Тором или тороидом называют тело, которое получается путем вращения окружности вокруг оси, не находящейся на этой окружности.
Онлайн-калькулятор площади поверхности тора
Открытый тор по виду напоминает бублик. Также тор может быть закрытым, но только в том случае, когда ось его вращения касается окружности, которой он был получен.
Тор можно задать параметрическими уравнениями:
x(φ,ψ)=(R+rcosφ)cosψx(varphi, psi)=(R+rcosvarphi)cospsi
y(φ,ψ)=(R+rcosφ)sinψy(varphi, psi)=(R+rcosvarphi)sinpsi
z(φ,ψ)=rsinφz(varphi, psi)=rsinvarphi
Угол φvarphi лежит в полуинтервале от 00 до 2π2pi: φ∈[0,2π)varphiin[0, 2pi)
Угол ψpsi лежит в полуинтервале от −π-pi до πpi: ψ∈[−π,π)psiin[-pi, pi)
rr — радиус окружности, образующей тор при вращении;
RR — расстояние от центра образующей окружности до оси вращения тора.
Займемся задачей вычисления площади поверхности тора.
Формула площади поверхности тора по радиусам
S=4⋅π2⋅R⋅rS=4cdotpi^2cdot Rcdot r
RR — расстояние от центра образующей окружности до оси вращения;
rr — радиус образующей окружности.
Один из радиусов тора равен 5 (см.) (расстояние от центра образующей окружности до центра вращения тора), а длина ll образующей окружности равна 8π8pi (см.). Найдите площадь поверхности тора.
Решение
R=5R=5
l=8πl=8pi
Найдем радиус образующей окружности:
l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r
8π=2⋅π⋅r8pi=2cdotpicdot r
r=4r=4
Тогда площадь поверхности тора:
S=4⋅π2⋅R⋅r=4⋅π2⋅5⋅4≈789S=4cdotpi^2cdot Rcdot r=4cdotpi^2cdot 5cdot 4approx789 (см. кв.)
Ответ: 789 см. кв.
Формула площади поверхности тора по диаметрам
Эту формулу легко получить, если вспомнить, что диаметр равен удвоенному радиусу.
S=π2⋅D⋅dS=pi^2cdot Dcdot d
DD — удвоенное расстояние от центра образующей окружности до оси вращения;
dd — диаметр образующей окружности.
Один из радиусов тора (расстояние от центра его вращения до центра образующей окружности) входит в круг, площадь SS которого равна 64π64pi (см. кв.). Радиус образующей окружности равен 7 (см.). Найти полную площадь тора.
Решение
S=64πS=64pi
r=7r=7
Найдем радиус R:
S=π⋅R2S=picdot R^2
64π=π⋅R264pi=picdot R^2
64=R264=R^2
R=8R=8
Найдем диаметры:
D=2⋅R=2⋅8=16D=2cdot R=2cdot 8=16
d=2⋅r=2⋅7=14d=2cdot r=2cdot 7=14
Тогда площадь тора:
S=π2⋅D⋅d=π2⋅16⋅14≈2209S=pi^2cdot Dcdot d=pi^2cdot 16cdot 14approx2209 (см. кв.)
Ответ: 2209 см. кв.
Не можете решить работу, где нужно найти площадь поверхности тора? контрольные по геометрии на заказ на сервисе Студворк!
Тор имеет форму бублика. Формально, тор — это поверхность вращения, образованная вращением окружности в трехмерном пространстве вокруг линии, не пересекающей окружность.
Площадь поверхности и объем тора вычисляются по теоремам Гульдина-Паппа:
Первая теорема дает площадь поверхности фигуры вращения:
, где s — длина вращаемой линии, d — расстояние, которое проходит центр масс вращаемой фигуры,
Согласно первой теореме площадь тора:
Вторая теорема позволяет вычислить объем:
, где A — площадь вращаемой фигуры, d — расстояние которое проходит центр масс вращаемой фигуры,
Таким образом, объем тора будет равен:
Тороид
Расстояние от центра тора до центра трубы.
Точность вычисления
Знаков после запятой: 5
Если увеличить радиус трубы тора до тех пор пока он не станет равен радиусу окружности (r=R) мы получим тор, в котором отсутствует центральное «отверстие». Такой тор называют пиковым тором (horn torus). При дальнейшем увеличении радиуса трубы r>R тор превращается в осевой тор (spindle torus). Внутренние «стенки» осевого тора пересекают друг друга, образуя в центре ось в виде веретена.
Тор – это тело, получаемое при вращении окружности вокруг оси, которая находится вне этой самой окружности. Тор может быть открытым и закрытым. Примером открытого тора служит бублик, у которого ось вращения находится в центре пустого пространства посередине.
Согласно Первой Теореме Паппа-Гульдина о телах вращения, ось которых лежит вне тела, площадь поверхности таких тел равна произведению длины вращающегося тела, и длины вращающейся линии. То есть для тора в обоих случаях фигурируют площади окружности с радиусами (или диаметрами) от центра вращающейся окружности до оси и самой вращающейся окружности:
S=4π2 Rr или S=π2 Dd
Кольцо — это плоскость между двух окружностей с разными диаметрами и общим центром. Площадь кольца находится как разность между площадями большого (внешнего) и малого (внутреннего) круга.
Площадь кольца можно найти по разным формулам, в зависимости от заданных параметров.
Через радиусы внешний и внутренний;
S=π(R2−r2)
где π — константа = 3,14…. ,
R — внешний радиус кольца,
r — внутренний радиус кольца.
Через диаметры внешний и внутренний, из площади внешнего круга (через диаметр) вычитаем площадь внутреннего круга.
S=π/4(D2−d2).
Через один из радиусов и толщину кольца.
Если известен внешний радиус, внутренний ищем вычитанием из него толщины кольца, r=R-k.
Если известен внутренний радиус, внешний ищем прибавлением к нему толщины кольца, R=r+k.
В инженерной и строительной практике нередко встречаются задачи по расчёту площади поперечного сечения. Если фигуру разрезать по линии, которая перпендикулярна продольной оси предмета, то полученный торец и будет поперечным сечением. Круг — один из наиболее часто встречающихся видов подобного рассечения. Такой срез присущ цилиндру, шару, конусу, тору, эллипсоиду.
Определение величины
Площадь — это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Её определение — одна из древнейших практических задач. Древние греки умели находить площадь многоугольников: так, каменщикам, чтобы узнать размер стены, приходилось умножать её длину на высоту.
По прошествии долгих лет трудом многих мыслителей был выработан математический аппарат для расчета этой величины практически для любой фигуры.
На Руси существовали особые единицы измерения: копна, соха, короб, верёвка, десятина, четь и другие, так или иначе связанные с пахотой. Две последних получили наибольшее распространение. Однако от древнерусских землемеров нам досталось только само слово — «площадь».
С развитием науки и техники появилось не только множество формул для расчёта площадей любых геометрических фигур, но и приборы, которые делают это за человека. Такие приборы называют планиметрами.
Область применения
Круг — одна из фундаментальных фигур, которые окружают человека повсюду. Трубы, колеса, лампы, конфорки у плиты — всё это имеет форму круга или поперечное сечение в виде круга. Расчёт площади такого сечения может понадобиться в следующих ситуациях:
- Определение объемов емкостей.
- Решение задач по сопротивлению материалов и электротехнике.
- Расчет количества материалов при проектировании, строительстве и ремонте.
- Ведение поливного земледелия.
Стоит обратить внимание на разницу между кругом и окружностью. Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от центра, в то время как круг — это часть плоскости (геометрическая фигура), ограниченная окружностью.
Круг имеет ряд характеристик:
- радиус (r/R) — отрезок, соединяющий центр фигуры с его границей;
- диаметр (d/D ) — отрезок, который соединяет две точки границы круга и проходит через его центр;
- длина окружности (C/c/L/l) .
Теорема гласит: площадь круга (S) равна произведению половины длины окружности и его радиуса. Длина окружности С находится в прямой зависимости от радиуса R с коэффициентом π («пи» = 3,14).
Способы расчета
Чтобы получить круглое поперечное сечение, необходимо разрезать объёмную фигуру перпендикулярно оси вращения. В случае с цилиндром площади всех поперечных сечений будут равны между собой — как, например, кружки колбасы, нарезанные поперек батона, одинаковы.
Шар, по сути, представляет собой напластование блинчиков-кругов различного диаметра от точечного до заданного и обратно до точки. Чтобы найти S какого-либо из блинчиков, необходимо определить его радиус. Принцип его расчёта сводится к решению теоремы Пифагора, где гипотенузой выступает радиус шара, а искомый радиус становится одним из катетов.
При расчёте площади сечений конуса необходимо найти радиус или диаметр каждого из кругов, учитывая, что в продольном разрезе конус — это равнобедренный треугольник.
Цилиндр, конус и шар — базовые объемные фигуры. Однако существуют более сложные фигуры, например, тор. Тор, или тороид, при первом приближении являет собой не что иное, как бублик или баранку. Разломив его пополам, на торцах можно увидеть два одинаковых круга. Площадь такого поперечного сечения можно получить, удвоив имеющуюся (на рисунке серая область справа). Если взять нож и рассечь баранку вдоль, на срезе получится кольцо. В случае с такой фигурой необходимо найти площадь круга по внешней окружности и вычесть из нее «дырку от бублика» (показано серым на рисунке слева).
Площадь круглого поперечного сечения рассчитывается исходя из имеющихся характеристик. Она сводится к трем основным формулам. Их можно представить таким образом:
- Самая популярная, легкая в применении и часто используемая формула. Чтобы узнать площадь фигуры, если известен её радиус, нужно возвести это значение в квадрат и умножить на число π. Для бытовых расчетов достаточно двух знаков после запятой, то есть π = 3,14.
- Иногда оперируют диаметром, а не радиусом круга. В этом случае к вычислениям добавляется одна операция: диаметр умножают сам на себя, затем на число π, а произведение делят на 4.
- Если известна длина окружности С и ее радиус R и нужно выяснить площадь круга, ограниченного этой окружностью, не понадобится даже π. Используют следующую формулу: значение С делят пополам и умножают на R. Полученное чисто и будет искомой величиной.
Способов определения того, чему равна площадь круга, достаточно много. Чаще всего, если возникает подобная задача, на ум приходит знакомая еще со школьной скамьи формула «эс равно пи эр квадрат».