Как найти общую вершину треугольников

Вершина треугольника – определение

В геометрии нередко рассматривают такое понятие, как «вершина треугольника». Это точка пересечения двух сторон данной фигуры. Практически в каждой задаче встречается это понятие, поэтому имеет смысл рассмотреть его более подробно.

Определение вершины треугольника

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Рис. 2. Обозначение вершин в треугольнике.

Характеристики понятия

Если взять произвольно ориентированный в плоскости треугольник, то на практике очень удобно выразить его геометрические характеристики через координаты вершин этой фигуры. Так, вершину А треугольника можно выразить точкой с определенными числовыми параметрами А(х; y).

Зная координаты вершин треугольника можно найти точки пересечения медиан, длину высоты, опущенную на одну из сторон фигуры, и площадь треугольника.

Для этого используются свойства векторов, изображаемых в системе декартовой системе координат, ведь длина стороны треугольника определятся через длину вектора с точками, в которых находятся соответствующие вершины этой фигуры.

Использование вершины треугольника

При любой вершине треугольника можно найти угол, который будет смежным внутреннему углу рассматриваемой фигуры. Для этого придется продлить одну из сторон треугольника. Поскольку сторон при каждой вершин две, то и внешних углов при каждой вершине два. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

Рис. 3. Свойство внешнего угла треугольника.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

Что такое вершина треугольника

Определение вершины треугольника

Вершина треугольника — это точка, в которой соединяется две его стороны.

В треугольнике три вершины.

Вершины принято обозначать заглавными буквами греческого алфавита, например, $A$, $B$, $C$.

Задание. Какие из точек на рисунке 1 являются вершинами треугольника?

Ответ. Вершинами треугольника являются точки $A$, $B$, $K$.

Вершина треугольника

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 192.

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 192.

В геометрии нередко рассматривают такое понятие, как «вершина треугольника». Это точка пересечения двух сторон данной фигуры. Практически в каждой задаче встречается это понятие, поэтому имеет смысл рассмотреть его более подробно.

Определение вершины треугольника

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Характеристики понятия

Если взять произвольно ориентированный в плоскости треугольник, то на практике очень удобно выразить его геометрические характеристики через координаты вершин этой фигуры. Так, вершину А треугольника можно выразить точкой с определенными числовыми параметрами А(х; y).

Зная координаты вершин треугольника можно найти точки пересечения медиан, длину высоты, опущенную на одну из сторон фигуры, и площадь треугольника.

Для этого используются свойства векторов, изображаемых в системе декартовой системе координат, ведь длина стороны треугольника определятся через длину вектора с точками, в которых находятся соответствующие вершины этой фигуры.

Использование вершины треугольника

При любой вершине треугольника можно найти угол, который будет смежным внутреннему углу рассматриваемой фигуры. Для этого придется продлить одну из сторон треугольника. Поскольку сторон при каждой вершин две, то и внешних углов при каждой вершине два. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

ГДЗ учебник по математике 3 класс Моро. Часть 1. Страница 85. Номер №3

Решение 1

Треугольники, имеющие общую вершину − точку A:

ΔABC, ΔABD, ΔABK, ΔABM, ΔABN, ΔACN, ΔADK, ΔADM, ΔADN, ΔAKM.
Треугольники, имеющие общую сторону − отрезок AM:

ΔAMB, ΔAMD, ΔAMK.

Решение 2

Четырехугольники:

ABND, ACND, MKCN, DKCN.

Раз уж вы нашли косинус и синус угла в треугольнике — дальше вы можете просто повернуть на этот угол вектор одной из сторон и получить направление второй стороны, а дальше нужно лишь изменить длину вектора.

Но есть и решение в векторах, вообще без тригонометрии.

Рассмотрим задачу в общем виде: у нас заданы вершины A и B, нам надо найти третью вершину треугольника С зная прилежащие к ней стороны — AC=a и BC=b соответственно. Построим окружности нужных радиусов с центрами в точках A и B, и тогда точка C как раз будет на их пересечении:

Обозначим через rA, rB и rC радиус-векторы точек. Тогда получаем следующую систему уравнений:

(rC-rA)² = a²
(rC-rB)² = b²

Решив её относительно rC можно получить ответ. Для решения первым делом вычтем одно уравнение из другого, чтобы избавиться от квадрата rC:

(rC-rA)² - (rC-rB)² = a² - b²
(rC² - 2rCrA + rA²) - (rC² - 2rCrB + rB²) = a² - b²
2rC(rB-rA) + rA² - rB² = a² - b²
2rC(rB-rA) = a² - b² - (rA² - rB²)

У нас получилось, внезапно или не очень, уравнение прямой в одном из своих форм. Этой прямой по построению принадлежат точки C и C’ — значит, это уравнение прямой CC’. Кстати, разности rB — rA будет в дальнейшем встречаться часто, поэтому обозначим её как AB (потому что это и есть вектор стороны AB).

В принципе, на этом этапе можно перейти от векторного вида к координатному, выразить через это уравнение переменную y через x или наоборот, подставить в любое уравнение окружности и решить обыкновенное квадратное уравнение. Однако, любого кто так попытается сделать, ожидает засада под названием «сингулярность»: если прямая CC’ вертикальная, то при попытке выразить y через x в формуле будет деление на ноль, а если она горизонтальная — деление на ноль будет при попытке выразить x через y.

Можно было бы просто разобрать два случая, но есть вариант лучше. Для этого надо перейти к параметрическому виду уравнения прямой СС’. Напомню, что параметрический вид уравнения прямой выглядит вот так:

r = r0 + t u

Чтобы получить параметрическое уравнение прямой, нужно знать направляющий вектор и любую точку на этой прямой. Точки C и С’ мы узнать не можем (точнее можем, но если узнаем — задача будет уже решена), поэтому попытаемся найти точку пересечения прямых CC’ и AB.

Это сделать не так сложно как кажется, потому что у нас есть уравнение прямой CC’ и мы можем составить параметрическое уравнение прямой AB:

r = rA + tAB
2r·AB = a² - b² - (rA² - rB²)

Подставим первое уравнение во второе и решим его относительно переменной t:

2(rA + tAB)·AB = a² - b² - (rA² - rB²)

2rA·AB + 2t AB² = a² - b² - (rA² - rB²)

t = (a² - b² - rA² + rB² - 2rA·AB) / 2AB²

t = (a² - b² - rA² + rB² + 2rA² - 2rA·rB) / 2AB²

t = (a² - b² + rA² + rB² - 2rA·rB) / 2AB²

t = (a² - b² + (rA - rB)²) / 2AB²

t = (a² - b² + AB²) / 2AB²

Осталось подставить эту переменную обратно в параметрическое уравнение:

t = (a² - b² + AB²) / 2AB²
r0 = rA + tAB

Формула выглядит страшно, но не имеет сингулярностей пока A и B — разные точки. Даже в случае некорректных начальных данных у тут будет какое-то решение.

Кстати, для проверки корректности формулы можно подставить сюда вырожденные треугольники: при a=0, b=AB точка r0 окажется равна rA; а при a=AB, b=0 точка r0 окажется равна rB. Пока всё нормально.

И так, у нас есть точка r0, осталось найти направляющий вектор прямой CC’. Ну, это тоже просто: надо лишь взять вектор AB и повернуть его на прямой угол в любую сторону. Это делается тоже просто, если вектор AB был с координатами (xB — xA, yB — yA) — то повёрнутый будет с координатами (-yB + yA, xB — xA). Почему так — объясняется по ссылке, которую я уже приводил ранее. Обозначим его через AB^.

Ну, теперь у нас есть параметрическое уравнение прямой CC’ и уравнение одной из окружностей, осталось их пересечь и мы найдём точки C и C’.

rC = r0 + k AB^
(rC-rA)² = a²

И снова мы можем просто подставить одно уравнение в другое (вот почему я так люблю параметрические уравнения прямых в задачах на геометрию!):

(r0-rA + k AB^)² = a²

k² AB^² + 2k AB^ (r0-rA) + (r0-rA)² - a² = 0

Тут есть и дальнейшие упрощения: вектор r0—rA сонаправлен AB, а потому при умножении на AB^ будет чистый ноль, можно и не считать. Кстати, длина вектора AB^ равна длине вектора AB, что тоже позволяет чуть упростить формулу.

Суммируя всё что написано выше, получаем следующую систему уравнений:

t = (a² - b² + AB²) / 2AB²
k² AB² = a² - t² AB²
r0 = rA + t AB
rC = r0 + k AB^

Осталось решить примитивное квадратное уравнение:

t = (a² - b² + AB²) / 2AB²
k = ± sqrt(a² / AB² - t²)
rC = rA + t AB + k AB^

Дальше осталось перейти от векторов к координатам и решение готово.

ответы

ваш ответ

похожие темы

похожие вопросы 5