Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (рис. 126).
На рисунке 127 показано образование конуса при вращении прямоугольного треугольника 
вокруг прямой 
, которой принадлежит катет 
. При этом ломаная 
описывает поверхность конуса, гипотенуза 
— боковую поверхность, а катет 
— основание конуса (рис. 128). Саму гипотенузу называют образующей конуса, неподвижную точку 
— вершиной конуса, прямую, проходящую через неподвижный катет , — осью конуса, а перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на основание, — высотой конуса (рис. 129). Основание высоты конуса совпадает с центром основания конуса.
Поверхность конуса можно развернуть на плоскость, в результате получится сектор, представляющий боковую поверхность конуса, и круг, представляющий основание конуса. На рисунке 130 представлены конус и его развертка.
Теорема 5.
Боковая поверхность конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей:
Доказательство проведите самостоятельно, используя рисунок 130.
Важной пространственной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание конуса с плоскостью.
Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг (рис. 131), а если плоскостью, проходящей через вершину, то — равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 132).
Осевое сечение конуса, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является равнобедренным треугольником, у которого основание равно диаметру основания конуса (рис. 133).
Проведем через вершину конуса секущую плоскость и будем ее поворачивать вокруг прямой, перпендикулярной оси конуса (рис. 134). При этом основание треугольника-сечения будет укорачиваться, а его боковые стороны сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, целиком содержащую образующую и не имеющую с конусом других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью конуса.
Теорема 6.
Если плоскость касается конуса по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось конуса.
Доказательство:
Пусть плоскость 
касается конуса с осью 
по образующей 
(рис. 135). Докажем, что плоскость, содержащая эту образующую и ось , перпендикулярна плоскости .
Проведем прямую 
, которая перпендикулярна образующей 
, пересекает ось конуса в точке 
, отличной от вершины 
. Через точку 
проведем плоскость 
, перпендикулярную оси , она пересечет конус по кругу с центром 
и плоскость 
— по прямой 
, касающейся окружности с центром 
. Эта касательная по свойству касательной к окружности перпендикулярна радиусу 
соответствующей окружности. Но этот радиус является проекцией наклонной 
на плоскость , поэтому по теореме о трех перпендикулярах прямая перпендикулярна наклонной 
, т. е. прямой .
Таким образом, прямая перпендикулярна прямым и , которые пересекаются и лежат в плоскости 
, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости 
. Значит, плоскость 
, содержащая прямую , перпендикулярна плоскости .
Теорема 6 выражает свойство касательной плоскости конуса.
Теорема 7.
Плоскость касается конуса, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось конуса.
Доказательство:
Пусть плоскость проходит через образующую конуса с осью и перпендикулярна плоскости (рис. 136). Докажем, что плоскость касается конуса, т. е. что точки образующей , и только они, являются общими точками конуса и плоскости .
Точки образующей принадлежат и конусу, и плоскости . Пусть 
— какая-либо точка плоскости вне образующей . Через эту точку проведем плоскость 
, перпендикулярную оси , она пересекает поверхность конуса по окружности 
с центром 
, образующую — в некоторой точке 
и плоскость — по прямой 
. Пусть 
— прямая, которая перпендикулярна плоскости и пересекает ось в точке 
. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая , проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна ее проекции 
. Значит, — касательная к окружности , и поэтому точка находится вне окружности , а значит, и вне конуса.
Теорема 7 выражает признак касательной плоскости конуса.
Пусть есть конус с вершиной 
(рис. 137). Впишем в основание конуса многоугольник 
и через его вершины 
проведем образующие 
. В результате получим тело 
, являющееся пирамидой. Ее называют пирамидой, вписанной в конус, а сам конус — конусом, описанным около пирамиды.
Если основание конуса вписано в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды, то говорят, что пирамида описана около конуса, или конус вписан в пирамиду (рис. 138).
Теорема 8.
Объем конуса равен третьей доле произведения площади Рис. 139 т его основания и высоты:
Доказательство:
Пусть есть конус с осью 
(рис. 139). В него впишем правильную пирамиду 
, а около него опишем правильную пи-рамиду 
. В соответствии с теоремой 4 объем первой пирамиды равен третьей доле произведения площади многоугольника 
и высоты 
пирамиды, т. е. высоты конуса, а объем второй — произведению площади многоугольника 
и той же высоты. Объем самого конуса заключен между этими числами.
Будем увеличивать количество 
сторон оснований пирамид. Тогда объем первой пирамиды будет увеличиваться, объем второй — уменьшаться, причем их разность стремится к нулю, если значение переменной 
неограниченно увеличивается. То число, к которому приближаются объемы обеих пирамид, принимается за объем конуса.
В описанном процессе высота пирамиды не изменяется, а площади обоих многоугольников — 
и 
— стремятся к площади 
круга, являющегося основанием конуса. Значит, объем 
конуса равен третьей доле произведения площади основания конуса и его высоты :
Теорема 9.
Если конус пересечь плоскостью, параллельной его основанию, то:
- а) образующая и высота разделяются на пропорциональные части;
- б) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.
Используя рисунок 140, докажите эту теорему самостоятельно.
Секущая плоскость, параллельная основанию конуса, разделяет его на две части (рис. 141). Одна из этих частей также является конусом, а другая — телом, которое называется усеченным конусом.
Основание данного конуса и круг, полученный в сечении, называют основаниями усеченного конуса, а отрезок образующей данного конуса, заключенный между его основанием и секущей плоскостью, — образующей усеченного конуса (рис. 142). Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного его основания к плоскости другого основания.
Усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, к которой прилежат прямые углы (рис. 143).
Пример:
Найдем боковую поверхность усеченного конуса. Пусть есть усеченный конус, у которого радиусы оснований 
и 
равны 
и 
соответственно, а образующая 
равна 
(рис. 144).
Достроим его до полного конуса. Достроенная часть представляет собой конус, у которого радиус основания равен . Пусть образующая 
достроенного конуса равна 
.
Боковую поверхность 
усеченного конуса можно получить как разность боковых поверхностей 
и 
полного и достроенного конусов. Пусть 
и 
— длины окружностей нижнего и верхнего оснований усеченного конуса.
Тогда:
Найдем 
, учитывая подобие треугольников 
и 
:
Значит,
Таким образом, боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей его оснований и образующей.
Пример:
Используя рисунок 144, можно, как и для усеченной пирамиды (см. параграф 9), доказать, что объем 
усеченного конуса равен третьей доле произведения высоты 
конуса и суммы площадей 
и 
оснований конуса и их среднего геометрического 
:
- Сфера в геометрии
- Шар в геометрии
- Правильные многогранники в геометрии
- Многогранники
- Возникновение геометрии
- Призма в геометрии
- Цилиндр в геометрии
- Пирамида в геометрии
Круглый прямой конус
В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая — директрисой, или направляющей.
Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.
Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.
Здесь r — радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.
Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая — это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.
Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.
Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании
Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.
Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g — это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:
d = 2*√(g2 — h2)
При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.
Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:
d = 2*g*cos(φ);
d = 2*h/tg(φ)
Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.
Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису
Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.
Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:
S = pi*r2 + pi*r*g
Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.
С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.
Фигура конус усеченный
Он также является фигурой вращения, только вместо прямоугольного треугольника следует вращать прямоугольную трапецию. На рисунке ниже показан усеченный конус.
Здесь синие стрелки показывают прямоугольную трапецию. Длина вертикальной стрелки является высотой h фигуры, длины двух других синих стрелок — это радиусы оснований конуса. В отличие от цилиндра, основания усеченного конуса имеют разную площадь. Обозначим их радиусы r1 и r2. Четвертая наклонная к основанию сторона трапеции является образующей или генератрисой. Как и для обычного конуса, для усеченного все генератрисы равны друг другу и образуют боковую поверхность фигуры.
Заметим, что усеченный конус получил такое название потому, что его можно получить не только вращением трапеции, но и с помощью отсечения плоскостью верхней части круглого прямого конуса.
Обозначение конусности на чертеже
При создании технической документации должны учитываться все установленные стандарты, так как в противном случае она не может быть использована в дальнейшем. Рассматривая обозначение конусности на чертежах следует уделить внимание следующим моментам:
- Отображается диаметр большого основания. Рассматриваемая фигура образуется телом вращения, которому свойственен диаметральный показатель. В случае конуса их может быть несколько, а изменение показателя происходит плавно, не ступенчато. Как правило, у подобной фигуры есть больший диаметр, а также промежуточной в случае наличия ступени.
- Наносится диаметр меньшего основания. Меньшее основание отвечает за образование требуемого угла.
- Рассчитывается длина конуса. Расстояние между меньшим и большим основанием является показателем длины.
- На основании построенного изображения определяется угол. Как правило, для этого проводятся соответствующие расчеты. В случае определения размера по нанесенному изображению при применении специального измерительного прибора существенно снижается точность. Второй метод применяется в случае создания чертежа для производства неответственных деталей.
Простейшее обозначение конусности предусматривает также отображения дополнительных размеров, к примеру, справочную. В некоторых случаях применяется знак конусности, который позволяет сразу понят о разности диаметров.
Выделяют достаточно большое количество различных стандартов, которые касаются обозначения конусности. К особенностям отнесем следующее:
- Угол может указываться в градусах дробью или в процентах. Выбор проводится в зависимости от области применения чертежа. Примером можно назвать то, что в машиностроительной области указывается значение градуса.
- В машиностроительной области в особую группу выделяют понятие нормальной конусности. Она варьирует в определенном диапазоне, может составлять 30, 45, 60, 75, 90, 120°. Подобные показатели свойственны большинству изделий, которые применяются при сборке различных механизмов. При этом выдержать подобные значения намного проще при применении токарного оборудования. Однако, при необходимости могут выдерживаться и неточные углы, все зависит от конкретного случая.
- При начертании основных размеров применяется чертежный шрифт. Он характеризуется довольно большим количеством особенностей, которые должны учитываться. Для правильного отображения используется табличная информация.
- Для начала указывается значок конусности от которого отводится стрелка и отображается величина. Особенности отображения во многом зависит от того, какой чертеж. В некоторых случаях наносится большое количество различных размеров, что существенно усложняет нанесение конусности. Именно поэтому предусмотрена возможность использования нескольких различных методов отображения подобной информации.
Построение уклона и конусности
Провести построение уклона и конусности достаточно просто, только в некоторых случаях могут возникнуть серьезные проблемы. Среди основных рекомендаций отметим следующее:
- Проще всего отображать нормальные конусности, так как их основные параметры стандартизированы.
- В большинстве случаев вводной информацией при создании конусности становится больший и меньший диаметр, а также промежуточное значение при наличии перепада. Именно поэтому они откладываются первыми с учетом взаимного расположения, после чего проводится соединение. Линия, которая прокладывается между двумя диаметрами и определяет угол наклона.
- С углом наклона при построении возникает все несколько иначе. Как ранее было отмечено, для отображения подобной фигуры требуется построение дополнительных линий, которые могут быть оставлены или убраны. Существенно упростить поставленную задачу можно за счет применения инструментов, которые позволяют определить угол наклона, к примеру, транспортир.
На сегодняшний день, когда компьютеры получили весьма широкое распространение, отображение чертежей также проводится при применении специальных программ. Их преимуществами можно назвать следующее:
- Простоту работы. Программное обеспечение создается для того, чтобы существенно упростить задачу по созданию чертежа. Примером можно назвать отслеживание углов, размеров, возможность зеркального отражения и многое другое. При этом не нужно обладать большим набором различных инструментов, достаточно приобрести требуемую программу и подобрать подходящий компьютер, а также устройство для печати. За счет появления программного обеспечения подобного типа построение конусности и других поверхностей существенно упростилось. Именно поэтому на проведение построений уходит намного меньше времени нежели ранее.
- Высокая точность построения, которая требуется в случае соблюдения масштабов. Компьютер не допускает погрешности, если вся информация вводится точно, то отклонений не будет. Этот момент наиболее актуален в случае создания проектов по изготовлению различных сложных изделий, когда отобразить все основные размеры практически невозможно.
- Отсутствие вероятности допущения ошибки, из-за которой линии будут стерты. Гриф может растираться по поверхности, и созданный чертеж в единственном экземпляре не прослужит в течение длительного периода. В случае использования электронного варианта исполнения вся информация отображается краской, которая после полного высыхания уже больше не реагирует на воздействие окружающей среды.
- Есть возможность провести редактирование на любом этапе проектирования. В некоторых случаях в разрабатываемый чертеж приходится время от времени вносить изменения в связи с выявленными ошибкам и многими другим причинами. В случае применения специального программного обеспечения сделать это можно практически на каждом этапе проектирования.
- Удобство хранения проекта и его передачи. Электронный чертеж не обязательно распечатывать, его можно отправлять в электронном виде, а печать проводится только при необходимости. При этом вся информация может копироваться много раз.
Процедура построения при применении подобных программ характеризуется достаточно большим количеством особенностей, которые нужно учитывать. Основными можно назвать следующее:
- Программа при построении наклонных линий автоматически отображает угол. Проведенные расчеты в этом случае позволяют проводить построение даже в том случае, если нет информации об большом или малом, промежуточном диаметре. Конечно, требуется информация, касающаяся расположения диаметров относительно друг друга.
- Есть возможность использовать дополнительные инструменты, к примеру, привязку для построения нормальной конусности. За счет этого существенно прощается поставленная задача и ускоряется сама процедура. При черчении от руки приходится использовать специальные инструменты для контроля подобных параметров.
- Длина всех линий вводится числовым методом, за счет чего достигается высокая точность. Погрешность может быть допущена исключительно при применении низкокачественного устройства для вывода графической информации.
- Есть возможность провести замер всех показателей при применении соответствующих инструментов.
- Для отображения стандартов используются соответствующие инструменты, которые также существенно упрощают поставленную задачу. Если программа имеет соответствующие настройки, то достаточно выбрать требуемый инструмент и указывать то, какие размеры должны быть отображены. При этом нет необходимости знания стандартов, связанных с отображением стрелок и других линий.
Построение развертки конуса на бумаге
Для выполнения этой задачи понадобится лист бумаги, карандаш, транспортир, линейка и циркуль.
В первую очередь начертим прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Его вращение вокруг катета в 3 см даст искомый конус. У фигуры r = 3 см, h = 4 см, g = 5 см.
Построение развертки начнем с рисования циркулем окружности радиусом r. Ее длина будет равна 6*pi см. Теперь рядом с ней нарисуем еще одну окружность, но уже радиусом g. Ее длина будет соответствовать 10*pi см. Теперь нам нужно от большой окружности отрезать круговой сектор. Его угол φ равен:
φ = 2*pi*r/g = 2*pi*3/5 = 216o.
Теперь откладываем транспортиром этот угол на окружности с радиусом g и проводим два радиуса, которые будут ограничивать круговой сектор.
Таким образом, мы построили развертку конуса с указанными параметрами радиуса, высоты и образующей.
Как сделать конус из картона
Вы узнали, как сделать конус из простой бумаги А4, но, если вам нужна плотная поделка, лучше воспользоваться картоном. Материалы и инструменты остаются теми же, что и в предыдущих поделках. Различие заключается только в оттенке картона, его подбираем исходя из предназначения.
Будущий конус будет достаточно прочным за счет чего, его применение может быть широким. Подобную методику работы мы уже рассмотрели выше, но это изготовление все же отличается.
Плотный конус готов. Если вам нужна не одна геометрическая фигура, а несколько, первый полученный круг, в котором уже вырезана одна четверть, можно использовать в качестве шаблона.
Инструкция изготовления простого конуса
Сделать конус в основе которого лежит бумага очень просто. На всю работу уходит до пяти минут. Достаточно перед работой изготовить верный чертеж и свернуть материал правильным образом.
Простой конус схема
Для первой работы потребуется:
Как сделать конус из бумаги пошагово:
Конус готов. Готовую фигуру можно использовать для разнообразных поделок. А если добавить к нашей фигуре шар, то получится поделка для выставки на геометрическую тематику.
Особенности построения уклона и конусности
Область черчения развивалась на протяжении достаточно длительного периода. Она уже много столетий назад применялась для передачи накопленных знаний и навыков. Сегодня изготовление всех изделия может проводится исключительно при применении чертежей. При этом ему больше всего внимания уделяется при наладке массового производства. За длительный период развития черчения были разработаны стандарты, которые позволяют существенно повысить степень читаемости всей информации. Примером можно назвать ГОСТ 8593-81. Он во многом характеризует конусность и уклон, применяемые методы для их отображения. Начертательная геометрия применяется для изучения современной науки, а также создания различной техники. Кроме этого, были разработаны самые различные таблицы соответствия, которые могут применяться при проведении непосредственных расчетов.
Методы и средства контроля и измерения углов и конусов
- Контроль и измерение углов и конусов выполняется с использованием строгих примерных измерений, тригонометрии и абсолютных методов. К жестким примерным шкалам относятся угловые шкалы (плитки и многогранники), квадраты, узоры и калибр. Измерения угловых призм используются для хранения и переноса единиц измерения плоских углов.
Они используются, чтобы проверить образец и угловой размер различных продуктов. Для градуировки гониометра и прямого измерения. Угловые измерения, предназначенные для проверки гониометров и измерений движения, называются образцами.
В процессе сборки и эксплуатации детали неизбежны сглаживание микротрещин, морщин и износ, что приводит к дополнительным отклонениям в размерах и форме детали. Людмила Фирмаль
Защита углов выполняется по следующим видам ГОСТ 2875-75: I-1 Угловая плитка с одним рабочим углом и обрезанным верхом (рис. 14.1, а). II-угловая плитка с одним рабочим углом — острый угол (рис. 14.1, б); III — угловая плитка с четырьмя рабочими углами Рисунок 14.2. (Рис. 14.1, в); IV-шестиугольная призма с неравномерным угловым шагом. V-многогранная призма с равномерным угловым шагом (8 и 12 граней). Угловые меры создаются в виде набора плиток толщиной 5 мм, так что блок 10-90 состоит из трёх мер.
В зависимости от отклонения фактического значения рабочего угла от номинального значения и отклонения плоскостности измерительной поверхности измерения угла производятся в трёх классах точности (0, 1, 2). В зависимости от точности сертификации угловой точности для плиток первого класса 10 и второго класса 30, примерные измерения углов делятся на четыре категории (1, 2, 3, 4). Предельная погрешность при сертификации рабочего угла не должна превышать измеренное значение первой категории 0,5, а второй 1.
Третий угол 3 дюйма; четвертый угол 6 дюймов собираются в блоки с использованием специальных держателей. Контроль угла по углу. Согласно ГОСТ 3749-77, квадраты генерируют шесть типов (рисунок 14.2). Угол контролируется квадратом и зазором между квадратом и контролируемым Используйте разрез модели, созданный с использованием окончательного измерения длины и линейки.
При использовании больших квадратов зазор оценивается с помощью зонда, используя следующую зависимость для расчёта углового отклонения. Угол на длине 200 мм даёт просвет 1 мкм. Ошибка проверки угла Рисунок 14.3 С помощью квадрата это зависит от ошибки самого квадрата, длины стороны угла, где производится проверка, и других факторов. Триангуляция угла или косвенное измерение приводит к измерению отрезка прямой линии, после которого треугольное соотношение определяет желаемый угол.
- Используется специальное оборудование и измерительные приборы различных конструкций и концевых мер, линейки и контрольные шайбы и шишки. В современной технике часто необходимо контролировать прямые углы с допусками в несколько минут. Не обеспечивает оценку отклонения угла просвета Точно определяет угол наклона и сильно зависит от опыта работы контроллера.
В таких случаях рекомендуется проверять угол, используя косвенный метод, используя квадраты и измерительные ролики с различными диаметрами и Lg порядка сотых долей миллиметра (Рисунок 14.3). Рисунок 14.4 Рисунок 14.6 Ролики монтируются с помощью концевых блоков на определенной высоте L. Критический размер и высота L измерительного ролика рассчитываются в соответствии с максимальным отклонением угла контролируемой детали, указанной на чертеже, да. Измерительный ролик и измерительный шарик также используются для управления внешним (рис. 14.4, а, б) и внутренним (рис. 14.4, в) конусами.
Несопряженная или свободная поверхность-это конструктивно необходимая поверхность, которая не предназначена для соединения с поверхностью других деталей. Людмила Фирмаль
При контроле внешнего конуса сначала измерьте размер 4 по диаметру ролика 3 (рис. 14.4, а). Затем поместите конец 4 измерительного блока того же размера A под валиком и измерьте размер 2 (рис. 14.4, б). Конусность определяется по формуле 2a = (2-4) L (14,1) При измерении внутреннего конуса используются два шарика известного диаметра. Поместите гильзу 1 (Рис.14.4, c) на пластину 2, поместите в нее d-шарик небольшого диаметра и измерьте глубиномер (микрометр или индикатор) размером 4.
Затем поместите шарик большого диаметра O и измерьте размер 2. Конус рукава определяется по формуле 2 (С-4) 2 (1-12) (С-4) 2 51p a = (14-2) Синусоидальная линейка часто используется для измерения углов и конусов (рис. 14.5). Это стальной стол 2, оснащенный двумя цилиндрическими роликами одинакового диаметра. Ролики расположены на строго определенном расстоянии друг от друга, обычно 100 мм или 200 мм между центрами роликов.
Таблица 2 установлена под испытательной пластиной 4. Установите угол, используя конец блока 3. Соотношение между размером L элемента мозаичного изображения и углом синусоидальной линейки определяется из соотношения. 51pa = L b. (14.3) Например, угловое отклонение датчика конической пробки определяется разницей между показаниями прибора 1 в точке 1 и точке 2 и называется расстоянием I между этими точками. Если показания прибора равны в точках a и b, угол конуса по высоте блока L может быть найден. Погрешность измерения синусоиды составляет 3 52, в зависимости от расстояния b и угла измерения.
В абсолютных измерениях угол определяется непосредственно в угловых единицах с помощью гониометра, разделенной головки, микроскопа и другого оборудования. Наиболее распространённым является гониометр Нониуса (рис. 14.6). Они состоят из фиксированной линейки, прикрепленной к полудиску 2, к которой применяется угловое деление от 0 до 120, и подвижной линейки 5, неподвижно соединенной с нониусным сектором 3. Этот гониометр может измерять углы от 0 до 180. Для измерения углов от 0 до 90 съемный квадрат 6 приккреплён к подвижной линейке 5 с помощью зажима 4.
Как найти образующую конуса обычного и усеченного. Формулы
Пространственные фигуры подробно рассматриваются в старших классах общеобразовательных школ в курсе стереометрии. Данная статья содержит ответ на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого и образующую соответствующей усеченной фигуры.
Фигура конус
Чтобы понять, как найти образующую конуса, следует дать представление об этой фигуре. Круглым прямым конусом называют фигуру вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рисунок ниже демонстрирует процесс вращения.
Вам будет интересно:Развивающая функция обучения: цель, основные принципы
Полученная пространственная фигура имеет следующие характеристики:
Заметим, что высота фигуры пересекает круглое основание в его центре. Это является достаточным условием, чтобы считать конус прямым.
Образующая конуса
Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:
g = √(r2 + h2)
Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:
g = h/sin(φ);
g = r/cos(φ)
Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.
Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.
Фигура конус усеченный
Он также является фигурой вращения, только вместо прямоугольного треугольника следует вращать прямоугольную трапецию. На рисунке ниже показан усеченный конус.
Здесь синие стрелки показывают прямоугольную трапецию. Длина вертикальной стрелки является высотой h фигуры, длины двух других синих стрелок — это радиусы оснований конуса. В отличие от цилиндра, основания усеченного конуса имеют разную площадь. Обозначим их радиусы r1 и r2. Четвертая наклонная к основанию сторона трапеции является образующей или генератрисой. Как и для обычного конуса, для усеченного все генератрисы равны друг другу и образуют боковую поверхность фигуры.
Заметим, что усеченный конус получил такое название потому, что его можно получить не только вращением трапеции, но и с помощью отсечения плоскостью верхней части круглого прямого конуса.
Генератриса усеченной фигуры
Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r1-r2 (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:
g = √((r1 — r2)2 + h2)
Соответственно, если дан острый угол φ1 между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:
g = h/sin(φ1);
g = (r1 — r2)/cos(φ1)
Если же известен тупой угол φ2 между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:
g = h/sin(φ2);
g = (r2 — r1)/cos(φ2)
Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ1, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.
Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.
Автор:
06-12-2018 23:50
Жду ваши вопросы и мнения в комментариях
Из огромного перечня математических заданий часто встречаются задачи, связанные с темой «Конус». На уроках геометрии школьники должны усвоить основные понятия и названия всех элементов этой фигуры и понять, как и по каким формулам производится расчет нужных параметров.
О данной геометрической фигуре пойдёт речь в сегодняшней статье.
Определение и элементы конуса
Под конусом понимают тело, состоящее из круга и точки, которая удалена от его поверхности на определённое расстояние.
При этом точка соединяется с основанием посредством проведения лучей, которые называются образующими. Линия, соединяющая центр круга с удалённой точкой, является высотой данной фигуры.
Обратите внимание! Также существует такое понятие, как ось конуса. Это линия, проходящая через его центр и совпадающая с высотой. Образующие строятся относительно оси.
Хотелось бы рассмотреть ещё несколько понятий по этой теме:
1. Под конусностью понимают отношение диаметра основания фигуры и её высоты:
Важно! Конусность отвечает за угол наклона образующих. Чем больше данный параметр, тем острее угол.
2. Осевое сечение предполагает наличие плоскости, которая будет рассекать фигуру, проходя через ось:
3. Касательная— это плоскость, которая соприкасается с образующей конуса. При этом важно, чтобы она была перпендикулярна осевому сечению.
Свойства кругового конуса
Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:
-
Образующие кругового конуса равны друг другу.
-
Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.
-
Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу. Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.
Интересный факт! Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, то получится конус. При этом важно, чтобы угол вращения был не менее 360 градусов.
Общая формула объёма фигуры
Чтобы найти объём кругового конуса, необходимо умножить число Пи на его высоту, на радиус в квадрате и всё это произведение поделить на три:
Дополнительная информация! Чтобы узнать объём фигуры, нужно умножить площадь её основы на высоту и поделить на три:
Объём усечённого конуса
Это часть прямого конуса, которая находится в пространстве между основой и плоскостью, параллельной этому основанию. В общем виде выглядит следующим образом:
Объём данного тела можно вычислить по формуле:
Важно! S и S1 это площади соответствующих основ, которые равняются ПR2 и ПR12 При нахождении этих значений поможет онлайн калькулятор.
Площадь поверхности фигуры
Для вычисления данного параметра потребуется знать площадь боковой поверхности. Она равняется произведению числа π, радиуса и длины образующей.
Чтобы рассчитать площадь всей поверхности, нужно сложить площади его основы и боковой поверхности.
Площадь усечённого конуса
Для нахождения данного параметра нужно воспользоваться формулами:
-
площади боковой поверхности усечённого конуса Sбок;
-
полной площади усечённой фигуры Sпол, которая равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:
Здесь l — длина образующей, а R и r — радиусы большего и меньшего оснований соответственно.
Уравнение конуса
Часто требуется при решении математических задач. Записывается в следующем виде:
где x0, y0,z0— координаты по соответствующим осям.
Таким образом, в данной статье были представлены основные сведения, которые могут понадобиться при решении задач на тему «Конус».
Содержание
- Определение и элементы конуса
- Основные сведения
- Виды конусов
- Свойства кругового конуса
- Общая формула объёма фигуры
- Расчет объема
- Объём усечённого конуса
- Первый способ вычисления объема усеченного конуса
- Второй способ вычисления объема усеченного конуса
- Объем наклонного конуса
- Площадь поверхности фигуры
- Формула образующей конуса
- Формула площади боковой поверхности конуса
- Формула площади основания конуса
- Сечение конуса
- Площадь сечения
- Площадь усечённого конуса
- Уравнение конуса
- Составляющие конуса
- Длина образующих в прямом конусе
- Образующая в наклонном конусе
- Примеры задач
Определение и элементы конуса
Под конусом понимают тело, состоящее из круга и точки, которая удалена от его поверхности на определённое расстояние.
При этом точка соединяется с основанием посредством проведения лучей, которые называются образующими. Линия, соединяющая центр круга с удалённой точкой, является высотой данной фигуры.
Обратите внимание! Также существует такое понятие, как ось конуса. Это линия, проходящая через его центр и совпадающая с высотой. Образующие строятся относительно оси.
Хотелось бы рассмотреть ещё несколько понятий по этой теме:
- Под конусностью понимают отношение диаметра основания фигуры и её высоты:
Конусность отвечает за угол наклона образующих. Чем больше данный параметр, тем острее угол.
- Осевое сечение предполагает наличие плоскости, которая будет рассекать фигуру, проходя через ось:
- Касательная— это плоскость, которая соприкасается с образующей конуса. При этом важно, чтобы она была перпендикулярна осевому сечению.
Основные сведения
- R – радиус круга, являющегося основанием конуса. Центр круга – точка D, диаметр – отрезок AB.
- h (CD) – высота конуса, одновременно являющаяся осью фигуры и катетом прямоугольных треугольников ACD или BCD.
- Точка C – вершина конуса.
- l (CA, CB, CL и CM) – образующие конуса; это отрезки, соединяющие вершину конуса с точками на окружности его основания.
- Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник ABC, который образуется в результате пересечения конуса плоскостью проходящей через его ось.
- Поверхность конуса – состоит из его боковой поверхности и основания. Формулы для расчета площади поверхности, а также объема прямого кругового конуса представлены в отдельных публикациях.
Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):
l2 = h2 + R2
Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.
- длина дуги сектора равняется длине окружности основания конуса (т.е. 2πR);
- α – угол развёртки (или центральный угол);
- l – радиус сектора.
Виды конусов
- Прямой конус – имеет симметричное основание. Ортогональная проекция вершины данной фигуры на плоскость основания совпадает с центром этого основания.
- Косой (наклонный) конус – ортогональная проекция вершины фигуры на ее основание не совпадает с центром этого основания.
- Усеченный конус (конический слой) – часть конуса, которая остается между его основанием и секущей плоскостью, параллельной данному основанию.
- Круговой конус – основанием фигуры является круг. Также бывают: эллиптический, параболический и гиперболический конусы.
- Равносторонний конус – прямой конус, образующая которого равняется диаметру его основания.
Свойства кругового конуса
Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:
- Образующие кругового конуса равны друг другу.
- Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.
- Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу. Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.
Интересный факт! Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, то получится конус. При этом важно, чтобы угол вращения был не менее 360 градусов.
Общая формула объёма фигуры
Чтобы найти объём кругового конуса, необходимо умножить число Пи на его высоту, на радиус в квадрате и всё это произведение поделить на три:
Дополнительная информация! Чтобы узнать объём фигуры, нужно умножить площадь её основы на высоту и поделить на три:
Расчет объема
Формула объема любого конуса выглядит следующим образом:
V = 1/3 * π * h * r2
где
- V – это объем конуса;
- h – высота;
- r – радиус;
- π — константа, равная 3,14.
Для того чтобы рассчитать обьем конуса, необходимо иметь данные о высоте и радиусе основания тела.
Для расчета высоты тела необходимо знать радиус основания и длину его образующей. Поскольку радиус, высота и образующая объединяются в прямоугольный треугольник, то высоту можно рассчитать по формуле из теоремы Пифагора (a2+ b2= c2 или в нашем случае h2+ r2= l2, где l – образующая). Высота при этом будет рассчитываться путем извлечения квадратного корня из разности квадратов гипотенузы и другого катета:
a = √c2- b2
То есть высота конуса будет равна величине, полученной после извлечения квадратного корня из разности квадрата длины образующей и квадрата радиуса основания:
h = √l2 — r2
Рассчитав таким методом высоту и зная радиус его основания, можно вычислить объем конуса. Образующая при этом играет важную роль, так как служит вспомогательным элементом в расчетах.
Аналогичным образом, если известна высота тела и длина его образующей, можно узнать радиус его основания, извлекая квадратный корень из разности квадрата образующей и квадрата высоты:
r = √l2 — h2
После чего по той же формуле, что указана выше, рассчитать объем конуса.
Объём усечённого конуса
Это часть прямого конуса, которая находится в пространстве между основой и плоскостью, параллельной этому основанию. В общем виде выглядит следующим образом:
Объём данного тела можно вычислить по формуле:
Важно! S и S1 это площади соответствующих основ, которые равняются ПR2 и ПR12 При нахождении этих значений поможет онлайн калькулятор.
Первый способ вычисления объема усеченного конуса
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
[ LARGE V = frac{1}{3} left( Hcdot S_2 + h cdot s_1 right) ]
где:
- V – объем конуса
- h – расстояния от плоскости верхнего основания до вершины
- H – расстояния от плоскости нижнего основания до вершины
- S1 – площадь верхнего (ближнего к вершине) основания
- S2 – площадь нижнего основания
Второй способ вычисления объема усеченного конуса
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
[ LARGE V = frac{1}{3} pi h left( R^2 + R cdot r + r^2 right) ]
где:
- V – объем конуса
- h – высота конуса
- R – радиус нижнего основания
- r – радиус верхнего основания
Объем наклонного конуса
Так как формула объема конуса одинакова для всех видов тела вращения, отличие в его расчете составляет поиск высоты.
Для того чтобы узнать высоту наклонного конуса, вводные данные должны включать длину образующей, радиус основания и расстояние между центром основания и местом пересечения высоты тела с плоскостью его основания. Зная это, можно с легкостью рассчитать ту часть диаметра основания, которая будет являться основанием прямоугольного треугольника (образованного высотой, образующей и плоскостью основания). После чего, снова используя теорему Пифагора, произвести расчет высоты конуса, а впоследствии и его объема.
Площадь поверхности фигуры
Для вычисления данного параметра потребуется знать площадь боковой поверхности. Она равняется произведению числа π, радиуса и длины образующей.
Чтобы рассчитать площадь всей поверхности, нужно сложить площади его основы и боковой поверхности.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
L = √H2 + R2
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Sбок.пов = πRL
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Sосн = πR2
Сечение конуса
Осевым сечением конуса называется плоскость, проходящая по его оси либо высоте. В прямом конусе такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высотой треугольника является высота тела, его сторонами выступают образующие, а основание – это диаметр основания. В равностороннем геометрическом теле осевое сечение является равносторонним треугольником, так как в этом конусе диаметр основания и образующие равны.
Плоскость осевого сечения в прямом конусе является плоскостью его симметрии. Причиной этому служит то, что его вершина находится над центром его основания, то есть плоскость осевого сечения делит конус на две одинаковые части.
Так как в наклонном объемном теле высота и ось не совпадают, плоскость осевого сечения может не включать в себя высоту. Если осевых сечений в таком конусе можно построить множество, так как для этого необходимо соблюдать лишь одно условие — оно должно проходить только через ось, то осевое сечение плоскости, которому будет принадлежать высота этого конуса, можно провести лишь одно, потому что количество условий увеличивается, а, как известно, две прямые (вместе) могут принадлежать только одной плоскости.
Площадь сечения
Упомянутое ранее осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Исходя из этого, его площадь можно рассчитать по формуле площади треугольника:
S = 1/2 * d * h или S = 1/2 * 2r * h
где
- S – это площадь сечения;
- d – диаметр основания;
- r – радиус;
- h – высота.
В косом, или наклонном конусе сечение по оси также является треугольником, поэтому в нем площадь сечения рассчитывается аналогично.
Площадь усечённого конуса
Для нахождения данного параметра нужно воспользоваться формулами:
- площади боковой поверхности усечённого конуса Sбок;
- полной площади усечённой фигуры Sпол, которая равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:
Здесь l — длина образующей, а R и r — радиусы большего и меньшего оснований соответственно.
Уравнение конуса
Часто требуется при решении математических задач. Записывается в следующем виде:
где x0, y0,z0- координаты по соответствующим осям.
Таким образом, в данной статье были представлены основные сведения, которые могут понадобиться при решении задач на тему «Конус».
Составляющие конуса
Различают следующие виды конусов: косой (или наклонный) и прямой. Косым называется тот, ось которого пересекается с центром его основания не под прямым углом. По этой причине высота в таком конусе не совпадает с осью, так как она является отрезком, который опущен из вершины тела на плоскость его основания под углом 90°.
Тот конус, ось которого расположена перпендикулярно к его основанию, называется прямым. Ось и высота в таком геометрическом теле совпадают по причине того, что вершина в нем расположена над центром диаметра основания.
Конус состоит из следующих элементов:
- Круга, являющегося его основанием.
- Боковой поверхности.
- Точки, не лежащей в плоскости основания, называющейся вершиной конуса.
- Отрезков, которые соединяют точки круга основания геометрического тела и его вершину.
Все эти отрезки являются образующими конуса. Они наклонные к основанию геометрического тела, и в случае прямого конуса их проекции равны, так как вершина равноотдалена от точек круга основания. Таким образом, можно сделать вывод, что в правильном (прямом) конусе образующие равны, то есть имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы с осью (или высотой) и основанием.
Так как в косом (или наклонном) теле вращения вершина смещена по отношению к центру плоскости основания, образующие в таком теле имеют разную длину и проекцию, поскольку каждая из них находится на разном расстоянии от двух любых точек круга основания. Кроме того, углы между ними и высотой конуса также будут отличаться.
Длина образующих в прямом конусе
Как написано ранее, высота в прямом геометрическом теле вращения перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, образующая, высота и радиус основания создают в конусе прямоугольный треугольник.
То есть, зная радиус основания и высоту, при помощи формулы из теоремы Пифагора, можно вычислить длину образующей, которая будет равна сумме квадратов радиуса основания и высоты:
l2 = r2+ h2 или l = √r2 + h2
где
- l – образующая;
- r – радиус;
- h – высота.
Образующая в наклонном конусе
Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.
Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.
Имея эти данные, можно рассчитать часть радиуса, лежащую между осью и высотой, по формуле из теоремы Пифагора:
r1= √k2 — h2
где
- r1 – это часть радиуса между осью и высотой;
- k – длина оси;
- h – высота.
В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r1), можно узнать полную сторону прямоугольного треугольника, сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:
R = r + r1
где
- R – катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;
- r – радиус основания;
- r1 – часть радиуса между осью и высотой.
Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:
l = √h2+ R2
или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:
l = √h2 + (r + r1)2.
Несмотря на то, прямой или косой конус и какие вводные данные, все способы нахождения длины образующей всегда сводятся к одному итогу — использованию теоремы Пифагора.
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см2, а также, высота – 9 см.
Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:
Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 4 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:
