Как найти отношение отрезков 8 класс

При сравнении двух значений какой-то величины часто
возникает вопрос:

во сколько раз одно значение больше другого? или
какую часть по отношению к другому оно составляет?

Например, во сколько раз заяц пробежит быстрее
некоторое расстояние, чем это же расстояние проползёт улитка? Или какую часть
всех деревьев леса составляют берёзы?

Вы знаете, что ответ в таких случаях дается в виде
частного двух чисел, которое называют отношением. Отношение показывает,
во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число
составляет от второго.

Отношением отрезков  и
 называется
отношение их длин, т. е.  (или
).

Отрезки  и
 пропорциональны
отрезкам и
,
если .

Например, отрезки AB
и
A₁B₁
равны соответственно 3 сантиметра и 5 сантиметров; а отрезки CD
и C₁D₁
– соответственно сантиметра
и 7,5  сантиметра.

;
 

.

Отрезки  и
 пропорциональны
отрезкам и
.

Следует отметить, что понятие пропорциональности
справедливо и для большего количества отрезков. Например, отрезки AB,
CD и EF
пропорциональны отрезкам A₁B₁;
C₁D₁
и E₁F₁,
если справедливо равенство: .

А теперь давайте посмотрим на рисунок.

 Так, матрёшки имеют одинаковую форму, но разные
размеры. То же самое можем сказать про футбольный и теннисный мячи, про
одинаковые фотографии разных размеров.

В геометрии фигуры одинаковой формы называют
подобными. Любые два квадрата и любые два круга являются подобными.

А какие два треугольника называют подобными? Возьмём
два треугольника ABC
и A₁B₁C₁,
у которых угол А равен углу A₁,
угол B равен углу B₁,
а угол C равен углу C₁.

Тогда стороны AB
и A₁B₁,
BC и B₁C₁,
AC и A₁C₁
называются сходственными. И если эти сходственные стороны
пропорциональны ,
то треугольники ABC
и
A₁B₁C₁
являются подобными. Подобие треугольников обозначается следующим образом

Сформулируем определение: подобными называются
треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны
пропорциональны.

Отношение сходственных сторон называют коэффициентом
подобия. Если стороны треугольника ABC
в два раза больше сторон треугольника A₁B₁C₁,
то отношение сходственных сторон равно 2, то есть коэффициент подобия равен 2.

Подобие треугольников можно установить, проверив
только некоторые из равенств:

,
т. е.

И позднее мы с вами познакомимся с тремя признаками
подобия треугольников.

Решим несколько задач.

Задача. Найдите
отношение отрезков  и
,
если их длины соответственно равны  см
и  см.
Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

Решение.

 см мм,

 см мм.

.

Ответ: ;
не
изменится.

Задача. Пропорциональны
ли отрезки  и
,
соответственно равные  см
и  см,
отрезкам  и
,
соответственно равным  см
и  см?

Решение.

;

;

.

Ответ: пропорциональны.

Задача. В подобных
треугольниках  и
 стороны
 и
,
 и
 являются
сходственными. Найдите стороны треугольника  ,
если  см,
 см,
 см,
а отношение сторон  .

Решение.

    то есть    (см).

     (см).

   (см).

Ответ:  см,  см,  см.

Итак, на уроке мы узнали, что отношением отрезков  и
 называется
отношение их длин, т. е.  (или
);
что отрезки  и
 пропорциональны
отрезкам и
,
если .

Также мы выяснили, что подобными называются
треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны
пропорциональны.

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: AO : AM = 2 : 1.

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: $MN = frac{1}{2}BC$

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине $CM = frac{1}{2}AB$

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника: $S_{ACM} = S_{AMB} = S$

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

$S_{AKO} = S_{ALO} = S_{CKO} = S_{CMO} = S_{BMO} = S_{BLO} = S$

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна $frac{3}{4}S$

$S_{AKC(LMB)} = frac{3}{4}S_{ABC}$

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА: