1. Мгновенная скорость
В этом параграфе мы будем рассматривать неравномерное движение. Однако при этом нам пригодится то, что мы знаем о прямолинейном равномерном движении.
На рисунке 4.1 показаны положения разгоняющегося автомобиля на прямом шоссе с интервалом времени 1 с. Стрелка указывает на зеркальце заднего вида, положение которого мы рассмотрим далее более подробно.
Мы видим, что за равные интервалы времени автомобиль проходит разные пути, то есть движется неравномерно.
Уменьшим теперь последовательные интервалы времени в 20 раз – до 0,05 с – и проследим за изменением положения автомобиля в течение половины секунды (это нетрудно сделать, например, с помощью видеосъемки).
Чтобы не загромождать рисунок 4.2, на нем изображены только два положения автомобиля с промежутком времени 0,5 с. Последовательные положения автомобиля с интервалом 0,05 с отмечены положением его зеркальца заднего вида (показано красным цветом).
Мы видим, что когда последовательные равные промежутки времени достаточно малы, то пути, проходимые автомобилем за эти промежутки времени, практически одинаковы. А это означает, что движение автомобиля в течение столь малых промежутков времени можно с хорошей точностью считать прямолинейным равномерным.
Оказывается, этим замечательным свойством обладает любое движение (даже криволинейное): если рассматривать его за достаточно малый промежуток времени Δt, оно очень похоже на прямолинейное равномерное движение! Причем чем меньше промежуток времени, тем больше это сходство.
Скорость тела за достаточно малый промежуток времени и называют его скоростью в данный момент времени t, если этот момент времени находится в промежутке Δt. А более точное ее название – мгновенная скорость.
Насколько малым должен быть промежуток времени Δt, чтобы в течение этого промежутка движение тела можно было считать прямолинейным равномерным, зависит от характера движения тела.
В случае разгона автомобиля это доли секунды. А, например, движение Земли вокруг Солнца можно с хорошей точностью считать прямолинейным и равномерным даже в течение суток, хотя Земля за это время пролетает в космосе больше двух с половиной миллионов километров!
Говоря далее о скорости, мы будем (если это особо не оговорено) подразумевать обычно мгновенную скорость.
? 1. По рисунку 4.2 определите мгновенную скорость автомобиля. Длину автомобиля примите равной 5 м.
Значение мгновенной скорости автомобиля показывает спидометр (рис. 4.3).
Как найти мгновенную скорость по графику зависимости координаты от времени
На рисунке 4.4 изображен график зависимости координаты от времени для автомобиля, который движется по прямолинейному шоссе.
Мы видим, что он движется неравномерно, потому что график зависимости его координаты от времени – это кривая, а не отрезок прямой.
Покажем, как определить по этому графику мгновенную скорость автомобиля в какой-либо момент времени – скажем, при t = 3 с (точка на графике).
Для этого рассмотрим движение автомобиля за столь малый промежуток времени, в течение которого его движение можно считать прямолинейным равномерным.
На рисунке 4.5 показан интересующий нас участок графика при десятикратном увеличении (см., например, шкалу времени).
Мы видим, что этот участок графика практически неотличим от отрезка прямой (красный отрезок). За последовательные равные промежутки времени по 0,1 с автомобиль проходит практически одинаковые расстояния – по 1 м.
2. Чему равна мгновенная скорость автомобиля в момент t = 3 с?
Возвращаясь к прежнему масштабу чертежа, мы увидим, что прямая красного цвета, с которой практически совпадал малый участок графика, – касательная к графику зависимости координаты от времени в данный момент времени (рис. 4.6).
Итак, о мгновенной скорости тела можно судить по угловому коэффициенту касательной к графику зависимости координаты от времени: чем больше угловой коэффициент касательной, тем больше скорость тела. (Описанный способ определения мгновенной скорости с помощью касательной к графику зависимости координаты от времени связан с понятием производной функции. Это понятие вы будете изучать в курсе «Алгебра и начала аиализа».) А в тех точках графика, где угол наклона касательной равен нулю, то есть касательная параллельна оси времени t, мгновенная скорость тела равна нулю.
? 3. Рассмотрите рисунок 4.6.
а) В каких точках графика угол наклона касательной наибольший? наименьший?
б) Найдите наибольшую и наименьшую мгновенную скорость автомобиля в течение первых 6 с его движения.
2. Средняя скорость
Во многих задачах используют среднюю скорость, связанную с пройденным путем:
vср = l/t. (1)
Определенная таким образом средняя скорость является скалярной величиной, так как путь – это скалярная величина. (Иногда во избежание недоразумений ее называют средней путевой скоростью.)
Например, если автомобиль в течение трех часов проехал по городу 120 км (при этом он мог разгоняться, тормозить и стоять на перекрестках), то его средняя скорость равна 40 км/ч.
? 4. Насколько уменьшится средняя скорость только что упомянутого автомобиля, если из-за остановок в пробках общее время движения увеличится на 1 ч?
Средняя скорость на двух участках движения
Во многих задачах рассматривается движение тела на двух участках, на каждом из которых движение можно считать равномерным. В таком случае, согласно определению средней скорости (1), можно записать:
vср = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)
где l1 и t1 – путь и время для первого участка, а l2 и t2 – для второго. Рассмотрим примеры.
Саша выехал из поселка на велосипеде со скоростью 15 км/ч и ехал в течение часа. А потом велосипед сломался, и Саша еще час шел пешком со скоростью 5 км/ч.
? 5. Найдите:
а) путь, пройденный Сашей за все время движения;
б) общее время движения Саши;
в) среднюю скорость Саши.
В рассмотренном случае средняя скорость оказалась равной среднему арифметическому скоростей, с которыми Саша ехал и шел. Всегда ли это справедливо? Рассмотрим следующий пример.
Пусть Саша ехал на велосипеде в течение часа со скоростью 15 км/ч, а потом прошел такое же расстояние пешком со скоростью 5 км/ч.
? 6. Найдите:
а) путь, который Саша прошел пешком;
б) путь, пройденный Сашей за все время движения;
в) общее время движения Саши;
б) среднюю скорость Саши.
Рассмотрев этот случай, вы увидите, что на этот раз средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей езды и ходьбы. А если присмотреться еще внимательнее, то можно заметить, что во втором случае средняя скорость меньше, чем в первом. Почему?
? 7. Сравните промежутки времени, в течение которых Саша ехал и шел пешком в первом и втором случаях.
Обобщим рассмотренные выше ситуации.
Рассмотрим сначала случай, когда тело двигалось с разными скоростями в течение равных промежутков времени.
Пусть первую половину всего времени движения тело двигалось со скоростью v1, а вторую половину – со скоростью v2. Можно ли найти среднюю скорость движения на всем участке, если не известны ни общее время движения, ни путь, пройденный телом за все время движения?
Можно: для этого введем обозначения для всех нужных нам величин независимо от того, известны они или неизвестны. Это распространенный прием при решении многих задач.
Обозначим все время движения t, весь путь l, а пути, пройденные за первую и вторую половину времени движения, обозначим соответственно) l1 и l2.
? 8. Выразите через v1, v2 и t:
a) l1 и l2; б) l; в) среднюю скорость.
Найдя ответы на эти вопросы, вы узнаете, справедливо ли в общем случае утверждение: если тело двигалось на двух участках с разными скоростями в течение равных промежутков времени, то его средняя скорость на всем пути равна среднему арифметическому скоростей движения на двух участках.
Рассмотрим теперь случай, когда тело двигалось с разными скоростями первую и вторую половину пути.
Пусть теперь первую половину всего пути тело двигалось со скоростью v1, а вторую половину – со скоростью v2. Обозначим снова все время движения t, весь путь l, а промежутки времени, в течение которых тело двигалось на первом и втором участке, обозначим соответственно t1 и t2.
? 9. Выразите через v1, v2 и l:
а) t1 и t2; б) t; в) среднюю скорость.
Ответив на эти вопросы, вы узнаете, справедливо ли в общем случае утверждение: если тело двигалось на двух участках равной длины с разными скоростями, то его средняя скорость на всем пути не равна среднему арифметическому этих скоростей.
? 10. Докажите, что средняя скорость тела, которое двигалось на двух участках равной длины с разными скоростями, меньше, чем если бы оно двигалось на двух участках с теми же скоростями в течение равных промежутков времени.
Подсказка. Выразите для каждого из двух случаев среднюю скорость через скорости на первом и втором участках и сравните полученные выражения.
? 11. На первом участке пути тело двигалось со скоростью v1, а на втором – со скоростью v2. Чему равно отношение длин этих участков, если средняя скорость движения оказалась равной среднему арифметическому v1 и v2?
Дополнительные вопросы и задания
12. Одну треть всего времени движения поезд ехал со скоростью v1, а оставшееся время – со скоростью v2.
а) Выразите пройденный поездом путь через v1, v2 и все время движения t.
б) Выразите среднюю скорость поезда через v1 и v2.
в) Найдите числовое значение средней скорости при v1 = 60 км/ч, v2 = 90 км/ч.
13. Автомобиль ехал три четверти всего пути со скоростью v1, а оставшийся участок пути – со скоростью v2.
а) Выразите все время движения автомобиля через v1, v2 и весь пройденный путь l.
б) Выразите среднюю скорость движения автомобиля через v1 и v2.
в) Найдите числовое значение средней скорости при v1 = 80 км/ч, v2 = 100 км/ч.
14. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 60 км/ч. Сколько времени после этого он должен ехать со скоростью 80 км/ч, чтобы его средняя скорость на всем пути стала равной 66,7 км/ч?
15. Перенесите в тетрадь (по клеточкам) график зависимости координаты автомобиля от времени, изображенный на рисунке 4.4. Считайте, что автомобиль едет вдоль оси x.
а) Определите графически среднюю скорость за 6 с.
б) Используя касательную, определите, в какие примерно моменты времени мгновенная скорость автомобиля была равна его средней скорости за 6 с.
16. Тело движется вдоль оси x. Зависимость координаты тела от времени выражается формулой x = 0,2 * t2.
а) Выберите удобный масштаб и изобразите график зависимости x(t) в течение первых 6 с.
б) С помощью этого графика найдите момент времени, в который мгновенная скорость тела была равна средней скорости за все время движения.
Для описания движения используют три величины — скорость, время и расстояние. В координатном углу на горизонтальном луче отмечается время, на вертикальном — пройденное расстояние. Скорость объекта при равномерном движении можно вычислить.
Чтобы по графику движения определить скорость объекта (v), нужно узнать, какое расстояние (s) проходит объект за некоторое время (t), и найти частное расстояния и времени:
v=s:t
.
Для расчёта скорости можно взять любой удобный временной отрезок и пройденное за это время расстояние.
Пример:
по данному графику найти скорость движения объекта.
Решение.
(1) способ. За (1) час пройдено (8) км, то есть скорость объекта равна (8) км/ч.
(2) способ. За (5) часов пройдено (40) км, поэтому скорость объекта равна (40:5=8) км/ч.
Ответ: (8) км/ч.
При равномерном движении график представляет собой отрезок. И наоборот, в каждой точке отрезка скорость одинаковая.
Обрати внимание!
Чем больше скорость движения объекта, тем график круче.
Остановка в пути обозначается на графике движения горизонтальными отрезками, так как пройденное расстояние не меняется.
По данному графику движения можно определить, что с (9):(00) до (11):(00) была остановка в пути.
Источники:
Изображения: график движения. © ЯКласс.
Содержание:
Равномерное движение:
В репортажах с автомобильных гонок, сообщениях о погоде можно, например, услышать: «Скорость движения автомобиля-победителя перед финишем достигла 250 километров в час»; «Скорость ветра достигала 25 метров в секунду» и т. п. Что это значит? Как сравнить эти скорости?
Слово «скорость» вы знаете давно. Поэтому, когда слышите, что скорость движения автомобиля составляет 20 метров в секунду, то понимаете: автомобиль, двигаясь с такой скоростью, каждую секунду проходит расстояние 20 м.
Подумайте, какое расстояние проедет этот автомобиль за 10 секунд; за полсекунды; за 0,1 секунды. Скорее всего, большинство из вас ответили так: за 10 с автомобиль проедет 200 м, за полсекунды — 10 м, за 0,1 с — 2 м. И эти ответы правильны, если считать, что за любые (малые или большие) равные интервалы времени автомобиль проезжает одинаковый путь. То есть если автомобиль движется равномерно.
Равномерное движение — это механическое движение, при котором тело за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь. Обратите внимание на слова «любые равные интервалы времени». Иногда, рассматривая даже неравномерное движение тела, можно выделить такие равные интервалы времени, за которые тело проходит одинаковые расстояния. Например, каждые 30 с пловец проплывает дорожку в бассейне (25 м), но нельзя утверждать, что он движется равномерно, ведь при развороте он замедляет движение.
Равномерное прямолинейное движение
Если автомобиль равномерно движется по прямолинейному участку дороги, то за равные интервалы времени он совершает одинаковые перемещения (рис. 8.1), то есть проходит одинаковый путь и не изменяет направления своего движения. Такое движение называют равномерным прямолинейным.
Равномерное прямолинейное движение — это механическое движение, при котором за любые равные интервалы времени тело совершает одинаковые перемещения. Равномерное прямолинейное движение — простейший вид движения, который в жизни встречается редко. Примерами такого движения могут быть движение автомобиля на прямолинейном участке дороги (без разгона и торможения), падение металлического шарика в растительном масле, полет парашютиста через некоторое время после раскрытия парашюта.
Определение скорости равномерного движения
Полагаем, вам несложно определить скорость равномерного движения, например, пешехода, который прошел 30 м за 20 с. Из курса математики вы хорошо знаете, что для этого нужно путь, который прошел пешеход (l = 30м), разделить на время его движения (t = 20c).
Скорость равномерного движения (v) — это физическая величина, равная отношению пути l, пройденного телом, к интервалу времени t, в течение которого этот путь был пройден: 
Обратите внимание! В ходе равномерного прямолинейного движения модуль перемещения равен пути ( s= )l, поэтому значение скорости движения можно определить по любой из формул: 
В Международной системе единиц путь измеряют в метрах, время — в секундах, поэтому единица скорости движения в СИ — метр в секунду: 
равен скорости такого равномерного движения, при котором тело за 1 с проходит путь 1 м. Прибором для прямого измерения скорости движения служит спидометр.
Скорость движения
Скорость движения — векторная величина: она имеет не только значение, но и направление. На рисунках направление скорости движения тела показывают стрелкой (см. рис. 8.1, 8.2).
Если тело движется равномерно прямолинейно, то значение и направление скорости движения остаются неизменными (см. рис. 8.1). Если тело движется равномерно по криволинейной траектории, значение скорости движения остается неизменным, а направление все время изменяется (рис. 8.2). Направление и значение скорости движения зависят от того, относительно какого тела рассматривают движение. Представьте, что вы стоите в вагоне поезда, движущегося на восток (рис. 8.3). Поезд проезжает мимо станции со скоростью 
. В это время другой пассажир идет по вагону со скоростью 
, двигаясь в направлении, противоположном движению поезда. Как вы считаете, одинаковой ли будет скорость движения пассажира для вас и для людей, стоящих на перроне? Конечно, нет! Для вас пассажир движется на запад со скоростью 
а для людей на перроне он вместе с поездом движется на восток со скоростью 
Значение скорости движения может быть выражено не только в метрах в секунду, но и в других единицах. Например, автомобиль движется со скоростью 36 километров в час 
, ракета мчится со скоростью 8 километров в секунду 
, улитка ползет со скоростью 18 сантиметров в минуту 
Для решения задач нужно научиться представлять скорость движения, данную в одних единицах, в других единицах. Например, скорость движения автомобиля — 36 км/ч. Чтобы представить эту скорость в метрах в секунду, вспомним, что 1 ч = 3600 с, а 1 км = 1000 м. Тогда: 
Попробуйте представить в метрах в секунду скорости движения ракеты и улитки (приведены выше). Сложнее переводить в другие единицы скорость движения, данную в метрах в секунду, но последовательность действий остается той же. Например, скорость движения самолета — 250 м/с. Представим ее в километрах в час, вспомнив, что 1 м = 0,001 км; 
Чтобы скорость движения, представленную в метрах в секунду, выразить в километрах в час (и наоборот), можно воспользоваться схемой, приведенной на рис. 8.4.
Определяем путь и время движения тела
Из курса математики вы знаете: если известны скорость и время движения тела, то можно найти путь, который прошло тело. Для этого нужно скорость движения умножить на время: 
где l — путь; v — скорость движения; t — время движения с данной скоростью. Если известны путь и скорость движения тела, можно найти время движения тела. Для этого необходимо путь разделить на скорость движения: 
Иногда для определения пути, скорости или времени движения тела удобно пользоваться «волшебным треугольником» (рис. 8.5).
Итоги:
Равномерное движение — это механическое движение, при котором за любые равные интервалы времени тело проходит одинаковый путь. Равномерное прямолинейное движение — это механическое движение, при котором за любые равные интервалы времени тело совершает одинаковые перемещения. Скорость равномерного движения — это физическая величина, равная отношению пути, который прошло тело, к интервалу времени, в течение которого этот путь был пройден: 
Единица скорости движения в СИ — метр в секунду (м/с). Спидометр — прибор для прямого измерения скорости движения тела. Кроме значения скорость движения имеет направление. Направление и значение скорости движения тела зависят от выбора системы отсчета.
Может, вы будете удивлены, но в повседневной жизни вы уже встречались с физическими задачами и даже решали их. Приведем несколько примеров физических задач, прокомментируем основные этапы их решения, и в дальнейшем вы будете подходить к решению таких задач как настоящие физики.
Пример №1
Предположим, что до начала уроков остается 15 минут, а вы знаете, что расстояние от вашего дома до школы равно 1800 м. Придете ли вы вовремя, если будете идти со скоростью 
С какой наименьшей скоростью вы должны идти, чтобы не опоздать? Анализ физической проблемы. В задаче нужно найти: 1) время 
движения до школы с указанной скоростью 
; 2) наименьшую скорость 
с которой следует идти, чтобы затратить на путь не более 15 мин 
Движение будем считать равномерным. Скорость движения дана в 
, а путь — в единицах СИ. Представим время и значение скорости движения в единицах СИ: 
Закончив анализ, запишем краткое условие задачи.
Дано:
, 
, 
.
Найти:
,
.
Решение:
Движение равномерное, поэтому воспользуемся формулой для расчета скорости равномерного движения: 
Найдем выражения для расчета искомых величин 
Проверим единицы искомых величин:
Найдем числовые значения искомых величин:
Обратите внимание! Для получения ответа в выражение для искомой величины можно сразу подставлять и числовые значения, и единицы известных величин. В этом случае запись будет такой:
Анализ результатов. Поскольку 
то, двигаясь со скоростью 
вы не успеете к началу уроков. Чтобы не опоздать, нужно двигаться со скоростью, значение которой больше 
Именно такое значение получено в ходе решения. Следовательно, полученные значения искомых величин вполне правдоподобны.
Ответ: 
Пример №2
По озеру навстречу друг другу равномерно прямолинейно движутся два катера. На начало наблюдения расстояние между катерами составляло 1500 м. Скорость движения первого катера равна 
, второго — 
. Через какое время катера встретятся? Какое расстояние пройдет до встречи первый катер? Анализ физической проблемы. Катера движутся навстречу друг другу. Это значит, что они приближаются друг к другу со скоростью 
с этой же скоростью проходят расстояние l =1500 м. Задачу будем решать в единицах СИ.
Дано:
,
,
.
Найти:
,
.
Решение:
По определению скорости движения:
Так как 
Зная время t и скорость движения 
, определим путь 
, который пройдет первый катер до встречи:
Проверим единицы искомых величин:
Определим числовые значения искомых величин:
Анализ результатов. Так как первый катер движется медленнее второго, то до момента встречи он пройдет меньший путь. Такой результат и получен: 
соответственно 
Поэтому результаты вполне реальны.
Ответ: 
Графики равномерного движения
Велосипедист едет по трассе (рис. 10.1). Скорость движения, которую показывает спидометр велосипеда в любой момент времени, равна 5 м/с. Как описать движение велосипедиста и вообще любого тела с помощью графиков? Вспомним, ведь графики движения тел вы изучали в курсе математики 6 класса.
- Заказать решение задач по физике
График зависимости пути от времени для равномерного движения тела
Построим график зависимости пути, который проезжает велосипедист (см. рис. 10.1), от времени наблюдения — график пути. Для построения графика выполним следующие действия.
1. Заполним таблицу соответствующих значений времени t движения спортсмена и пути l, который он преодолевает за это время. Понятно, что в момент начала наблюдения t(=0 )путь равен нулю l(=0 . )За время t=2 c велосипедист преодолеет расстояние 10 м: 
Рассуждая аналогично, получим:
2. Проведем две взаимно перпендикулярных оси. На горизонтальной оси — оси абсцисс — отложим время движения велосипедиста в секундах (t, с) так, что одной клетке будет соответствовать интервал времени 2 с. На вертикальной оси — оси ординат — отложим путь в метрах (l, м) так, что одной клетке будет соответствовать путь, равный 10 м (рис. 10.2, а).
3. Построим точки с координатами: (0; 0), (2; 10), (4; 20), (6; 30), (8; 40), (10; 50). Абсциссы данных точек соответствуют времени движения спортсмена, ординаты соответствуют пути, который он проехал за это время (рис. 10.2, б).
4. Соединим построенные точки линией (рис. 10.2, в). Полученный отрезок прямой — график пути велосипедиста.
Обратите внимание! Велосипедист движется равномерно, поэтому путь, который он проезжает, можно определить по формуле 
, в любой момент времени 
; поэтому можно записать: 
, где время t дано в секундах. Равенство 
— уравнение зависимости пути, который проезжает велосипедист, от времени наблюдения.
При равномерном движении график пути — это всегда отрезок прямой, наклоненной под определенным углом к оси времени. Поэтому для построения графика пути достаточно определить путь l для двух значений времени t и через полученные две точки провести отрезок прямой. Например, чтобы построить график пути велосипедиста, можно взять время начала наблюдения t(=0 )и время окончания наблюдения ( t = 10 с) (рис. 10.3).
Что можно узнать по графику пути
График пути дает много полезной информации.
По графику пути можно:
- выяснить характер движения тела;
- определить путь, который проходит тело за определенный интервал времени;
- определить скорость движения тела;
- сравнить скорости движения тел: чем больше скорость движения тела, тем больше угол между графиком пути и осью времени (рис. 10.4).
Рассмотрим пример:
Пример №3
По графику пути, представленному на рис. 10.5, узнайте: 1) как двигалось тело; 2)какой путь прошло тело за первый час; за следующие два часа; 3) какой была скорость движения тела на каждом участке.
Решение:
По графику видим, что весь путь состоит из трех участков, на каждом из которых тело двигалось равномерно (график пути тела — отрезки прямых). Участок I. По графику видим, что путь, пройденный телом за первый час, равен 20 км, поэтому скорость движения тела составляла: 
Участок ІI. За следующие два часа тело прошло путь 
. Соответственно скорость движения тела была равна: 
Участок ІІI. Последний час путь не изменялся, значит, тело остановилось: 
Анализ результатов. По графику видим, что участок I графика образует с осью времени больший угол, чем участок IІ. Поэтому участок І соответствует большей скорости движения тела.
Строим график скорости равномерного движения тела
Вернемся к велосипедисту, движущемуся равномерно со скоростью v = 5 м/с (см. рис. 10.1). Построим график зависимости скорости его движения от времени наблюдения — график скорости движения. Для построения графика выполним следующие действия.
1. Заполним таблицу соответствующих моментов времени t движения велосипедиста и скорости движения v, которую он имел в эти моменты времени:
Велосипедист двигался равномерно, поэтому скорость его движения оставалась неизменной в течение всего времени наблюдения.
2. Проведем две взаимно перпендикулярных оси. На оси абсцисс отложим время движения велосипедиста в секундах (t, с), на оси ординат — скорость движения в метрах в секунду 
(рис. 10.6).
3. Построим точки с координатами (0; 5), (2; 5), (4; 5), (6; 5), (8; 5), (10; 5). Абсциссы указанных точек соответствуют времени движения спортсмена, ординаты — скорости его движения.
4. Соединим точки линией. Полученный отрезок прямой — график скорости движения велосипедиста. При равномерном движении график скорости движения тела — отрезок прямой, параллельной оси времени.
Что можно узнать по графику скорости движения тела
Рассмотрим график скорости движения некоторого тела (рис. 10.7, а) и узнаем о движении данного тела как можно больше.
1. В течение интервалов времени от 0 до 5 с и от 5 до 15 с тело двигалось равномерно, поскольку соответствующие участки графика скорости его движения — отрезки прямых, параллельных оси времени.
2. Скорость движения тела в течение последних 10 с наблюдения больше, чем в течение первых 5 с, поскольку второй участок графика расположен дальше от оси времени, чем первый участок (рис. 10.7, б).
В данном случае: 
— на интервале времени от 0 до 5 с; 
— на интервале времени от 5 до 15 с. 3. Можно определить путь l, который прошло тело (вспомните: 
). Так, за интервал времени от 5 до 15 с тело прошло путь 90 м: 
Этот путь численно равен площади заштрихованного прямоугольника (рис. 10.7, в): 
Обратите внимание! Для любого движения числовое значение пути, который прошло тело, равно числовому значению площади фигуры под графиком скорости движения этого тела.
Итоги:
При равномерном движении тела график пути — это всегда отрезок прямой, наклоненной под определенным углом к оси времени, а график скорости движения — это отрезок прямой, параллельной оси времени.
По графику пути можно:
- узнать, как двигалось тело;
- вычислить путь, который прошло тело за определенный интервал времени;
- вычислить и сравнить скорости движения тел: чем больше скорость движения тела, тем больше угол между графиком пути и осью времени.
По графику скорости движения можно:
- узнать, как двигалось тело;
- вычислить путь, который прошло тело за определенный интервал времени;
- вычислить и сравнить скорости движения тел: чем больше скорость движения тела, тем дальше от оси времени расположен график скорости его движения.
- Неравномерное движение
- Вращательное движение тела
- Равномерное движение материальной точки по окружности
- Колебательное движение
- Движение и взаимодействие
- Относительность движения
- Поступательное движение
- Равномерное и неравномерное движение
Неравномерное прямолинейное движение. Средняя скорость
- График скорости при неравномерном прямолинейном движении
- Как найти путь и перемещение по графику скорости?
- Средняя скорость и средняя путевая скорость
- Задачи
- Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела
п.1. График скорости при неравномерном прямолинейном движении
Прямолинейное и равномерное движение возможно лишь на участке пути.
Любое тело со временем меняет свою скорость, как по величине, так и по направлению.
Движение с переменной скоростью называют неравномерным.
Для описания неравномерного движения его можно разбить на участки, на которых скорость постоянна, и свести задачу к уже известному нам равномерному прямолинейному движению.
Например, пусть велосипедист добрался из города A в город B за 1 час. Первые полчаса он ехал со скоростью 9 км/ч, а потом проколол шину, и вторые полчаса шел пешком со скоростью 3 км/ч.
Направим ось ОХ также от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9 text{км/ч}, v_{x2}=3 text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:
Графиком скорости (v_x=v_x(t)) при неравномерном прямолинейном движении, которое можно разбить на участки с постоянной скоростью, является ломаная линия.
п.2. Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Мы уже знаем, что путь равен площади прямоугольника, который образуется между отрезком графика скорости и отрезком (triangle t) на оси (t) (см. §8 данного справочника).
В таком случае, путь велосипедиста в нашем примере:
begin{gather*} s=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2\ s=9cdot 0,5+3cdot 0,5=4,5+1,5=6 text{(км)} end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км.
Общий путь велосипедиста равен 6 км. Расстояние между городами 6 км. 
Если принять город A за начало отсчета с (x_0=0), то координата велосипедиста в конце пути: $$ x_{к}=x_0+s=0+6=6 text{(км)} $$ Перемещение по оси ОХ: (triangle x=x_{к}-x_0=6 text{(км)}).
Теперь рассмотрим другую ситуацию. Пусть велосипедист выехал из A в B и двигался со скоростью 9 км/ч в течение получаса. Но, после того как проколол шину, он развернулся и пошел пешком назад в A. Где будет находиться велосипедист через полчаса после разворота?
Снова направим ось ОХ от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9 text{км/ч}, v_{x2}=-3 text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:
Путь велосипедиста по-прежнему будет равен сумме площадей прямоугольников, которые образует ломаная (v_x(t)) с осью (t): begin{gather*} x=v_{x1}cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdottriangle t_2\ s=9cdot 0,5+3cdot 0,5=4,5+1,5=6 text{(км)} end{gather*} 
Если мы учтем знак (v_{x2}) и уберем модуль, то получим величину перемещения по оси ОХ: begin{gather*} triangle x=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2\ triangle x=9cdot 0,5-3cdot 0,5=4,5-1,5=3 text{(км)} end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км в обратном направлении.
Конечная координата: $$ x_{к}=x_0+triangle x=0+3=3 text{(км)} $$ 
Ответ на вопрос задачи найден. Через полчаса после разворота велосипедист будет находиться в точке D в 3 км от города A.
Пусть неравномерное прямолинейное движение разбито на (n) участков с постоянными скоростями. Каждому такому участку соответствует промежуток времени (triangle t_i) и постоянная скорость (v_{xi}, i=overline{1,n}).
Тогда:
Весь пройденный путь равен сумме площадей прямоугольников на графике скорости: $$ s=|v_{x1}|cdottriangle t_1+|v_{x2}|cdottriangle t_2+…+|v_{xn}|cdottriangle t_n $$ Величина перемещения по оси ОХ равна сумме площадей прямоугольников с учетом знака: $$ triangle x=v_{x1}cdottriangle t_1+v_{x2}cdottriangle t_2+…+v_{xn}cdottriangle t_n $$ Конечная координата равна: (x_{к}=x_0+triangle x).
п.3. Средняя скорость и средняя путевая скорость
Средняя скорость на нескольких участках движения равна отношению общего перемещения к общему времени, затраченному на это перемещение: $$ overrightarrow{v_{cp}}=frac{overrightarrow{r_1}+overrightarrow{r_2}+…+overrightarrow{r_n}}{t_1+t_2+…+t_n}=frac{overrightarrow{r}}{t} $$
Средняя путевая скорость на нескольких участках движения равна отношению общего пути к общему времени, затраченному на этот путь: $$ v_{cp.п}=frac{s_1+s_2+…+s_n}{t_1+t_2+…+t_n}=frac{s}{t} $$
Если тело все время движется в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости, т.к. на каждом участке путь совпадает с модулем перемещения.
Если тело меняет направление движения, величина средней скорости меньше средней путевой скорости.
В нашем примере с велосипедистом, который все время двигался в одну сторону и дошел до города B, получаем: begin{gather*} |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{|overrightarrow{r}|}{t}=frac{triangle x}{t}=frac 61=6 text{(км/ч)}\ v_{cp.п}=frac st=frac 61=6 text{(км/ч)} end{gather*} Величина средней скорости равна средней путевой скорости.
А вот для случая, когда велосипедист развернулся и пошел обратно: begin{gather*} |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{|overrightarrow{r}|}{t}=frac{triangle x}{t}=frac 31=3 text{(км/ч)}\ v_{cp.п}=frac st=frac 61=6 text{(км/ч)} end{gather*} Величина средней скорости меньше средней путевой скорости.
п.4. Задачи
Задача 1. По графику скоростей найдите среднюю скорость и среднюю путевую скорость движения.
a)
Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
begin{gather*} triangle t_1=3-0=3 c, v_{x1}=5 text{м/с}\ triangle t_2=5-3=2 c, v_{x2}=1 text{м/с}\ triangle t_3=7-5=2 c, v_{x3}=2 text{м/с}\ end{gather*} Общий путь: begin{gather*} s=|v_{x1}|cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdot triangle t_2+|v_{x3}|cdot triangle t_3\ s=5cdot 3+1cdot 2+2cdot 2=21 text{(м)} end{gather*} Все проекции скоростей положительны, тело двигалось в одном направлении, общее перемещение равно общему пути: (triangle x=s=21) (м)
Общее время: (t=triangle t_1+triangle t_2+triangle t_3=3+2+2=7) (с)
Величина средней скорости равна средней путевой скорости: $$ |overrightarrow{v_{cp}}|=v_{cp.п}=frac st=frac{21}{7}=3 text{(м/с)} $$ Ответ: (|overrightarrow{v_{cp}}|=v_{cp.п}=3 text{(м/с)})
б) 
Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
begin{gather*} triangle t_1=3-0=3 c, v_{x1}=5 text{м/с}\ triangle t_2=5-3=2 c, v_{x2}=-2 text{м/с}\ triangle t_3=7-5=2 c, v_{x3}=1 text{м/с}\ end{gather*} Общий путь: begin{gather*} s=|v_{x1}|cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdot triangle t_2+|v_{x3}|cdot triangle t_3\ s=5cdot 3+2cdot 2+1cdot 2=21 text{(м)} end{gather*} Проекции скоростей имеют разные знаки, тело двигалось вперед и назад.
Общее перемещение будет меньше общего пути: begin{gather*} triangle x=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2+v_{x3}cdot triangle t_3\ triangle x=5cdot 3-2cdot 2+1cdot 2=13 text{(м)} end{gather*} Общее время: (t=triangle t_1+triangle t_2+triangle t_3=3+2+2=7) (c)
Величина средней скорости: $$ |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{triangle x}{t}=frac{13}{7}approx 1,86 text{(м/с)} $$ Средняя путевая скорость: $$ v_{cp.п}=frac st=frac{21}{7}=3 text{(м/с)} $$ Ответ: (|overrightarrow{v_{cp}}|approx 1,86 text{(м/с)}; v_{cp.п}=3 text{(м/с)})
Задача 2. Мотоциклист проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью 40 км/ч. Потом увеличил скорость до 80 км/ч и проехал расстояние в два раза меньше. Найдите среднюю скорость мотоциклиста за все время движения.
Мотоциклист двигался все время в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости: (v_{cp}=frac st), где (s) — весь путь, (t) — все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | 40 | (frac{2d}{40}=frac{d}{20}) | (2d) |
| 2й участок | 80 | (frac{d}{80}) | (d) |
| Сумма | — | (t=frac{d}{20}+frac{d}{80}) | (s=2d+d=3d) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{d}{20}+frac{d}{80}=frac{4d+d}{80}=frac{5d}{80}=frac{d}{16} $$ Получаем: $$ v_{cp}=frac st=frac{3d}{d/16}=3cdot 16=48 text{(км/ч)} $$
Ответ: 48 км/ч
Задача 3. Автомобиль проехал первую половину пути по шоссе со скоростью 90 км/ч, а вторую половину – по грунтовой дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.
Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
(v_{cp}=frac st), где (s) — весь путь, (t) — все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | 90 | (frac{s}{2cdot 90}=frac{s}{180}) | (frac s2) |
| 2й участок | 30 | (frac{s}{2cdot 30}=frac{s}{60}) | (frac s2) |
| Сумма | — | (t=frac{s}{180}+frac{s}{60}) | (s) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{s}{180}+frac{s}{60}=frac{s+3s}{180}=frac{4s}{180}=frac{s}{45} $$ Получаем: $$ v_{cp}=frac st=frac{s}{s/45}=45 text{(км/ч)} $$
Ответ: 45 км/ч
Задача 4*. Туристы прошли по маршруту со средней скоростью 32 км/ч. Маршрут был разделен на три участка, первый участок преодолевался пешком, второй – на автобусе, третий – на катере. Найдите скорость на каждом участке, если длины этих участков относятся как 1:4:45, а соответствующие интервалы времени как 4:1:20.
Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
(v_{cp}=frac st), где (s) — весь путь, (t) — все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | (frac{d}{4t}) | (4t) | (d) |
| 2й участок | (frac{4d}{t}) | (t) | (4d) |
| 3й участок | (frac{45d}{20t}) | (20t) | (45d) |
| Сумма | — | (25t) | (50d) |
По условию средняя скорость: $$ v_{cp}=frac st=frac{50d}{25t}=2cdot frac dt=32Rightarrow frac dt=16 $$ Получаем: begin{gather*} v_1=frac{d}{4t}=frac{16}{4}=4 text{(км/ч)}\ v_2=frac{4d}{t}=4cdot 16=64 text{(км/ч)}\ v_3=frac{9d}{4t}=frac{9}{4}cdot 16=36 text{(км/ч)} end{gather*}
Ответ: 4 км/ч, 64 км/ч и 36 км/ч
Задача 5*. Первую половину маршрута турист проехал на попутном автомобиле в 10 раз быстрее по сравнению с ходьбой пешком, а вторую половину – на попутном возу в 2 раза медленней. Сэкономил ли турист время на всем маршруте по сравнению с ходьбой пешком?
Пусть (v) — скорость туриста при ходьбе пешком.
Найдем среднюю путевую скорость (v_{cp}) и сравним ее со скоростью (v).
Если (v_{cp}gt v), то турист выиграл время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | (10v) | (frac{s}{2cdot 10v}=frac{s}{20v}) | (frac s2) |
| 2й участок | (frac{v}{2}) | (frac{s}{2cdot v/2}=frac sv) | (frac s2) |
| Сумма | — | (t=frac{s}{20v}+frac sv) | (s) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{s}{20v}+frac sv=frac svleft(frac{1}{20}+1right)=frac{21}{20}cdot frac sv $$ Средняя скорость: $$ v_{cp}=frac{s}{frac{21}{20}cdotfrac sv}=frac{20}{21}vgt v $$Средняя скорость поездки оказалась меньше пешей скорости туриста.
Значит, он не выиграл по времени.
Ответ: нет
п.5. Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела
Цель работы
Научиться определять среднюю скорость движения тела по данным измерений на разных участках. Научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности при подстановке данных измерений в формулы.
Теоретические сведения
В лабораторной работе изучается движение тела (шарика) по двум участкам (желобам) с различной скоростью.
Величина средней скорости при движении на двух участках определяется как средняя путевая скорость: $$ v_{cp}=frac{s_1+s_2}{t_1+t_2} $$ где (s_1) и (s_2) – длина первого и второго участка; (t_1) и (t_2) — время движения по каждому из участков.
Длина участков измеряется с помощью мерной ленты с ценой деления (triangle=1) см,
инструментальная погрешность равна: (d=frac{triangle}{2}=0,5) см
Абсолютная погрешность измерений при работе с мерной лентой равна инструментальной погрешности, поэтому: (triangle s_1=triangle s_2=d=0,5) см
Погрешность суммы двух длин: (triangle(s_1+s_2)= triangle s_1+triangle s_2=2d=1) см
Измерение времени на каждом участке проводится в сериях их 5 измерений по методике, описанной в Лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
Погрешность суммы двух измерений: (triangle(t_1+t_2)=triangle t_1+triangle t_2)
Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $$ delta_{v_{cp}}=delta_{s_1+s_2}+delta_{t_1+t_2} $$ Абсолютная погрешность определения средней скорости: $$ triangle v_{cp}=v_{cp}cdot delta_{v_{cp}} $$
Приборы и материалы
Два желоба (не менее 1 м каждый), шарик, мерная лента, секундомер.
Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Соберите установку, как показано на рисунке. Установите один желоб под углом, другой – горизонтально, закрепите, поставьте в конце горизонтального участка упор. Подберите длину желобов и наклон так, чтобы движение по каждому участку было не менее 1 с. 
3. Измерьте фактическую длину каждого участка движения в готовой установке с помощью мерной ленты.
4. Найдите относительную погрешность суммы двух длин (delta_{s_1+s_2}=frac{triangle(s_1+s_2)}{s_1+s_2})
5. Проведите серии по 5 экспериментов для определения (t_1) и (t_2) с помощью секундомера.
6. Найдите (triangle t_1, triangle t_2, triangle(t_1+t_2), delta_{t_1+t_2})
7. По результатам измерений и вычислений найдите (v_{cp}, delta_{v_{cp}}) и (triangle v_{cp}).
8. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
1) Измерение длин
Цена деления мерной ленты (triangle =1) см
Инструментальная погрешность мерной ленты (d=frac{triangle}{2}=0,5) см
Результаты измерений:
(s_1=112) cм
(s_2=208) cм
Сумма длин участков: (s_1+s_2=112+208=320) (см)
Абсолютная погрешность суммы: (triangle (s_1+s_2)=triangle s_1+triangle s_2=2d=1) см
Относительная погрешность суммы: $$ delta_{s_1+s_2}=frac{triangle (s_1+s_2)}{s_1+s_2}=frac{1}{320}=0,3125% $$
2) Измерение времени
Цена деления секундомера (triangle =0,2) с
Инструментальная погрешность секундомера (d=frac{triangle}{2}=0,1) с
Время движения по наклонному желобу
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| (t_1) c | 1,5 | 1,6 | 1,5 | 1,4 | 1,4 | 7,4 |
| (triangle) c | 0,02 | 0,12 | 0,02 | 0,08 | 0,08 | 0,32 |
Найдем среднее время спуска с наклонного желоба: $$ t_1=frac{1,5+1,6+1,5+1,4+1,4}{5}=frac{7,4}{5}=1,48 (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_1): $$ triangle_1=|1,5-1,48|=0,02; triangle_2=|1,6-1,48|=1,02 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0,02+0,12+0,02+0,08+0,08}{5}=frac{0,32}{5}=0,064 text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t_1=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,064right}=0,1 text{c} $$ Округляем полученное значение времени до десятых. begin{gather*} t_1=(1,5pm 0,1) text{c}\ delta_{t_1}=frac{0,1}{1,5}=frac{1}{15}approx 6,7text{%} end{gather*} Время движения по горизонтальному желобу
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| (t_2) c | 2,3 | 2,4 | 2,2 | 2,2 | 2,4 | 11,5 |
| (triangle) c | 0 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,4 |
Найдем среднее время движения по горизонтали: $$ t_2=frac{2,3+2,4+2,2+2,2+2,4}{5}=frac{11,5}{5}=2,3 (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_2): $$ triangle_1=|2,3-2,3|=0; triangle_2=|2,4-2,3|=0,1 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0+0,1+0,1+0,1+0,1}{5}=frac{0,4}{5}=0,08 text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t_2=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,08right}=0,1 text{c} $$ Получаем: begin{gather*} t_2=(2,3pm 0,1) text{c}\ delta_{t_2}=frac{0,1}{2,3}=frac{1}{23}approx 4,4text{%} end{gather*}
3) Расчет погрешности суммы интервалов времени
Сумма интервалов времени: $$ t_1+t_2=1,5+2,3=3,8 text{(c)} $$ Абсолютная погрешность суммы: $$ triangle(t_1+t_2)=triangle t_1+triangle t_2=0,1+0,1=0,2 text{(c)} $$ Относительная погрешность суммы: $$ delta_{t_1+t_2}=frac{triangle (t_1+t_2)}{t_1+t_2}=frac{0,2}{3,8}=frac{1}{19}approx 5,3text{%} $$
4) Расчет средней скорости $$ v_{cp}=frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=frac{320}{3,8}approx 84,2 left(frac{text{см}}{text{c}}right) $$ Относительная ошибка частного: $$ delta_{v_{cp}}=delta_{s_1+s_2}+delta_{t_1+t_2}=frac{1}{320}+frac{1}{19}approx 0,003125+0,0526approx 0,0557approx 0,056=5,6text{%} $$ (оставляем две значащие цифры).
Абсолютная ошибка: $$ v_{cp}=v_{cp}cdotdelta_{v_{cp}}=84,2cdot 0,056approx 4,7 left(frac{text{см}}{text{c}}right) $$ Получаем: begin{gather*} v_{cp}=(84,2pm 4,7) text{см/с}\ delta_{v_{cp}}=5,6text{%} end{gather*}
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Измерения длин проводились с помощью мерной ленты. Ошибка измерений равна инструментальной ошибке 0,5 см.
Измерения времени проводились с помощью секундомера. По результатам серий экспериментов ошибка была принята равной инструментальной 0,1 с.
Получена величина средней скорости: begin{gather*} v_{cp}=(84,2pm 4,7) text{см/с}\ delta_{v_{cp}}=5,6text{%} end{gather*}
По графику зависимости пути от времени для равномерного движения определите значение наименьшей скорости
По графику зависимости пути от времени для равномерного движения определите значение наименьшей скорости
Наименьший наклон на участке времени 0-2 с. Это и есть участок равномерного движения с наименьшей скоростью. Участок 2-4 с — тело не двигалось, стояло.
(v=frac{S_{t=2}-S_{t=0}}{t_2-t_1}=frac{10-0}{2-0}=5;text{м/с})
Ответ: 5 м/с