Как найти объем пирамиды вписанной в призму - Autoru.top

Объём призмы:
$V= S_{osn}*H$
основание правильный 6-тиугольник
$S_{ABC...F}=6* S_{AOB}$
H=CC₁
$288=6* S_{AOB}*H$
$S_{AOB}*H= frac{288}{6} =48$

объём пирамиды:
$V= frac{1}{3}* S_{osn}*H$
основание пирамиды правильный ΔАОВ
$S_{AOB}= frac{1}{6} * S_{ABC...F}$
H=CC₁
$V_{piram} = frac{1}{3}*48=16$

ответ: V пирамиды =16

Источник

1. Многогранник и шар

Шар вписан в призму, если он касается всех граней призмы.

Шар описан около призмы, если все вершины призмы лежат на поверхности шара.

Не во всякую призму можно вписать шар и не около всякой призмы можно описать шар.

Шар вписан в пирамиду, если он касается всех граней пирамиды.

Шар описан около пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на поверхности шара.

2. Многогранник и цилиндр

Цилиндр вписан в прямую призму, если основания цилиндра вписаны в основания призмы.

Цилиндр описан около прямой призмы, если его основания описаны около оснований призмы.

Цилиндр вписан в пирамиду, если одно из его оснований принадлежит основанию пирамиды, а другое его основание вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию.

Цилиндр описан около пирамиды, если основание пирамиды вписано в одно из оснований цилиндра, а вершина пирамиды принадлежит другому основанию цилиндра.

3. Многогранник и конус

Конус вписан в призму, если основание конуса вписано в одно из оснований призмы, а вершина конуса принадлежит другому основанию призмы.

Конус описан около призмы, если вершины одного из оснований призмы лежат на поверхности конуса, а все вершины другого основания призмы принадлежат основанию конуса.

Конус вписан в пирамиду, если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Конус описан около пирамиды, если основание конуса описано около основания пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

4. Комбинация тел вращения

Шар вписан в конус, если он касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности – по окружности. Центр шара находится на оси конуса и равноудален от центра основания и образующей конуса.

Шар описан около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на прямой, содержащей ось конуса, и равноудален от вершины и точек окружности основания конуса.

Шар вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра по большой окружности шара, параллельной основаниям. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара можно найти по формуле:

$LaTeX formula: R_{BPi }=frac{h}{2}$ , где – высота цилиндра.

Шар описан около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара.

Не во всякий цилиндр можно вписать шар, но около всякого цилиндра можно описать шар.

При решении задач целесообразно строить вспомогательное сечение, проходящее через ось цилиндра или конуса и центр шара. При этом в сечении цилиндра будет получаться прямоугольник, в сечении конуса – равнобедренный треугольник, в сечении шара – круг с радиусом, равным радиусу шара.

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром другого основания цилиндра.

Конус описан около цилиндра, если одно из оснований цилиндра касается боковой поверхности конуса, а другое основание цилиндра принадлежит основанию конуса.

Пример 1. Шар радиуса касается всех граней прямоугольного параллелепипеда. Найдите объем шара, описанного около этого параллелепипеда.

Решение. Шар можем вписать только в прямоугольный параллелепипед, основание которого является квадрат (рис.9.78). Следовательно, имеем куб с ребром . Найдем диагональ этого куба: , .

Найдем радиус шара, описанного около куба: $LaTeX formula: R=frac{d}{2}=2sqrt{3}$ .

По формуле 9.26 найдем объем шара, описанного около куба: $LaTeX formula: V=frac{4}{3}pi 24sqrt{3}=32sqrt{3}pi$ .

Ответ: .

Пример 2. Все вершины треугольной призмы, основанием которой является треугольник со сторонами ; и , лежат на поверхности шара. Найдите объем шара, если высота призмы равна .

Решение. Так как шар описан около призмы, то все вершины призмы лежат на поверхности шара. Центр шара, с одной стороны, равноудален от вершин призмы, а с другой стороны, равноудален от центров окружностей, описанных около оснований призмы.

На рисунке 9.79: точки и – центры окружностей, описанных около оснований призмы; точка – центр шара; $LaTeX formula: R_{wapa}$ – радиус шара; .

Радиус окружности, описанной около основания призмы, найдем по формуле $LaTeX formula: R=frac{abc}{4S}$ .

Площадь основания призмы найдем по формуле Герона . Получим: .

Тогда $LaTeX formula: AO=R=frac{3cdot 3cdot 4}{4cdot 2sqrt{5}}=frac{9}{2sqrt{5}}$ .

По теореме Пифагора: $LaTeX formula: R^2_{wapa}=AO^2+PO^2$ , $LaTeX formula: R^2_{wapa}=frac{81}{20}+16=frac{401}{20}$ .

Площадь поверхности шара найдем по формуле 9.25 : $LaTeX formula: S=frac{4pi cdot 401}{20}=80,2pi$ .

Ответ: .

Пример 3. Найдите отношение радиуса шара, описанного около правильного тетраэдра, к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр.

Решение. Пусть ребро тетраэдра равно . Высота правильного тетраэдра опускается в центр правильного треугольника (рис. 9.80), поэтому $LaTeX formula: OA=R=frac{a}{sqrt{3}}$ , $LaTeX formula: OD=r=frac{a}{2sqrt{3}}$ . Центры описанного около правильного тетраэдра и вписанного в него шаров совпадают и лежат на высоте тетраэдра (точка ).

Поскольку точки , , и лежат на поверхности шара, то $LaTeX formula: O_1A=O_1C=O_1B=O_1S=R_{Onuc.}$

Угол – угол наклона боковой грани к плоскости основания ( и – перпендикуляры к ребру ).

Вписанный шар касается всех граней тетраэдра, следовательно, его радиус является перпендикуляром к плоскостям граней, то есть $LaTeX formula: R_{Bnuc.}=O_1O=O_1N$ .

Так как ( $LaTeX formula: angle SNO_1=angle SOD=90^{circ}$ и — общий), то запишем $LaTeX formula: frac{OD}{NO_1}=frac{SD}{SO_1}$ или $LaTeX formula: frac{r}{R_{Bnuc.}}=frac{SD}{R_{Onuc.}}$ , откуда $LaTeX formula: R_{Onuc.}=frac{R_{Bnuc.}cdot SD}{r}$ .

Длину отрезка найдем из теоремы Пифагора: $LaTeX formula: CD=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=frac{asqrt{3}}{2}$ .

Найдем отношение радиусов описного около тетраэдра и вписанного в тетраэдр шаров:

$LaTeX formula: frac{R_{Onuc.}}{R_{Bnuc.}}=frac{R_{Bnuc.}cdot SD}{rcdot R_{Bnuc.} }=frac{SD}{r}=frac{asqrt{3}}{2}:frac{a}{2sqrt{3}}=frac{asqrt{3}cdot 2sqrt{3}}{2a}=3$ .

Ответ: .

Пример 4. В прямой параллелепипед, одна из диагоналей оснований которого равна и равна стороне основания, вписан цилиндр, высота которого равна . Найдите объем параллелепипеда.

Решение. Окружность можно вписать в квадрат или в ромб. Но диагональ квадрата не может быть равна его стороне. Диагональ ромба может быть равна его стороне, если угол ромба равен $LaTeX formula: 60^{circ}$ . Следовательно, основание параллелепипеда – ромб.

Согласно формуле найдем площадь ромба:

$LaTeX formula: S=12cdot frac{sqrt{3}}{2}=6sqrt{3}$ .

Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра: .

Согласно формуле 9.6 найдем объем параллелепипеда:

Ответ: .

Пример 5. Около правильной треугольной пирамиды описан цилиндр, объем которого равен . Найдите объем пирамиды.

Решение. Пусть – радиус основания цилиндра, – высота цилиндра и пирамиды.

Согласно формулам 9.15 и 9.16 запишем: $LaTeX formula: pi R^2h=12sqrt{3}pi$ , $LaTeX formula: R^2h=12sqrt{3}$ .

Так как основание пирамиды – правильный треугольник со стороной , а – радиус окружности, описанной около этого треугольника, то .

Найдем площадь основания пирамиды: $LaTeX formula: S_{o.}=frac{sqrt{3}a^2}{4}=frac{3sqrt{3}R^2}{4}$ .

Согласно формуле 9.11 запишем объем пирамиды: $LaTeX formula: V=frac{1}{3cdot }frac{3sqrt{3}R^2}{4}cdot h=frac{sqrt{3}}{4}cdot R^2h$ . Учитывая, что $LaTeX formula: R^2h=12sqrt{3}$ , получим: $LaTeX formula: V=frac{sqrt{3}}{4}cdot 12sqrt{3}=9$ .

Ответ: .

Пример 6. Конус вписан в треугольную призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами см и см, а высота равна см. Найдите площадь боковой поверхности конуса (рис. 9.81).

Решение. 1. Найдем гипотенузу треугольника: (см).

2. Найдем радиус окружности, вписанной в основание призмы:

$LaTeX formula: r=frac{a+b-c}{2}$ , $LaTeX formula: r=frac{5+12-13}{2}=2$ (см).

3. Высота конуса равна высоте призмы: см.

4. По теореме Пифагора найдем образующую конуса:

$LaTeX formula: l=sqrt{r^2+h^2}$ , .

5. По формуле 9.22 найдем боковую поверхность конуса: ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{CM}\^2$ .

Пример 7. Правильная шестиугольная пирамида вписана в конус, объем которого равен $LaTeX formula: frac{16pi }{3}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что радиус основания конуса в два раза меньше его высоты.

Решение. На рисунке 9.82: – высота конуса и высота пирамиды, – радиус основания конуса и радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника и .

С учетом формул 9.19 и 9.20 получим: $LaTeX formula: frac{16pi }{3}=frac{1}{3}pi R^2cdot 2R$ , откуда , . Тогда: сторона правильного шестиугольника равна ; .

Найдем радиус окружности, вписанной в шестиугольник: $LaTeX formula: r=frac{3sqrt{3}a^2}{2}$ , $LaTeX formula: r=frac{3sqrt{3}cdot 4}{2}=6sqrt{3}$ .

По теореме Пифагора найдем апофему пирамиды:

$LaTeX formula: CS=sqrt{h^2+r^2}=sqrt{1+108}=sqrt{109}$ .

По формуле 9.13 найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$LaTeX formula: S=frac{1}{2}P_{o.}cdot h_{delta .}$ , $LaTeX formula: S=frac{1}{2}cdot 12cdot sqrt{109}=6sqrt{109}$ .

Ответ: .

Пример 8. Конус, высота которого равна , вписан в шар радиуса . Найдите объем конуса.

Решение. На рисунке 9.83 построено осевое сечение конуса. Так как , а , то .

По теореме Пифагора: . По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}pi r^2h=frac{pi}{3}(2sqrt{3})^2cdot 6=24pi$ .

Ответ: .

Пример 9. В конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объем конуса, если объем шара равен $LaTeX formula: frac{9pi }{16}$ $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Решение. Объем шара находят по формуле 9.26 . Радиус шара найдем, решая уравнение $LaTeX formula: frac{4}{3}pi R^3_{wapa}=frac{9pi}{16}$ , откуда получим $LaTeX formula: R_{wapa}=frac{3}{4}$ см. Так как осевым сечением конуса является равносторонний треугольник (рис. 9.84), то центр шара (точка ) лежит на высоте конуса и радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в треугольник , т. е. $LaTeX formula: R_{wapa}=r$ .

В свою очередь радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной , находят по формуле $LaTeX formula: r=frac{a}{2sqrt{3}}$ . Следовательно, , $LaTeX formula: a=2sqrt{3}cdot frac{3}{4}=frac{3sqrt{3}}{2}$ (см).

Найдем радиус основания конуса и его высоту: $LaTeX formula: R_{kappa .}=frac{1}{2}cdot a=frac{3sqrt{3}}{2}$ (см); $LaTeX formula: h_{kappa .}=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=frac{sqrt{3}a}{2}$ , $LaTeX formula: h_{kappa .}=frac{sqrt{3}}{2}cdot frac{3sqrt{3}}{2}=frac{9}{4}$ (см).

Согласно формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}pi left ( frac{3sqrt{3}}{2} right )^2cdot frac{9}{4}=frac{81pi}{64}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: frac{81pi}{64}$ $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Пример 10. В цилиндр, площадь поверхности которого равна , вписана сфера. Найдите площадь поверхности сферы.

Решение. Осевое сечение цилиндра – квадрат. Тогда, если радиус основания цилиндра , то его образующая и радиус шара .

Согласно условию задачи: , , , , , .

Тогда и согласно формуле 9.25 получим: $LaTeX formula: S_{cphi .}=4pi sqrt{2}^2=8pi$ .

Ответ: .

1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар и около любой треугольной пирамиды можно описать шар.

2. В любой конус можно вписать шар и около любого конуса можно описать шар.

3. Решая задачи стереометрии, часто вовсе не обязательно изображать сами пространственные фигуры, а достаточно лишь выполнить некоторые фрагменты рисунка.

Объем прямой призмы высоты и периметром основания находят по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.} cdot h$ . (9.6)

Площадь поверхности прямой призмы находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.7)

Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты и периметром основания находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=P_{o.} cdot h$ . (9.8)

Объем наклонной призмы можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.} cdot h$ . (9.9)

Площадь поверхности наклонной призмы можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ , (9.10)

Объем пирамиды высоты находят по формуле:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}S_{o.} cdot h$ , (9.11)

Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.12)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=frac{1}{2}P_{o.} cdot h_{delta .}$ , (9.13)

где $LaTeX formula: h_{delta .}$ – апофема пирамиды.

Объем цилиндра высоты находят по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.}cdot h$ . (9.15)

Площадь основания цилиндра ( – радиус основания) находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{o.}=pi r ^2$ . (9.16)

Площадь поверхности цилиндра находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.17)

Площадь боковой поверхности цилиндра находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=2pi r l$ , (9.18)

где – радиус основания, – высота, – образующая цилиндра.

Объем конуса высоты находят по формуле:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}S_{o.}cdot h$ . (9.19)

Площадь основания конуса ( – радиус основания) находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{o.}=pi r^2$ . (9.20)

Площадь поверхности конуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.21)

Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=pi r l$ , (9.22)

где r – радиус основания, l – образующая конуса.

Площадь сферы радиуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{cphi .}=4pi R^2$ . (9.25)

Объем шара радиуса находят по формуле:

$LaTeX formula: V_{wapa}=frac{4}{3}pi R^3$ . (9.26)

Источник

*Пирамида* – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A₁ A₂ …A_n , а остальные грани – треугольники с общей вершиной.
Этот n – угольник A₁ A₂ …A_n называется *основанием пирамиды.*
Остальные (треугольные) грани называются *боковыми гранями* (A₂ PA₃ , …, A_n PA₁ )
Общая вершина всех боковых граней называется *вершиной* пирамиды (P).
Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её *боковыми рёбрами* (PA₁ , PA₂ , …, PA_n )
Объединение боковых граней пирамиды называется её *боковой поверхностью.*
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется *высотой* пирамиды (РН).
Пирамида называется *правильной* , если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется *апофемой* этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу.
Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n *-угольной* . Треугольная пирамида называется *тетраэдром* . Тетраэдр называется *правильным* , если все его рёбра равны (т.о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники).
Некоторые свойства правильной пирамиды: · Все боковые рёбра равны между собой · Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники · Все двугранные углы при основании равны · Все плоские углы при вершине равны · Все плоские при основании равны · Апофемы боковых граней одинаковы по длине · В любую правильную пирамиду можно вписать сферу
*Площадью полной поверхности* пирамиды называется сумма площадей всех её граней.	S _полн = S _бок + S _осн
*Площадь боковой поверхности пирамиды –* сумма площадей её боковых граней. Объём и площадь поверхности пирамиды Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту: Определение. Боковая поверхность пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды. Определение. Полная поверхность пирамиды — это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды. Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n — это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) — это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) — это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида — это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида — это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида — это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида — это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр — четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида — многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Призма — это многогранная объемная фигура, которая состоит из двух одинаковых плоских многоугольников (основ), находящихся в двух параллельных плоскостях, а другие грани (боковые грани) — параллелограммы, что имеют общие стороны с этими многоугольниками.

Определение. Основы призмы — две грани, которые являются равными параллельными плоскими многоугольниками (ABCEF, GMNJK).

Определение. Боковые грани призмы — все остальные грани за исключением основ.

Определение. Боковая поверхность призмы — совокупность всех боковых граней призмы.

Определение. Поверхность призмы — это совокупность поверхностей двух оснований и боковой поверхности.

Определение. Боковое ребро призмы — общая сторона двух боковых граней.

Определение. Высота — это перпендикуляр, который соединяет две основы призмы под прямым углом.

Определение. Диагональ основания призмы — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, принадлежащие этой же основе.

Определение. Диагональ боковой грани призмы — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины, лежащие на одной боковой грани однако принадлежат различным основам.

Определение. Диагональ призмы (AN) — это отрезок, соединяющий две вершины, лежащие на разных основаниях, но не лежат на одной боковой стороне.

Определение. Диагональное сечение — это пересечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания призмы и боковое ребро. Треугольная призма (в основе призмы треугольники) не имеет диагональных сечений.

Определение. Перпендикулярное сечение — это пересечение призмы плоскостью, пересекающей боковые ребра призмы под прямым углом.

Определение. Прямая призма — это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.

Определение. Наклонная призма — это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.

Определение. Правильная призма — это призма, в которой основы являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.

Определение. Усечённая призма — это призма, в которой две основы не параллельны (рис. 2). Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Объём призмы

Формула. Объём призмы через площадь основания и высоту:

V = S_оснH

Формула. Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:

V = S_пL

Формула. Объём правильной прямой призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):

Площадь поверхности призмы

Формула. Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту:

S_b = P·h

Формула. Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту:

S = 2S_oсн + P·h

Формула. Площадь поверхности правильной призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):

S =	n	a²ctg	π	+ nah
2	n

Основные свойства призмы

Основы призмы — равные многоугольники.

Боковые грани призмы — параллелограммы.

Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.

Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.

В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.

Определение.

Конус — это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей, исходящих из точки и пересекающих любую плоскую поверхность. В месте пересечения образуется основание конуса.


Рис.1		Рис.2



Рис.3		Рис.4

Элементы конуса

Определение. Вершина конуса — это точка (K), из которой исходят лучи.

Определение. Основание конуса — это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.

Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.

Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):

L² = R² + H²

Определение. Направляющая конуса — это кривая, которая описывает контур основания конуса.

Определение. Боковая поверхность конуса — это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.

Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.

Определение. Высота конуса (H) — это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.

Определение. Ось конуса (a) — это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Определение. Конусность (С) конуса — это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса — это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:

где C — конусность, D — диаметр основания, d — диаметр меньшего основания и h — расстояние между основаниями.

Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:

где R — радиус основы, а H — высота конуса.

Определение. Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника — это диаметр основания конуса.

Определение. Касательная плоскость к конусу — это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.

Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).

Определение. Прямой конус — это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.Формула. Объём кругового конуса:

где R — радиус основы, а H — высота конуса.Формула. Площадь боковой поверхности (S_b) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

S_b = πRL

Формула. Общая площадь поверхности (S_p) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:

S_p = πRL + πR²

Определение. Косой (наклонный) конус — это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.Формула. Объём любого конуса:

где S — площадь основы, а H — высота конуса.

Определение. Усеченный конус — это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.Формула. Объём усеченного конуса:

где S₁ и S₂ — площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h — расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.

Уравнение конуса

1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

x²	+	y²	—	z²	= 0
a²	a²	c²

2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

x²	+	y²	=	z²
a²	b²	c²

Основные свойства кругового конуса

1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.

3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.

4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)

5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).

6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).

7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).

8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.

Источник

Содержание:

Объёмы поверхностей геометрических тел:

То, чем в предыдущие эпохи занимались только зрелые умы ученых мужей, в более позднее время стало доступным для понимания юношей.

С древних времен люди применяли геометрию для решения конкретных житейских проблем — нахождения объемов сосудов, строений и кораблей, количества краски, необходимой для ремонта помещения. На основании практического опыта были разработаны методы вычисления объемов тел и площадей поверхностей. Но нахождение соответствующих формул, а тем более их доказательств заняло немало страниц в истории геометрической науки. Многие выдающиеся ученые внесли свой вклад в развитие теории объемов, а популяризаторы математики — в упрощение и доступное изложение этой теории.

Основной целью данной главы является формирование представлений об объемах и площадях поверхностей, обоснование соответствующих формул для основных пространственных фигур. Вы. научитесь использовать различные методы нахождения объемов, как строго геометрические, так и те, которые объединяют в себе геометрию и начала анализа. При изучений объемов тел полезно будет вспомнить и систематизировать материал о площадях фигур на плоскости. Подходы, которые применялись для получения основных формул площадей, будут надежным фундаментом для построения теории объемов.

В данной главе речь пойдет о всех основных фигурах, которые вы изучали в течение года, в частности о тесной связи многогранников и тел вращения. Это даст вам возможность, с одной стороны, вспомнить основные факты из курса геометрии, а с другой — на основании формул для площадей поверхностей многогранников получить соответствующие результаты для тел вращения.

Задачи данной главы содержат много геометрических конфигураций, что позволит вам переосмыслить весь курс стереометрии с точки зрения применения своих знаний на практике, в частности для нахождения, пожалуй, самых распространенных в жизни геометрических величин — объемов и площадей поверхностей. Ради этого бесценного опыта вы и изучали, в конце концов, геометрию в пространстве.

Объемы

Понятие объема хорошо известно на уровне повседневного опыта: мы покупаем пакет сока определенного объема, рассчитываем, какой объем займет в квартире новая мебель, берем для приготовления блюда кастрюлю соответствующего объема. Придадим этим наглядным представлениям об объеме тела определенную математическую строгость.

Понятие объема многогранников

Для дальнейших рассуждений полезно объединить практический опыт и известную уже теорию площадей многоугольников. По аналогии с ней мы и будем строить теорию объемов пространственных тел, в первую очередь многогранников.

Объем характеризует величину части пространства, которую занимает геометрическое тело, и измеряется, как и площадь, в определенных единицах. Единицей измерения площадей является площадь единичного квадрата, а за единицу измерения объема принимается объем единичного куба, то есть куба, ребро которого равно единице длины. Например, если за единицу измерения длины принимается 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м, то за единицу измерения объема принимается объем куба с ребром 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м. Соответствующая единица объема называется кубическим миллиметром (1 мм³), кубическим сантиметром (1 см³), кубическим дециметром или литром (1 дм³ или 1 л), кубическим метром (1 м³). Таким образом, вычисление объемов тел разной формы основано на сравнении с объемом единичного куба.

Измерить объем тела на практике можно, например, погрузив его в воду и подсчитав количество вытесненной телом воды. Но во многих случаях это не целесообразно, поэтому очень полезно вывести и научиться применять формулы для вычисления объемов. Соответствующая теория основана на аксиомах объема многогранников.

Равные многогранники имеют равные объемы.
Бели многогранник составлен из нескольких многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.
Объем куба с ребром, равным единице длины, равен единице объема.

Итак, объем многогранника — это положительная величина, Числовое значение которой удовлетворяет аксиомам объема. : — Как правило, объем обозначают буквой V.

Приведенные аксиомы имеют и практическую основу. Действительно, все пакеты, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда и одинаковые размеры, содержат одинаковое количество сока.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Если же каждый из двух пакетов можно разлить в одинаковое количество маленьких пакетиков, то сумма объемов этих пакетиков будет равна объему каждого из них, то есть данные пакеты имеют одинаковый объем.

Тела, составленные из одних и тех же многогранников, называются равносоставленными. Например, равносоставленными будут тела, изображенные на рисунке 190, а, б: прямая треугольная призма и прямой параллелепипед. Действительно, каждая из этих фигур составлена из двух одинаковых прямых призм, таких как на рисунке 190, в.

Очевидно, что объемы равносоставленных многогранников равны по второй аксиоме. Интересно, что обратное утверждение неверно (в отличие от аналогичной теоремы для площадей). Так, многогранники равного объема не всегда можно разбить на конечное число равных многогранников. В частности, куб и правильный тетраэдр равных объемов (рис. 190) не являются равносоставленными.

Объем параллелепипеда

Простейшей фигурой с точки зрения вычисления объема является прямоугольный параллелепипед.

Теорема (формула объема прямоугольного параллелепипеда)

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:

где — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Приведем рассуждения, на которых основано доказательство данной теоремы.

Сначала рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями а, 1, 1. Так как в отрезке а единица измерения длины помещается а раз, то единичный куб помещается в параллелепипед также а раз. Значит, объем прямоугольного параллелепипеда равен а (рис. 191, а).

Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 равен (рис. 191, б), а прямоугольного параллелепипеда с измерениями — равен abc (рис. 191, в).

Полное доказательство данной теоремы приведено в Приложении 2.

Следствие (формула объема куба)

Объем куба равен кубу его ребра:

где а — ребро куба.

Нам известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его измерений, а параллелограмма — произведению его стороны на проведенную к ней высоту. По аналогии нетрудно предположить, что объем произвольного параллелепипеда также можно найти через площадь основания и соответствующую высоту.

Теорема (формула объема параллелепипеда)

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту:

где — площадь основания параллелепипеда, h — высота.

Доказательство:

Очевидно, что для прямоугольного параллелепипеда данная формула верна. Докажем ее для наклонного параллелепипеда (рис. 192). Проведем через ребра ВС и AD плоскости, перпендикулярные основанию ABCD. Дополним наклонный параллелепипед треугольной призмой и отсечем треугольную призму Эти призмы равны, так как совмещаются параллельным переносом на вектор . Значит, полученный параллелепипед имеет тот же объем, что и исходный.

При описанном преобразовании параллелепипеда площадь его основания и высота сохраняются, а две боковые грани становятся перпендикулярными плоскости основания ABC. Если выполнить аналогичное преобразование с помощью плоскостей, проходящих через АВ и DC перпендикулярно основанию ABCD, получим прямой параллелепипед с основанием ABCD, равновеликий исходному. При этом высоты параллелепипедов также сохраняются.

Теперь проведем через точки А я В плоскости, перпендикулярные АВ (рис. 193). Дополняя прямой параллелепипед одной треугольной призмой (I) и отсекая равную ей другую призму (2), получим прямоугольный параллелепипед, равновеликий предыдущему.

Объем полученного прямоугольного параллелепипеда равен . Так как при описанных выше преобразованиях данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз образуется параллелепипед, равновеликий предыдущему, а площадь

основания и высота сохраняются, то и объем исходного параллелепипеда можно вычислить с помощью полученной формулы. Итак, объем наклонного параллелепипеда

Таким образом, объем произвольного параллелепипеда вычисляется по формуле

Теорема доказана.

Пример №1

В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро параллелепипеда равно 6 см. Найдите объем данного параллелепипеда, если две его боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 30°.

Решение:

Пусть дан параллелепипед (рис. 194), в основании которого лежит прямоугольник ABCD со сторонами 3 см и 4 см. Боковые ребра параллелепипеда равны и имеют длину б см. Противолежащие боковые грани параллелепипеда параллельны, следовательно, наклонены к плоскости его основания под равными углами.

Пусть грани перпендикулярны грани ABCD, а грани образуют с ABCD угол 30°. Проведем в плоскости перпендикуляр к AD. По свойству перпендикулярных плоскостей , следовательно, — высота данного параллелепипеда. Так как является перпендикуляром, — наклонной, KD — ее проекцией на плоскость ABC, причем , то по теореме о трех перпендикулярах . Значит, угол равен углу между плоскостями . По условию . Из прямоугольного треугольника получим: = 3 см.

Таким образом,

Ответ: 36 см³.

Объем призмы

На плоскости для получения формулы площади треугольника было удобно дополнить треугольник до параллелограмма. Далее, для получения формулы площадей других многоугольников, целесообразно было разбить их на треугольники. Применим аналогичные приемы для вывода формулы объема призмы.

Теорема (формула объема призмы)

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту:

где — площадь основания призмы, h — ее высота.

Доказательство:

Пусть дана треугольная призма . Дополним ее до параллелепипеда , как показано на рисунке 195. Дополняющая призма симметрична данной относительно центра симметрии параллелепипеда точки О. Значит, она равна данной призме. Тогда, по аксиомам объема, объем параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы. Но значит,

Применим только что выведенную формулу объема треугольной призмы к рассмотрению произвольной призмы.

Разобьем основание призмы на треугольники, а призму — на соответствующие треугольные призмы с высотой h (рис. 196).

По аксиоме, объем данной призмы равен сумме объемов составляющих ее треугольных призм:

где — площади треугольников, на которые разбито основание призмы.

Теорема доказана.

Пример №2

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения: , где I — боковое ребро призмы, — площадь перпендикулярного ему сечения. Докажите.

Решение:

Рассмотрим наклонную призму F₁ с ребром АА₁ = I (рис. 197). Проведем два ее перпендикулярных сечения, расстояние между плоскостями которых I и которые не имеют с данной призмой общих точек. При этом получим прямую призму F₂ и многогранник F₃ (рис. 197). Многогранник, гранник, как совмещаются параллельным переносом на вектор . Поэтому их объемы равны. Эти многогранники имеют общую часть F₃. Отсюда по аксиоме объема следует, что объемы призм F₁ и F₂ также равны. Но последняя призма является прямой, и ее объем равен . Значит, объем данной призмы равен .

Объем цилиндра

При обосновании формулы площади круга в планиметрии мы использовали вписанные в окружности и описанные около них многоугольники. Применим аналогичные рассуждения и в пространстве, заменив круг на цилиндр, а многоугольники — на призмы. Дадим соответствующие определения.

Определение:

Прямая призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

При этом цилиндр называется описанным около призмы. Очевидно, что боковые ребра призмы — образующие цилиндра, а высоты прямой призмы и описанного около нее цилиндра равны (рис. 198).

Определение:

Прямая призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра.

При этом цилиндр называется вписанным в призму (рис. 199). Очевидно, что высоты прямой призмы и вписанного в нее цилиндра равны.

Теорема (формула объема цилиндра)

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту:

где — площадь основания цилиндра, h — высота, R — радиус цилиндра.

Доказательство:

Впишем в данный цилиндр радиуса R и высоты h правильную п-угольную призму с площадью основания S’_n и опишем около него правильную n-угольную призму с площадью основания (рис. 200). Тогда, по доказанному при обосновании формулы для площади круга,

Отсюда следует, что при неограниченном возрастании п объемы вписанных призм и объемы описанных призм стремятся к величине . Значит, существуют призмы, содержащиеся в данном цилиндре, и призмы, содержащие его, объемы которых сколь угодно мало отличаются от . Тогда объем цилиндра выражается формулой V = .

Теорема доказана.

Пример №3

Основание прямой призмы — треугольник со стороной с-и прилежащими к ней углами . Диагональ грани, содержащей сторону с, образует с плоскостью основания призмы угол ф. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.

Решение:

Пусть дана прямая треугольная призма , в основании которой лежит треугольник . Так как , то — наклонная, АВ — ее проекция на плоскость ABC. Значит, по определению угол равен углу между АВ и плоскостью ABC. По условию (рис. 201).

Рассмотрим цилиндр, описанный около данной призмы. Его основания описаны около оснований призмы, высота равна высоте призмы.

По теореме синусов для треугольника ABC имеем:

Из прямоугольного треугольника

Следовательно, объем цилиндра равен:

Ответ:

Объемы пирамиды, конуса и шара

Рассмотрим способ вычисления объемов тел, в основе которого лежит понятие интеграла, известное из курса алгебры и начал анализа.

Общая формула объема

Пусть тело Т, объем которого требуется вычислить, расположено между двумя параллельными плоскостями . Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна плоскостям (рис. 202). Пусть плоскость а задана уравнением х = а, а плоскость — х = Ь (а<Ь).

Будем рассматривать случай, когда любое сечение тела Ф(х) плоскостью, перпендикулярной-оси Ох и пересекающей эту ось в точке (х;0;0), является кругом или многоугольником (такой случай возможен, если Ф(х) — точка).

Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(x). Допустим, что S(x) — непрерывная функция при . Разобьем отрезок [a;b] на n равных отрезков точками и через точки с абсциссами х, проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох (рис. 203).

Эти плоскости разобьют тело Т на n тел: . Если сечение Ф(х₁) — круг, то объем тела Т, приближенно равен объему цилиндра с основанием Ф(х₁) и высотой Если сечение Ф(х₁) — многоугольник, то объем тела T_iприближенно равен объему прямой призмы с основанием ф(х, ) и высотой

Учитывая, что объем цилиндра и призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть получаем:

При неограниченном возрастании n правая часть данной формулы приближается сколь угодно близко к объему тела Т. С другой стороны, так как S(x) непрерывна на , это же выражение приближается к соответствующему интегралу. Итак,

Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема тела с помощью интеграла. Будем называть ее интегральной формулой объема.

Из этой формулы вытекает интересное и удобное в применении следствие, формулировка которого принадлежит итальянскому математику Бонавентуре Кавальери.

Принцип Кавальери

Если при пересечении двух тел F₁ и F₂ плоскостями, параллельными одной и той же плоскости а, в сечениях получаются фигуры с равными площадями, то объемы данных тел равны.

Это утверждение легко вывести из интегральной формулы объема, если расположить систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна плоскости а (рис. 204). Применение интеграла и принципа Кавальери позволяет значительно упростить нахождение формул, выражающих объемы многих важных тел.

Объем пирамиды и конуса

В пунктах 15.3 и 15.4 мы установили, что объемы призмы и цилиндра определяются одной и той же формулой:

Поэтому вполне естественно предположить, что будут совпадать формулы для объемов пирамиды и конуса.

Теорема (формула объема пирамиды)

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

где — площадь основания пирамиды, h — высота.

Доказательство:

Разместим пирамиду в системе координат так, чтобы ось Ох была направлена вдоль высоты, а основание’ принадлежало бы плоскости (рис. 205). Пусть некоторая плоскость параллельна основанию пирамиды и пересекает ее высоту в точке (х;0;0). Обозначим через S(x) площадь сечения пирамиды этой плоскостью. По доказанному в п. 10.2 она отсекает пирамиду, подобную данной. В частности, подобными являются многоугольники основания и сечения. Пусть k — коэффициент подобия. Тогда

Отсюда

Применяя теперь для пирамиды интегральную формулу объема, получим:

Теорема доказана.

Следствие (формула объема усеченной пирамиды)

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

где h — высота усеченной пирамиды, площади ее оснований.

Доказательство:

Дополним данную усеченную пирамиду до полной с высотой Н (рис. 206). Тогда высота дополняющей пирамиды будет равна H-h. Из подобия полной и дополняющей пирамид, площади оснований которых равны соответственно, получаем:

По аксиомам объема, объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной и дополняющей пирамид. Следовательно,

Формула доказана.

Заметим, что при доказательстве теоремы об объеме пирамиды и ее следствия, кроме интегральной формулы объема, мы применили только тот факт, что плоскость, параллельная основанию, отсекает пирамиду, для площади основания S(x) и высоты h-x которой верна формула

Но эта формула, по доказанному в п. 13.2, также верна и для конуса (рис. 207). Поэтому аналогичными формулам объема и их доказательствам для пирамиды и усеченной пирамиды будут формулы объема и их доказательства для конуса и усеченного конуса.

Теорема (формула объема конуса)

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту:

где — площадь основания конуса, R — радиус, h — высота.

Следствие (формула объема усеченного конуса)

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле

где h — высота усеченного конуса, — площади его оснований, — радиусы его оснований.

С помощью вписанных и описанных призм мы вывели формулу для объема цилиндра. Подобную связь можно установить также для конусов и пирамид.

Определение:

Пирамида называется вписанной в конус, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса.

При этом конус называется описанным около пирамиды.

Очевидно, что высоты пирамиды и описанного конуса равны, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса (рис. 208).

Определение:

Пирамида называется описанной около конуса, если их вершины совпадают, а основание пирамиды описано около основания конуса.

При этом конус называется вписанным в пирамиду.

Очевидно, что высоты пирамиды и вписанного конуса равны, а высоты боковых граней пирамиды являются образующими конуса (рис. 209).

Рассмотрим правильные л-угольные пирамиды, вписанные в данный конус, и правильные л-угольные пирамиды, описанные около него (рис. 210).

Если число n сторон оснований этих пирамид неограниченно возрастает, то площади их оснований стремятся к площади круга, лежащего в основании конуса. Следовательно, их объемы стремятся Тогда существуют вписанные в конус и описанные около него пирамиды с объемами, сколь угодно мало отличающимися от

Из этих рассуждений становится понятным другое обоснование формулы объема конуса

Объем шара и его частей

Непосредственно получить только из геометрических рассуждений формулу для объема шара очень сложно. Но с помощью интегральной формулы объема и принципа Кавальери доказательство соответствующих результатов является простым и наглядным.

Теорема (формула объема шара)

Объем шара радиуса R вычисляется по формуле

Доказательство:

Найдем сначала объем полушара, применив принцип Кавальери.

Пусть дан полушар F_l радиуса R. На плоскость а, содержащую основание полушара, поставим цилиндр, радиус и высота которого также равны R. В цилиндр впишем конус, вершина которого совпадает с центром основания цилиндра в плоскости а, а основание — с другим основанием цилиндра (рис. 211).

Сравним объем V₁ полушара с объемом V₂ тела F₂, ограниченного нижним основанием цилиндра и боковыми поверхностями цилиндра и конуса.

Проведем плоскость , параллельную плоскости а и удаленную от нее на расстояние х . Эта плоскость пересечет данный полушар по кругу радиуса и площади , а тело F₂ — по кольцу. Так как осевое сечение конуса является равнобедренным прямоугольным треугольником, внешний радиус кольца равен R, а внутренний — х. Значит, площадь полученного кольца составит и будет равна площади сечения полушара. По принципу Кавальери, объем полушара равен объему тела F₂, то есть разности объемов цилиндра и конуса:

Объем шара вдвое больше объема полушара, следовательно, вычисляется по формуле . Теорема доказана.

Пример №4

Сечение шара, удаленное от его центра на 1 см, имеет площадь 8л см². Найдите объем шара.

Решение:

Пусть дан шар с центром О. Сечение шара некоторой плоскостью а является кругом с центром , причем . Так как О удалена от а на 1 см, то = 1 см.

Пусть точка К сферы, ограничивающей шар, принадлежит данному сечению (рис. 212). Тогда площадь сечения равна , откуда (см). Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:

По формуле объема шара

Ответ:

Найдем теперь объемы частей шара.

Определение:

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.

На рисунке 213 плоскость сечения, проходящая через точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного плоскости сечения,— высотами сегментов. Так, на рисунке 213 — высота меньшего сегмента, — высота большего сегмента.

Теорема (формула объема шарового сегмента)

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле

где R — радиус шара, Н — высота сегмента.

Доказательство:

Применим для шарового сегмента интегральную формулу объема.

Введем декартову систему координат так, чтобы ее начало совпадало с центром шара.

Тогда часть шара, ограниченная плоскостями , является шаровым сегментом с высотой Н (рис. 214).

Радиус сечения шарового сегмента плоскостью, пересекающей ось Ох в точке (х;0;0), равен Следовательно, площадь этого сечения По интегральной формуле объема для шарового сегмента получаем:

Теорема доказана.

Заметим, что при Н -2R из только что доказанной формулы следует еще один способ нахождения формулы объема шара:

Определение:

Шаровым сектором называется тело, ограниченное сферической поверхностью шарового сегмента и боковой поверхностью конуса, основанием которого является основание сегмента, а вершиной — центр шара.

Очевидно, что если шаровой сегмент меньше полушара, его дополняют конусом для получения шарового сектора; если же шаровой сегмент больше полушара, то для получения шарового сектора конус из него удаляют (рис. 215).

Теорема (формула объема шарового сектора)

Объем шарового сектора вычисляется по формуле

где R — радиус шара, Я — высота соответствующего шарового сегмента.

Доказательство:

Рассмотрим случай шарового сектора, высота Я соответствующего шарового сегмента для которого меньше R (рис. 216).

Тогда его объем равен сумме объема сегмента и объема конуса V₂. Следовательно,

Случай, когда высота Н больше или равна R, рассмотрите самостоятельно.

Теорема доказана.

Определение:

Шаровым слоем (поясом) называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Расстояние между этими плоскостями называется высотой шарового слоя, а сечения, ограничивающие слой,— основаниями шарового слоя (рис. 217).

Заметим, что объем шарового слоя можно вычислить двумя способами:

как разность объемов двух шаровых сегментов;
как разность объема шара и объемов двух сегментов, не входящих в слой.

Объемы подобных тел

Из повседневного опыта нам хорошо известно, что при увеличении размеров предмета его объем также увеличивается. Например, легко сравнить объемы двух аквариумов, размеры одного из которых вдвое меньше соответствующих размеров другого (рис. 218): объемы отличаются в 8 раз.

Кроме того, можно проследить за подобными с коэффициентом k многоугольниками на плоскости. Как известно, их периметры отличаются в k раз, площади — в k² раз. Естественно предположить, что объемы подобных с коэффициентом k пространственных тел отличаются к³ раз. Проверим это для тел, формулы объема которых нам уже известны.

Итак, для всех рассмотренных тел верно следующее утверждение: объемы тел, подобных с коэффициентом k, относятся как k³.

Этот факт верен и для любых простых тел, то есть тел, которые можно разбить на конечное число треугольных пирамид. В частности, любые многогранники, подобные с коэффициентом к, имеют объемы, которые отличаются в k³ раз.

Пример №5

Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?

Решение:

Пусть дана пирамида с вершиной S и высотой SO. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает SO в точке (рис. 219).

По условию = Но отсекаемая пирамида подобна данной, причем отношение их высот равно коэффициенту подобия, то есть По свойству объемов подобных тел объем отсекаемой пирамиды в 8 раз меньше объема данной пирамиды. Следовательно, данная плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее объем в отношении 1:7.

Ответ: 1:7.

Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
Объем фигур вращения
Длина дуги кривой
Геометрические фигуры и их свойства
Правильные многоугольники
Вписанные и описанные многоугольники
Площадь прямоугольника
Объем пространственных фигур

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Объем правильной треугольной пирамиды
- 3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
Примеры задач