Как найти область определения функции со степенью

Синонимы: область допустимых значений или сокращенно ОДЗ. Первое, с чем Вы сталкиваетесь при изучении различных функций или же при построении графиков — это область определения функции. Определение: Областью определения называется множество значений, которые может принимать x. Обозначение  D(f). Как же это правило применить к заданной Вам функции?

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные «сложные» функции — это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция — ограничение на знаменатель.

2. Корень четной степени — ограничение на подкоренное выражение.

3. Логарифмы — ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) — ограничение на аргумент.

Для тангенса:

Для котангенса: 

4. Обратные тригонометрические функции. 

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени: 

y = 2x + 3 —  уравнение задает прямую на плоскости.

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:  

y = 10/(x + 5) —  уравнение гиперболы

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

 

Пример нахождения области определения функции №4

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени в знаменателе:

  

Пример нахождения области определения функции №5

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем нечетной степени:

 

Пример нахождения области определения функции №6

Рассмотрим пример нахождения области определения логарифма: 

 

 

Пример нахождения области определения функции №7

Задана функция вида: 

 

 

Пример нахождения области определения функции №8

Рассмотрим следующий пример: 

 

Пример нахождения области определения функции №9

Рассмотрим следующий пример: 

 

Пример нахождения области определения функции №10

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Пример нахождения области определения функции №11

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Пример нахождения области определения функции №12

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

 

Пример нахождения области определения функции №13

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY.

Все графике в этой статье были построены в Geogebra. 

Подробно о построении графиков функции быстрым и удобным способом читать тут

Содержание:

Корень n-й степени и его свойства

Определение:

Квадратным корнем из числа a называется такое число b, квадрат которого равен a. Если

Арифметический корень — неотрицательное значение корня. При

Корнем степени из числа называется такое число степень которого равна Если — корень степени из числа

Область допустимых значений (ОДЗ) квадратного корня:

существует только при

Корень степени

существует только при

существует при любых значениях

Свойства корня n-й степени:

нечетное число

четное число

Для произвольных значений

3) При

4) При

5) При

Следствия:

При — вынесение множителя из под знака корня

При — внесение множителя под знак корня

6)

7) При — основное свойство корня

Значение корня из степени неотрицательного числа не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число.

При

4. Запись решений уравнения

— нечетное

При любых значениях уравнение имеет единственный корень

— четное

При уравнение не имеет корней.

При все корни уравнения можно записать так:

Примеры:

Объяснение и обоснование:

Определение корня n-й степени

Понятие корня квадратного из числа вам известно: это такое число, квадрат которого равен Аналогично определяется и корень степени из числа — произвольное натуральное число, большее 1.

Корнем степени из числа называется такое число, степень которого равна

Например, корень третьей степени из числа 27 равен 3, поскольку корень третьей степени из числа (-27) равен (-3), поскольку Числа 2 и (-2) являются корнями четвертой степени из 16, поскольку и

При корни степени называют также соответственно квадратным и кубическим корнями.

Как и для квадратного корня, для корня степени вводится понятие арифметического корня.

Арифметическим корнем степени из числа называется неотрицательное число, степень которого равна

При для арифметического значения корня степени из числа существует специальное обозначение: где число называют показателем корня, а само число — подкоренным выражением. Знак и выражение называют также радикалом.

Например, то, что корень третьей степени из числа 27 равен 3, записывается так: то, что корень четвертой степени из 16 равен 2, записывается так: Но для записи того, что корень четвертой степени из 16 равен (-2), обозначения нет.

При значение корня степени из числа существует только при нечетных значениях (поскольку не существует такого действительного числа, четная степень которого будет отрицательным числом). В этом случае корень нечетной степени из числа также обозначается Например, то, что корень третьей степени из числа (-27) равен (-3), записывается так: Поскольку (-3) — отрицательное число, то не является арифметическим значением корня. Но корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметическое значение корня с помощью формулы

Чтобы доказать приведенную формулу, заметим, что по определению корня степени это равенство будет верным, если Действительно, а это и означает, что

Например,

Отметим, что значение имеет тот же знак, что и число поскольку при возведении в нечетную степень знак числа не меняется.

По определению корня с степени можно также записать, что в том случае, когда существует значение л/а, выполняется равенство

и, в частности при

Область допустимых значений выражений с корнями n-й степени. Корни уравнения Заметим, что значение корня нечетной степени из числа при любых значениях

Обоснуем это, например, для корня третьей степени. Обозначим Тогда по определению корня степени и значение будет существовать, если уравнение будет иметь решение.

Изобразив графики функций (рис. 106), увидим, что при любых значениях прямая пересекает график функции в одной точке. Таким образом, при любом значении существует единственное значение (поскольку функция возрастает и принимает все значения от

Аналогичное обоснование можно привести и для других корней нечетной степени (см. графики и свойства функций вида ).

Приведенные рассуждения позволяют записать решение уравнения для нечетных значений при любых значениях уравнение имеет единственный корень

Например, уравнение имеет единственный корень а уравнение — единственный корень (учитывая, что корень уравнения можно записать так:

Значение корня четной степени из числа — существует только при

Действительно, в этом случае, когда по определению корня степени Таким образом,

Для квадратного корня это также можно обосновать, используя известный график функции

Пусть тогда по определению корня степени и значение будет существовать, если уравнение будет иметь решение.

Изобразив графики функций (рис. 107), видим, что прямая пересекает график функции только при (причем, при — в двух точках: а при — только в одной точке Таким образом, при любых значениях существует значение поскольку функция принимает все значения из промежутка

Рассмотрим решения уравнения для четных значений Уравнение не имеет корней, поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным (на рисунке 107 прямая не пересекает график функции Так же и уравнение не имеет корней (поскольку четная степень любого числа не может быть отрицательной).

При уравнение имеет единственный корень (поскольку четная степень любого отличного от нуля числа — число положительное, то есть не равное нулю, а

При по определению корня степени Следовательно, —корень уравнения поэтому — также корень уравнения Других корней это уравнение не имеет, поскольку свойства функции аналогичны свойствам функции при функция возрастает, таким образом, значение она может принимать только при одном значении аргумента Аналогично при функция убывает, поэтому значение она может принимать только при одном значении аргумента Таким образом, уравнение имеет только два корня

Например, уравнение не имеет корней, а уравнение имеет корни

Свойства корня n-й степени

Свойства корня степени можно обосновать, опираясь на определение корня степени.

1) Формула была обоснована на с. 264.

Обоснуем другие формулы, приведенные в таблице 42.

Напомним, что по определению корня степени для доказательства равенства достаточно проверить равенство

2) Выражение рассмотрим отдельно при (нечетное) и при (четное).

Если — нечетное, то учитываем, что выражение существует при любых значениях и то, что знак совпадает со знаком Тогда по определению корня степени получаем

Если — четное, то учитываем, что выражение обозначает арифметическое значение корня степени (таким образом, и что Тогда

3) Формулу

обоснуем, рассматривая ее справа налево. Поскольку

то по определению

4) Справедливость формулы

следует из равенства

5) Для обоснования формулы

используем равенство

6) Для обоснования формулы

используем равенство

7) Основное свойство корня

следует из равенства

Например, (показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделили на натуральное число 3).

С помощью формулы можно получить важные следствия: формулы вынесения множителя из-под знака корня или внесения множителя под знак корня.

Действительно, при Рассматривая полученную формулу слева направо, имеем формулу вынесения неотрицательного множителя из-под знака корня а справа налево — формулу внесения неотрицательного множителя под знак корня

Например,

Отметим еще одно свойство корней степени:

для любых неотрицательных чисел

Докажем это методом от противного. Допустим, что Тогда при возведении обеих частей последнего неравенства с неотрицательными членами в степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство Это противоречит условию Таким образом, наше предположение неверно, и

Например, учитывая, что получаем Поскольку

имеем

Обобщение свойств корня n-й степени

Основная часть формул, которые выражают свойства корней степени, обоснована для неотрицательных значений подкоренных выражений. Но иногда приходится выполнять преобразования выражений с корнями степени и в том случае, когда таких ограничений нет: например, извлекать корень квадратный (или в общем случае корень четной степени) из произведения отрицательных чисел Тогда существует, но формулой

воспользоваться нельзя: она обоснована только для неотрицательных значений Но в случае имеем и теперь и Следовательно, для извлечения корня из произведения можно применить формулу (1).

Тогда при можем записать:

Отметим, что полученная формула справедлива и при поскольку в этом случае Таким образом,

Аналогично можно обобщить свойство 6:

Следует отметить, что в тех случаях, когда обоснование основных формул можно повторить и для отрицательных значений такими формулами можно пользоваться для любых (из ОДЗ левой части формулы).

Например, для корней нечетной степени для любых значений

Действительно, выражения, стоящие в левой и правой частях этой формулы, существуют при любых значениях выполняется равенство

Тогда по определению корня степени выполняется и равенство (2).

Например, при любых значениях

Но некоторые формулы не удается использовать для любых значений Например, если мы по основному свойству корня запишем, что (показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделили на натуральное число 2), то полученное равенство не является тождеством, поскольку при (левая и правая часть этого равенства определены при всех значениях имеем — неверное равенство.

Таким образом, при делении показателя корня и показателя степени подкоренного выражения на четное натуральное число необходимо обобщить основное свойство корня. Для этого достаточно заметить, что и теперь основание степени подкоренного выражения а значит можно применить основную формулу (свойство 7):

В общем случае, если при использовании основного свойства корня приходится делить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на четное натуральное число, то в результате основание степени подкоренного выражения приходится брать по модулю, то есть

Аналогично можно обосновать и другие примеры использования основных свойств корней при любых значениях (из ОДЗ левой части формулы), которые приведены в таблице 43.

Замечание. Под термином «переход», который использован в таблице 43, следует понимать переход в соответствующей формуле от корня степени к корню степени.

Если оба четные, то такой переход коротко охарактеризован как «переход четная —» четная» (вида

Если оба нечетные, то в таблице записано, что выполнен «переход нечетная —» нечетная» (вида

Если — нечетное число, а — четное число, то в таблице указано, что выполнен «переход нечетная—» четная» (вида

Таким образом, если по условию задания на преобразование выражений с корнями степени (иррациональных выражений) известно, что все буквы (которые входят в запись данного выражения) неотрицательные, то для преобразования этого выражения можно пользоваться основными формулами, а если такого условия нет, то приходится анализировать ОДЗ данного выражения и только после этого принимать решение, какими формулами пользоваться — основными или обобщенными.

Пример №1

Найдите значение выражения:

Решение:

1. поскольку
2. поскольку
3. поскольку

Комментарий:

Используем определение корня степени. Запись означает,

Пример №2

Найдите значение выражения:

Комментарий:

Используем свойства корня степени и учтем, что каждую формулу, которая выражает эти свойства, можно применять как слева направо, так и справа налево. Например, для решения задания 1 воспользуемся формулой а для решения задания 2 применим эту же формулу справа налево, то есть:

Решение:

1)

2)

Пример №3

Сравните числа:

Решение:

1) = Так как то то есть

2) Поскольку то есть

Комментарий:

Для сравнения данных чисел в каждом задании достаточно привести все корни к одному показателю корня и учесть, что для любых неотрицательных чисел если то

Пример №4

Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит корня степени:

Комментарий:

В задании 1 учтем, что таким образом, после умножения числителя и знаменателя данной дроби на знаменатель можно будет записать без знака радикала. В задании 2 достаточно числитель и знаменатель данной дроби умножить на разность (чтобы получить в знаменателе формулу разности квадратов).

Но выполнение аналогичного преобразования в задании 3 связано с определенными проблемами. ОДЗ выражения (следовательно, все тождественные преобразования необходимо выполнять для всех значений Умножим числитель и знаменатель данной дроби на выражение

По основному свойству дроби это можно сделать при то есть при Но значение принадлежит ОДЗ исходного выражения, поэтому выбранный нами способ решения приведет к сужению его ОДЗ.

Действительно, если записать, что то это равенство не является тождеством, поскольку не выполняется для из ОДЗ исходного выражения.

В этом случае, чтобы не допустить ошибок, можно пользоваться таким ориентиром: если для тождественных преобразований (или для решения уравнений и неравенств) приходится применять преобразования (или формулы), приводящие к сужению ОДЗ исходного выражения, то значения, на которые сужается ОДЗ данного выражения, следует рассмотреть отдельно.

Решение:

3) Обозначим Тогда при получаем

При имеем

Ответ: при

(то есть ответ не может быть записан однозначно).

Пример №5

Упростите выражение:

Решение:

1 способ

2 способ

Обозначим где Тогда и Таким образом,

2)

Комментарий:

В задании 1 ОДЗ данного выражения: Для неотрицательных значений мы имеем право пользоваться всеми основными формулами преобразования корней(как слева направо, так и справа налево).

При можно записать: Тогда числитель данной дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов.

Для того чтобы выделить в числителе разность квадратов, можно также выполнить замену

В задании 2 по условию поэтому мы имеем право воспользоваться основными формулами преобразования корней. Тогда

В задании 3 ОДЗ данного выражения: Но при мы можем пользоваться всеми основными формулами преобразования корней (как в задании 2), а при придется применить обобщенную формулу и учесть, что при получаем Тогда можно записать: Аналогично при можно записать Также следует иметь в виду, что при получаем

Записывая ответ, необходимо учесть, что не принадлежит ОДЗ данного выражения.

Пример №6

Упростите выражение

Комментарий:

В условии не сказано о том, что значения неотрицательные, поэтому придется сначала определить ОДЗ данного выражения.

Выражение существует при любых значениях а и является неотрицательным. Выражение также существует и неотрицательно при любых значениях Таким образом, при любых значениях под знаком квадратного корня будет находиться неотрицательное выражение То есть заданное выражение существует при любых значениях и его преобразование необходимо выполнить на всей ОДЗ.

Преобразование данного выражения возможно несколькими способами, например:

1. сначала рассмотреть корень квадратный из произведения, а потом воспользоваться формулой корня из корня и основным свойством корня;
2. сначала внести выражение под знак кубического корня, а затем также применить формулу корня из корня и основное свойство корня. Выполняя преобразования каждым из этих способов, учитываем, что при любых значения (а значит, для этих выражений можно пользоваться основными формулами). Далее при использовании основного свойства корня приходится делить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на четное натуральное число 2, поэтому в результате основание степени подкоренного выражения берем по модулю (поскольку

Иррациональные уравнения

Понятие иррационального уравнения:

Уравнения, в которых переменная находится под знаком корня, называются иррациональными. При решении заданное иррациональное уравнение чаще всего сводят к рациональному уравнению с помощью некоторых преобразований.

Решение иррациональных уравнений:

1. С помощью возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получаем уравнение, равносильное заданному (на его ОДЗ).

Пример №7

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 9

Пример №8

Решите уравнение

Решение:

Проверка. При имеем: неверное равенство, следовательно, — посторонний корень. При имеем верное равенство, следовательно, — корень заданного уравнения.

Ответ: 3.

2. С помощью замены переменных

Если в уравнение переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №9

Решите уравнение

Решение:

Обозначим Тогда

Получаем уравнение: Выполняем обратную замену: откуда

Ответ: 1; –8.

Объяснение и обоснование:

Иррациональными уравнениями называют такие уравнения, в которых переменная находится под знаком корня. Например, иррациональные уравнения.

Чаще всего решение иррациональных уравнений основывается на приведении данного уравнения с помощью некоторых преобразований к рациональному уравнению. Как правило, это достигается с помощью возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень (часто несколько раз).

Следует учитывать, что возведении обеих частей уравнения в нечетную степень всегда получаем у равнение, равносильное заданному (на его ОДЗ).

Например, уравнение равносильно уравнению то есть уравнению Отсюда

Для обоснования равносильности уравнений (1) и (2) достаточно обратить внимание на то, что равенства могут быть верными только одновременно, поскольку функция является возрастающей (на рисунке 108 приведен ее график) и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента Следовательно, все корни уравнения (1) (которые обращают это уравнение в верное равенство) будут корнями и уравнения (2), и наоборот, все корни уравнения (2) будут корнями уравнения (1). А это и означает, что уравнения (1) и (2) являются равносильными. Аналогично можно обосновать равносильность соответствующих уравнений и в случае возведения обеих частей уравнения в одну и ту же произвольную нечетную степень.

Если для решения иррационального уравнения обе части возвести в четную степень, то получаем уравнение-следствие — когда все корни первого уравнения будут корнями второго, но второе уравнение может иметь корни, которые не удовлетворяют данному уравнению. Такие корни называют по- сторонними для данного уравнения. Чтобы выяснить, являются ли полученные числа корнями данного уравнения, выполняют проверку полученных решений.

Например, для решения уравнения возведем обе его части в квадрат и получим уравнение

Учитывая, что имеем то есть

Отсюда

Выполняем проверку. При уравнение (3) обращается в верное равенство Значит, является корнем уравнения (3).

При получаем неверное равенство Следовательно, — посторонний корень уравнения (3). То есть в ответ надо записать только

Появление постороннего корня связано с тем, что равенство можно получить при возведении в квадрат обеих частей равенства или равенства Таким образом, выполнение равенства еще не гарантирует выполнение равенства То есть корни уравнения (4) не обязательно являются корнями уравнения (3) (но, конечно, каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), поскольку при выполнении равенства обязательно выполняется и равенство

Примеры решения задач:

Пример №10

Решите уравнение

Решение:

Проверка: — корень

— посторонний корень.

Ответ: 1

Комментарий:

Изолируем один корень и возведем обе части уравнения в квадрат — так мы избавимся от одного из корней.

Затем снова изолируем корень и снова возведем обе части уравнения в квадрат — получим квадратное уравнение.

Поскольку при возведении в квадрат можно получить посторонние корни, то в конце выполним проверку полученных решений.

Пример №11

Решите уравнение

Решение:

Пусть

Получаем

Тогда

Отсюда

— удовлетворяет условию

— не удовлетворяет условию

Обратная замена дает:

Ответ:

Комментарий:

Если в данное уравнение переменная входит в одном и том же виде то удобно это выражение с переменной обозначить одной буквой — новой переменной

Если зафиксировать ограничение (арифметическое значение и в знаменателе не может стоять 0), то в результате замены и приведения полученного уравнения к квадратному будут выполняться равносильные преобразования данного уравнения.

Можно было не фиксировать ограничение но тогда в результате преобразований получаем уравнения-следствия, и найденные решения придется проверять.

Пример №12

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда

Получаем систему

Из первого уравнения находим подставляем во второе уравнение:

Учитывая, что получаем Тогда Имеем систему

Из первого уравнения что удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ:

Комментарий:

Некоторые иррациональные уравнения, которые содержат несколько корней степени, можно привести к системе рациональных уравнений, заменив каждый корень новой переменной.

После замены из данного уравнения получаем только одно уравнение Для получения второго уравнения запишем, что по определению корня степени Вычтем из первого равенства второе (чтобы избавиться от переменной и получим еще одну связь между

Полученную систему уравнений решаем методом подстановки.

Выполняя обратную замену, необходимо выяснить, существует ли значение удовлетворяющее обоим соотношениям замены.

При решении систем уравнений, содержащих иррациональные уравнения, чаще всего используются традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных. При этом следует учитывать, что замена переменных (вместе с обратной заменой ) всегда является равносильным преобразованием (если при выбранной замене не происходит сужения ОДЗ данного уравнения или системы). Но если для дальнейшего решения уравнений, полученных в результате замены, мы будем пользоваться уравнениями-следствиями, то можно получить посторонние решения, и тогда полученные решения придется проверять.

Пример №13

Решите систему уравнений

Решение:

Замена дает

Из первого уравнения этой системы

Тогда из второго уравнения получаем

Отсюда

Обратная замена дает:

значит,

следовательно,

Ответ:

Комментарий:

Если обозначить то Тогда заданная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить. После обратной замены получаем систему простейших иррациональных уравнений.

Так как замена и обратная замена приводят к равносильным системам, то решения заданной системы совпадают с решениями системы то есть

Обобщение понятия степени

Степень с натуральным и целым показателем:

Степень с дробным показателем:

Свойства степеней:

Объяснение и обоснование:

Вам известны понятия степеней с натуральным и целым показателями. Напомним их определения и свойства. Если — натуральное число, большее, чем 1, то для любого действительного числа то есть равно произведению сомножителей, каждый из которых равен

При считают, что Если где — натуральное число. Например,

Вам известны также основные свойства степеней:

Напомним еще одно полезное свойство

Обобщим понятия степени для выражений вида и т. п., то есть для степеней с рациональными показателями. Соответствующее определение желательно дать так, чтобы степени с рациональными показателями имели те же свойства, что и степени с целыми показателями.

Например, если мы хотим, чтобы выполнялось свойство то должно выполняться равенство Но по определению корня степени последнее равенство означает, что число является корнем степени из числа Это приводит нас к такому определению.

Степенью числа с рациональным показателем — целое число, а — натуральное число называется число

Также по определению принимаем, что при

Например, по определению степени с рациональным показателем:

Замечание. Значение степени с рациональным показателем (где не определяется при

Это объясняется тем, что рациональное число можно представить разными способами в виде дроби: — любое натуральное число.

При используя основное свойство корня и определение степени с рациональным показателем, имеем Таким образом, при значение не зависит от формы записи

При это свойство не удается сохранить. Например, если то должно выполняться равенство Но при получаем То есть при отрицательных значениях имеем и вследствие этого определение степени

(где — целое, — натуральное, не равное 1) для отрицательных значений обычно не вводится.

Покажем теперь, что для введенного определения степени с рациональным показателем сохраняются все свойства степеней с целыми показателями (различие состоит в том, что приведенные далее свойства являются правильными только для положительных оснований).

Для любых рациональных чисел и любых положительных чисел выполняются равенства:

Для доказательства этих свойств достаточно воспользоваться определением степени с рациональным показателем и свойствами корня степени.

Пусть где — натуральные числа (большие 1),а — целые.

Тогда при имеем:

Понятие степени с иррациональным показателем

Опишем в общих чертах, как можно определить число для иррациональных когда Например, объясним, как можно понимать значение

Иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби: Рассмотрим десятичные приближения числа с недостатком и с избытком:

Будем считать, что когда — рациональные числа), то значение находится между соответствующими значениями а именно: Найдем с помощью калькулятора приближенные значения и выбирая как приближенные значения с недостатком и с избытком соответственно. Получаем соотношения:

Как видим, значения приближаются к одному и тому же числу Это число и считается степенью Таким образом,

Значение вычисленное на калькуляторе, следующее:

Можно доказать, что всегда, когда мы выбираем рациональные числа которые с недостатком приближаются к иррациональному числу и рациональные числа с избытком приближающиеся к этому же иррациональному числу для любого существует, и притом только одно, число которое больше, чем все и меньше, чем все Это число по определению и есть значение

Аналогично определяется и степень с иррациональным показателем для только в случае, когда считают, что Кроме того, как и для рациональных показателей, по определению считают, что для любого для всех

Примеры решения задач:

Пример №14

Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

Решение:

Комментарий:

1) По определению степени с рациональным показателем для

Для задания 3 учтем, что выражение определено также и при В задании 4 при мы не имеем права пользоваться формулой (1). Но если учесть, что то для основания формулой (1) уже можно воспользоваться, поскольку

Пример №15

Вычислите:

Решение:

3) не существует, поскольку степень определена только при

Комментарий:

Используем определение степени с рациональным показателем:

При выполнении задания 3 учитываем что выражение не определено при

Пример №16

Упростите выражение:

Решение:

Комментарий:

Поскольку данные примеры содержат выражения Тогда в задании 1 неотрицательные числа можно представать как квадраты и применить формулу разности квадратов: а в задании 2 представить неотрицательное число как куб: и применить формулу разложения суммы кубов:

Пример №17

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ: 1.

Комментарий:

Область допустимых значений уравнения все действительные числа, а уравнения — только

При возведении обеих частей уравнения в куб получим уравнение, равносильное данному на его ОДЗ. Таким образом, первому уравнению удовлетворяют все найденные корни, а второму — только неотрицательные. (В задании 1 также учтено, что а в задании 2 — что

Степенная функция, ее свойства и график

Определение: Функция вида — любое действительное число, называется степенной функцией.

1. — четное натуральное число

2. — нечетное натуральное число

3. — нечетное отрицательное число

4. — четное отрицательное число

5.

6.

Объяснение и обоснование:

Степенными функциями называют функции вида — любое действительное число.

С некоторыми из таких функций вы уже ознакомились в курсе алгебры 7-9 классов. Это, например, функции При произвольном натуральном графики и свойства функции аналогичны известным вам графикам и свойствам указанных функций.

Описывая свойства степенных функций, выделим те характеристики функций, которые мы использовали в разделе 1: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) точки пересечения с осями координат; 5) промежутки знакопостоянства; 6) промежутки возрастания и убывания; 7) наибольшее и наименьшее значения функции.

Функция вида y=x^a (a— четное натуральное число)

Если — четное натуральное число, то функция имеет свойства и график, полностью аналогичные свойствам и графику функции

Действительно, область определения функции поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях

Функция четная: если Таким образом, график функции симметричен относительно оси

Поскольку при значение то график функции всегда проходит через начало координат.

На промежутке функция возрастает. Действительно, для неотрицательных значений при получаем поскольку, как известно из курса алгебры 9 класса, при возведении обеих частей верного неравенства с неотрицательными членами в четную степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство.

На промежутке функция убывает.

О Действительно, для неположительных значений если (и теперь Тогда

таким образом,

Для нахождения области значений функции составим уравнение Оно имеет решения для всех и только при таких значениях Все эти числа и составят область значений функции. Следовательно, область значений данной функции: то есть

Таким образом, для всех действительных значений значение Наименьшее значение функции равно нулю Наибольшего значения функция не имеет.

Отметим также, что при значение

Учитывая свойства функции получаем ее график (рис. 109).

Функция y=x^a (a — нечетное натуральное число)

Если — нечетное натуральное число то свойства функции аналогичны свойствам функции

Действительно, область определения функции поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях

Функция нечетная: если Таким образом, график функции симметричен относительно начала координат.

Поскольку при значение то график функции всегда проходит через начало координат.

На всей области определения функция возрастает.

Действительно, при получаем поскольку при возведении обеих частей верного неравенства в нечетную степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство.

Для нахождения области значений функции составим уравнение Оно имеет решения для всех получаем получаем Таким образом, область значений данной функции:

Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

Промежутки знакопостоянства: при значение а при значение

Отметим также, что при значение

Как известно из курса алгебры и геометрии, графиком функции является прямая, проходящая через начало координат (рис. 110), а при других нечетных натуральных функция имеет график, аналогичный графику функции (рис. 111).

Функция y=x^a (a — нечетное отрицательное число)

Если — нечетное отрицательное число, то функция имеет свойства и график, полностью аналогичные свойствам и графику функции

Действительно, область определения функции то есть поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях кроме

Функция нечетная: при то

Таким образом, график функции симметричен относительно начала координат.

Учитывая, что получаем, что график функции не пересекает оси координат. На промежутке функция убывает.

Действительно, для положительных значений

получаем тогда следовательно,

На промежутке функция также убывает. Это следует из того, что ее график симметричен относительно начала координат.

Приведем еще и аналитическое обоснование: если то (и теперь Тогда по обоснованному выше таким образом, Отсюда

Для нахождения области значений функции составим уравнение то есть Оно имеет решения для всех (тогда при и только при таких значениях

Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений заданной функции:

Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. Промежутки знакопостоянства: при значения а при значения

Отметим также, что при значение

Учитывая свойства функции получаем ее график (рис. 112).

Функция y=x^a (a — четное отрицательное число)

Если — четное отрицательное число, то функция имеет свойства и график, полностью аналогичные свойствам и графику функции

Действительно, область определения функции то есть поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях кроме

Функция четная: при Таким образом, график функции симметричен относительно оси

Учитывая, что при значение получаем, что график функции не пересекает оси координат.

На промежутке функция убывает.

Действительно, для положительных значений получаем тогда следовательно,

На промежутке функция возрастает.

Это следует из того, что ее график симметричен относительно оси Приведем также и аналитическое обоснование: если Тогда по обоснованному выше следовательно,

Для нахождения области значений функции составим уравнение то есть Оно имеет решения для всех (тогда и только при таких значениях Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений заданной функции: то есть

Поэтому наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. Отметим также, что при значение

Учитывая свойства функции получаем ее график (рис. 113).

Функция y=x^a (a — нецелое положительное число)

Если — нецелое положительное число, то функция — нецелое) имеет область определения: то есть поскольку значение степени с положительным нецелым показателем определено только для неотрицательных значений

Тогда область определения несимметрична относительно точки 0, функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Поскольку при значение то график функции всегда проходит через начало координат. При значение Можно обосновать, что на всей области определения функция является возрастающей.

Для нахождения области значений функции составим уравнение Оно имеет решения для всех и только при таких значениях Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений данной функции:

Отметим также, что при значение

При изображении графика функции — нецелое) следует учитывать, что при график имеет вид, аналогичный графику (рис. 114)*, а при — аналогичный правой ветви графика (рис. 115).

Функция y=x^a (a — нецелое отрицательное число)

Если — нецелое отрицательное число, то функция — нецелое) имеет область определения: поскольку значение степени с отрицательным нецелым показателем определено только для положительных значений

Тогда область определения несимметрична относительно точки 0, и функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Учитывая, что при значения получаем, что график функции не пересекает оси координат.

На промежутке функция убывает, то есть для положительных значений получаем

Докажем это, например, для случая, когда — отрицательное рациональное нецелое число При положительных V п

значениях учитывая результаты исследования функции при целом отрицательном получаем Далее, учитывая то, что функция при положительных значениях является возрастающей, имеем тогда

Можно обосновать, что и в том случае, когда — отрицательное иррациональное число, функция также убывает на всей области определения (то есть при

Для нахождения области значений функции составим уравнение Оно имеет решения для всех и только при таких значениях Все эти числа и составят область значений функции.

Таким образом, область значений заданной функции: то есть Отметим также, что при значение

Учитывая свойства функции получаем ее график (рис. 116).

Особый случай. Если то функция (напомним, что — не определено) и ее график — прямая без точки (0; 1) (рис. 117).

Примеры решения задач:

Пример №18

Найдите область определения функции:

Решение:

1) то есть значит,

2) то есть следовательно,

Комментарий:

Учтем, что выражение определено при а выражение только при

Пример №19

Постройте график функции:

Решение:

1) Строим график функции а затем параллельно переносим его вдоль оси

2) Строим график функции а затем параллельно переносим его вдоль оси на (-2).

Комментарий:

Графики данных функций можно получить из графиков функции с помощью параллельного переноса:

Применение свойств функций к решению иррациональных уравнений

Напомним основные идеи, которые используются при решении уравнений с помощью свойств функций.

Конечная ОДЗ

Ориентир:

Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Пример:

ОДЗ: Тогда

Следовательно, ОДЗ:

Проверка. — корень Других корней нет, так как ОДЗ принадлежит только одно число.

Ответ: 3.

Оценка значений левой и правой частей уравнения

Ориентир:

Если требуется решить уравнение вида и выяснилось, что то равенство между левой и правой частями уравнения возможно лишь в случае, если одновременно равны

Пример:

Запишем заданное уравнение так:

Итак, заданное уравнение равносильно системе

Из второго уравнения получаем что удовлетворяет и первому уравнению.

Ответ: 2.

Использование монотонности функций

Схема решения уравнения:

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения).

Теоремы о корнях уравнения:

1. Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение имеет единственный корень то есть поскольку функция возрастает (на всей области определения как сумма двух возрастающих функций.

2. Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение имеет единственный корень поскольку возрастает (при убывает.

Объяснение и обоснования:

Использование конечности ОДЗ для решения иррациональных уравнений

Основными способами решения иррациональных уравнений, которые используются в курсе алгебры и начал анализа, являются выполнение равносильных преобразований уравнений или получение уравнений-следствий, позволяющих привести данное уравнение к рациональному. Но иногда полученное рациональное уравнение оказывается сложным для решения.

Например, уравнение приведенное в пункте 1 таблицы 47, можно привести к рациональному, изолируя и возводя обе части в четвертую степень, а затем изолируя выражение, содержащее и возводя обе части в квадрат. Но в результате мы получим полное уравнение шестнадцатой степени. В таких ситуациях попробуем применить известные нам методы решения уравнений, связанные с использованием свойств функций. В частности в рассматриваемом ОДЗ определяется условиями

Отсюда получаем только одно значение принадлежащее ОДЗ. Поскольку любой корень уравнения принадлежит его ОДЗ, достаточно проверить, являются ли числа, входящие в ОДЗ, корнями данного уравнения. Проверка показывает, что — корень. Других корней быть не может, поскольку ОДЗ уравнения состоит только из одного значения

Отметим, что в том случае, когда ОДЗ данного уравнения — пустое множество (не содержит ни одного числа), мы даже без проверки можем дать ответ, что уравнение не имеет корней. Например, если требуется решить уравнение то его ОДЗ задается системой то есть системой не имеющей решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Оценка значений левой и правой частей уравнения

Иногда в тех случаях, когда иррациональное уравнение приводится к громоздкому рациональному (или совсем не приводится к рациональному), целесобразно попробовать оценить значения функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения. Например, чтобы решить уравнениедостаточно с помощью равносильных преобразований записать его в виде: В левой части последнего уравнения стоит функция на всей области определения, а в правой — функция при всех значениях Тогда равенство между левой и правой частями уравнения возможно только в том случае, когда они одновременно равны нулю. Таким образом, уравнение (1) равносильно системе

Решим сначала первое уравнение этой системы.

Учтем, что и Сумма двух неотрицательных функций может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, уравнение равносильно системе имеющей единственное решение Это решение удовлетворяет и второму уравнению системы (2) (действительно: Следовательно, система (2) также имеет только одно решение Значит, и уравнение (1) имеет единственный корень

Использование монотонности функций:

Еще одним способом решения тех иррациональных уравнений, которые приводятся к громоздким рациональным, является использование возрастания или убывания соответствующих функций. Чаще всего это делается по такой схеме:

1. подбираем один или несколько корней уравнения;
2. доказываем, что других корней это уравнение не имеет.

Примеры использования этого приема для решения иррациональных уравнений — в таблице 47.

Примеры использования других способов решения иррациональных уравнений

Если при решении иррациональных уравнений мы используем уравнения-следствия, то в конце приходится выполнять проверку полученных корней. Но в тех случаях, когда эти решения — не рациональные числа, проверка с помощью подстановки полученных значений в исходное уравнение является достаточно сложной и требующей громоздких вычислений.

Для таких уравнений приходится применять равносильные преобразования на каждом шагу решения.

При этом необходимо помнить, что все равносильные преобразования уравнений или неравенств выполняются на ОДЗ данного уравнения или неравенства, поэтому, выполняя равносильные преобразования иррациональных уравнений, приходится учитывать ОДЗ данного уравнения. Достаточно часто в этих случаях используются также следующие рассуждения: для всех корней данного уравнения знаки левой и правой частей уравнения совпадают, поскольку при подстановке в данное уравнение числа, которое является его корнем, получаем верное числовое равенство. Используя последнее рассуждение, часто удается получить какое-нибудь дополнительное условие для корней данного уравнения и выполнить равносильные преобразования не на всей ОДЗ данного уравнения, а на некоторой его части.

Пример №20

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ:

Решение этой системы:

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Для всех корней уравнения (1)

При этом условии уравнение (1) равносильно уравнениям:

Тогда

принадлежит ОДЗ и удовлетворяет условию (2), таким образом, является корнем данного уравнения; принадлежит ОДЗ, но не удовлетворяет условию (2), а значит, не является корнем данного уравнения.

Ответ:

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения.

Учитывая, что все равносильные преобразования выполняются на ОДЗ данного уравнения, зафиксируем его ОДЗ.

При переносе члена из левой части уравнения в правую с противоположным знаком получаем уравнение, равносильное данному.

В уравнении обе части неотрицательные, следовательно, при возведении обеих частей в квадрат получим уравнение, равносильное данному, которое, в свою очередь, равносильно уравнению (1).

Для всех корней уравнения (1) оно является верным числовым равенством. В этом равенстве правая часть — неотрицательное число, тогда и левая часть является неотрицательным числом, то есть для всех корней. Тогда при условии (2) обе части уравнения (1) неотрицательные, таким образом, при возведении обеих частей в квадрат получаем равносильное уравнение. Но после нахождения корней этого уравнения необходимо проверить не только то, входят ли они в ОДЗ, но и удовлетворяют ли они условию (2). Для такой проверки достаточно взять приближенные значения корней

Пример №21

Решите уравнение

Комментарий:

Замена позволяет заметить, что каждое выражение, стоящее под знаком внешнего квадратного корня, является квадратом двучлена.

Применяя формулу получаем уравнение с модулями, для решения которого используем план:

1. найти ОДЗ;
2. найти нули всех подмодульных функций;
3. отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
4. найти решения уравнения в каждом из промежутков.

Решение:

Пусть Тогда Получаем уравнение которое можно записать так: Отсюда

1) ОДЗ уравнения (1): но по смыслу задания это уравнение необходимо решить при

2) Нули подмодульных функций:

3) Эти нули разбивают область на три промежутка, в каждом из которых каждая подмодульная функция имеет постоянный знак (см. рисунок).

Промежуток I. При имеем уравнение Тогда но промежутку принадлежит только

Промежуток II. При имеем уравнение

равносильное уравнению не имеющему корней. Таким образом, на промежутке корней нет.

Промежуток III. При имеем уравнение из которого получаем уравнение не имеющее корней. Таким образом, на промежутке корней нет.

Объединяя полученные результаты, делаем вывод, что уравнение (1) имеет только один корень

Выполняя обратную замену, получаем откуда

Ответ: 1.

Пример №22

Решите уравнение

Решение:

Поскольку не является корнем данного уравнения, то при делении обеих частей уравнения на получаем равносильное уравнение

После замены имеем уравнение корни которого

Выполнив обратную замену, получаем:

Ответ:

Комментарий:

Если выполнить замену то получим уравнение все члены которого имеют одинаковую суммарную степень * — два. Напомним, что такое уравнение называется однородным и решается делением обеих частей на наивысшую степень одной из переменных. Разделим обе части, например, на (то есть на

Чтобы при делении на выражение с переменной не потерять корни уравнения, необходимо те значения переменной, при которых это выражение равно нулю, рассмотреть отдельно. В данном уравнении надо подставить значение в исходное уравнение (это можно выполнить устно, а в решение записать только полученный результат). Для реализации полученного плана решения не обязательно вводить переменные и достаточно заметить, что исходное уравнение однородное, разделить обе части на а уже затем ввести новую переменную

Решение иррациональных неравенств

Метод интервалов (для неравенств вида :

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции
3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример №23

Заданное неравенство равносильно неравенству

Обозначим

ОДЗ:

Нули корень, — посторонний корень.

Ответ:

1) При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ данного неравенства).

Пример №24

Данное неравенство равносильно неравенствам:

Ответ:

2) Если обе части неравенства неотрицательны, то при возведении обеих частей неравенства в четную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ заданного неравенства).

ОДЗ: то есть Обе части данного неравенства неотрицательны, следовательно, данное неравенство равносильно (на его ОДЗ) неравенствам: Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

3) Если на ОДЗ заданного неравенства какая-либо часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то прежде чем возводить обе части неравенства в четную степень, эти случаи необходимо рассмотреть отдельно. Например,

Данное неравенствао равносильно совокупности систем:

Тогда

Решив неравенство имеем (см. рисунок).

Учитывая неравенство получаем решение первой системы: Решение второй системы: Объединяя эти решения, получаем ответ.

Ответ:

Объяснение и обоснование:

1. Решение иррациональных неравенств методом интервалов. Общая схема решения неравенств методом интервалов, а пример применения метода интервалов к решению иррациональных неравенств приведен в таблице 48.

2. Равносильные преобразования иррациональных неравенств. Когда для решения иррациональных неравенств используются равносильные преобразования, то чаще всего с помощью возведения обеих частей неравенства в одну и ту же степень данное неравенство приводится к рациональному неравенству. При этом необходимо иметь в виду следующие свойства:

1) Если обе части неравенства приходится возводить в нечетную степень, то воспользуемся тем, что числовые неравенства или одновременно верны, или одновременно неверны. Тогда каждое решение неравенства (которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство) будет также и решением неравенства и, наоборот, каждое решение неравенства (2) будет также и решением неравенства (1), то есть неравенства (1) и (2) — равносильны. Таким образом, при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ данного). Например,

2) Аналогично, если числа неотрицательны то числовые неравенства также или одновременно верны, или одновременно неверны. Повторяя предыдущие рассуждения, имеем: если обе части неравенства неотрицательные, то при возведении обеих частей неравенства в четную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ данного).

Например, рассматривая неравенство

на его ОДЗ, где замечаем, что для всех решений неравенства (3) левая часть неотрицательна (арифметический корень и неравенство (3) может выполняться только при условии

Если выполняется условие (4), то обе части неравенства (3) неотрицательны и при возведении в четную степень получаем неравенство, равносильное данному: (при условии, что учитывается ОДЗ данного неравенства и условие (4)). Таким образом,

3) Если с помощью равносильных преобразований требуется решить неравенство на его ОДЗ, где то для правой части этого неравенства рассмотрим два случая:

Отметим, что для всех решений неравенства (6) ограничение ОДЗ данного неравенства выполняется автоматически; таким образом, при достаточно записать только неравенство (6).

Объединяя полученные результаты, делаем вывод:

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры решения задач:

Пример №25

Решите неравенство

Комментарий:

Приведем неравенство к виду и решим его методом интервалов. Для нахождения нулей функции используем уравнения-следствия. Чтобы исключить посторонние корни, выполним проверку полученных корней.

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству Обозначим

2. Нули функции Тогда

Возводим обе части последнего уравнения в квадрат:

— корень, — посторонний корень.

3. Разбиваем ОД3 точкой 1,5 на два промежутка и находим знак в каждом из промежутков (см. рисунок).

Ответ:

Пример №26

Решите неравенство

I способ (метод интервалов)

Комментарий:

Приведем данное неравенство к виду и решим его методом интервалов. При нахождении ОДЗ данного неравенства для решения неравенства также используем метод интервалов (ОДЗ:

Для нахождения нулей функции используем уравнения-следствия. Хотя функция не имеет нулей, но и в этом случае метод интервалов можно использовать. Только в этом случае интервалы знакопостоянства функции совпадают с интервалами, из которых состоит ее область определения.

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Обозначим

1.ОДЗ: Решим неравенство методом интервалов (см. рисунок). Получаем:

2. Нули функции Тогда

3. ОДЗ неравенства (1) разбивается на два промежутка, в которых функция имеет знаки, указанные на рисунке.

Ответ:

II способ (равносильные преобразования)

Комментарий:

Для решения используем равносильные преобразования (с. 311): Чтобы решить полученное промежуточное неравенство учтем условия, при которых эта дробь будет неотрицательной.

В конце, объединяя полученные решения, записываем ответ.

Решение:

Учитывая, что при всех значениях получаем, что последняя совокупность трех систем равносильна совокупности. Ответ:

Замечание. Записывая приведенное решение, знаки равносильности можно не ставить, достаточно вначале записать фразу: «Выполним равносильные преобразования данного неравенства».

Пример №27

Решите неравенство

Комментарий:

Замена позволяет заметить, что каждое выражение, стоящее под знаком внешнего квадратного корня, является квадратом двучлена.

Применяя формулу получаем неравенство с модулями, для решения которого используем план:

1. найти ОДЗ;
2. найти нули всех подмодулъных функций;
3. отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
4. найти решения неравенства в каждом из промежутков.

Решение:

Пусть где Тогда

Получаем неравенство которое можно записать так: Получаем

1. ОДЗ неравенства (2): но по смыслу задания это неравенство необходимо решить при

2. Нули подмодульных функций:

3. Эти нули разбивают область на три промежутка, в каждом из которых каждая подмодульная функция имеет постоянный знак (см. рисунок).

Промежуток I. При имеем неравенство из которого получаем но промежутку принадлежит только

Промежуток II. При имеем неравенство равносильное неравенству которое выполняется при любых значениях Таким образом, на промежутке решениями неравенства будут все значения из этого промежутка

Промежуток III. При имеем неравенство из которого получаем но промежутку принадлежит только значение

Объединяя полученные результаты, делаем вывод, что решениями неравенства (2) будут все значения такие, что:

Выполняя обратную замену, имеем откуда

Тогда

Ответ:

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

Как и раньше, при решении задач с параметрами, в которых требуется решить уравнение или неравенство, можно пользоваться ориентиром: любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Но в том случае, когда какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

Также на этапе составления плана решения уравнений или неравенств с параметрами или при проведении рассуждений, связанных с самим решением, часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Отметим, что уравнения и неравенства с параметрами чаще всего решают с помощью их равносильных преобразований, хотя иногда используются и свойства функций, метод интервалов для решения неравенств и уравнения-следствия.

Пример №28

Решите уравнение

Комментарий:

Мы не можем однозначно дать ответ на вопрос, есть ли у данного уравнения корни, и поэтому уже на первом шаге должны разбить решение на два случая: 1) — корней нет, 2) — корни есть (см. схему).

При имеем простейшее иррациональное уравнение,обе части которого неотрицательные. Поэтому при возведении обеих его частей в квадрат получим уравнение, равносильное данному. ОДЗ данного уравнения можно не записывать, оно учитывается автоматически, потому что для всех корней полученного уравнения

Решение:

1)При уравнение не имеет корней.

2) При Тогда

Ответ: 1) если то корней нет; 2) если

Пример №29

Решите уравнение

Решение:

Для всех корней уравнения (1)

Тогда уравнение (1) равносильно уравнениям:

Для всех корней уравнения (4)

Тогда уравнение (4) равносильно уравнению Таким образом, Учтем ограничения (2) и (5): По условию (5) тогда Таким образом, условия (2) и (5) задают систему то есть тогда

2) при корней нет. Используем равносильные пробразования данного уравнения. Для этого необходимо учесть его ОДЗ:

При переносе члена данного уравнения из левой части в правую с противоположным знаком получим равносильное уравнение (1).

Для всех корней уравнения (1) оно является верным числовым равенством. Его левая часть неотрицательна, таким образом, и правая часть должна быть неотрицательной. Тогда далее можно решать уравнение (1) не на всей ОДЗ, а только на той ее части, которая задается условием (2). По этому условию обе части уравнения (1) неотрицательны, таким образом, при возведении обеих его частей в квадрат получим равносильное уравнение (3) (а после равносильных преобразований — уравнение (4)).

Для всех корней уравнения (3) его правая часть неотрицательна, таким образом, и левая часть будет неотрицательной: но тогда условие (7) ОДЗ данного уравнения учтено автоматически и его можно не записывать в решение.

Также для всех корней уравнения (4) его левая часть неотрицательна, таким образом, и правая часть должна быть неотрицательной. Поэтому далее можно решать уравнение (4) не на всей ОДЗ, а только на той ее части, которая задается условием (5). Тогда обе части уравнения (4) неотрицательны и после возведения обеих его частей в квадрат получим равносильное уравнение(6).

Для всех корней уравнения (6) его правая часть неотрицательна, таким образом, и левая часть будет неотрицательной: но тогда и условие (8) ОДЗ данного уравнения учтено автоматически, и поэтому ОДЗ можно не записывать в решение.

Пример №30

Решите уравнение

Решение:

Для всех корней данного уравнения

Тогда данное уравнение равносильно уравнениям:

Для всех корней уравнения (3)

Тогда уравнение(3)равносильно уравнениям:

Рассмотрим уравнение (6) как квадратное относительно

Тогда

Таким образом, Отсюда или

Учитывая условия (1) и (4), получим, что таким образом, уравнение (7) не имеет корней.

Если для корней уравнения (8) выполняется условие то автоматически выполняется и условие

Из уравнения(8)получим

Это уравнение имеет корни, если

Тогда

Для условие выполняется, таким образом, — корень данного уравнения при

Учтем условие

Ответ:

Комментарий:

Как и в задаче 2, ОДЗ данного уравнения ^ будет учтена автоматически при переходе к уравнениям (2) и (5) (для всех корней этих уравнений), таким образом, ее можно не записывать в решении.

Рассуждения при выполнении равносильных преобразований данного уравнения (в уравнения (2,3,5, 6) аналогичны соображениям, приведенным в комментарии к задаче 2.

Анализируя уравнение (6) (которое достаточно трудно решить относительно переменной пользуемся ориентиром, который условно можно назвать «Ищи квадратный трехчлен», а именно: пробуем рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной (или относительно какой-либо функции).

Рассмотрим уравнение (6) как квадратное относительно параметра Этот способ эффективно срабатывает только тогда, когда дискриминант полученного квадратного трехчлена является полным квадратом, как в данном случае.

Перед записью ответа удобно изобразить все полученные решения на схеме (как это описано на с. 219).

Из этой схемы видно, что при в ответ нужно записать только одну формулу — две формулы корней нет.

Пример №31

Решите неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно системе

получаем систему решение которой

получаем систему

Решим отдельно неравенство Поскольку при получаем

Тогда система (2) имеет решения:

получаем систему

Система (3) решений не имеет, поскольку при первое и второе неравенства не имеют общих решений.

Ответ: при

при

при решений нет.

Комментарий:

Используем равносильные преобразования. Для этого учтем ОДЗ данного неравенства и то, что правая часть неотрицательна, таким образом, для всех решений данного неравенства его левая часть должна быть положительной При этом условии (на ОДЗ) обе части данного неравенства неотрицательны, таким образом, при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим равносильное неравенство.

Получаем систему (1).

Для решения неравенства необходимо рассмотреть три случая: (делить на нельзя); (знак неравенства сохраняется при делении обеих его частей на ); (знак неравенства изменяется).

При значение поэтому два первых неравенства системы (2) имеют общее решение а для решения неравенства можно применить графическую иллюстрацию:

При значение поэтому два первых неравенства системы (3) не имеют общих решений, таким образом, и вся система (3) не имеет решений.

Пример №32

Решите неравенство

Комментарий:

Сначала воспользуемся равносильными преобразованиями (с. 311):

Если в полученные системы параметр а входит линейно, то в таких случаях иногда бывает удобно выразить параметр через переменную,рассмотреть параметр как функцию от этой переменной и применить графическую иллюстрацию решения неравенств (в системе координат Отметим, что для изображения решений совокупности неравенств удобно применить две системы координат, в которых оси находятся на одной прямой (и на каждой выделять штриховкой соответствующие решения).

При разных значениях прямая или не пересекает заштрихованные области (при или пересекает их по отрезкам. Абсциссы точек пересечения являются решениями систем (1) и (2), а поэтому и решениями данного неравенства.

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности систем:

Тогда

или

Изобразим графические решения систем неравенств (1) и (2) в системе координат (на рисунках заштрихованы соответствующие области

Видим, что: решений нет ( нет заштрихованных точек) то прямая пересекает только заштрихованную область Причем полученный интервал ограничен слева и справа ветвями параболы Но в ответ нам необходимо записать через Для этого из уравнения находим

• 

Как видим уравнение правой ветви параболы, а — левой. Тогда ответ в этом случае будет:

то прямая пересекает заштрихованные области Для области интервал для ограничен: слева — прямой а справа — правой ветвью параболы, то есть Для области интервал для ограничен слева прямой а справа — прямой то есть Объединение этих интервалов можно записать короче:

• 

Ответ: 1) при решений нет; 4

2) при

3) при

Для решения некоторых исследовательских задач с параметрами можно применить свойства квадратного трехчлена и, в частности, условия расположения корней квадратного трехчлена относительно данных чисел (табл. 37, с. 225).

Пример №33

Найдите все значения параметра при которых имеет корни уравнение

Решение:

Замена (тогда Получаем уравнение

Данное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один неотрицательный корень

Случай исследуем отдельно.

При из уравнения (1) имеем Таким образом, при уравнение (1) имеет корень Тогда и данное уравнение имеет корень то есть удовлетворяет условию задачи.

Обозначим

Уравнение (1) может иметь хотя бы один положительный корень в одном из двух случаев:

Условие дает то есть

Система (2) дает

Тогда

Таким образом

Ответ:

Комментарий:

Если иррациональное уравнение содержит только один корень, то иногда можно привести такое уравнение к рациональному, обозначив этот корень новой переменной. Поскольку замена является равносильным преобразованием (вместе с обратной заменой), то получаем уравнение, равносильное данному, и поэтому вместо исследования данного уравнения можно исследовать полученное.

При этом следует учитывать, что после замены переменной иногда изменяется условие задачи, в частности, для уравнения (1) оно будет таким: найти все значения параметра для которых это уравнение имеет хотя бы один неотрицательный корень (тогда после обратной замены мы обязательно найдем корни данного уравнения). Это возможно в одном из трех случаев: или один из корней уравнения (1) равен нулю (этот случай легко исследуется подстановкой в уравнение (1)), или уравнение (1)имеет один положительный и один отрицательный корни, или имеет два положительных корня. Изобразив соответствующие эскизы графиков функции (см. рисунок), записываем необходимые и достаточные условия такого расположения корней квадратного трехчлена (или используем табл. 37 на с. 225).

Для решения квадратного неравенства можно применить графическую иллюстрацию.

В конце необходимо объединить все полученные результаты. Конечно, для получения ответа можно было решить данное уравнение (аналогично задаче 2), а затем дать ответ на вопрос задачи, но такой путь потребует более громоздких вычислений.

Сведения из истории степени

Понятие степени возникло в древности. Сохранились глиняные плитки древних вавилонян (около 1700 г. до н. э.), которые содержат записи таблиц квадратов и кубов и их обратных значений. К умножению равных множителей приводит решение многих задач. Выражение квадрат числа возникло вследствие вычисления площади квадрата, а куб числа — вследствие нахождения объема куба. Но современные обозначения (типа введены в XVII в. Р. Декартом (1596—1650).

Дробные показатели степени и простейшие правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. Орема (ок. 1323 —1382). Известно, что Н. Шюке (ок. 1445 — ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.

С. Стевин предложил понимать под корень . Но систематически дробные и отрицательные показатели первым стал применять И.Ньютон (1643—1727).

Немецкий математик М. Штифель (1487—1567) ввел обозначение если и название показатель (это перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возвести в степень. (Отсюда происходит и слово потенцировать, которое будет применяться в следующем разделе для обозначения переходов от так называемых логарифмов выражений

к соответствующим степеням, то есть от равенства к равенству В свою очередь, термин exponenten возник вследствие не совсем точного перевода с греческого слова, которым Диофант Александрийский (около III в.) обозначал квадрат неизвестной величины.

Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, которое имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «взять корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)». Знак корня в виде символа появился впервые в 1525 г. Современный символ введен Декартом, который добавил горизонтальную черту. Ньютон уже обозначил показатели корней:

Термин логарифм происходит от сочетания греческих слов «логос» (в значении «отношение») и «аритмос» (число) и переводится как отношение чисел. Выбор изобретателем логарифмов Дж. Непером такого названия (1594 г.) поясняется тем, что логарифмы возникли вследствие сопоставления двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — геометрической. Логарифмы по основанию ввел Спейдел (1619 г.), который составил первые таблицы для функции Название натуральный (естественный) для этого логарифма предложил Н. Меркатор (1620— 1687), который выяснил, что — это площадь под гиперболой