Как найти объем фигуры вращения формула

Дополнения

1.О применении определённого интеграла для нахождения объёмов тел вращения

1.1.Формула объёма тела вращения

В п.16.2 дано определение тела вращения.

Получим формулу для вычисления объёма тела вращения, применяя интеграл, о котором вам рассказали в курсе «Алгебры и начал математического анализа».

Пусть f(x) — непрерывная на отрезке [a; b] функция, не принимающая отрицательных значений; А, В — точки графика этой функции (рис. 225).

Рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную кривой графика функции y = f(x), отрезками aA, bB и отрезком [a; b] координатной оси Ох (см. рис. 225). При вращении этой трапеции вокруг оси Ох образуется тело вращения (рис. 226), которое обозначим Ф и поставим себе задачу: найти объём этого тела.

Через произвольную точку х = с (a ⩽ с ⩽ b) отрезка [a; b] проведём плоскость, перпендикулярную оси Ox. Сечением тела Ф этой плоскостью является круг, радиус которого равен f(с), а площадь — πf2(с) (или точка (c; 0)).

Объём части тела Ф, заключённой между этой плоскостью и плоскостью х = a, изменяется при изменении x. Обозначим этот переменный объём V(х). Заметим, что V(x) = V(a) = 0 при х = a; при х = b имеем V(x) = V(b) = V — искомый объём тела вращения Ф.

Покажем, что функция V(x) имеет производную V′(х) и V′(х) = πf2(х).

Придадим абсциссе х приращение ∆х > 0, тогда объём V(х) получает приращение ∆V(х) = V(x + ∆x) – V(x). Пусть m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(х) на промежутке [х; х + ∆х]. Цилиндр, радиус основания которого равен m, содержится в теле вращения объёма ∆V(x), а цилиндр, радиус основания которого равен M, содержит тело объёма ∆V(х); образующие цилиндров параллельны оси Ох и имеют длину, равную ∆х. Объёмы этих цилиндров равны соответственно πm2•∆x и πM2•∆х. На основании свойства 2 объёмов (п. 10.1) получаем

πm2•∆x ⩽ ∆V(x) ⩽ πM2•∆x,

откуда

πm2 ⩽  ⩽ πM2.

Рассуждения для случая ∆х < 0 проводятся аналогично и дают тот же результат.

Пусть теперь ∆х 0. Имеем m = M = f(x), тогда

 πm2 ⩽  ⩽  πM2

или

πf2(х) ⩽  ⩽ πf2(x).

Значит,  = πf2(х). По определению производной функции  = V′(x). Поэтому V ′(x) = πf2(х), следовательно, V(х) — первообразная для πf2(х).

Таким образом, переменный объём V(x) телa вращения представляет собой одну из первообразных для функции πf 2(х) на отрезке [a; b]. Эта первообразная обладает тем свойством, что при х = a она обращается в нуль (V(a) = 0), а при х = b значение функции V(x) равно объёму тела вращения Ф (V(b) =  V).

Если F(х) — также некоторая первообразная для функции πf 2(x), то V(x) = F(x) + С, где С — произвольная постоянная. Так как V (a) = 0, то из равенства V(a) = F (a) + C = 0 находим С = –F(a). Значит, V(x) = F(x) – F(a). Toгдa V(b) = F(b) – F(a). Ho V(b) = V — искомый объём тела вращения Ф. Таким образом, V = F(b) – F(a), где F(b) и F(a) — значения первообразной для функции πf 2(х) соответственно при х = b и х = a. Это означает, что

V = f 2(x)dx = π(x)dx.

Вот почему объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = f(x), х = a, х = b, у = 0, вычисляется по формуле

V = (x)dx.(*)

ЗАДАЧА. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = , х = 0, x = 2 и y = 0 (рис. 227).

Решение. Воспользуемся формулой V = π(x)dx, для чего из уравнения у =   находим y2 = 2х. Тогда получаем

V = πdx = 2π• = = 4π.

Ответ: 4π.

1.2. Объёмы конуса, шара и его частей

Используя формулу V = (x)dx вычисления объёма тела вращения, получим формулы для вычисления объёма каждого изученного ранее тела вращения.

а) Объём конуса и усечённого конуса

Теорема 1 (об объёме полного конуса). Объём V конуса с высотой Н и радиусом основания R равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V =  R2Н.

Доказательство. Конус с высотой Н и радиусом основания R можно рассматривать как тело, образованное вращением вокруг оси Ox прямоугольного треугольника с вершинами О(0; 0), А(Н; 0) и B(Н; R) (рис. 228). Треугольник АОВ является частным случаем криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции у =  х (0 ⩽ х ⩽ H), осью Ох и отрезком прямой х = Н. Поэтому, используя формулу (*) п. 1.1 «Дополнений» для объёма V конуса, получаем:

V = dx = π • =  πR2H,

где πR2 — площадь основания конуса. Теорема доказана. ▼

Теорема 2 (об объёме усечённого конуса). Объём усечённого конуса с высотой Н и радиусами оснований r и R равен сумме объёмов трёх конусов с высотой Н, радиусы оснований которых соответственно равны r, R и :

V =  (r2 + R2 + rR)H.

Доказательство. Усечённый конус с высотой H и радиусами оснований r и R можно получить, вращая вокруг оси Oх прямоугольную трапецию OABC, где O(0; 0), A(0; r), В(Н; R), С(H; 0) (рис. 229).

Рис. 229

Прямая AВ проходит через точки (0; r) и (Н; R), поэтому её уравнение имеет вид у =  х + r. Следовательно, трапеция ОАВС ограничена графиком функции y =  х + r (0 ⩽ х ⩽ Н), осью Oх и отрезками прямых х = 0 и х = Н. Поэтому, используя формулу (*) из п. 1.1 для объёма V усечённого конуса, получаем:

V = dx.(1)

Для вычисления интеграла сделаем замену переменных

 x + r = t.(2)

Тогда  dx = dt, откуда dx =  dt. Новые пределы интегрирования (по переменной t) найдём посредством подстановки формулы (2): х = 0 ⇒ t = r; х = Н ⇒ t = R. Таким образом, для объёма V усечённого конуса получаем:

что и требовалось доказать. ▼

б) Объём шарового слоя

В прямоугольной декартовой системе координат Оху рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную дугой окружности х2 + у2 = R2, –R ⩽ a ⩽ х ⩽ b ⩽ R, отрезком [a; b] оси Ох и отрезками aА и bВ прямых соответственно x =  a и х = b (рис. 230, а).

Рис. 230

При вращении криволинейной трапеции aАВb вокруг оси Ох образуется шаровой слой (рис. 230, б). Найдём его объём, применяя формулу (*) п. 1.1.

Из уравнения х2 + у2 = R2 имеем у2 = R2 – x2. Поэтому для вычисления объёма V шарового слоя получаем:

Таким образом, объём шарового слоя, отсекаемого от шара x2 + y2 + z2 ⩽ R2 радиуса R плоскостями x = a и x = b, вычисляется пo формуле

V = (**)

Пусть радиусы оснований шарового слоя равны r1 и r2 (r1 > r2), а высота — H (см. рис. 230, a).

Тогда Н = b – a,  = R2 – a2,  = R2 – b2.

Формулу (**) преобразуем к виду:

Из системы равенств (b – a)2 = H2, R2 – a2 = , R2 – b2 = после почленного сложения их левых и правых частей находим:

R2 – ab = .

Тогда:

Таким образом, объём шарового слоя с радиусами оснований r1 и r2 и высотой Н вычисляется по формуле

V = .(***)

в) Объём шара

При вращении полукруга х2 + у2 = R2 (расположенного в плоскости Оху, рис. 231, а) вокруг оси Ох образуется шар радиуса R (рис. 231, б). Из уравнения окружности х2 + y2 = R2 данного полукруга имеем у2 = R2 – х2. Тогда, полагая a = –R, b = R в формуле (*) п. 1.1, находим объём V шара радиуса R:

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 3 (об объёме шара). Объём шара радиуса R вычисляется по формуле

Vш = .

г) Объём шарового сегмента

Если b = R (см. п. 1.2, б), то получаем криволинейную трапецию aAB (рис. 232, а), при вращении которой вокруг оси Ох образуется шаровой сегмент (рис. 232, б).

Пусть высота шарового сегмента равна Н, тогда a = R – Н. Так как дуга AВ криволинейной трапеции aАВ является частью окружности x2 + y2 = R2 (в плоскости Оxу), то формулу объёма шарового сегмента получим по аналогии с выводом формулы для вычисления объёма шара, учитывая при этом, что пределы a и b интегрирования равны: a = R – H, b = R, т. е.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 4 (об объёме шарового сегмента). Объём шарового сегмента, отсекаемого от шара радиуса R и имеющего высоту Н, вычисляется по формуле

Vш. сегм =

Если в формуле (***) п. 1.2, б положить r2 = 0, r1 = r, то получим формулу для вычисления объёма шарового сегмента с радиусом основания r и высотой Н:

Vш. сегм =  (3r2 + H2).

д) Объём шарового сектора

Шаровой сектор состоит из конуса с вершиной в центре шара и шарового сегмента, имеющего с конусом общее основание (риc. 233). Пусть R = ОА — радиус шара; АС = r — радиус основания шарового сегмента, NC  = H — его высота; N — точка сферы (рис. 233).

Найдём объёмы конуса и шарового сегмента, учитывая, что высота h конуса равна OC = ON – CN = R – Н.

Объём Vк конуса равен

 π•АС2•ОС =  πr2 (R – Н).

Выразим r2 через R и H.

B прямоугольном треугольнике AOC находим r2 = AC2  = ОА2 – OC2 = R2 – (R – H)2 = H(2R – H).

Значит,

Vк =  πH(2R – H)(R – H) =  (2R2 – 3RH + H2).

Для объёма шарового сегмента имеем:

Тогда для объёма шарового сектора получаем

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5 (об объёме шарового сектора). Объём шарового сектора шара радиуса R вычисляется по формуле

Vш. сект = R2H,

где Н — длина высоты шарового сегмента, соответствующего данному шаровому сектору.

В курсе математического анализа, который вам предстоит изучать в высшей школе, будет дано строгое обоснование применения определённого интеграла не только для нахождения объёмов тел, но и для нахождения площадей поверхностей и длин дуг линий.
Решите самостоятельно следующие задачи.

1)Найдите объём тела, которое получается при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой у = , прямыми х = 3, х = 12 и осью абсцисс. (Ответ: 4π.)

2)Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Oх фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin x и отрезком 0 ⩽ х ⩽ π оси абсцисс. (Ответ: 0,5π2.)

3)Найдите объём тела, полученного при вращении кривой у = 0,25х2 вокруг оси Оу в пределах от у = 1 до у = 5. (Ответ: 48π.)

4)Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми у = 2х2 и у = x3.

Определение
3. Тело
вращения – это тело, полученное вращением
плоской фигуры вокруг оси, не
пересекающей фигуру и лежащей с ней в
одной плоскости.

Ось вращения может
и пересекать фигуру, если это ось
симметрии фигуры.

Теорема
2. Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осьюи отрезками прямыхивращается вокруг оси.
Тогда объём получающегося тела вращения
можно вычислить по формуле

(2)

Доказательство.
Для такого тела сечение с абсциссой
– это круг радиуса,
значити формула (1) даёт требуемый результат.

Если фигура
ограничена графиками двух непрерывных
функций
и,
и отрезками прямыхи,
причёми,
то при вращении вокруг оси абсцисс
получим тело, объём которого

Пример
3. Вычислить
объём тора, полученного вращением круга,
ограниченного окружностью вокруг оси абсцисс.

Решение.
Указанный круг снизу ограничен графиком
функции
,
а сверху –.
Разность квадратов этих функций:

Искомый объём

(графиком
подынтегральной функции является
верхняя полуокружность, поэтому
написанный выше интеграл – это площадь
полукруга).

Пример 4.
Параболический сегмент с основанием
,
и высотой,
вращается вокруг основания. Вычислить
объём получающегося тела («лимон»
Кавальери).

Решение.
Параболу расположим как показано на
рисунке. Тогда её уравнение
,
причем.
Найдём значение параметра:.
Итак, искомый объём:

Теорема
3. Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осьюи отрезками прямыхи,
причём,
вращается вокруг оси.
Тогда объём получающегося тела вращения
может быть найден по формуле

(3)

Идея
доказательства.
Разбиваем отрезок
точками,
на части и проводим прямые.
Вся трапеция разложится на полоски,
которые можно считать приближенно
прямоугольниками с основаниеми высотой.

Получающийся при
вращении такого прямоугольника цилиндр
разрежем по образующей и развернём.
Получим «почти» параллелепипед с
размерами:
,и.
Его объём.
Итак, для объёма тела вращения будем
иметь приближенноё равенство

Для получения
точного равенства надо перейти к пределу
при .
Написанная выше сумма есть интегральная
сумма для функции ,
следовательно, в пределе получим интеграл
из формулы (3). Теорема доказана.

Замечание
1. В теоремах
2 и 3 условие
можно опустить: формула (2) вообще
нечувствительна к знаку,
а в формуле (3) достаточнозаменить на.

Пример
5.
Параболический сегмент (основание
,
высота)
вращается вокруг высоты. Найти объём
получающегося тела.

Решение.
Расположим
параболу как показано на рисунке. И хотя
ось вращения пересекает фигуру, она –
ось – является осью симметрии. Поэтому
надо рассматривать лишь правую половину
сегмента. Уравнение параболы
,
причем,
значит.
Имеем для объёма:

Замечание
2. Если
криволинейная граница криволинейной
трапеции задана параметрическими
уравнениями
,,и,то можно использовать формулы (2) и (3) с
заменойнаинапри измененииt
от
до.

Пример
6. Фигура
ограничена первой аркой циклоиды
,,,
и осью абсцисс. Найти объём тела,
полученного вращением этой фигуры
вокруг: 1) оси;
2) оси.

Решение.
1) Общая формула
В нашем случае:

2) Общая формула
Для нашей фигуры:

Предлагаем
студентам самостоятельно провести все
вычисления.

Замечание
3. Пусть
криволинейный сектор, ограниченный
непре-рывной линией
и лучами,,
вращается вокруг полярной оси. Объём
получающегося тела можно вычислить по
формуле.

Пример
7. Часть
фигуры, ограниченной кардиоидой
,
лежащая вне окружности,
вращается вокруг полярной оси. Найти
объём тела, которое при этом получается.

Решение.
Обе линии, а значит и фигура, которую
они ограничивают, симметричны относительно
полярной оси. Поэтому необходимо
рассматривать лишь ту часть, для которой

.
Кривые пересекаются прии

при
.
Далее, фигуру можно рассматривать как
разность двух секторов, а значит и объём
вычислять как разность двух интегралов.
Имеем:

Задачи
для самостоятельного решения.

1. Круговой сегмент,
основание которого ,
высота
,
вращается вокруг основания. Найти объём
тела вращения.

2. Найти объём
параболоида вращения, основание которого
,
а высота равна.

3. Фигура, ограниченная
астроидой
,вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела, которое получается при этом.

4. Фигура, ограниченная
линиями
ивращается вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела вращения.

Соседние файлы в папке Лекции по мат.анализу

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Говоря об объеме, имеют ввиду вместимость пространственной фигуры. Как вы думаете, емкость какого из цилиндров на рисунке больше?

Призмой, вписанной (описанной) в цилиндр, называется призма, основания которой вписаны (описаны) в основания цилиндра.

Объем цилиндра

Пусть в цилиндр с радиусом

При бесконечном возрастании площадь оснований данных призм приближаются к площади основания цилиндра, а их объемы к объему цилиндра:

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Практическая работа. Какая связь существует между объемами призмы и пирамиды, если они имеют одинаковые высоты и основания? Можно ли эту связь применить для объемов цилиндра и конуса?

Сделайте из картона модели сосудов в виде конуса и цилиндра, радиусы оснований и высоты которых одинаковы. Заполните цилиндрический сосуд при помощи сосуда в виде конуса (песком, рисом, и т. п.).

Сколько таких сосудов понадобится, чтобы заполнить цилиндрический сосуд? Верно ли утверждение, что цилиндрический сосуд можно заполнить тремя полными сосудами в виде конуса?

Обобщите соответствующую информацию о вычислении объема призмы, цилиндра, пирамиды и конуса, записав ответ в закрашенные ячейки.

Объем призмы и цилиндра:

Объем = площадь основания

Объем пирамиды и конуса:

Объем = объем призмы или цилиндра, имеющих одинаковые

основание и высоту.

Объем конуса

Объем конуса равен произведению одной третьей площади основания на высоту.

Пример №1

Образующая конуса 9 см, высота 6 см. Найдите объем конуса.

Решение:

Объем шара и его частей

Практическая работа.

1. Возьмите мяч. Определите его диаметр.

2. Изобразите на бумаге развертку цилиндра, диаметр и высота которого равны диаметру шару.

3. Вырежьте и сверните полученную развертку в цилиндр без верхней крышки. Скрепите развертку при помощи клейкой ленты. Разделите высоту цилиндра на 3 равные части и сделайте соответствующие разметки.

4. Обверните мяч фольгой или плотным материалом и сделайте мешок сферической формы. Наполните его песком.

5. Пересыпьте песок в цилиндр. Какая часть цилиндра заполнится?

Если разделить поверхность шара сеткой из вертикальных и горизонтальных линий и маленький «прямоугольный» кусочек сферы соединить с центром шара, то можно представить, что шар состоит из множества «маленьких пирамид».

Объем шара можно выразить через сумму объемов «маленьких пирамид» высота которых равна радиусу шара. Бесконечно уменьшая размеры оснований, количество пирамид будет бесконечно расти.

Сумма площадей оснований «маленьких пирамид» будет равна площади поверхности шара. Учитывая, что площадь поверхности шара равна получим формулу для нахождения объема шара:

Объем шара:

Объем шара равен произведению и куба радиуса.

Пример №2

Найдите: а) объем шара радиуса 3 см

b) радиус шара объемом 288

Решение:

а)

b)

Сектор шара и сегмент шара

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная конической поверхностью с вершиной в центре шара. Шаровой сектор-объеденение конуса и шарового сегмента.

Так как шаровой сектор можно рассмотреть как предел суммы объемов маленьких пирамид, вершины которых находятся в центре шара, а основания касаются его поверхности, то

Здесь радиус шара, высота соответствующего сегмента

С другой стороны,

Проектная работа.

Отношение между объемами цилиндра, конуса и шара, которое получил Архимед.

Архимед нашел формулу для нахождения объема шара, исследовав связь между объемом цилиндра, описанного вокруг шара радиуса и объемом конуса, вписанного в данный цилиндр. Попробуйте и вы выполнить это исследование.

Если — расстояние от центра шара до плоскости сечения, то для шара радиуса представьте зависимость площади сечения от выполнив следующие шаги.

a) Вычислите следующие значения функции

Для примера найдено значение

b) Представьте свои суждения о значениях и сечений.

c) Запишите общую формулу для определения площади сечения, расположенного на расстоянии от центра шара радиуса

d) Свяжите формулу, полученную в пункте и следующий рисунок.

e) Чтобы понять умозаключения Архимеда, вернемся к начальному рисунку.

При «извлечении» конуса из цилиндра в поперечном сечении получаем кольца, параллельные основанию.

На одном и том же уровне поперечное сечение шара является кругом. Из подобия треугольников можно доказать, что площадь кольца каждого слоя равна Поскольку площади этих плоских сечений равны, по принципу Кавальери равны и объемы этих тел.

Объемы подобных фигур

Отношения соответствующих линейных размеров подобных пространствнных фигур должны быть равны.

По заданным соответствующим размерам подобных пространственных фигур можно найти неизвестные размеры.

Пример №3

Конусы и подобны. По данным рисунка найдите образующую конуса

Решение: Запишем отношение линейных размеров: Радиус А Образующая А

Известно, что отношение площадей поверхностей двух подобных пространственных фигур равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров или квадрату коэффициента подобия:

Объемы подобных пространственных фигур

Отношение объемов подобных пространственных фигур и равно кубу отношения соответствующих линейных размеров или кубу коэффициента подобия:

Пример №4

Отношение боковых поверхностей двух подобных цилиндров равно 4:9. Зная, что разность объемов равна куб.ед., найдите объемы цилиндров.

Решение: по условию тогда Значит С другой стороны, принимая во внимание, что получим:

Объемы тел в высшей математике

Под телом Т будем подразумевать ограниченное множество в пространстве.
Будем рассматривать тела, имеющие внутренние точки и границу, которая также принадлежит телу (замкнутые тела), причем такие, что любые две внутренние
точки можно соединить непрерывной линией, проходящей внутри тела.
 

Определение 1. Рассмотрим тело составленное из конечного числа многогранников, содержащихся в Т, и тело , составленное из многогранников и покрывающее тело Т:
Пусть Тело называется кубируемым, если . При этом число (1) называется объемом тела Т (по Жордану).
 

Замечание. Для кубируемости тела Т необходимо и достаточно, чтобы  такие, что  (2)

Пусть для кубируемого тела Т известны площади s=s(x) его сечения плоскостями перпендикулярными оси Ох, проходящими через точки (х, 0, 0), – непрерывна

Разобьем отрезок [ a b ] на n частичных отрезков точками и обозначим это разбиение . Пусть 
 – диаметр разбиения, тогда (3)
Где это – объем цилиндрического тела высотой  и площадью основания
 Пусть  k − -ый слой тела Т между плоскостями, проходящими через точки и перпендикулярными оси Ох.

Так как Т – кубируемо, то  – также кубируемо и где

Тогда 
∀n ∈ N, или 

Гдеэто – нижняя и верхняя суммы Дарбу функции s(x) для разбиения
ПоэтомуТаким образом   (6)
 

Замечание. Нужно заметить, что неравенство (4), которое использовалось для вывода формулы (6), выполняется, когда любые два рассматриваемые сечения
тела Т при проекции на плоскость yOz полностью содержатся одно в другом.
Однако формула (6) верна и в общем случае. Для этого достаточно потребовать,
чтобы тело Т было кубируемым и функция s (x) – непрерывной.

Пример №5

Найти объем тела ограниченного поверхностями  (ниже параболоида).
 

Решение.

Из системы уравнений   следует, что z=h.

В сечении тела плоскостью проходящей через точку (0, 0, z) перпендикулярно оси Оz получается кольцо

Радиус внешней окружности равен R, радиус внутренней равен 
Поэтому по формуле (6):

Формулу (6) удобно применять к телам вращения. Пусть y=f(x) – непрерывна на отрезке  Будем вращать криволинейную трапецию
 

вокруг оси Ох. Получим тело:

Тогда сечением полученного тела плоскостью проходящей через точку (х,0,0) и перпендикулярной оси Ох будет круг радиуса  и по формуле (6): 
Где y=f(x).
Аналогично, если то при вращении вокруг оси Ох фигуры

Получим тело, объем которого 
 

Пример №6

Рассмотрим фигуру Φ ограниченную эллипсом  
Найдем объем эллипсоида полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры Φ .
 

Решение.

По формуле (7): 
Пусть функция x=x(y) – непрерывна при Тогда, аналогично, при вращении вокруг оси Оу фигуры 

Получим тело, объем которого (9)
Если же вращать вокруг оси Оу трапецию  

то (10)
 

Пример №7

Рассмотрим тело Т из примера 1. Оно получается, если вращать вокруг оси Oz фигуру, ограниченную линиями:

Из первого уравнения найдем поэтому по формуле (9):

 

Пример №8

Пример №9

Фигура Ф ограничена линиями  Найти
 

Решение.

Абсциссы точек пересечения:  (см. пример 1 § 30). По формуле (8):

Замечание. Для непрерывной функции рассмотрим криволинейную трапецию  

Пусть – непрерывно-дифференцируема на промежуткеТогда по формуле (7): по формуле (1) § 26

Где – параметрическое задание линии  Таким образом  или (12)
(кривая обходится так, чтобы область Ф оставалась слева).

Аналогично, для непрерывной функции рассмотрим криволинейную трапецию 

Пусть – непрерывно-дифференцируема на промежутке Тогда по формуле (9): по формуле (1) § 26

Где – параметрическое задание линии 

Таким образом (13)   (кривая обходится так, чтобы область Ф оставалась слева).

Рассмотрим область ,ограниченную простой замкнутой кривой
 (кривая лежит по одну сторону от оси Ox ). Тогда объем  можно находить по формуле (12): 
(кривая обходится так, чтобы область оставалась слева).

Аналогично ,для области ограниченной простой замкнутой кривой
 (кривая лежит по одну сторону от оси Oy )объем  можно находить по формуле (13): (кривая обходится так, чтобы область оставалась слева).

Пример №10

Дана астроида 

Найдем .
 

Решение.

по формуле (12):

 

Пример №11

Петля кривой вращается вокруг оси Ox .Найти .
 

Решение.

петля обходится против часовой стрелки. По формуле (12):

Пусть – кривая в полярной системе координат, r (ϕ) – непрерывна при  Рассмотрим на плоскости хОу криволинейный сектор

Тогда объем тела при вращении фигуры ϕ вокруг полярной оси равен
 (14)

Пример №12

(см. пример 4 § 31).

Найдем .
 

Решение.

По формуле (14):

Для того, чтобы найти объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox нужно вычислить определенный интеграл от квадрата функции, задающей график и умножить на число Пи. 

$$ V = pi int_a^b y^2 dx $$

В формуле $ a $ и $ b $ значения отложены по оси Ox. Фукция $ y (x) $ задаёт график фигуры, объем вращения которой необходимо вычислить.

1. Строим график фигуры
2. Вычисляем определенный интеграл