Как найти общее количество вариантов

Формула числа сочетаний

Определение числа сочетаний

Пусть имеется $n$ различных объектов и требуется найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$. Будем выбирать комбинации из $k$ объектов всеми возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три ($n=3$) объекта {1,2,3}, составляем сочетания по $k=2$ объекта в каждом. Тогда выборки {1,2} и {2,1} — это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$ имеет вид:

$$C_n^k=frac{n!}{(n-k)!cdot k!}.$$

Чаще всего сочетания используются в комбинаторных задачах и задачах на расчет вероятности по формуле классической вероятности (см. теорию и примеры).

Смотрите также другие онлайн-калькуляторы

Чтобы вычислить число сочетаний $C_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

• Онлайн учебник по теории вероятностей
• Основные формулы комбинаторики
• Примеры решений задач по теории вероятностей
• Заказать свои задачи на вероятность

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Онлайн-калькулятор сочетаний позволяет вам найти количество возможных комбинаций, которые могут быть получены из элементов выборки из большого набора данных. Кроме того, этот комбинаторика калькулятор показывает каждую комбинацию набора данных. По сути, комбинация – это количество способов получить r элементов из n объектов набора данных, где замены не разрешены. Прочтите статью полностью, чтобы точно узнать о ее формуле, ручном расчете, о том, как найти комбинацию с помощью этого калькулятора комбинаций и многом другом.

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн-калькулятор перестановок, который поможет вам найти количество возможных подмножеств, включая подмножество одного и того же элемента в разном порядке.

Читать дальше!

Что такое формула комбинирования?

Формула для определения количества возможных комбинаций выглядит следующим образом:

nCr = n! / р! (н-р)!

Где,

n – общее количество в наборе данных

r – это номер, который вы выбираете из этого набора данных & nCr – количество комбинаций

Наш калькулятор NCR использует эту формулу для точных и быстрых вычислений всех элементов набора данных.

Формула сочетания с повторением:

Если нас не волнует повторение, то формула NCR выглядит так:

nCr = (г + п-1)! / р! (п-1)!

Здесь на рисунке показаны четыре типа выбора:

Образ

Восклицательный знак (!) Используется для факториала числа. Чтобы найти факториал числа, вы также можете попробовать наш онлайн-калькулятор факториала, который поможет вам вычислить факториал для заданных n чисел.

Как рассчитать комбинации (шаг за шагом):

Расчет комбинаций становится очень простым с этим комбинаторным калькулятором и пониманием следующего ручного примера:

Проведите по!

Пример:

Директор выбирает 4 учеников из класса, всего 30 учеников, для соревнований по легкой атлетике. Он хочет определить, сколько комбинаций из 4 учеников можно создать из 30 учеников?

Решение:

Комбинированное уравнение:

nCr = n! / р! (н-р)!

Вот,

Общее количество студентов (n) = 30

Выбранные ученики (r) = 4

Так,

30C4 = 30! / 4! (30-4)!

30C4 = 30! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27 * 26! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4 * 3 * 2 * 1

30C4 = 657720/24

30C4 = 27405 Возможные команды

Вы можете попробовать этот онлайн-калькулятор сочетаний, чтобы проверить все примеры комбинаций для пояснения.

Комбинации и перестановки:

В английском языке мы используем словосочетание, не задумываясь о важности порядка слов или нет. Просто мой обед состоит из бургера, сэндвича с Рубеном и яблочного пирога. Нас не волнует их порядок, они также могут быть в «сэндвиче с Рубеном, яблочном пироге и бургере», но это та же еда. Также,

Замок сейфа – 584. Теперь, если нас не заботит порядок, то он не работает. Например, 845 не подойдет, а 458 не подойдет. Надо точно ввести 5-8-4. Итак, мы пришли к выводу, что:

Когда порядок не имеет значения, это комбинация, а когда порядок имеет значение, это перестановка. Проще говоря, перестановка – это упорядоченная комбинация.

Как использовать онлайн-калькулятор сочетаний:

Онлайн-калькулятор комбинаций чисел требует различных значений для точного расчета, это шаги, которые вы должны выполнить, чтобы получить мгновенные результаты.

Входы:

• Прежде всего, выберите имя элементов набора данных из раскрывающегося списка этого инструмента.
• Затем введите общее количество элементов в предназначенное для этого поле.
• Затем введите, сколько элементов вы хотите выбрать из общего числа элементов.
• Затем вам нужно выбрать, что вы хотите создать, из раскрывающегося меню. Это может быть как комбинация, так и комбинация с повторением.
• Затем вставьте значения элементов в указанное поле.
• Наконец, нажмите кнопку “Рассчитать”.

Выходы:

Как только вы закончите, калькулятор формулы комбинации покажет:

• Комбинация
• Сочетание с повторением
• Пошаговый расчет

Заметка:

Не беспокойтесь, хотите ли вы получить расчет с комбинацией или повторением, все, что вам нужно, чтобы выбрать соответствующую опцию, калькулятор комбинации покажет вам результат в соответствии с заданными значениями.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Что означает 10 выбирают 3?

Это означает выбор 3 элементов из 10 общих элементов без как посчитать количество комбинаций. Он генератор комбинаций 120 возможных комбинаций.

Для чего используется комбинация?

Он определяет возможные расположения в коллекции из n элементов. Помогает выбирать предметы в любом порядке. Это условие непонятно при перестановке числа.

Конечное примечание:

К счастью, вы узнали, что комбинации используются для определения возможных расположений в коллекции n элементов. Когда дело доходит до вычисления большого числа, воспользуйтесь бесплатным онлайн-калькулятор сочетаний, который поможет вам найти комбинацию данных элементов.

Other Languages: Combination Calculator, Kombinasyon Hesaplama, Kalkulator Kombinacji, Kalkulator Kombinasi, Kombinatorik Rechner, 組み合わせ 計算, 조합 계산기, Kombinace Kalkulačka, Calculadora De Combinações, Calcul Combinaison, Calculadora De Combinaciones, Calcolo Combinatorio, Yhdistelmää Laskin, Kombinations Beregner, Kombinatorikk Kalkulator.

Число сочетаний

Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них k объектов всевозможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок
(он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три объекта {1,2,3}, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки {1,2} и {2,1} — это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из n объектов по k имеет вид:

C_kⁿ = n!k! ⋅ (n — k)!

Данный онлайн калькулятор позволяет найти число сочетаний из n элементов по k.

Поделиться страницей в социальных сетях:

План урока:

Комбинаторика и ее основные принципы

Перестановки

Перестановки с повторениями

Размещения

Сочетания

Комбинаторика и ее основные принципы

Очень часто приходится решать задачи, в которых надо посчитать количество возможных вариантов для той или иной ситуации. Например, сколько позиций может возникнуть на шахматной доске после первого хода обоих игроков? Сколько разных паролей длиною в десять символов можно записать, если ни один символ не использовать дважды? Сколько разнообразных комбинаций чисел может выпасть при игре в лотерею «6 из 49»? На все эти вопросы помогает ответить специальный раздел математики, называемый комбинаторикой. Почти всегда комбинаторную задачу можно сформулировать так, чтобы ее вопрос начинался словами «сколькими способами…».

Очевидно, что если в конечном множестве содержится n элементов, то есть ровно n способов выбрать один из них.

Пример. В классе 15 человек. Сколькими способами учитель может назначить одного из них ответственным за чистоту доски?

Ответ. Таких способов ровно 15.

В комбинаторике существует два основных правила. Первое из них называется правилом сложения.

Несмотря на формулировку, по сути это очень простое правило.

Пример. В магазине продается 14 телевизоров Panasonic и 17 телевизоров Sony. Петя хочет купить один телевизор. Сколько у него вариантов покупки?

Решение. По правилу сложения Петя может выбрать один из 14 + 17 = 31 телевизоров.

Ответ: 31 телевизор.

Особое значение имеет второе правило, которое называют правилом умножения.

Проиллюстрируем это правило.

Пример. В секции бадминтона 15 мальчиков и 20 девочек. Тренер должен отправить на соревнования смешанную пару. Сколько вариантов действий у него?

Решение. Тренер может составить 15•20= 300 разнополых пар из своих воспитанников.

Ответ: 300

Пример. Пете нужно купить технику для компьютера. В магазине продается 20 различных клавиатур, 25 моделей геймпадов и 30 компьютерных мышей. Купить надо по одному экземпляру каждого из этих устройств. Сколько вариантов покупки есть у него?

Решение. Сначала подсчитаем число возможных пар «клавиатура-геймпад». Их количество равно 20•25 = 500. Теперь составим «тройку» из одной из 500 пар и одной из 30 мышей. Число троек равно 500•30 = 15000.

Ответ: 15000

Правила сложения и умножения можно комбинировать.

Пример. Сколько слов не более чем из трех букв можно составить, используя алфавит, содержащий ровно 30 букв?

Решение. Очевидно, что слов из одной буквы можно составить ровно 30. Количество двухбуквенных слов равно количеству пар, которые можно составить из этих букв, то есть 30•30 = 900. Трехбуквенных слов можно составить 30•30•30 = 27000. Всего же слов длиною не более 3 букв будет

30 + 900 + 27000 = 27930

Ответ: 27930

Далее мы изучим основные понятия комбинаторики – перестановки, размещения, сочетания.

Перестановки

Рассмотрим простейшую комбинаторную задачу. На полке расставляют по порядку книги. Их ставят вертикально друг за другом. Сколькими способами можно расставить на полке 2 книги? Очевидно, что двумя:

Либо синяя книжка будет первой слева, либо она будет находиться в конце полки, третьего варианта здесь нет. Здесь условно считается, что варианты, когда между книгами есть зазоры, идентичны вариантам без зазоров:

То есть нас интересует исключительно порядок, в котором стоят книги. Каждый из найденных вариантов называется перестановкой книг. Перестановкой называют любое конечное множество, для элементов которого указан порядок элементов.В комбинаторике перестановки являются одними из основных объектов изучения.

Например, если в забеге на 100 метров стартует 8 спортсменов, то они образуют множество участников забега. После финиша становится известно, кто занял 1-ое место, кто оказался вторым или третьим, а кто стал последним. Результат забега будет перестановкой, ведь он представляет собой список спортсменов с указанием их мест, то есть он определяет порядок между ними.

Вернемся к примеру с книгами. Обозначим количество возможных перестановок n элементов как Р_n. Две книжки можно расставить двумя разными способами, поэтому Р₂ = 2. Обозначим эти перестановки как АБ и БА. Сколько способов расстановки есть в случае трех книжек? Их все можно получить из вариантов с 2 книжками, добавляя между ними книгами ещё один том:

Видно, что между 2 книгами есть три позиции, на которые можно поставить 3-ий том. Общее количество вариантов равно произведению числа этих позиций и количества вариантов для 2 книг, то есть Р₃ = 3•Р₂ = 3•2 = 6:

Итак, мы имеем 6 перестановок для 3 книг:

ВАБ

АВБ

АБВ

ВБА

ВБА

БАВ

А сколько перестановок существует для 4 книг? Снова-таки, между тремя книгами 4-ый том можно поставить четырьмя способами:

То есть из перестановки трех книг АБВ можно получить 4 перестановки:

ГАБВ

АГБВ

АБГВ

АБВГ

Всего существует 6 перестановок для 3 книг (Р₃ = 6), и для каждой из них можно построить 4 перестановки из 4 книг. Получается, что общее количество перестановок 4 книг равно

Р₄ = 4Р₃ = 4•6 = 24.

Продолжая подобные рассуждения, можно убедиться, что количество перестановок 5 предметов в 5 раз больше, чем перестановок для 4 объектов:

Р₅ = 5Р₄

И вообще, если число перестановок n объектов равно Р_n, то количество перестановок (n + 1)объекта равно в (n + 1)раз больше:

Р_n+1 = (n + 1)Р_n

При этом отметим, что 1 книгу можно расставить на полке только одним способом:

То есть Р₁ = 1. Теперь выпишем значения чисел Р при разном количестве переставляемых предметов, используя формулуР_n+1 = (n + 1)Р_n

Р₁ = 1

Р₂ = 2•Р₁= 2•1 = 2

Р₃ = 3Р₂ = 3•2•1 = 6

Р₄ = 4Р₃ = 4•3•2•1 = 24

Р₅ = 5Р₄ = 5•4•3•2•1 = 120

Видно, что количество перестановок n объектов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n. В математике есть специальная функция для вычисления значения этого произведения. Она называется факториалом и обозначается восклицательным знаком.

Например, факториал 6 вычисляется так:

6! = 1•2•3•4•5•6 = 720

Мы убедились на примере с книгами, что количество перестановок из n различных объектов, которое обозначается как Р_n, равно n!.

Относительно факториала надо заметить несколько важных моментов. Во-первых, очевидно, что факториал единицы равен 1:

1! = 1

Во-вторых, иногда в комбинаторных задачах приходится вычислять факториал нуля. По ряду соображений эта величина также принимается равной единице

0! = 1

Объяснить это можно так. Факториал числа можно представить как произведение этого числа и факториала предыдущего числа, например:

5! = 1•2•3•4•5 = (1•2•3•4)•5 = 4!•5

7! = 1•2•3•4•5•6•7 = (1•2•3•4•5•6)•7 = 6!•7

В общем случае формула выглядит так:

n! = (n– 1)!•n

Из неё несложно получить, что

(n– 1)! = n!/n

Например: 5! = 4!•5

Подставив в эту формулу единицу, получим

(1 – 1)! = 1!/1

0! = 1/1

0! = 1

Пример. Сколькими способами тренер может расставить 4 участников эстафеты 4х400 м по этапам эстафеты?

Решение. Количество таких способов равно числу перестановок 4 различных объектов Р₄:

Р₄ = 4! = 1•2•3•4 = 24

Ответ: 24

Пример. Вася решил изучать сразу 7 иностранных языков, причем на занятия по каждому из них он собирается выделить ровно один день в неделе. Сколько вариантов расписаний занятий может составить себе Вася?

Решение. В данном случае расписание занятий – это порядок, в котором Вася в течение недели будет изучать иностранные языки, например:

Такое расписание можно описать последовательностью символов:

Ф, Ан, И, К, Я, Ар, П

Создавая расписание, Вася переставляет 7 языков, поэтому общее количество расписаний равно 7!:

Р₇ = 1•2•3•4•5•6•7 = 5040

Ответ: 5040

Пример. Сколько пятизначных цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, причем каждую не более одного раза?

Решение. Общее количество перестановок 5 цифр составляет Р₅. Однако нельзя начинать запись числа с нуля. Так как, перестановка 12340 – это пятизначное число (двенадцать тысяч триста сорок), а перестановка 03241 – не является пятизначным числом.

Расстановок, начинающихся с нуля, ровно Р₄, поэтому общее количество допустимых цифр равно Р₅ – Р₄:

Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Ответ: 96

Пример. На полке расставляют 7 книг, однако 3 из них образуют трехтомник. Тома трехтомника должны стоять друг за другом и в определенном порядке. Сколько существует способов расстановки книг?

Решение. Будем считать трехтомник одной книгой. Тогда нам надо расставить 5 книг

Р₅ = 5! = 120

Ответ: 120

Пример. Необходимо расставить 7 книг на полке, но три из них принадлежат одному автору. Их надо поставить друг с другом, но они могут стоять в любом порядке. Сколько возможно перестановок книг.

Решение. Снова будем считать три книги как один трехтомник. Получается, что существует 5! = 120 вариантов. Однако каждому из них соответствует 3! = 6 расстановок книг внутри трехтомника, например:

В итоге на каждую из 120 расстановок приходится 6 вариантов расстановки трехтомника, а общее число расстановок равно, согласно правилу умножения, произведению этих чисел:

120•6 = 720

Ответ: 720

Перестановки с повторениями

До этого мы рассматривали случаи, когда все переставляемые объекты были различными. Однако порою некоторые из них не отличаются друг от друга. Пусть на полке надо расставить 3 книги, но две из них одинаковые. Сколько тогда существует перестановок? Общее число перестановок 3 книг составляет 3! = 6:

Здесь одинаковые книги отмечены как А и А1. Очевидно, что 1-ый и 2-ой варианты (А1АБ) и (АА1Б) на самом деле не отличаются друг от друга. В них отличается лишь порядок одинаковых книг А и А1. В первом случае за А1 следует А, а во втором, наоборот, за А следует А1. Тоже самое можно сказать про варианты 3 и 4, 5 и 6. Получается, что все возможные перестановки можно разбить на группы, в которых находятся «перестановки-дубликаты»:

А1АБ и АА1Б

А1БА и АБА1

БА1А и БАА1

В каждой группе находится ровно по два «дубликата». Почему именно по два? Это число равно количеству перестановок одинаковых книг. Так как одинаковых томов 2, а Р₂ = 2, то в каждой группе по 2 «дубликата». Действительно, если бы мы «убрали» с полки все книги, кроме повторяющихся, то там осталось бы только 2 одинаковых тома, которые можно переставить двумя способами.

Для того чтобы найти количество «оригинальных» перестановок, надо их общее количество поделить на число дубликатов в каждой группе.

6:2 = 3

Пусть теперь надо расставить 4 книги, из которых 3 одинаковы. Обозначим тома как А, А1, А2 и Б. Всего можно записать 4! = 24 перестановки. Однако каждые 6 из них будут дублировать друг друга. То есть их можно разбить на группы, в каждой из которых будет 6 идентичных «дубликатов»:

1-ая группа: БАА1А2, БАА2А1, БА1АА2, БА1А2А, БА2АА1, БА2А1А

2-ая группа: АБА1А2, АБА2А1, А1БАА2, А1БА2А, А2БАА1, А2БА1А

3-ая группа: АА1БА2, АА2БА1, А1АБА2, А1А2БА, А2АБА1, А2А1БА

4-ая группа: АА1А2Б, АА2А1Б, А1АА2Б, А1А2АБ, А2АА1Б, А2А1АБ

И снова для подсчета числа оригинальных перестановок надо из общее число расстановок поделить на количество дубликатов в каждой группе:

Р₄/Р₃ = 4!/3! = 24/6 = 4

Для обозначения перестановок с повторениями используется запись

Р_n(n₁, n₂, n₃,… n_k)

где n – общее количество объектов, а n₁, n₂, n₃,… n_k – количество одинаковых элементов. Например, в задаче с 4 книгами мы искали величину Р₄(3, 1), потому что всего книг было 4, но они были разбиты на две группы, в одной из которых находилось 3 одинаковых тома (буквы А, А1, А2), а ещё одна книга (Б) составляла вторую группу. Мы заметили, что для вычисления числа перестановок с повторениями надо общее число перестановок делить на количество дублирующих перестановок. Формула в общем случае выглядит так:

Пример. Вася решил, что ему стоит изучать только два иностранных языка. Он решил 4 дня в неделю тратить на английский, а оставшиеся три дня – на испанский. Сколько расписаний занятий он может себе составить.

Решение. Вася должен расставить 3 урока испанского и 4 урока английского, тогда n₁ = 3, а n₂ = 4. Общее количество уроков равно 3 + 4 = 7. Тогда

Ответ: 35

Обратите внимание, что для удобства при делении факториалов мы не вычисляли их сразу, а пытались сократить множители. Так как в ответе любой комбинаторной задачи получается целое число, то весь знаменатель дроби обязательно сократится с какими-нибудь множителями в числителе.

Пример. У мамы есть 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин. Эти фрукты она распределяет между 6 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый должен получить по фрукту?

Решение. Всего есть три группы фруктов. В первой находится 3 яблока, поэтому n₁ = 3. Во второй группе 2 банана, поэтому n₂ = 2. В третьей группе только 1 апельсин, поэтому n_k = 1. Общее число фруктов равно 6. Используем формулу:

Ответ: 60

В знаменателе формулы для перестановок с повторениями мы записываем число объектов в каждой группе одинаковых предметов. Так, если переставляются 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин, то в знаменателе мы пишем 3!•2!•1!. Но что будет, если в каждой группе будет находиться ровно один уникальный объект? Тогда мы запишем в знаменателе произведение единиц:

В итоге мы получили ту же формулу, что и для перестановок без повторов. Другими словами, перестановки без повтора могут рассматриваться просто как частный случай перестановок с повторами.

Размещения

Пусть в футбольном турнире участвуют 6 команд. Нам предлагают угадать те команды, которые займут призовые места (то есть первые три места). Сколько вариантов таких троек существует?

Сначала запишем ту команду, которая выиграет турнир. Здесь есть шесть вариантов, по количеству участвующих команд. Запишем эти варианты:

Далее выберем один из вариантов и для него укажем серебряного призера соревнований. Здесь есть только 5 вариантов, ведь 1 из 6 команд уже записана на 1-ом месте:

Такую пятерку можно записать для каждого из шести вариантов того, кто станет чемпионом. Получается, что всего есть 6•5 = 30 пар «чемпион – серебряный призер». Наконец, для одной такой пары можно записать 4 варианта того, кто окажется третьим (две команды писать нельзя, так как они уже записаны на первых двух строчках):

Для каждой пары можно записать 4 тройки призеров. Так как число пар «чемпион – вице-чемпион» равно 6•5 = 30, то число троек составит 6•5•4 = 120.

В данном случае из некоторого множества команд мы выбрали несколько и расположили их в каком-то порядке. То есть мы выбрали упорядоченное множество. В комбинаторике оно называется размещением.

Если общее число команд обозначить как n (в этом примере n = 6), а количество упорядочиваемых команд равно k, то количество таких размещений в комбинаторике обозначается как

В примере с командами количество размещений равнялось 120:

Читается эта запись как «число размещений из 6 по 3 равно 120».

Для нахождения этого числа мы перемножили k (3)множителей. Первый из них был равен n(6), так как каждая из n команд могла занять первая место. Второй множитель был равен (n– 1), так как после определения чемпиона мы могли поставить на вторую позицию одну из (n– 1) команд. Третий множитель был равен (n– 2). По этой логике каждый следующий множитель будет меньше предыдущего на единицу. Например, чтобы вычислить число размещений из 7 по 4, надо перемножить 4 множителя, первый из которых равен 7, а каждый следующий меньше на 1:

Однако математически удобнее представлять это произведение как отношение двух факториалов. Для этого умножим количество размещений на дробь 3!/3!, равную единице. Естественно, число размещений из-за умножения на единицу не меняется:

Число 3 в данном случае можно получить, если из 7 вычесть 4. В общем случае из числа n надо вычесть число k. Тогда формула для вычисления количества размещений примет вид:

Пример. В программе 8 «А» класса 12 различных предметов. В понедельник проводится 5 занятий подряд. Сколько существует вариантов расписаний для класса, если в течение понедельника нельзя проводить два одинаковых урока?

Решение. Для составления расписания нужно выбрать 5 предметов и расставить их по порядку. Поэтому нам необходимо найти размещение из 12 по 5:

Ответ: 95040

Пример. В вагоне 10 свободных мест. В него зашло 6 пассажиров. Сколькими способами они могут расположиться в вагоне?

Решение. Из десяти мест надо выбрать шесть и указать для каждого, какому пассажиру оно соответствует. То есть каждый вариант рассадки пассажиров – это размещение из 10 по 6. Найдем их количество:

Ответ: 151200

Заметим, что перестановка – это частный случай размещения, когда k = n. Действительно, если нам надо указать тройку призеров турнира, в котором участвуют 6 команд, то мы указываем размещение из 6 по 3. Но если мы указываем для каждой из 6 команд, какое место она займет в чемпионате, то это размещение из 6 по 6. С другой стороны, это расстановка одновременно является и перестановкой 6 команд. Убедимся, что в этом частном случае формула для подсчета количества размещений покажет тот же результат, что и формула для перестановок

Для примера с 6 командами это будет выглядеть так:

Здесь мы использовали тот факт, что факториал нуля принимается равным единице. Данное рассуждение можно, наоборот, использовать для того, чтобы доказать, что факториал нуля – это единица.

Сочетания

Выбирая размещение, мы должны были выбрать из множества несколько объектов и упорядочить их. В частности, мы выбирали три команды из шести и указывали, какая из них будет первой, какая второй, а какая третьей. Поэтому размещения «Локомотив, Зенит, Краснодар» и «Локомотив, Краснодар, Зенит» отличались друг от друга.

Однако порою этот порядок не имеет значения. Так, существует известная лотерея, где предлагается угадать 7 чисел из 49, которые выпадут во время розыгрыша из барабана. При этом порядок их выпадения не играет никакой роли. Игрок, выбирая эти 7 чисел, с точки зрения математики формирует сочетание из 49 по 7.

Количество возможных сочетаний из n по k обозначается буквой С:

Для вычисления количеств сочетаний из n по k сначала найдем количество аналогичных размещений. Оно вычисляется по формуле:

Однако ясно, что, как и в случае с перестановками с повторениями, некоторые сочетания мы посчитали несколько раз. Вернемся к примеру с командами. Если мы выбрали команды Л (Локомотив) , З (Зенит) и К (Краснодар), то мы можем составить ровно 3! = 6 размещений из них:

ЛЗК

ЛКЗ

ЗЛК

ЗКЛ

КЛЗ

КЗЛ

Однако все они соответствуют только одному сочетании – ЛКЗ. Таким образом, считая количество размещений, мы посчитали каждое сочетание не один, а 3! раз. Поэтому для нахождения количества сочетаний в комбинаторике надо поделить число размещений на число перестановок k элементов:

Эта формула связывает важнейшие понятия комбинаторики – перестановки, сочетания и размещения. Подставим в неё формулы для размещений и перестановок и получим:

Пример. Сколько троек призеров турнира можно составить, выбирая три футбольные команды из шести?

Решение. Посчитаем число сочетаний из 6 по 3:

Ответ: 20

Пример. Сколько комбинаций чисел может составить игрок, играющий в лотереи «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49»?

Решение. В каждом из этих случаев игрок выбирает сочетание нескольких чисел. Посчитаем их число:

Ответ: 376992; 8145060; 85900584

Пример. На плоскости отмечены 8 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через них? Сколько треугольников и четырехугольников можно построить с вершинами в этих точках?

Решение. Для того чтобы провести прямую, достаточно выбрать любые 2 точки из 8. Общее количество прямых будет равно числу сочетаний из 8 по 2:

Заметим принципиальную важность того условия, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Оно гарантирует, что при выборе двух различных точек мы будем получать различные прямые. Если бы, например, точки АВС лежали бы на одной прямой, то при выборе сочетаний АВ, ВС и АС мы получали бы одну и ту же прямую:

Это же условие гарантирует, что, выбрав любые 3 и 8 точек, мы сможем построить треугольник с вершинами в этих точках, а выбрав 4 точки, получим четырехугольник. Поэтому для подсчета количества треугольников и четырехугольников следует искать число сочетаний по 3 и 4:

Ответ: 28 прямых, 56 треугольников и 70 четырехугольников.

Пример. В одной урне находится 10 различных шаров с номерами от 0 до 9, а в другой – 8 различных шаров с первыми восемью буквами алфавита. По условиям лотереи ведущий вытаскивает из первой урны два шара с числами, а из второй – три шара с буквами. Для победы в лотерее надо угадать выпавшие шары. Сколько комбинаций шаров может выпасть в игре?

Решение. Посчитаем отдельно, сколькими способами можно выбрать 2 шара с цифрами из 10 и 3 шара с буквами из 8:

По правилу умножения мы должны перемножить эти числа, чтобы найти общее количество возможных вариантов:

56•45 = 2520

Ответ: 2520

Заметим, что выбирая, например, сочетание из 49 по 7, мы одновременно выбираем и сочетание из 49 по 49 – 7 = 42. Действительно, игрок, обводящий в кружок в лотерейном билете свои 7 счастливых чисел, одновременно и определяет остальные 42 числа, какие числа он НЕ считает счастливыми. Для наглядности запишем число сочетаний в обоих случаях:

Получили одну и ту же дробь, в которой отличается лишь последовательность множителей в знаменателе. Можно показать, что и в общем случае число сочетаний из n по k совпадает с количеством сочетаний из n по (n– k):