Как найти ортонормированный канонический базис

Оглавление — Линейная алгебра

Канонический вид ортогонального преобразования евклидова пространства

Рассмотрим инвариантные подпространства ортогонального преобразования евклидова пространства. По теореме 9.4 линейное преобразование вещественного пространства имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Выясним геометрический смысл сужения ортогонального преобразования на инвариантное подпространство.

1. Пусть [math]L[/math] — одномерное инвариантное подпространство с базисом [math]boldsymbol{e}_1[/math]. Тогда [math]boldsymbol{e}_1[/math] — собственный вектор преобразования: [math]mathcal{A}(boldsymbol{e}_1)=lambda boldsymbol{e}_1[/math]. По свойству [math]lambda=pm1[/math]. Следовательно, ортогональное преобразование [math]mathcal{A}colon Lto L[/math] одномерного пространства — это либо тождественное преобразование [math]mathcal{A}(boldsymbol{e}_1)= boldsymbol{e}_1[/math] либо отражение (симметрия) [math]mathcal{A}(boldsymbol{e}_1)= -boldsymbol{e}_1[/math].

2. Пусть [math]L[/math] — двумерное инвариантное подпространство с ортонормированным базисом [math]boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2[/math]. Запишем для матрицы [math]A=begin{pmatrix} a&b\ c&d end{pmatrix}[/math] ортогонального преобразования [math]mathcal{A}colon Lto L[/math] равенство [math]A^T=A^{-1}:[/math]

[math]begin{pmatrix}a&c\ b&d end{pmatrix}= frac{1}{det{A}}! begin{pmatrix} d&-b\ -c&a end{pmatrix}!.[/math]

По свойству 6 для собственного преобразования [math]det{A}=1[/math], поэтому [math]d=a,~ c=-b,[/math] [math]det{A}=a^2+b^2=1[/math], т.е. [math]a=cosvarphi[/math] и [math]b=sinvarphi[/math], где [math]varphi[/math] — некоторый угол. Следовательно, матрица собственного ортогонального преобразования двумерного пространства совпадает с матрицей поворота на угол [math](-varphi)colon[/math] [math]A=R_{varphi}= begin{pmatrix} cosvarphi& sinvarphi\ -sinvarphi& cosvarphi end{pmatrix}[/math]. Для несобственного преобразования [math]det{A}=-1[/math] (см. свойство 6), поэтому [math]d=-a,~ c=b,[/math] [math]det{A}=-a^2-b^2=-1[/math]. Матрица [math]A=begin{pmatrix}a&b\ b&-aend{pmatrix}[/math] имеет два действительных собственных значения [math](lambda_1=1,~ lambda_2=-1)[/math], так как

[math]det(A-lambda E)= begin{vmatrix}a-lambda&b\ b&-a-lambda end{vmatrix}=(a-lambda)cdot(-a-lambda)-bcdot b= lambda^2-a^2-b^2=lambda^2-1.[/math]

Поэтому несобственное ортогональное преобразование имеет два одномерных инвариантных подпространства (см. пункт 1).

Получим канонический вид преобразования. Пусть [math]L[/math] — одномерное или двумерное инвариантное подпространство для ортогонального преобразования [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math]. Представим пространство в виде прямой суммы [math]mathbb{E}= Lplus L^{perp}[/math]. Выберем в [math]L[/math] ортонормированный базис и дополним его до ортонормированного базиса всего пространства. В этом базисе матрица [math]A[/math] преобразования будет иметь блочно-диагональный вид [math]A=operatorname{diag} (A_L,A_{L^{perp}})[/math], где [math]A_{L}[/math] — матрица сужения [math]mathcal{A}_L[/math] преобразования [math]mathcal{A}[/math] на [math]L[/math], а [math]A_{L^{perp}}[/math] — матрица сужения [math]mathcal{A}_{L^{perp}}[/math] преобразования [math]mathcal{A}[/math] на [math]L^{perp}[/math]. Согласно пунктам 1, 2: [math]A_L=(1)[/math] или [math]A_L=-1[/math] при [math]dim{L}=1[/math], либо [math]A_L= R_{varphi}= begin{pmatrix} cosvarphi&sinvarphi\ -sinvarphi& cosvarphi end{pmatrix}[/math] при [math]dim{L}=2[/math]. Следовательно, в матрице [math]A=operatorname{diag} (A_L,A_{L^{perp}})[/math] ортогонального преобразования блок [math]A_L[/math] имеет один из указанных трех видов. Поскольку подпространство [math]L^{perp}[/math] инвариантно относительно ортогонального преобразования [math]mathcal{A}[/math] (см. свойство 7), то к матрице [math]A_{L^{perp}}[/math] применимы те же выводы, что и к матрице [math]A[/math]. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема (9.9) о каноническом виде ортогонального преобразования

Для каждого ортогонального преобразования [math]mathcal{A}colon mathbb{E}to mathbb{E}[/math] n-мерного евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math] существует ортонормированный базис, в котором матрица преобразования имеет канонический вид:

На главной диагонали матрицы стоят либо числа 1 или (–1), либо блоки вида [math]R_{varphi}= begin{pmatrix}cosvarphi&sinvarphi\ -sinvarphi&cosvarphi end{pmatrix}[/math], а остальные элементы матрицы равны нулю.

Базис [math](boldsymbol{s})=(boldsymbol{s}_1,ldots,boldsymbol{s}_n)[/math], в котором матрица преобразования имеет вид (9.20), называется каноническим. Заметим, что канонический базис определяется неоднозначно.

Приведение ортогонального преобразования к каноническому виду

Задача приведения ортогонального преобразования к каноническому виду формулируется следующим образом: требуется найти базис (канонический), в котором матрица ортогонального преобразования имеет канонический вид (9.20). Для приведения ортогонального преобразования к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.

Нахождение канонического вида ортогонального преобразования (первый этап).

1. Выбрать базис [math]boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_n[/math] евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math] и найти матрицу [math]A[/math] преобразования в этом базисе.

2. Составить характеристическое уравнение [math]det(A-lambda E)=0[/math] и найти различные его корни [math]lambda_1,ldots, lambda_k[/math] (а также их алгебраические кратности).

3. Записать блочно-диагональную матрицу (9.20) канонического вида ортогонального преобразования:

— каждый действительный корень [math]lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] поместить на главной диагонали [math]n_1[/math] раз;

— для каждой пары [math]lambda=alphapmbeta i[/math] комплексных сопряженных корней кратности [math]m[/math] записать [math]m[/math] блоков вида [math]R_{varphi}= begin{pmatrix} alpha&beta\ -beta&alpha end{pmatrix}[/math] (см. доказательство свойства 8 ортогональных преобразований).

Нахождение канонического базиса (второй этап).

4. Для действительного корня [math]lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] найти фундаментальную систему [math]x_1,ldots,x_{n_1}[/math] решений однородной системы [math](A-lambda_1E)x=o[/math]. Линейно независимую систему [math]boldsymbol{x}_1,ldots, boldsymbol{x}_{n_1}[/math] векторов (пространства [math]mathbb{R}^n[/math]) ортогонализировать и нормировать. Получим векторы [math]boldsymbol{s}_1,ldots, boldsymbol{s}_{n_1}[/math].

5. Для пары [math]lambda=alphapmbeta i[/math] комплексных сопряженных корней кратности [math]m[/math] найти фундаментальную систему [math]z_1,ldots,z_{m}[/math] решений однородной системы [math](A+(alpha+beta i)E)z=o[/math]. Выделяя действительные [math]x_j=operatorname{Re}z_j[/math] и мнимые части [math]y_j=operatorname{Im}z_j,[/math] [math]j=1,ldots,m[/math], комплексных столбцов [math]z_1,ldots,z_{m}[/math], получить [math]m[/math] пар ортогональных векторов [math]boldsymbol{x}_1,boldsymbol{y}_1; boldsymbol{x}_2, boldsymbol{y}_2;ldots; boldsymbol{x}_m,boldsymbol{y}_m[/math] (пространства [math]mathbb{R}^n[/math]). Эту систему векторов ортогонализировать и нормировать. Получим [math]2m[/math] векторов [math]boldsymbol{s}_1,ldots,boldsymbol{s}_{2m}[/math].

6. Выполнить пункт 4 или пункт 5 для всех различных корней характеристического уравнения. Получаемые в результате группы столбцов последовательно записать в матрицу [math]S[/math] перехода от базиса [math]boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n[/math] к искомому каноническому базису [math]boldsymbol{s}_1,ldots, boldsymbol{s}_n colon,(boldsymbol{s})= (boldsymbol{e})S[/math]. Матрица [math]S^{-1}AS[/math] преобразования [math]mathcal{A}[/math] будет иметь канонический вид (9.20), полученный в пункте 3.

Замечания 9.7

1. Собственные векторы ортогональной матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

2. Из пункта 1 следует, что для получения ортонормированного базиса достаточно ортонормировать отдельно каждую группу векторов, получаемых в пункте 4 или пункте 5 алгоритма, причем по свойству 8 столбцы [math]x_j,y_j[/math] в пункте 5 будут ортогональными.

3. Матрицу вида (9.20) можно представить в виде произведения матриц, каждая из которых есть либо матрица [math]operatorname{diag}(1,ldots,1,-1,1,ldots,1)[/math] простого отражения относительно гиперплоскости, либо матрица math]operatorname{diag}(1,ldots,1, R_{varphi},1,ldots,1)[/math] простого вращения двумерной плоскости. Поэтому любое ортогональное преобразование можно представить в виде композиции простых отражений и простых вращений.

Пример 9.5. Ортогональное преобразование [math]mathcal{A}colon Vto V[/math] в базисе [math]boldsymbol{e}_1,boldsymbol{e}_2,boldsymbol{e}_3[/math] имеет матрицу [math]A=begin{pmatrix} 2/3&-1/3&2/3\ 2/3&2/3&-1/3\ -1/3&2/3&2/3 end{pmatrix}[/math]. Привести это преобразование к каноническому виду, т.е. найти базис [math]boldsymbol{s}_1, boldsymbol{s}_2, boldsymbol{s}_3[/math], в котором матрица преобразования имеет канонический вид (9.20).

Решение. Первый этап. Нахождение канонического вида преобразования.

1. Выбираем базис [math]boldsymbol{e}_1, boldsymbol{e}_2, boldsymbol{e}_3[/math], в котором задана матрица преобразования.

2. Составляем характеристическое уравнение

[math]det(A-lambda E)= begin{vmatrix}dfrac{2}{3}-lambda&-dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}\[8pt] dfrac{2}{3}&dfrac{2}{3}-lambda&-dfrac{1}{3}\[8pt] -dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}&dfrac{2}{3}-lambda end{vmatrix}= (1-lambda)(lambda^2-lambda+1)=0.[/math]

Уравнение имеет три простых (кратности 1) корня: один действительный [math]lambda_1=1[/math] и пару комплексных сопряженных [math]lambda_{2,3}= frac{1}{2}pmfrac{sqrt{3}}{2},i,~ alpha=frac{1}{2},~ beta=frac{sqrt{3}}{2}[/math].

3. Записываем искомый канонический вид (9.20), указывая на главной диагонали действительный корень [math]lambda_1=1[/math] и блок [math]R_{varphi}= begin{pmatrix}1/2&sqrt{3}/2\ -sqrt{3}/2&1/2 end{pmatrix}!,~ varphi=frac{pi}{3}:[/math]

[math]mathop{A}limits_{(boldsymbol{s})}= operatorname{diag}(1,,R_{varphi})= operatorname{diag}!!leftlgroup 1, begin{pmatrix} dfrac{1}{2}&dfrac{sqrt{3}}{2}\[7pt] -dfrac{sqrt{3}}{2}&dfrac{1}{2} end{pmatrix}!!rightrgroup= begin{pmatrix}1&0&0\[1pt] 0&dfrac{1}{2}&dfrac{sqrt{3}}{2}\[7pt] 0&-dfrac{sqrt{3}}{2}& dfrac{1}{2} end{pmatrix}!.[/math]

Второй этап. Нахождение канонического базиса. Найдем матрицу [math]S[/math] перехода от данного базиса [math]boldsymbol{e}_1,boldsymbol{e}_2,boldsymbol{e}_3[/math] к каноническому [math]boldsymbol{s}_1, boldsymbol{s}_2, boldsymbol{s}_3[/math].

4. Для действительного корня [math]lambda_1=1[/math] кратности 1 находим фундаментальную систему решений однородной системы [math](A-lambda_1E)x=o[/math]. Приводим матрицу системы к упрощенному виду:

[math]A-lambda_1E=A-E= left(!! begin{array}{rrr}dfrac{2}{3}&-dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}\[9pt] dfrac{2}{3}& dfrac{2}{3}&-dfrac{1}{3}\[9pt] -dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}&dfrac{2}{3} end{array}!!right)- begin{pmatrix}1&0&0\[2pt] 0&1&0\[2pt] 0&0&1end{pmatrix}= left(!! begin{array}{rrr} -dfrac{1}{3}&-dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}\[9pt] dfrac{2}{3}&-dfrac{1}{3}&-dfrac{1}{3}\[9pt] -dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}& -dfrac{1}{3}end{array} !!right)sim begin{pmatrix}1&0&-1\ 0&1&-1\ 0&0&0 end{pmatrix}!.[/math]

Следовательно, фундаментальная система содержит одно решение [math]x=begin{pmatrix} 1&1&1 end{pmatrix}^T[/math]. Нормируя это решение (поделив координаты на норму [math]|x|= sqrt{1^2+1^2+1^2}=sqrt{3}[/math]), получаем столбец [math]s_1=begin{pmatrix} dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{3}}{3}end{pmatrix}^T[/math].

5. Для пары комплексных сопряженных корней [math]lambda_{2,3}= frac{1}{2}pm frac{sqrt{3}}{2},i[/math] находим фундаментальную систему решений однородной системы [math](A-lambda_2E)z=o[/math]. Приводим матрицу системы к упрощенному виду

[math]A-left(dfrac{1}{2}+dfrac{sqrt{3}}{2},iright)!E= begin{pmatrix} dfrac{1}{6}-dfrac{sqrt{3}}{2},i&-dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}\[9pt] dfrac{2}{3}&dfrac{1}{6}-dfrac{sqrt{3}}{2},i&-dfrac{1}{3}\[8pt] -dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}&dfrac{1}{6}-dfrac{sqrt{3}}{2},i end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&dfrac{1}{2}+dfrac{sqrt{3}}{2},i\[8pt] 0&1&dfrac{1}{2}-dfrac{sqrt{3}}{2},i\[8pt] 0&0&0 end{pmatrix}!.[/math]

Следовательно, фундаментальная система содержит одно решение. Полагая [math]z_3=1[/math], получаем решение:

[math]z=begin{pmatrix}z_1&z_2&z_3 end{pmatrix}^T=begin{pmatrix}-dfrac{1}{2}-dfrac{sqrt{3}}{2},i&-dfrac{1}{2}+ dfrac{sqrt{3}}{2},i &1end{pmatrix}^T.[/math]

Выделяем действительную и мнимую части:

[math]x=operatorname{Re}z= begin{pmatrix}-dfrac{1}{2}&-dfrac{1}{2}& 1end{pmatrix}^T, quad y=operatorname{Im}z= begin{pmatrix}-dfrac{sqrt{3}}{2}& dfrac{sqrt{3}}{2}& 0 end{pmatrix}^T.[/math]

Нормируя столбцы, поделив координаты вектора [math]boldsymbol{x}[/math] на его длину

[math]|boldsymbol{x}|=sqrt{{left(-frac{1}{2}right)!}^2+ {left(-frac{1}{2}right)!}^2+1^2}= sqrt{dfrac{3}{2}},,[/math] а координаты вектора [math]boldsymbol{y}[/math] — на [math]|boldsymbol{y}|= frac{sqrt{6}}{2}[/math], получаем

[math]s_2=begin{pmatrix}-dfrac{sqrt{6}}{6}&-dfrac{sqrt{6}}{6}&dfrac{sqrt{6}}{3} end{pmatrix}^T,quad s_3=begin{pmatrix}-dfrac{sqrt{2}}{2}& dfrac{sqrt{2}}{2}& 0end{pmatrix}^T.[/math]

6. Записываем полученные в пункт 4, 5 столбцы [math]s_1,,s_2,,s_3[/math] в искомую матрицу перехода

[math]S= begin{pmatrix}s_1&s_2&s_3end{pmatrix}= begin{pmatrix}dfrac{sqrt{3}}{3}&-dfrac{sqrt{6}}{6}&-dfrac{sqrt{2}}{2}\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}&-dfrac{sqrt{6}}{6}& dfrac{sqrt{2}}{2}\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{6}}{3}&0 end{pmatrix}!.[/math]

Проверим равенство [math]Smathop{A}limits_{(boldsymbol{s})}=AS[/math] (равносильное [math]mathop{A}limits_{(boldsymbol{s})}=S^{-1}AS[/math]), находя произведения

[math]begin{aligned}Scdot mathop{A}limits_{(boldsymbol{s})}&= begin{pmatrix} dfrac{sqrt{3}}{3}&-dfrac{sqrt{6}}{6}&-dfrac{sqrt{2}}{2}\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}&-dfrac{sqrt{6}}{6}& dfrac{sqrt{2}}{2}\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{6}}{3}&0 end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}1&0&0\[1pt] 0&dfrac{1}{2}&dfrac{sqrt{3}}{2}\[8pt] 0&-dfrac{sqrt{3}}{2}&dfrac{1}{2} end{pmatrix}= begin{pmatrix} dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{6}}{6}&-dfrac{sqrt{2}}{2}\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}&-dfrac{sqrt{6}}{3}& 0\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{6}}{6}& dfrac{sqrt{2}}{2}end{pmatrix}!,\[5pt] Acdot S&= left(!! begin{array}{rrr}dfrac{2}{3}&-dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}\[9pt] dfrac{2}{3}& dfrac{2}{3}&-dfrac{1}{3}\[9pt] -dfrac{1}{3}&dfrac{2}{3}&dfrac{2}{3} end{array}!!right)!cdot! begin{pmatrix} dfrac{sqrt{3}}{3}&-dfrac{sqrt{6}}{6}&-dfrac{sqrt{2}}{2}\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}&-dfrac{sqrt{6}}{6}& dfrac{sqrt{2}}{2}\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{6}}{3}&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix} dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{6}}{6}&-dfrac{sqrt{2}}{2}\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}&-dfrac{sqrt{6}}{3}& 0\[9pt] dfrac{sqrt{3}}{3}& dfrac{sqrt{6}}{6}& dfrac{sqrt{2}}{2} end{pmatrix}!. end{aligned}[/math]

Результаты совпадают.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Перед
тем, как рассматривать линейные
преобразования в евклидовом пространстве,
отметим основную особенность линейных
преобразований линейного векторного
пространства
.
В пространстве

линейное преобразование применяется
к отдельному вектору
или к совокупности
векторов
и ставит им в соответствие тоже
вектор
или совокупность
векторов
этого же пространства.

В
евклидовом пространстве

применяются специальные преобразования
— функции, которые отдельному вектору
или совокупности векторов ставят в
соответствие число.

Мы
рассмотрим только некоторые из
преобразований, применяемых в евклидовом
пространстве: ортогональные и
симметрические линейные преобразования
и их использование для решения простейших
задач геометрии и алгебры.

Линейное
преобразование евклидова пространства:
линейные функции.
Простейшими из всех функций являются
линейные функции. Знакомство со
специальными функциями евклидова,
векторного, пространства начнем с
изучения именно таких функций. Будем
считать, что в евклидовом векторном
пространстве задана
линейная функция,
если для любых
векторов

,

и произвольного
вещественного числа

определены линейные операции:

1⁰.

=+.

2⁰.

=. (1)

Важно
помнить, что в выражениях (1):
,

,,

— вещественные числа, то есть вещественные
функции для векторного аргумента.

Рассмотрим
евклидово пространство
,
в котором определены две базы:


и
,
связанные матричным равенством:
=·,
где

и

— матрицы-столбцы.
Пусть вектор

представлен в базе
: =++
…+=,

или: =·=·. (2)

В
соответствии со свойствами линейной
функции: 1⁰
и 2⁰,
запишем выражение для линейной функции

: =++
…+,

или: =·=·. (3)

Пусть
вектор

представлен также в базе
,
причём строка его координат в этой базе:

=.
Тогда можем записать: =++
…+=·.

В
соответствии со свойствами линейной
функции: 1⁰
и 2⁰,
запишем выражение для линейной функции

: =++
…+,

или: =·=·. (4)

Так
как левые части выражений: (3)
и (4) тождественно равны, то должны быть
тождественно равными и их правые части:

·=·. (5)

Применим
линейное преобразование-функцию

к равенству:
=·,
учитывая доказанное в Главе 10 свойство
перестановочности линейного преобразования
с матрицей
:

==·. (6)

Используя
выражение (6),
перепишем выражение (5):

··=·
→
·=→

=·. (7)

Вывод:
координаты
вектора:
=++
…+
при
переходе от базы


к
базе

преобразуются
применением матрицы

,
обратной
матрице перехода от базы


к
базе

.

В
евклидовом пространстве самой простой
линейной функцией является скалярное
произведение произвольного вектора x
на фиксированный вектор a:

=
(x,a). (8)

Проверим
линейность функции (8), применяя определение
и свойства скалярного произведения:

1⁰.

==+=+.

2⁰.

=·.

Ортогональные
преобразования.
Начало таким преобразованиям было
положено задачей линейного преобразования
переменных:
=·,
входящих в нормальную запись квадратичной
формы, когда сохраняется сумма квадратов
переменных:

f
=
++…+=++…+, (9)

из
записи:
=·
следует, что

— квадратная
матрица, причём невырожденная.

Говорят,
что преобразование матрица

осуществляет ортогональное
преобразование,
сама матрица в этом случае называется
ортогональной
матрицей.

Замечание:
говорят: сумма квадратов переменных
квадратичной формы инвариантна
к ортогональному преобразованию
переменных.

Учитывая,
что исходный и конечный вид квадратичной
формы определяется единичной матрицей

,
а также выражение для невырожденного
линейного преобразования переменных
квадратичной формы, можем записать:

=
→
=
→

=, (10)

из чего следует
еще одно определение ортогональных
матриц:

Из
равенства
=
следуют свойства ортогональных матриц:

• сумма квадратов
всех элементов любой строки (столбца)
равна единице;

• сумма произведений
соответствующих элементов любых двух
ее строк (столбцов) равна нулю.

Если
считать строки ортогональной матрицы
векторами, то в строках располагаются
единичные векторы (их длины равны
единице), каждый вектор-строка ортогонален
всем остальным (их скалярное произведение
равно нулю); это же верно для столбцов.

Из
равенства
=
следует: |Q|²
=1,
т.е |Q|=,
значит преобразование Q
невырожденное.

Из
определения ортогональной матрицы
получим некоторые свойства ортогонального
преобразования:

1⁰.

===
— преобразование

также ортогонально.

2⁰.
Если

и
—
матрицы
ортогональных преобразований, то их
произведение

также ортогонально:
===.

Замечание:
переход:
=
использует доказанную ранее в Главе 5
теорему 5.3.

Следующее
определение устанавливает обобщение
ортогональных преобразований в евклидовом
пространстве.

Используя
определение и свойства скалярного
произведения: свойство симметрии и
распределительное свойство, докажем
теорему.

Таким образом мы
доказали важную для дальнейшего
применения теорему:

►Из
определения следует более общее
утверждение: ортогональное преобразование
евклидова пространства сохраняет
скалярное произведение любых двух
векторов a
и b.

Действительно:

1)

=:
по определению;

2)

=+++:
по свойству скалярного произведения;

3)

==+++=

=
(a,a)++
+(b,b):
по определению;

4)

+=2
и
+=2:
по свойству скалярного произведения;

5)
получили: =+2+,

=+2+,

откуда
следует:
=
— согласно определению.

◄

Используя
теорему 11.5, получаем важное следствие:

Следствие:
при
ортогональном преобразовании евклидова
пространства ортонормированный базис
отображается в ортонормированный базис.

►Действительно.
Пусть в евклидовом пространстве

имеем ортонормированный базис:
=.
Пусть линейное
ортогональное преобразование

евклидова пространства

совокупность векторов базиса

переводит в совокупность векторов
=.
Возьмём любую
пару векторов базиса
,
например

и
.
По условию:
=0,=1
и
=1.

Пусть
преобразование

переводит в пару векторов:

и

в пару векторов:

и
.
Это значит:
=
и
=.
По определению ортогонального
преобразования верно:

===0
– векторы

и

ортогональные;

====1,
также:
=1
– векторы

и

нормированные.

Следовательно,
ортонормированный базис ортогональным
преобразованием

переводится в ортонормированный базис.

◄

Верно
и обратное утверждение. Его доказательство
представлено в следующей теореме:

►Пусть
в евклидовом пространстве

линейное преобразование

переводит ортонормированный базис
=
в
ортонормированный базис
,
то есть:
=.
Для произвольного вектора: =++
…+

запишем: =++…+=++
…+.

Найдём
скалярное произведение векторов

и

в ортонормированных базисах:

и
:

=

++…+
и
=++…+,

из
чего следует, что линейное преобразование

ортогонально.

◄

Следствие:
если линейное преобразование евклидова
пространства хотя бы в одном
ортонормированном базисе задается
ортогональной матрицей, то это
преобразование ортогонально.

►Пусть
в евклидовом пространстве

линейное преобразование

в некотором
ортонормированном базисе
=
задано
ортогональной матрицей
,
то есть можно записать:

=·.

Это
значит, что координаты вектора

в матрице

определены
—
строкой. Так как базис

ортонормированный, то для нахождения
скалярного произведения

нужно записать сумму квадратов элементов

—
строки матрицы
.
Так как матрица ортогональная, то имеет
место равенство: =1.

Аналогично
получаем равенства: =0,

.

Из
этого следует, что система
векторов
=
тоже является ортонормированным базисом.
Согласно Теореме 11.6 получаем: преобразование

ортогонально.

◄

Замечание:
из аналитической геометрии известно,
что преобразования 3-мерного пространства,
оставляющие на месте начало координат:
вращение, симметрия относительно прямой
или плоскости, проходящих через начало
координат, сохраняют скалярное
произведение векторов; по аналогии
ортогональное преобразование
—
мерного пространства можно рассматривать
как вращение
этого пространства.

Симметрическое,
или самосопряжённое, преобразование.
Начало таким преобразованиям было
положено задачей линейного преобразования
переменных:
=·,
входящих в нормальную запись квадратичной
формы, когда сохраняется сумма квадратов
переменных:

Простейшими
примерами симметрических преобразований
могут служить такие примеры:

▫ Тождественное
преобразование. Так как ε=
и ε=,
(ε,)=(,ε);

▫ Нулевое
преобразование. Так как ε=0
и ε=0,
(ε,)=(,ε);

▫ Умножение
на число
:

=,
по свойству скалярного произведения.

Симметрические
преобразования используются во многих
приложениях и потому знакомство с ними
очень важно.

►1).
Пустьсимметрическоепреобразованиев ортонормированном базисе:=задано матрицей.
Так как в ортонормированном базисе
скалярное произведение двух векторов
равно сумме произведений соответствующих
координат, то:

==,

==,

так как преобразование
ортогональное, то необходимо:=,
откуда следует:

=

для всех
и.
Это значит, что матрицасимметрическая.

2).
Пусть теперь линейного преобразованияв ортонормированном базисе=определяется симметрической матрицей,
то есть:=для всехи.
Тогда

==, (7.1)

==, (7.2)

так как
=,
то выполняется:=.

Пусть векторы
ипроизвольные векторы евклидова
пространства и в заданном базисе записаны
в виде:=++
…+,

=++
…+.

Запишем
векторы

и
,
как результат применения преобразования

,
определяемого симметрической матрицей
:

=(++
…+)=··,

=(++
…+)=··,

Запишем
для векторов b
и c
скалярные произведения:
и ,
учитывая то, что базис
ортонормированный и выражения (7.1) и
(7.2):

=(··,
(++
…+))
=,

=((++
…+),··)
=,

Так
как
=,
то правые
части выражений:

и
равны,
тогда равны и левые части. Из этого
следует, что преобразование

— симметрическое.◄

Замечание:
учитывая трудности восприятия студентами
двойных сумм, при записи выражений

и
применены матричные конструкции, которые
вполне читаются, если учитывать правила
умножения матриц и свойства скалярного
произведения.

Следствие:
Сумма симметрических преобразований
евклидова пространства, а также
произведение симметрического
преобразования на число являются
симметрическими преобразованиями.

►1).
Пусть числособственное значение преобразования,
заданного в ортонормированном базисе:=симметрической матрицей.
Это значит, что определитель системы
однородных уравнений не равен нулю:

==0,
(8)

система
уравнений (8) имеет ненулевое решение
=.
Запишем равенство:

++…+=,
. (9)

2).Так
как многочлен —
степени с действительными коэффициентами
имеет и действительные и комплексные
корни, будем считать, что λ₀
в общем случае –
комплексное
число. Это значит, что и компоненты
вектора x
могут быть комплексными числами! Нужно
доказать, что для симметрического
преобразования λ₀
– действительное
число.

Умножим
(9)
на число
,
сопряженное с x_i.
и сложим все полученные равенства:

=
λ₀. (9)

Так
как каждое число (x_i)
– действительное,
то сумма

— действительное число.
Учитывая свойства сопряжённых комплексных
чисел, запишем выражение:

==. (10)

Учитывая
равенство: =,
а
также применяя перемену обозначений в
двойной сумме, запишем выражение:

=

=. (11)

Сравнивая
цепочку равенств (10) с цепочкой (11),
получаем:
=.
Это значит, что число

–
действительное,
и выражение (9) определяет
– действительное
число. ◄

►1).
Пусть ортонормированный базис пространствасоставлен из собственных векторов
линейного преобразования.
Это значит, что можем записать:

=,,

или
в матричной форме: ==·=·,

что
значит: линейное
преобразование задано диагональной
матрицей

,
которая является
симметрической
→ преобразование симметрическое.

2).
Вторая часть утверждения доказывается
индукцией по размерности

пространства
.

A¹:
При
=1
имеем евклидово пространство пространства:
E₁,
в котором любое линейное преобразование
задается матрицей: A
= ().
Это преобразование симметрическое, так
как:

а)
для любых векторов

и b
верно:
=,=;

б)
по свойству скалярного произведения:
(,b)=(a,).

Нормируя
вектор a,
получаем ортонормированный базис
пространства
.

A²:
Пусть имеем (-1)
— мерное евклидово пространство и в нем
определено симметрическое линейное
преобразование. Пусть в

определён
базис:

,
ортонормированный и
составленный
из собственных векторов
преобразования

.

A³:
Пусть в
—
мерном евклидовом пространстве

определено
симметрическое линейное преобразование
—
.
Требуется найти
ортонормированный базис =,
составленный из собственных векторов
этого преобразования
.

В
соответствии с Теоремой 11.8 для
симметрического преобразования

в пространстве

существует действительное собственное
число ,
которому соответствует
собственный вектор
.
Всякий вектор, пропорциональный вектору

,
будет тоже собственным для преобразования

: ===.

Нормируем
вектор
:

=
→
вектор
обладает свойствами: (e₁,e₁)
=
1,
=.

Далее выполним
последовательно действия и выделим
промежуточные результаты:

1)
Выделим в

ортонормированный базис
,
в который включён вектор :
было доказано, что любой ненулевой
вектор может быть включён в некоторый
ортонормированный базис.

2)
Совокупность векторов:

вместе с натянутой на них оболочкой

можно использовать в качестве
ортогонального дополнения множеству
векторов, построенных как оболочка
вектора .
Пусть в пространстве

имеем вектор
.
Запишем этот вектор в базисе
:

=++
…+.

3)
Так как базис

ортогональный, то
=.
Если
вектор

принадлежит подпространству
,
то
=0.
Для
таких векторов

и векторы

принадлежат подпространству
.
Такое свойство подпространства

по отношению к преобразованию

называют инвариантностью.

4)
Используя свойство инвариантности
подпространства
,
можно считать, что в (–1)
-мерном пространстве рассматривается
линейное преобразование
.
Так как преобразование

— симметрическое в пространстве
,
то оно будет симметрическим и в
подпространстве
.
По допущению, в подпространстве

существует ортонормированный базис,
составленный из собственных векторов
линейного преобразования
:

.
Совокупность векторов:

ортогональна вектору ,
который тоже собственный вектор
преобразования.

5)
Итак, в пространстве

получен ортонормированный базис =,
составленный из собственных векторов
преобразования
.
◄

В приложениях
симметрических преобразований часто
оказывается полезной теорема:

►Пусть
имеем собственные векторы
и:=,=,
причем .
Используя свойства скалярного
произведения, запишем:

==
и ==.

Из
равенства: =следует:=.
Так как,
то=0.◄

☺☺

Пример
12–10:Ортогональное
преобразование
задано матрицей:=в ортонормированном базисе. Найти
ортонормированный базис, в котором
преобразование
имеет канонический, то есть простейший,
вид.

Решение:

Схема
решения:

1) Составляем
характеристический многочлен матрицы
и находим его корни.

2)
Имея характеристические корни, строим
каноническую матрицу

преобразования
.

3)
Находим собственные векторы линейного
преобразования.

4)
Применяем ортогонализацию собственных
векторов и их нормирование – искомый
базис.

1)
В нашем случае характеристический
многочлен:

==

=
–9,

его
корни:
=
–1,
=1,
кратности 2.

2)
Записываем каноническую матрицу
ортогонального преобразования:
=.

Записываем
систему уравнений для нахождения
собственных векторов линейного
преобразования, соответствующих
найденным собственным значениям:
(A)

Для
значения
=
–1
система (A)
принимает вид::


. (B)

Принимаем

в качестве свободной неизвестной: пусть

=1.
Тогда:
=1,

=–2.
Собственный вектор:
=(1,-2,1).
Нормируем этот вектор:
=
(1,-2,1).

Для
значения
=1
система (A)
принимает вид::



=. (B)

Принимаем

,
в качестве свободных неизвестных и
строим фундаментальную систему решений:

Векторы-решения
(собственные векторы линейного
преобразования!) b₂,b₃
ортогональны. Нормируем их:
=
(1,1,1),
=
(1,0,–1).

Ответ:матрицу
=;
ортонормированный базис:

Пример
12–11:Ортогональное
преобразование
задано матрицей:=в ортонормированном базисе. Найти
ортонормированный базис, в котором
преобразование
имеет канонический, то есть простейший,
вид.

Решение:

Схема
решения:

1) Составляем
характеристический многочлен матрицы
и находим его корни.

2)
Имея характеристические корни, строим
каноническую матрицу

преобразования
.

3)
Находим собственные векторы линейного
преобразования.

4) Применяем
ортогонализацию собственных векторов
и их нормирование – искомый базис.

1) В нашем случае
характеристический многочлен:

==
–,

его
корни:
=
–9,
=9,

=18.

2)
Записываем каноническую матрицу
ортогонального преобразования:
=.

Записываем
систему уравнений для нахождения
собственных векторов линейного
преобразования, соответствующих
найденным собственным значениям:
(A)

Для
значения
=
–9
система (A)
имеет вид:



. (B)

Принимаем

в качестве свободной неизвестной: пусть

=2.
Тогда:
=1,

=–2.
Собственный вектор:
=(1,-2,2).
Нормируем этот вектор:
=
(1,-2,2).

Для
значения
=9
система (A):



. (C)

Принимаем

в качестве свободной неизвестной: пусть

=1.
Тогда:
=2,

=2.
Собственный вектор:
=(2,2,1).
Нормируем этот вектор:
=(2,2,1).

Для
значения
=18
система (A):



. (C)

Принимаем

в качестве свободной неизвестной: пусть

=2.
Тогда:
=–2,

=1.
Собственный вектор:
=(–2,1,2).
Нормируем этот вектор:
=(–2,1,2).

Ответ:собственные
значения: =
–9, =9,
=18;преобразование
евклидова пространства задается матрицей

=;
ортонормированный базис:

Пример
12–12:Ортогональное
преобразование
задано матрицей:=в ортонормированном базисе. Найти
ортонормированный базис, в котором
преобразование
имеет канонический, то есть простейший,
вид.

Решение:

Схема
решения:

1) Составляем
характеристический многочлен матрицы
и находим его корни.

2)
Имея характеристические корни, строим
каноническую матрицу

преобразования
.

3)
Находим собственные векторы линейного
преобразования.

4) Применяем
ортогонализацию собственных векторов
и их нормирование – искомый базис.

1) В нашем случае
характеристический многочлен:

==
–,

его
корни:
=2,

==4
— кратный.

2)
Записываем каноническую матрицу
ортогонального преобразования:
=.

Записываем
систему уравнений для нахождения
собственных векторов линейного
преобразования, соответствующих
найденным собственным значениям:
(A)

Для
значения
=2
система (A)
имеет вид:



. (B)

Принимаем

в качестве свободной неизвестной: пусть

=1.
Тогда:
=0,

=–.
Собственный вектор:
=(1,–,0).
Нормируем этот вектор:
=
(1,–,0).

Для
значения
==4
система (A)
принимает вид:
(C)

Принимаем

и

в качестве свободных неизвестных и
строим фундаментальную систему решений:

Векторы-решения
(собственные векторы линейного
преобразования!) b₂,b₃
ортогональны. Нормируем их:
=,

=(0,0,1).

Ответ:собственные
значения: =2,==4;преобразование
евклидова пространства задается матрицей

=;
ортонормированный базис:

☻

Принято считать, что квадратичная форма имеет Канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т. е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами , т. е.:

.

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку – симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица , такая что:

Где – собственные значения матрицы .

Применим к квадратичной форме линейное преобразование , где – матрица-столбец новых переменных ; – матрица, обратная к .

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1
или –1, т. е. квадратичная форма имеет вид:

.

Такую запись называют Нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу Квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис пространства называется Каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т. е. при .

Если – канонический базис , то выражение:

,

Называется Каноническим видом в базисе , где – новый набор неизвестных.

Теорема. Если – разложение вектора по каноническому базису квадратичной формы , то значение на векторе вычисляется по формуле , .

Доказательство:

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис Квадратичной формы и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения квадратичной формы на векторе достаточно:

1. разложить вектор по каноническому базису :

;

2. коэффициенты разложения подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы:

.

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется Приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе .

Доказательство:

, если , так как – Ортогональная система векторов – канонический базис квадратичной формы .

, так как векторы системы нормированы, то , .

Канонический базис Якоби квадратичной формы

Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

, ,

Называемые Угловыми минорами матрицы , не равны нулю. Очевидно, что , .

Обозначим через матрицу:

.

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т. д.

Из условия , следует, что и, значит, каждая система уравнений , , где – –й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. Если матрица квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби матрицы является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

– ее каноническим видом в базисе .