Как найти натуральный параметр кривой

Всем Доброго Времени Суток!

Дана кривая:
[math]r(t) = (cht,sht,t)[/math]
Нужно ввести натуральный параметр.

Решаю:

[math]begin{array}{l} r(s) = (chs,shs,s) \ {dot r}(s) = (shs,chs,1) \ left| {{dot r}(s)} right| = s{h^2}s + c{h^2}s + 1 \ s{h^2}s + c{h^2}s + 1 = 1 \ s{h^2}s =- frac{1}{2} \ \ shs = frac{i}{{sqrt 2 }} \ — sin (is) = frac{1}{{sqrt 2 }}\ s = frac{{frac{{5pi }}{4} + 2pi n}}{i} \ end{array}[/math]

Вопрос:
Нормально, что я нашёл конкретный [math]s[/math] ? Это не является частным случаем? Можно найти ещё [math]s[/math]?

О
пределение.
Пусть r;sup8(–(=
c(t)
– параметрическое
уравнение кривой
,
А
=
c(а),
B=
c(b)
– две
точки на кривой
(a<b).
Разобьём
промежуток
[a,
b]
:

a=t_o<t₁
<t₂
< … <
t_n–1<t_n
=b.

Тогда
ломаная
с вершинами

c(а),
c(t₁),
c(t₂
),…, c(t_n–1),
c(b)

называется
вписанной
в кривую.

Будем
неограниченно измельчать это разбиение
так, чтобы длина максимального звена
ломаной стремилась к нулю:


=
max;sdo10(i
|c(t_i+1)
–
c(t_i)|
^–

0 .

Определение.
Если при
этом длина ломаной

l
=(;sdo10(i|
c(t_i+1)
– c(t_i)
|

стремится
к определённому пределу L,
то l
называется
длиной
участка пути
c(t)
от c(a)
до c(b).

Подчеркнём,
что это не есть длина кривой от А
до B
, поскольку путь по кривой может
осуществляться с “возвратами” (например,
вписанная ломаная может вы-

глядеть,
как на рисунке). Но если c(t)
гладкая и регулярная параметризация,
то L
будет длиной
участка кривой

от А до
B,
потому что в точках, где движение
кривой меняет направление обязательно
c=
o;sup8(–(
, что невозможно для регулярной
параметризации.

Теорема
3.
Пусть c(t)
– гладкая
регулярная параметризация кривой
.
Длина пути
от точки А
=
c(а)
до точки
B=
c(b)
вычисляется
по формуле

L(a,
b)=
sup2(avs16( b;a|c(t)|
dt.
(6)

При
этом эта величина не зависит от выбора
конкретной параметризации кривой ,
т.е. при допустимой замене параметра,
эта величина не изменяется.

Доказательство.
Длина
ломаной, вписанной в кривую

L
=
(;sdo10(i |
c(t_i+1)
– c(t_i)|.

Добавим
и отнимем справа два выражения:

(;sdo10(i=1
|
c(t_i)|
( t

_{i+ 1}

– t _i
) , sup2(avs16( b;a|c(t)|
dt.

и
сгруппируем:

L=
sup2(avs16( b;a|c(t)|
dt
+
{
(;sdo10(i=1
| c(
t
_i
)
| ( t<sub>i
+ 1</sub>
–
t
_i
)
–
sup2(avs16( b;a|c(t)|
dt}
+

+
{ (;sdo10(i=1
|
c(t_i+1)
–
c(t_i)
|
—
(;sdo10(i=1
|
c(t_i)|
( t
<sub>i
+ 1</sub>

– t_i)
},

Первая
фигурная скобка стремится к нулю при
измельчении разбиения по определению
интеграла. Вторую перепишем так:

(;sdo10(i=1
(
t
<sub>i
+ 1</sub>

– t_i)
{
– |c(t_i)|
}

Выражение
в фигурных скобках стремится нулю по
определению производной, а

(;sdo10(i=1
(t_i+1–
t_i
) = b
– a,

поэтому
и всё выражение стремится к нулю.
Получается, что при измельчении
разбиения длина вписанной ломаной
стремится к

sup2(avs16(
b;a|c(t)|
dt.

Пусть
теперь
t
=
(u)
– допустимая
замена параметра,
f(u)
=
c((u)),
a=(u₁),
b=
(u₂).
Тогда

– монотонная функция.

1
случай.
Функция

– возрастающая. Тогда >0
и u₁<
u₂
. В соответствии с формулами замены
параметра в определенном интеграле
получаем

sup2(avs18( u2;u1|
f
(u)|
du =
sup2(avs17( u2;u1|c((u))_u|
du =
sup2(avs17( u2;u1|
c_t·
_u|
du =
sup2(avs17( u2;u1|c(t)|
_u
du

=
sup2(avs16( b;a|c(t)|
dt.

2
случай.
Функция

– убывающая. Тогда <0
и u₁>u₂
. Поэтому u₁
будет верхним
пределом, а u₂
– нижним. При
перестановке пределов в определенном
интеграле меняется знак, а _u
выносится из-под модуля со знаком минус:

sup2(avs18(
u1;u2| f
(u)|
du =
sup2(avs18( u1;u2|c((u))_u|
du
=
sup2(avs18( u1;u2|
c_t·
_u|
du
=

–sup2(avs18( u2;u1|c(t)|
(–
_u
)
du

=

=
sup2(avs17( u2;u1|c(t)|
_u
du
=
sup2(avs16( b;a|c(t)|
dt.

Т
аким
образом, формула для вычисления длины
одинакова, как для параметра t,
так и для параметра u
на кривой
.

Определение.
Выберем
произвольную точку A=c(t_o)
на кривой 
и будем от неё отсчитывать длину кривой
до произвольной точки В,
в одну сторону со знаком “+” , в другую
– со знаком “–”; т.е. если длина дуги
АВ
равна s,
то точкe
В
приписывается новое значение параметра
s
или – s
, тем самым на кривой получается новый
параметр s,
который называется естественным
параметром кривой.
Если параметр, с помощью которого задана
кривая, является естественным, то такая
параметризация называется естественной
параметризацией кривой.

Естественная
параметризация означает, что в качестве
параметра на кривой выбрана длина дуги,
отсчитываемая от некоторой начальной
точки A
в одну сторону – со знаком “+”, а в
другую – со знаком “–”.

Если
A=c(t_o),
В=c(t),
то в соответствии с теоремой 3

s(t)
= sup0(avs17(
t;to|c(t)|
dt

Это
формула для нахождения естественного
параметра. В качестве t_o
можно выбирать любое значение из
интервала, на котором кривая определена
и регулярна.

По
формуле дифференцирования интеграла
с переменным верхним пределом

=
|
c(
t
)|
.

Обозначим
естественную параметризацию кривой
той же буквой c:
c(s)=c(t(s)),
тогда

=
= ,

т.е.
– это единичный вектор, что и следовало
ожидать, потому что при движении по
кривой с естественным параметром мы за
единицу времени проходим единицу пути.
Дифференцирование по параметру s
будем обозначать точкой:

=
c; ·(s).

Мы
установили, что
|c; ·(s)|=1
, значит единичный направляющий вектор
касательной: =c;
·(s).
Кроме того, |c;
·(s)|=1

|c;
·|²=
c; ··c;
· = 1.

Продифференцируем
это равенство:

(c;
··c; ·)_s
= 0 
c; ···c;
· + c; ··c; ·· =
0 
c; ··c;
·· =
0 .

Это
означает, что в случае естественной
параметризации

c;
·c;
··.
(_**)

Благодаря
этому очень многие формулы упрощаются.

Вектор
c; ··
параллелен соприкаюсающейся
плоскости, а в силу (_**)
он перпендикулярен касательной, значит
он направлен по главной нормали, т.е.
||c;
·· 
=c;
··/|c;
··|.
Тогда =
=c;
·c;
··/|c;
··|.
Итак,

 =
c; ·
, 
= , 
= .

(именно,
учитывая последнее равенство, и то что
(,,)
– правая тройка,
мы делаем вывод, что
c;
··). Главная
нормаль имеет уравнение:

= = ,

а
спрямляющая плоскость:

c1;··(x
– x_o)
+ c2;··(y
– y_o)
+ c3;··(
z
– z_o)
= 0.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Определение 1 (неявный способ задания):
2. Способы задания

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Наглядный геометрический объест — плоская кривая — приточных определениях приводит к нескольким различным, хотя и близким понятиям. Плоскую кривую можно понимать и как некоторое множество точек на плоскости и как множество точек плоскости вместе с очередностью их прохождения — ориентацией. Приведем два наиболее распространенных подхода к определению того, что представля ет собой плоская кривая. Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху.

Определение 1 (неявный способ задания):

Плоской кривой называется множество 7 точек М плоскости, координаты х и у которых при подстановке в уравнение ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Плоские кривые. Способы задания. Естественная параметризация обращают его в тождество. Пример 1 Уравнение , задает окружность радиуса а с центром в точке 0(0,0) {рис. 1).

Другим распространенным способом задания плоской кривой является параметрический способ задания. Определение 2. Параметризованной плоской кривой называется множество 7 точек М плоскости, координаты г и у которых определяются соотношениями непрерывные на отрезке [а, 6] функции. Пример 2. — параметрические уравнения окружности радиуса а с центром в точке 0(0,0). При изменении параметра t от 0 до 2т соответствующая точка обегает окружность против часовой стрелки.

Данное определение допускает естественную физическую интерпретацию. Если воспринимать параметр t как время, то параметрически заданную кривую можно рассматривать как след движущейся точки М(х, у), координаты которой изменяются со временем по правилу (2). При этом вовсе не исключается случай, когда при своем движении переменная точка М в некоторый момент t* может вновь оказаться там, где ранее (в момент i, она уже находилась: (рис.2). Геометрически этоодна и та же точка.

Однако вследствие того, что в рассматриваемом процессе мы попадаем в нее дважды в разные моменты времени, это две разные точки кривой, задаваемой параметрическими уравнениями (2). Замечание. Строго говоря, определении I и 2 вводят в рассмотрение разные объекты. Поэтому для того, чтобы не впасть в заблуждение, нужно ясно представлять, в каком именно смысле рассматривается задаваемая кривая. Пусть кривая 7 задана параметрическими уравнениями называется начальной тонкой этой кривой, а точка ) — конечной тонкой кривой 7.

Кривая 7 называется замкнутой, если ее начальная и конечная точки совпадают (рис. 4).

— Рис. 4 Одно и то же м ножество точекн а плоскости можно задавать при помощи различных параметрических уравнений. Пример 3. Уравнения задают окружность радиуса а, обходимую в положительном направлении. Легко видеть, что, положив в формулах (3) 2хг3, мы приходим к соотношениям (4). Определение. Функция подчиненная условиям: а) Н{т) непрерывна на отрезке [а, /3]; h(r) строго возрастает на отрезке [се, >3]; в) область значения функции h(r) — отрезок [а, Ь], называется непрерывной заменой параметра кривой 7 (рис. 5). ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Плоские кривые.

Способы задания

Естественная параметризация Заменяя в формулах (2) параметр t на функцию Л(т), получаем уравнения — другую параметризацию кривой 7. Любую кривую можно параметризовать многими различными способами. Определение 3. Плоская кривая 7 называется п-гладкой относительно параметризации если функции ) принадлежит классу .

Если порядок п гладкости функций несуществен, то говорят просто о гладкой кривой. Пример 4. Кривая заданная уравнениями является 3-гладкой (рис. в а). Пример S. Кривая 7, заданная уравнениями является 2-гладкой. Однако множеств о точек на плоскости, описываемое этими уравнениями, имеет • точке О (при t ) особенность — излом (рис.вб). Это означает, что гладкость функций . задающих кривую, не обеспечивает плавного ее изменения.

Отметим, что производные этих функций при tодновременно обращаются а нуль. ТЪчка Мо гладкой кривой у, отвечающая значению t0 параметра, М0 в которой называется особой точкой этой кривой (относительно заданной параметризации). Точка Мо(*о) гладкой кривой 7, в которой называется обыкновенной, ншрегулярной, точкой этой кривой. Пример в. Все точки окружности (3) являются регулярными.

Пример 7. У кривой, задаваемой уравнениями (астроида) четыре особых точки (при t ж 0, | Последнее неравенство означает, что скорость кривой 7 относительно заданной параметризации не обращается в нуль ни в одной точке кривой. При изменении параметра t текущая точка M(t) перемещается порегулярной кривой 7, нигде не оста- навливаясь и не поворачивая вспять, поскольку скорость регулярной кривой ни при каких значениях параметра не обращается в нуль.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть 7 — регулярная кривая, заданная параметрически. Обозначим через Мо точку кривой 7, отвечающую значению £о параметра, а через М — точку кривой 7, отвечающую значению t параметра из некоторой окрестности точки to (рис. 8, 9). Прямая М0Т называется касательной регулярной кривой 7 вточке Мо, если при (или, что то же, ) наименьший Д0 из углов между этой прямой и переменной прямой MqM стремится к нулю (рис. 9). Регулярная кривая имеет касательную в каждой своей точке.

Вектор скорости кривой в точке Мо коллинеарен ее ка- сательной в этой точке. Прямая, проходящая через точку Мо перпендикулярно касательной кривой 7 в этой точке, называется нормалью кривой вточке Мо. Замена параметра называется регулярной у если Л'(т во всех точках отрезка [а, /3]. В случае неявного задания (1) кривая 7 будет регулярной, если в каждой ее точке М(х, у) выполняется неравенство Точка Мо(жо> Уо) неявно заданной кривой 7 называется особой, если в этой точке Пример 8.

Кривая, заданная уравнением

(леммисюга Бернулт), имеет одну особую точку 0(0,0) — узел (рис.10). Различают несколько типов особых точек. Пусть М0(хо, уо) — особая точка кривой 7, Введем следующие обозначения возврата первого рода. Пример 12. (рис. 14). — точка возврата второго рода. Гладкая (тем более регулярная) кривая спрямляема. Длина кривой 7, заданной уравнениями (2), вычисляется по формуле Значение функции равно длине переменной дуги кривой7, заключенной между точками (рис. 15).

Функция на отрезке [а, 6) строго возрастает, Пример 11. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Плоские кривые. Способы задания. Естественная параметризация и является гладкой на отрезке [а, 6]. Кроме того, область значений функции s(t) совпадает с отрезком [0, 5]. Тем самым, длину дуги можно взять за новый, естественный (натуральный) параметр кривой.

Параметризация кривой, где в качестве параметра взята длина дуги з, называется естественной параметризацией. Если естественная параметризация кривой, то Поэтому естественно параметризованную кривую часто называют кривой с единичной скоростью. Пример 13. Параметризация окружности радиусе а является естественной:

Лекция №6

Пусть у нас есть кривая , где S – натуральный параметр. В точке P построим соприкасающуюся плоскость, нормаль которой совпадает с бинормалью. В точке Q строим соприкасающуюся плоскость, с нормалью . Совершаем параллельный перенос вектора  в точку P, угол между  и  обозначим .

Абсолютным кручением|æ| кривой  в точке P называется .

Теорема. В каждой точке регулярной кривой (хотя бы трижды непрерывно дифференцируемой), где  определено значение абсолютного кручения. И если  — уравнение данной кривой, то или .

Доказательство

1) Докажем первую формулу:

                                                                            

                                              1

Получаем: .

2) Докажем вторую формулу:

т.к.  (по лемме).

Из перпендикулярности  следует, что . Продифференцируем это равенство:

Поэтому  (модуль æ равен модулю скалярного произведения, где ).

Нормируем вектор :

;

          Ч.т.д.

Геометрический смысл модуля кручения:

Степень отклонения кривой от плоскости в каждой точки кривой.

Для винтовой линии кручение является константой.

Кручению присваивается знак «+», если при перемещении по кривой в сторону возрастания параметра S поворот соприкасающейся плоскости происходит от  к  и знак «–», если – от  к .

.

Утверждение. Если кручение в каждой точке кривой равно нулю, то кривая является плоской.

Доказательство

Получаем: .

Уравнение плоской кривой в векторном виде:

.

 — переменный вектор;

 — радиус – вектор точки Р кривой γ;

 — вектор бинормали.                                                                  Ч.т.д.

Пусть кривая  задана с помощью произвольной параметризации:

Возводим обе части равенства в квадрат, получим:

.

;

.

.

;

Формула для вычисления кручения при произвольной параметризации:

.

Пример:

Найти кривизну и кручение винтовой линии.

.

 — длина вектора .

 — не зависит от параметра t, отсюда кривизна винтовой линии величина постоянная.

.

æ  — также не зависит от параметра t.

В каждой точке хотя бы бирегулярной кривой можно построить трёхгранник Френе.

Выбираем направление единичных векторов , так чтобы они образовывали правую тройку – базис.

Формулы Френе показывают разложение векторов  в базисе векторов .

.

 — это есть кривизна.

 — первая формула Френе.

.

Продифференцируем, получим:

.

.

 — третья формула Френе.

.

 — вторая формула Френе.

Если рассматривать трёхгранник Френе в виде твердого тела, которое совершает вращение вокруг точки, то вектор мгновенной угловой скорости . Этот вектор лежит в спрямляющей плоскости, где æ, k – это проекции данного вектора на вектора  и  соответственно.

Выберем систему координат, совместив начало системы координат с точкой Р, а оси координат направим по ребрам трёхгранника Френе и выпишем систему, определяющую данную кривую в окрестности данной точки Р.

Тогда мы можем записать в параметрическом виде:

 — параметрическое задание кривой, параметр .

Спроектируем полученную кривую на плоскости трехгранника Френе:

1) Соприкасающаяся плоскость

Парабола.

2) Нормальная плоскость

Полукубическая парабола.

3) Спрямляющая плоскость

Кубическая парабола.

При  и .

Коэффициенты разложения функции  в ряд по степеням  выражаются только через кривизну и кручения кривой. Это дает основание полагать, что кривизна и кручения в какой-то мере определяют кривую.

Теорема. Пусть  — две некоторые регулярные функции, причем , тогда существует кривая в пространстве, единственная с точностью до расположения в пространстве, для которой  и  являются кривизной и кручением соответственно в точке, соответствующей значению параметра S.

Доказательство

Пусть такая кривая существует, тогда  — единичные векторы касательной нормали и бинормали, должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений:

                    (1)

В силу формул Френе.

Разыскивая кривую с  и , естественно обратиться к системе дифференциальных уравнений (1).

Пусть решение системы (1) существует и удовлетворяет начальным условиям:

.

Причем  — три взамноперпендикулярных единичных вектора:  — это правая тройка векторов.

Нужно доказать, что  обладают теми же свойствами для любых S, т.е. они единичные, взаимноперпендикулярные и образуют правую тройку векторов.

Для этого продифференцируем 6 скалярных функций:

.

Этой системе удовлетворяет набор констант: 1, 1, 1, 0, 0, 0. И набор функций: . Оба эти решения совпадают при S=S₀, по теореме о единственности решения, функции, выписанные таким образом, совпадают с константами для любых S. Эти функции единичные и взаимноперпендикулярные, поэтому , по непрерывности смешанного произведения, значение этой функции всегда равно +1.

Следовательно, кривую , можем искать в виде:

;

Проверим, что S – натуральный параметр:

.

Подсчитаем кривизну и кручение.

Если параметр натуральный, то кривизну кривой можно найти по формуле: .

Если параметр естественный, то кручение считаем по формуле: .

;

;

Таким образом, кривая  имеет в соответственной точке кривизну  и кручение .

Существование кривой доказано.

Докажем единственность.

Пусть существуют две кривые  и  имеющие в соответственной точке кривизну  и кручение . Совместим эти кривые точками, соответствующими дуге S₀, естественными трёхгранниками в этих точках.

Эти два набора являются решениями системы (1), в точке S=S₀ эти векторы совпадают, поэтому они совпадают для любых S.

Получаем: .

Проинтегрировав это равенство, получим: кривые совпадают с точностью до положения в пространстве.

Ч.т.д.

Система таких уравнений называется натуральным уравнением кривой.

1. k=0 – прямые.

2.  — плоские кривые.

Плоские кривые, у которых , но разные знаки, будут зеркально симметричными.

Движением на плоскости эти кривые совместить нельзя, а в пространстве можно.

Этот случай рассматривают как частный случай пространственных кривых.

3.  — окружность.                 .

4.  — винтовые линии.

5.  — линии откоса.

6.  — линии Бертрана.

Примеры:

I. Найти натуральные уравнения.

.

1). Перейти к натуральной параметризации:

;

.

.

2). Находим кривизну для естественной параметризации:

3). Кривая плоская, поэтому .

Получаем:

II. Покажем, что она является винтовой линией:

1). Перейдем к натуральной параметризации:

;

.

2). Находим кривизну:

;

;

;

;

Получаем:  — винтовая линия.

По основной теореме теории кривых, эта система определяет только винтовую линию.

Кривая  называется линией откоса, если вектор ее касательной образует постоянный угол с некоторым определенным направлением.

Представим, что постоянное направление совпадает с вертикалью. Если  — вертикаль (по определению линии откоса) и  — постоянный угол, то кривизна подъема по кривой  остается постоянной.

 — в силу первой формулы Френе.

 параллельна горизонтальной плоскости.

В спрямляющей плоскости лежат вектора .

 образует с  постоянный угол по определению линии откоса,

 образует с  постоянный угол .

; где  — постоянный вектор.

Показали, что  — необходимое условие.

Покажем, что оно же и достаточное условие:

Пусть вдоль кривой .

Запишем вектор .

Из представления вектора  видно, что этот вектор однозначно связан с векторами  и , по длине это постоянный вектор. Остается показать, что  — постоянный вектор и при другом задании кривой он не изменится. Для этого продифференцируем:

, он удовлетворяет определению данной кривой и образует постоянный угол с .

Получаем: , т.е. показано, что если для некоторой кривой выполнено условие , то данная кривая является линией откоса.

Кривая линия  называется линией Бертрана, если существует , отличная от  и имеющая с кривой  общие главные нормали.

Пусть , тогда , где а – это фактически длина отрезка заключенная между точками соответствующих кривых.

Продифференцируем это равенство:

.

Домножим обе части скалярно на вектор . Получим:

0=0+0+1 .

Главное свойство:

Расстояние между соответствующими точками кривых Бертрана есть постоянная величина.

Вектора  лежат в соприкасающейся плоскости.

Получим:

 — линейная комбинация скалярных функций k и  равна единице. Это уравнение является необходимым условием для линий Бертрана. Покажем, что оно является и достаточным условием.

, где  — угол между соответствующими векторами касательных к кривым  и , но  и  — величина постоянная.

Здесь определяется соответствие между трехгранниками Френе во всех точках кривых Бертрана.

Если .

Рассмотрим случай  — это косые окружности и их рассматривают как частный случай кривых Бертрана.

Пример 1:

Найти уравнение плоской кривой, имеющей натуральные уравнения.

 где .

.

Пример 2:

Кривая задана Точка (0;0;0).

Найти кривизну кривой в точке.

Параметризуем: пусть х – параметр, а .

;

                  

.

Лекция №7

Лемма. Пусть  — аналитическая кривая. О – точка кривой . При соответствующем выборе системы координат в окрестности точки О кривую  можно параметризовать таким образом, что ее уравнение будет иметь вид:

            (1)

Теорема. Пусть аналитическая кривая  задана уравнениями вида (1). Для того, чтобы точка О была особой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одно из  не делилось на .

Теорема. Пусть кривая  задана уравнениями в окрестности т.О:

 точка О будет особой точкой, если порядок первых отличных от нуля производных функций x(t) и y(t) в точке О такие, что,  не делиться на  ( < ), причем, если  и  — четные, то точка О – точка возврата II -го рода, а если  — четное, а  — нечетное, то точка О – точка возврата I-го рода.

Если  — нечетное, а  — четное, то в окрестности этой точки кривая ведет себя как обычная кривая.

Если  и  — нечетные, то точка является точкой перегиба.

Пример:

Определить вид особых точек:

;

Трактриса.

.

.

;

.

.

Точка  — точка возврата I-го рода.

Кривая задана неявно.

.

 (так определяются особые точки)

, где

Выпишем уравнение:

(*) =0 (оно определяет особые точки II-го порядка)

;                 (1)

;                 (2)

;                  (3)

При условии (1) уравнение (*) действительных корней не имеет. Данная точка будет изолированной особой точкой.

При условии (2) – дает два различных действительных корня:

.

Случай (2) также дает узловую точку или точку самопересечения.

Условие (3) дает два действительных одинаковых корня:

А)

— точка возврата I-го рода.

Б)

— точка возврата II-го рода.

В)

— точка самоприкосновения.

Пример:

1. Исследовать особые точки кривой:

;

нашей кривой;

нашей кривой;

;

;

;

;

1) Если b>0, то точка особая изолированная.

2) Если b<0, то точка узловая.

3) Если b=0, то это либо точка возврата I-го или II-го рода, либо точка самовозврата.

2. Исследовать особые точки кривой:

;

              

           

нашей кривой;

нашей кривой;

;

узловая

Если в особых точках все вторые производные функции  равны нулю, то рассматриваются третьи производные и такие точки называются особыми точками третьего порядка.

Пусть .

Говорят, что кривая  уходит на бесконечность при , если выполняется условие .

В этом случае рассматривается вопрос о существовании асимптот.

Прямая g называется асимптотойкривой , уходящей на бесконечность при , если выполнено условие

;

.

; — уравнение g.

I. Пусть .

Учитываем условие, что ищем наклонные асимптоты:

Тогда асимптота имеет вид:

y=kx+b.

Вертикальные асимптоты, параллельны оси Oy, имеют вид:

II. Пусть . Проделывая все аналогии, получаем:

y=kx+b.

Пример:

1). Находим точки, в которых кривая уходит на бесконечность:

2). ;

;

Тогда уравнение асимптоты к кривой имеет вид:

у=4х-19;

;

;

;

Ответ: у=4х-19;

.

Пусть кривая γ задана неявно: . Касательную ищем в виде:

(*) где u – параметр, γ – алгебраическая кривая.

 — точка прямой g.

 — координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение нашей кривой: .

Подставим (х,у) из (*) в предыдущее уравнение, получим:

.

1) из условия  находим  и .

2) условие  дает уравнение самой асимптоты.

Пример:

;

1. Вместо х подставляем , а вместо у — .

2.

Для первой точки:

Для второй точки:

Пример:

1.

Асимптоту еще называют предельным положением касательной.

Пусть элементарные кривые  и  имеют общую точку Р. Возьмем на  точку Q сколь угодно близкую к Р. ; h – расстояние от точки Q до кривой .

Кривая  имеет соприкосновение n-го порядка с кривой  в точке Р, если .

Теорема. Пусть кривая : , а кривая : причем  и  — регулярные кривые. Для того, чтобы кривые  и  имели соприкосновение n-го порядка в точке Р необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Без доказательства.

Пример:

Найти параболу вида:

                     (*)

имеющую с кривой  соприкосновение n-го порядка, в т. х=0.

1. Параметризуем кривую:

х – параметр.

2. Подставляем данную точку  в уравнение (*):

                   (**)

.

3. Дифференцируем (**) по х:

Ответ: искомая парабола .

Окружность, имеющая с кривой соприкосновение второго порядка, называется соприкасающейся окружностьюданной кривой. А центр такой окружности называется центром кривизныданной кривой.

Пример:

Найти уравнение соприкасающейся окружности для  в начале координат.

;

Параметризуем данную кривую:

Тогда наша функция примет вид:

;                (*)

;

Продифференцируем уравнение (*) по t:

           (**)

;

Продифференцируем уравнение (**) по t:

;

;

.

= .

.

Пусть  — множество регулярных кривых зависящих от .

Гладкая кривая  называется огибающейоднопараметрического семейства , если в каждой точке она касается хотя бы одной кривой  и каждым своим куском  касается бесконечного числа кривых множества .

Всякая регулярная кривая является огибающей семейства своих касательных.

Теорема. Пусть  задана уравнением , причем мы предполагаем, что  — непрерывно дифференцируемая функция по каждой переменной и выполнено условие , тогда огибающую данного семейства (если она существует) можно записать в виде:

В том смысле, что в каждой точке с координатами (х,у) огибающей  ставится в соответствие значение параметра : набор  удовлетворяет первому и второму уравнению данной системы.

Пример: