Как найти нормаль по уравнению касательной

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Касательная и нормаль к графику функции

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021

Рассмотрим
кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение
касательной к данной кривой в точке
имеет вид:

(34)

Нормалью
к кривой в данной точке называется
прямая, проходящая через данную точку,
перпендикулярную к касательной в этой
точке.

Уравнение
нормали к данной кривой в точке
имеет вид:

(35)

_{Длина
отрезка касательной, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
касательной,
проекция этого отрезка на ось абсцисс
называется подкасательной.}

_{Длина
отрезка нормали, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
нормали,проекция
этого отрезка на ось абсцисс называется
поднормалью.}

Пример
17

Написать
уравнения касательной и нормали к кривой
в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем
значение функции в точке
:

Найдем
производную заданной функции в точке

Уравнение
касательной найдем по формуле (34):

Уравнение
нормали найдем по формуле (35):

Ответ:
Уравнение
касательной :

Уравнение
нормали :.

Пример
18

Написать
уравнения касательной и нормали, длины
касательной и подкасательной, длины
нормали и поднормали для эллипса

в
точке
,
для которой.

Решение:

Найдем
как производную функции, заданной
параметрически по формуле (10):

Найдем
координаты точки касания
:
и значение производной в точке касания
:

Уравнение
касательной найдем по формуле (34):

Найдем
координаты
точкипересечения
касательной с осью:

Длина
касательной равна длине отрезка
:

Согласно
определению, подкасательная
равна

Где
угол
– угол между касательной и осью. Поэтому,— угловой коэффициент касательной,
равный

Таким
образом, подкасательная
равна

Уравнение
нормали найдем по формуле (35):

Найдем
координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина
нормали равна длине отрезка
:

Согласно
определению, поднормаль
равна

Где
угол
– угол между нормалью и осью. Поэтому,— угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому,
поднормаль
равна:

Ответ:
Уравнение
касательной :

Уравнение
нормали :

Длина
касательной
;
подкасательная;

Длина
нормали
; поднормаль

Задания
7. Написать
уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

.

2.
К окружности
в точках пересечения её с осью абсцисс

.

3.
К циклоиде
в точке, для которой

.

4.
В каких точках кривой
касательная параллельна:

а)
оси Оx; б) прямой

.

10.
Промежутки монотонности функции.
Экстремумы функции.

Условие
монотонности функции:

Для
того, чтобы дифференцируемая на
функцияне возрастала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна .

(36)

Для
того, чтобы дифференцируемая на
функцияне убывала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

(37)

Промежутки,
на которых производная функции сохраняет
определенный знак, называются промежутками
монотонности
функции

Пример
19

Найти
промежутки монотонности функции
.

Решение:

Найдем
производную функции
.

Найдем
промежутки знакопостоянства полученной
производной. Для этого

разложим полученный
квадратный трехчлен на множители:

.

Исследуем
знак полученного выражения, используя
метод интервалов.

Таким
образом, получаем согласно (36), (37),что
заданная функция возрастает на
и убывает на.

Ответ:
Заданная
функция
возрастает наи убывает на.

_{Определение}
Функция
имеет в точкелокальный
максимум (минимум),
если существует такая окрестность
точки
,
что для всехвыполняется условие

().

Локальный
минимум или максимум функции
называетсялокальным
экстремумом.

Необходимое
условие существования экстремума.

Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки.
Если функцияимеет
в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка
называетсякритической
точкой
функции
,
если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные
условия наличия экстремума в критической
точке
.

Пусть
точка
является критической.

Первое
достаточное условие экстремума:

Пусть
функция
непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка
является локальным максимумом, если
при переходе через

производная
функции меняет знак с плюса на минус.

Точка
является локальным минимумом, если при
переходе через

производная
функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример
20

Найти
экстремумы функции
.

Решение:

Найдем
производную заданной функции

Приравнивая
в полученной производной к нулю числитель
и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем
знак производной, используя метод
интервалов.

Из
рисунка видно, что при переходе через
точку
производная меняет знак с плюса на
минус. Следовательно, в точке—
локальный максимум.

При
переходе через точку
производная меняет знак с минуса на
плюс.

Следовательно,
в точке
—
локальный минимум.

При
переходе через точку
производная не меняет знак. Следовательно,
критическая точкане является экстремумом заданной
функции.

Ответ:
—
локальный максимум,
—
локальный минимум.

Второе
достаточное условие экстремума:

Если
первые
производные функциив точкеравны нулю, а-ная
производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции,
причем,

если

,
(38)

то
-локальный
минимум

если

,
(39)

то
-локальный
максимум.

Пример
21

Найти
экстремумы функции, пользуясь второй
производной
.

Решение:

ОДЗ:
.

Найдем
первую производную заданной функции

Найдем
критические точки функции:

Точку
мы не рассматриваем, так как функция
определена только в левой окрестности.

Найдем
вторую производную

Находим

Таким
образом, на основании (39) делаем вывод
о том, что при
— локальный максимум.

Ответ:
—
локальный максимум.

Задания
8.

Исследовать
на возростание и убывание функции:

Исследовать
на экстремумы функции:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть поверхность задана в неявном виде: $F(x,y,z)=0$ и пусть точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке $M_0$ таково:

$$
begin{equation}
F_{x}^{‘}(M_0)cdot(x-x_0)+F_{y}^{‘}(M_0)cdot(y-y_0)+F_{z}^{‘}(M_0)cdot(z-z_0)=0
end{equation}
$$

Уравнение нормали имеет вид:

$$
begin{equation}
frac{x-x_0}{F_{x}^{‘}(M_0)}=frac{y-y_0}{F_{y}^{‘}(M_0)}=frac{z-z_0}{F_{z}^{‘}(M_0)}
end{equation}
$$

Если же уравнение поверхности задано в явном виде $z=f(x,y)$, то уравнение касательной плоскости имеет вид:

$$
begin{equation}
f_{x}^{‘}(x_0,y_0)cdot(x-x_0)+f_{y}^{‘}(x_0,y_0)cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0
end{equation}
$$

Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:

$$
begin{equation}
frac{x-x_0}{f_{x}^{‘}(x_0,y_0)}=frac{y-y_0}{f_{y}^{‘}(x_0,y_0)}=frac{z-z_0}{-1}
end{equation}
$$

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

Пример №1

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10$ в точке $M_0(-2;1;20)$.

Решение

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$, $y_0$, $z_0$ (координаты точки $M_0$) в нашем случае таковы: $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$. Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в уравнение нашей поверхности и убедимся, что $z_0$ действительно равно 20:

$$
z_0=3x_{0}^{2}y_{0}^{4}-6x_0y_{0}^{3}+5x_0-4y_0+10=3cdot (-2)^2cdot 1^4-6cdot (-2)cdot 1^3-4cdot 1+10=12+12-4=20.
$$

Проверка пройдена, точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. $z_{x}^{‘}$ и $z_{y}^{‘}$:

$$
z_{x}^{‘}=6xy^4-6y^3+5;\
z_{y}^{‘}=12x^2y^3-18xy^2-4.

$$

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в выражения частных производных:

$$
z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=6x_0y_{0}^{4}-6y_{0}^{3}+5=-12-6+5=-13;\
z_{y}^{‘}left(x_0, y_0right)=12x_{0}^{2}y_{0}^{3}-18x_0y_{0}^{2}-4=48-(-36)-4=80.
$$

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=-13$, $z_{y}^{‘} left(x_0, y_0right)=80$ в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:

$$

-13cdot(x-(-2))+80cdot(y-1)-(z-20)=0;\
-13x+80y-z-86=0.
$$

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=-13$, $z_{y}^{‘} left(x_0, y_0right)=80$ в формулу (4) получим уравнение нормали:

$$
frac{x-(-2)}{-13}=frac{y-1}{80}=frac{z-20}{-1}; frac{x+2}{-13}=frac{y-1}{80}=frac{z-20}{-1}.
$$

Ответ: Касательная плоскость: $-13x+80y-z-86=0$; нормаль: $frac{x+2}{-13}=frac{y-1}{80}=frac{z-20}{-1}$.

Пример №2

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=5sqrt{x^2+y^2}-2xy-39$ в точке $M_0(3;-4;z_0)$.

Решение

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=3$, $y_0=-4$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

$$
z_0=5sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}-2x_0y_0-39=5sqrt{25}+24-39=10.
$$

Теперь, как и в предыдущем примере, перейдём к нахождению частных производных $z_{x}^{‘}$ и $z_{y}^{‘}$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения при $x=x_0$ и $y=y_0$:

$$
z_{x}^{‘}=frac{10x}{sqrt{x^2+y^2}}-2y; z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=frac{10cdot 3}{sqrt{3^2+(-4)^2}}-2cdot(-4)=11;\
z_{y}^{‘}=frac{10y}{sqrt{x^2+y^2}}-2x; z_{y}^{‘} left(x_0, y_0right)=frac{10cdot (-4)}{sqrt{3^2+(-4)^2}}-2cdot 3=-10.\
$$

Подставляя $x_0=3$, $y_0=-4$, $z_0=10$, $z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=11$, $z_{y}^{‘} left(x_0, y_0right)=-10$ в формулы (3) и (4) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

$$
11cdot(x-3)+(-10)cdot(y-(-4))-(z-10)=0; 11x-10y-z-63=0; \
frac{x-3}{11}=frac{y-(-4)}{-10}=frac{z-10}{-1}; frac{x-3}{11}=frac{y+4}{-10}=frac{z-10}{-1}.
$$

Ответ: Касательная плоскость: $11x-10y-z-63=0$; нормаль: $frac{x-3}{11}=frac{y+4}{-10}=frac{z-10}{-1}$.

Пример №3

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1$ в точке $M_0(1;-2;3)$.

Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и обозначим полученное в левой части выражение как $F(x,y,z)$:

$$
3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1=0.
$$
$$F(x,y,z)=3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$$

Используем формулы (1) и (2). Значения $x_0$, $y_0$ и $z_0$ как и ранее обозначают координаты точки $M_0$, т.е. $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$.

Проверим, действительно ли точка $M_0$ лежит на данной поверхности. Для этого подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражение $3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$ и выясним, равен ли нулю полученный результат:

$$
3x_0y_{0}^{2}z_0+5x_0y_0+z_{0}^{2}-10x_0z_0+2y_0-1=36-10+9-30-4-1=0.
$$

Итак, точка $M_0$ действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти $F_{x}^{‘}$, $F_{y}^{‘}$ и $F_{z}^{‘}$:

begin{aligned}
& F_{x}^{‘}=3y^2z+5y-10z;\
& F_{y}^{‘}=6xyz+5x+2; \
& F_{z}^{‘}=3xy^2+2z-10x. end{aligned}

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражения частных производных:

begin{aligned}
& F_{x}^{‘}(M_0)=3y_{0}^{2}z_0+5y_0-10z_0=-4;\
& F_{y}^{‘}(M_0)=6x_0y_0z_0+5x_0+2=-29; \
& F_{z}^{‘}(M_0)=3x_0y_{0}^{2}+2z_0-10x_0=8. end{aligned}

Подставляя $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$, $F_{x}^{‘} left(M_0right)=-4$, $F_{y}^{‘} left(M_0right)=-29$ и $F_{z}^{‘} left(M_0right)=8$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

$$
-4cdot(x-1)-29cdot(y-(-2))+8(z-3)=0; -4x-29y+8z-78=0.\
frac{x-1}{-4}=frac{y-(-2)}{-29}=frac{z-3}{8}; frac{x-1}{-4}=frac{y+2}{-29}=frac{z-3}{8}.
$$

Ответ: Касательная плоскость: $-4x-29y+8z-78=0$; нормаль: $frac{x-1}{-4}=frac{y+2}{-29}=frac{z-3}{8}$.

Пример №4

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z^3+4xyz=-3x^2+5y+7$ в точке $M_0(0;-3;z_0)$.

Решение

Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=0$, $y_0=-3$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

$$
z_{0}^{3}+4x_0y_0z_0=-3x_{0}^{2}+5y_0+7;\
z_{0}^{3}=-15+7; z_{0}^{3}=-8; z_0=-2.
$$

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

$$
z^3+4xyz+3x^2-5y-7=0.
$$

Обозначим $F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7$ и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка $F_{x}^{‘}$, $F_{y}^{‘}$ и $F_{z}^{‘}$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения в точке $M_0$:

begin{aligned}
& F_{x}^{‘}=4yz+6x; ; F_{x}^{‘}(M_0)=4y_0z_0+6x_0=-24;\
& F_{y}^{‘}=4xz-5; ; F_{y}^{‘}(M_0)=4x_0z_0-5=-5;\
& F_{z}^{‘}=3z^2+4xy; ; F_{z}^{‘}(M_0)=3z_{0}^{2}+4x_0y_0=12.
end{aligned}

Подставляя $x_0=0$, $y_0=-3$, $z_0=-2$, $F_{x}^{‘} left(M_0right)=-24$, $F_{y}^{‘} left(M_0right)=-5$ и $F_{z}^{‘} left(M_0right)=12$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

$$
-24cdot(x-0)-5cdot(y-(-3))+12(z-(-2))=0; -24x-5y+12z+9=0.\
frac{x-0}{-24}=frac{y-(-3)}{-5}=frac{z-(-2)}{12}; frac{x}{-24}=frac{y+3}{-5}=frac{z+2}{12}.
$$

Ответ: Касательная плоскость: $-24x-5y+12z+9=0$; нормаль: $frac{x}{-24}=frac{y+3}{-5}=frac{z+2}{12}$.

Прямая $NN’,$ проходящая через точку касания $M_0$ перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции $y=f(x)$ в этой точке. Уравнение нормали $$(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$$Уравнение касательной $TT’$ к графику функции $y=f(x)$ в его точке $M_0(x_0, y_0)$ имеет вид $$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$$

Углом $omega$ между кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ в их общей точке $M_0(x_0, y_0)$ называется угол между касательными к этим кривым в точке $M_0.$ Его можно вычислить по формуле $$tg,omega=frac{f_2′(x_0)-f’_1(x_0)}{1+f’_1(x_0)f’_2(x_0)}.$$

Примеры.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции $y=f(x)$ в данной точке, если:

5.235. $y=x^2-5x+4,$ $x_0=-1.$

Решение.

Уравнение касательной будем искать по формуле $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0);$ уравнение нормали — по формуле $(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$

 По условию, $x_0=-1.$

$y_0=y(x_0)=(-1)^2-5cdot(-1)+4=1+5+4=10.$

$y'(x)=2x-5Rightarrow y'(x_0)=y'(-1)=2cdot (-1)-5=-2-5=-7.$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-10=-7(x+1)Rightarrow 7x+y-3=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x+1)-7(y-10)=0Rightarrow x-7y+71=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $7x+y-3=0;$  уравнение нормали: $ x-7y+71=0.$

5.237. $y=sqrt x,$ $x_0=4.$

Решение.

Уравнение касательной будем искать по формуле $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0);$ уравнение нормали — по формуле $(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$

 По условию, $x_0=4.$

$y_0=y(x_0)=sqrt 4=2.$

$y'(x)=frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt x}Rightarrow y'(x_0)=y'(4)=frac{1}{2sqrt 4}=frac{1}{4}.$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-2=frac{1}{4}(x-4)Rightarrow 4(y-2)=x-4Rightarrow 4y-8=x-4Rightarrow x-4y+4=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x-4)+frac{1}{4}(y-2)=0Rightarrow 4(x-4)+(y-2)=0Rightarrow 4x+y-18=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $x-4y+4=0;$  уравнение нормали: $4x+y-18=0.$

5.241. Написать уравнения касательной и нормали в точке $M_0(2, 2)$ к кривой $x=frac{1+t}{t^3},$ $y=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t},,, tneq 0.$

Решение.

Найдем значение $t_0,$ подставляя координаты точки $M_0$ в уравнение кривой: $2=frac{1+t}{t^3},$ $2=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t}.$

 $left{begin{array}{rcl} 2=frac{1+t}{t^3},\ 2=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t},end{array}right.Rightarrow$ $2=frac{1+t}{t^3}=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t}$

Решим уравнение  

$frac{1+t}{t^3}=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t}$

$2(1+t)=3t+t^2Rightarrow$

$t^2+t-2=0Rightarrow t_1=1, t_2=-2.$

Подставим полученные решения в равенство $frac{1+t}{t^3}=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t}:$

$t_1=1: frac{1+1}{1}=frac{3}{2}+frac{1}{2}=2$

$t_2=-2: frac{1-2}{-8}=frac{3}{8}-frac{1}{4}=frac{1}{8}neq 2$ — не удовлетворяет нашей системе.

Найдем производную функции, заданной параметрически $y’_x.$

$y’_t=left(frac{3}{2}t^{-2}+frac{1}{2}t^{-1}right)’=frac{3}{2}cdot (-2)t^{-3}+frac{1}{2}cdot (-1)t^{-2}=-3t^{-3}-frac{1}{2}t^{-2}$ 

$y’_t|_{t=1}=-3-1/2=-3,5;$

$x’_t=left(frac{1+t}{t^3}right)’=frac{(1+t)’t^3-(1+t)(t^3)’}{t^6}=frac{t^3-(1+t)3t^2}{t^6}=frac{t^3-3t^2-3t^3}{t^6}=frac{-3t^2-2t^3}{t^6}.$ 

$x’_t|_{t=1}=-3-2=-5;$

$y’_x=frac{y’_t}{x_t}.$

$y’_x|_{t=1}=frac{-3,5}{-5}=frac{7}{10}.$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)Rightarrow$ $y-2=frac{7}{10}(x-2)Rightarrow 10(y-2)=7(x-2)Rightarrow 10y-20=7x-14Rightarrow$ $7x-10y+6=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0Rightarrow$ $(x-2)+frac{7}{10}(y-2)=0Rightarrow 10(x-2)+7(y-2)=0Rightarrow 10x+7y-34=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $7x-10y+6=0;$ уравнение нормали: $10x+7y-34=0.$

Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

5.254. $y=x^2$ и $y=x^3.$

Решение.

Угол между кривыми находим по формуле $$tg,omega=frac{f_2′(x_0)-f’_1(x_0)}{1+f’_1(x_0)f’_2(x_0)}.$$

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

$left{begin{array}{rcl} y=x^2,\ y=x^3,end{array}right.Rightarrow$ $left{begin{array}{rcl} y=x^2,\ x^2=x^3,end{array}right.Rightarrow$ $left{begin{array}{rcl} y=x^2,\ x_1=0\x_2=1,end{array}right.$ Таким образом, кривые пересекаются в точках $M_1(0, 0)$ и $M_2(1, 1).$

Далее найдем значения производных заданых функций в точках пересечения.

$f_1(x)=x^2Rightarrow f_1′(x)=2x$

$f_2(x)=x^3Rightarrow f_2′(x)=3x^2$

$f_1′(0)=0;$

$f_2′(0)=0;$

$f_1′(1)=2;$

$f_2′(1)=3.$

Подставляем найденные значения, в формулу нахождения угла:

 $$tg,omega_1=frac{f_2′(0)-f’_1(0)}{1+f’_1(0)f’_2(0)}=frac{0-0}{1+0}=0.$$  

Следовательно, $omega_1=0.$

 $$tg,omega_2=frac{f_2′(1)-f’_1(1)}{1+f’_1(1)f’_2(1)}=frac{3-2}{1+2cdot 3}=frac{1}{7}.$$

Следовательно, $omega_2=arctgfrac{1}{7}.$

Ответ: В точке $M_1(0, 0)$ угол равен 0. (т.е. касательные совпадают), в точке $M_2(1, 1)$ угол равен $arctgfrac{1}{7}.$ 

Домашнее задание.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции $y=f(x)$ в данной точке, если:

5.236. $y=x^3+2x^2-4x-3,$ $x_0=-2.$

Ответ: Уравнение касательной: $y-5=0;$  уравнение нормали: $x+2=0.$

5.238. $y=tg 2x,,,, x_0=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $y-2x=0;$  уравнение нормали: $2y+x=0.$

5.239. $y=ln x,,,, x_0=1.$

Ответ: Уравнение касательной: $x-y-1=0;$  уравнение нормали: $x+y-1=0.$

5.242. Написать уравнения касательных к кривой  $$x=tcos t, ,,, y=tsin t,,,, tin(-infty,,, +infty),$$ в начале координат и в точке $t=pi/4.$

Ответ: $y=0,$   $(pi+4)x+(pi-4)y-pi^2frac{sqrt 2}{4}=0$

5.244. Написать уравнения касательной к кривой $$x^5+y^5-2xy=0 в точке $M_0(1, 1).$

Ответ: $ x+y-2=0.$

Найти углы,под которыми пересекаются заданные кривые:

5.255. $y=(x-2)^2$ и $y=4x-x^2+4.$

Ответ: $arctgfrac{8}{15}.$

5.256. $y=sin x$ и $y=cos x,,, xin[0, 2pi].$

Ответ: $arctg2sqrt 2.$

5.260. Найти расстояние от начала координат до нормали к линии $y=e^{2x}+x^2,$ проведенной в точке с абсциссой $x=0.$

Ответ: $frac{2}{sqrt 5}.$

Найдем производную, дифференцируя функцию $ y(x) $ по переменной $ x $:

$$ (x^2)’_x+ (2xy^2)’_x + (3y^4)’_x = (6)’_x $$

Учитывая, что $ y^2 $ и $ y^4 $ сложные функции продолжаем:

$$ 2x + 2y^2 + 4xyy’ + 12y^3 y’ = 0 $$

Выражаем $ y’ $ из полученного уравнения:

$$ 4xyy’ + 12y^3 y’ = -2x — 2y^2 $$

Выносим $ y’ $ за скобки:

$$ y'(4xy + 12y^3) = -2x — 2y^2 $$

Делим обе части уравнения на выражение $ 4xy+12y^3 $:

$$ y’ = -frac{2x+2y^2}{4xy + 12y^3} = -frac{x+y^2}{2xy+6y^3} $$

Теперь вычисляем значение $ y’ $:

$$ y’ = -frac{1 + (-1)^2}{2cdot 1 cdot (-1) + 6cdot (-1)^3} = -frac{2}{-8} = frac{1}{4} $$

Зная, что $ y’ = frac{1}{4} $ и $ y(x_0) = y(1) = -1 $ составляем уравнения касательной и нормали к кривой в точке $ M(1;-1) $.

Получаем уравнение касательной:

$$ y — (-1) = frac{1}{4} (x — 1) $$

Записываем в красивой форме:

$$ y = frac{1}{4} x — frac{3}{4} $$

Получаем уравнение нормали:

$$ y — (-1) = -frac{1}{frac{1}{4}} (x — 1) $$

Раскрываем скобки и записываем в красивой форме, полученное уравнение:

$$ y+1 = -4(x-1) $$

$$ y = -4x + 3 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!