Как найти нули множителя

Прежде чем перейти к изучению темы «Нули функции»
внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

В заданиях «Найдите нули функции» чаще всего сама функция задана через формулу

(аналитически). Разберем алгоритм решения

подобных задач.

Как найти нули функции, заданной формулой

По традиции разберемся на примере.

Разбор примера

Найдите нули функции:

Подставим вместо значения функции « f(x) » ноль.

0 = 0,2x + 3

Решаем полученное линейное уравнение
и записываем полученный ответ
для « x ».

Перенесем неизвестное « 0,2x » из правой части уравнения в левую с
противоположным
знаком.

Переведем десятичную дробь «0,2» в
обыкновненную для упрощения дальнейших расчетов.

Ответ: x = −15 является нулем
функции    f(x) = 0,2x + 3

Разбор примера

Найдите нули функции:

Вместо « f(x) » подставим ноль.

Вынесем общий множитель
« x » за скобки.

В левой части полученного уравнения у нас два множителя:
« x »
и «(x ² − 4)». Результат их умножения равен нулю.

Это возможно, когда любой
из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим оба варианта: когда множитель
« x » равен нулю и когда множитель «(x ² − 4)»
равен нулю.

Решаем квадратное уравнение
«x ² − 4 = 0».
Используем формулу
для решения квадратного уравнения с дискриминантом.

Запишем все полученные корни уравнений в ответ в порядке возрастания. Они будут являться нулями функции.

Ответ: x = −2; x = 0; x = 2 являются нулями функции
   f(x) = x ³ − 4x

Разбор примера

Найдите нули функции:

Подставим вместо « h(x) » ноль.

Перенесем правую часть

в левую, изменив ее знак на минус.

Единственный вариант, когда дробь будет равна нулю, только если
ее числитель
«x ² − x − 6» будет равен нулю. Знаменатель
«x + 3» не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Решим полученное квадратное уравнение через формулу с дискриминантом.

Ответ: x = −2; x = 3 являются нулями функции   

h(x) =

Разбор примера

Найдите нули функции:

Заменим «f(x)» на ноль.

Единственное число, квадратный корень которого равен нулю — это сам ноль.
Поэтому, квадратный корень
«√ x ² − 4 = 0 »

будет равен нулю, когда его подкоренное выражение
« x ² − 4 »
будет равно нулю.

Осталось решить полученное квадратное уравнение, чтобы найти нули функции
«f(x) = √x ² − 4».

Ответ: x = −2; x = 2 являются нулями
функции   f(x) = √x ² − 4

Как найти нули функции на графике функции

По определению
нули функции — это значения « x »,
при которых
« y = 0 ». Другими словами, у точек
графика функции, которые являются нулями функции,
координата « x » равна нулю.

Чтобы найти нули функции на графике
нам остается, только найти, какая у них
координата
по оси « Ox ».

Рассмотрим на примере.

Разбор примера

На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график,
найдите нули функции.

Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».

Назовем полученные точки «(·)А» и «(·)B».
В точках «(·)А» и «(·)B» график функции пересекает
ось

« Ox » , то есть координаты точки «(·)А» и «(·)B»
по оси « Oy »
равны нулю.

Точки «(·)А» и «(·)B»
— нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».

На графике видно, что у точки «(·)А» координата « x » равна
« 0 », а у точки «(·)B» координата « x » равна
« 2 ».

Запишем полученные значения координат « x » в ответ.

Ответ: x = 0; x = 2 являются нулями функции.

Как найти нули функции, заданной таблицей

В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы,
а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.

Разбор примера

Найдите нули функции, заданной таблицей.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−3	−1,5	0	2	1	0

Вспомним определение нулей функции.

Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице,
где
« y = 0 ». Выделим их цветом.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−3	−1,5	0	2	1	0

Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.

Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Содержание:

Многочлен – это сумма одночленов, причем сам одночлен — это частный случай многочлена.

История многочелена:

Живший в 1050-1122 гг Омар Хаям известен в мире как мастер рубай. Однако имя Омара Хаяма также упоминается наряду с именами гениальных математиков. Именно Омар Хаям впервые представил общую формулу корней уравнения кубического многочлена

Многочлены от одной переменной и действия над ними

Определение многочленов от одной переменной и их тождественное равенство

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например, от переменной

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — ) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида , где — некоторое число. Поэтому одночлен от одной переменной — это выражение вида где — некоторое число, — целое неотрицательное число. Если то показатель степени переменной называется степенью одночлена. Например, — одночлен шестой степени, — одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (поскольку ).

По определению многочлен от одной переменной — это сумма одночленов от одной переменной . Поэтому

многочленом от одной переменной : называется выражение вида

(1)

где коэффициенты — некоторые числа.

Если , то этот многочлен называют многочленом степени от переменной . При этом член называют старшим членом многочлена , число — коэффициентом при старшем члене, а член — свободным членом. Например, — многочлен третьей степени, у которого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена записывают так:

где — некоторые числа.

Теорема 1. Одночлены где и где , тождественно равны тогда и только тогда, когда и Одночлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда

Поскольку равенство одночленов

(2)

выполняется при всех значениях (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство , получаем, что Сокращая обе части равенства (2) на (где по условию), получаем При из этого равенства имеем: Поскольку 2 то равенство возможно только тогда, когда Таким образом, из тождественного равенства получаем, что и Если известно, что для всех то при получаем Поэтому одночлен тождественно равен нулю при (тогда ).

Далее любой одночлен вида будем заменять на 0.

Теорема 2. Если многочлен тождественно равен нулю (то есть принимает нулевые значения при всех значениях ), то все его коэффициенты равны нулю.

Значком обозначено тождественное равенство многочленов.

Для доказательства используем метод математической индукции. Пусть

При имеем поэтому То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при это утверждение также выполняется: если многочлен то

Докажем, что данное утверждение выполняется и при Пусть (3)

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях , то, подставляя в это равенство получаем, что Тогда равенство (3) обращается в следующее равенство: Вынесем в левой части этого равенства за скобки и получим

(4)

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях . Для того чтобы оно выполнялось при должно выполняться тождество

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от до Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: Но мы также доказали, что поэтому наше утверждение выполняется и при Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательного то есть для всех многочленов.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают или просто (поскольку ).

Теорема 3. Если два многочлена и тождественно равны, то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен , а многочлен Рассмотрим многочлен Поскольку многочлены и по условию тождественно равны, то многочлен тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но Тогда Отсюда Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, больше ), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (-го номера все коэффициенты также будут равны нулю. То есть действительно многочлены и

имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример:

Докажите, что выражение

является полным квадратом.

Решение:

► Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида Получаем тождество:

(5)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

Из первого равенства получаем или

При из второго равенства имеем а из третьего — Как видим, при этих значениях и последние два равенства также выполняются. Следовательно, тождество (5) выполняется при (аналогично можно также получить ). Таким образом,

Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен с остатком

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В результате выполнения действий сложения или умножения над многочленами от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени получаем многочлен этой же степени, хотя иногда можно получить многочлен меньшей степени. Например, При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей степени слагаемого.

Например, Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению целых чисел. Напомним, что целое число делится на целое число если существует такое целое число что

Определение: Многочлен делится на многочлен (где — не нулевой многочлен), если существует такой многочлен что

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен выполняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком. Говорят, что

многочлен делится на многочлен (где — не нулевой многочлен) с остатком, если существует такая пара многочленов и что причем степень остатка меньше степени делителя (в этом случае многочлен называют неполным частным.)

Например, поскольку то при делении многочлена на многочлен получаем неполное частное : и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом.

Пример №1

Разделим многочлен на многочлен

Решение:

Докажем, что полученный результат действительно является результатом деления на с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через второго шага — через третьего — через то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

(1)

(2)

(3)

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

(4)

Учитывая, что степень многочлена меньше степени делителя обозначим (остаток), а (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: то есть

а это и означает, что мы разделили на с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов и в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого и делителя (где — не нулевой многочлен) найти неполное частное и остаток

Отметим, что в случае, когда степень делимого меньше степени делителя , считают, что неполное частное а остаток

Теорема Безу. Корни многочлена. Формулы Виета

Рассмотрим деление многочлена на двучлен Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен на двучлен , то получим

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении При имеем Полученный результат называют теоремой Безу.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен (то есть значению многочлена при ).

Пример №2

Докажите, что делится на без остатка.

Решение:

► Подставив в вместо значение 1, получаем: . Таким образом, остаток от деления на равен 0, то есть делится на без остатка. <]

Определение: Число называют корнем многочлена если

Если многочлен делится на то — корень этого многочлена.

Безу Этьен (1730-1783) — французский математик, внесший значительный вклад в развитие теории алгебраических уравнений.

Действительно, если делится на то и поэтому Таким образом, — корень многочлена

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Теорема 2. Если число является корнем многочлена то этот многочлен делится на двучлен без остатка.

По теореме Безу остаток от деления на равен Но по условию — корень таким образом,

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Теорема 3. Если многочлен имеет попарно разные корни то он делится без остатка на произведение

Для доказательства используем метод математической индукции.

При утверждение доказано в теореме 2.

Допустим, что утверждение справедливо при То есть если попарно разные корни многочлена то он делится на произведение Тогда

(1)

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при Пусть — попарно разные корни многочлена Поскольку — корень то . Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно допущению индукции, получаем:

По условию все корни разные, поэтому ни одно из чисел не равно нулю. Тогда Таким образом, — корень многочлена Тогда по теореме 2 многочлен делится на то есть и из равенства (1) имеем

Это означает, что делится на произведение

то есть теорема доказана и при

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального

Следствие. Многочлен степени имеет не больше разных корней.

Допустим, что многочлен степени имеет разных корней: Тогда делится на произведение многочлен степени но это невозможно. Поэтому многочлен степени не может иметь больше чем корней.

Пусть теперь многочлен степени имеет разных корней Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение Это произведение является многочленом той же

степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

(2)

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что то есть

(3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

(4)

Например, при имеем:

а при

(5)

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным

условием того, чтобы числа были корнями многочлена

Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен делится без остатка на но не делится без остатка на то говорят, что число является корнем кратности многочлена

Например, если произведение записать в виде многочлена, то для этого многочлена число является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Пример №3

Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

Решение:

►

Поэтому имеет корни: (поскольку — корень кратности 2).

Проверим справедливость формулы (5). В нашем случае: Тогда

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Пример №4

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения

Решение:

► Обозначим корни уравнения через и Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа и Поэтому искомое уравнение имеет вид где

По формулам Виета имеем Отсюда находим, что а Таким образом, искомое уравнение имеет вид

Схема Горнера

Делить многочлен на двучлен иногда удобно с помощью

специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Пусть многочлен необходимо разделить на двучлен В результате деления многочлена степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен степени (то есть , где ) и остаток Тогда то есть

Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях

Найдем из этих равенств коэффициенты и остаток

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент умножить на и добавить коэффициент делимого. Эту процедуру целесообразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример №5

Разделите по схеме Горнера многочлен на двучлен

Решение:

► Запишем сначала все коэффициенты многочлена (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом,

Пример №6

Проверьте, является ли корнем многочлена

Решение:

► По теореме Безу остаток от деления многочлена на равен поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления на

Поскольку то — корень многочлена

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то является делителем свободного члена a — делителем коэффициента при старшем члене

Если является корнем многочлена то Подставляем

вместо в и из последнего равенства имеем

(1)

Умножим обе части равенства (1) на Получаем

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на Поэтому делится на

Но когда мы записываем рациональное число в виде то эта дробь считается несократимой, то есть и не имеют общих делителей. Произведение может делиться на (если и — взаимно простые числа) только тогда, когда делится на Таким образом, — делитель свободного члена

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на Тогда делится на Поскольку и взаимно простые числа, то делится на , следовательно, — делитель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять то корнем многочлена будет целое число — делитель Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене коэффициент то делителями могут быть только числа то есть и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Пример №7

Найдите рациональные корни многочлена

Решение:

► Пусть несократимая дробь является корнем многочлена. Тогда необходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел a — среди делителей старшего коэффициента:

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера.

При имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

Многочлен не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень

Пример №8

Разложите многочлен на множители.

Решение:

► Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена:

Подходит 1. Делим на с помощью схемы Горнера.

Тогда

Ищем целые корни кубического многочлена среди делителей его свободного члена: Подходит Делим на

Имеем

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ:

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен степени не всегда можно разложить на произведение линейных множителей. Но многочлен нечетной степени всегда можно разложить на произведение линейных и квадратных множителей, а многочлен четной степени — на произведение квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается на произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Пример №9

Разложите на множители многочлен

Решение:

► Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен на произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

(3)

где и — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что и могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты и в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи и или и и т. д.

Для каждой пары значений и из третьего равенства системы (4) найдем а из второго равенства имеем Зная и по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения подставим в четвертое равенство системы (4) чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел Тогда равенство (3) имеет вид

(5)

Поскольку квадратные трехчлены и не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Деление многочлена на многочлен

Задача. Объём подарочных коробок, размеры которых даны в сантиметрах, можно смоделировать функцией — положительное целое число и . Если высоты коробок можно определить при помощи линейной функции , то как можно выразить другие размеры коробки в виде многочлена? Вы сможете решить эту задачу, изучив правило деления многочлена на многочлен.

Исследование. Изучите, как правило деления многозначных чисел столбиком можно применить при делении многочлена.

a) Для каждого из двух случаев укажите, какие числа и какие многочлены соответствуют понятиям делимое, делитель и частное.

b) Как был найден первый член при делении многочлена? Каковы сходные и отличительные черты данного деления и деления многозначных чисел?

c) Как вы убедились,что каждое из двух делений выполнено правильно?

Выражение вида называется многочленом степени от одной переменной. Здесь — переменная, — определенные числа и — старший член, — коэффициент при старшем члене, -свободный член. Многочлен можно разделить на многочлен аналогично правилу деления целых чисел столбиком.

Деление целого числа па целое число можно проверить равенством

Аналогичное правило справедливо и при делении многочлена на многочлен. Если многочлен -делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток, то справедливо равенство

или .

Здесь, степень многочлена ниже степени многочлена Если делителем является двучлен , то остатком может являться определенное число

В этом случае:

Пример №10

а) Разделите многочлен на двучлен .

Ответ запишите в виде

b) Определите множество допустимых значений переменной.

c) Выполните проверку.

Решение:

b) При этом или , иначе возникает деление на нуль.

c) Должно выполняться тождество

Пример №11

Разделите на многочлен .

Решение:

запишем делимое в порядке убывания степеней. Введем в запись отсутствующие члены с коэффициентом равным 0.

Пример №12

1) Исследуйте деление столбиком многочлена на двучлен .

2) На каждом шаге деления делимое делится на старший член делителя, на и результат записывается в частное. Установите, как можно найти первый член при делении на каждом из следующих шагов.

Правило синтетического деления многочлена на двучлен (схема Горнера)

При делении многочлена на двучлен вида можно использовать метод, альтернативный делению столбиком — метод синтетического деления. При синтетическом делении, используя только коэффициенты, выполняется меньшее количество вычислений.

Пример №13

Разделите многочлен на двучлен методом синтетического деления.

Решение:

коэффициенты делимого записываются в порядке убывания степеней (отсутствующий член записывается с коэффициентом равным нулю). Если двучлен имеет вид , то его записывают в виде .

Запишем двучлен в виде .

Таким образом, для делимого и делителя частным будет , а остатком .

Деление можно записать в виде: В общем случае, правило синтетического деления (или схема Горнера) многочлена и-ой степени на двучлен х -т приведено в таблице ниже.

Теорема об остатке

Теорема об остатке (Теорема Безу)

Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению многочлена в точке

Доказательство: В равенстве запишем . , тогда .

Пример №14

Найдите остаток от деления многочлена на двучлен , применив теорему об остатке.

Решение: запишем делитель в виде , тогда . По теореме об остатке получим, что остаток равен

.

Проверим решение.

Теорема о разложении многочлена на множители

Значения переменной , которые обращают многочлен в нуль (т.е. корни уравнения ), называются корнями (или нулями) многочлена.

Теорема. Если число является корнем многочлена , то двучлен является множителем многочлена .

Действительно, если , то из равенства имеем . Верно и обратное утверждение, т.е. если двучлен является множителем многочлена .

Пример №15

При помощи теоремы о разложении многочлена на множители определите, являются ли двучлены множителями многочлена .

Решение: вычислим значение многочлена при .

Значит, не является множителем, а является одним из множителей данного многочлена.

Пример №16

Зная, что , разложите многочлен на множители.

Решение: так как , то двучлен один из множителей многочлена . Другой множитель найдем, используя метод синтетического деления.

Учитывая, что получим: .

Отсюда получаем, что являются нулями многочлена.

Примечание: Если многочлен задан в виде (здесь ), то число является кратным корнем многочлена (повторяется раз). Например, если разложение многочлена на множители имеет вид , то число является корнем кратности 3.

Нахождение рациональных корней

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство. Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель .то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Пример №17

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение: свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Пример №18

Найдите корни многочлена

Решение: по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как то, решив квадратное уравнение получим другие корни: Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня:

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми. Например, для нахождения корней многочлена

надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное

уравнение

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия.

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т. е. определяется двучлен на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: Значит, многочлен не имеет рациональных корней.

Основная теорема алгебры

Покажем на примере, что многочлен ой степени имеет корней.

Пример №19

Найдите все корни многочлена

Решение: рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

Значит, является корнем данного многочлена Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда Решим уравнение

( корень кратности 2);

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение ой степени всегда имеет корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Теорема. Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень на множестве комплексных чисел.

Если является многочленом ненулевой степени с комплексными коэффициентами, то согласно основной теореме алгебры, у него есть хотя бы один корень По теореме о разложении многочлена на множители получим При этом многочлен имеет степень Если то если то согласно той же теореме, многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через тогда справедливо разложение где — многочлен степени Значит, можно записать Аналогично, если то при на основании той же теоремы, многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через получим т. е. можно записать

Продолжая процесс раз, получаем Тогда для многочлена можно записать следующее разложение:

здесь числа являются нулями многочлена Эти нули могут и не быть различными.

Следствие. Многочлен ой степени на множестве комплексных чисел имеет ровно корней, включая кратные корни.

Отметим, что если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число гак же является корнем данного многочлена.

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения двучленов вида соответствующих действительным корням, и трехчленов вида соответствующих сопряженным комплексным корням.

Отсюда можно сделать вывод, что многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет действительные корни.

Пример №20

Запишите в виде произведения множителей многочлен наименьшей степени, если коэффициент при старшем члене равен 2, а корни равны 3 и

Решение: так как число является корнем многочлена, то сопряженное комплексное число также является корнем этого многочлена. Тогда искомый многочлен можно записать в виде

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

При движении скоростной карусели в Лунапарке изменение высоты (в метрах) кабины от нулевого уровня за первые 5 секунд можно смоделировать функцией В какие моменты в течении 5 секунд после начала движения кабина карусели находилась на нулевом уровне?

Решение: во всех случаях, кроме значений равных нулю, кабина карусели находится либо ниже, либо выше нулевого уровня. Значит, мы должны найти корни заданного многочлена. Применим правило нахождения рациональных корней.

1. Проверим, является ли число корнем.

2. Число является корнем, значит одним из множителей данного многочлена является Другие корни найдем при помощи синтетического деления.

Учитывая, что запишем многочлен в виде т. е. являются корнями уравнения. Значения принадлежат временному интервалу в 5 секунд, и в этих моментах кабина карусели находилась на нулевом уровне. То, что корни найдены верно показывает график многочлена, построенный при помощи графкалькулягора.

Функция-многочлен

График функции-многочлен

В стандартном виде функция — многочлен записывается как В частном случае, при получаем линейную функцию (график — прямая линия), при получаем квадратичную функцию (график- парабола). Любой многочлен определен на множестве действительных чисел и его графиком является непрерывная (сплошная) линия.

При возрастании значений аргумента по абсолютному значению многочлен ведет себя как функция старшего члена Ниже показаны примеры графиков функции — многочлен и их свойства.

Пример №22

Определите характер поведения функции — многочлен в зависимости от степени и коэффициента при старшем члене при возрастании аргумента по абсолютному значению.

a) б)

Решение: а) степень многочлена нечетная (равна 3). Коэффициент старшего члена равен По таблице видно, что в данном случае при а при

b) степень многочлена четная (равна 4). Коэффициент старшего члена равен 1. В данном случае при при

Пример №23

По графику определите как ведет себя функция — многочлен при неограниченном возрастании аргументов но абсолютному значению, четность или нечетность степени многочлена, знак коэффициента старшего члена.

Решение:

при

при

Многочлен нечетной степени

Решение:

при

при

Многочлен четной степени

Отметим, что если нечетно, то функция — многочлен имеет хотя бы один действительный нуль, если четно, то их вообще может и не быть.

Алгоритм построения эскиза графика функции — многочлен.

1. Находятся точки пересечения графика с осями координат (если они есть). Эти точки отмечаются на координатной плоскости.

2. Вычисляются значения функции в некоторых точках между действительными нулями. Соответствующие точки отмечаются на координатной плоскости.

3. Определяется поведение графика при больших значениях аргумента по абсолютному значению.

4. На основе полученных данных строят схематически график.

Пример №24

Постройте график функции

Решение:

1. Применим теорему о рациональных корнях. Разложим многочлен на множители и найдем нули функции.

По теореме возможные рациональные нули надо искать среди чисел, которые являются делителями числа

Проверим

Значит, двучлен является одним из множителей. Остальные множители найдем синтетическим делением.

Зная, что запишем все линейные множители многочлена:

Отсюда находим нули Т. е. график пересекает ось абсцисс в точках и Так как то точка является точкой пересечения с осью Отметим эти точки на координатной плоскости.

2. Найдем еще несколько значений функции в точках, не требующих сложных вычислений. Например, в точках и

Отметим точки

3. Определим, как меняется график при уменьшении или увеличении значений Степень при старшем члене равна 3, а коэффициент положителен, функция нечетная. Значит, при при

4. Соединим отмеченные точки и получим схематический график функции

Рациональная функция

Рациональной функцией называется функция, которою можно представить в виде отношения двух многочленов:

Самым простым примером рациональной функции является функция

График функции называется гиперболой.

При стремлении значений к нулю точки гиперболы стремятся к оси ординат, т е. к прямой при неограниченном увеличении но абсолютному значению точки гиперболы неограниченно приближаются к оси абсцисс, т. е. к прямой Прямая называется вертикальной асимптотой, а прямая называется горизонтальной асимптотой гиперболы При параллельном переносе гиперболы на вектор получается график функции . В этом случае начало координат преобразуется в точку и вертикальной асимптотой становится прямая а горизонтальной- прямая

Пример №25

Постройте график функции

Решение: точки пересечения с осью найдем из уравнения

При получим и график пересекает ось в точке Разделим почленно числитель функции на знаменатель и запишем ее в виде Прямая является вертикальной асимптотой, а прямая — горизонтальной асимптотой. Зададим таблицу значений для нескольких точек справа и слева от вертикальной асимптоты

Отметим на координатной плоскости точки, соответствующие парам значений из таблицы и, учитывая горизонтальную и вертикальную асимптоту, изобразим ветви гиперболы, которые пересекают координатные оси в точках и

В общем случае, для построения графика рациональной функции надо найти точки пересечения с осями координат (если они есть) и ее асимптоты. Если выражение, которое задает рациональную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке а числитель отличен от нуля, то данная функция имеет вертикальную асимптоту. Горизонтальные асимптоты для рациональной функции определяются в соответствии со степенью и данных многочленов и

Для т. е. если степень многочлена в числителе на 1 единицу больше степени многочлена в знаменателе, частное, полученное при делении, имеет вид и является линейной функцией. При возрастании по абсолютному значению график функции приближается к данной прямой. В этом случае говорят, что прямая является наклонной асимптотой.

Пример №26

Найдите асимптоты и схематично изобразите график функции

Решение: Точки пересечения с осью найдем из уравнения При получим и график пересекает ось в точке При знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Значит, прямая является вертикальной асимптотой. Горизонтальной асимптоты у данной функции нет Разделив числитель на знаменатель, запишем функцию в виде:

Для больших, но модулю, значений дробь по абсолютному значению уменьшается и график заданной функции бесконечно приближается к прямой т. е. прямая является наклонной асимптотой данной функции. Составим таблицу значений для некоторых точек слева и справа от вертикальной оси.

Отметим точки, координаты которых соответствуют парам из таблицы. Учитывая вертикальную и наклонную асимптоту, схематично изобразим график функции.

Многочлены в линейной алгебре

Многочленом от переменной х степени n называется выражение вида:

, где — действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами, n — натуральное число, х — переменная величина, принимающая произвольные числовые значения.

Если коэффициент примногочлена отличен от нуля, а коэффициенты при более высоких степенях равны нулю, то число n называется степенью многочлена, — старшим коэффициентом, а — старшим членом многочлена. Коэффициент называется свободным членом. Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называется нулевым и обозначается 0. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны.

Суммой многочленов и называется многочлен

Произведением многочленов и называется многочлен:

Легко проверить, что сложение и умножение многочленов ассоциативно, коммутативно и связаны между собой законом дистрибутивности.

Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлен такой, что

Теорема о делении с остатком

Для любых многочленов существуют многочлены такие, что причем степень меньше степени g(x) или. Многочлены g(x) и r(x) определены однозначно.

Многочлены g(x) и r(x) называются соответственно частным и остатком. Если g(x) делит , то остаток .

Число с называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу

Число с является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на x — с.

Пусть с — корень многочлена , т.е.. Разделим на

где степень r(х) меньше степени (x-с) которая равна 1. Значит, степень г(х) равна 0, т.е. r(х) = const. Значит, . Так как , то из последнего равенства следует, что r=0, т.е.

Обратно, пусть (х-с) делит , т.е. . Тогда

Следствие. Остаток от деления многочлена на (x-с) равен .

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен х-с с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть где Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Число с-называется корнем кратности к многочлена , если делит , но уже не делит .

Чтобы поверить, будет ли число с корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на х-с, затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на х-с, и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема. Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в С (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где — корни , т.е. во множестве С всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то: где уже различные корни , — кратность корня

Если многочлен , с действительными коэффициентами имеет корень с, то число с также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть корни Тогда делится на х-с и , но так как у и х-с, нет общих делителей, то делится на произведение

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде некоторые многочлены, а правильная рациональная дробь.

Лемма 1, Если правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена , т.е., то существует вещественное число A и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если правильная рациональная дробь, а числоявляется корнем кратности многочлена g(x), т.е. и если , то существуют вещественные числа M и N многочлен с вещественными коэффициентами, такие, где дробь , также является правильной.

Рациональные дроби вида — трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Он состоит в следующем:

При этом если степень многочлена равна n, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени n-1, т.е. многочлен коэффициентами.

Число неизвестных ‘ также равняется n:

Таким образом, получается система n уравнений с n неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.

Многочленом (или
полиномом) степени
,называется функция

, (10)

где
– известные комплексные числа
(коэффициенты), при этом старший
коэффициентотличен от 0,z – переменная
комплексная величина. Степень многочлена
f(z)
обозначается deg
f(z).

На
множестве всех многочленов очевидным
образом вводятся операции сложения и
умножения. Число z₀
называется нулём многочлена f(z)
, если f(z₀)
= 0.

Теорема 1
(о делении
многочленов).
Для любых многочленов f(z) и g(z) существуют
многочлены h(z) и r(z) такие, что:

1)
f(z) = h(z) g(z) + r(z),

2)
deg r(z) < deg g(z).

При
этом h(z)
и r(z)
определяются однозначно.

Многочлен
h(z)
называется частным, а r(z)
– остатком от деления f(z)
на g(z).
При этом оказывается, что deg
f
= deg
g
+ deg
h.
Если r(z)

0, то говорят, что f(z)
делится на g(z).

Теорема 2. Число
z₀
является нулём многочлена f(z) в том и
только в том случае,
если f(z)
делится на линейный многочлен (z – z₀).

Число
z₀
называется нулём кратности m
многочлена f(z),
если f(z)
делится на (z
– z₀)^m
и не делится на (z
– z₀)^m+1.
Можно дать другое, равносильное
приведённому, определение: z₀
является нулём кратности m
для многочлена f(z),
если f(z)
представим в виде

f(z)
= (z
– z₀)^m
g(z),
где g(z)
– такой многочлен, что g(z₀)

0 .

Теорема 3 (основная
теорема алгебры).
Любой многочлен степени n 
1 имеет ровно n нулей, если каждый нуль
считать столько раз, какова его кратность.

Следствием
основной теоремы алгебры является то,
что если z₁, z₂, … , z_m – нули
многочлена (1) кратностей k₁, k₂, … , k_m
соответственно, то f(z)
представим в виде

,

при
этом
,
k₁
+ k₂
+ … +k_m
= n
.

Для
того чтобы
несократимая дробь
(p – целое, q – натуральное) была нулём
многочлена f(z) с целыми коэффициентами
a_j,
необходимо, чтобы число p было делителем
свободного члена a_0,
а число q –
делителем старшего коэффициента а_n.
В частности, если f(z) имеет целые
коэффициенты a_j
и a_n = 1,
то рациональными нулями такого многочлена
могут быть только целые числа, которые
являются делителями свободного члена
a₀
.

Теорема 4.  Если
коэффициенты многочлена f(z) – действительные
числа и
– нуль f(z), тоz₀ =  – i
также является нулём этого многочлена.

Из
последней теоремы следует, что если
f(z) – многочлен с действительными
коэффициентами, то он представим
в виде

,
(11)

где
z_j , p_j , q_j  –  действительные
числа и квадратичные функции неразложимы
(т.е. имеют отрицательный дискриминант),
при.

При
этом k₁
+ k₂
+ … +
k_m
+ 2(r₁
+ r₂
+ … + r_s)
= n .

Если
f(z),
g(z)
– многочлены, то функция
называется рациональной функцией или
рациональной дробью. Рациональная дробьназывается правильной, еслиdeg
g(z)
< < deg
f(z).
Любую неправильную дробь можно представить
в виде суммы многочлена и правильной
рациональной дроби. Если
– правильная рациональная дробь с
действительными коэффициентами иf(z)
имеет разложение (3), то h(z)
допускает следующее представление в
виде суммы простейших дробей:

. (12)

Коэффициенты
находятся путём приравнивания
коэффициентов при одинаковых степенях
z у многочлена g(z) и многочлена, который
получается в числителе правой части
(11) после приведения суммы к общему
знаменателю (метод неопределённых
коэффициентов).

Пример 6.    Найти
все нули многочлена
и разложить его на неразложимые множители
с действительными коэффициентами, если
известен один его нуль.

Решение.
f(z) имеет действительные коэффициенты,
поэтому наряду с z₁
= 2+i нулём f(z) является также z₂
=
= 2–i. Значит, f(z) делится на.

Разделим
f(z) на
уголком

Таким образом,
.
Найдём нули второго множителя: z²
+ 2z + 10 = 0, z_3,4
= –1 
3i.

Итак, нулями
многочлена f(z) являются: z₁
= 2 + i, z₂
= 2 – i,

z₃ = –1 – 3i,
z₄ = –1 + 3i.
Многочлен f(z) разлагается на неразложимые
множители (квадратные функции с
отрицательными дискриминантами)
следующим образом:

z⁴
– 2z³
+ 7z²
– 30z + 50 = (z²
– 4z + 5)(z²
+2z +10) .

Пример 7. Дан
многочлен f(z) = z⁴
– 6z³
+ 10z²
+ 2z – 15:

а) подобрать
целые нули многочлена среди делителей
свободного члена;

б) разложить
f(z)
на линейные и неразложимые квадратичные
множители с действительными коэффициентами;

в) разложить
f(z)
на линейные множители с комплексными
коэффициентами;

г) разложить
дробь (2z – 3) / f(z)
на простейшие дроби с действительными
коэффициентами.

Решение.
а) Делителями числа 15 являются: 1,
3,
5,
15.

В
результате проверки убеждаемся, что z₁
= –1 является нулём f(z):

f(–1)
= 0. Следовательно, f(z) делится на (z
– z₁)
= z
+ 1. Выполним деление

Имеем:
f(z) = (z + 1) (z³
– 7z²
+17z – 15). Найдём
целые нули второго множителя среди
делителей свободного члена (–15): 1;
3;
5;
15.

В
результате проверки убеждаемся, что
является нулём многочлена (z³
– 7z²
+17z
– 15) и, следовательно, многочлена f(z).
Значит, f(z)
делится на (z
– z₁)
(z
– z₂)
= (z
+ 1) (z
– 3) = z²
– 2z
– 3. Разделим f(z)
на этот квадратный трёхчлен:

Таким
образом, f(z)
= (z²
– 2z
– 3)(z²
– 4z
+ 5). При этом второй множитель (z²
– 4z
+5) не имеет целых (и даже действительных)
нулей. Итак, f(z)
имеет лишь два целых нуля: z₁
= –1 и z₂
= 3.

б)
Так как z²
– 4z + 5 = 0 имеет лишь комплексные нули
и,
то искомым разложением будет уже
полученное.

в)
f(z)
имеет 4 однократных (говорят, простых)
нуля: z₁
= –1, z₂
= 3,

z₃
= 2 – i,
z₄
= 2 + i.
Старший коэффициент f(z)
равен 1. Поэтому

f(z)
= (z
– z₁)(z
– z₂
)(z
– z₃)(z
– z₄)
или f(z)
= (z
+ 1)(z
– 3)

(z
– 2 + i)(z
–2– i).

г)
Дробь (2z
– 3)/f(z)
является правильной. Имеем

.

Приведём
последнюю сумму к общему знаменателю:

Так
как f(z) равен знаменателю левой части,
то получим равенство

A(z
–3)(z²–
4z +5) + B(z + 1)(z²–
4z +5) + (Cz + D)(z +1)(z – 3)2z
– 3.

Неизвестные
коэффициенты А, В, С, D
можно найти, раскрыв скобки в левой
части, сгруппировав слагаемое по степеням
z
и приравняв соответствующие коэффициенты
в левой и правой частях равенства, при
этом получится система из 4-х линейных
алгебраических уравнений:

(A
+ B + C)z³
+ (– 7A – 3B – 2C + D)z²
+ (17A + B – 3C – 2D)z +

+(–15A
+ 5B – 3D) = 2z – 3.

Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
z,
получаем систему

Решая её, находим
A = 1/8, B = 3/8, C = –1/2, D =1. Итак,
.

Соседние файлы в папке Сборник ч.1 ред 30. 11

• #
• #
• #
• #
• #
• #

I have been told that to find factors of a polynomial (nth degree) we have to find the factors of constant term and that of coefficient of leading term of the polynomial in concern.

The possible integral zeros of the polynomial will be from the factor set of the constant term while rational zeros would be from set of each factor of constant / each factor of coefficient of the leading term.

Now I have to replace one by one value of $X$ for each integral and rational factors founded above and check if the polynomial results to $0$ (zero). The issue is that I go into deep / lengthy calculation if suppose constant term is $140$ and coefficient of leading term is $6$ per say.

Factors of $140 = -1,+1,-2,+2,-4,+4,-5,+5,-7,+7,…..$

Factors of $6 = -1,+1,-2,+2,-3,+3,-6,+6 $

Integral roots of the polynomial (set range) = $-1,+1,-2,+2,-4,+4,-5,+5,-7,+7,…..$

Rational roots of the polynomial (set range)
= $(-1,+1,-2,+2,-4,+4,-5,+5,-7,+7,…..)/ (-1,+1,-2,+2,-3,+3,-6,+6 )$

Taking one by one value and testing for zero is a very lengthy time consuming method — is there a quick easy way to find zeros of the pronominal?

Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости

Во многих приложениях важное значение имеет задача определения числа нулей данной функции, расположенных в определенной области. Например, при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений интерес представляют нули характеристического многочлена, расположенные в левой полуплоскости.

Нули функции являются, очевидно, полюсами функции вида , если не обращается в нуль в этих точках. В частности, в качестве вспомогательной для исследования нулей функции можно рассмотреть функцию, полностью определяемую только самой функцией , а именно . Из-за очевидного равенства , эту функцию называют логарифмической произведной функции . Ее особыми точками являются особые точки и нули . Поэтому нули функции можно исследовать как особые точки . Можно применить аппарат теории вычетов, в частности основную теорему о вычетах. Имеет место следующее утверждение.

---

Теорема о логарифмическом вычете

Утверждение 4.12 (теорема о логарифмическом вычете).

1. Пусть функция — аналитическая в за исключением, быть может, конечного числа полюсов, на — границе области не имеет ни полюсов, ни нулей. Тогда справедлива формула

где — число нулей, — число полюсов функции в области с учетом их кратностей, т.е. каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс — такое количество раз, каков его порядок.

2. В частности, если функция в не имеет особых точек и на не имеет нулей, то

Доказательство формулы (4.37) получается следующим образом. Пусть — нуль порядка функции , тогда справедливо равенство . Дифференцируя это равенство, получаем . Поэтому для логарифмической производной имеем . Здесь — аналитическая в точке функция, так как аналитическая и . Поэтому в последнем равенстве слагаемое является главной частью разложения в окрестности , из чего следует, что , т.е. вычет логарифмической производной функции в ее нуле равен кратности этого нуля.

Аналогично, для — функции из равенств

и получаем ,

из чего заключаем, что , т.е. вычет логарифмической производной функции в ее полюсе равен порядку полюса с противоположным знаком.

Применяя теорему о вычетах к вычислению интеграла устанавливаем справедливость формулы (4.37).

Пример 4.44. Вычислить контурный интеграл с помощью вычетов

а) ; б) .

Решение

Формула (4.38), очевидно, может быть использована для исследования нулей функции , если удастся получить удобный алгоритм для вычисления интеграла, стоящего слева в (4.38).

Воспользуемся равенством . Так как — аналитическая на и на не имеет нулей, то в некоторой области, содержащей , возможно выделение однозначных ветвей , и, следовательно, на имеем однозначную аналитическую функию , где — одно из значений аргумента, в частности главное значение. Запишем интеграл (логарифмический вычет):

Первое слагаемое в правой части равенства равно нулю как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала функции дву: действительных переменных .

Второе слагаемое определяет приращение аргумента образа точки при отображении в то время, когда точка совершает полные обход контура в положительном направлении (рис. 4.9,а), то есть . Если точка не совершает обхода вокруг , то (рис. 4.9,б) . Если точка совершает, оборотов, то (на рис. 4.9,в ), причем в этом равенстве при положительном обходе (против часовой стрелки) и при отрицательном (по часовой стрелке). Величина определяет число оборотов вектора , а знак — направление обхода.

Приведенные рассуждения отражают геометрический смысл формулы (4.38).

---

Принцип аргумента

Утверждение 4.13 (принцип аргумента)

1. Разность между числом нулей и полюсов функции в области ограниченной контуром , равна числу оборотов вектора при nt ремещении точки по кривой — образу при отображении и однократном обходе точкой контура

2. Если функция — аналитическая в и на — границе нет нулей , то (4.39) принимает вид

т.е. число нулей в области функции , аналитической в этой области, равно числу оборотов вектора вокруг начала координат.

Принцип аргумента, в частности формула (4.40), имеет многочисленные приложения. Приведем, например, следующие две теоремы.

---

Теорема Руше

Утверждение 4.14 (теорема Руше). Пусть функции и являются аналитическими в односвязной области и на ее границе и в точках границы выполняются условия . Тогда число нулей функции и в области одинаково.

Приведем доказательство. Прежде всего проверим, что функции и удовлетворяют условиям применения принципа аргумента, а именно не имеют нулей на контуре . Действительно, из неравенства и получаем , то есть . Аналогично для функции

, то есть .

Далее покажем, что . Для этого запишем функцию в виде произведения . Тогда , где . На границе имеем , т.e. образом кривой при отображении является окружность , из чего следует, что радиус-вектор точки не обходит начало координат, поэтому . Таким образом, получаем .

---

Основная теорема алгебры

Утверждение 4.15 (основная теорема алгебры). Многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет корней.

Для доказательства представляем многочлен в виде суммы:

, где и .

Так как . то найдется такое число , что для z, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . За счет выбора достаточно большого можно получить, что все нули многочлена расположены в круге . На границе круга, т.е. на , выполняется условие . По теореме Руше многочлен имеет в , а следовательно, и всюду такое же число нулей, как и функция . Но имеет и нулей в круге , так как является нулем кратности .

Замечание 4.8. Во введении мы построили множество комплексных чисел как расширение множества действительных чисел, в котором разрешимо любое квадратное уравнение. Может показаться, что для разрешимости уравнений более высоких степеней понадобится раз за разом расширять множество . Однако оказывается, что больше никаких новых расширений не нужно. Корни многочлена какой угодно степени принадлежат множеству , и, значит, новых чисел, не входящих в , для решения не требуется. Это свойство называется алгебраической замкнутостью множества комплексных чисел.

Практическое применение формулы (4.40) при решении задач определения числа нулей аналитической функции в области заключается в следующем. Строится годограф — кривая, которая является образом границы области при отображении . Далее по рисунку определяется число оборотов вектора при однократном обходе точкой границы области . Наконец, по формуле (4.40) определяется число нулей функции в области .

Область может быть неограниченной, например полуплоскость . С задачей определения числа нулей многочлена в полуплоскости связана важнейшая проблема механики — проблема устойчивости электрических и механических систем.

В качестве контура в таком случае выбирается полуокружность и ее диаметр (рис. 4.10,a), число выбирается достаточно большим, чтобы все нули многочлена, расположенные в правой полуплоскости , попали в полукруг , и рассматривается . Задача определения числа нулей в левой полуплоскости решается аналогично. При этом рассматривается левая полуокружность и ее диаметр (рис. 4.10,б).

Так как контур состоит из дуги и отрезка , то имеем в случае и в случае .

Для удобства будем считать, что , так как величина коэффициента не влияет на число корней уравнения .

Для определения многочлен записывается в виде произведения , где .

Поэтому . При этом , а из получаем . Таким образом, имеем . Величина определяется как разность: , где — начальная точка на дуге , a — конечная. В обоих случаях, изображенных на рис. 4.10,а и 4.10,б, и .

Чтобы определить приращение аргумента при перемещении точки по мнимой оси (отрезок на рис. 4.10,а или на рис. 4.10,б при ) строится, как сказано выше, годограф — образ мнимой оси при отображении . Для этого записываем параметрическое уравнение мнимой оси , подставляем в и получаем параметрическое уравнение образа. Чтобы построить годограф, отделяем в полученном уравнении действительную и мнимую части . Получаем уравнение образа в действительной параметрической форме .

Для схематичного построения кривой в плоскости достаточно найти несколько значений переменных и для различных значений , в частности нули функций , а также их значения при и . Часто полезно найти угловой коэффициент касательной при , то есть . Все данные целесообразно занести в таблицу и по точкам построить кривую. По графику определяем число оборотов вектора вокруг нуля и приращение аргумента на мнимой оси. При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от к (рис. 4.10,а), а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от к (рис. 4.10,б). Результаты рассуждений запишем в виде алгоритма.

---

Алгоритм применения принципа аргумента для отыскания числа нулей многочлена

1. Определить приращение аргумента на дуге

, где — степень многочлена .

2. Определить приращение аргумента на мнимой оси. Для этого:

а) найти и ;

б) построить годограф,

в) определить число оборотов радиуса-вектора вокруг нуля и приращение . При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от к , а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от к . При обходе нуля против часовой стрелки , а по часовой стрелке .

3. Вычислить .

4. По формуле (4.40) найти — число нулей многочлена в полуплоскости.

---

Примеры нахождения нулей многочленов

Пример 4.45. Найти число нулей многочлена в правой полуплоскости.

Решение

Пример 4.46. Найти число нулей многочлена в левой полуплоскости.

Решение

Пример 4.47. Найти число нулей многочлена в правой полуплоскости.

Решение

Пример 4.48. Найти число нулей многочлена в области a) ; б) .

Решение

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.