Как найти параметрическое уравнение высоты треугольника

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

И в итоге: x+2y+z-9=0
это вы написали уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно АВ.

Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости

I. «Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости»

Нужно найти не длину, а уравнение CH.

II. «Можно воспользоваться двойным векторным произведением. и найти направляющий вектор высоты. »
То есть:
AC<2,2,2>
AB

Нужно найти не длину, а уравнение CH. — Если найдёте `H`, то сможете написать уравнение по двум точкам.

Так? — Да. только вычисления не проверял. а в том, что получили, можно сократить на 36.

Уравнение высоты треугольника по координатам формула

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

Точка К является серединой отрезка АМ.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.

Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:

Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0

Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9

Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:

y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.

10 = (32/3) + d,
d = -2/3

Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0

Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: X_E = 6, Y_E = -1

Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.

(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0

Это уравнение медианы AE.

Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:

S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)

источники:

http://diary.ru/~eek/p183898406_uravnenie-vysoty-treugolnika-v-prostranstve.htm

http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/

Источник

Автор

Сообщение

Заголовок сообщения: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике

Добавлено: 09 авг 2017, 10:36

Начинающий

Зарегистрирован:
08 авг 2017, 14:55
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Написать параметрическое уравнение высоты, проведенной из вершины А на сторону ВС в треугольнике АВС. А(2,1,-1), В(1,3,0), С(4,1,7).

Что нужно почитать, что бы понять как решить эту задачу?

Вернуться к началу

dr Watson	Заголовок сообщения: Re: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике Добавлено: 09 авг 2017, 11:37
	Знать надо почти ничего. Вариант А. 1. На прямой [math]BC[/math] берём точку [math]D[/math]. Для этого надо знать, как задать параметрически прямую, проведённую через две точки. Координаты точки [math]D[/math] будут зависеть от одного параметра. 2 Мы хотим, чтобы точка [math]D[/math] была основанием перпендикуляра, опущенного из вершины [math]A[/math], то есть чтобы векторы [math]vec{AD}[/math] и [math]vec{BC}[/math] были перпендикулярны. Для этого надо знать, что такое скалярное произведение и как с его помощью записать условие перпендикулярности. 3. Из условия перпендикулярности находим параметр, то есть получаем конкретно точку [math]D.[/math] Остаётся написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки [math]A[/math] и [math]D,[/math] а это Вы уже умеете, если прошли п.1. ВАРИАНТ В. 1. Берём вектор, перпендикулярный вектору [math]vec{BC}[/math] любой ненулевой длины. Он будет направляющим вектором искомой прямой. 2. Теперь надо знать, как записать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку [math]A[/math] параллельно полученному направляющему вектору. PS. Чтобы в данном контексте пишется слитно. Раздельно пишется во фразах типа «что бы мне ещё поесть», «что бы я ни делал, ничего не получается»
Вернуться к началу

	За это сообщение пользователю dr Watson «Спасибо» сказали: vas999

vas999	Заголовок сообщения: Re: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике Добавлено: 09 авг 2017, 12:40
	dr Watson писал(а): Вариант А. 1. На прямой [math]BC[/math] берём точку [math]D[/math]. Для этого надо знать, как задать параметрически прямую, проведённую через две точки. Координаты точки [math]D[/math] будут зависеть от одного параметра. А(2,1,-1), В(1,3,0), С(4,1,7). Направляющий вектор: [math]overrightarrow{BC} = left( 4-1,1-3,7-0 right)=left( 3,-2,7 right)[/math] Параметрические уравнения прямой: [math]left{!begin{aligned} & x =1+3 lambda \ & y =3-2 lambda\ & z =0+7lambda end{aligned}right.[/math] Так?
Вернуться к началу

vas999	Заголовок сообщения: Re: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике Добавлено: 09 авг 2017, 13:58
	dr Watson писал(а): 1. Пишем уравнение плоскости через точку [math]A[/math] перпендикулярно вектору [math]BC[/math]. 2. Подставляем в неё [math]x=1=3lambda, y=ldots[/math] и находим [math]lambda[/math] — получили точку [math]D.[/math] 3. Как в варианте А. А(2,1,-1), В(1,3,0), С(4,1,7). 1. [math]overrightarrow{BC}=(3,−2,7)[/math] [math]left{!begin{aligned} & x =1+3 lambda \ & y =3-2 lambda\ & z =0+7lambda end{aligned}right.[/math] [math]3left( x-2 right) -2left( y-1 right)+7left( z+1 right) =0[/math] [math]3x-2y+7z+3= 0[/math] 2. [math]3left( 1+3 lambdaright)-2left( 3-2 lambda right)+7left( 0+7lambda right) +3 = 0[/math] [math]lambda=0[/math] [math]D= left( 1,3,0 right)[/math] Так?
Вернуться к началу

vas999	Заголовок сообщения: Re: Параметрическое уравнение высоты в треугольнике Добавлено: 09 авг 2017, 14:33
	dr Watson писал(а): 3. Из условия перпендикулярности находим параметр, то есть получаем конкретно точку [math]D.[/math] Остаётся написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки [math]A[/math] и [math]D,[/math] а это Вы уже умеете, если прошли п.1. 3. [math]overrightarrow{AB}=left( 1-2,3-1,0+1 right) =left( -1,2,1 right)[/math] [math]left{!begin{aligned} & x =2- lambda \ & y =1+2 lambda \ & z =-1+ lambda end{aligned}right.[/math] Это и есть ответ?
Вернуться к началу

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	Параметрическое уравнение высоты тр-ка 14.12.2008, 18:25
16/02/07 329	Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста как быть с такой задачкой: Даны вершины треугольника А(1;2;-4), В(3;-2;-2), С(5;0;-6). Составить параметрическое уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону. Какую формулу здесь использовать?

ewert

14.12.2008, 18:30

Заслуженный участник

11/05/08
32162

Для начала полезно вспомнить (или узнать), что такое параметрические

уравнения

прямой и в чём геометрический смысл их

коэффициентов.

Мироника	14.12.2008, 19:40
16/02/07 329	Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид Здесь — координаты направляющего вектора Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд: Но как их найти? Я нашла уравнение прямой АС: $frac {x-1} {2} = frac {y-2} {-1} = frac {z+4} {-1}$ Получается, что Так?

ewert

14.12.2008, 19:50

Заслуженный участник

11/05/08
32162

Мироника писал(а):

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид

Здесь — координаты направляющего вектора

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Но как их найти?
Я нашла уравнение прямой АС:
$frac {x-1} {2} = frac {y-2} {-1} = frac {z+4} {-1}$

Правильно.

Мироника писал(а):

Получается, что
Так?

Да нет конечно! с чего вдруг?

Someone

14.12.2008, 19:51

Заслуженный участник

23/07/05
17973
Москва

ewert

14.12.2008, 19:53

Заслуженный участник

11/05/08
32162

(я так понял, что Мироника

таким своеобразным способом записала равенство нулю скалярного произведения)

Мироника	14.12.2008, 19:57
16/02/07 329	Мироника писал(а): Получается, что Так? Да нет конечно! с чего вдруг? Мне ведь нужно найти параметрические уравнения высоты из вершины В на сторону АС. Следовательно? искомая прямая перпендикулярна АС. Вот я и пользуюсь условием перпендикулярности прямых в пространстве В чем здесь ошибка? Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду: ой, поняла. я хотела написать

Someone

14.12.2008, 19:57

Заслуженный участник

23/07/05
17973
Москва

В чем здесь ошибка?

В том, что это вовсе не условие перпендикулярности.

Алексей К.	14.12.2008, 19:57
29/09/06 4552	Мироника писал(а): Получается, что Так? Так это или не так, но это, по-моему, совсем не интересно. Давайте, например, рассмотрим парам. уравнение прямой как уравнение некой подвижной точки , и спросим себя: «при каком вектор будет перпендикулярен вектору ?» Это и будет вожделенная высота.

Мироника	14.12.2008, 19:57
16/02/07 329

Someone

14.12.2008, 19:59

Заслуженный участник

23/07/05
17973
Москва

ой, поняла. я хотела написать

Да, это другое дело. Только этого для решения задачи не хватит: уравнение одно, а неизвестных три или две, если учесть, что они нужны с точностью до пропорциональности.

Мироника	14.12.2008, 20:03
16/02/07 329

ewert

14.12.2008, 20:06

Заслуженный участник

11/05/08
32162

Вообще-то эту задачу можно решать кучей способов. Вот, на мой взгляд, логически наиболее прямолинейный (хотя и не самый очевидный).

1). Находим (с помощью векторного произведения) вектор, перпендикулярный к треугольнику.

2). Находим (аналогично) вектор, перпендикулярный к только что найденному и к вектору .

Это и будет искомый направляющий вектор высоты.

Алексей К.	14.12.2008, 20:08
29/09/06 4552	Скалярное произведение на равно нулю.

Someone

14.12.2008, 20:12

Заслуженный участник

23/07/05
17973
Москва

Ну, вот у Вас есть точка и точка . При каком условии будет ?

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

Во как активно Вам помогают…

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

$[left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot 5 + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{43}}{4}.]$

Таким образом, уравнение прямой BC —

$[y = - frac{{11}}{4}x + frac{{43}}{4}.]$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{{11}}{4}}} = frac{4}{{11}}.]$

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

$[y = frac{4}{{11}}x + b.]$

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

$[2 = frac{4}{{11}} cdot ( - 7) + b, Rightarrow b = frac{{50}}{{11}}.]$

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

$[y = frac{4}{{11}}x + frac{{50}}{{11}}.]$

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

$[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ - 3 = k cdot 5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{11}}{{12}}.]$

Уравнение прямой AB:

$[y = - frac{5}{{12}}x - frac{{11}}{{12}}.]$

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{5}{{12}}}} = frac{{12}}{5} = 2,5.]$

$[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{29}}{4}.]$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{frac{3}{4}}} = - frac{4}{3}.]$

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

$[y = - frac{4}{3}x + b.]$

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

$[- 3 = - frac{4}{3} cdot 5 + b, Rightarrow b = frac{{11}}{3}.]$

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

$[y = - frac{4}{3}x + frac{{11}}{3}.]$

Источник

Томский межвузовский центр дистанционного образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
Контрольная работа №2
по дисциплине “Высшая математика — 1”, Магазинников Л.И.
Вариант №2.8

Выполнил:

студент ТМЦДО

группы

специальности

Даны
координаты вершин треугольника A(1,3),
B(2,8), C(6,7).
Запишите общее уравнение его высоты
AH.

Так как
прямая AH перпендикулярна
BC, то в качестве вектора
нормали к прямой AH можно
взять любой параллельный BC
вектор. BC = (4, -1) || (-4, 1). В
качестве вектора нормали прямой AH
примем вектор (-4;1). Уравнение прямой AH
можно записать в виде

-4x
+ y – (- 4·1 + 1·3)
= 0;

-4x
+ y + 1 = 0

4x — y – 1 = 0

Ответ:
Уравнение высоты треугольника ABC:
4x — y – 1 =
0.

В
треугольнике ABC
из вершины A
проведены высота и медиана. Даны: вершина
B(6, 5), уравнение
высоты x + y
= 2 и уравнение медианы 2x
– 3y + 1 =
0. Найдите координаты вершины С.

_{Координаты вершины}_A_{можно найти как точку пересечения высоты}_AH_{и медианы}_AM_{, решая

систему уравнений}

x = 1, y = 1, т.е.
A (1,1).

Точка
M имеет координаты
.
Точка C лежит на прямой
BC, а M на
медиане. Прямая BC
перпендикулярна высоте, поэтому в
качестве вектора нормали можно взять
любой вектор, перпендикулярный к вектору
(1, 1), например N (-1, 1).
Уравнение BC можно записать
в виде

-x + y – (-6 +
5) = 0

-x + y + 1 = 0

x
– y –1 = 0

Для
отыскания
и
имеем
систему

Решая
систему, находим

= 2,
=
1.

Ответ.
C (2, 1).

Запишите
общее уравнение плоскости, проходящей
через точки

и

перпендикулярно плоскости x
+ 4y – 5z
+ 3 = 0.

Решение:
В качестве одного вектора, параллельного
искомой плоскости воэьмём вектор
.

Искомая
плоскость также параллельна вектору
нормали плоскости x + 4y
– 5z + 3 = 0. Выражаем из
уравнения плоскости этот вектор и
принимаем его в качестве второго вектора:
.

В
качестве вектора нормали к искомой
плоскости берём вектор N
= []
=
Разложим
определитель по первой строке:

Т.е. N
= ( 3, 3, 3). Записываем уравнение плоскости
3х + 3у + 3z + D
= 0.

Для
определения D используем
условие, что плоскость проходит через
точку

3·1 +
3·(-2) + 3·4 + D = 0

D
= -9

Уравнение
3x + 3y + 3z
– 9 =0 или

x + y + z – 3 = 0

является
искомым.

Ответ:
x + y + z
– 3 = 0.

Найдите
координаты проекции точки М( 3, –1, -3) на
плоскость 2х + у – 4z
+ 4 = 0.

Решение:
По заданию надо найти координаты точки
.
Прямая, соединяющая точку М с точкой

является перпендикуляром к плоскости
2х + у – 4z + 4 = 0.

Из
уравнения плоскости 2х + у – 4z
+ 4 = 0 видно, что вектором нормали этой
плоскости является вектор l(
2, 1, -4). Данный вектор параллелен прямой
,
а следовательно является направляющим
для данной прямой.

Выражаем
уравнение прямой в координатной форме.

Находим
то значение параметра t, при котором
происходит пересечение прямой и
плоскости. Так как точка

( 3 + 2t, -1 + t,
-3 – 4t) лежит в данной
плоскости, то её координаты удовлетворяют
уравнению плоскости, следовательно,

2(3 + 2t) + (-1 + t) –
4(-3 – 4t) + 4 = 0

21t + 21 = 0

t
= -1.

Полагая
в параметрических уравнениях прямой t
= -1, находим точку пересечения

(
1, -2, 1).

Ответ:
(
1, -2, 1).

Найдите
коэффициент А в уравнении плоскости
Ax + y
+ Cz + D
= 0, проходящей через точки P(
1, 1, 8), O( 0, 0, 0)
параллельно прямой
.

Решение:
Перепишем уравнение
прямой в параметрическом виде:

Коэффициенты при параметре t
в этих уравнениях определяют координаты
направляющего вектора прямой. Итак,
известны координаты вектора

( 1, -1, 6) , являющегося также направляющим
вектором для плоскости(т.к. прямая
параллельна плоскости по условию).

В качестве второго вектора, параллельного
плоскости возьмём вектор OP(
1, 1, 8).

В качестве вектора нормали плоскости
возьмём вектор N = []
=

Разложим определитель по первой строке:

Отсюда видно, что А = 7, С = -1.

Ответ: А = 7.

6) При каких значениях параметров а
и с прямая

_{пересекает две другие прямые:}

Решение: Запишем параметрическое
уравнение прямой, заданной общим
уравнением.

Так как
,
то неизвестное z можно
принять в качестве свободного и записать

_{Находим общее решение системы :}

Полагая z = t,
записываем параметрическое уравнение
прямой:

_{Аналогично записываем уравнение в

параметрическом виде для другой прямой:}

Условие пересечения двух прямых:

Для первой прямой:
=
(3,3,0);
=
(1,1,-1);
=
(2,3,1);
=
(a,-1,c).

Для второй прямой:=
(,,0);
=
(1,1,-1);
=
(,,1);
=
(a,-1,c).

Тогда

Ответ: a = 2; c
=1.

Найдите
радиус сферы, если известно, что она
касается двух плоскостей:
x – 2y + 2z + 22 = 0 и x
– 2y + 2z
+ 10 = 0.

Решение: Векторами нормали для
обеих плоскостей является вектор N(
1, -2, 2), следовательно плоскости параллельны,
а значит расстояние d
между ними является диаметром сферы.

Возьмём любую точку на первой плоскости,
например M( -22, 0, 0). Она
удалена от плоскости x
– 2y + 2z
+ 10 = 0 на расстояние d.
Поэтому

Находим радиус сферы:

_Ответ:_{R

= 2.}

Дана
кривая
.

8.1) Докажите, что эта кривая – эллипс.

Преобразуем данное уравнение, выделив
полные квадраты:

Введём новые переменные
.

Тогда:

Это уравнение определяет эллипс.

8.2) Найти координаты центра его
симметрии.

Центр симметрии находится в точке ( 2;
8).

Найти его большую и малую полуоси.

Так как
,

то a = 2 – большая полуось.

b = 3 – малая полуось.

8.4) Записать уравнение фокальной оси.

x = 2 – фокальная ось.

8.5) Построить данную кривую:

Дана кривая
.

9.1) Докажите, что данная кривая –
парабола.

Введём новые переменные

_{Тогда уравнение примет вид}

Оно определяет параболу.

9.2) Найдите координаты ее вершины.

Вершина параболы О( 2; 5).

9.3) Найти значение ее параметра р.

Так как
,
то

В качестве х возьмём координаты вершины
параболы:

p =
.

9.4) Записать уравнение её оси
симметрии.

Осью симметрии является прямая ( x
– 2 = 0), т. е. х = 2.

9.5) Построить данную параболу

Дана
кривая х² — 8ху + 7у²
+ 6х — 6у + 9 = 0.

10.1) Докажите, что эта кривая – гипербола.

Квадратичную форму В(х, у) = х² — 8ху
+ 7у² приводим к главным осям. Для
этого записываем матрицу этой квадратичной
формы

и
находим ее собственные числа и векторы.
Записываем и решаем характеристическое
уравнение матрицы В.

т.к. собственные числа имеют разные
знаки, то данное уравнение определяет
кривую гиперболического типа. Находим
собственные векторы матрицы В.

Для собственного числа
получаем
систему

Отсюда
.
Полагая,
находим единичный собственный вектор
.

Другой собственный вектор при
:

Базис (i₁; j₁)
принят правым. Переходим от базиса (0;
i; j) к (0₁;
i₁; j₁).
Запишем матрицу перехода:

и
обратную к ней Q^-1
= Q^т
=.

Новые координаты (х₁, у₁)
связаны со старыми (х, у) соотношениями:

_или

Получаем систему:

Уравнение данной кривой в новой системе
координат:

Данное
уравнение – есть уравнение гиперболы.

Найти координаты ее центра симметрии
О₁(х, у)

Теперь

В системе координат (о₁; i₁;
j₁) гипербола имеет
уравнение:

Оси о₁х₂, о₁у₂
направлены по прямым x
— 2y + 1 = 0 ; 2x
+ y — 3 = 0.

Координаты точки О₁, являющиеся
центром симметрии гиперболы, находим
решая систему:

Получаем х = 1; у = 1.

О₁(1;
1).

Найдите действительную и мнимую
полуоси

а

– действительная полуось.

b =

– мнимая полуось.

10.4) Записать уравнение фокальной
оси.

Фокальной осью является прямая х₂
= 0.

x — 2y
+ 1 = 0.

Асимптотами являются прямые
.

Постройте данную гиперболу.

Соседние файлы в папке 2- 8_Высшая математика

Источник

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Уравнение высоты треугольника