Как найти неизвестный интеграл

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Содержание:

Интегрирование — операция, обратная дифференцированию, которая позволяет определять функцию F(x), для которой заданная функция f(x) является ее производной:

Другими словами, если операция дифференцирования состоит в нахождении производной, то интегрирование — это операция отыскания первообразной.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), на промежутке X, если для каждой точки этого промежутка F(x) = f(x).

Теорема. Если выполняется равенство .

Доказательcmво:

Таким образом, все семейство первообразных для данной функции f(x) имеет вид F(x) + C, где F(x) одна из первообразных, а С — произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) ни промежутке X называется неопределенным интегралом функции f(x).

Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:

где — знак интеграла;

f(x) — подынтегральная функция;

f(x)dx = F'(x)dx = dF(x) — подынтегральное выражение.

В определении неопределенного интеграла не исключается возможность того, что подынтегральная функция является сложной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, поскольку дифференцировать следует лишь по переменной, стоящей под знаком дифференциала.

Можно показать, что достаточным условием интегрируемости функции f(x) на промежутке X является ее непрерывность, в то время как для ее дифференцируемости непрерывность является лишь необходимым условием, но не достаточным.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:

Эти свойства означают, что интегрирование и дифференцирование — взаимно обратные операции.

3. Если f(x) и — интегрируемые функции, т.е. на промежутке X они имеют первообразные, то сумма функций f(x) + g(x) также интегрируема и

4. Если f(x) — интегрируемая функция, а К — постоянная величина, то — также интегрируемая функция и

Таким образом, свойства 3 и 4 указывают на линейность операции интегрирования:

где К: — постоянные; f,(x)~ интегрируемые функции.

5. ~ дифференцируемая функция, то .

Простым обращением известных формул дифференцирования элементарных функций получается таблица простейших неопределенных интегралов.

Чтобы найти неопределенный интеграл от какой-либо функции, достаточно свести его к одному или нескольким табличным интегралам из вышеприведенной таблицы.

Замена переменных

Для упрощения подынтегральной функции и, тем самым, для нахождения интеграла часто применяется так называемая подстановка или замена переменных.

Если обозначить и сделать соответствующие преобразования в заданном подынтегральном выражении, полученный интеграл при удачном выборе функции может оказаться более простым или даже табличным.

Для некоторых типов подынтегральных функций известны такие подстановки, которые приводят к цели. Ниже будут рассматриваться многие из них.

Например:

1. . Если применить замену x-a=t, dt = dx, то получим:

2. . Применим замену x = at, . В результате получим:

3. — Как и в предыдущем случае, применим замену x = at, , в результате получим:

4. . Интегрирование этого выражения будет проведено позднее при подробном рассмотрении метода замены переменных.

Наряду с заменой переменных часто применяется метод разложения, который опирается на линейные свойства интегралов. Это можно проиллюстрировать следующим примером:

Интегрирование по частям

Если функции u(х) и v(x) дифференцируемы на множестве X и, кроме того, на этом множестве существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем

Действительно, если проинтегрировать формулу нахождения дифференциала произведения двух функций:

то можно получить следующее соотношение между первообразными от этих функций:

Такой способ нахождения интеграла называется интегрированием по частям. Этот способ целесообразно применять, если интеграл, стоящий в правой части проще исходного. При использовании метода интегрирования по частям задана левая часть равенства, т.е. функция и(х) и дифференциал dv(x). Таким образом, выбор функций u(х) и v(x) неоднозначен, причем не каждый способ выбора этих функций ведет к упрощению первоначального интеграла.

Функции, интегрируемые по частям, можно схематично разделить на три группы.

1. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

В случае если подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из перечисленных выше функций в степени m, то операцию интегрирования по частям придется повторять m раз.

2. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , sin ах, cos aх, а также, полином n-й степени Q(х):

Для вычисления интегралов второй группы нужно формулу интегрирования по частям применять п раз, причем в качестве функции u(х) нужно брать многочлен соответствующей степени. После каждого интегрирования степень полинома будет понижаться на единицу.

3. Интегралы вида:

Применение формулы интегрирования по частям может привести к ситуации, когда интеграл в правой части и интеграл в левой части равенства совпадают, т.е. получается равенство вида:

I = uv-aI, где I — исходный интеграл; а — постоянная ().

В этом случае применение метода интегрирования по частям позволяет получить уравнение первого порядка для I, из решения которого находится исходный интеграл I:

Причем, метод интегрирования по частям может применяться многократно и любой из сомножителей можно всякий раз принимать за u(х).

Большое количество интегралов, не входящих в эти три группы, у которых невозможно выделить общий признак для группировки, также вычисляются методом интегрирования по частям. К таким интегралам можно отнести:

и многие другие.

Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации

Из курса линейной алгебры известно, что рациональной дробью называется выражение вида , где — многочлены степени m и n, соответственно. Рациональная дробь называется правильной при mn, рациональная дробь называется неправильной. Деление числителя на знаменатель позволяет от неправильной дроби перейти к правильной.

При интегрировании правильной рациональной дроби производится разложение этой дроби на простейшие, для чего предварительно разлагается на элементарные множители многочлен . Коэффициенты разложения определяются методом неопределенных множителей. Почленное интегрирование результатов разложения сводится к вычислению интегралов вида:

Интегралы вида вычисляются следующим образом:

Для вычисления интегралов вида применяются метод замены переменных и метод интегрирования по частям:

Обозначим через , тогда . Введем новую переменную тогда

Если ввести обозначение , то полученное выражение можно переписать в следующем виде:

Таким образом, происходит понижение порядка вычисляемого интеграла, и вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла

Зная с точностью до константы интеграл можно вычислить

Используя полученный результат, можно вычислить

Таким образом, можно вычислить интеграл для любого натурального m. + 2 т Во многих случаях интегрирование иррациональной функции удается выполнить, применив замену переменной интегрирования, преобразующую подынтегральную функцию в рациональную.

Если -рациональная функция своих аргументов, a , целые положительные числа, то интеграл: приводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки , где n-наибольшее общее кратное показателей корней a,b,____

Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем случае интегрирования выражений типа: В этом случае также применяется подстановка где, как и в рассмотренном выше случае, «-наибольшее общее кратное показателей корней m, k.

Вычисление

Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

Здесь t — новая переменная.

Интеграл находится подстановкой

Интеграл находится подстановкой

Пример:

Вычислить

Применим подстановку Эйлера Возводя это равенство почленно в квадрат, получим

Дифференцируя обе части полученного выражения, получим . Отсюда Таким образом, Поскольку Следовательно,

Вычисление

Интеграл , где R — рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной подстановки. При этом: При вычислении таких интегралов можно использовать также и специальные подстановки, а именно: в случае, когда можно использовать подстановку cos x = t.

В случае неопределенного интеграла вида это соответствует нечетному значению n.

Если можно использовать подстановку sinх = t.

Если , то можно использовать подстановку tgx = t.

Вычисление

Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл где m,n,p — рациональные числа, а и b- постоянные, отличные от нуля, сводится к интегралу от рациональной функции в грех случаях:

Как мы видим, не существует сколько-нибудь общих приемов нахождения неопределенных интегралов от любой элементарной функции. Более того, доказано, что многие, порой очень простые на первый взгляд, интегралы не выражаются через элементарные функции, или, как говорят, не берутся. Например, к таким интегралам относятся:

В различных справочниках приводятся таблицы, в которых содержится большое количество неопределенных интегралов, как выражающихся, так и не выражающихся через элементарные функции.

Определение и свойства неопределенного интеграла

Изучим интегрирование, которое является действием обратным по отношению к вычислению производных. Действительно, при вычислении производных решается задача вида:

При интегрировании же решается задача:

• — найти функцию, производная которой равняется данной функции.

Задачи определения закона движения материальной точки по заданному ее ускорению приводят к отысканию функции по заданной производной этой функции, т.е. к интегрированию.

Для функции первообразной будет функция , так как

Определение 18.1.1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке. Функция определенная на этом промежутке, называется первообразной функцией функции если для всех из промежутка.

Очевидно, что если — первообразная функция функции то где, также является первообразной функции , так как

С другой стороны, если две первообразные функции для функции , т. е. если , то они отличаются на постоянную С, так как производная их разности, согласно правила вычисления производных, равна нулю:

Значит

Откуда

Теорема 18.1.1. Если — одна из первообразных функций Оля функции на некотором промежутке, то любая функциятакже является первообразной для функции и любая первообразная для функции на этом промежутке имеет вид:

где С — произвольная постоянная.

Из теоремы 18.1.1. следует, что выражение включает все первообразные функции заданной функции

Определение 18.1.2. Совокупность всех первообразных функции, определенных на некотором промежутке, называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается

Итак,

(18.1.1)

Значок называется знаком интеграла. Под знаком интеграла пишут не саму функцию ,а ее произведение на дифференциал Произведение называется подынтегральным выражением, а сама функция называется подынтегральной функцией.

Это для того чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Отметим, что равенство (18.1.1) следует понимать как равенство двух множеств.

Из определения 18.1.2 неопределенного интеграла следует, что

В формулепод знаком интеграла, очевидно, стоит дифференциал любой из первообразных функции

Пример:

Интеграл на всей числовой прямой ибо функция является одной из первообразных для функции на бесконечной прямой:

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла:

Предположим, что все рассматриваемые функции определены на одном и том же промежутке.

1. Интеграл от дифференциала первообразной равен семейству первообразных:

Доказательство. Так как дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной:

то из определения неопределенного интеграла вытекает, что:

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Доказательство. Воспользовавшись определением дифференциала функции и тем, что неопределенный интеграл — это любая первообразная функции , то ясно, что

И Свойства 1 и 2 означают, что знакивзаимно сокращаются в случаях, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала и если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

Доказательство. Пусть

где — одна из первообразных для функции

Тогда, согласно правила вычисления производных:

Поэтому

Ввиду произвольности постоянных справедливо равенство:

откуда следует, что 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов:

Доказательство. Вычислим производные от правой и левой частей равенства. Тогда из определения неопределенного интеграла следует, что а по правилу вычисления производной суммы, получим: Сравнивая эти два равенства, видим, что правые части равны, следовательно, равны и левые части. Свойство доказано.

Таблица основных интегралов с примерами решения

Из определения неопределенного интеграла, а также из формул дифференцирования вытекают следующие формулы:

С помощью интегралов 1-17, называемых обычно табличными интегралами, и доказанных свойств неопределенного интеграла в пункте 18.2, можно выразить интегралы от более сложных элементарных функций через элементарные функции.

Пример №1

Вычислить интеграл:

Решение:

Воспользовавшись последовательно свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла и табличными интегралами, получим:

Заметим, что если первообразная некоторой функции является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается через элементарные функции, или что этот интеграл вычисляется.

Ранее мы установили, что производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию. Значит, операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.

А интегралы от некоторых элементарных функций могут не быть элементарными функциями. Примерами таких интегралов являются следующие интегралы:

Каждый из указанных интегралов, называемых соответственно интегралом Пуассона, интегралами Френеля, интегральным логарифмом, интегральными косинусом и синусом, представляют собой функцию, не являющуюся элементарной. Для них составлены таблицы, построены графики и все они изучены с такой же полнотой, что и элементарные функции.

Неопределенный интеграл от логарифмической производной

Из раздела дифференцирования известно, что

Тогда из определения неопределенного интеграла следует, что (18.4.1) Формула (18.4.1) годится для случая, когда Распро- страним ее на случай Так как при то

и поэтому для любой функции справедлива формула:

Полученная формула облегчает вычисление неопределенного интеграла во всех тех случаях, когда подынтегральная функция есть дробь, числитель которой равен производной знаменателя. Если же числитель не равен производной знаменателя, то преобразуют подынтегральную функцию к такому нужному виду, если это легко возможно.

Пример №2

Вычислить интеграл:

Решение:

Легко заметить, что в числителе можно выделить производную знаменателя, умножив и разделив подынтегральную функцию на а:

Интегрирование подстановкой

Нередко интеграл можно упростить, введя новую переменную, т. е. справедлива следующая теорема

Теорема 18.5.1. Пусть функции определены на некоторых промежутках и имеет смысл сложная функция если функция имеет первообразную а функция дифференцируема, то функция также имеет первообразную, т.е.

(18.5.1)

Доказательство. Поскольку функция определена на том же промежутке, что и функциято сложная функция имеет смысл и по правилу дифференцирования сложной функции, получим:

Значит, функцияимеет в качестве одной из своих первообразных функцию и поэтому формула доказана.

Доказанная формула часто применяется при вычислении интегралов. Для этого ее удобно записать в виде: Отсюда видно, что нужно сначала вычислить интеграл  а затем вместо подставить

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих изложенный метод.

Пример №3

Вычислить интеграл:

Решение:

Для вычисления этого интеграла сделаем простейшую подстановку:

В результате этой замены получим табличный интеграл:

Пример №4

Вычислить интеграл:

Решение:

Этот интеграл вычисляется посредством замены:

Все преобразования, связанные с подстановкой, удобно записывать между двумя вертикальными линиями:

Пример №5

Вычислить интеграл:

Решение:

Воспользуемся подстановкой и преобразуем, заданный интеграл, к табличному:

Пример №6

Вычислить интеграл:

Решение:

Для вычисления этого интеграла удобно воспользоваться заменой , приводящей заданный интеграл к табличному:

Пример №7

Вычислить интеграл:

Решение:

Прежде чем ввести нужную подстановку, преобразуем заданный интеграл, умножив числитель и знаменатель на и

заменив через

Выполнив теперь подстановку приведем преобразованный интеграл к табличному:

Интегрирование по частям

К числу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по частям. Этот метод основывается на следующей теореме.

Теорема 18.6.1. Если функции дифференцируемы и интеграл существует, то и интеграл также существует и справедливо равенство:

(18.6.1)

Доказательство. Так как функции дифференцируемы, то по правилу дифференцирования произведения двух функций получим:, следовательно,

Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь:

(18.6.2)

Согласно свойства 1, пункта 18.2:

Подставляя это выражение в (18.6.2) и относя произвольную постоянную ко второму слагаемому, получим (18.6.1). Теорема доказана.

Формула (18.6.1) называется формулой интегрирования по частям.

Заметим, что при практическом использовании формулы (18.6.1) задана левая часть, функция и дифференциал и значит, функцияопределяется неоднозначно. Обычно в качестве функции выбирается функция, записывающаяся наиболее простой формулой и чтобы после применения (18.6.1) получили интеграл, который без труда вычисляется.

Практика показывает, что большая часть интегралов (но не всех), которые вычисляются при помощи формулы (18.6.1), может быть разбита на три группы.

1. К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит одну из следующих функций: при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет производную известной функции. Применяя формулу (18.6.1), полагаем в ней равной одной из указанных выше функций.

2. Ко второй группе относятся интегралы вида:

где— произвольные постоянные, Эти интегралы вычисляются путем кратного применения формулы интегрирования по частям (18.6.1), причем в качестве функции всякий раз следует брать в соответствующей степени.

3. К третьей группе относятся интегралы вида:

Обозначая любой из указанных интегралов через и, производя двукратное интегрирование по частям, составляем дляуравнение первого порядка, из которого находим

Пример №8

Вычислить интеграл:

Решение:

В заданном интеграле в качестве функции удобно взять множитель а оставшуюся часть необходимо обозначить через

Функцию находим интегрируя последнее равенство и полагая Все преобразования удобно записывать между вертикальными линиями:

Пример №9

Вычислить интеграл:

Решение:

Заданный интеграл относится к первой группе. Согласно рекомендации, положим: Тогда и, вычислив интеграл от левой и правой частей последнего равенства, полагая определим функцию

Применив формулу (18.6.1), будем иметь:

Пример №10

Вычислить интеграл:

Решение:

Заданный интеграл вычислим двукратным интегрированием по частям, полагая вначале а затем

Пример №11

Вычислить интеграл:

Решение:

Заданный интеграл относится к третьей группе. Обозначим его через

Дважды применим формулу (18.6.1), полагая вначале а затем

Для заданного интеграла получили уравнение:

Из этого уравнения находим значение заданного интеграла:

Интегрирование рациональных функций

Известно, что всякая рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и элементарных рациональных дробей: Коэффициенты многочлена (он существует, если степень больше степени определяются с помощью деления числителя на знаменатель «уголком». Коэффициенты неизвестные; их находим так называемым «методом неопределенных коэффициентов». Для этого выделенная (несократимая) правильная рациональная функциястепень меньше степени представляется в виде суммы элементарных рациональных дробей первого и второго рода: (18.7.1) После умножения тождества (18.7.1) на получаем два совпадающих многочлена:

(18.7.2)

Слева записан многочлен с известными коэффициентами. Коэффициенты правого многочлена являются линейными комбинациями неизвестных коэффициентов Для определения этих коэффициентов, многочлены располагаются по убывающим степеням . Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно

Проиллюстрируем метод неопределенных коэффициентов на примере.

Пример №12

Разложить на сумму простейших правильную дробь:

Решение:

Находим корни многочлена записанного в знаменателе рациональной дроби и представляем заданную рациональную функцию в виде суммы элементарных рациональных дробей первого рода:

Приводим равенство к общему знаменателю:

Сравниваем числители:

Правую часть располагаем по убывающим степеням

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х и получаем систему:

решив которую, находим:

Тогда

Таким образом, для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь нужно представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, которую представляем в виде суммы элементарных рациональных дробей первого и второго рода. т.е. в виде равенства (18.7.1).

Так как интеграл от многочлена вычисляется и притом очень просто, то рассмотрим интегрирование элементарных рациональных дробей.

Сначала рассмотрим вычисление интегралов от дробей первого рода, т.е. вида:

Если то

а если то

Рассмотрим теперь интегралы от дробей второго рода:

где, Пусть тогда, выделив полный квадрат

и пологая

получим:

Если же то пологая, как и выше,

подобным образом получим:

Первый интеграл равен:

Второй интеграл вычислим по частям:

В результате получили рекуррентную формулу: (18.7.3) позволяющую последовательно вычислять интегралы для любого

Теперь пологая получим табличный интеграл и из формулы (18.7.3) находим значение интеграла Зная же по той же формуле (18.7.3) находим значение интеграла и так далее.

Итак, мы показали, что неопределенный интеграл от рациональной функции вычисляется в конечном виде, т. е. представляет собой сумму выражений

и произвольной постоянной.

Пример №13

Вычислить интеграл от рациональной дроби:

Решение:

Согласно общему правилу, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель:

Далее разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби:

Умножив левую и правую часть на приравниваем числители:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях получим систему:

решив которую находим значения коэффициентов А. В, С, D, Е:

Тогда:

Интегрирование простейших иррациональностей

При интегрировании иррациональных функций применяется метод рационализации. Применим метод рационализации для вычисления интеграла где так как в противном случае, коэффициенты были бы пропорциональны и дробь не зависела бы от , что дало бы рациональную подынтегральную функцию. Функцию называют дробно-линейной. Отметим также, что рациональности рассматриваются лишь на тех интервалах измерения где они имеют действительное значение.

Положим тогда и подынтегральное выражение данного интеграла рационализируется.

Пример №14

Вычислить интеграл:

Решение:

Сделав подстановку

и учитывая, что получим:

Для вычисления оставшегося интеграла воспользуемся рекуррентной формулой (18.7.3) для согласно которой получаем:

Подставив значение интеграла, и приведя подобные, окончательно будем иметь:

Пример №15

Вычислить интеграл:

Решение:

Рационализирующей подстановкой, в данном случае, является подстановка

Тогда:

Интегралы вида:

рационализируются с помощью подстановок Эйлера:

1) если тогда откуда

2) если тогда откуда

3) если тогда

откуда

где — корни многочлена

Пример №16

Вычислить интеграл:

Решение:

Поскольку в квадратном трехчленеи то для рационализации подынтегрального выражения сделаем первую подстановку Эйлера:

Возведем обе части равенства в квадрат: или так что

Выполнив подстановку , получим интеграл от рациональной функции:

Рациональную дробь представим в виде суммы простых рациональных дробей и вычислим неизвестные коэффициенты:

Составляем систему:

решив которую, находим значения коэффициентов:

Тогда

Интегрирование биномиальных дифференциалов

Биномиальным дифференциалом называют выражение

где степени рациональны, а действительные коэффициенты отличны от нуля.

Интеграл от биномиального дифференциала (18.9.1)

рационализируется в трех случаях:

Если р -целое, то рационализирующей подстановкой является подстановка где — НОК знаменателей

Заметим, что рационализация подынтегрального выражения интеграла (18.9.1) в первом случае является излишней, так как возведение выражения в скобках в степень позволяет свести интеграл к сумме интегралов от степенных функций {с рациональным показателем).

Произведем замену в интеграле (18.9.1):

где

Поэтому если q -целое, т. e. получаем второй случай, то подынтегральная функция содержит иррациональность от дробнолинейной функции (пункт 18.7). Тогда рационализирующей подстановкой является подстановка вида где s — знаменатель р.

Наконец, в третьем случае, т. с. когда — целое число, преобразуем подынтегральное выражение к виду: и при целом p + q снова приходим к иррациональности от дробнолинейной функции. В этом случае рационализирующая подстановка будет иметь вид:

где s — знаменатель р.

Заметим, что П.Л. Чебышев показал, что при показателях не удовлетворяющих вышеуказанным условиям, интеграл (18.9.1) не выражается через элементарные функции.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение рационализирующих подстановок биноминальных дифференциалов.

Пример №17

В заданном интеграле

Пример №18

В заданном интеграле

Пример №19

В заданном интеграле

Интегрирование некоторых рационально-тригонометрических функций

Функция называется рационально-тригонометрической, если ее можно представить в виде:

1. Рассмотрим сначала интеграл

Так как синус и косинус рационально выражаются через тангенс половинного угла, то подстановка (называемая универсальной) сводит указанный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Действительно, поэтому т.е. получим интеграл от рациональной функции.

Пример №20

Вычислить интеграл:

Решение:

Воспользуемся универсальной григонометрической подстановкой

Во многих случаях для определения первообразной рационально-тригонометрической функции удобно применять специальные подстановки:

а) если подынтегральная функция то

б) если подынтегральная функция

то

в) если подынтегральная функция то

2. Интеграл вида с помощью подстановки сводится к интегралу от биномиального дифференциала. Действительно, пологая, например,и выражая через вычисляя

и подставляя, получим интеграл

3. Интегралы вида

непосредственно вычисляются, если подынтегральные функции в них преобразовать согласно формулам:

Пример №21

Вычислить интеграл:

Решение:

Заменив произведение тригонометрических функций через сумму, получим два табличных интеграла.

Вычисление неопределенного интеграла

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Например, является первообразной для функции , так как

По геометрическому смыслу производной есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой . Геометрически найти первообразную для — значит найти такую кривую , что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению заданной функции в этой точке (см. рис. 10.1).

Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции

и вообще , где — некоторое число, являются первообразными для функции . Аналогично в общем случае, если — некоторая первообразная для , то, поскольку функции вида где — произвольное число, также являются первообразными для .

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая , удовлетворяющая условию , то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой ) (см. рис. 10.1).

Остается вопрос, описывает ли выражение вида все первообразные для функции . Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если — первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство

Поскольку ,то, по следствию из теоремы Лагранжа (см. § 8.1), найдется такое число , что или

Из данной теоремы следует, что, если — первообразная для функции , то выражение вида , где — произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где — знак интеграла, — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение. Таким образом,

где — некоторая первообразная для , — произвольная постоянная.

Например, поскольку — первообразная для функции

Отметим, что в определении неопределенного интеграла не исключается, что сама, возможно, является функцией некоторой переменной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, так как дифференцировать следует лишь по переменной (по переменной, стоящей в формуле (10.1) под знаком дифференциала).

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

В гл. 11 будет показано, что достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является непрерывность этой функции на данном промежутке. (Заметим, что для дифференцируемое функции ее непрерывность является лишь необходимым, но недостаточным условием (см. § 7.2).)

Свойства неопределенного интеграла

Интегралы от основных элементарных функций

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Дифференцируя левую и правую часть равенства (10.1), получаем:

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

По определению дифференциала и свойству 1 имеем

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

где — произвольное число.

Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать

и на основании (10.2) дифференциал неопределенного интеграла , откуда

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимно обратны (знаки взаимно уничтожают друг-друга, в случае свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где— некоторое число.

Найдем производную функции

(см. свойство 1). По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число , что и значит Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в окончательной записи свойства 4 постоянную можно опустить. 

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Доказательство аналогично свойству 4.

Нетрудно видеть, что свойство 5 остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

для произвольного интервала, не содержащего точки ,

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием (см. определение неопределенного интеграла). Например, формула (10.7) верна, так как производная правой части (10.7) равна подынтегральной функции левой части (10.7).

Докажем равенство (10.8). Пусть . Тогда

Если

, т.е. в обоих случаях производная правой части (10.8) равна подынтегральной функции левой части. Аналогично доказываются остальные формулы.

Пример №22

Найти интегралы:

Решение:

Во всех трех случаях нам придется воспользоваться одним и тем же табличным интегралом (10.7) от степенной функции, но при разных значениях .

Пример №23

Найти интегралы:

Решение:

а) Учитывая, что и используя (10.9) при получаем: б) Так как , то используя (10.4) и (10.9) при получаем

в) Поскольку то воспользуемся (10.4) и (10.14) при

г) Так как , то используя (10.4) и (10.13) при , получаем

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5, называется методом разложения.

Пример №24

Используя метод разложения, найти интегралы:

Решение:

Нахождение каждого из интегралов начинается с преобразования подынтегральной функции. В задачах а) и б) воспользуемся соответствующими формулами сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель:

(см. табличные интегралы (10.7) и (10.8)). Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную , не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых. В дальнейшем мы будем опускать при записи постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интервал. В окончательном ответе тогда будет одна постоянная.

в) Преобразуя подынтегральную функцию, получим

(см. табличный интеграл (10.10)).

г) Выделяя из дроби целую часть, получим

(см. (10.13)). ►

Метод замены переменной

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

где — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Найдем производные по переменной от левой и правой частей (10.16):

(см. свойство 1 неопределенного интеграла).

Так как , то эти производные равны, поэтому по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части (10.16) отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. 

Формула (10.16) показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Действительно, по определению дифференциала подынтегральные выражения левой и правой частей равенства (10.16) совпадают.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному (табличным).

Пример №25

Найти .

Решение:

Положим Тогда

(см. (10.4) и табличный интеграл (10.8)). ►

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала).

Пример №26

Найти

Решение:

Используя свойства дифференциала (см. § 9.1), получаем

Тогда

(см. (10.4) и (10.11)). ►

В примерах 10.4 и 10.5 для нахождения интегралов была использована линейная подстановка , где — некоторые числа В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть некоторая первообразная для функции . Тогда

где — некоторые числа,

Перепишем (10.1) в виде

Ho Вынося постоянный множитель за знак интеграла и деля левую и правую части равенства на , приходим к (10.17). 

Данная теорема утверждает, что если в (10.1) вместо аргумента подынтегральной функции и первообразной подставить выражение , то это приведет к появлению дополнительного множителя перед первообразной.

Пример №27

Найти интегралы:

Решение:

Искомые интегралы однотипны: каждый из них может быть найден путем применения формулы (10.17) к одному из табличных интегралов.

а) Из (10.7) и (10.17) следует, что

Тогда, полагая получаем

б) Из (10.8) и (10.17) следует, что

Полагая , получаем

в) Из (10.9′) и (10.17) следует, что

Полагая в (10.20) имеем

Рассмотрим примеры нахождения интегралов с помощью нелинейных подстановок.

Пример №28

Найти .

Решение:

Положим . Продолжение решения может быть аналогично решению примера 10.4: следует выразить через затем найти выражение для Это позволит реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но здесь мы поступим по-другому.

Найдем дифференциал от левой и правой частей формулы Из полученного равенства удобно выразить поскольку это выражение является сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла: Тогда

Пример №29

Найти интегралы:

Решение:

а) Положим . Тогда

и, следовательно,

б) Положим . Тогда и

в) Используя введение переменной под знак дифференциала, получаем

(Неявная замена переменной ) Тогда

г) Используя введение переменной под знак дифференциала, получаем (Неявная замена переменной ) Тогда

д) Так как то

е) Так как то

Приведенные примеры являются простейшими. Однако даже в тех случаях, когда замена переменной не приводит искомый интеграл к табличному, она часто позволяет упростить подынтегральную функцию и тем облегчить вычисление интеграла.

Пример №30

Найти .

Решение:

Положим Тогда

Так как то

где

Метод интегрирования по частям

Пусть — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала (см. § 9.1)

или

Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая (10.5) и (10.2), получаем

Формула (10.21) называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя . При переходе к правой части (10.21) первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: ), второй интегрируется. Возможности применения (10.21) связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Пример №31

Найти интегралы:

Решение:

а) Так как , а функция при интегрировании практически не изменяется (согласно (10.20) появляется лишь постоянный множитель), то данный интеграл можно найти интегрированием по частям, полагая Найдем необходимые для записи правой части (10.21)

Так как то Согласно (10.3) и (10.20) при имеем

Теперь, применяя формулу интегрирования по частям (10.21), получаем

Используя метод разложения, убеждаемся, что полученный интеграл — сумма табличного и интеграла, который был определен при нахождении . Таким образом, окончательно

Замечание. Анализ полученного решения показывает, что постоянная , возникшая при нахождении (по заданному ), не входит в запись окончательного ответа. Аналогично в общем случае постоянная , возникающая при нахождении , исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя , будем полагать что несколько упрощает запись решения.

б) Пусть Тогда и

(см. (10.20)). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Пример №32

Найти интегралы:

Решение:

а) «Препятствием» к нахождению данного интеграла является присутствие сомножителя в записи подынтегральной функции. Устранить его в данном случае можно интегрированием по частям, полагая Тогда (Существенно, что при интегрировании функции получается функция того же типа (степенная)). Так как и

см. замечания в примере 10.10), используем формулу интегрирования по частям; получаем

б) Пусть Тогда .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза.

Пример №33

Найти

Решение:

Положим Тогда и (см.формулу(10.10)). Применяя формулу интегрирова ния по частям, получаем

Возникший интеграл не является табличным, однако видно, что мы на правильном пути: по сравнению с исходным интегралом степень переменной в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу, при этом второй сомножитель того же типа, что и в исходном интеграле. Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь Тогда

Анализируя разобранные примеры, можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

где — действительные числа — целое положительное число.

Для нахождения интегралов из первой группы формулу интегрирования по частям придется применить раз (при первом применении полагают , остальные сомножители подынтегрального выражения задают ), пока степень переменной не станет равной нулю, а сам интеграл — табличным (см. примеры 10.10, 10.12). Для нахождения интегралов второй группы полагают (оставшиеся сомножители подынтегрального выражения задают тогда выражение для ). Отметим, что для нахождения формулу интегрирования по частям придется применять раз (при каждом применении степень функции уменьшается на единицу, пока не станет равной нулю, а сам интеграл — табличным).

На практике метод интегрирования по частям часто комбинируется с другими методами интегрирования.

Пример №34

Найти

Решение:

Выполним сначала замену переменной: положим

Тогда Следовательно,

Пусть Тогда

и, применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Полагая в формуле интегрирования по частям получаем Окончательно имеем

Интегрирование простейших рациональных дробей

Напомним, что многочленом степени называется выражение вида где — действительные числа Например, — многочлен первой степени, — многочлен четвертой степени и т.д. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, — рациональные дроби.

Нас интересуют интегралы от рациональных дробей. В случае, когда степень многочлена знаменателя дроби равна нулю

(т.е. в знаменателе стоит число), дробь является многочленом. Интеграл от многочлена находится с использованием метода разложения (см. § 10.2). Далее будем предполагать, что степень знаменателя дроби больше нуля. Примеры таких интегралов встречались нам выше (см., например, табличные интегралы (10.7) при целом отрицательном , (10.8), (10.13), (10.14)). В этом параграфе мы наметим общий подход к интегрированию рациональных дробей.

Прежде всего отметим, что достаточно рассмотреть лишь правильные дроби, т.е. такие, у которых степень числителя меньше степени знаменателя. В самом деле, если это не так, то, используя алгоритм деления многочленов «углом», известный из школьного курса, мы можем представить исходную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

и т.д. Тогда интеграл от исходной дроби сведется (с помощью метода разложения, см. § 10.2) к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Если степень знаменателя равна 1, то искомый интеграл имеет вид и для его нахождения достаточно воспользоваться формулой (10.19) (см. пример 10.66) или заменой переменной (см. пример 10.4).

Пусть степень знаменателя равна 2, т.е. искомым является интеграл вида

где — действительные числа, Рассмотрим сначала один важный частный случай: интеграл вида

а затем укажем, как общий случай свести к данному. Если, то интеграл (10.23) представляет сумму двух табличных интегралов (с точностью до множителей; см. метод разложения). Пусть Тогда для нахождения интеграла (10.23) достаточно найти интегралы

и

Интеграл (10.24) сводится (вынесением множителя) либо к табличному интегралу (10.13), если , либо к интегралу (10.14), если (см. пример 10.2в, г).

Для нахождения интеграла (10.25) используем замену переменной (подобно тому, как это было сделано в частном случае, см. пример 10.8в). Тогда и

Окончательно имеем

где

Возвращаясь теперь к интегралу (10.22), заметим, что его можно привести к виду (10.23), если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать соответствующую (линейную) замену переменной.

Пример №35

Найти интегралы:

Решение:

а) Поскольку , то используем замену переменной Тогда и

б) Так как то положим

Тогда и

Для нахождения первого интеграла воспользуемся формулой (10.26) при Второй интеграл — табличный (см. (10.14)). Теперь имеем

в) Так как , то положим Тогда

Первый из интегралов — табличный (см. (10.13)), для нахождения второго воспользуемся формулой (10.26). Тогда получаем

Рассмотренный прием интегрирования правильных дробей, знаменатель которых имеет вторую степень (выделение полного квадрата в знаменателе с последующей заменой переменной) имеет существенный недостаток: он не обобщается на случаи, когда степень знаменателя больше двух. Наметим поэтому также другой возможный подход.

Пусть требуется найти (получим другой вывод формулы (10.14)). Представим подынтегральную функцию искомого интеграла в виде:

Тогда, используя метод разложения и формулу (10.19), получаем:

Аналогично, в общем случае можно доказать, что если подынтегральная — правильная дробь, знаменатель которой — многочлен степени , имеющий попарно различных действительных корней то существует представление подынтегральной функции в виде

где — некоторые числа. Тогда исходный интеграл сводится к сумме табличных.

Пример №36

Найти

Решение:

Так как то

Из последнего равенства найдем постоянные

Приводя дроби правой части к общему знаменателю, приходим к равенству

Если то имеем Если тоЕсли то

(Обратим внимание читателя, что прием нахождения постоянных нетрудно обобщить и использовать для доказательства существования указанного разложения в общем случае.) Тогда

(Рассмотренный метод интегрирования называется методом неопределенных коэффициентов.) ►

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций, рассматриваемых в § 10.5 (т.е. рационализировать интеграл).

Обозначим через функцию от переменных и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления).

Например, и т.д.

Рассмотрим интегралы вида Такие интегралы рационализируются заменой переменной

Пример №37

Найти

Решение:

Подынтегральная функция искомого интеграла записана как функция от радикалов степеней 2 и 3. Так как наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, то данный интеграл является интегралом типа и может быть рационализирован посредством замены переменной Тогда Следовательно,

Положим Тогда и

где

Интегралы видаявляются частным случаем интегралов от дробно-линейных иррациональностей, т.е. интегралов вида , где которые допускают рационализацию посредством замены переменной

Пример №38

Найти

Решение:

Положим Тогда Следовательно, Рассмотрим интегралы вида

В простейших случаях такие интервалы сводятся к табличным (см. (10.12), (10.15)). (Необходимая замена переменной усматривается после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене )

Пример №39

Найти интервалы:

Решение:

Учитывая, что , положим Эта замена переменной позволяет свести искомый интеграл к табличному (см. (10.15)): б) Так как , то положим

Тогда и, следовательно, 2 2

Первый из интервалов данной суммы — табличный (см. (10.12)), второй сводится к табличному интервалу (10.7) заменой :

В более сложных случаях для нахождения интегралов вида

используются подстановки Эйлера.

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида Такие интегралы могут быть сведены к интервалам от рациональных функций заменой переменной

Действительно,

Пример №40

Найти

Решение:

Положим Тогда, используя выражения через для и , указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен

Если функция обладает свойствами четности или нечетности по переменным , то для рационализации интеграла могут быть использованы также и другие подстановки.

Так, если — дробь, числитель и знаменатель которой многочлены по переменным, то рационализация интеграла достигается заменой переменной

Пример №41

Найти

Решение:

В данном случае , а потому Положим тогда Следовательно, учитывая, что , получаем

Если , то рационализация интеграла достигается заменой переменной

Пример №42

Найти .

Решение:

В данном случае Положим Тогда и, следовательно,

Рассмотрим интегралы вида ,

где — некоторые действительные числа.

С помощью известных формул для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму такие интегралы сводятся к сумме табличных.

Пример №43

Найти

Решение:

Так как то

Пример №44

Найти интегралы:

Решение:

а) Положим Тогда

Отметим, что замена переменной позволяет рационализировать произвольный интеграл вида

б) Используя замену переменной, сведем данный интеграл к интегралу, который может быть найден методом интегрирования по частям.

Положим Тогда

Пусть теперь Тогда и

Пример №45

Найти интегралы:

Решение:

а) Воспользуемся формулой интегрирования по частям

Пусть Тогда

Но второе слагаемое в последнем выражении совпадает с искомым интегралом т.е. имеем равенство

откуда

где

Следует отметить, что данный интеграл принадлежит к семейству интефалов вида , каждый из которых может быть найден с помощью тригонометрической подстановки

б) Воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть

.Тогда

Еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая . Тогда и

т.е. .

Из последнего равенства (по аналогии с решением примера 10.24а) получаем

где .

Аналогичный прием используется для нахождения интегралов вида , где — некоторые действительные числа. ►

Пример №46

Найти:

Решение:

Выполняя деление «углом», имеем

или Тогда

Так как , то для нахождения оставшегося интеграла используем сначала замену переменной а затем формулы (10.26) и (10.14) (см. § 10.5). Тогда получаем

Пример №47

Найти

Решение:

Положим (см. § 10.6). Тогда и

Первый и третий интегралы табличные. Для нахождения второго используем формулу (10.26). Тогда получаем

Пример №48

Найти

Решение:

Известно, что каждый интеграл семейства может быть найден заменой переменной

Положим Тогда и

Пример №49

Найти

Решение:

Положим Тогда и

Отметим, что с помощью подстановки может быть рационализирован произвольный интеграл вида

Об интегралах, «неберущихся» в элементарных функциях

Из основных правил дифференцирования следует, что производная произвольной элементарной функции вновь является функцией элементарной. Существенно, что операция нахождения первообразной (неопределенного интеграла) таким свойством не обладает, т.е. существуют элементарные функции, первообразные которых элементарными функциями уже не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции — неинтегрируемыми в конечном виде. Например,

«неберущиеся», т.е. не существует такой элементарной функции ,что и т.д.

Все методы интегрирования, рассмотренные в данной главе, применяемые для нахождения интегралов от элементарных функций, вновь приводят к элементарным функциям. Поэтому указанные «неберущиеся» интегралы, по крайней мере, не могут быть найдены с помощью методов данной главы. Однако это не означает, что указанные интегралы не существуют или их невозможно найти.

Неопределенный интеграл в высшей математике

Первообразная и неопределенный интеграл:

Определение: Первообразной от заданной функции называется функция такая, что ее дифференциал равен , т. е.

Например, функция является первообразной от функции , так как . Площадь криволинейной трапеции (в соответствии с § 4 гл. IX) является первообразной от функции , график которой ограничивает эту криволинейную трапецию, так как

Пример:

Покажем, что функция есть первообразная от функции . В самом деле, производная равна , следовательно, дифференциал равен . Поэтому есть первообразная от .

Определение первообразной можно дать в другой, эквивалентной форме: первообразной от функции называется функция , имеющая своей производной . Обратим внимание на то, что первообразная от данной функции существует не одна. Например, как было указано, есть первообразная от , но, взяв функцию , где —любое постоянное число, получим, что dx, т. е. также является первообразной от . Можно было бы доказать, что и обратное предложение верно, т. е. если функции и являются первообразными от функции , то они отличаются друг от руга на постоянное слагаемое. Из сказанного следует, что операция нахождения первообразной, во-первых, является операцией, обратной дифференцированию, и, во-вторых, эта операция неоднозначная, т. е. в результате ее применения можно получить различные функции, отличающиеся на постоянные слагаемые.

Определение: Совокупность всех первообразных от заданной функции называется неопределенным интегралом от этой функции.

Неопределенный интеграл обозначается так: , и читается: неопределенный интеграл от функции . Если —одна из первообразных функций , то любая другая из первообразных от той же функции будет равна

где —любое число. Следовательно,

Из определения первообразной и неопределенного интеграла следует, что

В самом деле,

Выпишем формулы, справедливость которых проверяется дифференцированием.

Таблица интегралов в высшей математике

Проверим формулу 10. Возьмем дифференциал от левой части равенства, получим [в силу формулы (Б)]

Таким образом, мы убеждаемся в том, что левая часть есть первообразная от функции • Теперь возьмем дифференциал от правой части равенства 10:

Убеждаемся в том, что правая часть равенства есть первообразная от функции . Значит, левая часть может отличаться от правой только на постоянное слагаемое, но это постоянное у нас и написано в правой части формулы 10. Итак, формула 10 верна.

Преобразования неопределенных интегралов

Подобно тому, как в алгебре даются правила, позволяющие преобразовывать алгебраические выражения с целью их упрощения, так и для неопределенного интеграла существуют правила, позволяющие производить его преобразования.

I. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого члена в отдельности, т. е.

II. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, т. е.

III. Формула интегрирования по частям, а именно:

Докажем формулу (III).

Возьмем дифференциал от правой части равенства (III)

Применяя формулу получим

Член преобразуем по формуле 5 той же таблицы:

а член по формуле равен

Собирая все вместе, будем иметь

т. е. мы получили то, что получается при дифференцировании левой части равенства (III).

Аналогично проверяются формулы (I) и (II).

Пример:

. Применяя правило интегрирования I и формулы 1 и 5 из таблицы интегралов, получаем

Пример:

. Применяя правило II и формулу 6 из таблицы интегралов, получаем

Пример:

. В таблице интегралов, приведенных в § 1, такого интеграла нет. Вычислим его, интегрируя по частям; для этого перепишем данный интеграл следующим образом:

Положив и , применим правило интегрирования по частям:

Но так как , то, применяя формулу 1 таблицы интегралов, получим . Окончательно получаем

Пример:

Рассмотрим . Положим и . Тогда , так как . Применяя интегрирование по частям, будем иметь

Пример:

Рассмотрим . Положим и . Тогда, так как . Применяя интегрирование по частям, будем иметь

Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла . Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим. Отсюда

Соединяя равенства и , получим окончательно

где , так что , есть произвольное постоянное интегрирования.

Замена переменного интегрирования (метод подстановки)

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые преобразования интеграла к другому виду, который может оказаться более удобным.

Если дан интеграл , где — функция , то верна следующая формула:

которая называется формулой замены переменного интегрирования. Проверим ее при помощи дифференцирования. Применяя формулу (Б) из § 1, будем иметь

Поскольку , то по определению дифференциала

Подставляя полученное выражение в равенство , получим

Если же найдем дифференциал правой части равенства (IV), то получим то же выражение. Следовательно, обе части равенства (IV) могут отличаться только на постоянное слагаемое, а это и значит, что формула (IV) верна.

Пример:

. Положим , тогда . Подставим в данный интеграл . Применяя формулу 1 из таблицы интегралов, будем иметь

Пример:

. Положим . Тогда , или . Поэтому

Чтобы возвратиться к старому переменному , найдем из равенства : . Окончательно получим

Пример:

. Прежде чем преобразовывать данный интеграл, рассмотрим интеграл

Применим формулу косинуса половинного угла и положим в ней . Тогда и , а интеграл

Нетрудно сообразить, что ; это легко проверить дифференцированием. Поэтому

Вернемся к интегралу . Положим , тогда и . Применяя , получим

Возвратимся теперь к переменному ; из равенства , , поэтому , — произвольное постоянное.

Пример:

. Положим ; тогда . Поэтому (по формуле 2 таблицы интегралов). Таким образом,

Пример:

. Сделаем некоторые преобразования:

Теперь положим ; тогда и По формуле 8 из таблицы интегралов находим

поэтому В нашем курсе мы ограничимся этими примерами, но заметим, что число примеров можно было бы увеличивать неограниченно и, более того, можно было бы указывать типы интегралов, которые берутся, т. е. вычисляются, определенными методами. Это и делается в более полных курсах.

Приближенное вычисление площадей криволинейных трапеций

В было дано определение криволинейной трапеции. В этом параграфе мы займемся определением ее площади, хотя бы приближенно.

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой , осью и прямыми и (рис. 80).

Разобьем отрезок на частей точками (на рисунке ) и из этих точек восставим ординаты . Построенные ординаты разобьют трапецию на полос (на рисунке 6 полос). В каждой полосе из конца меньшей ординаты (на рис. 80 левой) проведем прямую, параллельную оси .

Таким образом, мы получим прямоугольников (на рис. 80 шесть прямоугольников); подсчитаем площадь каждого из них и результаты сведем в таблицу:

Сумму площадей этих прямоугольников обозначим (для рис. 80 эта сумма ), тогда получим применительно к рис. 80

а в общем случае

Если же в каждой полосе из конца большей ординаты (на рис. 80 правой) проведем прямую, параллельную оси ,

то получим новые прямоугольники, выходящие за пределы криволинейной трапеции. Подсчитаем площадь каждого из них и результаты сведем снова в таблицу:

Обозначив сумму площадей этих прямоугольников через , получим в применении к рис. 80

а в общем случае

Если обозначить площадь криволинейной трапеции буквой , то будем иметь очевидное неравенство

Поэтому, если примем приближенно за , то получим приближенное значение площади с избытком, а если за примем , то — с недостатком. Это записывается так:

Каждое из приближенных значений площади отличается от нее не больше чем на .

Пример №50

Найдем приближенное значение площади криволинейной трапеции, ограниченной параболой , осью и прямыми и (рис. 81).

Решение:

Возьмем приближенное равенство (5). Вычисляя по формуле (1), получим

Для удобства вычислений разобьем отрезок на равные части, тогда

Обозначим длину каждой из этих частей через , тогда

При этом получим

Формулу (6) можно записать в следующем виде:

или, вынося за скобки ,

Раскрывая малые скобки, получим

Произведя внутри фигурных скобок приведение подобных членов и вынося за скобки и , будем иметь

Придадим полученному выражению более простой вид. Для этого отметим, что

(как сумма членов арифметической прогрессии) и

(вывод этого тождества помещен в конце книги, в приложении). Подставляя (9) и (10) в равенство (8), получим

Подставим сюда выражение из (7):

Вносим в фигурные скобки и делаем сокращение:

или

Если бы мы воспользовались формулой (4) для приближенного вычисления площади и формулой (2) для вычисления , то при помощи совершенно аналогичных вычислений получили бы

Искомая площадь криволинейной трапеции лежит между и , т. е. .

Будем увеличивать , т. е., как принято говорить, будем измельчать разбиение отрезка . При этом будет стремиться к нулю, число отрезков разбиения будет, неограниченно увеличиваться, т. е. , а дроби и будут стремиться к нулю. Рассматривая правую часть равенства (11), легко заметить, что при , неограниченно растущем, ее предел равен

Предел правой части равенства (12) также равняется . При помощи этих длинных вычислений мы убедились, что и и при измельчении разбиения отрезка , т. е. при , стремятся к одному и тому же пределу, а так как заключено между ними, то и

Первообразная функция

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Интегральное исчисление решает обратную задачу: по заданному дифференциалу, а следовательно, и производной неизвестной функции F(x) требуется определить эту функцию. Иными словами, имея выражение

или соответственно

где f(x) — известная функция, нужно найти функцию F(x). Для простоты мы будем предполагать, что равенство (1) выполнено на некотором конечном или бесконечном промежутке.

Искомая функция F (я) называется при этом первообразной функцией по отношению к функции f(x). Таким образом, мы можем дать следующее определение первообразной функции.

Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.

Например, одной из первообразных функций для функции Зх² будет х³, ибо (х³)’ = Зх². Первообразная функция не единственна, так как (х3 + 1)’ = Зх2, (х3- 5)’ = 3х2ит. п., поэтому функции х³ + 1, х³ — 5 и т. п. также являются первообразными для функции Зх². Следовательно, данная функция имеет бесчисленное множество первообразных.

В нашем примере каждые две первообразные отличались друг от друга на некоторое постоянное слагаемое. Покажем, что это будет иметь место и в общем случае.

Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство: В самом деле, пусть f (х) — некоторая функция, определенная на промежутке — ее первообразные, т.е.

Отсюда

Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно,

где С — постоянная величина, что и требовалось доказать. Геометрическая иллюстрация. Если

— первообразные одной и той же функции /(*), то касательные

к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой: (рис. 128). В таком случае расстояние между этими кривыми, считая вдоль оси Оу, остается постоянным:

т. е. эти кривые в некотором смысле «параллельны» друг другу.

Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной F(x) для данной функции f (х), определенной на промежутке , всевозможные постоянные С, мы получаем все первообразные для функции f(x).

В самом деле, с одной стороны, если F (х) есть первообразная функция для , т. е. если F'(x) = , то функция F(x) + С, где С — любая постоянная, в силу того, что производная постоянной равна нулю, также будет первообразной функции f(x), так как

С другой стороны, мы доказали, что каждая первообразная функции fix) может быть получена из функции путем прибавления к ней надлежащим образом подобранного постоянного слагаемого С.

Следовательно, формула

где — какая-либо первообразная для функции f(x), исчерпывает всю совокупность первообразных для данной функции f(x).

В дальнейшем мы будем предполагать, если явно не оговорено противное, что рассматриваемая функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном промежутке .

Введем теперь основное понятие интегрального исчисления — понятие неопределенного интеграла.

Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x) dx и обозначается символом

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x) dx называется подынтегральным выражением.

Вспоминая определение первообразной, можно сказать, что неопределенный интеграл на данном промежутке является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x) dx, а следовательно, производная которой по переменной х равна подынтегральной функции f(x) во всех точках рассматриваемого промежутка.

Пусть f(x) — некоторая вполне определенная первообразная для функции f(x). Как мы видели, всякая другая первообразная этой функции имеет вид F (х) + С, где С — некоторая постоянная. Согласно определению неопределенного интеграла можно написать

где и постоянная С может принимать любое значение и поэтому называется произвольной постоянной.

Пример:

Как мы видели, для функции Зх² одной из первообразных является функция х³. Поэтому

Геометрически неопределенный интеграл

представляет собой семейство «параллельных» кривых (рис. 129).

Из определения неопределенного интеграла вытекает, что если мы имеем дифференциальное уравнение (т. е. уравнение, содержащее дифференциалы) (подробнее см. гл. XIX) вида

где функция f(x) непрерывна в интервале (а, b), то общее решение этого уравнения при а < х < b дается формулой

Основные свойства неопределенного интеграла

Опираясь на формулу (3) предыдущего параграфа, выведем основные свойства неопределенного интеграла.

I. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Это свойство непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла.

Таким образом, имеем

И. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

В самом деле, пусть

где функция непрерывна. Функция , очевидно, является первообразной для — Поэтому имеем

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки d и , следующие друг за другом в том или другом порядке, взаимно уничтожают друг друга (если не учитывать постоянного слагаемого). В этом смысле дифференцировавние и интегрирование и являются взаимно обратными математическими операциями.

III.Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т. е. если постоянная , то

В самом деле, пусть F (х) — первообразная для f(x). В силу основной формулы (3) из  имеем

где С₁ = АС, причем С и С₁ — произвольные постоянные при . Но AF(x) есть первообразная для функции Af (х), так как

Поэтому из формулы (4) получаем требуемую формулу (3).

Замечание. При А = 0 формула (3) неверна, так как левая часть ее представляет собой произвольную постоянную, а правая часть тождественно равна нулю.

IV.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т. е. если, например, функции непрерывны в интервале (a, b), то

при

Действительно, пусть — первообразные соответственно функций f(x), g(x) и h(x), т. е. , при . На основании формулы (3) из  имеем

где — произвольные постоянные, очевидно, также является произвольной постоянной. Но функция есть первообразная для функции , так как

Следовательно,

Из формул (6) и (7) вытекает равенство (5).

Таблица простейших неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, нетрудно получить таблицу простейших интегралов. Для этого, будем исходить из формулы (3), которую перефразируем теперь таким образом: если

Обращая формулы дифференцирования, получим:

I. Так как

Для полноты таблицы присоединим сюда еще две формулы, справедливость которых можно проверить непосредственно дифференцированием:

Так как  то имеем еще две полезные формулы: Интегралы, содержащиеся в этой таблице, будем называть табличными у и их необходимо твердо запомнить.

Примеры: 

Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента

В таблице основных интегралов предполагалось, что х есть независимая переменная. Однако эта таблица полностью сохраняет свое значение, если под х понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной.

В самом деле, пусть х есть независимая переменная, f(x) — некоторая непрерывная функция на данном промежутке, — ее первообразная, т. е. F'(x) = f(x). Имеем

Положим теперь

где ф(х) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция1), и рассмотрим интеграл

В таком случае сложная функция

является первообразной для подынтегральной функции интеграла (2). Действительно, в силу независимости дифференциала первого порядка от выбора независимой переменной получаем

и, следовательно,

Поэтому

где

Таким образом, из справедливости формулы (1) следует справедливость формулы (5); при этом последняя формула получается из предыдущей путем формальной замены х на и. На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу простейших интегралов:

где и — любая непрерывно дифференцируемая функция от независимой переменной. Эта таблица является обращением обобщенных формул дифференцирования. Выбирая различным образом функцию и9 мы можем существенно расширить таблицу простейших интегралов.

Пример: Из формулы (1) следует

Заменяя здесь х на sin х, получим

Далее, подставляя, например, в формулу (6) вместо х функцию пх, будем иметь

Отсюда становится понятной важность умения приводить данное дифференциальное выражение f(x)dx к виду

где и есть некоторая функция от х, a g — функция более простая для интегрирования, чем f.

Приведем некоторые преобразования дифференциала, полезные для дальнейшего:

Пример:

Пользуясь этими преобразованиями дифференциалов, найти следующие неопределенные интегралы:

Понятие об основных методах интегрирования

Для вычисления данного интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или другими способами, привести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый результат. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее часто встречающиеся приемы интегрирования и укажем их применение к простейшим примерам.

Наиболее важными методами интегрирования являются: 1) метод разложения, 2) метод подстановки и 3) метод интегрирования по частям.

1. Метод разложения. Пусть ; тогда на основании свойства IV  имеем

По возможности слагаемые стараются подобрать так, чтобы интегралы от них находились непосредственно.

Пример:

Примечание. Нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример:

Пример:

Пример:

Так как

то

Пример:

Так как

то имеем

Метод подстановки (метод введения новой переменной).

Пусть f(x) непрерывна на интервале непрерывно дифференцируема на интервале ; причем функция ф отображает интервал в интервал .

На основании свойства независимости неопределенного интеграла от выбора аргумента и учитывая, что , получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

Интеграл, стоящий в правой части равенства (1), может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Рассмотрим примеры.

Пример:

Чтобы избавиться от корня, полагаем . Отсюда и, следовательно, .

Производя подстановку, последовательно имеем

Пример:

Здесь полезно применить тригонометрическую подстановку х = a sin t, отсюда dx = a cos t dt. Следовательно,

Возвращаясь обратно к переменной х, будем иметь

Далее,

Поэтому окончательно получим

Иногда формулу (1) полезно применять справа налево:

где

На практике желательно не вводить новой переменной t> а ограничиться использованием формулы (1). Простейшие примеры этого типа были разобраны. Здесь мы дополнительно рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №51

Полагая будем иметь

Пример №52

Так как , то имеем

Пример №53

Метод интегрирования по частям

Пусть и и v — непрерывно дифференцируемые функции от х. На основании формулы дифференциала произведения имеем

отсюда

Интегрируя, получим

или окончательно

Это и есть формула интегрирования по частям. Выведенная формула показывает, что интеграл приводится к интегралу , который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным. Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Полагая здесь получим

Следовательно, в силу формулы (4) будем иметь

Пример:

Полагая и = х и dv = cos х dx, имеем du = dx и = sin x. Пользуясь формулой интегрирования по частям (4), получим

На практике важно научиться применять формулу (4), не выписывая в стороне выражения для функций и и v.

Пример:

Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем

Речь идет о вычислении интегралов вида

где Р(х) — целый многочлен, — постоянные, . Разделив числитель Р (х) на знаменатель , получаем в частном некоторый многочлен Q(x) и в остатке — линейный двучлен (так как степень остатка ниже степени делителя); отсюда

Интеграл от многочлена^*) находится непосредственно; поэтому мы покажем, как вычисляются интегралы вида

Выведем сначала два основных интеграла.

И.

Имеем

Отсюда

Итак

Результаты (2) и (3) следует запомнить. К интегралам I и II присоединим еще интеграл:

Пример:

Пример:

Основной прием вычисления интеграла (1) состоит в следующем: квадратный трехчлен дополняют до полного квадрата. После этого, если коэффициент , интеграл (1) сводится или к интегралу I, или к интегралу II. Если же , то интеграл (1) сводится к интегралам I и III или к интегралам II и III. Как это делается, покажем на примерах.

Пример:

Пример:

Пример:

Полагаем ; отсюда

Следовательно,

Пример:

Произведя деление на , имеем

Отсюда

Замечание. Если квадратный трехчлен имеет действительные и различные корни то, как доказывается в подробных курсах анализа, для вычисления интеграла (1) можно воспользоваться разложением подынтегральной функции на простейшие дроби:

где А и В — неопределенные коэффициенты. Числа А и В находятся путем приведения тождества (4) к целому виду и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного равенства.

Пример:

Найти

Решение:

Приравнивая знаменатель нулю, получаем уравнение ; находим его корни: . Согласно формуле (4),

Отсюда, освобождаясь от знаменателя и учитывая, что получаем

или

Приравнивая друг другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях последнего равенства, будем иметь

Следовательно, А = 3/7, В = 4/7.

Заметим, что коэффициенты А и В можно просто определить из тождества (6), полагая в нем сначала х = 1, откуда 3 = А • 7 и А = 3/7, а затем полагая х = -6, что дает -4 = В(-7) и В = 4/7. На основании разложения (5) получаем

Интегрирование простейших иррациональностей

1. Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную иррациональность , то полезна подстановка

Пример №54

Найти

Решение:

Полагаем ; отсюда

Имеем

2. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности

с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов

вычисление которых дано ниже.

Применим здесь подстановку Эйлера:

где t — новая переменная. Возводя это равенство почленно в квадрат, будем иметь , или

Беря дифференциалы от обеих частей последнего равенства, получим , или

Отсюда Таким образом, имеем

Наконец, заменяя t его выражением через х, находим табличный интеграл:

Эту формулу необходимо запомнить.

Пример №55

Используя формулу (1), имеем

Полагая здесь x — 3 = t, последовательно получим

Так как , то окончательно будем иметь

Пример №56

Интегрирование тригонометрических функций

В приложениях важное значение имеют интегралы

где — целые неотрицательные числа. Здесь различают два случая:

1. хотя бы один из показателей есть число нечетное;
2. оба показателя тип есть числа четные.

В первом случае интеграл I берется непосредственно.

Пример №57

Найти

Решение:

Последовательно полагаем

Во втором случае для вычисления интеграла / используют формулы двойного аргумента:

Пример №58

Найти

Решение:

Имеем

В теории рядов Фурье важное значение имеют интегралы

Они вычисляются на основании формул тригонометрии:

Пример №59

Интегрирование некоторых трансцендентных функций

Интеграл

где Р(х) — многочлен, берется многократным интегрированием по частям.

Пример:

Аналогичным приемом вычисляются интегралы вида

где Р(х) — многочлен.

Теорема Коши. Понятие о «неберущихся» интегралах

До сих пор мы весьма удачно для некоторых непрерывных функций f(x) находили их неопределенные интегралы

Возникает вопрос, всегда ли это будет так, т. е.: 1) всякая ли непрерывная функция f(x) имеет неопределенный интеграл и 2) каким способом можно найти этот интеграл, если он существует?

Ответом на первую часть этого вопроса служит теорема Коши, являющаяся основной теоремой интегрального исчисления.

Теорема Коши: Всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Иными словами, для каждой непрерывной в интервале (а, Ь) функции f(x) существует функция F(x), производная которой в интервале (а, в точности равна данной функции f(x), т. е.

Тем самым существует и неопределенный интеграл

где С — произвольная постоянная.

Доказательство этой теоремы ввиду его сложности не может быть з^есь приведено.

Этим не решается вторая часть нашего вопроса: если дана непрерывная функция f(x), то как найти ее неопределенный интеграл. Теорема Коши вовсе не утверждает, что первообразную данной функции можно фактически отыскать с помощью конечного числа известных операций и выразить ответ в элементарных функциях (алгебраических, показательных, тригонометрических и т. п.). Более того, имеются непрерывные элементарные функции, интегралы от которых не являются элементарными функциями. Такие интегралы часто называют «неберущимися», подразумевая под этим, что такого рода интегралы не могут быть выражены с помощью конечного числа элементарных функций.

Например, можно доказать, что интегралы

и ряд других не сводятся к конечной комбинации элементарных функций и, следовательно, являются «неберущимися» в нашем смысле слова.

Неопределенный интеграл в математическом анализе

Первообразная и неопределенный интеграл:

В дифференциальном исчислении решалась следующая основная задача: по данной функции найти её производную (или дифференциал). Многочисленные прикладные вопросы приводят к постановке обратной задачи: для данной функции f(х)найти такую функцию F(x), производная от которой равнялась бы заданной функции f(х), т.е.

Поставленную задачу можно сформулировать в следующей равносильной ей форме: для заданной функции f(х) найти такую функцию F(x), дифференциал от которой равнялся бы заданному выражению

Функция F(x), называется первообразной для функции f(х).

Определение. Неопределенным интегралом от функции называется множество всех его первообразных функций F(x) + C. Обозначается: 

где: f(x) — подынтегральная функция; — подынтегральное выражение; х — переменная интегрирования; С — произвольная постоянная;  — знак неопределенного интеграла.
Задача нахождения по данной функции её первообразной решается неоднозначно.

Так например, если то первообразной для неё является не только

но также и и вообще где С — некоторая произвольно выбранная постоянная. Для нашего примера

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием.
  

График первообразной функции f(x) называется интегральной кривой функции f(x).

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых в направлении оси ординат y = F(x) + C. Каждому числовому значению С соответствует определенная кривая.

Рассмотрим графическое представление примера интегрирования функции

На рисунке 6.1 показаны графики:

• —    подынтегральной функции;
• —    четыре графика подходящих первообразных

Свойства неопределенного интеграла в математическом анализе

1.    Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению (знак дифференциала перед знаком интеграла уничтожает последний), т.е.

2.    Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

3.    Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Указанные свойства означают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями.

4.    Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

где а = const.

5.    Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:

 аналогично для всякого другого числа слагаемых.

6.    «Инвариантность формулы интегрирования»: всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если

то и — произвольная функция.

Для вычисления неопределенных интегралов используются правила:

если то:

Пример:

Заменим x на u 

В частности

Таблица основных интегралов

В дифференциальном исчислении мы нашли производные основных элементарных функций, установили правила дифференцирования суммы, произведения, частного, а также сложных функций. Для отыскания первообразных, т.е. для интегрирования функций таких определенных правил и рецептов, как в дифференциальном исчислении не существует.

Методы интегрирования функций сводятся к выполнению ряда преобразований подынтегрального выражения, которые во многих случаях приводят к цели.

Для облегчения интегрирования используется таблица основных интегралов:

Следует отметить, что, несмотря на сложность (по сравнению с дифференцированием) процесса интегрирования, всегда имеется возможность проверить результат обычным дифференцированием полученной первообразной функции.
 

Пример:

(Формула 14). 

Проверим, дифференцируя 

 

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на алгебраическую сумму функции, от каждой из которых первообразную можно найти непосредственно или с помощью других методов.

Пример:

 

Пример:

 
 

Пример:

 

Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Во многих случаях удается введением вместо исходной переменной интегрирования х новой переменной z свести данный интеграл к новому интегралу который, или содержится в таблице основных интегралов или

легко вычисляется другим способом. Этот метод интегрирования получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.

Если подынтегральное выражение удалось записать в виде

где и интеграл от выражения справа известен:
то исходный интеграл был равен
Часто методы интегрирования разложением и замены переменной применяют одновременно

Метод замены переменной является одним из основных методов вычисления интегралов. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменной, которая упростила бы данный интеграл.
 

Пример:

Найти интеграл 
Выполним замену переменной: 
получаем

 

Пример:

Найти интеграл

Пример:

Найти интеграл

 

Пример:

Найти интеграл
 

Способ подведения под знак дифференциала

Данный способ эквивалентен способу подстановки, однако, часто интегрирование выполняется с меньшим количеством рутинных операций. Способ основан на следующих простых соотношениях:
  а также

при любом числе a.

Пример:

Пример:

Найти интеграл

Пример:

Найти интеграл

 

Пример:

Найти интеграл

 

Интегрирование по частям

Пусть — две функции от х, имеющие непрерывные производные. Из дифференциального исчисления нам известно, что

Интегрируя обе части равенства, мы получаем
Отсюда следует формула интегрирования по частям

Таким образом, если при нахождении интеграла подынтегральное
выражение можно представить в виде то следует
предпринять попытку нахождения искомого интеграла интегрированием по частям. Чаще всего такая ситуация встречается, когда подынтегральная функция представляет собой произведение двух функций.

Иногда для получения окончательного результата нужно интегрирование по частям применять последовательно несколько раз.

Рассмотрим три вида часто встречающихся интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:

1. Интегралы вида:

где  — многочлен, — некоторое число.

За u(х) следует принять

2. Интегралы вида:

где P(x) — многочлен. В интегралах второго вида за u(х) при интегрировании по частям принимают функцию, являющуюся множителем при Р(х)

3. Интегралы вида:

 -числа.

Для этого вида используется двукратное интегрирование.
 

Пример:

Найти интеграл

Полагая получаем Далее выполним интегрирование по частям, причем полученный интеграл оказывается проще исходного.

Здесь уместна следующая запись:

Заметим, что, если бы изначальное разбиение подынтегрального выражения на сомножители было бы иным, то было бы получено

Такое разбиение подынтегрального выражения на произведение двух сомножителей следует признать неудачным, так как оно приводит к более сложному интегралу.

Пример:

Найти интеграл

 

Пример:

Найти интеграл

Пример:

Найти интеграл
Последний интеграл того же типа, но степень многочлена на единицу меньше. Вновь интегрируя по частям, получаем

Окончательно получаем

Пример:

Найти интеграл

 

Пример:

Найти интеграл

Интегралы третьего вида находятся двукратным интегрированием по частям

К последнему интегралу снова применим интегрирование по частям

Таким образом,

В правой части имеем интеграл аналогичный интегралу в левой части, следовательно

отсюда

Рациональные функции

Алгебраической называется функция, значения которой можно получить, произведя над независимой переменной конечное число алгебраических действий: сложений, вычитаний, умножений, делений и возведения в степень с рациональным показателем.

Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной, называется иррациональной.

Рациональной функцией называется алгебраическая функция, если среди действий, которые производятся над независимой переменной, отсутствует извлечение корней. Обозначается R(х).

Наиболее простыми рациональными функциями являются целые рациональные функции или многочлены (при этом одночлен рассматривается как частный случай многочлена).

Целой рациональной функцией (или полиномом) аргумента х называется функция, представляемая многочленом

с действительными или комплексными коэффициентами; причем

(коэффициент при старшей степени не равен нулю).

Корнем многочлена Р(х) называют всякое число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль.

Например, для многочлена число х = 2 является корнем, так как после его подстановки вместо переменной х величина многочлена становится равной нулю.

Теорема. Всякий многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n линейных множителей вида и постоянного числа — коэффициента при старшей степени:

здесь — корни многочлена.

Может оказаться, что некоторые из корней многочлена совпадают, т.е. какой-то корень встретился k раз, такие корни называются кратными.

Число  называется корнем кратности k уравнения f(х) = 0 (или k-кратным нулем функции f(х), или нулем k-го порядка), если

Предполагается, что функция f(х) имеет k производных в точке

Например, функция y = x-sinx в точке х = 0 имеет трехкратный корень нуль, т.к.

т.е. третья производная в точке х = 0 не равна нулю.

Так как произведение линейных множителей, соответствующих комплексно-сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, то всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме:

Если корень имеет кратность корень — кратность  и т.д., тогда разложение многочлена Р(х) можно записать так:

где — кратности действительных корней, — кратности комплексно-

сопряженных корней. Ясно, что сумма кратностей всех корней равна степени алгебраического уравнения, т.е.

Всякая рациональная функция R(x) может быть представлена в виде дроби многочлены.

Дробной рациональной функцией называется отношение целых рациональных функций

Если степень m числителя Р(х) меньше степени n знаменателя Q(x), дробь называется правильной, в противном случае — неправильной.

Пример:

Функции  — целые рациональные.

Пример:

Функции  — дробные рациональные (первая и вторая — неправильные, третья — правильная).

Пример:

Функции  — нерациональные.

Отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Пусть  — неправильная рациональная дробь.
Разделим числитель на знаменатель, получим где -частное, -остаток от деления (многочлены), причем степень остатка меньше степени знаменателя дроби Q(х). Следовательно, последняя рациональная дробь — правильная.

Переход от неправильной дроби к сумме многочлена и правильной дроби легко осуществляется обычным «делением столбиком», путем последовательного исключения членов, содержащих старшие степени аргумента.
 

Пример:

Пусть требуется преобразовать неправильную рациональную
Выполним «деление столбиком»

В итоге получаем 

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и интегрированию правильных рациональных дробей.

Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшими рациональными дробями называются дроби, приводящие к
следующим двум типам:

где n — натуральное число; — действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней (т.е.

Интегрирование простейших дробей I типа

 

Пример:

 

Пример:

Пример:

Интегрирование простейших дробей II типа

Для интегрирования дробей II типа выделим в знаменателе дроби полный квадрат

Обозначим и выполним замену переменной

Эту подстановку легко запомнить, если заметить, что t равно половине производной знаменателя.

Искомый интеграл преобразуется к сумме двух «табличных» интегралов

Возвращаясь к исходной переменной интегрирования, получаем
Несмотря на громоздкость интегрирования, нахождение конкретных интегралов не вызывает затруднений.
 

Пример №60

Найти

Решение. Перейдем к новой переменной
 

Метод неопределенных коэффициентов

Весьма существенное значение имеет разложение знаменателя рациональной дроби на произведение линейных и квадратичных множителей.

Пусть для определенности имеем правильную рациональную дробь
знаменатель разлагается на множители следующим образом:

можно единственным образом разложить на сумму
Такую дробь простейших дробей:

где — действительные числа, для нахождения которых

используется метод неопределенных коэффициентов.

Метод заключается в следующем:

1. приведение правой части последнего равенства к общему знаменателю и сравнению числителей левой (Р(х)) и правой частей;
2. приравнивание коэффициентов при равных степенях х в правой и левой частях равенства (два многочлена тождественны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях х равны). Таким образом составляется система линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются

Итоги по способам интегрирования рациональных дробей

1. Если рациональная дробь неправильна, то её представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;
2. Знаменатель правильной дроби разлагают на множители;
3. Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей.

Пример №61

Вычислить интеграл 

Решение. Данная рациональная дробь  — правильная, т.к. в числителе имеется полином второй степени, а в знаменателе — третьей.

Разложим дробь на сумму простейших дробей, используем метод неопределенных коэффициентов:

Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей выражения:

Приравниваем коэффициенты при равных степенях х

Получаем систему из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными А, В и С

Решив (любым способом) данную систему уравнений, находим

Окончательно, получаем

В случае отсутствия кратных корней знаменателя (как в вышеприведенном случае) нахождение коэффициентов можно упростить. Так как данное разложение справедливо для любых значений х, рассмотрим промежуточную запись решения задачи

и будем подставлять в левую и правую части равенства такие значения х, чтобы выражения в некоторых скобках обнулялись.

Получим

Подставим полученные значения коэффициентов

 

Пример №62

Вычислить интеграл 
Решение. Разложим правильную рациональную на простейшие дроби:

приравняем коэффициенты при соответствующих степенях х:

Решение полученной системы уравнений даёт: Окончательно, подставив значения коэффициентов, получаем

 

Пример №63

Вычислить интеграл

Решение. Разложить на простейшие дроби

Решение полученной системы уравнений даёт:
Окончательно, подставив полученные коэффициенты, получаем:

 

Интегрирование тригонометрических функций

До сих пор мы систематически изучали интегралы только от алгебраических функций (рациональных). В настоящем параграфе мы рассмотрим интегралы от некоторых классов неалгебраических, в первую очередь тригонометрических функций. С помощью подстановок интегралы от тригонометрических функций приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются, т.е., говорят, что интеграл рационализируется.

Алгебраической называется функция, значения которой можно получить, произведя над независимой переменной конечное число алгебраических действий: сложений, вычитаний, умножений, делений и возведения в степень с рациональным показателем.

Рациональной функцией называется такая алгебраическая функция, если среди действий, которые производятся над независимой переменной, отсутствует извлечение корней.

Иррациональной функцией называется алгебраическая функция, не являющаяся рациональной.

Рационализация интеграла — это приведение неалгебраического интеграла с помощью подстановок к интегралу от рациональных функций.
 

Интегралы вида I: 

Запись указывает, что над sinx cosx производятся рациональные операции.

Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью «универсальной тригонометрической подстановки» (УТП):

Выразим тригонометрические функции sinx и cosx через а, следовательно, и через t.

в) далее, выразим из (1) 
Таким образом, sinx, cosx и dx выразились через t рационально. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл типа I, получим интеграл от рациональной функции:

 

Пример:

 
Полагая и, используя полученные формулы (6.2) и (6.4), получим:

Окончательно, получим новый табличный интеграл, который внесем в таблицу интегралов:

Пример:

(разобрать самостоятельно).
Аналогично, используя полученную формулу (6), получим следующий интеграл:

Внесем в таблицу интегралов

Данная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида I. Поэтому её называют «универсальной тригонометрической подстановкой».

Однако на практике, «универсальная тригонометрическая подстановка» часто приводит к слишком сложным тригонометрическим функциям.

Поэтому наряду «универсальной» используют и другие подстановки, которые быстрее приводят к цели.

Интегралы вида II. Для вычисления интегралов вида

используется подстановки:

sinx = t — для нечетной степени cosx    (6.8)

cosx = t — для нечетной степени sinx    (6.9)
 

Пример:

 

Интегралы вида III. Для вычисления интегралов вида  удобно пользоваться формулами тригонометрических соотношений для понижения степени:

и вводить вспомогательную переменную или

Пример:

Применим к третьему интегралу повторно формулу (10)

Получаем:

 

Интегралы вида IV. (m и n — целые числа)

Для данного типа характерны следующие случаи

1 случай: один из показателей m, n нечетное положительное число

Если m — степень при sinx, вводят вспомогательную функцию cos x=t

Если n —  степень при cosx, вводят вспомогательную функцию sin x = t

Пример:

 (n=5 — нечетно, подставим, sin x = t).

2 случай: Одно из чисел m или n нечетное и положительное, а другое -любое действительное число.

Используется аналогичный прием.
 

Пример:

Найти интеграл n — нечетное положительное,  отрицательное дробное; подстановка t = cosx.

3 случай: оба показателя степени — (m и n) — четные неотрицательные четное положительное число (одно из чисел может быть равно нулю)

а) применяется постановка 
После подстановки получается интеграл от рациональной функции.

Так как 

После подстановки получается интеграл от рациональной функции.
 

Пример:

Подынтегральная функция четна относительно sinx и cosx.

Полагаем Тогда, используя (6.13)-(6.15):

получим:

это табличный интеграл

б) Интегрирование осуществляется путем снижения показателей степени с использованием тригонометрических соотношений (6.10), (6.11):

 

Пример:

Найти интеграл

 

Интегралы вида V:

Для таких интегралов используются тригонометрические формулы:

Пример:

Интегралы вида VI. (n — целое положительное число, большее единицы)

а) Для рационализации такого типа интегралов удобно выделить множитель .

 

Пример:

Выделяем множитель получаем

Первый интеграл равен

Второй интеграл вычисляется тем же приемом

Окончательно:

Запишите в таблицу интегралов новые табличные интегралы, полученные при решении примера 11:

б) Если подынтегральная функция зависит только от то замена

 
приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции:

Пример:

Выполним подстановку по формулам (6.26):

Найдем интеграл от рациональной дроби, для чего разложим рациональную дробь на простейшие дроби:

Освободимся от знаменателя: 

Если многочлены равны, а это тождество, то равны коэффициенты при одинаковых степенях t. Из системы трех уравнений с тремя неизвестными найдем три коэффициента:

Итак, рациональная дробь преобразована к сумме простейших дробей:

(данный пример по пройденной ранее теме можно рекомендовать для самостоятельной работы).

Подставим tgx = t в полученное выражение

Выводы: В настоящем параграфе мы рассмотрели интегралы от некоторых классов неалгебраических — тригонометрических функций, которые с помощью подстановок к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются, т.е. интеграл рационализируется.
 

Интегрирование иррациональных функций

Иррациональной функцией называется алгебраическая функция, не являющаяся рациональной.

Рационализация интеграла — это приведение неалгебраического интеграла с помощью подстановок к интегралу от рациональных функций.

Введение:

До сих пор мы рассмотрели интегралы от рациональных и некоторых тригонометрических функций. Рассмотрим интегралы от иррациональных функций.

Не от всякой элементарной функции интеграл выражается через элементарные функции. В данной лекции мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых приводятся с помощью подстановок к интегралам от рациональных функций, и, следовательно, до конца интегрируются (рационализируются).

Основным методом интегрирования иррациональных функций является замена переменной — переход к такой переменной, которая позволит избавиться от иррациональности в подынтегральной функции.

Тригонометрические подстановки

К рациональному тригонометрическому виду приводятся интегралы:
а также квадраты этих радикалов
 

Пример:

   Это тип подынтегральной функции А), используем подстановку (6.27). Полагая получаем следующую подынтегральную функцию (предположим, что

подставим в интеграл

Возвращаясь к переменной x, находим:

Окончательно:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

 Для такого типа интеграла можно использовать подстановку типа Б) (6.28), получаем:
. Для такого типа интеграла можно использовать

Итак:

Подставим полученные выражения (6.32) и (6.33) в интеграл:

Возвращаемся к переменной x, находим:


Из (6.33) найдем

из (6.28) найдем

Окончательно получим

 

Интегралы вида II:

— рациональная функция своих аргументов.

Запись указывает, что над величинами производятся
только рациональные операции.
Пусть k — общий знаменатель дробей Сделаем подстановку:

Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример №64

Решение. Общий знаменатель дробей делаем подстановку:

тогда:

Перейдем к первоначальной переменной

Интегралы вида III:

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки:

где k — общий знаменатель дробей
 

Пример №65

Решение. Общий знаменатель  Делаем подстановку  Тогда

выразим

Интегралы вида IV

Интегралы от дифференциальных биномов (некоторые авторы употребляют термин биномиальный дифференциал),

где m,n,p — рациональные числа, а,b — постоянные числа, не равные нулю. Как доказал П.Л.Чебышёв, интегралы от дифференциальных биномов

выражаются через элементарные функции только в трех случаях:

1) когда р — целое число, тогда данный интеграл сводится от рациональной функции с помощью подстановки

где k — наибольшее общее кратное знаменателей дробей (подходит к интегралу типа III).
 

Пример:

Здесь Подстановка

2) когда  целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки

3) когда — целое число, подстановкой

где k — знаменатель дроби р.

Интегралы вида V:

— рациональная функция, находится подстановкой

Интеграл более общего вида — подстановкой

 

Интегралы вида VI:

находится подстановкой

 

Пример №66

Найти интеграл

 

Интегралы, которые не выражаются через элементарные функции

Есть функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции, такие интегралы называют «не берущиеся».

1.    Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на ней первообразную.

2.    Не всякая первообразная функция может быть выражена с помощью конечного числа элементарных функций. Так, например, первообразные функции, выраженные интегралами

существуют, но представляют собой специальные функции.

Специальные функции хорошо изучены, их значения табулированы.
 

Справочный материал по неопределенному интегралу

Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Обратная задача — восстановление функции по известной производной, является основной задачей интегрального исчисления.
Всюду в этой главе функции рассматриваются на промежутках (конечных или бесконечных), расположенных в их области определения.

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определение 5.1. Пусть D — промежуток в , конечный или бесконечный, : D → . Функция F : D → называется первообразной функцией для функции на D (или, проще и короче, первообразной функции ), если она дифференцируема на D и
F ^/ (x) = (x), ∀x ∈ D.

Очевидно, что если F — первообразная функции на промежутке D , то F непрерывна на промежутке D , поскольку дифференцируема.

Например, функция F (x) = x является на первообразная функции (x) =
1,    поскольку F (x) = x дифференцируема на , и
F ^/ (x) = 1 = (x), ∀x ∈ .

Аналогично, функция F (x) = arcsin x — первообразная для функции (x) = на интервале (-1,1), так как

В отличие от производной, первообразная функции не обладает свойством единственности. Например, для функции (x) = -2 sin 2x, функции F(x) = cos 2x и Φ(x) = -2 sin² x являются первообразными на , так как для всех x∈

(cos 2x)^/ = -2 sin 2x и (-2 sin² x)^/= -4sin x cos x = -2 sin 2x .

Возникает вопрос об описании всех первообразных заданной функции.

Теорема 5.1. Пусть : D → . Если F(x) — первообразная на D для функции (x), то множество всех ее первообразных на D совпадает с множеством {F (x) + C : C ∈ }.

1) Обозначим через множество всех первообразных функции на D. Поскольку для любого числа C ∈ функция F(x) + C дифференцируема на D и (F (x) + C)^/ = (x), ∀x ∈ D, то функция F (x) + C, является первообразной функции на D. Значит, {F (x) + C : C ∈ } ⊂ .

2)    . Докажем обратное вложение, для чего рассмотрим функцию Φ(x) ∈ . Введем функцию φ(x) = F(x) — Φ(x), ∀x ∈ D. Тогда функция φ(x’) дифференцируема на D и

φ^/(x) = F^/(x) — Φ^/(x) = (x) — (x) = 0, ∀x ∈ D.

Откуда по критерию постоянства функции на промежутке (см. теорему 4.13) следует, что φ(x) ≡ C, ∀x ∈ D, где C — некоторая постоянная. Таким оразом, F(x) — Φ(x) = C, ∀ x ∈ D, то есть ⊂ {F (x) + C : C ∈ }.
Учитывая еще вложение, полученное в первой части доказательства, окончательно получаем, что = {F (x) + C : C ∈ } .

Определение 5.2. Пусть D — промежуток, функция имеет на D первообразную. Совокупность всех первообразных функции (x) на D называется неопределенным интегралом от функции (x) на промежутке D и обозначается символом

,

при этом x называется переменной интегрирования, (x) — подынтегральной функцией, (x) dx — подынтегральным выражением.

Таким образом, если F(x) — некоторая первообразная функции (x) на промежутке D, то

,

где C — произвольная постоянная. Последнее равенство следует понимать как равенство двух множеств, состоящих из функций, определенных на промежутке D, причем слева — совокупность, образующая неопределенный интеграл от (x), а справа — совокупность функций, отличающихся на D от F(x) на некоторую постоянную C.

Операция поиска неопределенного интеграла от заданной функции (x) на промежутке D называется интегрированием.

Пример №67

Найти неопределенный интеграл функции (x) = e^|x| на всей числовой прямой.

При x > 0 e^|x| = ex и для этой функции на интервале (0, +∞) e^x является одной из ее первообразных. При x 0 e^|x| = e^-x, и для этой функции на (-∞, 0) первообразной будет функция -e^-x + C при любой постоянной C. Так как первообразная функции (x) по определению 5.1 должна быть дифференцируемой на , а, следовательно, непрерывной на , то должно выполняться
условие

,

то есть 1 = -1 + C, откуда C = 2.
Итак, функция

является непрерывной на .
Докажем, что эта функция является на первообразной функции (x) = e^|x| .
Очевидно, что ^/(x) = e^x = e^|x| для x > 0 и F^/(x) = e^-x = e^|x| для x 0.
Покажем, что F^/(0) = e⁰ = 1:

,

,

то есть F^/(+0) = F^/ (-0) = F^/(0) = 1 = e^|0|. Следовательно,

Основные свойства неопределенного интеграла

Теорема 5.2. Пусть функция : D → имеет первообразную на промежутке D, тогда на D

Действительно, если F(x) — некоторая первообразная функции (x) на D, то
.
Тогда по определению 5.1 для всех x ∈ D

,

Теорема 5.3. Если функция (x) дифференцируема на промежутке D, то

Так как d (x) = ^/(x)dx, то по определению 5.2
.

Теорема 5.4. Если функции (x) и g(x) имеют на промежутке D первообразные, то функция (x) ± g(x) также имеет первообразную на D, причем
.   (5.1)
Заметим, что равенство в формуле (5.1) следует понимать как совпадение двух множеств функций. Пусть F(x) и G(x) некоторые первообразные функций (x) и g(x), соответственно, на промежутке D, то есть

.

Функция F(x) ± G(x) дифференцируема на D и
(F (x) ± G(x))^/ = F^/ (x) ± G^/ (x) = (x) ± g(x), ∀x ∈ D.

Последнее означает, что F(x) ± G(x) является первообразной функции (x) ± g(x) на D, а поэтому

Левая часть формулы (5.1) — множество, состоящее из функций вида F(x) ± G(x) + C, а правая — из функций (F (x) + C₁) ± (G(x) + C₂). Ввиду произвольности постоянных C, C₁ , C₂ эти множества совпадают, то есть справедливо равенство (5.4).

Теорема 5.5. Если функция (x) имеет на промежутке D первообразную и λ — число, то функция λ(x) также имеет первообразную на D, причем при λ 0

 (5.2)
Пусть F(x) — первообразная функции (x) на промежутке D, то есть
.

Тогда функция λF (x) дифференцируема на D и
(λF (x))^/ =λF^/(x) =λf(x), ∀x ∈ D.

Следовательно, λF(x) является первообразной функции λ (x) на D, то есть
λ (x) dx =λF(x) + C₁.
Левая часть формулы (5.2) — множество функций вида λF(x) + C₁, а правая — множество функций вида λ(F(x) + C) = λF(x) + λC. Если λ 0, то ввиду произвольности постоянных C и C₁ , эти множества совпадают, то есть имеет место (5.2).

Объединяя вместе эти две теоремы, получаем следующий результат.

Следствие. Если функции (x) и g(x) имеют на промежутке D первообразные, а λ,μ ∈ , то функция λ (x) ±μg(x) также имеет первообразную на D, причем, если ∣λ∣ + ∣μ∣ 0, то
(λ (x) ± μg(x)) dx = λ (x) dx ± μ g(x) dx. (5.3)
Замечание. Свойство, указанное в следствии из теорем 5.4 и 5.5, обычно называют свойством линейности неопределенного интеграла.

Таблица основных неопределенных интегралов

В основе построения приводимой ниже таблицы неопределенных интегралов лежит теорема 5.3 и таблица производных. Например, для любого промежутка D в
cos x dx =    d(sin x) = sin x + C.

Для проверки правильности результатов интегрирования достаточно воспользоваться определениями 5.1, 5.2 и таблицей производных:

(sin x + C)^/ = cos x, x ∈ .

В приводимой ниже таблице речь идет о неопределенных интегралах на любом промежутке D , входящем в естественную область определения подынтегральной функции.
1)    dx = C, D ⊂ .
2) x^α dx = + C (α -1). Формула имеет место на любом промежутке из области определения функции x^α .

3)    = ln |x| + C, D {0}.
4) x^α dx +C (a > 0, a 1), D .
5)    e^x dx = e^x + C, D .
6)  sin x dx = — cos x + C, D .

7)  cos dx = sin x + C, D .
 = tg x + C, D .
9) = — ctgx + C, D {(πk, π(k + 1), к ∈ }.
10) =arcsin + C = — arccos + C, D (—a, a) (a > 0).
11) = arctg+ C =-arcctg + C (a 0), D .

12) = + C, D (—a, a) (a > 0).

13) =ln(x + ) + C (a 0), D .
14) ln |x + | + C (a 0), D C { x ∈ : |x| > |a|}.

15) sh x dx = ch x + C, D .

16) ch x dx = sh x + C, D .
17) th x + C, D .

18) =— cth x + C, D ( {0}).
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

Основные методы интегрирования

При вычислении производных обычно пользуются стандартным набором правил и формул, что превращает дифференцирование в единообразную, выполняемую по одним и тем же схемам, работу. Иначе обстоит дело с интегрированием функций. Не существует единого рецепта вычисления неопределенного интеграла, пригодного для всех элементарных функций. Поэтому приходится рассматривать отдельные классы функций и для них разрабатывать правила или хотя бы рекомендации по вычислению интегралов.

Непосредственное интегрирование

Теоремы, приведенные в разделе 5.2 и таблица основных неопределенных интегралов, позволяют вычислять только простейшие интегралы. Рассмотрим
несколько примеров.

Пример:

Вычислить интеграл .

Пример:

Вычислить интеграл  .

Пример:

Вычислить интеграл 

Метод подстановки (замены переменной)

Одним из основных методов интегрирования функций является метод подстановки (или метод замены переменной). Он основан на следующей теореме.

Теорема 5.6. Пусть D, T — промежутки в , функция : D → имеет на D первообразную F(x), а функция φ : T → дифференцируема на T и φ(T) ⊂ D, тогда
    (5.4)

Поскольку функция φ дифференцируема на T, φ(T) ⊂ D, а функция F дифференцируема на D , то по теореме о дифференцируемости суперпозиции (см. теорему 4.5) функция F ◦ φ дифференцируема на T и
(F ◦ φ)’t) = F’φt))φ’t) = φt))^t), ∀t ∈ T.

Следовательно, функция F(^>(t)) на промежутке T является первообразной для функции (φ(t)’)φ'(t), и по определению 5.2

Итак, если выполнены условия теоремы 5.6 и  (x) dx = F(x) + C, то
(5.5)

Формула (5.5) называется формулой интегрирования посредством подстановки φ(t) = X. Её применение к вычислению интегралов состоит в том, что вместо вычисления интеграла, стоящего слева в формуле (5.5), вычисляется интеграл, стоящий справа, а затем, возвращаясь к переменной t, полагается x = φ(t). В ряде случаев формулу (5.5) целесообразно использовать в обратном порядке. Именно, иногда удобно вычисление интеграла  (χ) dχ в с помощью замены переменной x = φ(t) к вычислению интеграла. Если допустить, что выполнены условия теоремы 5.6 и, кроме того, функция φ : T → D является биекцией, а значит существует обратная функция φ формулу (5.5) можно переписать в виде
(5.6)

Формула (5.6) называется формулой интегрирования заменой переменной x = φ(t).

При использовании метода интегрирования с помощью подстановки или замены переменной общих рекомендаций по определению нужной подстановки не существует. Такие рекомендации можно дать только для некоторых специальных видов подынтегральных функций. Эти замены будут рассматриваться
ниже, а пока рассмотрим этот метод на простых примерах.

Пример:

Вычислить интеграл sin(2x + 3) dx.
Выполним подстановку 2x + 3 = t. Тогда sin(2x + 3) dx=

Пример:

Вычислить интеграл .

Выполним подстановку = t. Тогда x = 1 — t², dx = -2t dt и

.

Пример:

Вычислить интеграл  .

Сделаем замену переменной x = sint (|t| ≤ —/2)). Тогда dx = cos t dt и

,

так как t — arcsin x при |t| ≤ . 

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.

Теорема 5.7. Пусть функции u, v : D → дифференцируемы на промежутке D. Если функция u^/(x) v(x) имеет первообразную на D, то функция u(x) v^/(x) также имеет первообразную на D, причем

          (5.7)

Так как функции u(x) и v(x) дифференцируемы на D, то функция u(x)v(x) также дифференцируема на D и
(u(x) v(x))^/ = u^/(x) v(x) + u(x) v^/(x)
или
u(x) v^/(x) = (u(x) v(x))^/— u^/(x) v(x).

По теореме 5.3 У (u(x) v(x))^/ dx = u(x) v(x) + C для всех x ∈ D. Поскольку на промежутке D существуют первообразные функций (u(x)v(x))^/ и u^/(x)v(x), то по теореме 5.4 на D существует первообразная функции u(x) v^/(x) и
u(x)v^/(x)dx =   (u(x)v(x))^/dx — u^/(x)v(x)dx=
=u(x)v(x)-u^/(x)v(x)dx.
Определение дифференциала функции и свойство инвариантности его формы позволяют записать формулу (5.7) в виде
udv=uv — vdu.  (5.8)

Формулы (5.7),(5.8) называют формулами интегрирования по частям.
Заметим, что, применяя метод интегрирования по частям, следует предварительно представить подынтегральное выражение в виде произведения одной функции u на дифференциал другой функции dv. При этом функция v определяется неоднозначно. Обычно в качестве v(x) выбирается функция, записываемая в наиболее простой форме (не добавляется константа C ), поскольку для любого числа c из
udv=u(v+c)- (v + c) du = uv + cu —  vdu- c du =
= uv + cu —v du — c(u + c₁ ) = uv — v du — cc₁ = uv — vdu.

Метод интегрирования по частям позволяет, например, вычислять интегралы
вида:
(A)  P(x) sin x dx,P(x) cos x dx, P (x) ax dx (a > 0, a 1), k ∈ ;
(B) P (x) arcsin x dx,  P(x) arctg x dx, P(x) ln x dx, k ∈ ₀;
(C)  e^x sin x dx,  e^x cos x dx;

де P (x) — многочлен, а также подобные им интегралы. В случае (A) следует полагать u = P (x), в случае (B) — dv = P (x) dx, в случае (C) — u = e^x или u = sin x (u = cos x). При этом, для интегралов вида (A) требуется применить формулу (5.8) k раз, где k — степень многочлена P (x), для интегралов вида (B) — один раз, а затем использовать другие методы, а для интегралов вида (С) требуется двукратное интегрирование по частям.

Пример:

Вычислить интеграл I = ln² x dx.
Положим u = ln² x, dv = dx. Тогда du = 2dx, v = x и, используя формулу (5.8), получим

Чтобы вычислить последний интеграл, еще раз применим формулу (5.8), полагая u = ln x, dv = dx. Тогда du = dx/x, v = x и

Пример:

Вычислить интеграл.
Положим u = , dv = dx. Тогда du =    , v = x и

Получили уравнение относительно исходного интеграла. Перенося его из правой
части уравнения в левую, получим

Замечание. Аналогично можно доказать, что
.

Пример:

Вычислить интеграл  .

Положим u , dv = dx. Тогда du = , v = x и

Таким образом, , откуда

    (5.9)

Полученная рекуррентная формула сводит вычисление интеграла с показателем степени n к вычислению интеграла с показателем степени n — 1. Так как интеграл является табличным,

то применяя рекуррентная формулу к вычислению, например, интеграла ,
получим

     (5.10)

Классы интегрируемых элементарных функций

Операция дифференцирования, как известно, не выводит из класса элементарных функций. Однако первообразная от элементарной функции не обязательно является элементарной функцией и, следовательно, интеграл от элементарной функции не обязательно выражается через элементарные функции. Например, через элементарные функции не выражаются интегралы

.

Если интеграл от элементарной функции выражается через элементарные функции, то говорят, что интегрирование выполняется в элементарных функциях (или в конечном виде). Рассмотрим некоторые классы функций, интегрируемых в элементарных функциях.

Интегрирование рациональных функций

Напомним, что рациональной функцией или рациональной дробью называется функция вида , где P(x) и Q(x) — многочлены с вещественными
коэффициентами. Функция (x) называется правильной дробью, если степень
многочлена P(x) меньше степени многочлена Q(x) и неправильной дробью в
противном случае.
Из курса алгебры известно, что если степень m многочлена P(x) не меньше степени n многочлена Q(x), то существуют такие многочлены S(x) степени k и R(x) степени l, что m = n + k, 0 ≤ l n, и многочлен P (x) представим в виде P (x) = S(x)Q(x) + R(x), при этом такое представление единственно.

Операция поиска многочленов S(x) и R(x) по заданным многочленам Q(x) и P (x) называется делением многочлена P (x) на Q(x), при этом многочлен P (x) называется делимым, Q(x) — делителем, S(x) — частным, R(x) — остатком от деления P (x) на Q(x).

Отметим, что если n = 1, то l = 0 и остаток от деления является числом (многочленом нулевой степени): P (x) = S (x)Q(x) + r, где S(x) — многочлен
степени n — 1, r — некоторое число.

Если рациональная функция  является неправильной дробью, то выполняя деление, получим для нее представление
, 

где S(x) — некоторый многочлен, а слагаемое  является правильной дробью.

Рассмотрим сначала задачу интегрирования простых рациональных дробей. Так называют дроби вида

где A, B, a, p, q ∈ , k ∈ , k > 1, p² — 4q 0.

Лемма 5.1. Простые дроби интегрируются в элементарных функциях.
Действительно,

.

Для вычисления интеграла от простой дроби (3) представим квадратный трехчлен в виде x² + px + q =  и, учитывая, что p² — 4q 0, положим a = . В интеграле от простой дроби (3) сделаем замену переменной t=x+ и получим, что

.

Для вычисления интеграла от простой дроби (4) используем введенную выше замену переменной и аналогично предыдущему получим:

.

Для вычисления последнего интеграла можно воспользоваться рекуррентной формулой (5.9), полагая t = a u.

Итак, интегралы от простых дробей выражаются в конечном виде с помощью рациональных функции, логарифмов и арктангенсов.
Прежде чем продолжить решение задачи об интегрировании правильной рациональной дроби, изучим некоторые алгебраические свойства многочленов и рациональных дробей.

Разложение многочлена на множители

Рассмотрим многочлен степени n ∈

Q_n(x) = c_nxⁿ + c_n-1x^n-1+ ∙ ∙ ∙ + c₁x + c_o, c_n 0.

Коэффициенты c_n, c_n-1, ∙ ∙ ∙ ,c₀ многочлена могут быть как действительными, так и комплексными числами, переменная x может принимать любые значения из множества или C.

Число a называется корнем многочлена Q_n(x), если Q_n(a) = 0. Из курса алгебры известен следующий результат.

Теорема 5.8 (Безу). Число a является корнем многочлена Q_n(x) степени n ≥ 1 тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остатка на x — a, то есть справедливо равенство Q_n(x) = S_n-1(x) (x — a), где S_n-1(x) — многочлен степени n — 1.

Число a является корнем многочлена Q_n(x) степени n ≥ 1, то по теореме Безу Q_n(x) = S_n-1(x) (x — a), где S_n-1(x) — многочлен степени n — 1. Но, возможно, S_n-1(a) = 0, то есть a корень многочлена S_n-1(x), тогда, применяя к нему теорему Безу, получим представление S_n-1 (x) = S_n-2(x) (x — a), где S_n-2(x) — многочлен степени n — 2. Тогда Q_n(x) = S_n-2(x)(x — a)². Продолжая это рассуждение, получим, что существует

k₀ ∈ : 1 ≤ k₀ ≤ n, Q_n(x) = S_n-k0(x)(x — a)^k0,

где S_n-k0 (x) — многочлен степени n — k₀ и S_n-k0 (a) 6. для всех x ∈ (x ∈ C) будет выполняться равенство В этом случае говорят, что число x = a является корнем многочлена Q_n(x) кратности k.

Естественно, возникает вопрос, всякий ли многочлен имеет корни? Ответ на него дает основная теорема алгебры.

Теорема 5.9 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен степени n ≥ 1 с действительными или комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень.

Пусть x₁ — корень кратности k₁ многочлена Q_n(x), степень которого равна n. Тогда этот многочлен представляется в виде

Q_n(x) = (x — x₁)^k1S₁(x),

где S₁ (x) — многочлен степени n — k₁ , причем S₁ (x₁) 0. Применяя к многочлену S₁(x) теоремы 5.8 и 5.9 найдем, что

Q_n(x) = (x — x₁)^k1 (x — x₂)^k2S₂(x), x₁ x₂, S₂(x₁) 0, S₂(x₂) 0.

Продолжая, по индукции получим следующее представление

Q_n(x) = C_n(x — x₁)^k1 (x — x₂)^k2 ∙∙∙ (x — x_m)^km , k₁ +…+ k_m = n, (5.11)

где c_n — коэффициент при xⁿ в многочлене Q_n(x), а x₁ , . . . , x_m — его различные корни (вещественные или комплексные).

Для многочленов с действительными коэффициентами, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.10. Если z₀ = α+ iβ — комплексный корень (β 0) кратности r многочлена Qn(x) с действительными коэффициентами, то комплексное число м = α — iβ также является корнем этого многочлена кратности r.

Всюду далее будем рассматривать многочлены только с действительными коэффициентами!

В случае существования такой пары комплексных корней у многочлена Q_n(x) с действительными коэффициентами, правая часть (5.11) содержит множители
(x — z₀)^r и (x — z₀)^r, при этом

(x — z₀)(x — z₀) = (x — α — iβ )(x — α + iβ) = (x — a)² + β² = x² + px + q,

где p = —2a, q = a² + β², p² — 4q = —4β² 0. Значит в этом случае многочлен Q_n(x) делится без остатка на квадратный трехчлен x² +px + q, коэффициенты которого являются действительными числами, а дискриминант отрицателен. Последнее означает, что существует такой многочлен T_n—2r (x) степени n — 2r с действительными коэффициентами, что

Q_n(x) = (χ² + px + q)^r T_n—2r (x), T_n—2r (_o) 0, T_n—2r (zo) 0.

Пусть a₁, a₂, ∙ ∙ ∙ ,a_k — все действительные корни многочлена Q_n(x), а их кратности соответственно равны l₁, l₂, ∙ ∙ ∙ , l_k. Тогда равенство (5.11) можно записать
в виде
Q_n(x) = (x — a₁)^l1 (x — a₂)^l2 ∙ ∙ ∙ (x — a_k)^lkR(x),

где R(x) — многочлен с действительными коэффициентами степени n — 
не имеющий действительных корней.

Если R(x) — многочлен ненулевой степени, то в формуле (5.11) каждой паре
комплексно сопряженных корней z_j и кратности r_j, j = 1, 2, ∙∙∙ , s, многочлена Q_n(x) соответствует множитель (x² + p_jx + q_j )^rj , где p^j₂ — 4q_j 0, j = 1, 2, ∙ ∙ ∙ , s. Поэтому имеет место представление
Q_n(x) = C_n(x — a₁)^l1 ∙ ∙ ∙ (x—a_k)^lk(x²+ p₁ x+q₁)^r1 ∙  ∙ ∙ (x²  + p_s x+q_s)^rs,    (5.12)
в котором 

Таким образом, зная все действительные и комплексные корни многочлена
Q_n(x) с действительными коэффициентами, можно этот многочлен разложить на множители, то есть представить в виде (5.12).

Разложение рациональной функции на простые дроби

Лемма 5.2. Пусть — правильная рациональная дробь, x = a — действительный корень многочлена Q(x) кратности k ≥ 1, то есть
Q(x) = (x — a)^kN (x) и N (a) 0,

тогда существует действительное число A и многочлен M (x) с действительными коэффициентами такие, что
,

где дробь также является правильной.

Представим рациональную дробь  в виде

 (5.13)

где A — любое действительное число.

По условию степень многочлена P(x) меньше степени многочлена Q(x) = (x — a)^kN(x). Очевидно, что и степень многочлена N(x) меньше степени многочлена Q(x), так как k ≥ 1, поэтому для любого числа A рациональная дробь  является правильной.

Выберем теперь число A так, чтобы число a было корнем многочлена P(x) —
AN (x), то есть P (a) — AN (a) = 0. По условию N (a) = 0, поэтому A = ɪŋ
При таком выборе A многочлен P(x) — AN (x) делится без остатка на x и второе слагаемое в правой части формулы (5.13) можно сократить на x (x a) и получить дробь вида
.

Так как эта дробь получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на множитель x—a, где a — действительное число, то полученная дробь также является правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами.

Следствие. Пусть выполнены условия леммы 5.2, тогда справедливо равенство

где числа A₁, ∙∙∙ , A_k являются действительными, T (x) — многочлен с действительными коэффициентами, дробь   является правильной, а число
x = a не является корнем многочлена N (x).

Для доказательства достаточно применить лемму 5.2 k раз.

Лемма 5.3. Пусть  — правильная рациональная дробь, число z₀ =α + iβ — невещественный корень многочлена Q(x) кратности s, то есть

Q(x) = (x² + px + q)^sN(x), где x² + px + q = (x — z₀)(x — ₀) и N(z0) = 0, N(z₀) 0. Тогда существуют действительные числа B, C и многочлен M(x) с действительными коэффициентами такие, что

где дробь   также является правильной.

  (5.14)

,

Второе слагаемое в правой части (5.14), очевидно, является правильной дробью.
Подберем числа B и C так, чтобы числитель второй дроби делился на x² + px +
q = (x — z₀)(x — ₀). Для этого достаточно выбрать B и C так, чтобы z₀ было
корнем многочлена P(x) — (Bx + C)N (x).

Пусть P(z₀) — (Bz₀ + C)N(z₀) = 0, тогда Bz₀ + C =, поскольку, по
условию, N(z₀) 0. Пусть z₀ = α + iβ, = K + iL. Тогда

K+iL = Bz₀+C= B(α+iβ) +C.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем уравнения

Bα + C = K, Bβ = L,

следовательно, .

Заметим, что B и C — действительные числа и при этих значениях B и C многочлен P(x) — (Bx + C)N(x) будет делиться на многочлен x² + px + q.

Сокращая второе слагаемое правой части равенства (5.14) на квадратный трехчлен x² + px + q , получаем дробь вида

.

Так как эта дробь получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на многочлен с действительными коэффициентами, то и сама она является также правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами.

Следствие. Пусть выполнены условия леммы 5.3, тогда справедливо представление

, 

где B_j, C_j (j = 1, 2, ∙ ∙ ∙ , s) — действительные числа, T(x) — многочлен с действительными коэффициентами, дробь  является правильной, причем
многочлен N(X) не делится на х₂ + pх + q.

Для доказательства достаточно применить лемму 5.3 s раз.

Теорема 5.11. Пусть    — правильная рациональная дробь и многочлен Q(х) имеет разложение

Q(х) = (х — a₁)^k1 . . . (х — a_l)^kl (х² + p₁х + q₁)ⁿ¹ . . . (х² + p_sх + q_s)^ns ,

где a_i , p_j , q_j ∈ ; k_i ∈ , n_j ∈ , p_j² — 4_qj 0, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ s.

Тогда  единственным образом можно представить в виде

где являются действительными числами и определяются однозначно.

Итак, надо доказать представление
  (5.15)

Применяя следствие леммы 5.2, выделим сначала простые дроби вида ,

где j = 1, 2, ∙ ∙ ∙ , k₁. Затем к дроби снова применим следствие леммы 5.2 и т. д., пока не выделим простые дроби, соответствующие всем действительным
корням многочлена Q(x). В результате правильная дробь будет представлена в виде

,      (5.16)

где m = n — правильная дробь,  и   многочлены  действительными коэффициентами, а многочлен Nm(x) не имеет действительных корней.

Применяя к каждой паре комплексно сопряженных корней многочлена Q(x) следствие леммы 5.3, получим

.       (5.17)

Из формул (5.16) и (5.17) следует равенство (5.15), которое дает разложение правильной рациональной дроби на простые дроби.

Так как правильная рациональная дробь по теореме 5.11 представима в виде конечной суммы простых дробей, а каждая простая дробь интегрируема в элементарных функциях, то, используя свойство линейности неопределенного интеграла, получаем, что любая правильная рациональная дробь, а значит и любая рациональная дробь, интегрируема в элементарных функциях. Таким образом, доказан следующий результат, полностью решающий задачу интегрирования рациональной дроби.

Теорема 5.12. Всякая рациональная функция с действительными коэффициентами интегрируема в элементарных функциях.

Приведем примеры вычисления неопределенных интегралов от рациональных функций.

Пример:

Вычислить интеграл I = .

Разложение правильной дроби   на сумму простых дробей  будем искать в виде 

Приводя к общему знаменателю правую часть, имеем 

.

Приравнивая числители дробей, получаем тождество
2x²+2x+13= (A+B)x⁴+(C-2B)x³+(2A+B-2C+D)x²+
+(-2B+C-2D+E)x+A-2C-2E.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений

решая которую находим: A = 1, B = -1, C = -2, D = -3, E = -4. Следовательно,

.

Вычисляем каждый интеграл:

.

Далее, используя формулу (5.10), получаем, что

.

Таким образом,

.

Заметим, что иногда полезно в тождество, получаемое при приравнивании многочлена P (x) к числителю дроби, полученной после приведения к общему знаменателю простых дробей, подставлять вместо x некоторые специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя данной рациональной дроби). В результате будут получаться линейные уравнения относительно искомых коэффициентов. Но следует помнить, что при подстановке произвольных чисел полученные уравнения могут оказаться зависимыми.

Так как разложение на простые дроби часто требует громоздких выкладок, то иногда при вычислении интегралов от рациональной функции, полезно производить некоторые преобразования, делать замены переменных, позволяющие упростить вычисление интегралов.

Пример №68

Вычислить интеграл .

. Полагая u = x³, получим, что исходный интеграл равен

.

Пример №69

Вычислить интеграл .

Разлагая многочлен x³ — 1 по степеням (x + 2), получим, что 

.

Пример №70

Вычислить интеграл .

. Выполняя подстановку u = x +, получим, что исходный интеграл равен .

Пример №71

Вычислить интеграл  

.

Метод остроградского

При интегрировании правильной рациональной дроби P (X)/Q(X) часто используется метод, суть которого состоит в выделении рациональной части первообразной. Основанием этого метода служит тот факт, что первообразные простых дробей (1) и (3) являются трансцендентными функциями, первообразная простой дроби (2) является правильной рациональной дробью, а первообразная простой дроби (4) может быть представлена в виде суммы правильной рациональной дроби и трансцендентной функции.

Пусть многочлены P (X) и Q(X) не имеют общих корней и
Q(х) = (х — a₁)^k1 . . . (х — a_l)^kl (х² + p₁х + q₁)ⁿ¹ . . . (х² + p_s + q_s)^ns ,
a_i , p_j , q_j , ∈ , k_i , n_j ∈ , p_j² — 4_qj 0; 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ s, l, s ∈ .

Составим многочлен Q₂(х) так, чтобы все его корни были простыми и каждый корень Q₂(х) (включая и комплексные) являлся бы корнем многочлена Q(X) , то есть положим
Q₂(х) = (х — a₁) . . . (х — a_l)(х² + p₁х + q₁) . . . (х₂ + ps + qs).

Тогда представим Q(х) = Q₂(х)Q₁ (х), где корни многочлена Q₁ (х) есть корни многочлена Q(х), но каждый с кратностью на единицу меньше. В частности, все простые корни Q(х) будут корнями Q₂(х) и не будут корнями Q₁ (х). При таких обозначениях справедливо соотношение, называемое формулой Остроградского,

 (5.18)

где R(х) и T (х) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых на единицу меньше степеней многочленов Q₁(х) и Q₂(х), соответственно. Неопределенные коэффициенты многочленов R(х), T(х) вычисляются из равенства, которое получается при дифференцировании равенства (5.18).

В формуле Остроградского рациональная функция R(x)/Q₁ (x), называется T(x)
алгебраической частью интеграла от дроби P(x)/Q(x), а слагаемое , которое является трансцендентной функцией, называется трансцендентной частью этого интеграла. Обычно метод Остроградского применяется, если многочлен Q(x) имеет несколько корней большой кратности.

Пример №72

Вычислить интеграл .
Так как квадратный трехчлен x² + 4x + 8 не имеет действительных корней, положим

.

Дифференцируя это равенство, получим, что

.

откуда 2x + 12 = A(x² + 4x + — (2x + 4)(Ax + B) + (C_x + D)(x² + 4x + 8). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях последнего равенства, получаем систему уравнений

откуда C = 0, A = B = D = 1. Следовательно,

.

Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Напомним, что рациональной функцией, зависящей от двух переменных x и y называют функцию вида

, (5.19)

где P(x, y) и Q(x, y) — многочлены от двух переменных, то есть функции вида , . Число n + m называется степенью многочлена. Аналогично определяется рациональная функция от k переменных.

Например, функция

является рациональной функцией переменных x и y, при этом степень числителя равна 4, а степень знаменателя — 5.

Рациональная функция вида (5.19) при подстановке вместо x и y функций x = φ(t), y = ψ(t) является функцией уже одной переменной. Если при этом функции φ(t), ψ(t) будут рациональными функциями, то в результате подстановки получится тоже рациональная функция. Этим соображением далее мы будем постоянно пользоваться.

Лемма 5.4. Функции вида , где r , , интегрируются в элементарных функциях.

Пусть m ∈ , n ∈ и r =    несократимая рациональная дробь. Выполним
в интеграле

подстановку = tⁿ. Тогда х = и 

,

где R₁ (t) — рациональная функция от t.

Так как рациональная функция интегрируется в элементарных функциях, то первообразная рассматриваемой функции является элементарной функцией.

Заметим, что интегралы вида
,

где ri ∈ , i = 1, ∙∙∙ , s, αδ βγ, сводятся к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

, 

где k — наименьшее общее кратное знаменателей дробей r₁, ∙ ∙ ∙ ,r_s.

Пример №73

Вычислить интеграл .

Так как НОК(2; 3) = 6, то положим x = t⁶. Тогда получим

.

Пример №74

Вычислить интеграл 

Запишем подынтегральную функцию (x) в виде

. 

Так как (x) — рациональная функция относительно от x и , то выполним подстановку . Тогда  и 

.

Интегрирование квадратичных иррациональностей

Лемма 5.5. Функции вида R(x, ), a, b, c, ∈ (a 0), в области определения интегрируются в элементарных функциях.

Заметим, что трехчлен ax² + bx + c либо имеет действительные корни, либо, если нет действительных корней, его знак совпадает со знаком числа a. Действительно, если D = b² — 4ac 0, то

откуда следует, что sgn(ax² + bx + c) = sgn a. А так как в области определения функции R должно выполняться неравенство ax²+bx+c ≥ 0, то, если трехчлен ax² + bx + c не имеет действительных корней, должно быть a > 0.

Итак, пусть квадратный трехчлен не имеет действительных корней, тогда подстановка рационализирует подынтегральное выражение. Рассмотрим, например, случай , тогда

,

,

где R₁(t), R₂(t) и R₃(t) — рациональные функции от t. Поэтому

,

где R₄(t) — рациональная функция от t. Следовательно, если трехчлен ax² + bx + c не имеет действительных корней, то первообразная рассматриваемой функции является элементарной функцией.

Пусть теперь трехчлен ax² +bx +c имеет действительные корни x₁ и x₂. Если x₁ = x₂, то ax₂ + bx + c = a(x — x₁ )² и потому должно быть a > 0. Тогда

,

то есть на рассматриваемом промежутке подынтегральная функция является рациональной, а значит, интегрируется в элементарных функциях.

Пусть x₁ x₂, тогда ax² + bx + c = a(x — x₁ )(x — x₂). В этом случае подынтегральное выражение рационализирует подстановка

действительно, возводя последнее равенство в квадрат и сокращая на (x — x₁), получим, что a(x — x₂) = t²(x — x₁), откуда следует, что

,

.

Следовательно,

,

где R₁, R₂, R₃, R₄ — рациональные функции от t, а значит, рассматриваемая функция интегрируется в элементарных функциях.

Замечание. В случае, если c > 0, рационализацию подынтегрального выражения можно осуществить с помощью подстановки

.

Действительно, пусть, например, , тогда

,

,

.

Тогда, окончательно,

где R₁, R₂, R₃, R₄ — рациональные функции от t, и, следовательно, функция интегрируется в элементарных функциях.

Эти подстановки, рационализирующие выражение dx, называют подстановками Эйлера:

где x₁ действительный корень трехчлена ax2 + bx + c.

Пример №75

Вычислить интеграл .

Применим подстановку Эйлера , тогда

 и

.

Пример №76

Вычислить интеграл .

Так как x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)  то , применим подстановку Эйлера , тогда , . Поэтому 

,

где .

Хотя подстановки Эйлера во всех случаях решают вопрос о вычислении интегралов в элементарных функциях, на практике подстановки Эйлера обычно приводят к сложным выкладкам. Поэтому, в случае выполнения некоторых дополнительных условий на подынтегральную функцию, при вычислении интегралов указанного типа используются и другие приемы. Укажем специальные методы вычисления следующих интегралов

1) ;

2) ;

3)  многочлен степени n ≥ 2;

4) .

Выделяя из квадратного трехчлена ax² + bx +c полный квадрат, запишем его в виде ax² +bx+c = a(x + δ)² +q. Если в интегралах 1) и 2) сделать подстановку x + δ = t, то получим интегралы:

.

Вычисление этих интегралов, в зависимости от знака числа a, сводится к вычислению интегралов вида

,

каждый из которых представляет собой сумму двух интегралов, одного табличного, и другого, сводимого к табличному при использовании равенства t dt = d(t² ± r²).

Интегралы  и не входили в таблицу основных интегралов. Но так как они часто встречаются в приложениях, принято и эти интегралы называть табличными. Напомним (см. пример 9 и замечание к нему), что
.

,

Пример №77

Вычислить интеграл .

Так как 1 — x — х² = — , то, пологая х+=t, получим, что dx — dt. Тогда

.

Пример №78

Вычислить интеграл .

Так как x²+x+1 = , то преобразуя интеграл и полагая , имеем 

.

Интеграл 3) можно свести к интегралу от рациональной функции с помощью одной из подстановок Эйлера. Однако в данном случае значительно быстрее к цели приводит применение формулы

 (5.20)

здесь Q_n-1 — многочлен степени n — 1 с неопределенными коэффициентами, λ — неизвестная константа. Определение коэффициентов многочлена Q_n-1 и постоянной λ производится по методу неопределенных коэффициентов. Дифференцируя (5.20) и умножая полученное равенство на , получим,
что

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в последнем равенстве, получим систему (n+ 1) линейных уравнений, из которой и определяются коэффициенты многочлена Q_n-1 (x) и постоянная λ. Интеграл в правой части формулы (5.20) сводится к табличному с помощью линейной подстановки.

Заметим, что формула (5.20) позволяет у интеграла  выделить алгебраическую часть  без интегрирования.

Пример №79

Вычислить интеграл .

Положим

.

Дифференцируя это тождество, получим, что 

, а тогда 2(x³ — 2) = (4ax + 2b)(x² +x+ 1) + (ax²+bx+c)(2x+ 1) +2λ. Для нахождения неопределенных коэффициентов a, b, c, и λ получаем систему уравнений

решая которую находим, что , , , . Следовательно,

.

Интеграл вида 4) подстановкой x — α =  приводится к интегралу вида 3).

Пример №80

Вычислить интеграл .

Положим , тогда  и потому 

Остается в последнее выражение подставить .

Интегрирование дифференциальных биномов

Определение 5.3. Дифференциальным биномом называются выражения вида
x^m(a + bxⁿ)^p dx,    где a, b ∈   {0}, m, n, p ∈ , n 0,p 0.

В середине XIX века выдающийся русский математик П. Л. Чебышев доказал следующее утверждение.

Теорема 5.13 (Чебышева). Дифференциальные биномы интегрируются в элементарных функциях только в трех случаях:

1) ;

2) ;

3) .

Лемма 5.6. В случаях, перечисленных в теореме 5.13, рационализация дифференциальных биномов проводится с помощью следующих подстановок:

1)    если p ∈ , то x = t^l , где l — наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) если p ,  ∈ , то a + bxⁿ = t^s, где s — знаменатель Дроби p;

2). Пусть p , нo и p = . Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом

x^m(а + bxⁿ)^p =x^m-n+1(а+bxⁿ)^px^n-1,

и положим а + bxⁿ = t^s. Тогда x^n-1 dx = t^s-1dt и

,

где R₁ (t) — рациональная функция от t, так как

 целое число.

Следовательно, первообразная подынтегральной функции является элементарной функцией.

3). Пусть , , но и p = . Запишем подынтегральную функцию в виде

x^m(а+bxⁿ)^p = x^m+np(аx^-n +b)^p.

Тогда интеграл x^m+np(аx^-n+ b)^p dx удовлетворяет условию пункта 2), и, следовательно, является элементарной функцией.

, здесь m = -1/2, n = 1/3, p = -2 ∈ , НОК(2, 3) = 6, поэтому положим x = t⁶ и получим

.

Заметим, что при вычислении интеграла  был использован результат примера 10.

Пример №81

Вычислить интеграл .

Так как , то m = -1/2, n = 1/4, p =    1/3   ,    (m+    1)/n = 2 ∈ . Применим подстановку 1+ x^1/4    =  t³,    тогда x = (t³ — 1)⁴, dx = 12t²(t³ — 1)³ dt, и

.

Пример №82

Вычислить интеграл .

Так как , то m = 0, n = 4, p = — ∈ . Тогда = . Поэтому применим подстановку 1 +x^-4 = t⁴ и получим, что

.

Прежде, чем сделать подстановку, преобразуем подынтегральную функцию к виду (1 + x⁴)^-1/4 = x^-1(x^-4 + 1)^-1/4. Тогда

.

Интегрирование тригонометрических функций

Лемма 5.7. Функции вида R(sin x, cos x), где R(u, v) — рациональная функция от u и v , интегрируются в элементарных функциях.

Подстановка tg = t, x ∈ (—π, π) рационализирует выражение 
R(sin x, cos x) dx,

так как

.

Поэтому  , где R₁ (t) — рациональная функция от t. Следовательно, рассматриваемая функция интегрируется в элементарных функциях.

Подстановка tg = t называется универсальной тригонометрической подстановкой для интегралов вида R(sin x, cos x) dx.

Однако универсальная тригонометрическая подстановка приводит иной раз к сложным выкладкам. Рассмотрим частные случаи, когда цель может достигаться с помощью более простых подстановок. Напомним следующие простые результаты из курса алгебры. Если рациональная функция R(u, v) является нечетной по переменной u, то есть R(-u, v) = -R(u, v), то она приводится к виду R(u, v) = u R₁(u₂, v), где R₁ — рациональная функция. Аналогичное представление имеет место, если функция R(u, v) является нечетной по переменной v. Если же рациональная функция R(u, v) является четной по совокупности переменных, то есть R(-u, -v) = R(u, v), то она приводится к виду R(u,v) = R₂(-,v₂), где R₂ — рациональная функция.

Теперь выделим три специальных подстановки.

1.    Если R(- sin x, cos x) = -R(sin x, cos x), то подстановка cosx = t рационализирует выражение R(sin x, cos x) dx, так как dt = — sinx dx и

R(sin x,cos x)dx= sin x R₁(sin²x,cos x)dx=

= —R₁(1 — t², t)dt=R₂(t)dt,

где R₂(t) — рациональная функция от t.

2.    Если R(sin x, — cos x) = -R(sin x, cos x), то аналогичным образом подстановка sin x = t рационализирует выражение R(sin x, cos x) dx.

3.    Если R(- sin x, — cos x) = R(sin x, cos x), то исходное выражение рационализирует подстановка tg x = t, x ∈ (—π/2, π/2), так как тогда x = arctg t, dx =

 Поэтому

где R₄ (t) — рациональная функция от t.

Рассмотрим примеры интегрирования в элементарных функциях рациональных функций от sin x и cos x.

Пример №83

Вычислить интеграл .

Выполним подстановку , x ∈ (—π/2 , π/2) и получим

Пример №84

Вычислить интеграл 

Так как R(- sin x, cos x) = — sin⁵ x cos⁴ x = -R(sin x, cos x), полагая cos x = t, получим

.

Пример №85

Вычислить интеграл 

Так как R(- sin x, — cos x) = =R(sin x, cos x), то положим tg x = t и получим

 

.

Иногда при вычислении интегралов указанного типа бывает полезно прибегать к другим искусственным приемам, используя известные тригонометрические формулы.

Пример №86

Вычислить интеграл .

.

При вычислении интегралов вида  sin αx cos βx dx, используются формулы:

,

,

.

Интегралы вида
sin^m x cosⁿ x dx, m, n ∈ ,    (5.21)
с помощью подстановок sin x = t или cos x = t сводятся к интегралам от дифференциального бинома. Например, выполняя в этом интеграле замену sin x = t, получаем, что dt = cos x dx и

sin^mxcosⁿx dx=±  t^m(1 — t²)^(n—1)/2 dt.

Если m и n — целые неотрицательные четные числа, то для вычисления интегралов вида (5.21) используют формулы понижения степени

, .

Пример №87

Вычислить интеграл sin² x cos⁴ x dx.

.

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение 8.1. Функция называется первообразной функции на промежутке I, если для всех существует (в концах промежутка, если они принадлежат ему, производная предполагается односторонней).

Функции считаются, вообще говоря, комплекснозначными функциями действительной переменной Если существенно, что принимают действительные значения, это будет специально оговариваться.

По следствию из теоремы 4.15, если непрерывны на промежутке I и во всех внутренних точках промежутка во всех точках где С — постоянная. Утверждение это сохраняется и для комплекснозначных функций, если постоянную С считать комплексной (постоянны в отдельности значит, и вся функция ). Значит, все первообразные одной и той же функции на данном промежутке отличаются друг от друга на постоянную.

Определение 8.2. Множество всех первообразных функции на промежутке I называется неопределённым интегралом от на этом промежутке. Применяется обозначение 
Символ в конце этой записи, строго говоря, не является дифференциалом. Он играет ту же роль, что и твёрдый знак в конце слова в старой русской орфографии. Его можно не писать, и ничего при этом не изменится. Но если этот символ чисто формально воспринимать как дифференциал, то возникают удобства при проведении некоторых действий с неопределёнными (а позже и с определёнными) интегралами, например, при интегрировании подстановкой. Поэтому мы будем придерживаться этой исторически сложившейся символики.

Применяются записи типа (правильнее было бы писать Отметим также, что на промежутке и   на промежутке . Эти две записи объединяются одной формулой Понимать её нужно так:

(неопределённый интеграл вводится только для промежутка, для простоты применяется единая запись для двух промежутков сразу).

Аналогично,  (своя постоянная на каждом из двух промежутков  (своя постоянная на каждом из промежутков и т.д.

Приведём так называемые табличные интегралы, которые являются обращением формул дифференцирования:

(последние два интеграла соответствуют стандартным формулам дифференцирования, если в общем случае легко произвести проверку дифференцированием правой части). Все приведённые формулы справедливы на каждом промежутке области определения подынтегральной функции.

Приведём пример вычисления интеграла с применением комплекснозначных функций действительной переменной.

Пример №88

Вычислить  где

Из примера 7.6 следует, что

где Тогда

(в последних двух случаях, строго говоря, нужно писать и — действительная и мнимая части комплексной постоянной С, но на практике постоянная всегда обозначается С, независимо от её происхождения).  

Можно производить переобозначения постоянных для упрощения записи постоянного выражения, которое всё равно принимает произвольные действительные или комплексные значения; можно выражения типа и т.д. обозначать просто С (если только старое значение С нигде больше не встречается). Например, при

Обозначим через С (всё равно это произвольная постоянная), получим

(что и так ясно, потому что Аналогично,

Пример №89

Вычислить  

Легко видеть, что поэтому

С другой стороны, так как то, обозначив через получим

Основные приёмы интегрирования

Теорема 8.1 (линейность неопределённого интеграла). Если на промежутке I, то

где

Так как во всех точках промежутка

Примеры:

Теорема 8.2 (интегрирование по частям). Пусть функции дифференцируемы на промежутке I. Тогда

(из существования одного из интегралов следует существование другого и выполнение равенства (8.1), обе части этого par венства определены с точностью до прибавления произвольной постоянной).

Из формулы производной произведения двух функций следует, что при всех

Так как то из (8.2) следует доказательство теоремы. 

Символически теорема 8.2 записывается так:

Здесь удобна запись интеграла с в конце, так как для дифференциалов

Пример №90

Вычислить

Положим Тогда можно взять и

Пример №91

Вычислить

Положим Тогда можно

взять и

Заметим, что мы ищем как некоторую функцию такую, что известна; фактически приходится брать интеграл от «части» всей подынтегральной функции (отсюда и термин «интегрирование по частям»).

Теорема 8.3 (интегрирование подстановкой, или замена переменной в неопределённом интеграле). Пусть на промежутке I, а функция дифференцируема на промежутке J таком, что Тогда на промежутке J (эта теорема имеет место для действительнозначных функций).

Функция F дифференцируема на промежутке I, причём для всех функция дифференцируема на промежутке J. Тогда по формуле производной сложной функции (для комплекснозначных дифференцируемых функций значения внутренней функции комплексны, и формула эта не работает):

 откуда следует доказательство теоремы.   

Пример №92

Из формулы следует, что  Пользуясь теоремой 8.3, получим отсюда табличный интеграл Сделаем замену  Тогда

Аналогично, обращая формулу производной функции после замены можно получить табличный интеграл

В теореме о замене переменной формальный символ преобразуется формально в , что соответствует формуле для дифференциала. Этим в первую очередь и объясняется удобство символа в записи для неопределенного интеграла.

Пример №93

Вычислить

Так как то можно сделать замену где 

(здесь мы воспользовались тем, что , и затем применили равенство из примера 8.3). При замене переменной в неопределённом интеграле нужно возвращаться к старой переменной (искомые первообразные — функции от ). Так как  то

Пример №94

Вычислить

Сделаем замену (подстановка Эйлера). Для аккуратного применения теоремы 8.3 нужно выразить х через t. Так как то равенство равносильно откуда легко получить  

Тогда

Этот интеграл обычно называется «длинным логарифмом». Полученное равенство легко проверить дифференцированием функции

Пример №95

Вычислить

Сделав ту же замену, что в примере 8.8, получим

Так как то

Интегралы из примеров 8.7-8.9 принято считать табличными.

Интегрирование рациональных дробей

Пример №96

Вычислить 
В примере 7.9 показано, что 

Интегралы после замен соответственно превращаются в табличный интеграл  поэтому

Этот интеграл принято считать табличным. Он обычно называется «высоким логарифмом».    

В примере 8.10 мы разложили рациональную дробь  в сумму простейших дробей, проинтегрировать каждую из которых не представило труда. Так как любая правильная рациональная дробь раскладывается в сумму простейших дробей (теорема 7.5), то для интегрирования правильной дроби достаточно научиться интегрировать простейшие дроби. А неправильная дробь после деления с остатком числителя на знаменатель представляется в виде суммы многочлена и правильной дроби, так что таким образом мы сможем проинтегрировать любую рациональную дробь. Принято различать 4 типа простейших дробей.

1) После замены имеем

2) После замены  имеем 

3)

Выделим в знаменателе полный квадрат:  Тогда сделаем замену 

где первом из слагаемых сделаем замену

(модуль не нужен, так как ). Второе слагаемое в (8.3) — табличный интеграл. Возвращаясь к старой переменной, получим

4) Аналогично случаю дроби 3-го типа выделим в знаменателе полный квадрат и сделаем замену Тогда

где  В первом из слагаемых сделаем замену откуда, как и в случае дроби 3-го типа,

Во втором слагаемом в (8.4) сделаем замену где Тогда

Но при любом чётном показателе степени  …) величина есть линейная комбинация функций 1, интегралы от которых легко берутся. Докажем существование такого разложения методом индукции. При имеем: Пусть утверждение верно для фиксированного , т.е.

Тогда

Остаётся воспользоваться тем, что

и нужное разложение будет получено для значения Выписать явно такое разложение и, следовательно, выписать в общем случае искомый интеграл не представляется возможным; доказана лишь возможность интегрирования в каждом конкретном случае.

Пример №97

Вычислить

После замены получим

(выкладки были проведены выше в общем случае, сейчас ). Так как

Окончательно

Пример №98

Вычислить 

Разложение дроби в сумму простейших найдено в примере 7.9. Тогда

Интеграл в первом слагаемом равен Во втором слагаемом сделаем замену Тогда

Окончательно

Пример №99

Вычислить 

Сделаем замену тогда и

Последний пример показывает, что, хотя алгоритмический способ интегрирования правильной дроби разложением в сумму простейших всегда приведёт к цели, но в каждом конкретном случае возможно более простое решение. В примере 8.13 решение алгоритмическим способом было бы чрезвычайно громоздким.

Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций

Во второй части курса (глава XII) будет доказано, что любая непрерывная на промежутке функция имеет первообразную. Но не всегда эта первообразная выражается через известные нам элементарные функции. Если первообразная не является суперпозицией элементарных функций, то говорят, что интеграл не берётся. Примерами неберущихся интегралов являются и т.д. В §3 было установлено, что интеграл от рациональной функции обязательно берётся, и был указан алгоритмический способ нахождения таких интегралов. Сейчас мы укажем некоторые классы иррациональных функций, первообразные от которых являются суперпозициями элементарных функций, и укажем алгоритмические способы нахождения этих интегралов (опять-таки в каждом конкретном случае возможны более простые и красивые способы решения).

Будем обозначать через выражение, полученное из и постоянных при помощи арифметических действий — сложения, умножения и деления («рациональная функция от ).

Пусть т.е. дроби приведены к общему знаменателю. Сделаем замену Тогда интеграл примет вид Так как производная от рациональной функции одной переменной также является рациональной функцией, то интеграл свёлся к интегралу от рациональной функции; значит, он берётся.

Пример №100

Вычислить

Так как то общий алгоритм рекомендует сделать замену Интеграл примет вид Полученная дробь является неправильной. Разделим с остатком числитель на знаменатель:

после этого получим

где (делать явно подстановку в ответ вряд ли имеет смысл).    ■

II.  («интеграл от дифференциального бинома»).

Сделаем замену Тогда Интеграл примет вид

где  Можно доказать (это сделал русский математик П.Л. Чебышёв в XIX в.), что интеграл этот берётся тогда и только тогда, когда выполняется одно из трёх условий.

а)  в этом случае имеем — интеграл берётся методом, изложенным в п. I.

б)  в этом случае имеем — интеграл берётся методом, изложенным в п. I.

в)  в этом случае интеграл преобразуется к виду  — берётся методом, изложенным в п. I.

Пример №101

Вычислить 

После замены интеграл примет вид
(т.е. это случай в); Переписав интеграл в виде сделаем замену Интеграл свёлся к интегралу от рациональной функции

Мы уже вычисляли очень похожий интеграл (пример 8.12). Аналогично получим

где

Ш.

а) Если и интерес представляет лишь случай (иначе определен в единственной точке и нет промежутка, на котором можно рассматривать первообразную; все рассматриваемые функции должны быть действительнозначными, иначе возникают проблемы, с которыми нам справиться пока затруднительно). Тогда подынтегральная функция является рациональной на каждом из промежутков

б) Если  и если (знак + или — зависит от промежутка, на котором рассматривается первообразная). Тогда интеграл примет вид который сводится к интегралу от рациональной функции заменой  Если  то и применяется замена

в) Если то интерес представляет лишь случай (иначе при всех ). Тогда рекомендуются подстановки Эйлера  (годится любая комбинация знаков). При помощи такой подстановки вычислялись интегралы в примерах 8.8 и 8.9.

IV.

Алгоритмическим (но, как правило, далеко не самым удобным) способом вычисления такого интеграла является универсальная тригонометрическая подстановка Тогда  (последнее равенство можно формально получить из соотношения но здесь возникает проблема с промежутком, на котором изменяется х, поэтому лучше действовать так:

Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции.

Пример №102

Вычислить 

После универсальной подстановки интеграл примет вид

где

В некоторых случаях рекомендуются другие подстановки. Например, если то применяется замена то применяется замена
то применяется замена

V.

После замены интеграл приводится к виду т.е. к интегралу от рациональной функции.

Пример №103

Вычислить

После замены интеграл приведётся к виду

Рациональная функция под знаком интеграла раскладывается на простейшие дроби так: Приводя к общему знаменателю, имеем

Подставляя получим А = 1. Подставляя получим С = —2. Приравнивая коэффициенты при , получим откуда В = 0. Интеграл примет вид

Все очень просто. Глядим на эту картинку:

Слева от знака равно находится то, что тебе дано изначально. Функция1 — это функция, зависящая от х. Функция2 — это то, что тебе нужно получить из функции1 путем математических манипуляций. Получил? Молодец, даже инспектор Гаджет не справился бы лучше. Теперь прибавь к этому буковку «С» и ответ готов. Тебе не нужно знать, что такое dx, что такое С и вообще теорию интегралов, тебе достаточно знать правила преобразования функции1 в функцию2, чтобы получить 2 на контрольной. И в этом посте я дам тебе такие правила.

Теперь смотрим на эту картинку:

Тебе всего лишь нужно привести функцию1 к какому-нибудь пункту из этой таблицы. А дальше просто смотришь в нее и пишешь ответ. И «С» не забудь.

Готов к потере интегральной девственности? Вот первый пример:

Запоминаем:

Применяя оба правила на практике получаем:

Для решения первых двух интегралов используем пункт 3 из таблицы. Вместо n нужно подставить соответствующие значения (n=2 для первого случая, n=1 для второго). Для третьего интеграла — пункт 2 из таблицы. И получается вот что:

Сейчас мы этот интеграл почленно делить будем. Вот:

Ну первый интеграл ты знаешь как решать, если не анимешник. Второй интеграл — табличный, пункт 4. А теперь самостоятельная работа. Закончи пример и дай ответ.

Молодец, что не забыл С. Идем дальше.

Вообще-то интеграла от sin2x в таблице нет. Придется делать замену переменной. А для этого придется все-таки узнать, что такое dx.

Обзовем 2x как u. А теперь магия: du=2dx, значит dx =1/2du. Кто не понял, я просто взял производную по х от u и приписал в конце dx. Подставляем всю эту хрень в исходный интеграл и получаем:

А это, дамы и господа, база под номером 7 в списке баз. Получив косинус и вернув х вместо u, получаем базированный ответ:

Изучим решение интегралов по частям (по-Питерски).

Применять данный метод надо, когда у нас произведение двух разных функций под интегралом. Пример:

U это х, а dv это sin(x)dx. Теперь нужно найти du и v, чтобы у нас были все элементы формулы. Раз u=x, то du=dx. Если dv=sin(x)dx, то v=-cos(x) (это я небольшой интегральчик взял). Подставляем в формулу выше:

Ну интеграл от косинуса ты знаешь где искать. Окончательный ответ:

Готов к полному пиздецу?

Применим метод, который в нашей семье передается из поколения в поколение — метод неопределенных коэффициентов. Бачим сюда:

Ловко, да? Все, что нам нужно — это найти эти а, б и с. Дальше интеграл распадется на три табличных.

Теперь можно и сократить знаменатели.

Надо раскрыть скобки.

Ну тут даже камню понятно, что: а+б+с=1; 5а+2б+с=-19; 6а-3б-2с=6. Решается оно так:

Ну а теперь:

Глядим на пункт 4 в таблице и получаем (если что dx и d(x+3) это одно и тоже):

Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы не обосраться на первой контрольной и слегка обосраться на второй.

Задача дифференциального исчисления – нахождение производной от заданной функции y = f (x). Задача интегрального исчисления противоположная: нужно определить функцию, производная от которой известна. Фундаментальными понятиями интегрального исчисления является понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Понятие неопределенного интеграла

Пусть функция FF – первоначальная для ff на JJ.

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от функции ff называется совокупность всех первообразных этой функции, то есть выражение

∫f(x)dx=F(x) +C,x∈J,int{f(x)dx}=F(x)text{ }+C,xin J,

где C∈RC ∈ R – произвольная постоянная.

Функция ff называется подынтегральной функцией, f(x)dxf (x) dx – подынтегральное выражение, CC – постоянной интегрирования, xx – переменной интегрирования.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл – это совокупность (семья) линий F(x)+CF (x) + C:

Неопределенным интегралом от функции f(x)=2xf (x) = 2x является совокупность ее первоначальных x2+Cx^2 + C, где CC – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

Из определения первоначальной и неопределенного интеграла вытекают следующие свойства (при условии существования первообразныхи производных на интервале JJ):

1. ddx∫f(x)dx=f(x),x∈Jfrac{d}{dx}int{f(x)}dx=f(x),xin J;
2. ∫f′(x)dx=f(x),x∈Jint{{f}'(x)}dx=f(x),xin J;
3. ∀α∈R,α≠0:∫αf(x)dx=α∫f(x)dx,x∈Jforall alpha in R,alpha ne 0:int{alpha f(x)}dx=alpha int{f(x)}dx,xin J;
4. ∫(f1(x)+f2(x))dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx,x∈J.int{({{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x))}dx=int{{{f}_{1}}(x)}dx+int{{{f}_{2}}(x)}dx,xin J.

Методы вычисления неопределенных интегралов

Для вычисления неопределенных интегралов используются
• Таблица основных формул интегрирования
• Метод подстановки (или формула замены переменной)
• Метод интегрирования по частям

Таблица основных интегралов

Метод подстановки (замены переменной)

Этот метод включает два приема.

a) Если для нахождения заданного интеграла ∫f(x)dx∫f(x)dx сделать подстановку x=φ(t)x = φ(t), тогда имеет место равенство: ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ˙(t)dt∫f(x)dx = ∫f[φ(t)]φ˙(t)d t

После нахождения последнего интеграла надо вернуться к исходной переменной интегрирования х. Для применения этого приема нужно, чтобы функция х−φ(t)х — φ (t) имела обратную t=ψ(х)t = ψ (х).

б) Если сделать замену переменной, то есть t=φ(x)t = φ (x), тогда имеет место равенство: ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f(t)dt∫ f[φ(x)]φ'(x)dx = ∫f(t)dt

После нахождения последнего интеграла надо вернуться к переменной х, используя равенство t=φ(х)t = φ (х).

Пример 1

Найти интеграл
I=∫x2dx25−x2I=int{frac{{{x}^{2}}dx}{sqrt{25-{{x}^{2}}}}}

Решение

Сделаем подстановку x=5sintx = 5 sin t, тогда

Таким образом, получим

I=∫25sin⁡2t⋅5cos⁡tdt5cos⁡t=25∫sin⁡2tdt=2512∫(1−cos2t)dt=252(∫dt−∫cos⁡2tdt)=252t−254sin⁡2t+CI=int{frac{25{{sin }^{2}}tcdot 5cos tdt}{5cos t}}=25int{{{sin }^{2}}t}dt=25frac{1}{2}int{(1-cos2t)}dt=frac{25}{2}(int{dt-int{cos 2tdt}})=frac{25}{2}t-frac{25}{4}sin 2t+C

Из равенства x=5sintx = 5sint получим t=arcsin(x/5)t = arcsin(x/5);

sin2t=2sint⋅cost=2×5⋅1525−x2sin2t=2sintcdot cost=frac{2x}{5}cdot frac{1}{5}sqrt{25-{{x}^{2}}}

Итак,

I=252arcsin⁡x5−x225−x2+CI=frac{25}{2}arcsin frac{x}{5}-frac{x}{2}sqrt{25-{{x}^{2}}}+C

Метод интегрирования по частям

Этот метод применяется тогда, когда под интегралом находится произведение функций, и хотя бы одна из них является трансцендентной (не степенной).
Пусть uu и vv – некоторые функции xx, то есть u=u(x)u = u (x), v=v(x)v = v (x)

Рассмотрим дифференциал произведения этих функций.

d(uv)=udv+vdud (u v) = u dv + v du

Интегрируя обе части равенства, получим ∫d(u⋅v)=∫udv+∫vdu∫ d(u ⋅ v) = ∫ u dv + ∫ v du

Отсюда, учитывая свойство неопределенного интеграла, имеем

u⋅v=∫udv+∫vduu ⋅ v = ∫ u dv + ∫ v du

Итак, получили формулу ∫udv=uv−∫vdu∫ u d v = u v — ∫ v du, которую называют формулой интегрирования по частям.

Эта формула позволяет свести поиск интеграла ∫∫ u dvdv.

Пример 2

Найти ∫lnxdx∫ lnx dx
Решение. Пусть u=lnxu = lnx,$ v=xv = x, dv=dxdv = dx, du/dx=d(lnx)/dx=1/xdu / dx = d (ln x) / dx = 1 / x, du=d(lnx)=dx/xdu = d (ln x) = dx / x.
По формуле интегрирования по частям получим:

∫ln⁡xdx=xln⁡x−∫dx=xln⁡x−x+Cint{ln xdx}=xln x-int{dx=xln x-x+C}.

Тест по теме «Вычисление неопределенного интеграла»

Простое объяснение принципов решения неопределенных интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.