Загрузить PDF
Загрузить PDF
До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.
-
1
Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число.[1]
Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.- Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
- Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
-
2
Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b.[2]
Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
- √(25 х 16)
- √25 х √16
- 5 х 4 = 20
- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
-
3
Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
- √147
- = √(49 х 3)
- = √49 х √3
- = 7√3
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
-
4
Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
- Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
-
5
Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
- Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
- Рассмотрим другой пример: √88.
- √88
- = √(2 х 44)
- = √ (2 х 4 х 11)
- = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
- = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.
Реклама
При помощи деления в столбик
-
1
Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».
- Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
-
2
Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.
- В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 22 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа — это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
-
3
Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).
- В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
-
4
Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».
- В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.
-
5
Заполните прочерки справа. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
-
6
Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.
- В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
-
7
Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».
- В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.
-
8
Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.
-
9
Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).
Реклама
Понимание процесса
-
1
Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.
-
2
Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.
-
3
Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через Sa первую пару цифр в значении S, через Sb — вторую пару цифр и так далее.
-
4
Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).
-
5
Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен Sa (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
- Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
-
6
Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.
- Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
-
7
Вычтите A² из Sa. Для учета множителя 100 снесите одну пару цифр (Sb) из S: вам нужно, чтобы «SaSb» было равным общей площади квадрата, и из нее вычтите 100A² (площадь большого квадрата). В результате получите число N1, стоящее слева в шаге 4 (N = 380 в нашем примере). N1 = 2×10A×B + B² (площадь двух прямоугольников плюс площадь малого квадрата).
-
8
Выражение N1 = 2×10A×B + B² можно записать как N1 = (2×10A + B) × B. В нашем примере вам известно значение N1 (=380) и A(=2) и необходимо вычислить B. Скорее всего, B не является целым числом, поэтому необходимо найти наибольшее целое B, удовлетворяющее условию: (2×10A + B) × B ≤ N1. При этом B+1 будет слишком большим, поэтому N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).
-
9
Решите уравнение. Для решения умножьте A на 2, переведите результат в десятки (что эквивалентно умножению на 10), поместите B в положение единиц, и умножьте это число на B. Это число (2×10A + B) × B и это выражение абсолютно идентичны записи «N_×_=» (где N=2×A) сверху справа в шаге 4. А в шаге 5 вы находите наибольшее целое B, которое ставится на место прочерков и соответствует неравенству: (2×10A + B) × B ≤ N1.
-
10
Вычтите площадь (2×10A + B) × B из общей площади (слева в шаге 6). Так вы получите площадь S-(10A+B)², которая еще не учитывалась (и которая поможет вычислить следующие цифры).
-
11
Для вычисления следующей цифры C повторите процесс. Слева снесите следующую пару цифр (Sc) из S для получения N2 и найдите наибольшее C, удовлетворяющее условию (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (что эквивалентно двукратному написанию числа из пары цифр «A B» с соответствующим «_×_=», и нахождению наибольшего числа, которое можно подставить вместо прочерков).
Реклама
Советы
- Перемещение десятичного разделителя при увеличении числа на 2 цифры (множитель 100), перемещает десятичный разделить на одну цифру в значении квадратного корня этого числа (множитель 10).
- В нашем примере, 1,73 может считаться остатком: 780,14 = 27,9² + 1,73.
- Данный метод верен для любых чисел.
- Записывайте процесс вычисления в том виде, который вам наиболее удобен. Например, некоторые записывают результат над исходным числом.
- Альтернативный метод с использованием непрерывных дробей включает формулу: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, для вычисления квадратного корня из 780,14, целым числом, квадрат которого близок к 780,14 будет число 28, поэтому z=780,14, x=28, y=-3,86. Подставляя эти значения в уравнение и решая его в упрощении до х+у/(2x), уже в младших членах получаем результат 78207/2800 или около 27,931(1), а в следующих членах 4374188/156607 или около 27,930986(5). Решение каждого последующего члена добавляет около 3 цифр к дробной доли по сравнению с предыдущем членом.
Реклама
Предупреждения
- Не забудьте разделить число на пары, начиная с дробной части числа. Например, разделяя 79520789182,47897 как «79 52 07 89 18 2,4 78 97″, вы получите бессмысленное число.
Реклама
Похожие статьи
Источники
Об этой статье
Эту страницу просматривали 928 113 раз.
Была ли эта статья полезной?
В примерах по извлечению квадратного корня из дроби требуется работать с обыкновенными дробями.
Поэтому рекомендуем перед решением примеров освежить знания по действиям с
обыкновенными дробями:
- правильные и неправильные дроби;
- сложение дробей;
- вычитание дробей;
- умножение дробей;
- деление дробей.
Свойство квадратного корня из дроби
Запомните!
Квадратный корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
|
=
, если a ≥ 0 и
b > 0.
Как найти квадратный корень из дроби
По традиции от теории переходим к практике. Разберем пример вычисления квадратного корня из дроби.
Разбор примера
Вычислить:
1)
|
|
=
…
Используем правило квадратного корня из дроби. Извлечем квадратный корень отдельно из числителя и знаменателя.
|
|
=
=
Запомните!
Правило извлечения квадратного корня из дроби действует и в обратную сторону.
Квадратный корень из числителя, деленный на квадратный корень из знаменателя, равен квадратному корню из всей дроби.
=
|
|
, если a ≥ 0 и
b > 0.
Разбор примера
Вычислить:
1)
=
|
|
=
√9
=
3
Как извлечь квадратный корень из смешанного числа
Разбор примера
Вычислить:
4)
|
|
5 |
= …
Избавимся от целой части дроби и превратим ее в неправильную.
|
|
5 |
=
|
|
=
|
|
=
=
|
|
= …
Используем свойство квадратного корня из дроби.
|
|
5 |
=
|
|
=
|
|
=
=
|
|
=
=
= …
Для завершения примера не забудем выделить целую часть.
|
|
5 |
=
|
|
=
|
|
=
=
|
|
=
=
=
2
Запомните!
Нельзя складывать или вычитать подкоренные дроби между собой, объединяя их общим знаком квадратного корня.
|
|
+
|
|
≠
|
|
+ |
(не верно!)
Разбор примера
Вычислить:
4)
|
|
+
|
|
= …
Перед тем как работать с дробями требуется выполнить действие извлечения квадратного корня из дробей.
|
|
+
|
|
=
+
= …
Вспомним, что квадратный корень из единицы равен единице (
√1 = 1
) и используем правило сложения дробей.
|
|
+
|
|
=
+
=
+
=
=
=
1
Примеры извлечения квадратного корня из дроби
Разбор примера
2) 5
|
|
−
3
|
|
= …
Вспомним, что в краткой записи между квадратным корнем и числом знак умножения «·» не пишут.
Для наглядности поставим его в пример и вычислим пример по правилу
умножения числа на дробь.
5
|
|
−
3
|
|
=
=
5
·
|
|
−
3
·
|
|
=
=
5
·
−
3
·
=
=
5
·
−
3
·
= …
Вспомним правило умножения дроби на число.
5
|
|
−
3
|
|
=
=
5
·
|
|
−
3
·
|
|
=
=
5
·
−
3
·
=
=
5
·
−
3
·
=
−
=
=
1 − 1 = 0
Разбор примера
Вычислить:
4)
= …
Чтобы вычислить квадратный корень, используем правило умножения дробей
и правило квадратного корня из дроби.
=
·
=
4
·
|
|
=
=
4 · √9 =
4 · 3 = 12
Разбор примера
Вычислить:
2)
|
|
5
· 11 |
= …
Избавимся от целой части
в смешанных числах, чтобы можно было использовать свойство квадратного корня из дроби.
|
|
5
· 11 |
=
=
|
|
· |
=
=
|
|
· |
=
|
|
·
|
|
=
=
·
= …
Вспомним таблицу квадратов, чтобы вычислить
√289.
|
|
5
· 11 |
=
=
|
|
· |
=
=
|
|
· |
=
|
|
·
|
|
=
=
·
=
·
=
=
=
=
…
Выделим целую часть смешанного числа для того, чтобы дать окончательный ответ.
|
|
5
· 11 |
=
=
|
|
· |
=
=
|
|
· |
=
|
|
·
|
|
=
=
·
=
·
=
=
=
=
7
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Что такое арифметический квадратный корень
Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа (a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен (a). ( (sqrt{a}=x, {{x}^{2}}=a; x, age 0)).
А почему же число ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?
Например, чему равен ( sqrt{-9})?
Так-так, попробуем подобрать. Может, три?
Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).
Может, ( left( -3 right))?
Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).
Ну что же, не подбирается?
Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!
Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!
Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!
Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа( a)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен( a)».
Но подождите! В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом!
Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)
А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?
Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.
К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).
Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что
( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)
(не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)
А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).
Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.
В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).
Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня
А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).
Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?
Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.
Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.
А что если ( displaystyle x=2)?
Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.
С отрицательными числами получится такая же история.
И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?
Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).
Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.
И что дальше?
Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.
Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!
Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!
Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.
Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?
Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.
Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.
Деление корней
С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.
Напомню, что формула в общем виде выглядит так:
( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).
А значит это, что корень из частного равен частному корней.
Ну что, давай разбираться на примерах:
( displaystyle frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)
Вот и вся наука. А вот такой пример:
( displaystyle frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})
Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.
А что, если попадется такое выражение:
( displaystyle sqrt{frac{144}{225}}=?)
Надо просто применить формулу в обратном направлении:
( displaystyle sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)
А вот такой примерчик:
( displaystyle sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)
Еще ты можешь встретить такое выражение:
( displaystyle sqrt{5frac{19}{25}}=?)
Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!
( displaystyle sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)
Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.
Возведение в степень
А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).
Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?
Ну, конечно, ( displaystyle a)!
Рассмотрим на примерах:
( displaystyle {{left( sqrt{12} right)}^{2}}=12)
( displaystyle {{left( sqrt{17} right)}^{2}}=17)
Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!
Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.
Забыл?
Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.
Вот, к примеру, такое выражение:
( displaystyle {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)
В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:
( displaystyle {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})
С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:
( displaystyle sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)
Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:
( displaystyle sqrt{{{3}^{6}}}=sqrt{{{left( {{3}^{3}} right)}^{2}}}={{3}^{3}}=27)
( displaystyle sqrt{{{3}^{5}}}=sqrt{{{3}^{4}}cdot 3}=sqrt{{{left( {{3}^{2}} right)}^{2}}cdot 3}={{3}^{2}}cdot sqrt{3}=9sqrt{3})
Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:
- ( displaystyle sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})
- ( displaystyle sqrt{{{6}^{6}}})
- ( displaystyle {{left( sqrt{8} right)}^{7}})
А вот и ответы:
Извлечение корней из больших чисел
До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!
( displaystyle sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})
Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:
( displaystyle sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})
Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:
( displaystyle sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})
Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.
Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:
( displaystyle sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})
Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:
А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):
( displaystyle sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})
Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!
( displaystyle begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})
На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:
( displaystyle begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})
Вот и все, не так все и страшно, правда?
( displaystyle sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)
Получилось ( displaystyle 90)? Молодец, все верно!
А теперь попробуй вот такой пример решить:
( displaystyle sqrt{4225}=?)
А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.
Извлечение корней: методы, способы, решения
Из этой статьи вы узнаете:
- что такое «извлечение корня»;
- в каких случаях он извлекается;
- принципы нахождения значения корня;
- основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.
Что такое «извлечение корня»
Для начала введем определение «извлечение корня».
Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.
При извлечении корня n -ной степени из числа a, мы находим число b , n -ная степень которого равняется a . Если мы нашли такое число b , можно утверждать, что корень извлечен.
Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.
В каких случаях извлекается корень?
Корень n -ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n -ной степени некоторого числа b .
4 = 2 × 2 , следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2
Когда корень n -ной степени из числа a невозможно представить в виде n -ной степени числа b , то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.
Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения
- Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
- Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
- Извлечение корней из дробных чисел
- Извлечение корня из отрицательного числа
- Поразрядное нахождение значения корня
Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.
Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: b n n = b , которое является справедливым для любого неотрицательного числа b .
Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.
Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).
Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.
Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.
И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.
Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.
Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.
Таблица квадратов
| Таблица квадратов | единицы | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| десятки | 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 | |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2041 | |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 | |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 | |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 | |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 | |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.
Таблица кубов
| Таблица кубов | единицы | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| десятки | 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1 331 | 1 728 | 2 197 | 2 744 | 3 375 | 4 096 | 4 913 | 5 832 | 6 859 | |
| 2 | 8000 | 9 261 | 10 648 | 12 167 | 13 824 | 15 625 | 17 576 | 19 683 | 21 952 | 24 389 | |
| 3 | 27000 | 29 791 | 32 768 | 35 937 | 39 304 | 42 875 | 46 656 | 50 653 | 54 872 | 59 319 | |
| 4 | 64000 | 68 921 | 74 088 | 79 507 | 85 184 | 91 125 | 97 336 | 103 823 | 110 592 | 117 649 | |
| 5 | 125000 | 132 651 | 140 608 | 148 877 | 157 464 | 166 375 | 175 616 | 185 193 | 195 112 | 205 379 | |
| 6 | 216000 | 226 981 | 238 328 | 250 047 | 262 144 | 274 625 | 287 496 | 300 763 | 314 432 | 328 509 | |
| 7 | 343000 | 357 911 | 373 248 | 389 017 | 405 224 | 421 875 | 438 976 | 456 533 | 474 552 | 493 039 | |
| 8 | 512000 | 531 441 | 551 368 | 571 787 | 592 704 | 614 125 | 636 056 | 658 503 | 681 472 | 704 969 | |
| 729000 | 753 571 | 778 688 | 804 357 | 830 584 | 857 375 | 884 736 | 912 673 | 941 192 | 970 299 |
Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.
Разложение подкоренного числа на простые множители
Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.
Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.
Извлечем квадратный корень из 144 .
Разложим 144 на простые множители:
Таким образом: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = ( 2 × 2 ) 2 × 3 2 = ( 2 × 2 × 3 ) 2 = 12 2 . Следовательно, 144 = 12 2 = 12 .
Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12
144 = 12 — окончательный ответ.
Извлечение корней из дробных чисел
Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.
Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:
p q n = p n q n . Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.
Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.
Необходимо извлечь кубический корень из 474 , 552 . Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474 , 552 = 474552 / 1000 . Из этого следует: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3 . Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:
474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = ( 2 × 3 × 13 ) 3 = 78 3 и 1000 = 10 3 , то
474552 3 = 78 3 3 = 78 и 1000 3 = 10 3 3 = 10 .
Завершаем вычисления: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7 , 8 .
Извлечение корня из отрицательных чисел
Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа — a и нечетного показателя корня 2 n — 1 справедливо равенство:
— a 2 × n — 1 = — a 2 × n — 1
Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.
— 12 209 243 5 . Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:
— 12 209 243 5 = 12 209 243 — 5
Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:
12 209 243 — 5 = 3125 243 — 5
Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:
3125 243 — 5 = — 3125 5 243 5
Вычисляем корни в числителе и знаменателе:
— 3125 5 243 5 = — 5 5 5 3 5 5 = — 5 3 = — 1 2 3
Краткая запись решения:
— 12 209 243 5 = 12 209 243 — 5 = 3125 243 — 5 = — 3125 5 243 5 = — 5 5 5 3 5 5 = — 5 3 = — 1 2 3 .
Ответ: — 12 209 243 5 = — 1 2 3 .
Поразрядное нахождение значения корня
Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n — ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.
В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.
Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5 .
Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , вычисляя при этом 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5 . Все это удобно представить в виде таблицы:
| Возможное значение корня | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Это значение в степени | 0 | 1 | 4 | 9 |
Значение ряда единиц равняется 2 ( т а к к а к 2 2 5 , а 2 3 > 5 ) . Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2 , 0 , 2 , 1 , 2 , 2 , . . . , 2 , 9 , , сравнивая полученные значения с числом 5 .
| Возможное значение корня | 2,0 | 2,1 | 2,2 | 2,3 |
| Это значение в степени | 4 | 4,41 | 4,84 | 5,29 |
Поскольку 2 , 2 2 5 , а 2 , 3 2 > 5 , то значение десятых равняется 2 . Переходим к нахождению значения сотых:
| Возможное значение корня | 2.20 | 2,21 | 2,22 | 2,23 | 2,24 |
| Это значение в степени | 4,84 | 4,8841 | 4,8294 | 4,9729 | 5,0176 |
Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2 , 23 . Можно находить значения корня дальше:
2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .
Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.
Некоторые приемы извлечения квадратного корня из числа
Разделы: Математика
Многим старшеклассникам часто приходится сталкиваться с заданиями типа “Сравните числа. ” или “Решите уравнение. ”, в которых или извлекаемый, но из неимоверно большого числа (настолько большого, что не поможет даже таблица квадратов) корень, либо неизвлекаемый. Конечно, можно воспользоваться калькулятором и не мучиться. Но как же быть с предстоящими экзаменами? Да и на контрольной работе особо техникой не воспользуешься.
Именно этот вопрос может стать прекрасной темой для исследовательской работы.
Исследуем некоторые способы извлечения квадратных корней из различных чисел.
Задачи:
- Познакомиться с историей квадратного корня
- Научиться извлекать квадратные корни без помощи электронно-вычислительной техники
- Познакомить с этими способами учащихся.
Данная тема очень актуальна, так как каждому выпускнику предстоит сдавать экзамены, а приобретённые навыки помогут не только на ЕГЭ по математике, но и на других предметах.
История квадратного корня.
Как мы знаем из определения, квадратный корень из числа а — это такое число, квадрат которого равен а, то есть решения уравнения относительно переменной х: 
Квадратным корнем называют также функцию 
вещественной переменной х, которая каждому 
ставит в соответствие арифметическое значение корня.
Знак корня происходит из строчной латинской буквы 
(от латинского radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой. Ранее надчеркивание выражения использовалось вместо заключения его в скобки. Так что 
есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения 
.
Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.
В ходе работы над данным исследованием можно обнаружить занимательную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвящённый квадратному корню.
День квадратного корня — праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02.02.04 или 3 марта 2009 года: 03.03.09). Ближайший такой праздник состоится 4 апреля 2016 года (04.04.16).
Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09.09.81). Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, штат Калифорния, США. Его дочь с помощью всемирных социальных сетей собрала группы поклонников этого праздника, где каждый может поделиться своим способом отметить эту необычную дату.
Главным блюдом на этом “праздничном столе” обычно являются варёные кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня.
По объективным математическим причинам это праздник отмечается строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды — во второй), всегда в одни и те же дни:
- января ХХ01 года
- февраля ХХ04 года
- марта ХХ09 года
- апреля XX16 года
- мая ХХ25 года
- июня ХХ36 года
- июня ХХ49 года
- августа ХХ64 года
- сентября ХХ81 года.
При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7,9, 11, 13, 15, 17, 19.
Методы извлечения квадратного корня.
Рассмотрим несколько методов извлечения квадратного корня. Начнём с алгоритма для извлечения квадратного корня из целого и дробного числа; арифметического способа; метода грубой прикидки. Далее рассмотрим два замечательных (и весьма удобных) метода Герона.
Алгоритм для извлечения квадратного корня из целого числа нацело. Данный алгоритм требует вычислений в столбик. Изучим предложенный алгоритм, а затем применим для нескольких чисел.
Разбить число на группы по две цифры справа налево.
Для первой группы (она может в итоге состоять из двухзначного и однозначного числа) подобрать такую цифру, чтобы её квадрат был наибольшим и не превосходящим данное число.
Из первой группы вычитается квадрат найденного числа, а само число будет первым в ответе.
Далее работаем столбиком, то есть к остатку (если он есть) сносим следующую группу.
Самый сложный. Помните то число, которое было первым в ответе? Его необходимо умножить на 2, а затем справа к нему приписать ещё одну цифру, такую, чтобы произведение полученного числа на приписанную цифру было наибольшим, но не превосходило снесённое число. Эта самая цифра будет следующей в ответе.
Затем мы вычитаем столбиком полученное число и сносим следующую группу, если такая есть. И повторяем шаги 4-5, только берём уже все число, которое выходит в ответе.
Без примера разобраться с этим алгоритмом трудно. Начнём с числа попроще, с табличного значения.
Пример: вычислим 
.
Разбиваем число: 31’36
Для первой группы (31) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.
, Пусть цифра – 6; 
Пример: возьмём число повнушительнее, например 
Разбиваем число: 
Для первой группы (29) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.
а) 
, Пусть цифра – 4; 
б) 
, Пусть цифра – 7; 
Если корень не извлекается из числа нацело, то нужно пользоваться тем же самым алгоритмом, добавив справа от исходного числа дробные группы ’00’ (чем больше групп, тем точнее результат). Если необходимо вычислить корень квадратный из дробного числа, то также пользуются данным алгоритмом, только дробную часть разбивать на группы необходимо слева направо, считая от запятой.
Для относительно небольших чисел существует арифметический способ вычисления их квадратного корня. Ну, мало ли на экзамене переволнуешься, и забудешь корень квадратный из 4. Бывает и не такое.
В чем суть метода. Для квадратов чисел справедливы следующие равенства:
То есть найдём, например: 
.
=5
В принципе, этим способом можно найти целую часть квадратного корня для чисел, из которых корень нацело не выносится.
=2 (и остаток 4)
Метод грубой прикидки может быть использован при наличии под рукой таблицы квадратов.
Например, вам необходимо грубо оценить значение 
.
Тогда можно поступить следующим образом. Нужно умножить исходное число на 100 (т.е. 
) и найти ближайшие к полученному числу значения по таблице. В данном случае, это числа 484 и 529. Квадратными корнями для этих чисел являются 22 и 23. 
, 
, тогда 
Аналогично, для больших чисел: найдём 
.
Древнегреческий учёный Герон, живший ещё в I веке нашей эры, придумал метод вычисления квадратных корней, который, возможно, используется в ваших собственных калькуляторах. Суть первого метода проще всего понять сразу на примере.
Найдём
. Число не имеет рационального корня, поэтому возьмём корень с очень малой погрешностью. Это 1369, имеющее корень 37.
Разделим 1360 на 37. Получается 
.
Теперь сложим 37 и 
, получается 
.
Разделим результат на 2, получим 
. Безусловно, мы получаем число с погрешностью, но эту погрешность можно уменьшить, если повторить все операции ещё раз.
Второй метод Герона ещё проще, чем первый.
В этом случае, исходное число представляется как 
. где а 2 – ближайший точный квадрат, и считают по формуле
Например,
По моему мнению, методы Герона являются самыми простыми для понимания школьников, а также очень эффективными, так как имеют самую маленькую погрешность. Успехов на экзамене!
Что делать когда дискриминант не извлекается из под корня?
Алгебра | 5 — 9 классы
Что делать когда дискриминант не извлекается из под корня?
Пример такой : Х = 7 + / — (21 под корнем) / 2.
Если Дискриминант не извлекается из под корня.
То корни уравнения так и записываются.
Формулы дискриминанта и корней?
Формулы дискриминанта и корней.
5x = 3x ^ 2 найти дискриминант и корни?
5x = 3x ^ 2 найти дискриминант и корни.
Найдите дискриминант и корни 6х² — 11х — 1 = 0?
Найдите дискриминант и корни 6х² — 11х — 1 = 0.
Найдите дискриминант и корни?
Найдите дискриминант и корни.
Найдите ошибку, дискриминант 573 получается, а корень не извлекается?
Найдите ошибку, дискриминант 573 получается, а корень не извлекается.
Как такие корни извлекать?
При каких значениях дискриминанта D квадратное уравнение не имеет корней?
При каких значениях дискриминанта D квадратное уравнение не имеет корней.
Пожалуйста решите уравнение 3x ^ 2 — 2 — 5 = 0 никак не могу найти дискриминант ?
Пожалуйста решите уравнение 3x ^ 2 — 2 — 5 = 0 никак не могу найти дискриминант ?
Из — под корня не извлекается.
Здравствуйте, помогите пожалуйста?
Здравствуйте, помогите пожалуйста.
Что делать если корень не извлекается из дискриминанта, пример числа 128.
Дайте определение тождества?
Дайте определение тождества.
Что называют дискриминантом квадратного уравнения?
Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
Если вам необходимо получить ответ на вопрос Что делать когда дискриминант не извлекается из под корня?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Алгебра вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.
Task / 25774876 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — Решите уравнениеSinx * cosx * sin3x — cos3x * sin²x = 6ctgx — — — — — — — — — — — — — — — — — — Sinx(cosx * sin3x — cos3x * sinx) = 6ctgx ; sinx * sin(3x — x) = 6ctqx ; sinx * sin2x = 6ctqx ; ..
Графики в прикрепе Ответ : — 1 ; 2.
Пусть цена тетради х руб. , цена ручки у руб. , ценакарандаша z руб. Тогда стоимость покупки Маши : 2х + 4у + z = 30 (руб. ) Стоимость покупки Саши : 4x + 5y + 2z = 51 (руб. ) Найти стоимость покупки Даши : 2х + 3у + z = ? (руб. ) Стоимость по..
(3 + а) * (3 — а) но никак не 1.
В 5 классе алгебра не бывает.
128 : 2 = 64 см² площадь одной грани сторона куба равна√64 = 8 см v = 8³ = 512 cм³.
Решение смотри на фотографии.
1. 5 — 4( — 2) = 5 — ( — 
= — 13 2. 1 5. — 2.
http://urok.1sept.ru/articles/658035
http://algebra.my-dict.ru/q/221579_cto-delat-kogda-diskriminant-ne-izvlekaetsa/
При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.
К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.
Содержание:
- Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
- Разложение на простые множители
- Метод Герона
- Вычисление корня делением в столбик
- Поразрядное вычисление значения квадратного корня
- Видео
Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?
При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.
Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.
Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.
Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.
Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.
Разложение на простые множители
Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.
Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
√R = √a + (R — a) / 2√a,
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.
Теперь проверим точность метода:
10,55² = 111,3025.
Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:
√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Проверим точность расчёта:
10,536² = 111,0073.
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Вычисление корня делением в столбик
Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.
Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.
- Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
- Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
- Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
- Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
- Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
- Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
- Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.
В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.
Поразрядное вычисление значения квадратного корня
Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.
Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.
- Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² < 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20 < n <30.
- Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27 < n < 28.
- Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д. ) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.
Видео
Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.