Как найти образ точки при параллельном переносе

Содержание:

Геометрические преобразования:

В этой лекции вы узнаете, что такое преобразование фигуры. Ознакомитесь с такими видами преобразований, как параллельный перенос, центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, гомотетия, подобие.

Вы научитесь применять свойства преобразований при решении задач и доказательстве теорем.

Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос

Пример:

На рисунке 17.1 изображены отрезок

Мы указали правило, с помощью которого каждой точке отрезка поставлена в соответствие единственная точка отрезка В этом случае говорят, что отрезок получен в результате преобразования отрезка

Пример:

На рисунке 17.2 изображены полуокружность и прямая параллельная диаметру Каждой точке полуокружности поставим в соответствие точку прямой а так, чтобы прямая была перпендикулярна прямой Понятно, что все такие точки образуют отрезок В этом случае говорят, что отрезок получен в результате преобразования полуокружности

Пример:

Пусть даны некоторая фигура и вектор (рис. 17.3). Каждой точке фигуры поставим в соответствие точку такую, что В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 17.3). Такое преобразование фигуры называют параллельным переносом на вектор

Обобщим приведенные примеры.

Пусть задана некоторая фигура Каждой точке фигуры поставим в соответствие (сопоставим) по определенному правилу некоторую точку. Все полученные сопоставленные точки образуют фигуру Говорят, что фигура получена в результате преобразования фигуры При этом фигуру называют образом фигуры а фигуру — прообразом фигуры

Так, в примере 1 отрезок является образом отрезка Точка является образом точки Отрезок — это прообраз отрезка

Обратим внимание на то, что в примере 3 фигура равна своему образу Преобразования, описанные в примерах 1 и 2, таким свойством не обладают.

Какими же свойствами должно обладать преобразование, чтобы образ и прообраз были равными фигурами? Оказывается, что достаточно лишь одного свойства: преобразование должно сохранять расстояние между точками, то есть если — произвольные точки фигуры а точки — их образы, то должно выполняться равенство

Что такое преобразование фигур

Определение. Преобразование фигуры сохраняющее расстояние между точками, называют движением (перемещением) фигуры

Если каждой точке фигуры поставлена в соответствие эта же точка то такое преобразование фигуры называют тождественным. При тождественном преобразовании образом фигуры является сама фигура . Очевидно, что тождественное преобразование является движением.

Мы давно используем понятие «равенство фигур», хотя не давали ему строгого определения.

На то, что движение связано с равенством фигур, указывают следующие свойства движения.

Если преобразование является движением, то:

• образом прямой является прямая,
• образом отрезка является отрезок, равный данному;
• образом угла является угол, равный данному,
• образом треугольника является треугольник, равный данному.

Доказательство этих свойств выходит за рамки рассматриваемого курса геометрии.

Свойства движения подсказывают следующее определение.

Определение. Две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой.

Запись означает, что фигуры равны.

Если существует движение, при котором фигура является образом фигуры то обязательно существует движение, при котором фигура является образом фигуры Такие движения называют взаимно обратными.

Замечание. Ранее равными фигурами мы называли такие фигуры, которые совпадали при наложении. Термин «наложение» интуитивно понятен, и в нашем представлении он связывается с наложением реальных тел. Но геометрические фигуры нельзя наложить в буквальном смысле этого слова. Теперь наложение фигуры на фигуру можно рассматривать как движение фигуры при котором ее образом будет фигура

Термин «движение» также ассоциируется с определенным физическим действием: изменением положения тела без деформации.

Именно с этим связано появление этого термина в математике. Однако в геометрии предметом исследования является не процесс, происходящий во времени, а лишь свойства фигуры и ее образа.

То, что изображенные на рисунке 17.3 фигуры равны, понятно из наглядных соображений. Строгое обоснование этого факта дает следующая теорема.

Теорема 17.1 (свойство параллельного переноса). Параллельный перенос является движением.

Доказательство: Пусть — произвольные точки фигуры (рис. 17.4), точки — их соответствующие образы при параллельном переносе на вектор Докажем, что

Имеем: Векторы и имеют координаты Следовательно, координатами точек и являются соответственно пары чисел

Найдем расстояние между точками

Найдем расстояние между точками

Следовательно, мы показали, что то есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.

Следствие. Если фигура — образ фигуры при параллельном переносе, то

Это свойство используется при создании рисунков на тканях, обоях, покрытиях для пола и т. п. (рис. 17.5).

Если фигура является образом фигуры при параллельном переносе на вектор то фигура является образом фигуры при параллельном переносе на вектор (рис. 17.6).

Параллельные переносы на векторы являются взаимно обратными движениями.

Пример №1

Каждой точке фигуры ставится в соответствие точка — заданные числа. Докажите, что такое преобразование фигуры является параллельным переносом на вектор

Решение:

Рассмотрим вектор Заметим, что координаты вектора равны то есть Следовательно, описанное преобразование фигуры — параллельный перенос на вектор

Пример №2

Точка является образом точки при параллельном переносе на вектор Найдите координаты вектора и координаты образа точки

Решение:

Из условия следует, что Отсюда

Пусть — образ точки Тогда то есть Отсюда

Ответ:

Пример №3

Даны угол и прямая не параллельная ни одной из сторон этого угла (рис. 17.7). Постройте прямую параллельную прямой так, чтобы стороны угла отсекали на ней отрезок заданной длины

Решение:

Рассмотрим вектор такой, что и (рис. 17.8). Построим луч являющийся образом луча при параллельном переносе на вектор Обозначим точку пересечения лучей буквой Пусть — прообраз точки при рассматриваемом параллельном переносе. Тогда

Приведенные рассуждения подсказывают следующий алгоритм построения:

1. найти образ луча при параллельном переносе на вектор
2. отметить точку пересечения луча с построенным образом;
3. через найденную точку провести прямую параллельную прямой Прямая будет искомой.

Осевая симметрия

Определение. Точки называют симметричными относительно прямой если прямая является серединным перпендикуляром отрезка (рис. 18.1). Если точка принадлежит прямой то ее считают симметричной самой себе относительно прямой

Например, точки у которых ординаты равны, а абсциссы — противоположные числа, симметричны относительно оси ординат (рис. 18.2).

Рассмотрим фигуру и прямую Каждой точке фигуры поставим в соответствие симметричную ей относительно прямой точку

В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 18.3). Такое преобразование фигуры называют осевой симметрией относительно прямой Прямую называют осью симметрии. Говорят, что фигуры симметричны относительно прямой

Теорема 18.1 (свойство осевой симметрии). Осевая симметрия является движением.

Доказательство: Выберем систему координат так, чтобы ось симметрии совпала с осью ординат. Пусть и — произвольные точки фигуры Тогда точки и — их соответствующие образы при осевой симметрии относительно оси ординат. Имеем:

Мы получили, что то есть осевая симметрия сохраняет расстояние между точками. Следовательно, осевая симметрия является движением.

Следствие. Если фигуры симметричны относительно прямой, то

Определение. Фигуру называют симметричной относительно прямой если для каждой точки данной фигуры точка, симметричная ей относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

Прямую называют осью симметрии фигуры. Также говорят, что фигура имеет ось симметрии.

Приведем примеры фигур, имеющих ось симметрии. На рисунке 18.4 изображен равнобедренный треугольник. Прямая, содержащая его высоту, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника.

Любой угол имеет ось симметрии — это пря-Рис. 18.5 мая, содержащая его биссектрису (рис. 18.5).

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. 18.6). Две оси симметрии имеет отрезок: это его серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок (рис. 18.7).

Квадрат имеет четыре оси симметрии (рис. 18.8).

Существуют фигуры, имеющие бесконечно много осей симметрии, например окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии (рис. 18.9).

Бесконечно много осей симметрии имеет и прямая: сама прямая и любая прямая, ей перпендикулярная, являются ее осями симметрии.

Пример №4

Начертили неравнобедренный треугольник Провели прямую содержащую биссектрису угла Потом рисунок стерли, оставив только точки и прямую Восстановите треугольник

Решение:

Поскольку прямая является осью симметрии угла то точка — образ точки при симметрии относительно прямой — принадлежит лучу Тогда пересечением прямых и является вершина искомого треугольника (рис. 18.10).

Эти соображения подсказывают, как построить искомый треугольник: строим точку симметричную точке относительно прямой Находим вершину как точку пересечения прямых и

Пример №5

Точка принадлежит острому углу (рис. 18.11). На сторонах угла найдите такие точки чтобы периметр треугольника был наименьшим.

Решение:

Пусть точки — образы точки при симметриях относительно прямых соответственно (рис. 18.12), а прямая пересекает стороны в точках соответственно. Докажем, что точки — искомые.

Заметим, что отрезки симметричны относительно прямой Следовательно, Аналогично Тогда периметр треугольника равен длине отрезка

Покажем, что построенный треугольник имеет наименьший периметр из возможных.

Рассмотрим треугольник где — произвольные точки соответственно лучей причем точка не совпадает с точкой или точка не совпадает с точкой

Понятно, что

Тогда периметр треугольника равен сумме Однако

Центральная симметрия. Поворот

Определение. Точки называют симметричными относительно точки если точка является серединой отрезка (рис. 19.1). Точку считают симметричной самой себе.

Например, точки у которых как абсциссы, так и ординаты — противоположные числа, симметричны относительно начала координат (рис. 19.2).

Рассмотрим фигуру и точку Каждой точке фигуры поставим в соответствие симметричную ей относительно точки точку В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 19.3). Такое преобразование фигуры называют центральной симметрией относительно точки Точку называют центром симметрии. Также говорят, что фигуры симметричны относительно точки

Теорема 19.1 (свойство центральной симметрии). Центральная симметрия является движением.

Доказательство: Выберем систему координат так, чтобы центр симметрии совпал с началом координат. Пусть и — произвольные точки фигуры Точки и — соответственно их образы при центральной симметрии относительно начала координат. Имеем:

Мы получили, что то есть центральная симметрия сохраняет расстояние между точками. Следовательно, центральная симметрия является движением.

Следствие. Если фигуры симметричны относительно точки, то

Определение. Фигуру называют симметричной относительно точки если для каждой точки данной фигуры точка, симметричная ей относительно точки также принадлежит этой фигуре.

Точку называют центром симметрии фигуры. Также говорят, что фигура имеет центр симметрии.

Приведем примеры фигур, имеющих центр симметрии.

Центром симметрии отрезка является его середина (рис. 19.4).

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии (рис. 19.5).

Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии. Например, каждая точка прямой является ее центром симметрии.

Также бесконечно много центров симметрии имеет фигура, состоящая из двух параллельных прямых. Любая точка прямой, равноудаленной от двух данных, является центром симметрии рассматриваемой фигуры (рис. 19.6).

Пример №6

Докажите, что образом данной прямой при симметрии относительно точки не принадлежащей прямой является прямая, параллельная данной.

Решение:

Поскольку центральная симметрия — это движение, то образом прямой будет прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые ее точки.

Выберем на прямой произвольные точки (рис. 19.7). Пусть точки — их образы при центральной симметрии относительно точки Тогда прямая — образ прямой

Поскольку углы равны как вертикальные, то треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда (рис. 19.7). Следовательно, по признаку параллельных прямых

Пример №7

Точка принадлежит углу (рис. 19.8). На сторонах угла постройте такие точки чтобы точка была серединой отрезка

Решение:

Пусть прямая — образ прямой при центральной симметрии относительно точки (рис. 19.9). Обозначим буквой точку пересечения прямых

Найдем прообраз точки Очевидно, что он лежит на прямой Поэтому достаточно найти точку пересечения прямых

Обозначим эту точку буквой Тогда — искомые точки.

Изучая окружающий мир, мы часто видим примеры проявления симметрии в природе (рис. 19.10). Объекты, имеющие ось или центр симметрии, легко воспринимаются и радуют взгляд. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота».

Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре и технике (рис. 19.11).

На рисунке 19.12 изображены точки такие, что

Говорят, что точка является образом точки при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол

Так же говорят, что точка — это образ точки при повороте вокруг центра по часовой стрелке на угол

Точку называют центром поворота, угол — углом поворота.

Рассмотрим фигуру точку и угол Каждой точке фигуры поставим в соответствие точку являющуюся образом точки при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол (если точка принадлежит фигуре то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 19.13). Такое преобразование фигуры называют поворотом вокруг центра против часовой стрелки на угол Точку называют центром поворота.

Аналогично определяют преобразование поворота фигуры по часовой стрелке на угол (рис. 19.14).

Заметим, что центральная симметрия является поворотом вокруг центра симметрии на угол

Теорема 19.2 (свойство поворота). Поворот является движением.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Следствие. Если фигура — образ фигуры при повороте, то

Пример №8

Даны прямая и точка вне ее. Постройте образ прямой при повороте вокруг точки против часовой стрелки на угол

Решение:

Поскольку поворот — это движение, то образом прямой будет прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые ее точки. Выберем на прямой произвольные точки (рис. 19.15). Построим точки — их образы при повороте вокруг точки против часовой стрелки на угол Тогда прямая — образ прямой

Пример №9

Точка принадлежит углу но не принадлежит его сторонам. Постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого является точкой а две другие принадлежат сторонам

Решение:

Пусть прямая — образ прямой при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол (рис. 19.16). Обозначим буквой точку пересечения прямых и

Пусть точка — прообраз точки при рассматриваемом повороте. Точка принадлежит стороне угла

Эти соображения подсказывают, как построить искомый треугольник.

Строим прямую как образ прямой при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол Пусть — точка пересечения прямых

Строим угол равный Пусть прямые пересекаются в точке Эта точка и является прообразом точки

Имеем: Следовательно, треугольник равносторонний.

Подобие фигур

На рисунке 20.1 изображены точки такие, что Говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом 2.

На рисунке 20.2 изображены точки такие, что Говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом

Вообще, если точки таковы, что то говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом

Точку называют центром гомотетии, число — коэффициентом гомотетии,

Рассмотрим фигуру и точку Каждой точке фигуры поставим в соответствие точку являющуюся образом точки при гомотетии с центром и коэффициентом (если точка принадлежит фигуре то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 20.3). Такое преобразование фигуры называют гомотетией с центром и коэффициентом Также говорят, что фигура гомотетична фигуре с центром и коэффициентом

Например, на рисунке 20.4 треугольник гомотетичен треугольнику с центром и коэффициентом, равным -3.

можно сказать, что треугольник гомотетичен треугольнику с тем же центром, но коэффициентом гомотетии, равным

Отметим, что при гомотетия с центром является центральной симметрией с центром (рис. 20.5). Если то гомотетия является тождественным преобразованием.

Очевидно, что при гомотетия не является движением.

Теорема 20.1. При гомотетии фигуры с коэффициентом все расстояния между ее точками изменяются в раз, то есть если — произвольные точки фигуры а точки и — их соответствующие образы при гомотетии с коэффициентом то

Доказательство: Пусть точка — центр гомотетии. Тогда Имеем:

Следствие. Если треугольник гомотетичен треугольнику с коэффициентом гомотетии

Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться теоремой 20.1 и третьим признаком подобия треугольников.

Гомотетия обладает целым рядом других свойств.

При гомотетии:

Эти свойства вы можете доказать на занятиях математического кружка.

Перечисленные свойства гомотетии указывают на то, что это преобразование может изменить размеры фигуры, но не меняет ее форму, то есть при гомотетии образ и прообраз являются подобными фигурами. Заметим, что в курсе геометрии 8 класса, говоря о подобии фигур, мы давали определение только подобных треугольников. Сейчас определим понятие подобия для произвольных фигур.

На рисунке 20.6 фигура гомотетична фигуре а фигура симметрична фигуре относительно прямой

Говорят, что фигура получена из фигуры в результате композиции двух преобразований: гомотетии и осевой симметрии.

Поскольку то фигуры имеют одинаковые формы, но разные размеры, то есть они подобны. Говорят, что фигура получена из фигуры в результате преобразования подобия.

На рисунке 20.7 фигура гомотетична фигуре а фигура — образ фигуры при некотором движении. Здесь также можно утверждать, что фигуры подобны.

Из сказанного следует, что целесообразно принять такое определение.

Определение. Две фигуры называют подобными, если одну из них можно получить из другой в результате композиции двух преобразований: гомотетии и движения.

Это определение иллюстрирует схема, изображенная на рисунке 20.8.

Запись означает, что фигуры подобны. Также говорят, что фигура — образ фигуры при преобразовании подобия.

Из приведенного определения следует, что при преобразовании подобия фигуры расстояния между ее точками изменяются в одно и то же количество раз.

Так как тождественное преобразование является движением, то из схемы, изображенной на рисунке 20.8, следует, что гомотетия — частный случай преобразования подобия.

Пусть — произвольные точки фигуры а точки — их образы при преобразовании подобия. Точки принадлежат фигуре которая подобна фигуре Число называют коэффициентом подобия. Говорят, что фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия а фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия

Заметим, что преобразование подобия с коэффициентом является движением. Отсюда следует, что движение — частный случай преобразования подобия.

С преобразованием подобия мы часто встречаемся в повседневной жизни (рис. 20.9). Например, в результате изменения масштаба карты получаем карту, подобную данной. Фотография — это преобразование негатива в подобное изображение на фотобумаге. Перенося в свою тетрадь рисунок, сделанный учителем на доске, вы также выполняете преобразование подобия. Теорема 20.2. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки рассматриваемого курса геометрии. Мы докажем ее для частного случая, рассмотрев подобные треугольники.

Доказательство: Пусть треугольник — образ треугольника при преобразовании подобия с коэффициентом (рис. 20.10). Сторона — образ стороны Тогда Проведем высоту Пусть точка — образ точки

Поскольку при преобразовании подобия сохраняются углы, то отрезок — высота треугольника

Тогда Имеем:

Пример №10

Докажите, что образом прямой при гомотетии с центром не принадлежащим прямой является прямая, параллельная данной.

Решение:

Из свойств гомотетии следует, что образом прямой будет прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые ее точки. Выберем на прямой произвольные точки (рис. 20.11). Пусть точки — их образы при гомотетии с центром и коэффициентом (рисунок 20.11 соответствует случаю, когда Тогда прямая — образ прямой

При доказательстве теоремы 20.1 мы показали, что Следовательно,

Пример №11

В остроугольный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали соответственно на сторонах и а две другие — на стороне

Решение:

Из произвольной точки стороны опустим перпендикуляр на сторону (рис. 20.12). Построим квадрат так, чтобы точка лежала на луче Пусть луч пересекает сторону в точке

Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом Тогда точка образ точки при этой гомотетии. Образом отрезка является отрезок где точка принадлежит лучу причем Аналогично отрезок такой, что точка принадлежит лучу является образом отрезка Следовательно, отрезки — соседние стороны искомого квадрата. Для завершения построения осталось опустить перпендикуляр на сторону

Пример №12

Отрезок — высота прямоугольного треугольника Найдите радиус вписанной окружности треугольника если радиусы окружностей, вписанных в треугольники соответственно равны

Решение:

Поскольку угол — общий для прямоугольных треугольников то эти треугольники подобны (рис. 20.13). Пусть коэффициент подобия равен Очевидно, что Аналогично с коэффициентом подобия

Обозначим площади треугольников соответственно и Имеем:

Отсюда Получаем, что

Ответ:

Применение преобразований фигур при решении задач

Преобразование фигур — эффективный метод решения целого ряда геометрических задач. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример №13

На сторонах остроугольного треугольника постройте такие точки соответственно, чтобы периметр треугольника был наименьшим.

Решение:

Пусть — произвольная точка стороны треугольника точки — ее образы при симметрии относительно прямых соответственно (рис. 20.34). Прямая пересекает стороны соответственно в точках Из решения задачи 2 п. 18 следует, что из периметров всех треугольников, для которых точка фиксирована, а точки принадлежат сторонам периметр треугольника является наименьшим. Этот периметр равен длине отрезка

Заметим, что отрезок — средняя линия треугольника

Тогда

Поскольку то точки лежат на одной окружности с диаметром Отсюда Следовательно, длина отрезка будет наименьшей при наименьшей длине отрезка то есть тогда, когда — высота треугольника

На рисунке 20.35 отрезок — высота треугольника Алгоритм построения точек понятен из рисунка.

Из построения следует, что периметр любого другого треугольника, вершины которого лежат на сторонах треугольника больше периметра треугольника Поэтому искомый треугольник является единственным — это построенный треугольник

Можно показать (сделайте это самостоятельно), что точки и являются основаниями высот, проведенных соответственно из вершин треугольника

Следовательно, вершины искомого треугольника — это основания высот данного треугольника Такой треугольник называют ортоцентрическим.

Пример №14

Точка — центр правильного угольника (рис. 20.36). Докажите, что

Решение:

Пусть Рассмотрим поворот с центром на угол например, против часовой стрелки. При таком преобразовании образом данного -угольника будет этот же угольник. Следовательно, искомая сумма не изменится. А это возможно лишь тогда, когда

Пример №15

Внутри треугольника все углы которого меньше найдите такую точку чтобы сумма была наименьшей.

Решение:

Пусть — произвольная точка данного треугольника (рис. 20.37). Рассмотрим поворот с центром на угол по часовой стрелке. Пусть точки — образы точек соответственно (рис. 20.37). Поскольку поворот является движением, то Очевидно, что треугольник равносторонний. Тогда

Имеем:

Понятно, что сумма будет наименьшей, если точки лежат на одной прямой. Поскольку то это условие будет выполнено тогда, когда

Так как угол — образ угла при указанном повороте, то должно выполняться равенство

Итак, точки будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда Отсюда

Таким образом, сумма будет наименьшей, если

Найти точку можно, например, построив ГМТ, из которых отрезки видны под углами (рис. 20.38).

Понятно, что если один из углов треугольника не меньше то точка пересечения построенных дуг не будет расположена внутри треугольника. Можно показать, что в треугольнике с углом, не меньшим точка сумма расстояний от которой до вершин треугольника является наименьшей, совпадает с вершиной тупого угла.

Пример №16

Отрезки — высоты остроугольного треугольника Докажите, что радиус описанной окружности треугольника в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника

Решение:

Пусть прямые пересекают описанную окружность треугольника соответственно в точках (рис. 20.39). Докажем, что где точка — ортоцентр треугольника

Имеем:

Углы 2 и 3 равны как вписанные, опирающиеся на дугу Следовательно,

Тогда в треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, а следовательно, и медианой. Отсюда

Аналогично можно доказать, что

Теперь понятно, что треугольник гомотетичен треугольнику с центром и коэффициентом 2. Тогда радиус описанной окружности треугольника в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника Осталось заметить, что треугольники вписаны в одну и ту же окружность. 

Если при параллельном переносе одна точка переходит в другую точку, какую информацию можно получить из этих данных, если координаты обеих точек известны?

Параллельный перенос, при котором точка A (x;y) переходит в точку

A1 (x1; y1), задаётся формулами:

1) При параллельном переносе точка A (-2;7) переходит в точку B (4;-3). Найти формулы параллельного переноса.

Решение:

Чтобы найти числа a и b в формулах параллельного переноса, подставим в них координаты точек A и B:

x=-2, y=7; x1=4, y1=-3:

Отсюда a=6, b= -4. Следовательно, формулы параллельного переноса

2) При параллельном переносе точка A (-9; 4) переходит в точку B (2; -2). В какую точку при этом параллельном переносе переходит точка C (0; 7)?

Решение:

Сначала найдём формулы параллельного переноса, который переводит точку A в точку B. Для этого в формулы подставим координаты точек A и B:

Отсюда a=11, b=-6. Значит, данный параллельный перенос задаётся формулами

Чтобы найти, в какую точку переходит C, подставим её координаты x=0, y=7 в формулы параллельного переноса и найдём x1и y1:

Таким образом, точка C переходит в точку (11; 1).

Ответ: (11; 1).

3) Найти координаты точки, являющейся образом точки A (-8; 5) при параллельном переносе на вектор

Решение:

x=-8; y=5; a1=3; a2=4:

Ответ: (5;9).

Сегодня на уроке мы вспомним, какое отображение
плоскости на себя мы называли параллельным переносом, введём понятие
параллельного переноса в пространстве. Проверим, будет ли параллельный перенос
движением пространства.

Вернёмся в планиметрию и вспомним, что параллельным
переносом мы называли преобразование, при котором каждая точка фигуры
перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Мы
говорили, что для того, чтобы задать перенос достаточно задать вектор.

Другими словами, параллельным переносом на
вектор  называется
отображение плоскости на себя, при котором каждая точка  отображается
в такую точку ,
что вектор  равен
вектору .

То, что параллельный перенос является примером
движения плоскости, мы уже доказывали. Давайте вспомним это доказательство.

Пусть при параллельном переносе на вектор  точки
 и
 отображаются
в точки  и
.
Так как векторы  и
,
то значит, эти векторы равны между собой .
То есть они параллельны  и
их длины равны, поэтому четырёхугольник  –
параллелограмм. Следовательно, ,
то есть расстояние между точками  и
 равно
расстоянию между точками  и
.

Случай, когда точки  и
 лежат
на прямой параллельной вектору ,
вы можете рассмотреть самостоятельно. Но и в этом случае расстояние между
точками  и
 будет
равно расстоянию между точками  и
.

Таким образом, параллельный перенос сохраняет
расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это
движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного
вектора  на
его длину.

В планиметрии мы говорили, что параллельный перенос
обладает некоторыми свойствами.

Свойства параллельного переноса:

·              
При
параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок.

·              
Угол
переходит в равный ему угол.

·              
Окружность
переходит в равную ей окружность.

·              
Любой
многоугольник переходит в равный ему многоугольник.

·              
Параллельные
прямые переходят в параллельные прямые.

·              
Перпендикулярные
прямые переходят в перпендикулярные прямые.

Теперь давайте определим, что мы будем понимать под
параллельным переносом в пространстве.

Определение:

Параллельным переносом на вектор  называется
такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит
в такую точку  что
.

Проверим, будет ли параллельный перенос в
пространстве примером движения пространства.

При параллельном переносе точки пространства  и
 переходят
в такие точки  и
,
что вектора  и
.

Сложим по правилу треугольника векторы

Поскольку левые части равенств равны, значит, равны
и правые части равенств.

Значит, можно записать, что .

Заменим вектора  и
 на
вектор .
Получим, что .
Отсюда получаем, что вектор .
Поскольку векторы равны, значит, равны и их длины, то есть .
То есть расстояние между точками при параллельном переносе в пространстве
сохраняется, значит, параллельный перенос в пространстве также является
движением, но уже не плоскости, а пространства.

Сформулируем свойства параллельного переноса.

Свойства параллельного переноса:

·                  
Параллельный
перенос является примером движения пространства.

·                  
При
параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на
одно и то же расстояние.

·                  
При
параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или сама в себя).

·                  
Каковы
бы не были две точки  и
,
существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка  переходит
в точку .

·                  
При
параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя,
либо в параллельную ей плоскость.

Движение в пространстве обладает теми же свойствами,
что и движение плоскости.

Свойства движения пространства:

·                  
Движение
сохраняет расстояние между точками.

·                  
При
любом движении пространства отрезок отображается на отрезок, прямая – в прямую,
плоскость – в плоскость.

Решим несколько задач.

Задача:
начертить отрезок  и
вектор .
Построить отрезок ,
который получится из отрезка параллельным
переносом на вектор .

Решение:
для того, чтобы построить отрезок ,
отобразим точку  в
точку ,
точку  в
точку  с
помощью параллельного переноса. Тогда соединив точки ,
 мы
получим отрезок .

Задача:
начертить треугольник  и
вектор .
Построить треугольник ,
который получится из треугольникa
параллельным
переносом на вектор .

Решение:
отобразим с помощью параллельного переноса точки ,
,
 в
точки ,
,.
Соединив полученные точки, мы получим искомый треугольник .

Задача:
начертить пятиугольник  и
вектор .
Построить пятиугольник ,
который получится из пятиугольника параллельным
переносом на вектор .

Решение:
решать эту задачу будем аналогично тому, как мы решали предыдущую задачу.
Отобразим каждую вершину пятиугольника с помощью параллельного переноса на
вектор .
Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник .

Итоги:

Сегодня на уроке мы вспомнили, что мы понимали под
параллельным переносом в планиметрии. Ввели понятие параллельного переноса в пространстве.
Сформулировали основные свойства параллельного переноса, движения пространства.

Образ точки на векторе

Пусть — вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки M пространства является такая точка M ′ , что вектор ′ равен вектору : ′ = (рис. 23).

Можно доказать, что точка M имеет при данном отображении единственный образ — точку М ′ , а для точки М ′ существует единственный прообраз — точка М .

Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор .

Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M ′ , что выполняется векторное равенство: ′ = .

Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор называют вектором переноса. Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то пишут: М ′ = ( М ) или ( M ) = M ′ .

Из определения следует, что параллельный перенос задаётся либо вектором, либо парой соответствующих точек ( М, М ′ ) .

Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то ′ = (рис. 24). Тогда = – . Значит, точка М ′ отображается на точку M переносом на вектор – , т. е. преобразование, обратное переносу на вектор , есть перенос на вектор – .

Перенос на нулевой вектор является тождественным преобразованием: ( М ) = М для любой точки М пространства.

5.2. Параллельный перенос в координатах

Пусть в прямоугольной системе координат Охyz задан вектор ( a ; b ; с ) . Найдём зависимость между координатами точки М ( x ; y ; z ) и её образа M ′ ( х ′ ; y ′ ; z ′ ) при переносе на вектор .

Так как M ′ = ( М ) , то ′ = (рис. 25). Вектор ′ имеет координаты: ′ ( x ′ – x ; y ′ – y ; z ′ – z ). Тогда векторное равенство ′ = равносильно системе трёх равенств x ′ – х = a, y ′ – у = b, z ′ – z = с, откуда

(1)

Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор ( a ; b ; c ) .

Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение . Пусть: A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и C ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) — данные точки; A ′ ( ; ; ), C ′ ( ; ; ) — их образы при переносе на вектор ( a ; b ; с ). На основании (1) имеем

= x 1 + a, = y 1 + b, = z 1 + c,
= x 2 + a, = y 2 + b, = z 2 + c . (2)

Расстояние между точками А и C равно

.

Найдём расстояние между точками А ′ и C ′ .

Учитывая (2), получаем

| A ′ C ′ | = =
= = | AC| .

Таким образом, при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется. Значит, параллельный перенос есть движение.

5.3. Свойства параллельного переноса

Можно доказать, что параллельный перенос отображает :

— прямую на параллельную ей прямую либо на себя;

— луч на сонаправленный с ним луч;

— вектор на равный ему вектор (на себя);

— плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.

Докажем, например, что параллельный перенос отображает плоскость на параллельную ей плоскость или на себя.

Действительно, параллельный перенос — движение, поэтому он отображает плоскость α на некоторую плоскость α′ . Докажем, что α′ || α или α′ совпадает с α .

На плоскости α выберем две пересекающиеся прямые a и b ; a ∩ b = O.

Пусть ( a ) = a ′ , ( b ) = b ′ (рис. 26). Тогда a || a ′ , b || b ′ .

Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a ′ и b ′ в такой точке O ′ , что O ′ = ( О ). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать. ▼

Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях при параллельном переносе.

Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.

Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая прямая, параллельная вектору ; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор .

Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая плоскость, параллельная вектору ; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .

Параллельный перенос, отображая любой вектор на себя, не меняет ориентацию пространства, следовательно, является движением первого рода.

Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами и . Её обычно обозначают не ∘ , а + .

Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор точку М отображает на такую точку М ′ , что ′ = (рис. 27). Последующий перенос на вектор точку М ′ отображает на такую точку M ″ , что ″ = . По правилу сложения векторов имеем ″ = ′ + ″ = + . Это означает, что ( + )( M ) = M ″ , т. e. перенoc на вектор ( + ) точку М отображает на точку М ″ .

Таким образом, композиция переносов на векторы и есть перенос на вектор + .

Так как + = + , то композиция переносов обладает свойством коммутативности: ( + )( M ) = ( + )( М ).

5 .4. Скользящая симметрия

Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии S α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис. 28).

Отметим ряд характерных свойств скользящей симметрии:

— скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);

— скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;

— любая прямая плоскости α , параллельная вектору переноса, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой из них индуцируется параллельный перенос;

— неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор ) , а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α , а вектором переноса — вектор );

— скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;

— преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором , является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором – .

Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z B ∘ Z A = 2 . Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.

1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.

Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.

Формулы параллельного переноса

Если при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)

то параллельный перенос задаётся формулами:

Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.

2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:

Свойства параллельного переноса

1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).

2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.

В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.

Геометрия для новичков. Часть 1: координаты и векторы — теория

Внимание! Этот документ ещё не опубликован.

О чем данная статья

В данной статье дается теоретическое описание векторов, координат векторов и операций над ними.

На кого рассчитана статья

Прежде чем читать эту статью, нужно знать:

• что такое прямоугольная система координат и координаты точки на плоскости
• что такое теорема Пифагора

Введение

Зачем нужны координаты точек в играх

В любой игре положение игрового объекта задается координатами какой-либо точки, привязанной к этому объекту, т.е. эта точка перемещается вместе с объектом. Например, мы можем задать координаты объектов в «Супер Марио» следующим образом:

На этом рисунке крупные черные точки — это точки, привязанные к игровым объектам. Координаты этих точек мы и будем считать координатами игровых объектов.
Итак, на этом рисунке:

• координаты Марио равны (-0.5, -2)
• координаты улитки равны (3, -2)
• координаты кубика равны (4, 1)

Пример координат вектора

Я намеренно не написал конкретные значения для координат точек – пусть они будут произвольными.

Зададим себе вопрос «Как нужно изменить начальные координаты Марио, что получить конечные?» Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно найти пару чисел (x, y), таких, чтобы:

Ax + x = Bx
Ay + y = By

Решая эти 2 уравнения, получаем:

x = Bx — Ax
y = By — Ay

Пара (x, y) в нашей задаче является координатами вектора перемещения Марио. Но это — лишь конкретный пример координат вектора. Что такое вектор и что такое его координаты в общем случае? Сейчас узнаем.

Векторы

Что такое направленный отрезок

Стрелка показывает, что А – начало отрезка, а B – конец.

Что такое вектор

Что у этих отрезков общего? Хм, пожалуй 2 вещи:

• Направление
• Длина

Так вот, вектор – это как раз и есть совокупность направления и длины.
Направленный отрезок – не вектор, который мы изучаем в геометрии. Направленный отрезок задает, или как еще говорят, представляет вектор. Но это — не вектор.
В нашем примере направленный отрезок представляет вектор . Разницу в черточках наверху заметили? Еще часто вектор обозначают 1 буквой, например:

Примечание: о тонкостях приведенного мной определения — в конце статьи.

Равенство векторов

Если задуматься, все направленные отрезки одинаковой длины, которые лежат на параллельных прямых и указывают в одну сторону, имеют одинаковое направление и длину. Следовательно, все эти направленные отрезки представляют один и тот же вектор. Из этого следует определение равенства 2 векторов:

Два вектора и , представленные направленными отрезками и называются равными, если:

Из данного определения следует, что при параллельном переносе произвольный направленный отрезок продолжает представлять тот же вектор, что он представлял до переноса. Это свойство активно используется для операций над векторами.

Длина вектора

Коллинеарные векторы

На рисунке любая пара из векторов , , является коллинеарными векторами

Если отрезки, представляющие коллинеарные векторы, имеют одинаковое направления, то векторы называют сонаправленными:

Пишут:
Если отрезки, представляющие коллинеарные векторы, имеют противоположное направления, то векторы, представленные данными отрезками, называют противоположно направленными:

Пишут:

Нулевой вектор

Единичные векторы

=1

Обратный вектор

Арифметические операции над векторами

1. Вектор можно умножать на число. Вектор , умноженный на число, записывается как k*. Вектор будет сонаправлен (противоположно направлен) с вектором , если k — положительное (отрицательное) число. Вектор k* будет иметь длину |k|*||:

|k*| = |k|*||
k* , если k>0
k* , если k 0, такое, что:
|k * |=1

Т.е. в результате нормализации мы получаем единичный вектор, сонаправленный с исходным вектором
Важно: нулевой вектор НЕЛЬЗЯ нормализовать, так как для любого числа k:

|k*| = |k|*|| = k * 0 = 0

Итак, как же найти это число k?
Распишем |k * | по определению:

|k * | = |k| * || = k * || = 1

Здесь мы убрали с k знак модуля, так как по определению k > 0.
Итак:

k * || = 1

Из этого следует, что:

k = 1 / ||

Т.е. чтобы нормализовать произвольный ненулевой вектор, нам нужно разделить вектор на его длину.

Координаты вектора

Вроде бы из примера, приведенного в начале статьи, все понятно: координаты вектора — разность координат конца и начала направленного отрезка, представляющего вектор.

Но это не так. Действительно, значения координат вектора численно равны этой разности. Но определение координат вектора в корне отличается от определения координат точки.

Разложение вектора по 2 неколлинеарным векторам

В геометрии доказывается следующий факт.

Ecли мы возьмем 2 неколлинеарных вектора и ,
то для каждого вектора можно подобрать 2 числа k и s, для которых выполняется равенство:

= k* + s*

Теперь возьмем в качестве таких неколлинеарных векторов и следующие векторы:

Векторы и называют координатными векторами.

Определение координат вектора

= x* + y*

то пара чисел (x, y) будет называться координатами вектора .
Часто пишут:

= (x, y)

Эта запись означает, что вектор имеет координаты x и y.

Арифметические операции над координатами векторов

— = (-ax, -ay)

Координаты вектора, умноженного на число, равны координатам исходного вектора, умноженными на это число:

k* = (k*ax, k*ay)

Пусть у нас есть 2 произвольных вектора =(ax, ay) и =(bx, by). Тогда:

1. кoординаты суммы 2 векторов равны сумме x- и y-координат векторов:
   + = (ax + bx, ay + by)
2. как следствие из предыдущих свойств, координаты разности 2 векторов равны разности координат этих векторов:
   — = (ax — bx, ay — by)

Т.е. арифметика для координат векторов – такая же, как и для обычных чисел, только все считается покоординатно.

Радиус-вектор

Можно доказать, что численные значения координат точки совпадают со значения координат ее радиус-вектора. Здесь примем это как факт:
=(Ax, Ay)
где (Ax, Ay) — координаты точки A

Связь между координатами вектора и координатами концов отрезка

если – направленный отрезок, представляющий вектор , то значения координат вектора (x, y) вычисляются по формуле:

(x, y) = (Bx — Ax, By — Ay)

где (Ax, Ay), (Bx, By) — координаты точек А и B соответственно.

Докажем это.
Мы можем записать простое равенство для произвольного вектора :

= —

Заметим, что и — радиус векторы.
Из равенства значений координат точки и радиус-вектора и предыдущей формулы следует, что:

(x, y) = (Bx — Ax, By — Ay)

Нахождение длины вектора по его координатам

Пусть у нас есть вектор , представленный отрезком . Координаты вектора равны (x, y).
Чтобы найти длину вектора через его координаты, воспользуемся теоремой Пифагора и равенством:

= +

По теореме Пифагора:

AC = || = |x|,
СB = || = |y|

то в итоге получаем равенство:

Заключение

Применению векторов в реальных задачах игровой разработки будет посвящена следующая моя статья. В ней практически не будет математики и будет много программирования.

Здесь же я описал то, что будет необходимо для понимания практических приемов использования векторов.
Если не иметь представления, как связаны координаты точек и координаты векторов, очень сложно понять, как работают алгоритмы определения расстояний от точки до геометрической фигуры, алгоритмы обнаружения столкновений и т.д.

Так что не жалейте, если вы (о ужас!) кое-что запомнили из «всей этой математики». Все это вам пригодится очень скоро, обещаю.

Литература

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. «Геометрия», 7-9 классы»
Главы: «Векторы», «Метод координат».

PS: корректность определения вектора в статье

Вся хитрость в том, что существует несколько определений вектора даже в рамках геометрии.

Направленный отрезок – тоже вектор, так называемый фиксированный вектор. Но нужно учитывать один важный факт – 2 фиксированных вектора равны тогда и только тогда, когда их концы и начала совпадают. А это не то определение равенства 2 векторов, что дает учебник геометрии.

Определение вектора, данное в этой статье – определение так называемого свободного вектора.
Каждый свободный вектор – это множество фиксированных векторов, которые имеют равную длину и одинаковое направление.

Именно это определение учебник геометрии и пытается дать в неявном виде, когда вводит понятие равенства векторов. Но здесь возникает нестыковка – учебник объясняет, как работать со свободными векторами, изначально дав определение фиксированного вектора.

Надеюсь, вышесказанное объясняет, почему я привел в данной статье «свое» определение вектора.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Движения
5. Параллельный перенос

Советуем посмотреть:

Отображение плоскости на себя

Понятие движения

Наложения и движения

Поворот

Движения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1162,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1163,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1164,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1165,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1178,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1179,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1182,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1301,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник