность называют определенным интегралом функции на отрезке

Определенный интеграл функции на отрезке обозначают (читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс де икс»). Следовательно,

где произвольная первообразная функции на промежутке

Например, функция является первообразной функции на промежутке Тогда для произвольных чисел и где можно записать:

Заметим, что значение разности не зависит от того, какую именно первообразную функции выбрали.

Действительно, каждую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторая постоянная. Тогда

Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Следовательно, для вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница надо:

1. найти любую первообразную функции на отрезке
2. вычислить значение первообразной в точках и
3. найти разность

При вычислении определенных интегралов разность обозначают

Используя такое обозначение, вычислим, например, Имеем:

Пример:

Вычислите

Решение:

Имеем:

Если функция имеет первообразную на отрезке и то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:

Действительно,

Если каждая из функций и имеет первообразную на отрезке то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и

Используя теорему 26.1, можно записать:

Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции , которые на отрезке принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.

Рассмотрим непрерывные на отрезке функции и такие, что для всех выполняется неравенство

Покажем, как найти площадь фигуры , ограниченной графиками функций и и прямыми и (рис. 26.7).

Перенесем фигуру вверх на единиц так, чтобы полученная фигура находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура ограничена графиками функций и и прямыми

Поскольку фигуры и имеют равные площади, то искомая площадь равна разности где площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, а);

площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, б)

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Следовательно, если функции и непрерывны на отрезке и для всех выполняется неравенство то площадь фигуры, ограниченной графиками функций и и прямыми и можно вычислить по формуле

Пример:

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Решив уравнение устанавливаем, что графики функций и пересекаются в двух точках с абсциссами и

Тогда искомая площадь

Вычисление объемов тел

В предыдущем пункте вы узнали, как с помощью интегрирования можно вычислять площадь криволинейной трапеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками функций и и прямыми и (рис. 27.1), то ее площадь можно вычислить по формуле

Рассмотрим функцию Величина равна длине отрезка, по которому вертикальная прямая пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать:

Оказывается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вычисление объемов пространственных тел.

В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело , объем которого равен Пусть плоскость пересекает тело по фигуре с площадью а проекцией тела на ось абсцисс является отрезок (рис. 27.3). Если непрерывная на отрезке функция, то объем тела можно вычислить по формуле

Эту формулу можно доказать, используя идею доказательства теоремы 26.1.

Покажем, как с помощью полученной формулы вывести формулу объема пирамиды.

Пусть дана пирамида с высотой , равной и основанием, площадь которого равна (рис. 27.4). Докажем, что объем пирамиды равен Введем систему координат так, чтобы вершина пирамиды совпала с началом координат, а высота пирамиды принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамиды лежит в плоскости Поэтому проекцией пирамиды на ось абсцисс является отрезок

Пусть плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику с площадью Понятно, что плоскость сечения параллельна плоскости основания пирамиды. Поэтому многоугольник, образованный в сечении, подобен многоугольнику основания пирамиды. При этом коэффициент неподобия равен Воспользовавшись теоремой об отношении площадей подобных фигур, можно записать:

Отсюда Теперь можно записать:

Пример:

Фигура, ограниченная графиком функции и прямыми (рис. 27.6), вращается вокруг оси абсцисс, образуя тело объема (рис. 27.7). Найдите .

Решение:

При пересечении образовавшегося тела плоскостью где получаем круг (рис. 27.8), радиус которого равен Тогда площадь этого круга равна

Поэтому

Вообще, имеет место такое утверждение.

Если при вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми вокруг оси абсцисс образуется тело объема то

Интеграл и его применения

Понятия первообразной и неопределённого интеграла

А вы знаете, что если точка двигаясь по прямой, за время t после начала движения проходит путь s(t), то её мгновенная скорость равна производной функции. На практике встречается обратная задача: найти пройденный путь s(t), если задана скорость движения v(t).

Эту задачу можно переформулировать так: найти функцию s(t), если задана ее производная v(t).

Если , то функция s(t) называется первообразной функцией функции v(t). В общем случае можно ввести такое определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке (a; b), если для всех х из промежутка (а; b) выполнено.

Пример:

Пусть а — заданное число, a v(t)=at. Тогда функция

является первообразной для функции v(t), так как

Пример:

Пусть . Тогда функция является первообразной для функции , так как

Пример:

Пусть , при

Тогда функция является первообразной для функции ,

так как

Пример:

Пусть ,*>0, Тогда функция

является первообразной для функции , так как

Пример:

Докажите, что функции ,

являются первообразными для функции

Используя таблицу производных, мы можем написать:

Из этой задачи можно сделать вывод:

где С -постоянная является первообразной функцией для функции .

Действительно,

Для заданной функции её первообразная однозначно не определяется.

Именно, любая первообразная для функции на некотором промежутке может быть записана в виде , где F(x) — одна из первообразных для функции на этом промежутке, (С -произвольная постоянная).

Совокупность всех функций вида называется неопределённым интегралом функции и обозначается так: . Таким образом,

В этом обозначении — знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, а выражение — подынтегральное выражение.

Пример:

, так как согласно таблице производных, .

Пример:

Так как .

Пусть

Согласно примеру 4.

График функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу (рисунок 1). За счет выбора постоянной С можно добиться, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Пример:

Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(3; 10).

Решение:

Любая первообразная функции имеет вид ,

так как .

Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

проходил через точку (3; 10): Для этого необходимо,

чтобы при х=3 выполнялось F (3)=10. Отсюда , С = 1.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид .

Ответ:

Пример:

Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(5; 15).

Решение:

Любая первообразная функции имеет вид

, так как Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

проходил через точку (5; 15).

Для этого необходимо, чтобы выполнялось .

Значит отсюда С= 3.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид

Ответ:

Пример:

Докажите, что

Решение:

Таблица интегралов

Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.

Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.

Например, при , то есть при х > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна —

Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.

Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций и соответственно. Справедливы правила:

Правило 1: Функция является первообразной для функции , то есть

Правило 2: Функция является первообразной для функции, то есть:

Пример:

Проинтегрируйте функцию

Решение:

Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов:

Так как согласно таблице интегралов

Ответ:

Пример:

Проинтегрируйте функцию

Решение:

Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.

Именно, обозначим х² + 8 = u тогда, Отсюда

Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим

подынтегральную функцию. Действительно,

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Сделаем замену sinx = t. Тогда и заданный интеграл

получит вид . Согласно пункту 3 таблицы интегралов ,

Проверка.

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

При вычислении этого интеграла помогает тождество

Тогда

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Согласно тождеству и пункту 10 таблицы интегралов:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для подынтегральной функции справедлива равенства:

Тогда

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся

и . Тогда

Проверка:

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся

Ответ:

Приведём также правило интегрирования по частям.

Правило 3*.

Если на некотором интервале X функции и имеют непрерывные производные и , то справедлива формула

(1)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций и

Примечание. Для использования этого правила: 1) Подъинтсграль-ная функция представляется в виде произведения и ; 2) выражения и подбираются таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы вычислялся непосредственно.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Подберём . Поэтому

. Согласно (1),

Поэтому

Ответ:

Пример:

Вычислить интеграл .

Решение:

Представим подынтегральную функцию в виде произведения функций. Поэтому:.

Тогда

Согласно формуле (1),

Значит,

Проверка:

Ответ:

Пример 3.

Для нахождения интеграла удобно положить .

Решение:

В этом случае (здесь мы взяли первообразную без постоянной С). Согласно формуле интегрирования по частям,

Ответ:

Определенный интеграл, формула ньютона — лейбница

Фигура, изображённая на рисунке 2, называется криволинейной трапецией. Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу — отрезком [а; b], а по бокам -отрезками прямых х = а, х = b. Отрезок[а; b] называется основанием криволинейной трапеции.

Возникает вопрос: «Как вычислить площадь криволинейной трапеции?»

Обозначим эту площадь через S. Оказывается, площадь S можно вычислить, опираясь на первообразную для функции f(х). Приведём соответствующие рассуждения.

Обозначим площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х] через S (х) (рисунок 3). Точка х — произвольная точка из отрезка [a; b]. В случае х = а отрезок [а; х] превращается в точку, поэтому S(a)=0; а при х = b S(b) = S.

Покажем, что функция S(х) является первообразной для функции f(х), то есть .

Рассмотрим разность , где h > 0 (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; x + h] (рисунок 4). Отмeтим, что при достаточно малых h эта площадь приблизительно равна то есть Значит,

По определению производной, левая часть этого приближенного равенства при стремится к S'(х). Поэтому при получим равенство . Поэтому S(x) является первообразной для функции

Первообразная S(x) отличается от произвольной первообразной F(x) па постоянную величину, то есть

Положим в этом равенстве х=а получим Отсюда следует, что . Тогда равенство (1) можно записать в виде: . Положим в этом равенстве х=b, получим .

Значит, площадь криволинейной трапеции (рисунок 2) можно вычислить по формуле: , (2)

где F(x) — любая первообразная для функции f (х).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной функции F(x) для функции f(х), то есть к интегрированию функции f(х).

Разность F(b) — F(a) называется определённым интегралом от функции f(х) на отрезке [а; b] и обозначается так: (читается как «интеграл от а до б от эф икс де икс»).

Таким образом,

Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из (2) и (3) имеем:

Обычно при вычислении определенного интеграла принято обозначение:

. В этом случае:

Приведём дополнительные сведения.

Задачу нахождения криволинейной фигуры свели к вычислению определённого интеграла. Рассмотрим непрерывную функцию, определённую на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок точками а=х₀, х₁.., х_1-n , х_n= b на равные отрезки , и на каждом из этих отрезков , отметим произвольную точку . Умножим длину отрезка на значение заданной функции f(х) в точке и составим сумму

(6)

Видно, что каждое слагаемое в этой сумме есть площадь прямоугольника с основанием и высотой S_n. Тогда сумма S приближенно равна площади криволинейной трапеции (рисунок 5).

Сумма (6) называется интегральной суммой функции f(х) по отрезку [а; b]. Пусть при стремлении n к бесконечности стремится к нулю. Тогда интегральная сумма S_n стремится к некоторому числу. Вот это число называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b].

Пример:

Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 6.

Решение:

Согласно формуле (4) . Вычислим это значение по

формуле Ньютона — Лейбиица (3). Очевидно, что функция

одна из первообразных для функции. Значит, Ответ: S = 21 (кв. единиц).

Пример:

Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5): (кв.единиц) Ответ: 2 (кв.единиц).

Пример:

Вычислить определённый интеграл .

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Ответ: 0.

Пример:

Вычислить определённый интеграл

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Ответ: 13,5.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Сначала найдём неопределенный интеграл:

Значит

Ответ:

Пример:

Вычислить определённый интеграл

Решение:

Сначала найдем неопределенный интеграл:

Согласно таблице интегралов Значит Ответ:

Определённый интеграл обладает следующими свойствами:

1. Действительно

2.

Значит,

3.Пусть а, b, с — действительные числа. Тогда

(свойство аддитивности определённого интеграла).

4.Пусть — четная функция, тогда

5.Если , тогда .

6.Если ,тогда .

——

Эйлеровы интегралы

Определение 1. Эйлеровым интегралом 1-го рода или бета-функцией называется интеграл 
Эйлеровым интегралом 2-го рода или гамма-функцией называется интеграл
 (2)
Теорема 1. При интеграл (1) сходится.
Доказательство.

Если  то функция − ограничена, при  сходится, поэтому  — сходится .
Если  то функция − ограничена, при сходится, поэтому  — сходится.
Таким образом  сходится.
Теорема 2. При a >0 интеграл (2) – сходится.
Доказательство.

Если x∈[0,1], то функция  − ограничена, при сходится, поэтому
∫-сходится.
Если − ограничена, 
сходится, поэтому  -сходится.
Следовательно  сходится.

Свойства функций В(а,b), Г(а)

Найти 
Решение. По формуле (11): 
n.4. Перепишем формулу (4) в виде:   (14)
что позволяет доопределить функцию Г (а) для отрицательных значений а:

Пример 2.

Найти 
Решение.

Пример 3.

Вычислить интеграл 
Решение.

 

n.5. Рассмотрим

Поэтому  значение интеграла Пуассона.

—-в математике

Интеграл и его применение

1. Первообразная

Определение:

• Функция F (х) называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).

Пример:

Для функции на интервалепервообразной является функция поскольку

2. Основное свойство первообразной

Свойство:

Пример:

Поскольку функция яляется первообразной для функции на интервале (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции можно записать следующим образом: где С — произвольная постоянная.

Геометрический смысл:

• Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.

3. Неопределенный интеграл

Определение:

Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f(x), а С — произвольная постоянная.

Пример:

поскольку для функции на интервале все первообразные можно записать следующим образом: .

4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
2. Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции
3. Если F — первообразная для f, а k и b — постоянные (причем то — первообразная для функции

Пример:

5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция

Общий вид первообразных где С — произвольная постоянная

1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.

Запись с помощью неопределенного интеграла

Объяснение и обоснование:

Понятие первообразной. Основное свойство первообразной

В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: Например, если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна нулю, то есть v (0) = 0, то при свободном падении тело на момент времени t пройдет путь Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования:

Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной Например, в механике часто приходится определять координату х (t), зная закон изменения скорости v(t), а также определять скорость v (t), зная закон изменения ускорения Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f’ (х) называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f’ (х) найти (восстановить) функцию (латинское слово integratio означает «восстановление»).

Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования.

Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка

Например, для функции на интервалепервообразной является функция поскольку

Отметим, что функция имеет ту же производную Следовательно, функция также является первообразной для функции на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.

Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) + С также является первообразной для функции при этом любая первообразная для функции на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Выражение F (х) + С называют общим видом первообразных для функции f (х).

1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F’ (х) = f (х) для любого х из этого промежутка Тогдато есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х).

2) Пусть функция — другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке I, то есть для всехТогда По условию постоянства функции, если производная функции равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех функция Отсюда Таким образом, любая первообразная для функции f (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная. Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале одной из первообразных является функция (действительно, F’ (х) = то общий вид всех первообразных функции можно записать так: где С — произвольная постоянная.

Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции f (х) промежуток, на котором задана функция , чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины.

Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график произвольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц.

• Заказать решение задач по высшей математике

Неопределенный интеграл

Пусть функция f (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная.

В приведенном равенстве знак называют знаком интеграла, функцию — подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования.

Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции записывается так: следовательно,

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Правило 1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g.

Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.

1 ) Действительно, если F — первообразная для f (в этой кратком формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции f (х)), то F’ = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G’ = g. Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем (F + G)’ = F’ + G’ = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количестве слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых).

Правило 2. Если F — первообразная для — постоянная, то cF — первообразная для функции cf.

Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем следовательно, cF — первообразная для cf.

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Правило З. Если F — первообразная для f, — постоянные (причем то— первообразная для функции

Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем

а это и означает, что — первообразная для функции

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций а для других функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно.

Для всех

Следовательно, функция является первообразной для функции Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции будет

С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

У функции область определения Рассмотрим функцию

Следовательно, на каждом из промежутков функция

является первообразной для функции Тогда

общий вид всех первообразных для функции С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

Примеры решения задач:

Пример №292

Проверьте, что функция является первообразной для функции на промежутке

Решение:

а это и означает, что F (х) является первообразной для функции

Комментарий:

По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если

Пример №293

1) Найдите одну из первообразных для функции

2) Найдите все первообразные для функции

3*) Найдите

Решение:

1) Одной из первообразных для функции на множестве R

будет функция поскольку

Комментарий:

1) Первообразную для функции можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить необходимо брать производную от Но Чтобы производная равняласьдостаточно поставить перед функцией коэффициент

2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции можно записать в виде 1 где С — произвольная.

где С — произвольная постоянная. Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для для функции является функция

2) если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции f (х) можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

3) По определению то есть неопределенный интеграл — это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции f (х) (которые мы уже нашли в пункте 2 решения).

Пример №294

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М (9; 10).

Решение:

Общий вид всех первообразных для функции f (х) следующий:

По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получаем

Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная:

Комментарий:

Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 значение функции F (х) + С равно 10. Чтобы найти первообразную для функцииучтем, что область определения этой функции Тогда эту функцию можно записать так: и использовать формулу нахождения первообразной для функции а именно:

Пример №295

Найдите общий вид первообразных для функции

Решение:

Запишем одну из первообразных для каждого слагаемого. Для функции

первообразной является функция Второе слагаемое запишем так: Тогда первообразной для этой функции будет функция:

Первообразной для функции будет функция будет функция

Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет:

Комментарий:

Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов видаСледовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргумента), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель

Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С).

Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).

Для первого слагаемого учитываем, что первообразной для является (-ctg х), для второго первообразной для являетсятретьего — первообразной для cos х является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняются на области определения этой функции, то есть при 2 — х > 0).

Определенный интеграл и его применение

1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)

Формула:

Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], a F (х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F’ (х) = f (х)), то

Пример:

Так как для функции одной из первообразных является

2. Криволинейная трапеция

Определение:

Пусть на отрезке оси Ох задана непрерывная функция f(x), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и называют криволинейной трапецией.

Иллюстрация:

3. Площадь криволинейной трапеции

Формула:

Пример:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда

4. Свойства определенных интегралов

Если функция f (х) интегрируема на и тои

5. Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Пусть функция непрерывна на отрезке . Выполним следующие операции.

1. Разобьем отрезок на отрезков точками (полагаем, что
2. Обозначим длину первого отрезка через , второго — через и т. д. (то есть
3. На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку
4. Составим сумму

Эту сумму называют интегральной суммой функции на отрезке

Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают

Объяснение и обоснование:

Геометрический смысл и определение определенного интеграла

Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.

Например, в механике часто приходится определять координату точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости (напомним, что

Рассмотрим сначала случай, когда точка двигается с постоянной скоростью Графиком скорости в системе координат является прямая , параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле . Величина равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.

Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени . Если скорость v изменяется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени приближенно выражается произведением. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами (рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103).

Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.

Пусть на отрезке оси задана непрерывная функция , которая принимает на этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции отрезком оси и прямыми , называют криволинейной трапецией (рис. 104).

Отрезок называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х).

Обозначим через S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (6) = S, где S — площадь криволинейно

Покажем, что S (х) является первообразной для функции , то есть что

По определению производной нам необходимо доказать, что

при Для упрощения рассуждений рассмотрим случай (случай рассматривается аналогично).

Поскольку , то геометрически — площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б.

Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезок (рис. 105, в). Поскольку функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой (иначе, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади ). Высота прямоугольника равна f (с).

По формуле площади прямоугольника имеем . Тогда(Эта формула будет верной и при

Поскольку точка с лежит между то с стремится к х, если Учитывая непрерывность функции f (х), также получаем, что то есть S (х) является первообразной для функции

Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех отличается от S (х) на постоянную С, то есть

Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) + С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:

Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) — F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле

где — произвольная первообразная для функции

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).

Разность называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают так:

Запись читается: «Интеграл от а до b эф от икс де икс». Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Следовательно, по приведенному определению

Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:

Например, поскольку для функции одной из первообразных является

Отметим, что в том случае, когда для функции f (х) на отрезке существует определенный интеграл функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке

Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 104), можно вычислить по формуле Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = cos х, отрезком оси Ох и прямыми х = 0 и х = — (рис. 106), можно вычислить по формуле

(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции f (х) = cos х одной из первообразных является функция

Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: (кв.ед.),то есть квадратных единиц. Отметим, что так записываются только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что то никаких обозначений квадратных единиц не записывается, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражениеуже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае.

Свойства определенных интегралов

При формулировании определения определенного интеграла мы полагали, что Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > b принять по определению, что

Для случая а = b также по определению будем считать, что

Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18.

Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции первообразной будет функция Тогда

Если F (x) является первообразной для функции f (х), a G (х) — первообразной для функции g (х), то для функции f (х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + +G (х). Тогда

Если F (x) является первообразной для функции то

Следовательно, если функция f (х) интегрируема на отрезке и то

Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности, в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) — непрерывна на отрезке ). На этом рисунке основание трапеции— отрезок — разбито на отрезков (не обязательно равных) точками (для удобства будем считать, что Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точка и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой Аналогично на втором отрезке выбрана произвольная точкаи на этом отрезке f /с ^ как на основании построен прямоугольник с высотой и т. д.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через длину первого отрезка через

Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть

Сумму (9) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке При этом считают, что функция f (х) непрерывна на отрезке и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на отрезке и обозначают Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона — Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла.

Замечание. Изменяя способ разбиения отрезка на частей (то есть фиксируя другие точки и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точки мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек если и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммыстремятся к одному и тому же числу.

Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f(x) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее).

Примеры решения задач:

Пример №296

Вычислите

Решение:

Ответ: 1.

Комментарий:

Поскольку для функции мы знаем первообразную — это F(x) = tg х , то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница

Пример №297

Вычислите

Решение:

I способ

Для функции одной из первообразных является

Комментарий:

Возможны два способа вычисления заданного интеграла.

1) Сначала найти первообразную для функции используя правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

2) Использовать формулу (8)

и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).

Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где х > 0. Но при х > 0 одной из первообразных для функции является функция F (х) = In х. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, записать,что Хотя, конечно, приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при

Пример №298

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 1, х = 8, осью Ох и графиком функции

Решение:

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108).

Тогда ее площадь ровна

Комментарий:

Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле

Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения х > 0, и при этом условии можно записать

Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов

1. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке функции осью Ох и прямыми х = а иравна

2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми х = а и

Формула

Если на заданном отрезке непрерывные функции и имеют такое свойство, что для всех то Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения:

3. Объемы тел

Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через точки где — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси Ох.

Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х) и прямыми х = а и то

Объяснение и обоснование:

Вычисление площадей фигур

Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены выше.

Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции снизу графиком функции а также вертикальными прямыми функции непрерывны и неотрицательны на отрезке

Площадь S этой фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций ( — площадь криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции Но

Следовательно, Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле

Эта формула будет верной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке для этого достаточно выполнения условий, что функции непрерывны на отрезке и (рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции мы заменили соответственно на функции Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми х = а и равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадь

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна

Вычисление объемов тел

Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождение площади криволинейной трапеции.

Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка (см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число — площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке , то справедлива Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных соображениях, которые приводят к этой формуле.

Разделим отрезок на отрезков одинаковой длины точками

Через каждую точку проведем плоскость перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостями (рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади сечения, умноженной на «толщину слоя» и поэтому

Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше

Поэтому По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, что Следовательно,

Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.

Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке . Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114, а), объем которого можно найти по формуле

Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площадью (рис. 114, б). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3).

Примеры решения задач:

Пример №299

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение:

Изобразим заданные линии (рис. 115) и найдем абциссы точек их пересечения:

Комментарий:

Изображая заданные линии (рис. 115), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции а снизу — графиком функции Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле

(оба корня удовлетворяют уравнению (1)).Площадь заданной фигуры равна

Комментарий:

Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнение

Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при ).

Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями Решение

Найдем абциссы точек пересечения заданных линий.

Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен

Комментарий:

Изобразим заданную фигуру (рис. 116) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислять по формуле:

Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий.

Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: куб. ед. (то есть кубических единиц).

Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно оси и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2].

Простейшие дифференциальные уравнения

Понятия дифференциального уравнения и его решения

До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости сводится к решению уравнения s’ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.

Например, если v (t) = 3 — то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s’ (t) = 3 —

Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество).

Пример №300

Решите дифференциальное уравнение

Решение:

Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть

найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первообразных получаем где С — произвольная постоянная.

При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения.

Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнение.

Пример №301

Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у’ = sin х, удовлетворяющего условию у (0) = 2.

Решение:

Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х + С. Из условия у (0) = 2 находим -cos 0 + С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3.

Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения

где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции

где С — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.

Например, в опытах установлено, что скорость размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массой бактерий в момент времени t уравнением

где — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнение являются функции

Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса бактерий известна. Тогда и, следовательно,

Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если — скорость радиоактивного распада в момент времени t, то — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции

Если в момент времени t масса вещества равна и тогда

Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.

Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем

В этом случае формула (3) записывается

так:

Гармонические колебания

На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

где — заданное положительное число,

Решением уравнения (4) является функция

где — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то

где А — амплитуда колебания, — угловая частота, — начальная фаза колебания.

Графиком гармонического колебания является синусоида.

Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач

Пример №302

Цилиндрический бак, высота которого равна 4,5 м, а радиус основания равен 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия равен 0,05 м?

Решение:

Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстия (длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 117).

Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли

где — коэффициент, который зависит от свойства жидкости; для воды Поэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной).

Пусть t (х) — время, за которое из бака высоты х с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса (рис. 117).

Найдем приближенно отношение считая, что за время скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).

За время объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высоты с основанием радиуса R (см. рис. 117), то есть равен С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания о на время , то есть объем равен Следовательно, Учитывая формулу (6), получаем

Тогда при получаем равенство

Если x = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое время

Используя данные задачи, получаем

Пример №303

Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н.

Решение:

По закону Гука, сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть где х — величина растяжения или сжатия (в метрах), — постоянная. По условию задачи находим . Поскольку при х = 0,01 м

сила.

Следовательно,

Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое двигается под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки х = а в точку

Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращение Тогда работа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точкубудем считать постоянной и равной F (х). Поэтому

Тогда при Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х).

Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем

Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку равна

Используя данные задачи, получаем

Сведения из истории:

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникло из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) и усовершенствованный А р х им е д о м. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывается ступенчатая фигура и в нее вписывается ступенчатая фигура. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины.

Символ ввел Лейбниц (1675 г.). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Другие известные вам термины, касающие интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, заменило более раннее «примитивная функция», введенное Лагранжем (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: функция — начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ввел Лейбниц, а обозначение определенного интеграла ввел К. Ф у р ь е (1768—1830).

Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л.Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики украинского происхождения М. В. Остроградский (1801 — 1862), В.Я.Буняковский (1804-1889).

—11клас

Применение интеграла

С помощью интегралов можно определять не только площади фигур, но и многие другие величины, приближённые значения которых выражаются интегральными суммами, т.е. суммами вида  Такие суммы принято обозначать  Подграфик функции  — математическая модель каждой такой величины, поэтому вычислять границы этих сумм можно по формуле Ньютона—Лейбница. Рассмотрим четыре примера таких задач.

 Объём тела вращения

Пусть тело образовано вращением подграфика функции  вокруг оси  Каждое тело вращения можно представить составленным из очень большого количества круглых пластинок, цилиндров с малыми высотами  (рис. 127). Радиус каждого такого цилиндра зависит от  и равен  Объём одного цилиндрика, соответствующего переменной  равен  Всему телу вращения соответствует интегральная сумма

Следовательно, его объём

Пример №594

Пусть надо найти вместимость сосуда высотой 4 дм, осевое сечение которого — график функции  (рис. 128). Для неотрицательных значений  график такой функции симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла графику функции  Поэтому искомый объём сосуда равен объёму тела, образованного вращением подграфика функции  на  вокруг оси  (рис. 129). Итак, искомый объём

С помощью определённых интегралов можно вычислять не только объёмы тел вращения, но и многих других тел: пирамид, усечённых пирамид и т. д.

Работа переменной силы

Если в результате действия постоянной силы  тело перемещается в направлении её действия на расстояние  то при этом выполняется работа  А если на тело действует сила не постоянная, а переменная?

Например, чтобы растянуть пружину на 1 см, на 2 см и т. д., надо прикладывать всё большую и большую силу. Согласно закона Гука, сила  которую необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на расстояние пропорциональна этому расстоянию (для допустимых значений Коэффициент  различен для разных пружин. Например, если для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу 50 Н, то  Какую выполняют работу, растягивая такую пружину на расстояние 

Поделим отрезок  на который растягивается пружина, точками  на  равных частей (рис. 130). Пусть  — длина каждой части. Чтобы растянуть пружину на

расстояние  т. е. переместить её конец из точки  надо приложить силу  При этом выполненная работа приближённо равна  Чтобы растянуть пружину на расстояние  надо приложить силу  и выполнить работу, которая приближённо равна  и т. д. Следовательно, чтобы растянуть пружину на расстояние  надо выполнить работу, приближенное значение которой равно интегральной сумме

Значение  с увеличением  (и соответствующим уменьшением  всё меньше отличается от точного значения искомой работы  т. е. если   Следовательно,

Если 

Сила давления жидкости

Пусть разница уровней воды по обе стороны от ворот шлюза равна 8 м. Ворота имеют прямоугольную форму, их ширина  (рис. 131). Чему равна сила давления воды на ворота?

Известно, что с увеличением глубины давление воды увеличивается. Оно выражается формулой  — глубина в метрах,  — давление воды в килопаскалях. Пусть  — разница уровней воды.

Разобьём этот отрезок точками  на  равных частей и через них мысленно проведём горизонтальные прямые, которые разделят ворота шлюза на  равных полос. Если , то площадь каждой полосы равна   Давление на первую, вторую, третью и т. д. полосы приближённо равно соответственно  Поэтому общая сила давления воды на ворота шлюза приближённо равна сумме

Полученное произведение ширины ворот  на интегральную сумму — приближённое значение силы давления воды на ворота. Точное её значение    

Экономическое содержание интеграла

Пусть функция  описывает изменение производительности некоторого производства в течение определённого времени. Найдём объём продукции  произведённой за промежуток времени 

Отметим, что когда производительность не изменяется в течение времени  — постоянная функция), то объём продукции  произведённой за некоторый промежуток времени  задаётся формулой  В общем случае справедливо приближённое равенство  Оно тем точнее, чем меньше 

Разобьём отрезок  равных частей точками  Для объёма продукции  произведённой за промежуток времени  имеем  

Следовательно,

Если  то каждое из использованных приближённых paвенств становится более точным, следовательно 

Если  — производительность труда в момент времени  то объём произведённой продукции за промежуток  можно вычислить по формуле 

Известный вам определённый интеграл учёные называют интегралом Римана, он применяется к ограниченным функциям и конечным интервалам интегрирования. Но решение многих важных задач нуждалось в нахождении границ бесконечных сумм, определённых широким классом функций и на бесконечных промежутках. Впоследствии были введены такие интегралы: интегралы Лебега, Стилтьеса, интегралы кратные, криволинейные и т. д. Их рассматривают в высших учебных заведениях.

Пример №595

Керосин содержится в цилиндрическом резервуаре (рис. 132), осевое сечение которого — квадрат со стороной 2 м. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать весь керосин из резервуара через отверстие в его верхнем основании, если плотность керосина равна 

Решение:

Решим сначала задачу в общем виде. Разобьём высоту цилиндра  равных частей точками  Через каждую точку деления параллельно основанию цилиндра проведём плоскость. Объём каждого из образовавшихся маленьких цилиндров равен  а масса —  где  — плотность жидкости в резервуаре, — радиус основания цилиндра, а 

Чтобы тело массой  поднять на высоту  нужно выполнить работу  В этих условиях работа по откачке жидкости, содержащейся в  цилиндре, выражается формулой  а общая работа (по откачке жидкости из всего резервуара) —

По условию задачи  поэтому

Ответ. 

Пример №596

Производительность труда бригады рабочих в течение смены приближённо определяется формулой   — рабочее время в часах. Определите объём продукции, выпущенной за 5 рабочих часов.

Решение:

Объём выпуска продукции в течение смены является первообразной от функции, выражающей производительность труда. Поэтому

Ответ.  единиц.

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми и и графиком функции . В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция неотрицательна на отрезке и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь выражается формулой

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

где — площадь внутренней ступенчатой фигуры, —площадь внешней ступенчатой фигуры, и . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

Таким образом, числа и разделяют одни и те же числовые множества: . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции , сверху графиком функции , а слева и справа прямыми (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями и высотами .

Пусть теперь функция непрерывна на отрезке и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции .

Рассмотрим фигуру , симметричную фигуре относительно оси . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке функции , которая на принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

. Но

Значит,

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл дает значение площади криволинейной трапеции с точностью до знака. Если же функция меняет знак на отрезке в конечном числе точек, то значение интеграла дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции , отрезками оси и, быть может, отрезками, параллельными оси (рис. 32).

---

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми (рис. 33).

Решение. Имеем: (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника и прямоугольного треугольника

---

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой .

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси . Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Записав уравнение кривой в виде , найдем точки пересечения ее с осью , положив . Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

Воспользовавшись формулой из таблицы при , получим:

Значит, окончательно имеем:

---

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть кривая задана в параметрической форме

где функция монотонна на отрезке , причем , и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как , то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

---

Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке соответствует значение , а точке — значение . Поэтому

---

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами и , выходящими из точки , и непрерывной кривой (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка . Пусть — полярное уравнение кривой , а и — углы между полярной осью и лучами и соответственно. При этом пусть функция непрерывна на .

Разобьем данный сектор на частей лучами

и рассмотрим k-й частичный сектор (рис. 39). Пусть — наименьшее значение функции в , a — наибольшее значение функции в этом отрезке.

Построим два круговых сектора с радиусами и . Обозначим через величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна , а площадь внешней фигуры равна — . Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу и для интеграла . Так как функция непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция . Поэтому для любого найдется такое разбиение отрезка , что . Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади выполняются неравенства

В то же время по определению определенного интеграла

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

---

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы (рис. 40).

Решение. Значениям и соответствует Поэтому

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Площадь S криволинейного сектора, ограниченного непрерывной кривой r=r(f) и двумя лучами f=f₁ и f=f₂, где f₁<f₂ равняется половине определенного интегралу от квадрата радиуса кривой, проинтегрированного в пределах изменения угла
Задачи взяты из программы практикума для студентов мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко. Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича). 

Для запоминания основных моментов схема интегрирования и нахождения площадей из примера в пример будет повторяться. Сами ррешеня по возможности  будут проиллюстрированы графиками исследуемых кривых.

Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в полярных координатах

Пример 2.106 (2418) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми r²=a²*cos(2f) (лемниската Бернулли).
Вычисление: Лемниската Бернулли — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) остается постоянным и равняется квадрату половины расстояния между фокусами.
Запишем подинтегральную функцию: r²=a²*cos(2f) (известна за условием).
Найдем пределы интегрирования:
задана кривая замкнутая, симметричная относительно прямых r*cos(f)=0 и r*sin(f)=0.
Наведем график лемнискаты Бернулли

Поскольку заданная функция осями координат делится на четыре равных части и достигает своих критических значений при f₁=0 (r=a) и f₂=p/4 (r=0), то площадь фигуры вычислим для одной части лемнискаты, а результат умножим на 4.
Найдем площадь фигуры интегрированиям по углу

Площадь измеряется в единицах квадратных, однако в этом и следующих примерах размерности наводить не будем, хотя о них помним.

Пример 2.107 (2419) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r=a* (1+cos(f)) — кардиоида.
Вычисление: Кардиоида — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой круга, который катится по неподвижному кругу с таким же радиусом a.
Записываем подинтегральную функцию: r²=a²*(1+cos(f))².
Находим пределы интегрирования: кривая замкнутая, симметричная относительно прямой r*sin(f) =0.
Поскольку заданная функция осями координат делится на две равных части и достигает своих критических значений при f₁=0 (r=2a) и f₂=p (r=0), то площадь фигуры вычислим для половины кардиоиды, а результат умножим на 2.
График кардиоиды имеет вид

Вычислим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой, интегрированием:

Пример 2.108 (2420) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r=a*sin(f) -трилисник.
Вычисление: Подносим функцию к квадрату, чтобы получить подинтегральную функцию:
r²=a²*sin²(f).
График трилистника в полярной системе координат

Установим пределы интегрирования:
Поскольку заданный график функции делится на шесть равных частей (полупелюсток) и достигает своих критических значений при f₁=0 (r=0) и f₂=p/6 (r=a/2) то площадь фигуры вычислим для одной его части, а результат умножим на 6.
Находим площадь фигуры интегрированием по углу

Получили простую для вычислений формулу площади трилистника S=Pi*a²/4.

Пример 2.109 ( 2421) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (парабола), f₁=p/4, f₂=p/2.
Вычисление: Подносим к квадрату уравнения кривой в полярной системе коринат (СК).

Пределы интегрирования известны f₁=p/4, f₂=p/2 за условием.
График фигуры, площадь которой нужно найти имеет вид

Интегрированием вычисляем площадь фигуры, которая ограничена параболой:

Для вычисления интеграла следует выполнить замену переменных, не забывая при этом , что изменяются пределы интегрирования.

Пример 2.110 ( 2422) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (эллипс)
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования: f₁=0, f₂=2p (начало и конец кривой эллипса).
График эллипса имеет вид

Находим площадь елипса, воспользовавшись следующей формулой интегрирования

При выведении этой формулы пользовались методом интегрирования частями!

Напоследок превращаем конечную формула с помощью известных формул.
Как видим, ответы задач 2.110 и 2.87 совпадают, то есть площадь эллипса S=Pi*a*b вычислена правильно.

Пример 2.111 (2422.1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой заданной в полярных координатах r=3+2*cos(f).
Вычисление: Сначала находим подинтегральную функцию: r²=(3+2*cos(f))².
Дальше пределы интегрирования: задана кривая замкнутая, симметричная относительно прямой r*sin(f)=0.
Ее график приведен на рисунку ниже

Поскольку задана кривая осями координат делится на две равных части и достигает своих критических значений при углах f₁=0 (r=5) и f₂=p (r=1), то вычислим половину площади фигуры, а результат умножим на 2.
Находим площадь фигуры через определенный интеграл

Интеграл в данном случае не тяжелый и, возведя в квадрат подинтегральную функцию и понизив квадрат косинуса, в результате вычислений получим, что площадь равна S=11*Pi.

Пример 2.112 (2424.1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой заданной в полярных координатах r²+f²=1.
Вычисление: Выражаемый подинтегральную функцию: r²=1-f² .
Найдем пределы интегрирования.
, поэтому , откуда .

Пример 2.113 ( 2422.2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .
Вычисление: Выписываем подинтегральные функции:

Поскольку на промежутке интегрирования между кривыми выполняется неравенство, то для нахождения площади имеем r₂²-r₁².
Найдем пределы интегрирования: f₁=0 — особенная точка (функция направляется к безграничности) f₁=p/2 (известны за условием).
Находим площадь фигуры через предел от интеграла:

Данный пример хорошо разберите, чтобы не иметь трудностей на экзамене или модуле с подобными.

Пример 2.114 ( 2424) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию: r².
Запишем пределы интегрирования:
(известны за условием).
График функций имеет вид

Вычислим площадь фигуры, что приведена на графике.
Для этого сначала находим дифференциал угла f и переходим к интегрированию по радиусу.
Для нахождения интеграла применяем интегрирование частями

Интеграл достаточно трудно находится, поэтому все что содержит формула внимательно проанализируйте.

Пример 2.116 (2424.4) Найти площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми f=r-sin(r), f=p.
Вычисление: Подинтегральную функция следующая: r².
Пределы интегрирования: f₁=0, (r=0) начало; f₁=p (известно за условием).
График функции имеет вид

Находим площадь фигуры, применяя дважды интегрирование частями

Интеграл не слишком сложен, все переходы просьба проанализировать самостоятельно.

Пример 2423 Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми r=a*cos(f), r=a(cos(f)+sin(f)), M (a/2;0)єS.
Вычисление: Для представления фигуры, площадь которой нужно найти предварительно выполняем построение графика заданных функций

Поскольку точка M (a/2;0)єS делит искомую площадь на две части, то имеем два интеграла

Записываем уравнение подинтегральных функций:

Определяем пределы интегрирования:
, где и где (точки пересечения линий).
Вычисляем площадь изображенной фигуры интегрированием

Здесь воспользовались известные тригонометрические формулы для понижения степени косинусов и синусов под интегралом. Все остальное сводятся к применению простых формул интегрирования, и нахождения их значений.

Пример 2424.2 Найти площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми f=sin(p*r), r пренадлежит [0;1].
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию: r².
Запишем пределы интегрирования: При росте r от 0 к 1/2 угол f растет от 0 к 1, при росте r от 1/2 к 1 угол f спадает от 1 к 0, поэтому величина интеграла в пределах r пренадлежит [0;1] имеет знак «минус».

Находим площадь фигуры, предварительно перейдя к новой переменной под интегралом:

Перед интегралом (после замены переменных) поставили знак «минус», поскольку интеграл является отрицательным на этом промежутке, а площадь должна быть положительной.

Перейти к полярным координатам и найти площади фигур, ограниченных кривыми

Пример 2426 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры x³+y³=3a*x*y (лист Декарта)
Вычисление: Перейдем от прямоугольной системы координат к полярной системе координат за формулами перехода:

При подстановке в уравнение получим

Поднесем к квадрату, чтобы получить подинтегральную функцию:

Выпишем пределы интегрирования:
, потому что при и при .
График функции имеет вид

Найдем площадь фигуры интегрированиям:

Для получения конечной формулы площади дважды применяли замену переменных под интегралом.
Внимательно разберите, как при этом изменяются пределы и эффективность методики.

Пример 2427 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры x⁴+y⁴=3a²(x²+y²)
Вычисление: Переходим от прямоугольной к полярной системе координат:

Выражаемый подинтегральную функцию делением:

Запишем пределы интегрирования:
(функция парная).
Ее график изображен на рисунку

Оси прямоугольной системы координат являются осями симметрии для фигуры, которая ограничена заданной линией, поэтому площадь найдем для симметричной части и результат умножим на 4.
Находим площадь фигуры через интеграл:

Пример 2428 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры (x²+y²)²=2a²*x*y (лемниската).
Вычисление: Выполняем переход от прямоугольной к полярной системе координат:

— подинтегральная функция.
График исследуемой кривой следующий

Запишем пределы интегрирования: учитывая симметрию точек лемнискаты относительно прямой r*sin(f) =r*cos (f) и относительно начала координат, то площадь фигуры будем искать в пределах и результат умножим на 4 (смотри пример 2.106).
Находим площадь фигуры интегрированием:

Вычислений в этом задании минимум.
В следующих публикациях Вы найдете больше примеров на применение определенного интеграла при вычислении длины дуги, объемов фигур вращения и площадей поверхностей.