Функция
y=ctgx
определена при
x≠πn,n∈ℤ
, является нечётной и периодической с периодом
π
.
График функции (y=ctgx) строится аналогично графику функции (y=tgx) и также называется тангенсоидой.
Обычно рассматривают главную ветвь графика функции (y=ctgx) на промежутке от (x=0) до (x=)
π
.
1. Область определения — множество всех действительных чисел
x≠πn,n∈ℤ
.
2. Множество значений — множество
ℝ
всех действительных чисел.
3. Функция
y=ctgx
периодическая с периодом
π
.
4. Функция
y=ctgx
нечётная.
5. Функция
y=ctgx
принимает:
— значение (0) при
x=π2+πn,n∈ℤ;
— положительные значения на интервалах
πn;π2+πn,n∈ℤ;
— отрицательные значения на интервалах
−π2+πn;πn,n∈ℤ.
6. Функция
y=ctgx
убывает на интервалах
πn;π+πn,n∈ℤ.
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Содержание:
Определение функции y=tg x
Определение:
Зависимость, при которой каждому действительному числу 
Пример:
Определите, принадлежит ли графику функции 
точка:
Решение:
а) Подставим в формулу 
значение аргумента 
и найдем соответствующее значение функции 
Полученное значение функции равно ординате точки 
значит, точка 
принадлежит графику функции 
б) При 
получим 
Точка 
не принадлежит графику функции 
в) При 
получим 
— не существует. Точка 
не принадлежит графику функции 
Определение функции y=ctg x
Определение:
Зависимость, при которой каждому действительному числу 
соответствует значение 
называется функцией 
Пример:
Верно ли, что график функции 
проходит через точку:
Решение:
а) Подставим в формулу 
значение аргумента 
и найдем соответствующее значение функции 
Полученное значение функции равно ординате точки 
значит, график функции 
проходит через точку 
Верно.
б) При 
получим 
График функции 
не проходит через точку 
Неверно.
в) При 
получим 
не существует. График функции 
не проходит через точку 
Неверно.
Свойства функций y=tg x и y=ctg x
Рассмотрим свойства этих функций:
График функции y=tg x
График функции 
изображен на рисунке 88. Он называется тангенсоидой.
График функции y=ctg x
График функции 
изображен на рисунке 89. Этот график может быть получен путем преобразования графика функции 
Примеры заданий и их решения
Пример №1
Найдите область определения функции:
Решение:
а) Так как область определения функции 
это все действительные числа, кроме чисел вида 
то 
значит, 
Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, кроме чисел вида 
б) Областью определения функции 
является множество всех действительных чисел, кроме чисел вида 
Значит, 
Область определения данной функции — это все действительные числа, кроме чисел вида 
Пример №2
Найдите множество значений функции:
Решение:
а) Так как множество значений функции 
это множество всех действительных чисел, то и 
б) Так как множество значений функции 
это множество всех действительных чисел, то и 
Пример №3
Используя свойство периодичности функций 
найдите:
Решение:
Так как число 
является наименьшим положительным периодом функций 
и 
Тогда:
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №4
Используя свойство нечетности функций 
найдите:
Решение:
Так как функции 
являются нечетными, то 
Тогда:
Пример №5
Определите знак произведения 
Решение:
Так как 
т. е. угол 2 радиана принадлежит промежутку 
на котором функция 
принимает отрицательные значения, значит, 
Угол 4,5 радиана принадлежит промежутку 
на котором функция 
принимает положительные значения, значит, 
Угол 7 радиан принадлежит промежутку 
на котором функция 
принимает положительные значения, т. е. 
Значит, 
Пример №6
Что больше: 
Решение:
Поскольку углы 
принадлежат промежутку 
на котором функция 
убывает и 
то 
Пример №7
Постройте график функции:
Решение:
а) График функции 
получаем сдвигом графика функции 
вдоль оси абсцисс на 
вправо (рис. 90).
б) График функции 
получаем сдвигом графика функции 
вдоль оси ординат на 1 единицу вверх (рис. 91).
- Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
- Тригонометрические уравнения
- Тригонометрические неравенства
- Формулы приведения
- Определение тангенса и котангенса произвольного угла
- Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
- Функция y=sin x и её свойства и график
- Функция y=cos x и её свойства и график
- Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
- Свойства функции y=ctgx
- Примеры
п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности на горизонтальной касательной, проведенной через точку (0;1), отображаются значения котангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется котангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=ctgx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривые продолжатся влево.
В результате получаем график y=ctgx для для всех x из области допустимых значений.
График котангенса называют «тагненцоидой», термин «котангенцоида» не используют.
Часть графика c (0lt xltpi) называют главной ветвью графика котангенса.
п.2. Свойства функции y=ctgx
1. Область определения (xnepi k) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых (sinx=0).
2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений (yinmathbb{R})
3. Функция нечётная $$ ctg(-x)=-ctgx $$
4. Функция периодическая с периодом π $$ ctg(x+pi k)=ctgx $$
5. Функция стремится к (-infty) при приближении слева к точкам (x=pi k).
Приближение к точке a слева записывается как (xrightarrow a-0) $$ lim_{xrightarrow pi k-0} ctgx=-infty $$ Функция стремится к (+infty) при приближении справа к точкам (x=pi k).
Приближение к точке a справа записывается как (xrightarrow a+0) $$ lim_{xrightarrow pi k+0} ctgx=+infty $$ Нули функции (y_{0}=0) достигаются в точках (x_0=fracpi2+pi k)
6. Функция убывает на всей области определения.
7. Функция имеет разрывы в точках (x=pi k), через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами ((pi k; pi+pi k)) функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=ctgx на заданном промежутке:
a) (left[frac{2pi}{3}; piright)) $$ y_{min}=lim_{xrightarrowpi-0}ctgx=-infty, y_{max}=ctgleft(frac{2pi}{3}right)=-frac{1}{sqrt{3}} $$ б) (left(0; frac{pi}{4}right]) $$ y_{min}=ctgleft(frac{pi}{4}right)=1, y_{max}=lim_{xrightarrow +0}ctgx=+infty $$ в) (left[frac{7pi}{6}; frac{7pi}{4}right]) $$ y_{min}=ctgleft(frac{7pi}{4}right)=-1, y_{max}=ctgleft(frac{7pi}{6}right)=sqrt{3} $$
Пример 2. Решите уравнение:
a) (ctgx=-sqrt{3})
Бесконечное множество решений: (x=frac{5pi}{6}+pi k, kinmathbb{Z})
б) (ctgleft(x+fracpi2right)=0)
(x+fracpi2=fracpi2+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=pi k, kinmathbb{Z})
в) (ctg(2x)=1)
(2x=fracpi4+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac{pi}{8}+frac{pi k}{2}, kinmathbb{Z})
г) (ctgleft(frac{x}{3}-1right)=-1)
(frac{x}{3}-1=-frac{pi}{4}+pi k)
(frac{x}{3}=1-frac{pi}{4}+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=3-frac{3pi}{4}+3pi k, kinmathbb{Z})
Пример 3. Постройте графики функций: a) (y(x)=x^2-2tgxcdot ctgx)
 |
Произведение (tgxcdot ctgx=1). При этом ограничивается область определения функции (y(x)), т.к. (tgx) и (ctgx) имеют разрывы. Точки разрыва отмечены на числовой окружности: (xnefrac{pi k}{2}). |
Получаем: $$ begin{cases} x^2-2\ xnefrac{pi k}{2}, kinmathbb{Z} end{cases} $$ Строим график параболы и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.
б) (y(x)=sin^2(tgx)+cos^2(tgx)-x)
 |
Сумма (sin^2(tgx)+cos^2(tgx)=1). При этом ограничивается область определения функции (y(x)), т.к. (tgx) имеeт разрывы. Точки разрыва отмечены на числовой окружности: (xnefrac{pi}{2}+pi k). |
Получаем: $$ begin{cases} 1-x\ xnefrac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z} end{cases} $$ Строим график прямой и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.
Рейтинг пользователей
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №5. Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- Изучение и объяснение свойств функций y=tgx и y=ctgx с помощью графика;
- Определение свойств и положения графика тригонометрических функций вида y=|tg(k|x|+b)| y=|ctg(k|x|+b|;
- Объяснение зависимости свойств и положения графика функции вида y=|tg(k|x|+b)| и y=|ctg(k|x|+b| от значения коэффициентов k,b.
Глоссарий по теме
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Тангенсоида –график функции у = tgx; плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла).
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Дополнительная литература:
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].–Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Актуализация знаний
Вычислите:
1. 
;
2. 
Ответ: 
Объяснение нового материала
Изучение свойств функции y=tgx начнем с построения графика. Обратимся к единичной окружности:
рис.1 Тригонометрический круг
Переносим основные значения углов на координатную плоскость. По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат – значения тангенса угла.
рис.2 График y=tgx на промежутке 
Как любая тригонометрическая функции, функция тангенса периодическая, делая параллельный перенос получаем:
рис.3 График y=tgx
Заметим, что график симметричен относительно начала координат, следовательно функция тангенса нечётная. Используя построенный нами график, выведем основные свойства y=tgx:
1. Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида 
2. Функция периодическая с периодом , т.к. 
3. Функция нечётная, т.к. 
. График нечётной функции симметричен относительно начала координат;
4. Функция возрастает на всём интервале;
5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. 
7. Функция 
принимает:
Для построения графика 
можно придерживаться алгоритму рассмотренному при построении графика 
, однако 
(формула приведения). Т.е. смещая тангенсоиду на 
единиц влево и делаем симметрию относительно оси Ох за счёт коэффициента –1, получаем:
рис.3 График y=сtgx
Основные свойства y=сtgx:
1. Область определения функции y = сtgx все действительные числа, кроме чисел вида 
2. Функция периодическая с периодом 
;
3. Функция нечётная. График нечётной функции симметричен относительно начала координат;
4. Функция убывает на всём интервале;
5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. 
.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Пример 1.
Найдем все корни уравнения 
, принадлежащие отрезку 
.
Построим графики функций 
и 
(рис. 6)
Рис. 4 – графики функций 
и 
.
Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых 
являются корнями уравнения 
. 
Ответ: 
Пример 2. Найти все решения неравенства 
, принадлежащие отрезку 
.
рис.5 графики функций 
и 
Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых 
являются корнями уравнения 
. 
Ответ: 
1) Область определения: D (ctg x) = R / {Пи n (n припнадлежит Z) }.
2) Множество значений: E (ctg x) = R.
3) Четность, нечетность: функция нечетная.
4) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T=Пи.
5) Нули функции: ctg x = 0 при x = Пи / 2 + Пи n, n принадлежит Z.
6) Промежутки знакопостоянства;
ctg x > 0 при x принадлежащем (Пи n, Пи / 2 + Пи n), n принадлежит Z
ctg x < 0 при x принадлежащем (- Пи / 2 + Пи n, Пи n), n принадлежит Z;.;
7) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.
Экстремумы: нет.