Как найти отношение сторон в геометрии

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Подобные треугольники

Определение

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A₁ = ∠A₂, ∠B₁ = ∠B₂ и∠C₁ = ∠C₂

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$frac = frac<3> <6>= frac = frac = frac = frac<1> <2>Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac<7> <11>= frac = frac<15> Rightarrow CA = frac<15 times 11> <7>= 23.57$
x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac<3> <9>= frac = frac<8> Rightarrow AB = frac<8 times 9> <3>= 24 м$
x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt <24^2 + 9^2>= 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$frac = frac<1.6> <2.8>= frac = frac <5 + AC>Rightarrow 2.8 times AC = 1.6 times (5 + AC) = 8 + 1.6 times AC$

$(2.8 — 1.6) times AC = 8 Rightarrow AC = frac<8> <1.2>= 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

О многоугольнике с тремя сторонами

Соотношение углов и сторон в треугольнике интуитивно можно понять, если хорошо представлять эту фигуру. Речь идет о плоском объекте, который состоит всего из трех отрезков. Они расположены таким образом, что начало первого совпадает с концом последнего, то есть они пересекаются. Каждый отрезок представляет собой независимую сторону фигуры. Точка пересечения является вершиной, а соответствующий ей угол является внутренним.

Таким образом, два ключевых элемента образуют рассматриваемую фигуру:

• вершина;
• сторона.

И вершин, и сторон в любом треугольнике по три, поэтому его принято обозначать большими латинскими буквами, например, ABC или MNK. Малые буквы резервируют для обозначения длин сторон, например, a, b, c.

На первый взгляд может показаться, что рассматриваемый объект является несложным, и в нем нечего изучать. Действительно, он является самым простым по построению многоугольником, однако, он обладает большим количеством свойств, количественное и качественное знание которых требуют понимания многих теорем.

Существование фигуры

Пусть имеется три отрезка, и необходимо понять, возможно ли из них построить треугольник. Это можно сделать с помощью одного простого правила, которое можно сформулировать следующим образом: любая сторона треугольника всегда меньше суммы длин двух других.

Знание этого правила является очень важным и эффективным инструментом при решении задач. Например, из отрезков с условными длинами 1, 2 и 4 построить треугольник невозможно, а из 2, 3, 4 это сделать можно.

Помимо соотношения длин сторон существует также еще одна теорема, которая гласит, что во всяком треугольнике сумма его внутренних углов всегда равна 180 °. Благодаря знанию этой теоремы можно все рассматриваемые фигуры разделить на три типа:

1. Остроугольные. В них все три угловые меры меньше 90 °. При этом возможны случаи взаимного их равенства, то есть каждый будет составлять 60 °. Такие треугольники называются равносторонними или правильными. Равны могут быть между собой также два угла, это будет уже равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны имеют одинаковую длину.
2. Тупоугольные. Поскольку сумма составляет 180 °, то по определению в рассматриваемом многоугольнике не может быть больше одного тупого угла. Тупоугольные фигуры могут иметь либо произвольный тип, когда все их отрезки различаются, либо являться равнобедренными.
3. Прямоугольные. Это специальный тип треугольников, о котором известно многое, и который разграничивает два предыдущих типа. В них один угол равен 90 °, а два других являются острыми.

Полноты ради следует сказать о вырожденных фигурах. К ним относятся такие многоугольники, у которых тупой стремится к 180 °. Несложно представить, что в этом случае два других будут обращаться в ноль, а сумма противолежащих им сторон окажется равной длине отрезка, расположенного напротив тупого угла. На плоскости вырожденный треугольник представляет отрезок, его площадь стремится к нулю.

Важные линии

Несмотря на всю простоту построения треугольника, при решении задач могут понадобиться дополнительные отрезки. Внутри фигуры существует целая гамма типов этих отрезков, наиболее важными из них являются следующие:

1. Медиана — делящий на две равные по площади части исходный треугольник. Отрезок проводится из вершины к середине противоположной стороны.
2. Биссектриса. Ею называют отрезок, который на две половины делит угол при произвольной вершине.
3. Высота. Этот элемент проводится также из вершины, но по отношению к противоположной стороне он является перпендикуляром. Таким образом, высота делит исходную фигуру на два прямоугольных геометрических объекта, которые в общем случае между собой не равны.
4. Медиатриса — это серединный перпендикуляр, то есть он сочетает свойства медианы и высоты, однако, через вершину треугольника он может не проходить. Медиатрисами пользуются при построении описанной окружности.
5. Средняя линия — это отрезок, который посередине пересекает две стороны треугольника. Его длина всегда будет в два раза меньше стороны фигуры, которой он параллелен. Средняя линия приводит к созданию подобной исходной фигуры, которая в два раза меньше.

Для правильных, равнобедренных и прямоугольных треугольников некоторые из названных отрезков могут совпадать друг с другом, а также со сторонами фигуры. Например, в прямоугольном треугольнике две малые стороны (катеты) также являются высотами.

Соотношение отрезков и углов

Задачи на соотношение отрезков и угловых мер в рассматриваемой фигуре могут требовать либо качественный, либо количественный ответ. В первом случае следует провести определенное доказательство, опираясь на известные аксиомы и теоремы о сторонах треугольника и их следствия. Во втором же случае следует пользоваться формулами и выражениями, которые содержат тригонометрические функции. В действительности оба типа задач связаны между собой. Так, прежде чем использовать какую-либо формулу, следует доказать возможность ее применения в конкретной ситуации.

Большие и меньшие длины

Основная теорема о соотношении между элементами в рассматриваемом типе многоугольников гласит, что против большего угла лежит большая сторона. Ее доказательство провести несложно, если построить треугольник, например, тупоугольный. Из тупого провести отрезок к противоположной стороне таким образом, чтобы он образовывал новый равнобедренный треугольник внутри исходного. После этого следует воспользоваться тем свойством, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.

Следуя условию равенства углов в построенном равнобедренном треугольнике, легко показать, что против тупого всегда находится самый длинный отрезок.

Обратно эта теорема также справедлива, то есть против большей стороны треугольника лежит больший угол. Ее справедливость понятна каждому школьнику на интуитивном уровне, а доказательство заключается в переборе возможных трех вариантов соотношения между отрезками (больше, меньше, равно) и в привлечении уже доказанной теоремы.

Рассмотренные теоремы приводят к двум важным следствиям:

1. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следствие актуально для равносторонних и равнобедренных фигур.
2. Гипотенуза в треугольнике с прямым углом является самой длинной стороной, поскольку она лежит напротив самого большого угла.

Рассмотренные теоремы и их следствия активно используются при изучении подобных фигур. Поскольку напротив равных углов двух треугольников лежат соответствующие им длины отрезков, то последние будут попарно относиться друг к другу с определенным коэффициентом подобия.

Теоремы косинусов и синусов

Количественной характеристикой соотношения сторон и углов являются знаменитые формулы, содержащие зависимость длин отрезков и угловых мер. Первая из них называется теоремой косинусов. Соответствующая формула имеет вид:

c ² = a ² + b ² — 2*a*b*cos©.

Здесь величины a, b, c — это длины, C — угол напротив стороны c. Формула позволяет вычислить третью сторону по известным двум другим и углу между ними. Однако, возможности выражения шире, с его помощью можно посчитать всякий внутренний угол фигуры, если известны три ее стороны.

Следующая по счету, но не по важности теорема синусов. Ее математическое выражение записывается так:

a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin©.

Эти равенства говорят о том, что отношение стороны к синусу противоположного ей угла является постоянной характеристикой конкретного треугольника. Зная связь двух углов и стороны или двух отрезков и одного угла можно рассчитать все остальные характеристики фигуры. Следует запомнить, что для любого рассматриваемого типа многоугольников однозначное вычисление всех его свойств требует знания минимум трех элементов (кроме трех углов).

Прямоугольный треугольник

Этот особый случай следует рассмотреть подробнее. Каждый школьник знает знаменитую теорему, позволяющую сравнить соответствие отрезков друг другу в этом типе фигуры. Она гласит, что сумма квадратов катетов соответствует квадрату гипотенузы, и называется пифагоровой теоремой, то есть можно записать:

c ² = a ² + b ² .

Работать с прямоугольными треугольниками удобно по одной простой причине: через их геометрические параметры вводятся в математику тригонометрические функции. Последние легко использовать при вычислении сторон и углов фигуры. Например, если фигура является не только прямоугольной, но и равнобедренной, то ее катеты равны, а углы напротив них составляют по 45 °. При этом любой из катетов всегда в 2 ^0,5 раза меньше гипотенузы:

sin (45 °) = a/c = ½ ^0,5.

Это соотношение можно получить также из теоремы Пифагора.

Другая ситуация, когда один из острых углов равен 30 °. Для лежащего напротив него катета a можно записать следующее выражение:

sin (30 °) = ½ = a/c.

Иными словами, лежащий против 30 ° катет составляет ровно половину длины гипотенузы.

Таким образом, в любом треугольнике существует прямая пропорциональность между длиной стороны и противолежащим ей углом. Для количественного решения задач по геометрии с этой фигурой следует пользоваться выражениями синусов, косинусов и теоремой Пифагора.

План урока:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁ равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН <АС₁, рассматривается аналогично, и также получается противоречие. Эти противоречия означают, что на самом деле точка Н должна совпадать с С₁, то есть справедливо равенство

ч.т. д.

Теперь, доказав обобщенную теорему Фалеса, мы можем перейти к первому признаку подобия треугольников.

Действительно, пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых

Так как сумма углов у любого треуг-ка постоянна и составляет 180°, то должны быть одинаковы и третьи углы:

При таком наложении прямые ВС и В₁С₁ окажутся параллельными, так как соответственные углы ∠В₁С₁А и ∠ВСА одинаковы. Но параллельные прямые должны отсекать на сторонах угла пропорциональные отрезки, то есть

У ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ углы одинаковы, а лежащие напротив них стороны пропорциональны, следовательно, это подобные треуг-ки.

Задание. Прямая, параллельная стороне AВ ∆AВС, пересекает стороны ВС и АС в точках Е и Р. Известно, что ЕС = 2, ВЕ = 3, ЕР = 3,2. Какова длина AВ?

Решение. В данной задаче есть только два треуг-ка, ∆AВС и ∆РЕС. Докажем их подобие. У них есть общий∠С, а ∠СЕР = ∠СВА, ведь это односторонние углы при параллельных прямых ЕР и AВ. Отсюда следует, что ∆AВС∾∆РЕС. Значит, ∠А = ∠СРЕ.

Далее надо найти коэффициент подобия. Стороны СЕ и ВС лежат против равных углов∠А и ∠СРЕ, поэтому они сходственные.

Задание. По данным рисунка найдите длину КЕ:

Решение. На рисунке показано, что ∠ВСА = ∠СКЕ, а∠А = ∠Е = 90°. То есть у ∆AВС и ∆СКЕ есть два одинаковых угла, и, следовательно, они подобны. Сходственными будут являться стороны AВ и ЕС, с их помощью найдем коэффициент подобия:

Задание. Основания трапеции имеют длины 5 и 8 см. Длины ее боковых сторон составляют 3,6 и 3,9 см. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке М. Определите расстояние от М до вершин меньшего основания.

Решение. Для начала выполним построение:

Отрезки ВС и АD параллельны, так как они являются основаниями трапеции. Отсюда получаем равенство соответственных углов:

Теперь посмотрим на ∆АМD и ∆ВМС. МЫ только что выяснили, что у них есть одинаковые углы (∠МВС и ∠МАD), а ∠М является общим для них. Тогда получаем, что эти треуг-ки подобны. Стороны ВС и AD будут сходственными, так как лежат против одного и того же ∠М, поэтому по их длине можно найти коэффициент подобия:

Для нахождения МВ обозначим его длину как х. Тогда отрезок АМ будет иметь длину х + 3,9. Но из подобия треуг-ков следует такое соотношение:

Подставив сюда значение k и выраженные через х длины АМ и МВ, получим уравнение:

МС можно найти таким же путем, обозначив его длину как у. Тогда отрезок МD будет равен у + 3,6, и можно составить уравнение:

Второй и третий признаки подобия треугольников

Существует ещё два признака подобия треуг-ков, которые в решении задач используются значительно реже. Они выводятся непосредственно из первого признака.

Докажем второй признак подобия. Пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, для которых выполняются соотношения:

Необходимо доказать, что они подобны. Для этого построим ещё один ∆AВС₂, который будет иметь общую сторону с ∆AВС, причем точку С₂ мы выберем так, что будут выполняться условия:

∆А₁В₁С₁ и ∆AВС₂ будут подобными, ведь у них одинаковы два угла. Значит, будет выполняться соотношение

Но тогда ∆AВС и ∆AВС₂ будут равными, ведь у них одинаковы две стороны и угол, образованный этими сторонами:

В итоге у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ оказываются два одинаковых угла, то есть они подобны друг другу

ч. т. д.

Задание. На стороне угла отмечены точки A и В так, что AВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отмечены точки С и D так, что AD = 8 cм и AF = 10 см. Подобны ли ∆АСD и ∆AFB? 

Решение.

У рассматриваемых треуг-ков есть общий угол ∠А. Найдем отношение сторон, прилегающих к этому углу.

Отношения одинаковы, значит, треуг-ки подобны.

Примечание. В данном случае важно понимать, какие стороны надо делить друг на друга. У ∆АСD известны стороны АС и АD, равные 16 и 8 см. У ∆AFB известны AF и AB, которые составляют 10 и 5 см. Делить надо большую сторону одного треуг-ка на большую сторону другого треуг-ка, то есть 16 на 10. Потом же делим меньшие стороны, то есть 8 на 5.Если получили одно и тоже число, то это значит, что рассмотренные треуг-ки подобны, причем полученное число как раз и является коэффициентом подобия.

Рассмотрим третий признак подобия треуг-ков.

Докажем его. Пусть у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ пропорциональны их стороны:

Можно заметить, что ∆AВС₂ и ∆А₁В₁С₁ подобны, ведь у них совпадают два угла. Тогда верны соотношения:

Самая левая дробь в обоих случаях одинакова, а в других отличны лишь числители. Значит, эти числители одинаковы:

Но тогда у ∆AВС и ∆AВС₂ совпадают все стороны, то есть эти треуг-ки равные. Следовательно. Так как ∆AВС₂ подобен ∆А₁В₁С₁, то и равный ему ∆AВС также подобен ∆А₁В₁С₁

ч. т. д.

Задание. Подобны ли ∆AВС и ∆DEF, если их стороны имеют длины:

Решение.

Для проверки достаточно просто поделить длины сторон друг на друга. При этом большую сторону одного треуг-ка будем делить на большую сторону другого, а меньшую – на меньшую. Если в результате отношение всех трех сторон будет одинаково, то можно утверждать, что треуг-ки подобны:

Все три раза мы получали число 2, именно оно и является коэффициентом подобия треуг-ков.

Отношение площадей подобных треугольников

Если треуг-ки подобны, то их стороны отличаются в k раз, где k– коэффициент подобия. А как соотносятся друг с другом длины их высот, медиан и других характерных отрезков. Несложно догадаться, что они также отличаются в k раз.

Докажем это на примере высот. Пусть есть подобные ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, причем их коэффициент подобия равен k:

Проведем в них высоты СН и С₁Н₁:

Теперь сравним ∆АСН и ∆А₁С₁Н₁. Из подобия ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ следует, что

Аналогично можно доказать, что в k раз будут отличаться длины медиан и биссектрис.

А каким будет отношение площадей подобных треугольников?Оказывается, что они отличаются уже в k² раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k² раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

9:2 = 4,5 м

Ответ: 4,5 м.

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: AO : AM = 2 : 1.

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: $MN = frac{1}{2}BC$

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине $CM = frac{1}{2}AB$

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника: $S_{ACM} = S_{AMB} = S$

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

$S_{AKO} = S_{ALO} = S_{CKO} = S_{CMO} = S_{BMO} = S_{BLO} = S$

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна $frac{3}{4}S$

$S_{AKC(LMB)} = frac{3}{4}S_{ABC}$

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:

В данной публикации мы рассмотрим одну из главных теорем евклидовой геометрии, теорему косинусов, которая определяет соотношение сторон в треугольнике, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.

Формулировка и формула теоремы

В плоском треугольнике квадрат стороны равняется сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение данных сторон, умноженное на косинус угла между ними.

a² = b² + c² – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α

Следствие из теоремы

Формула теоремы может применяться для того, чтобы найти косинус угла в треугольнике:

При этом:

• если b² + c² – a² > 0, значит угол α – острый;
• если b² + c² – a² = 0, значит угол α равен 90 градусам (терема косинусов принимает вид Теоремы Пифагора);
• если b² + c² – a² < 0, значит угол α – тупой.

Примеры задач

Задание 1
В треугольнике известны длины двух сторон – 5 и 9 см, а также, угол между ними – 60°. Найдите длину третьей стороны.

Решение:
Применим формулу теоремы, приняв известные стороны за b и c, а неизвестную за a:
a² = 5² + 9² – 2 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ cos 60° = 25 + 81 – 45 = 61 см². Следовательно, сторона a = √61 см ≈ 7,81 см.

Задание 2
Самая большая сторона треугольника равна 26 см, а две другие – 16 и 18 см. Найдите угол между меньшими сторонами.

Решение:
Примем бОльшую сторону за a. Чтобы найти угол между сторонами b и c, воспользуемся следствием из теоремы:

Следовательно, угол α = arccos (-1/6) ≈ 99,59°.