Нахождение НОД и НОК чисел
Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.
Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:
2 числа
3 числа
4 числа
| Первое число | Второе число |
Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6
Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144
Это следует знать!
Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7
Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел m и n называется наибольшее число,
на которое m и n делятся без остатка.
Например, для чисел 125 и 75 НОД равен 25.
Как найти наибольший общий делитель?
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, надо:
-
Представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
-
Записать степени всех простых множителей:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51.
- Выписать все общие простые множители этих чисел.
- Выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях.
- Перемножить эти степени.
Пример. Найти НОД чисел 450 и 390.
Представим числа как произведение их простых множителей:
450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 21 · 32 · 52,
390 = 2 · 3 · 5 · 13 = 21 · 31 · 51 · 131.
Видим, что общими являются множители 2, 3 и 5. Наименьшая степень каждого множителя 1.
Тогда НОД(450, 390) = 2 · 3 · 5 = 30.
Наименьшее общее кратное
Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел m и n называется наименьшее натуральное число,
которое делится и на m, и на n.
Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n равно отношению произведения m и n к НОД(m, n):
НОК(m, n) = (m · n) / НОД(m, n).
Пример. Найти НОК чисел 450 и 390.
Зная НОД этих чисел, можно легко найти их НОК. Для этого произведение чисел следует разделить на их НОД:
НОК(450, 390) = (450 · 390) / 30 =
= (2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 2 · 3 · 5 · 13) / (2 · 3 · 5) =
= 2 · 3 · 5 · 5 · 13 = 5850
Онлайн калькулятор наибольшего общего делителя
Калькулятор находит наибольший общий делитель двух или более чисел. Числа вводите через запятую.
Смотрите также
- Разложение числа в произведение простых множителей
- Нахождение наименьшего общего кратного
- Признаки делимости
НОД и НОК
❓Инструкция
Калькулятор для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух и более чисел.
Для правильной работы калькулятора:
В поля для чисел вводятся числа в диапазоне от [1, n].
Ограничения: для данного калькулятора есть ограничение сверху. Число n должно содержать в себе до 500 символов. То есть максимальная длина числа n — 500.
Калькулятор вычислит НОД для всех введенных чисел, или НОК, в зависимости от выбранного режима.
📖 Теория
Определение:
Будем рассматривать только положительные делители чисел. Если b | a1, … , an , то b называется общим делителем чисел a1, … , an. Говоря не на языке математики, если положительное число b делит числа a1, … , an то b является общим делителем чисел a1, … , an. Наибольший из таких общих делителей называется наибольшим общим делителем (НОД) и обозначается a1, … , an или НОД(𝑎1, . . . , 𝑎𝑛).
Свойства НОД
Если 𝑏|𝑎, то (𝑎, 𝑏) = 𝑏. Если 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑐, то (𝑎, 𝑏) = (𝑏, 𝑐).
➕ Примеры
Возьмем например три любых натуральных числа. Пусть A = 145, B = 20, С = 355; Найдем сначала НОД. Можем воспользоваться алгоритмом Евклида, но мы рассмотрим другой способ:
Разложим все числа на простые множители
145 = 5 ∙ 29
20 = 22 ∙ 5
355 = 5 ∙ 71
Затем, выписываем те множители, которые входят во все разложения. Видим, что во все три разложения входит только число 5. Значит 5 является наибольшим общим делителем чисел A, B и C.
Ответ: НОД(A, B, C) = 5.
Теперь найдем НОК этих же чисел.
Аналогично примеру выше, разложим числа на простые множители. Сначала запишем разложение на множители самого большого число, затем остальные числа.
355 = 5 ∙ 71
145 = 5 ∙ 29
20 = 22 ∙ 5
Теперь найдем в разложении меньших чисел множители, которые не вошли в разложение наибольшего числа. Таковыми являются 29 и 22
Чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители добавить к множителям большего числа и перемножить их:
НОК (145; 20; 355) = 5 ∙ 71 ∙ 29 ∙ 22 = 41180
Ответ: НОК (145; 20; 355) = 41180
Наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел
Алгоритм Евклида для нахождения НОД
Сейчас я расскажу вам, как находить наибольший общий делитель двух целых чисел алгоритмом Евклида.
Это довольно просто. Надо строить уменьшающуюся последовательность чисел, первое число которой это максимальное из двух целых, чей НОД мы ищем, второе — соответственно, минимальное из двух целых, а каждое следующее представляет из себя остаток от деления пред-предыдущего на предыдущее. Последний ненулевой член последовательности и есть НОД.
Чтобы было легче воспринять, проиллюстрируем это примером. Найдем НОД для чисел 13 и 17.
1 шаг. Сформируем два первых числа последовательности
17, 13
2 шаг. Третье число последовательности — остаток от деления 17 на 13, то есть 4
17, 13, 4
3 шаг. Четвертое число последовательности — остаток от деления 13 на 4, то есть 1
17, 13, 4, 1
4 шаг. Пятое число последовательности — остаток от деления 4 на 1, то есть 0
17, 13, 4, 1, 0
Перед нулем стоит 1 — последний ненулевой член последовательности. Следовательно, это и есть искомый НОД. С учетом того, что и 13 и 17 — простые числа, это действительно так.
© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com