Видеоурок наибольшее и наименьшее значение функции
Математический анализ, 13 урок, Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Алгебра 11 класс (Урок№17 — Наибольшее и наименьшее значения функций.)
Алгебра 10 класс. 12 сентября. Наименьшее и наибольшее значение функции
Наибольшее значение и наименьшее значение
непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки.
3. Выбрать те из критических точек, которые принадлежат данному отрезку.
4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
1. Элементарные функции
2. Применение формул производной произведения и частного
| 2.1 | Найдите точку минимума функции y=(3-x)cdot e^{3-x}. | Смотреть видеоразбор |
| 2.2 | Найдите точку максимума функции y=(x^2-10x+10)cdot e^{5-x}. | Смотреть видеоразбор |
| 2.3 | Найдите наименьшее значение функции y=(x-1)e^x на отрезке [-1;1]. | Смотреть видеоразбор |
| 2.4 | Найдите наибольшее значение функции y=(10-x)sqrt{x+2} на отрезке [-1; 7]. | Смотреть видеоразбор |
| 2.5 | Найдите наименьшее значение функции y=2xsqrt{x}-9x+11 на отрезке [2; 9]. | Смотреть видеоразбор |
| 2.6 | Найдите наибольшее значение функции y=(x-2)^2(x-4)+5 на отрезке [1; 3]. | Смотреть видеоразбор |
| 2.7 | Найдите точку максимума функции y=(x+5)e^{5-x}. | Смотреть видеоразбор |
| 2.8 | Найдите точку минимума функции y=(10-x)e^{10-x}. | Смотреть видеоразбор |
| 2.9 | Найдите наименьшее значение функции y=x^2+frac{25+x^2-x^3}{x} на отрезке [1; 10]. | Смотреть видеоразбор |
3. Применение формулы производной сложной функции
4. Тригонометрические функции
| 4.1 | Найдите наибольшее значение функции y=8x-4tg;x-2pi+2 на отрезке [-frac{pi}{3}; frac{pi}{3}]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.2 | Найдите наименьшее значение функции y=4sin{x}+3cos{x} на отрезке [0; 7]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.3 | Найдите наибольшее значение функции y=2cos{x}-frac{18}{pi}x+4 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.4 | Найдите наименьшее значение функции y=5sin{x}+frac{24}{pi}x+6 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.5 | Найдите наибольшее значение функции y=3tg{x}-3x+5 на отрезке [-frac{pi}{4}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.6 | Найдите наименьшее значение функции y=3cos{x}-frac{48}{pi}x+19 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.7 | Найдите наименьшее значение функции f(x)=sin{x}+sqrt{1+sin^2{x}}. | Смотреть видеоразбор |
| 4.8 | Найдите наибольшее значение функции y=33x-30sin{x}+29 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.9 | Найдите точку максимума функции y=(2x-3)cos{x}-2sin{x}+5, принадлежащую промежутку (0; frac{pi}{2}). | Смотреть видеоразбор |
| 4.10 | Найдите точку максимума функции y=(2x-1)cos{x}-2sin{x}+5, на промежутке (0; frac{pi}{2}). | Смотреть видеоразбор |
| 4.11 | Найдите наибольшее значение функции y=2sin{x}-frac{36}{pi}x+9 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.12 | Найдите наибольшее значение функции y=7sqrt{2}cos{x}+7x-frac{7pi}{4}+4 на отрезке [0; frac{pi}{2}]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.13 | Найдите наибольшее значение функции y=12cos{x}+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi+6 на отрезке [0; frac{pi}{2}]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.14 | Найдите наибольшее значение функции y=12tg;x -12x+3pi-7 на отрезке [-frac{pi}{4}; frac{pi}{4}]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.15 | Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24x}{pi}+5 на промежутке [-frac{2pi}{3}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.16 | Найдите наименьшее значение функции y=3+frac{5pi}{4}-5x-5sqrt{2}cos{x} на отрезке [0; frac{pi}{2}]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.17 | Найдите наименьшее значение функции y=5cos{x}-6x+4 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.18 | Найдите наибольшее значение функции y=15x-3sin{x}+5 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.19 | Найдите наименьшее значение функции y=9cos{x}+14x+7 на отрезке [0; frac{3pi}{2}]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.20 | Найдите наименьшее значение функции y=7sin{x}-8x+9 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.21 | Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24}{pi}x+5 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 4.22 | Найдите наибольшее значение функции y=10sin{x}-frac{36}{pi}x+7 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0]. | Смотреть видеоразбор |
5. Логарифмическая и показательная функции
| 5.1 | Найдите наименьшее значение функции y=3x-ln(x+3)^3 на отрезке [-2,5; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 5.2 | Найдите наименьшее значение функции y=9x-ln(9x)+3 на отрезке [frac{1}{18}; frac{5}{18}]. | Смотреть видеоразбор |
| 5.3 | Найдите наибольшее значение функции y=2x^2-13x+9cdot ln{x}+8 на отрезке [frac{13}{14}; frac{15}{14}]. | Смотреть видеоразбор |
| 5.4 | Найдите наименьшее значение функции y=5x-ln(x+5)^5 на отрезке [-4,5; 1]. | Смотреть видеоразбор |
| 5.5 | Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x-2)^7 на отрезке [-1,5; 0]. | Смотреть видеоразбор |
| 5.6 | Найдите точку максимума функции y=ln(x+4)^2+2x+7. | Смотреть видеоразбор |
| 5.7 | Найдите наименьшее значение функции y=log_{sqrt{3}}(x-4sqrt{x-2}+5) на отрезке [5; 10]. | Смотреть видеоразбор |
| 5.8 | Найдите наименьшее значение функции y=4^x-2^{x+4}+100. | Смотреть видеоразбор |
6. Функции, в которых присутствует квадратичная в виде «вложенной»
| 6.1 | Найдите наименьшее значение функции y=2^{x^2+100x+2503} | Смотреть видеоразбор |
| 6.2 | Найдите наибольшее значение функции y=5^{-3x^2+18x-24}. | Смотреть видеоразбор |
| 6.3 | Найдите точку максимума функции y=-sqrt{x^2-8x+17}. | Смотреть видеоразбор |
| 6.4 | Найдите наибольшее значение функции y=3^{-7-6x-x^2}. | Смотреть видеоразбор |
| 6.5 | Найдите наибольшее значение функции y=log_5(4-2x-x^2)+3. | Смотреть видеоразбор |
| 6.6 | Найдите точку максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2}. | Смотреть видеоразбор |
7. Задачи на первообразную (не входят в ЕГЭ этого года)
| 7.1 | Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1). | Смотреть видеоразбор |
| 7.2 | Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2−2x−3 на отрезке [0;6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке. | Смотреть видеоразбор |
| 7.3 | Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2-2x-3 на отрезке [0; 6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке. | Смотреть видеоразбор |
| 7.4 | Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1). | Смотреть видеоразбор |
| 7.5 | Один из двух нулей первообразной F(x) для функции f(x)=5x-1 равен -3. Найдите второй нуль. | Смотреть видеоразбор |
Сегодня на уроке мы вспомним, что называют наибольшим и наименьшим
значениями функции. Научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке.
Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним,
что, говоря о наибольшем или наименьшем значении функции, её рассматривают на
всей области определения или на числовом промежутке (отрезке, интервале и так
далее), который является подмножеством области определения.
Пусть функция определена на числовом множестве
.
Число называется наибольшим значением функции
на числовом множестве
, если существует
из
такое, что
, и для любого
из
большое выполняется неравенство
.
Например, функция . Её область определения – множество действительных чисел. Число 0
– наибольшее значение функции на всей области определения, так как и
при любом значении
из области определения функции. В этом случае можно записать:
при
.
Число маленькое называется наименьшим значением функции
на числовом множестве
, если существует
из
такое, что
, и для любого
из
выполняется неравенство
.
Например, функция . Её область определения – множество действительных чисел. Число
– наименьшее значение функции на всей области определения, так
как и
, то есть
при любом значении
из области определения функции. В этом случае можно записать:
при
.
На практике часто приходится решать задачи, в которых требуется
найти наибольшее или наименьшее значение из всех значений, которые функция
принимает на отрезке.
Посмотрите на график функции , который построен на отрезке
.
Видим, что наибольшее значение на этом отрезке, равное 0, функция
принимает в точке и в точке
. Наименьшее значение, равное
, функция принимает при
.
Точка является точкой минимума данной функции. Это означает, что есть
такая окрестность точки , например, интервал
, что в этой окрестности функция принимает своё наименьшее
значение при .
Но на отрезке функция принимает наименьшее значение не в точке минимума, а на
конце отрезка. Таким образом, для нахождения наименьшего значения функции на
отрезке нужно сравнить её значения в точках минимума и на концах отрезка.
Итак, пусть функция непрерывна на отрезке
и имеет несколько критических точек на этом отрезке. Для
нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке нужно:
1) найти значения функции на концах отрезка, то есть числа и
;
2) найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат
интервалу ;
3) из всех найденных значений найти наибольшее и наименьшее.
Рассмотрим пример. Функция непрерывна на отрезке
. Найдите её наибольшее и наименьшее значения.
Отметим, что наибольшее и наименьшее значения функции часто
приходится находить не на отрезке, а на интервале. Встречаются задачи, в
которых функция имеет на заданном интервале одну стационарную точку: точку
минимума или точку максимума. В этих случаях в точке максимума функция принимает наибольшее значение на данном интервале, а в точке
минимума – наименьшее значение на данном интервале.
Давайте решим задачу. Число представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы
сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
А сейчас сформулируем утверждение, которое полезно использовать
при решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции.
Если значения функции неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция
, где
– натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в
одной и той же точке.
А сейчас выполним задание.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на заданных
отрезках:
а) ,
; б)
,
.
Решение.
Наименьшее значение функции онлайн
Чтобы найти наименьшее значение заданной функции, то стоит воспользоваться сервисом на сайте «Контрольная работа РУ».
На примере функции 
как можно найти наименьшее значение онлайн.
Итак:
1. Вам нужно перейти на страницу сервиса по исследованию функций онлайн и построения графиков.
2. Для указанного примера вбиваем функцию x^2 + 5*x — 1 в форму:
3. После того как вбили функцию, для которой надо найти наименьшее значение, то нажимаем кнопку «Найти наименьшее значение!»
4. Ждём, когда сервер произведёт исследование функции (1-2 сек) и вы увидите результат данного исследования. В том числе там будет подробное решение по нахождению наименьшего значения функции. Я скопировал часть результата исследования для моего примера, которая связана с вычислением минимального значения функции:
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y’=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
- x=-5/2. Точка: (-5/2, -29/4)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
- Минимумы функции в точках:
- -5/2
- Максимумов у функции нету
- Возрастает на промежутках: [-5/2, oo)
- Убывает на промежутках: (-oo, -5/2]
Видим, что наименьшее значение функции для моего примера найдено и равно y min = -5/2 = — 2.5
Тэги: функция
Видео
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (max y и min y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [—6;6].
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [1;6] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [—3;2]. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 — 3x^2 — 4 $ на отрезке $ [0;2] $ |
| Решение |
|
Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $. Находим производную: $$ y’ = (2x^3 — 3x^2 — 4)’ = 6x^2 — 6x $$ Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки: $$ 6x^2 — 6x = 0 $$ $$ 6x(x — 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$ Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $: $$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$ Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $: $$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 — 3 cdot 0^2 — 4 = -4 $$ $$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 — 3 cdot 1^2 — 4 = -5 $$ $$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 — 3 cdot 2^2 — 4 = 0 $$ Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ M = 0, m = -5 $$ |
Решение задач от 20 руб подробное написание Рефераты от 200 руб Уникальность 95%
| Пример 2 |
| Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $ |
| Решение |
|
Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $. Выполняем нахождение производной: $$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$ $$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$ Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки: $$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$ Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $. Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $: $$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$ $$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$ $$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$ Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $. |
| Ответ |
| $$ m = 0, M = 1 $$ |