Как найти неизвестное расстояние между а б

Из пункта А в пункт Б и из пункта Б в пункт А одновременно вышли два пешехода через какое-то время они встретились на расстоянии n от пункта Б, не останавливаясь они продолжили путь и каждый дошёл до конечного пункта своего путешествия, после чего путники не останавливаясь развернулись и пошли обратно. На обратном пути они встретились на расстоянии m от пункта А. Исходя из этих условий надо узнать расстояние между пунктами А и Б.

Пусть АВ=Х.

Скорость первого — а

Скорость второго-в.

Время от начала до первой встречи — с.

х-п=ас

п=вс.

Сложим эти равенства:

х=(а+в)с

Время от первой встречи до второй-Н

п+х-m=ан

х-п+m=вн.

Сложим 2 последних равенства : 2х=(а+в)н

То есть время н в 2 раза больше времени с, то есть:

х-п+m=2n

n+x-m=2x-2n отсюда :

х=3п-m

Вот такая формула для х в зависимости от n и m

X=3N-m

1)AB=3*5-4=11

2)AB=3*4-5=7

3)AB=3*4,5-4,5=9

А если оперировать не массой букв, а числами. Сразу оговорюсь: одинаковые скорости я своим героям давать не буду, так неинтересно. Я дам имена героям. Например, из пункта «А» в пункт «Б» вышел Алексей он шёл со скоростью 4 км/час. А навстречу ему вышел Борис из пункта «Б» в «А» со скоростью 5 км/час. А всё расстояние, я для удобства восприятия, сделаю 9 км.

Тут даже без вычислений ясно, что их точка встречи относительно «А» будет на расстоянии 4 км. Это точка «п».

Дальше начнётся самое интересное. Алексею до конца пути точки Б требуется пройти 5 км. со скоростью 5/4 часа. Оставлю дроби пока так удобнее.

А Борису до точки А 4/5 часа со скоростью 5 км.

Но я всё меряю относительно точки А. Алексей дошёл до точки Б затратив 9/4 часа.

А Борис затратив тоже самое время дошёл до точки А и повернул назад с прежней скоростью. На сколько Борис продвинулся от точки А? 5/4 = 1,25; 4/5 = 0,8 Считаю:

5*(1,25 — 0,8) = 5*0,45 = 2,25 км. Расстояние между ними стало меньше. На сколько?

9 — 2,25 = 6,75 км. Через сколько времени они встретятся? Считаю:

6,75/(4 + 5) = 6,75/9 = 0,75 часа.

Но я-то считаю относительно точка А Теперь уже со стороны Бориса. А сколько он прошёл до встречи? Считаю:

2,25 + 5*0,75 = 2,25 + 3,75 = 6 км. Значит точка м находится на расстоянии 6 км. от точки А.

Проверка:

Алексей повернул назад и затратил тоже 0,75 часа. Сколько он прошёл до встречи с Борисом? Считаю:

4*0,75 = 3 км.

9 — 3 = 6. Всё сходится.

А если взять другие числа? Бабушка Анна идёт со скоростью 1 км/час с отдыхом с остановками, но такова её средняя скорость. А Борис по-прежнему 5 км/час. И путь оставлю прежний. Считаю расстояние от А место до места встречи:

9/(1 + 5) = 1,5 часа.

Бабушка прошла 1,5 км.

А Борис 5*1,5 = 7,5 км.

Точка «п» находится относительно А на расстоянии 1,5 км.

Когда они встретятся во второй раз? Тут возникает парадокс. Борис обгонит её. Пройдёт весь путь, повернёт ещё раз назад и они снова встретятся в третий раз. Точкой «м» нельзя считать, так как он её догнал. Это будет точка «р». Сначала считаю, время за какое он достиг пункта А.

1,5/5 = 0,3 часа.

Бабушка за это время прошла 1,5 + 0,3 = 1,8 км. Через сколько времени Борис её нагонит? И на каком расстоянии? Считаю:

За «х» принимаю время.

х + 1,8 = 5х.

4х = 1,8.

х = 0,45 часа.

Проверка:

Бабушка пройдёт 1,8 + 0,45 = 2,25 км.

Борис пройдёт 5*0,45 = 2,25 км. На таком расстоянии Борис догонит бабушку. Сходится. Это точка р = 2,25 км.

Теперь считаю сколько неутомимому Борису требуется времени чтобы вернуться в точку Б.

(9 — 2,25)/5 = 6,75/5 = 1,35 часа.

За это время Бабушка прошла 2,25 + 1,35 = 3,6 км. Между ними расстояние стало:

9 — 3,6 = 5,4 км. Когда они наконец встретятся? Считаю:

5,4/(1 + 5) = 5,4/6 = 0,9 часа.

Бабушка прошла 3,6 + 0,9 = 4,5 км. Это и будет точка «п».

Бабушка развернулась, и пошла домой. Конец квеста.

Каким образом узнать расстояние от А до Б, относительно букв «п, м, р»? Я не знаю. Но с числами я всё показала.

Даю другой ответ.

Поскольку сомнения вызывают только варианты б) в) и г), пересмотрю лишь их.

б) Пусть скорость пешехода А в два раза больше скорости пешехода Б, вот маркированный маршрут, каждая цифра — равный отрезок пути:

А123456Б,

б0) пешеход А стоит перед точкой 1, пешеход Б стоит перед точкой 6,

б1) пешеход А проходит четыре отрезка 1, 2, 3 и 4, и оказывается перед точкой 5,

пешеход Б проходит два отрезка 6 и 5 и оказывается перед точкой 4, таким образом они встречаются в точке (В1):

А1234(В1)56Б,

расстояние БВ1 = n = 2,

б2) пешеход А опять проходит четыре отрезка, сначала пройдя два отрезка 5 и 6, оказывается в точке Б, а затем, пройдя ещё два отрезка 6 и 5, оказывается в точке (В1),

пешеход Б проходит два отрезка 4 и 3, и оказывается в точке (П1):

А12(П1)34(В1)56Б,

б3) пешеход А проходит четыре отрезка 4, 3, 2 и 1, и оказывается в точке А,

пешеход Б проходит два отрезка 2 и 1, и оказывается тоже в точке А, это их вторая встреча, причём точка (В2) = А, таким образом, АВ2 = m = 0,

а всё расстояние АВ = 3n.

в) Пусть скорость пешехода А в полтора раза выше скорости пешехода Б (три отрезка против двух отрезков):

А12345Б,

в1) пешеход А проходит три отрезка 1, 2 и 3, и оказывается между 3 и 4 отрезками, в точке (В1),

пешеход Б проходит два отрезка 5 и 4, и оказывается там же, таким образом БВ1 = n = 2,

А123(В1)45Б,

в2) пешеход А проходит ещё три отрезка, сначала два отрезка 4 и 5, оказавшись в точке Б, а затем ещё один отрезок, оказавшись в точке (П1),

пешеход Б проходит два отрезка 3 и 2, оказавшись в точке (П2):

А1(П2)234(П1)5Б,

в3) пешеход А проходит три отрезка 4, 3 и 2, оказавшись в точке (П2),

пешеход Б проходит два отрезка, сначала отрезок 1, оказавшись в точке А, а затем ещё отрезок 1, оказавшись тоже в точке П2, таким образом точка П2 стала второй точкой их встречи (В2)

А1(В2)23(В1)45Б,

при этом АВ1 = м = 1,

а расстояние АБ = м + 2n,

г) Пусть скорость пешехода А медленнее скорости пешехода Б (два отрезка против трёх):

А12345Б,

г1) пешеход А проходит два отрезка 1 и 2, оказавшись в точке В1,

пешеход Б проходит три отрезка 5, 4 и 3, оказавшись там же:

А12(В1)345Б,

таким образом, БВ1 = n = 3,

г2) пешеход А проходит два отрезка 3 и 4 и оказывается в точке (П1),

пешеход Б проходит три отрезка, сначала 2 и 1, а потом ещё отрезок 1 и оказывается в точке (П2)

А1(П2)234(П1)5Б,

г3) пешеход А проходит два отрезка, сначала отрезок 5, потом опять его же и оказывается в точке (П1),

пешеход Б проходит три участка 2, 3 и 4, и оказывается тоже в почке П1, которая и будет второй точкой их встречи В2:

А1234(В1)5Б,

таким образом, длина отрезка АВ2 = m = 4,

а вся длина АБ = n + m/2,

д) Пусть скорость пешехода Б в два раза больше скорости пешехода А (четыре против двух отрезков):

А123456Б,

д1) пешеход А проходит два отрезка и оказывается в точке В1,

пешеход Б проходит четыре отрезка и оказывается в тоже в точке В1:

А12(В1)3456Б,

таким образом БВ1 = n = 4,

д2) пешеход А проходит два отрезка и оказывается в точке П1,

пешеход Б проходит четыре отрезка и оказывается в точке П2:

А12(П2)34(П1)56Б,

д3) пешеход А проходит два отрезка и оказывается в точке Б,

пешеход Б проходит четыре отрезка и оказывается там же, таким образом, точка Б есть место их второй встречи, длина отрезка АВ2 = m = 5,

а длина всего отрезка АБ = m + 0, при этом n не используется.

Я рассмотрел только несколько вариантов, в других раскладах, как мне кажется, может быть иное соотношение.

И как вывести общую формулу расчёта длины АБ через n и m?

Здесь слишком много переменных. Как их уменьшить?

Путь я принимаю за «S»

Скорость пешехода, вышедшего из пункта А за «а», а скорость пешехода, вышедшего из пункта Б за «б», но «б» выражу через «а», а = бх. «Х» — это коэффициент во сколько раз скорость «а» больше или меньше скорости «б». Средняя скорость пешехода 5 км/час. Минимальная 4, а максимальная 6. Отсюда какой вывод? 5/4 = 1,25 — это минимум, а 4/5 = 0,8 это максимум. Для чего это? Чтобы не возникло парадоксов при слишком маленьких расстояниях, типа: «неутомимый Борис». Исходя из этого 0,8 < х < 1,25. Время будет «в». Тогда:

S = а^х*в. Точка «п» ближе к А если х =< 0,8 или дальше от А ближе к Б, если х =< 1,25.

п = в*(S + х)/(а + ах). Надо избавиться от знаменателя (а + ах) = а(1 + х):

па(1 + х) = в(S + х).

па + пах = вS + вх. Если х = 1, то получится:

2па = в(S + 1), тогда п = м

Точку «м» можно вычислить, но у меня произошёл взрыв мозга, поэтому, что дальше с этими буквами делать я думаю толку не будет. Числовые значения неравенств ничего не дадут. При том, что «х» может принимать отрицательные значения.

а) Допустим, что скорости пешеходом одинаковые, тогда точки их встреч (В1 и В2) совпадут и будут обе располагаться на середине отрезка AB, то есть n = m:

А——-В1/В2——-Б,

а вся длина АБ будет равна n + m, соответственно;

б) Допустим, например, что пешеход, вышедший из точки А движется быстрее пешехода, вышедшего из точки Б, для простоты, пусть в два раза быстрее, тогда первая их встреча произойдёт в точке В1, при этом БВ1 = n и БВ1 < АВ1:

А—-В1—Б,

а вторая их встреча произойдёт уже в точке В2, при этом АВ2 = m и АВ2 = БВ1, то есть, опять n = m:

А—В2—В1—Б,

а тут уже, как нам видно, длина отрезка АБ никак не равна сумме БВ1 + АВ2 (n + m), а равна:

n + m + m = n + 2m,

или:

n + m + n = m + 2n;

в) Допустим, например, что пешеход, вышедший из точки А движется быстрее пешехода, вышедшего из точки Б, пусть теперь в полтора раза быстрее, тогда первая их встреча произойдёт в точке В1, при этом БВ1 = n и БВ1 < АВ1:

А——В1—-Б,

а вторая их встреча произойдёт уже в точке В2, при этом АВ2 = m:

А—В2—-В1—-Б,

а тут уже, как нам видно, длина отрезка АБ никак не равна сумме БВ1 + АВ2 (n + m), а равна:

n + m + n = m + 2n, хотя по-прежнему n = m;

г) Допустив обратную случаю в) ситуацию, то есть, пешеход, вышедший из точки А шёл в полтора раза медленнее, получаем, обратный результат:

А—-В1—В2—-Б,

а тогда длина АБ = n + m/2, опять таки, при n = n;

Как видно, только знаний про расстояния n и m недостаточно для однозначного решения задачи.

Я сделал так.

Условие задачи я чётко выполнил — после первой встречи каждый обязательно доходит до противоположного пункта, потом разворачиваются и идут до второй встречи.

Я взял для всех случаев фиксированное расстояние АБ, равное 10км, затем, в первом варианте допустил скорость А меньше, чем скорость Б.

В итоге получаю я такую таблицу, рассчитанную в Экселе с точностью до метра (скорость в км/ч, расстояние в км):

Скорость А — скорость Б — n — m:

5.500 — 6.000 — 5.217 — 5.652,

5.000 — 6.000 — 5.455 — 6.364,

4.500 — 6.000 — 5.714 — 7.143,

4.000 — 6.000 — 6.000 — 8.000,

3.000 — 6.000 — 6.667 — 10.000,

4.000 — 5.000 — 5.556 — 6.667,

3.000 — 5.000 — 6.250 — 8.750,

3.000 — 4.000 — 5.714 — 7.143,

и тут работает формула, которую предложил Евген­ий трохо­в, АБ = 3n — m

А теперь я рассмотрел ситуацию, когда скорость А больше скорости Б.

Скорость А — скорость Б — n — m:

6.000 — 5.500 — 4.783 — 5.652,

6.000 — 5.000 — 4.545 — 6.364,

6.000 — 4.500 — 4.286 — 7.143,

6.000 — 4.000 — 4.000 — 8.000,

6.000 — 3.500 — 3.684 — 8.947,

6.000 — 3.000 — 3.333 — 10.000,

5.000 — 4.000 — 4.444 — 6.667,

5.000 — 4.500 — 4.737 — 6.667,

5.000 — 3.000 — 3.750 — 5.789,

и вот тут-то я не знаю, по какой формуле вычислять АБ. Что-то ничего в голову не приходит.

Я думаю, что здесь решение простейшее. Один идет немного быстрее другого. Поэтому они встретились в некоей точке n с расстоянием до В. А когда шли назад встретились в другой точке m с расстоянием до А. У нас лишь два расстояния, с которыми мы можем манипулировать. Никаких других условий я не вижу. (Если кто подскажет, буду благодарен). А из того, что вижу решение самое простое.

АВ=m+n.

А какая разница, где они встречались?

Для определения расстояния между А и Б,

вполне достаточно одного персонажа,

другое дело, если искать расстояния A-n,

A-m, Б-n, Б-m, или m-n.