Загрузить PDF
Загрузить PDF
Скорость является функцией времени и определяется как абсолютной величиной, так и направлением.[1]
Часто в задачах по физике требуется найти начальную скорость (ее величину и направление), которой изучаемый объект обладал в нулевой момент времени. Для вычисления начальной скорости можно использовать различные уравнения. Основываясь на данных, приведенных в условии задачи, вы можете выбрать наиболее подходящую формулу, которая позволит легко получить искомый ответ.
-
1
Используйте подходящее уравнение. При решении физической задачи необходимо знать, какая формула вам понадобится. Для этого первым делом следует записать все данные, приведенные в условии задачи. Если известны конечная скорость, ускорение и время, для определения начальной скорости удобно использовать следующее соотношение:
- Vi = Vf — (a * t)
- В эту формулу входят следующие величины:
- Vi — начальная скорость
- Vf — конечная скорость
- a — ускорение
- t — время
- Обратите внимание, что это стандартная формула, используемая для вычисления начальной скорости.
-
2
Подставьте в формулу известные величины. Выписав все исходные данные и записав необходимое уравнение, можно подставить в него известные величины. Важно внимательно изучить условие задачи и аккуратно записывать каждый шаг при ее решении.
- Если вы где-либо допустили ошибку, то легко сможете найти ее, просмотрев свои записи.
-
3
Решите уравнение. Подставив в формулу известные значения, воспользуйтесь стандартными преобразованиями для получения искомого результата. Если можно, используйте калькулятор, чтобы снизить вероятность просчетов при вычислениях.
- Предположим, что объект, двигаясь на восток с ускорением 10 метров в секунду в квадрате в течение 12 секунд, разогнался до конечной скорости 200 метров в секунду. Необходимо найти начальную скорость объекта.
- Запишем исходные данные:
- Vi = ?, Vf = 200 м/с, a = 10 м/с2, t = 12 с
- Умножим ускорение на время: a * t = 10 * 12 =120
- Вычтем полученное значение из конечной скорости: Vi = Vf – (a * t) = 200 – 120 = 80 Vi = 80 м/с на восток
- Запишите ответ в правильном виде. Необходимо указать единицы измерения, в нашем случае метры в секунду, или м/с, а также направление движения объекта. Если вы не укажете направление, ответ будет неполным, содержа лишь величину скорости без информации о том, в каком направлении движется объект.
Реклама
- Предположим, что объект, двигаясь на восток с ускорением 10 метров в секунду в квадрате в течение 12 секунд, разогнался до конечной скорости 200 метров в секунду. Необходимо найти начальную скорость объекта.
-
1
Используйте подходящую формулу. При решении какой-либо физической задачи необходимо выбрать соответствующее уравнение. Для этого первым делом следует записать все данные, приведенные в условии задачи. Если известны пройденное расстояние, время и ускорение, для определения начальной скорости можно использовать следующее соотношение:
- Vi = (d / t) — [(a * t) / 2]
- В эту формулу входят следующие величины:
- Vi — начальная скорость
- d — пройденное расстояние
- a — ускорение
- t — время
-
2
Подставьте в формулу известные величины. После того, как вы выписали все исходные данные и записали необходимое уравнение, можно подставить в него известные величины. Важно внимательно изучить условие задачи и аккуратно записывать каждый шаг при ее решении.
- Допустив ошибку в решении, вы сможете без труда найти ее, просмотрев свои записи.
-
3
Решите уравнение. Подставив в формулу известные значения, воспользуйтесь стандартными преобразованиями для нахождения ответа. Если возможно, используйте калькулятор, чтобы уменьшить вероятность просчетов при вычислениях.
- Допустим, объект движется в западном направлении с ускорением 7 метров в секунду в квадрате в течение 30 секунд, пройдя при этом 150 метров. Необходимо вычислить его начальную скорость.
- Запишем исходные данные:
- Vi = ?, d = 150 м, a = 7 м/с2, t = 30 с
- Умножим ускорение на время: a * t = 7 * 30 = 210
- Поделим произведение на два: (a * t) / 2 = 210 / 2 = 105
- Поделим расстояние на время: d / t = 150 / 30 = 5
- Вычтем первую величину из второй: Vi = (d / t) — [(a * t) / 2] = 5 – 105 = -100 Vi = -100 м/с в западном направлении
- Запишите ответ в правильном виде. Необходимо указать единицы измерения, в нашем случае метры в секунду, или м/с, а также направление движения объекта. Если вы не укажете направление, ответ будет неполным, содержа лишь величину скорости без информации о том, в каком направлении движется объект.
Реклама
- Допустим, объект движется в западном направлении с ускорением 7 метров в секунду в квадрате в течение 30 секунд, пройдя при этом 150 метров. Необходимо вычислить его начальную скорость.
-
1
Используйте подходящее уравнение. Для решения физической задачи необходимо выбрать соответствующую формулу. Первым делом следует записать все начальные данные, указанные в условии задачи. Если известны конечная скорость, ускорение и пройденное расстояние, для определения начальной скорости удобно использовать следующее соотношение:
- Vi = √ [Vf2 — (2 * a * d)]
- Эта формула содержит следующие величины:
- Vi — начальная скорость
- Vf — конечная скорость
- a — ускорение
- d — пройденное расстояние
-
2
Подставьте в формулу известные величины. После того, как вы выписали все исходные данные и записали необходимое уравнение, можно подставить в него известные величины. Важно внимательно изучить условие задачи и аккуратно записывать каждый шаг при ее решении.
- Допустив где-либо ошибку, вы сможете без труда найти ее, просмотрев ход решения.
-
3
Решите уравнение. Подставив в формулу известные значения, воспользуйтесь необходимыми преобразованиями для получения ответа. По возможности используйте калькулятор, чтобы уменьшить вероятность просчетов при вычислениях.
- Предположим, объект движется в северном направлении с ускорением 5 метров в секунду в квадрате и, преодолев 10 метров, имеет конечную скорость 12 метров в секунду. Необходимо найти его начальную скорость.
- Запишем исходные данные:
- Vi = ?, Vf = 12 м/с, a = 5 м/с2, d = 10 м
- Возведем в квадрат конечную скорость: Vf2= 122 = 144
- Умножим ускорение на пройденное расстояние и на 2: 2 * a * d = 2 * 5 * 10 = 100
- Вычтем результат умножения из квадрата конечной скорости: Vf2 — (2 * a * d) = 144 – 100 = 44
- Извлечем квадратный корень из полученного значения: = √ [Vf2 — (2 * a * d)] = √44 = 6,633 Vi = 6,633 м/с в северном направлении
- Запишите ответ в правильном виде. Необходимо указать единицы измерения, то есть метры в секунду, или м/с, а также направление движения объекта. Если вы не укажете направление, ответ будет неполным, содержа лишь величину скорости без информации о том, в каком направлении движется объект.
Реклама
- Предположим, объект движется в северном направлении с ускорением 5 метров в секунду в квадрате и, преодолев 10 метров, имеет конечную скорость 12 метров в секунду. Необходимо найти его начальную скорость.
-
1
Выберите подходящую формулу. При решении физической задачи необходимо использовать соответствующее уравнение. Прежде всего следует записать все данные, приведенные в условии задачи. Если известны конечная скорость, время и пройденное расстояние, для определения начальной скорости можно использовать следующее соотношение:
- Vi = Vf + 2 (t — d)
- В данную формулу входят следующие величины:
- Vi — начальная скорость
- Vf — конечная скорость
- t — время
- d — пройденное расстояние
-
2
Подставьте в формулу известные значения. После того, как вы выписали все исходные данные и записали необходимое уравнение, можно подставить в него известные величины. Внимательно изучите условие задачи и аккуратно записывайте каждый шаг при ее решении.
- Допустив ошибку, вы сможете без труда найти ее, просмотрев решение.
-
3
Решите уравнение. Подставив в формулу известные значения, воспользуйтесь необходимыми преобразованиями для получения ответа. Если можно, используйте калькулятор, чтобы уменьшить вероятность просчетов при вычислениях.
- Допустим, объект преодолел расстояние 15 метров (49,2 фута) в течение 45 секунд, и его конечная скорость составляет 17 метров (55,8 фута) в секунду. Найдем начальную скорость объекта.
- Запишем исходные данные:
- Vi = ?, Vf = 17 м/с, t = 45 с, d = 15 м
- Вычтем расстояние из времени: (t – d) = (45 – 15) = 30
- Умножим полученное значение на 2: 2 ( t – d) = 2 (45 – 15) = 60
- Прибавим к этой величине конечную скорость: Vf + 2 (t – d) = 17 + 60 = 77 Vi = 77 м/с в южном направлении
- Запишите ответ в правильном виде. Необходимо указать единицы измерения, то есть метры в секунду, или м/с, а также направление движения объекта. Если вы не укажете направление, ответ будет неполным, содержа лишь величину скорости без информации о том, в каком направлении движется объект.
Реклама
- Допустим, объект преодолел расстояние 15 метров (49,2 фута) в течение 45 секунд, и его конечная скорость составляет 17 метров (55,8 фута) в секунду. Найдем начальную скорость объекта.
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Калькулятор (необязательно)
Об этой статье
Эту страницу просматривали 149 769 раз.
Была ли эта статья полезной?
Download Article
Download Article
Velocity is a function of time and defined by both a magnitude and a direction. [1]
Often in physics problems, you will need to calculate the initial velocity (speed and direction) at which an object in question began to travel. There are multiple equations that can be used to determine initial velocity. Using the information given in a problem, you can determine the proper equation to use and easily answer your question.
-
1
Know the right equation to use. In order to solve any physics problem you must know which equation to use. Writing down all of the known information is the first step to finding the right equation. If you have values for the final velocity, acceleration, and time involved, you can use the following equation:[3]
- Initial velocity: Vi = Vf — (a * t)
- Understand what each symbol stands for.
- Vi stands for “initial velocity”
- Vf stands for “final velocity”
- a stands for “acceleration”
- t stands for “time”
- Note that this equation is the standard equation used when finding initial velocity.
-
2
Fill in the known information. Once you have written the known information and determined the proper equation, you can fill in values for the appropriate variables. Carefully setting up each problem and writing out every step of the process is important.
- If you make a mistake, you can easily find it by looking back at all of your previous steps.
Advertisement
-
3
Solve the equation. With all of the numbers in place, use the proper order of operations to finish the problem. If you’re allowed, use a calculator to limit the number of simple math mistakes.[4]
- For example: An object accelerating east at 10 meters (32.8 ft) per second squared traveled for 12 seconds reaching a final velocity of 200 meters (656.2 ft) per second. Find the initial velocity of that object.
- Write the known information:
- Vi = ?, Vf = 200 m/s, a = 10 m/s2, t = 12 s
- Multiply the acceleration and time. a * t = 10 * 12 =120
- Subtract the product from the final velocity. Vi = Vf – (a * t) = 200 – 120 = 80 Vi = 80 m/s east
- Write your answer correctly. Include a unit of measurement, usually meters per second or m/s, as well as a direction the object was traveling in. Without providing information about the direction, you only have a measurement of speed rather than velocity.
- For example: An object accelerating east at 10 meters (32.8 ft) per second squared traveled for 12 seconds reaching a final velocity of 200 meters (656.2 ft) per second. Find the initial velocity of that object.
Advertisement
-
1
Know the right equation to use. In order to solve any physics problem you must know which equation to use. Writing down all of the known information is the first step to finding the right equation.[5]
If you know values for the distance, time, and acceleration, you can use the following equation:- Initial velocity: Vi = (d / t) — [(a * t) / 2]
- Understand what each symbol stands for.
- Vi stands for “initial velocity”
- d stands for “distance”
- a stands for “acceleration”
- t stands for “time”
-
2
Fill in the known information. Once you have written the known information and determined the proper equation, you can fill in values for the appropriate variables. Carefully setting up each problem and writing out every step of the process is important.
- If you make a mistake, you can easily find it by looking back at all of your previous steps.
-
3
Solve the equation. With all of the numbers in place, use the proper order of operations to finish the problem. If you’re allowed, use a calculator to limit the number of simple math mistakes.
- For example: An object accelerating west at 7 meters (23.0 ft) per second squared traveled a distance of 150 meters (492.1 ft) within 30 seconds. Calculate the initial velocity of that object.
- Write the known information:
- Vi = ?, d = 150 m, a = 7 m/s2, t = 30 s
- Multiply the acceleration and time. a * t = 7 * 30 = 210
- Divide the product by two. (a * t) / 2 = 210 / 2 = 105
- Divide the distance by the time. d / t = 150 / 30 = 5
- Subtract your first quotient from the second quotient. Vi = (d / t) — [(a * t) / 2] = 5 – 105 = -100 Vi = -100 m/s west
- Write your answer correctly. Include a unit of measurement, usually meters per second or m/s, as well as a direction the object was traveling in. Without providing information about the direction, you only have a measurement of speed rather than velocity.
- For example: An object accelerating west at 7 meters (23.0 ft) per second squared traveled a distance of 150 meters (492.1 ft) within 30 seconds. Calculate the initial velocity of that object.
Advertisement
-
1
Know the right equation to use. In order to solve any physics problem you must know which equation to use. Writing down all of the known information is the first step to finding the right equation. If you are given the final velocity, acceleration, and distance, you can use the following equation:[7]
- Initial velocity: Vi = √ [Vf2 — (2 * a * d)]
- Understand what each symbol stands for.
- Vi stands for “initial velocity”
- Vf stands for “final velocity”
- a stands for “acceleration”
- d stands for “distance”
-
2
Fill in the known information. Once you have written the known information and determined the proper equation, you can fill in values for the appropriate variables. Carefully setting up each problem and writing out every step of the process is important.
- If you make a mistake, you can easily find it by looking back at all of your previous steps.
-
3
Solve the equation. With all of the numbers in place, use the proper order of operations to finish the problem. If you’re allowed, use a calculator to limit the number of simple math mistakes.
- For example: An object accelerating north at 5 meters (16.4 ft) per second squared traveled 10 meters (32.8 ft), ending up at a final velocity of 12 meters (39.4 ft) per second. Calculate the object’s initial velocity.
- Write the known information:
- Vi = ?, Vf = 12 m/s, a = 5 m/s2, d = 10 m
- Square the final velocity. Vf2= 122 = 144
- Multiply the acceleration by the distance and the number two. 2 * a * d = 2 * 5 * 10 = 100
- Subtract this product from your previous one. Vf2 — (2 * a * d) = 144 – 100 = 44
- Take the square root of your answer. = √ [Vf2 — (2 * a * d)] = √44 = 6.633 Vi = 6.633 m/s north
- Write your answer correctly. Include a unit of measurement, usually meters per second or m/s, as well as a direction the object was traveling in. Without providing information about the direction, you only have a measurement of speed rather than velocity.
- For example: An object accelerating north at 5 meters (16.4 ft) per second squared traveled 10 meters (32.8 ft), ending up at a final velocity of 12 meters (39.4 ft) per second. Calculate the object’s initial velocity.
Advertisement
-
1
Know the right equation to use. In order to solve any physics problem you must know which equation to use. Writing down all of the known information is the first step to finding the right equation. If you are given the final velocity, time, and distance, you can use the following equation:[9]
- Initial velocity: Vi = 2(d/t) — Vf
- Understand what each symbol stands for.
- Vi stands for “initial velocity”
- Vf stands for “final velocity”
- t stands for “time”
- d stands for “distance”
-
2
Fill in the known information. Once you have written the known information and determined the proper equation, you can fill in values for the appropriate variables. Carefully setting up each problem and writing out every step of the process is important.
- If you make a mistake, you can easily find it by looking back at all of your previous steps.
-
3
Solve the equation. With all of the numbers in place, use the proper order of operations to finish the problem. If you’re allowed, use a calculator to limit the number of simple math mistakes.
- For example: An object with a final velocity of 3 meters (9.8 ft) traveled south for 15 seconds and covered a distance of 45 meters (147.6 ft). Calculate the object’s initial velocity.
- Write the known information:
- Vi = ?, Vf = 3 m/s, t = 15 s, d = 45 m
- Divide distance by time. (d/t) = (45/15) = 3
- Multiply that value by 2. 2 (d/t) = 2 (45/15) = 6
- Subtract final velocity from the product. 2(d/t) — Vf = 6 — 3 = 3 Vi = 3 m/s south
- Write your answer correctly. Include a unit of measurement, usually meters per second or m/s, as well as a direction the object was traveling in. Without providing information about the direction, you only have a measurement of speed rather than velocity.
- For example: An object with a final velocity of 3 meters (9.8 ft) traveled south for 15 seconds and covered a distance of 45 meters (147.6 ft). Calculate the object’s initial velocity.
Advertisement
Add New Question
-
Question
What are the difficulties some people have in understanding acceleration?
Sean Alexander is an Academic Tutor specializing in teaching mathematics and physics. Sean is the Owner of Alexander Tutoring, an academic tutoring business that provides personalized studying sessions focused on mathematics and physics. With over 15 years of experience, Sean has worked as a physics and math instructor and tutor for Stanford University, San Francisco State University, and Stanbridge Academy. He holds a BS in Physics from the University of California, Santa Barbara and an MS in Theoretical Physics from San Francisco State University.
Academic Tutor
Expert Answer
One of the difficulties people face is the unit for acceleration, which is meters per second squared. To understand this with a real-world example, think about a rock being dropped off a cliff. Acceleration due to Earth’s gravity is 9.8 meters per second squared, so we can round up to 10 for this example. Neglecting friction, when you first let go of the rock, its velocity is zero. After one second of falling, the speed of the stone will be 10 meters a second. After two seconds of falling, the speed of the stone will be 20 meters a second. After three seconds of falling, the speed of this will be 30 meters per second. It gains 10 meters a second of speed for each second that it is falling.
-
Question
A bullet of 60 gm is fired using a rifle of mass 12kg. Rifle recoils with a velocity of 2.5m/s. What is the initial velocity?
Kinetic energy -> Kinetic energy
0.5mv^2 -> 0.5mv^2
0.5 x 12 x 2,5^2 = 0.5 x 0.06 x v^2
6 x 6.25 = 0.03 x v^2
37.5 = 0.03 x v^2
sqrt(37.5/0.03) = v
sqrt(1250) = v
v = 35.3 m/s -
Question
If displacement and time are related as s = 3.5t + 5t2, what is the initial velocity?
Initial velocity is 3.5. The equation is s = ut + 1/2at^2, where s — distance, u — inititial velocity, and a — acceleration.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Things You’ll Need
- Pencil
- Paper
- Calculator (optional)
About This Article
Article SummaryX
To find initial velocity, start by multiplying the acceleration by the time. Then, divide that number by 2 and write down the quotient you get. Next, divide the distance by the time and write down that quotient as well. Finally, subtract your first quotient from your second quotient to find the initial velocity. To learn how to find initial velocity using the final velocity, keep reading!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 835,785 times.
Did this article help you?
Равноускоренное движение
О чем эта статья:
Основные определения
Ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. Иногда его определяют как скорость изменения скорости. Проще говоря, ускорение показывает, на какую величину изменяется скорость за 1 секунду.
Прямолинейное равноускоренное движение — это прямолинейное движение, при котором скорость тела изменяется на одну и ту же величину за равные промежутки времени. Под «изменяется» мы подразумеваем не только ускорение (т. е. увеличение скорости), но и замедление. Торможение также относится к движению с постоянным ускорением.
Несколько примеров равноускоренного движения:
разгон самолета перед взлетом;
торможение лыжника на горном склоне;
свободное падение в результате прыжка с парашютом;
велосипедист, спускающийся с горки;
мальчишки, играющие в догонялки.
Кстати, уже известное нам равномерное прямолинейное движение является частным случаем равноускоренного движения, при котором ускорение равно нулю.
Формула ускорения при равноускоренном движении
где a — ускорение тела [м/с 2 ],
V — мгновенная скорость [м/с],
V0 — начальная скорость [м/с],
t — время [с].
Во время движения тела ускорение остается постоянным. График зависимости ускорения от времени имеет следующий вид:
При прямолинейном равноускоренном движении скорость тела в момент времени t численно равна площади фигуры под графиком зависимости ускорения от времени.
Если из формулы ускорения выразить мгновенную скорость, т. е. скорость в момент времени t, то мы получим уравнение скорости при равноускоренном движении:
V(t) = V0 + at,
где V(t) — скорость в момент времени t [м/с],
V0 — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ],
t — время [с].
Задача 1
Арсений, двигавшийся на электросамокате со скоростью 6 м/с, начал разгоняться на горке. Чeму будeт paвнa его cкopocть чepeз 10 с, ecли уcкopeниe пpи разгоне paвнo 0,5 м/с 2 ?
Решение.
По условию задачи Арсений ускоряется, следовательно, его скорость увеличивается. Подставим числа в закон изменения скорости при равноускоренном движении:
V(10) = 6 + 0,5 · 10 = 11 м/с.
Ответ: за 10 с Арсений разгонится до скорости 11 м/с.
Важно запомнить, что ускорение — это векторная величина. А взаимное расположение векторов ускорения и начальной скорости определяет характер движения. Рассмотрим анимацию.
Как мы видим, оранжевый автомобиль увеличивает свою скорость, т. е. совершает разгон. В то же время синий автомобиль уменьшает скорость и тормозит. В случае а движение называется равноускоренным. Вектор ускорения сонаправлен с вектором начальной скорости. Следовательно, мгновенная скорость растет с течением времени. В случае б движение называется равнозамедленным. Ускорение и начальная скорость имеют противоположные направления. Следовательно, мгновенная скорость со временем уменьшается.
Зачастую в задачах мы будем работать с проекцией ускорения на координатные оси. Если проекция ускорения на ось положительна, тело увеличивает свою скорость, а если отрицательна — уменьшает.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении
Из уравнения скорости следует, что зависимость скорости автомобиля от времени описывается линейной функцией, график которой — прямая.
На анимации мы видим разгон автомобиля с некоторой начальной скоростью. Проекция ускорения на ось Ox положительна. На графике этому соответствует монотонно возрастающая прямая, выходящая из точки (0; V0).
При равнозамедленном движении прямая на графике будет убывать.
С помощью графика скорости можно определить ускорение тела как тангенс угла наклона графика к оси времени:
Из графика скорости получим формулу пути при равноускоренном движении тела.
Пройденный телом путь при равноускоренном движении численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. Вычислим площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника V0t и треугольника .
Формула пути при равноускоренном движении
,
где S — путь, пройденный за время t [м],
V0 — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ],
t — время [с].
В случае равноускоренного движения с неизвестным временем движения, но с заданными начальной и конечной скоростями пройденный путь можно найти с помощью следующей формулы:
,
где S — путь, пройденный за время t [м],
V0 — начальная скорость [м/с],
V — скорость в момент времени t [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ].
Задача 2
Таксист Роман получил заказ и начал движение с ускорением 0,1 м/с 2 после долгой остановки. Ha кaкoм paccтoянии oт нaчaлa движeния его cкopocть cтaнeт paвнoй 15 м/с?
Решение.
По условию задачи таксист начал движение из состояния покоя, следовательно, начальная скорость равна нулю.
Поскольку время движения неизвестно, то определим путь по второй формуле:
Подставим числа и выполним расчет:
Ответ: на расстоянии 1 125 м от начала движения скорость такси станет равной 15 м/с.
Перемещение при равноускоренном движении
Важно напомнить разницу между путем и перемещением тела.
Путь — длина траектории. Если тело движется в любом направлении, то его путь увеличивается. Шагомер в вашем телефоне или смарт-часах измеряет именно путь. Для расчета пути по графику скорости необходимо найти площади отдельных фигур и сложить их, как было показано выше.
Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Чтобы по графику скорости найти перемещение, необходимо взять площади над осью времени со знаком «+», под осью — со знаком «−», а затем найти их сумму.
Например, на этом графике путь тела равен S1 + S2, а перемещение — S1 − S2.
Уравнение перемещения при равноускоренном движении
,
где S — перемещение за время t [м],
V0 — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ],
t — время [с].
Вы, скорее всего, заметили удивительное сходство формул расстояния при равноускоренном движении. Так и есть, только помните, что проекция перемещения может принимать отрицательное значение, а путь — нет. В некоторых задачах путь и перемещение могут совпадать, но далеко не всегда.
Важнейшая задача кинематики — определение положения тела относительно других тел с течением времени. Для ее решения вам понадобится знать зависимость координаты от времени (уравнение движения).
Уравнение равноускоренного движения
,
где x(t) — координата в момент времени t [м],
x0 — начальная координата [м],
V0 — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ],
t — время [с].
Задача 3
Лыжник подъехал со скоростью 3 м/с к спуску длиной 36 м и съехал с него за несколько секунд, при этом его конечная скорость составила 15 м/с. Определите местонахождение лыжника спустя 2 с после начала движения из начала координат.
Решение.
Поскольку скорость лыжника увеличивается, он движется с положительным ускорением. Начальная скорость V0 = 3 м/с. Начальная координата равна нулю.
Найдем ускорение из формулы пути при равноускоренном движении:
Составим уравнение движения лыжника:
По уравнению определим координату лыжника в момент времени t = 2 с:
Ответ: через 2 с после начала движения координата лыжника будет равна 12 м.
Графики равноускоренного движения
Математически зависимость координаты от времени при равноускоренном движении представляет собой квадратичную функцию, ее график — парабола.
Обратите внимание, что, когда проекция скорости меняет знак, автомобиль совершает разворот и движется в противоположном направлении.
Вся наша жизнь — в движении, а онлайн-уроки физики в Skysmart помогут вам ускориться на пути к освоению теории и покорению самых разнообразных задач!
Уравнение движения, графики равномерного прямолинейного движения
п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.
Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.
Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:
| t, c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x, м | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
Стартуя с точки x0=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: begin x=x_0+s=x_0+vt\ x=20+10t end
Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:
| t, c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x, м | 20 | 10 | 0 | -10 | -20 |
В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: begin x=x_0-st=x_0-vt\ x=20-10t end Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x0 в любой момент времени t.
п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения
Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.
п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.
При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.
Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.
п.4. График движения x=x(t)
Сравним полученное уравнение движения (x(t)=x_0+v_x t) с уравнением прямой (y(x)=kx+b) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).
В уравнении движения роль углового коэффициента (k) играет проекция скорости (v_x), а роль свободного члена (b) – начальная координата (x_0).
 |
Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера: |
x=20+10t — машина движется вправо (в направлении оси OX)
x=20-10t — машина движется влево (в направлении, противоположном оси OX)
x=20 — машина стоит
п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?
п.6. График скорости vx=vx(t)
Для рассмотренного примера:
п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени (t_1) координата равна (x_1=x_0+v_x t_1).
Несколько позже, в момент времени (t_2gt t_1) координата равна (x_2=x_0+v_x t_2).
Если (v_xgt 0), то пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x triangle t $$ В общем случае, т.к. (v_x) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости: 
Проекция скорости (v_x) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ triangle x=v_x triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.
Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.
п.8. Задачи
Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите (x_0=0) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения (x=x(t)) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за (t_1=5 с), за (t_2=10 с);
б) постройте график скорости (v=v(t)) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1)?
По условию (x_0=0, v_x=8).
Уравнение движения: (x=x_0+v_x t=0+8t=8t)
а) Строим график прямой (x=8t) по двум точкам:
По графику находим: begin x_1=x(5)=8cdot 5=40 text<(м)>\ x_2=x(10)=8cdot 10=80 text <(м)>end
б) Скорость (v_x=8) м/с — постоянная величина, её график:
$$ t_1=5 с, t_2=10 с $$ Пройденный путь за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x triangle t=8cdot (10-5)=40 text <(м)>$$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м
Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?
а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения (x=x(t)).
Найдем скорость корабля (v_x): $$ v_x=frac=frac<56-38><2-1>=18 (text<тыс.км/ч>) $$ Найдем начальную координату (x_0): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18cdot v_1=20 (text<тыс.км/ч>) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t, x(t)=20+18t $$ где (x) – в тыс.км, а (t) – в часах.
б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии (x_0=20) тыс.км от астероида.
в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18cdot 4=92 (text<тыс.км>) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000frac<text<км>><text<ч>>=frac<18000 text<км>><1 text<ч>>=frac<18000 text<км>><3600 text>=5 text <км/c>$$ Ответ:
а) (x(t)=20+18t) ((x) в тыс.км, (t) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с
Равномерное прямолинейное движение
Всё в мире находится в движении.
Каждый день, когда мы выходим из дома, мы стараемся рассчитать, насколько быстро доберемся до школы или работы.
Может, однажды мы захотим научиться чему-то новому и купим машину.
А физика объяснит тебе, как не попасть в аварию и как всюду успевать.
Равномерное прямолинейное движение — коротко о главном
Сегодня ты узнал:
А еще ты научился решать задачи разного уровня сложности!
Ой, я что, не сказал? Там сложные были!
Ты, наверное, и не заметил 😉
О том, как решить основную задачу механики
Мы помним, что основная задача механики – указать положение тела в пространстве в любой момент времени, не только в настоящем, но и в будущем.
Итак, что нужно знать для того, чтобы найти положение тела в пространстве?
Неплохо было бы знать, где оно находилось в начале своего движения, его начальные координаты. Ведь нам важно, откуда мы выдвигаемся в путь.
Зависят ли начальные координаты тела от времени? Совсем нет: мы просто принимаем то, что тело где-то есть.
А еще нам важно знать, как далеко оказалось тело от своего начального положения и куда вообще двигалось. Важно знать перемещение этого тела.
Давай опробуем свои силы! Думаю, мы уже готовы решить главную задачу!
Рассмотрим какое-то тело. Оно подвигалось, изменило свое положение, оказалось в другой точке.
Назовем ее конечной и постараемся найти ее координаты, то есть узнать положение тела после совершенного им перемещения.
Помним, что перемещение – вектор, поэтому изобразим его:
Уже сейчас мы можем указать начальные координаты тела! Нет чисел – не пугаемся, используем буквы:
Нам нужно узнать конечное положение тела. Отметим координаты тела в конце, их нам и нужно найти, чтобы определить положение тела в конце:
Но как найти эти координаты, зная лишь начальное положение тела и его перемещение? Как нам попасть из (<_<0>>) в (x) и из (<_<0>>) в (y) ?
Все очень просто! Если есть вектор, то какая-нибудь проекция-то найдется, правда?
Теперь ответить на вопрос, как добраться из начала в конец становится очень легким: просто нужно прибавить к начальной точке проекцию перемещения для нужной оси!
То есть положение точки в любой момент времени можно записать так:
Поздравляю! Мы только что решили основную задачу механики!
Правда, сделали это в общем виде… Но перемещение ведь может быть очень разнообразным! Как вообще его найти? Не всегда же оно будет дано!
Это зависит от движения тела.
Равномерное прямолинейное движение
Определение равномерного прямолинейного движения
Самым простым движением по праву считается равномерное прямолинейное движение. Мы начнем с него.
Давай попробуем дать ему определение.
Всегда стоить помнить, что знать определения наизусть вовсе не обязательно. Главное – научиться строить его самостоятельно.
Успех любого хорошего определения заключается в правильной его структуре.
Равномерное прямолинейное движение – это движение. Мы нашли главное слово нашего определения. Давай развивать его.
Мы уже знаем, что такое движение. Давай дополним это определение.
Что значит равномерное? Равная мера… Но что является этой самой равной мерой?
Тело проходит равные пути. Логично, что происходит это за какие-то промежутки времени.
А за какие промежутки? За равные. За секунду, за минуту, за час. Не обязательно за ОДНУ секунду, ОДНУ минуту, ОДИН час. Равными промежутками времени могут быть, например, три часа или две секунды.
Но что значит прямолинейное? Можно сказать, что это движение по прямой. Но давайте объясним это, исходя из уже знакомых нам понятий.
Представь: какое-то тело движется, у нас в руках секундомер.
Прошла секунда – тело переместилось на метр. Еще секунда – еще метр. В том же направлении.
То есть тело совершает равные перемещения!
Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
С перемещением намного проще объяснить, почему за равные промежутки времени можно принимать абсолютно любое количество единиц времени.
Пусть тело совершает за 1 секунду перемещение (vec).
Тогда за две секунды совершает перемещение (2vec):
Будет ли тело все еще совершать равные перемещения за каждые 2 секунды? Конечно! Давай посмотрим:
Скорость
Равномерное прямолинейное движение тоже бывает разным: быстрым и медленным. Чтобы охарактеризовать его, существует скорость.
Чем большее перемещение совершает тело за промежуток времени, тем больше его скорость. Это очевидно: за одно и то же время гепард преодолевает расстояние во много раз большее, чем термит.
То есть скорость прямо пропорциональна перемещению!
А еще мы помним, что нам действительно важно направление скорости, ведь нам важно направление движения. То есть скорость – величина векторная. Давай убедимся в этом.
Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло.
Запишем это в виде формулы:
Векторы с обеих сторон, верно, но… Мы ведь учились умножать векторы, а не делить их. При делении тоже вектор получается?
Да. Ведь любое деление можно представить в виде умножения, смотри:
Время – скалярная величина. Оно не имеет направления. Поэтому можно сказать, что скорость есть перемещение, умноженное на скаляр, то есть тоже вектор! Более того, вектор перемещения и скорости сонаправлены.
Подробнее о свойствах векторов можно прочитать в Большой теории по векторам.
Помнишь, мы чуть выше выясняли, будет ли тело все так же совершать одинаковые перемещения за 2 секунды, а не за одну? Причем эти перемещения сами будут в два раза больше. Значит отношение останется прежним, вот так:
Отсюда делаем вывод:
Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна.
Как это записать? Кажется, очевидно, но это «задачка со звездочкой». Вот так:
Мы не можем приравнять векторную величину к скалярной. Поэтому над константой тоже нужно ставить вектор.
Решение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения
Из уравнения скорости можно легко выразить перемещения, что сделает нас на шаг ближе к конкретному решению основной задачи. Давай сделаем это:
Из свойств векторов мы помним, что это будет справедливо и для проекций:
Стоп-стоп-стоп… Мы что, можем уже с помощью этого определить положение точки?
Да, почему нет? Просто подставим это вместо проекций перемещения туда, где мы решали основную задачу механики в общем виде:
Обычно в задачах по физике мы стараемся выбрать оси так, чтобы было проще работать с проекциями. Мы стараемся расположить их так, чтобы как можно больше векторов располагалось параллельно один осям и перпендикулярно другим, вот так:
Проекция перемещения на ось Y будет равняться нулю, мы можем не обращать на нее внимания.
По оси Y тело вообще не меняло своего положения, верно?
Именно поэтому в задачах чаще всего мы будем использовать упрощенный вариант нахождения конечного положения тела. Его координата будет описана лишь одним числом.
То есть используем лишь одну ось:
Работаем с проекциями. Настораживаемся. Вспоминаем о знаках.
Здесь все просто: если проекция скорости положительна, тело движется вдоль оси. Если она отрицательна, тело движется против оси.
Помни, что работаем мы с координатной осью! Начальное положение тела тоже может быть отрицательным. Это зависит лишь от того, как расположено тело относительно начала координат:
Графики равномерного прямолинейного движения
Построение графика
Очень важно уметь описывать движение графиком. Это может значительно упростить решение задачи.
Давай посмотрим, как с помощью графика описать равномерное прямолинейное движение.
Любой график – множество точек, который показывает зависимость одного значения от другого. Эта зависимость определяется каким-то уравнением.
Например, когда мы строим параболу, мы руководствуемся уравнением (y=<^<2>>). Как еще это можно записать?
Вот так: (f(x)=<^<2>>). Это показывает, что функция (f) зависит от значения (x).
Давай аналогично составим график движения тела. Вспомним то главное уравнение:
Иными словами, это график зависимости координаты тела от времени. Давай так и запишем:
Начинаем работать с уравнением. Предположим, что нам известна проекция скорости и начальное положение тела. Работать с конкретными числами удобнее.
Тогда уравнение имеет вид: (x=3+0.5cdot t)
Нарисуем оси и обозначим их. Так как у нас даны единицы измерения (метры и секунды), мы обязательно должны подписать их рядом с названиями осей!
Теперь можем взять и рассмотреть положение тела в любую секунду: хоть в первую, хоть в двенадцатую!
Отметим точки и соединим их. Получим график движения.
А теперь вопрос на засыпку: может ли время быть отрицательным?
Могу ли я указать положение тела в минус третью секунду? Могу.
Для этого стоит помнить, что «нулевая» секунда – момент, когда мы запускаем секундомер, когда мы только начинаем наблюдать за телом. Но оно могло двигаться и до того, как мы включили таймер, верно?
Давай покажем движение тела до наших наблюдений пунктирной линией:
Зачастую точки пересечения графика с осями несут в себе очень важную информацию!
Например, когда мы только включили секундомер ((t=0)с), тело находилось в начальном положении ((<_<0>>=3)м), и это видно по графику!
А когда координата тела была равна нулю?
Все очень просто: за 6 секунд до того, как мы включили секундомер! Прямая пересекает ось времени в точке -6.
Итак, мы выяснили, что…
График равномерного прямолинейного движения представляет собой прямую.
Точка пересечения ее с осью Х есть координата в начальный момент времени.
Точка пересечения с осью времени показывает ту секунду, когда тело находится в начале координат.
И действительно, само уравнение (x=<_<0>>+<_>cdot t) уже напоминает стандартное уравнение прямой, которое мы изучаем на математике: (y=kx+m), где (m) — точка пресечения графика с осью Х, а (k) — коэффициент наклона прямой.
В нашем случае роль коэффициента наклона играет проекция скорости.
Зависимость графика от проекции скорости
Давай изобразим несколько графиков в общем виде, то есть без каких-либо конкретных значений. Например, пусть у нас есть два движущихся тела, вот так:
Чем отличаются движения этих двух тел?
Ну, прежде всего, у них разные начальные положения. Ладно.
А что насчет проекции скорости?
Рассмотрим первое тело. С течением времени оно все больше удаляется от начала координат. А вот второе к нему приближается: оно даже достигает начала координат через некоторое время (когда пересекает ось).
Значит, первое тело идет вдоль оси, а второе против нее, то есть к началу! Мы помним, что это определяет знак проекции скорости.
А именно: проекция скорости первого тела положительна. Проекция скорости второго тела отрицательна.
Со знаками разобрались. А как быть, если попросят узнать, какая проекция скорости больше?
Рассмотрим следующий график. Чтобы было легче его анализировать, представим, что два тела имеют одинаковое положение, когда мы включаем секундомер:
Чтобы понять, чья скорость больше, рассмотрим определенный промежуток времени, отделим его вертикальной пунктирной линией. А еще обозначим начальную и конечную координаты тел в этот промежуток времени:
Теперь посмотрим, чем отличаются графики. Ну так, навскидку. Они отличаются наклоном.
График движения второго тела расположен к оси Х значительно ближе. Что это значит?
Рассмотрим, какое расстояние прошло первое тело, обозначим его на рисунке. Оно численно равно проекции перемещения, убедимся с помощью формулы:
Теперь рассмотрим расстояние, которое преодолело второе тело:
Видим, что за одинаковый промежуток времени второе тело прошло значительно большее расстояние! Это значит, что его скорость больше.
Чем ближе к оси Х расположена прямая, тем больше скорость движения тела.
А что будешь делать с таким графиком?
Координата тела с течением времени не меняется. Значит ли это, что тело не движется вовсе?
Нет. Тело не движется лишь по этой оси. Но по какой-нибудь другой оси оно двигаться может.
Например, вот так:
Тело не меняет координаты по оси Х, однако движется по оси Y.
Если мы видим такой график, мы можем лишь утверждать, что проекция скорости равна нулю. О самой скорости говорить не можем.
Встреча
Помнишь самый первый рисунок с двумя телами? Вот этот:
В нем есть одна интересная деталь. Графики движения тел пересекаются.
Со временем все понятно: оно для всех идет одинаково, ничего не поделаешь.
А вот с координатой интереснее: ведь мы можем утверждать, что в какой-то момент тела встретились. То есть в какой-то момент их координаты на оси Х стали равны. Обозначим момент встречи и координату («место») встречи:
Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.
Это еще один момент, о котором стоит помнить при решении задач на графики.
А еще стоит обратить внимание на то, что координаты тел должны совпадать в один момент времени! Если в лесу мимо дуба пробежала лань, а через несколько дней мимо этого же дуба пробежал енот, мы не можем сказать, что они встретились.
Просто у них совпала траектория.
График зависимости проекции скорости от времени. Нахождение проекции перемещения
Рассмотрим несколько другой график. График зависимости проекции скорости от времени при равномерном прямоли…
Стоп, чего? Какой зависимости? Скорость ведь постоянная и не меняется со временем.
Ты абсолютно прав. А график-то начертить можем, вот так:
Скучный график. Просто прямая, параллельная оси времени. Проекция скорости не меняется, а время всё идет и идет.
Давай хоть что-то найдем по графику. Хоть площадь под ним. Обозначим эту область:
Получили прямоугольник. Его площадь ищем путем перемножения двух соседних сторон, то есть мы берем проекцию скорости и умножаем еще на время.
Где-то мы это слышали.
Верно, ведь именно так ищется проекция перемещения!
Совпадение? Не думаю.
Искать проекцию перемещения таким способом можно не только для равномерного прямолинейного движения, но и для других его видов!
Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела.
Решение простейших задач и задач на графики равномерного прямолинейного движения
Текстовые задачи
Задача 1. Охарактеризуйте движение соседки, которая спускается по лестнице и одновременно с этим закатывает рукава, услышав в 11 часов вечера громкую музыку из квартиры снизу, если уравнение ее движения: (x=2cdot t), а ось направлена вниз по лестнице.
Решение:
Итак, для начала вспомним уравнение движения в общем виде:
Соответствует ли уравнение движения соседки уравнению выше? Конечно!
Почему? По глазам вижу, догадываешься! Потому что его можно записать так:
Начальная координата соседки равна нулю: соседка двигалась из начала координат. С этим разобрались. Осталось определить тип ее движения.
Она движется вниз по лестнице. Значит, идет по прямой в одном направлении. Это прямолинейное движение.
Она свирепеет и ускоряется? Нет. Она движется равномерно. Давай вспомним уравнение движения для равномерного прямолинейного движения:
И еще раз посмотрим на наше:
Сопоставляем их и понимаем, что рядом с временем расположена проекция скорости. Она, как видим, положительна и равна 2 м/с. Соседка двигается вдоль оси. Ось направлена вниз и соседка движется туда же!
Подробно мы разбирали зависимость направления от знака проекции в Большой теории по векторам.
Таким образом, соседка совершает равномерное прямолинейное движение вдоль оси из начала координат, а проекция ее скорости на эту ось равняется 2 м/с.
Задача 2. Таракан Вася совершает равномерное прямолинейное движение вдоль линейки (соответствующей оси Х) на столе семиклассника Вовы, который, старательно уча уроки, уже неделю не выносит из комнаты мусор. Проекция скорости таракана на эту ось 0.1 м/с. Вова берет секундомер и начинает отсчет в тот момент, когда таракан находится на втором сантиметре линейки.
На каком сантиметре линейки окажется таракан через две секунды?
Решение:
Первое правило решающих физику: увидеть тему и писать формулы по теме.
Второе правило решающих физику: увидеть тему и писать ВСЕ формулы по теме. Могут пригодиться.
Знаем тип движения! Равномерное прямолинейное!
Знаем уравнение равномерного прямолинейного движения! Пишем:
Делов-то! Начнем подставлять известные величины для таракана. Из задачи знаем, что в начале отсчета таракан находится на втором сантиметре линейки…
Никогда не теряй бдительность, боец. Всегда проверяй величины.
Переведем все, что есть, в СИ. Скорость – в м/с. Отлично, уже есть. Как быть с линейкой? Просто перевести сантиметры в метры!
Таракан был на втором сантиметре, а значит на 0.02 метре линейки!
Теперь можем записать уравнение его движения:
Чтобы узнать, где окажется таракан через 2 секунды, просто подставим цифру 2 в это уравнение:
На 0.22 метре линейки! Получили ответ. Но в задаче спрашивается, на каком сантиметре будет находится таракан. Переводим наш ответ в сантиметры и получаем, что таракан будет находится на 22-ом сантиметре линейки!
Задача 3. По коридору мчится восьмиклассник Петя, уравнение его движения можно описать следующим уравнением: (x=6+2cdot t). За ним несётся разъяренный директор Максим Михайлович, уравнение его движения: (x=3+3cdot t).
Догонит ли директор Петю и, если догонит, когда и на каком метре коридора это произойдет? Скорость измерять в м/с, время в секундах.
Решение:
Итак, давай разберемся. Что вообще значит «догонит»? То же самое, что «встретит», верно?
Мы знаем, что такое встреча. Это такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.
Чтобы понять, встретятся ли они вообще, давай построим графики движения Пети (П) и директора (Д):
Видим, что прямые пересекаются. В какой-то момент времени их координаты действительно одинаковы.
Но как узнать, в какой?
Что-что? Видно по графику? Ну уж нет! Думаешь, там координата 12? А вдруг там 11.999?
Всегда нужно проверять себя аналитически.
Запишем два уравнения:
(<_>=3+3cdot t) — директора
При встрече у них одинаковые координаты: (<_
>=<_>)
Да… Наверное, другие части уравнений приравнять будет полезнее:
(6+2cdot t=3+3cdot t)
Отсюда легко вычислить время встречи:
Значит, через три секунды после начала отсчета их координаты будут одинаковы, они встретятся. Найдем место встречи, просто подставив время в одно из двух (какое больше нравится 🙂 ) уравнений:
Директор догонит Петю через 3 секунды. Это произойдет на 12-ти метрах от начала коридора.
Задачи на графики
Задача 4. Написать уравнение движение тела, если график этого движения:
Решение:
Какое это движение? Видим, что графиком движения является прямая. Значит, это равномерное прямолинейное движение.
Удивительно, но начнем с уравнения:
График очень информативный. По крайней мере мы уже знаем начальную координату: (<_<0>>=8) м
Как найти проекцию скорости? Ну, давай ее выразим для начала.
Дальше все очень просто: сделаем так, чтобы она осталось единственной неизвестной. Подставим в уравнение координату и время из графика, абсолютно любую пару, вот так:
Проекция скорости отрицательна. И правда: с течением времени тело приближается к началу координат, то есть движется против оси.
Подставим в уравнение:
(x=8-t) — уравнение движения тела.
Задача 5. Тело движется вдоль оси Х. Описать движение на каждом участке графика. Найти проекции скоростей. Построить графики проекции скорости и пройденного пути от времени.
Решение:
Опишем движение. Какое оно?
«Ха! Это не прямая, — скажешь ты, — а ломаная!»
И будешь абсолютно прав.
А я скажу: «А что такое ломаная? Это просто соединенные между собой отрезки! А отрезки — части прямых!»
Поэтому давай рассматривать этот график частями!
С первым отрезком все понятно: равномерное прямолинейное движения, ведь эта часть графика – прямая. С течением времени тело приближается к началу координат, значит движется против оси.
Найдем проекцию скорости.
Для начала, что есть скорость?
Мы помним, что скорость – отношение перемещения к промежутку времени.
Знаем, что это справедливо и для проекций:
Ну, время у нас есть. А проекцию перемещения откуда взять?
Давай вспомним, что это такое. Перемещение – вектор, проведенный из начального положения тела в конечное. А проекция перемещения – проекция этого вектора. Логично, правда? То есть:
Подробнее о проекциях можно узнать в Большой теории по векторам.
Вот и нашли проекцию скорости:
Подставим в уравнение выше значения необходимых величин:
Проекция скорости на первом участке графика равна -3м/с.
Второй отрезок необычнее: тело не меняет координату. Тело на этом участке неподвижно.
Так как в условии сказано, что тело движется именно вдоль оси Х, модуль проекции скорости на эту ось равен длине вектора скорости.
Так как тело не меняет координату, проекция его перемещения равна нулю. А значит и проекция скорости равна нулю.
Третий отрезок описывает равномерное прямолинейное движение. Тело отдаляется от начала координат и движется туда же, куда направлена ось.
Найдем проекцию скорости на третьем участке:
Так. Давай разберемся, почему там 12-7.
Помнишь, мы считаем отношение проекции перемещения к ПРОМЕЖУТКУ времени. А от 7 до 12 секунды промежуток времени составляет 5 секунд.
Проекция скорости на третьем участке равна 1м/с.
Всё нашли, осталось лишь построить графики! Начнем с графика зависимости проекции скорости от времени. Начертим и обозначим оси, обязательно обозначив единицы измерения и помня, что проекция может быть отрицательна:
Работаем с первой частью:
Мы выяснили, что в течение первых двух секунд проекция скорости была постоянна (как-никак, равномерное прямолинейное движение 🙂 ) и равна -3 м/с.
На втором участке проекция скорости равна нулю, а на третьем – единице.
Избавимся от вспомогательных линий и получим:
Что-то мне подсказывает, что на графике пути тоже будет три участка. Приступим.
Нарисуем оси и обозначим их:
Логично будет утверждать, что, пока тело не начало двигаться, оно и путь никакой не прошло. Отметим это точкой на графике:
Первые две секунды тело двигалось равномерно со скоростью 3 метра в секунду. Значит, за две секунды тело прошло (3cdot 2=6) метров! Отметим это. Нет, не так, на графике отметим:
Движемся дальше. Мы знаем, что на втором участке тело было неподвижно, а значит путь никакой не проходило. За промежуток времени второго участка тело не прошло никакой путь.
Однако суммарно за всё свое движение тело все так же прошло 6 метров:
На третьем участке тело движется. Значит, суммарно пройденный путь увеличится. Оно двигалось со скоростью 1м/с. Посмотрим сколько оно прошло за 5 (12-7) секунд.
Оно пройдет 5 метров.
Добавим их к нашим уже пройденным 6 метрам и получим 11 метров:
Остается только соединить точки прямой:
Задача 6. Найти проекцию перемещения тела по графику
Решение:
Определимся, из чего вообще складывается то, что нам нужно найти. В разные промежутки времени тело двигалось с разными постоянными скоростями.
Значит, проекция перемещения складывается из проекций перемещения в разных промежутках времени! Их 6:
Попробуем найти первую проекцию. Помнишь, мы знаем, что проекция перемещения есть площадь под графиком?
«Под графиком» означает «между графиком и осью», то есть вот эта:
Что ж, давай найдем перемещение:
Проекция скорости есть -2м/с, а промежуток времени – 3с.
Попробуем найти площадь второго прямоугольника:
Сразу обрати внимание на то, что промежуток времени – с третьей по пятую секунду, то есть 2 секунды!
Аналогично для остальных:
Посмотрим, чему равна проекция перемещения:
Тяжело в учении – легко в бою. Давай поднажмём и составим график зависимости проекции перемещения от времени.
Когда мы включили таймер, она была равна нулю:
В конце первого промежутка времени она становится равна -6м:
А, ну дальше-то все легко: отмечаем 4, потом отмечаем 9… Нет!
Мы ведь работаем с ОБЩЕЙ проекцией. А общая проекция есть сумма.
Тогда в конце второго промежутка проекция будет равна:
Дальше – больше слагаемых.
Следующая точка: (-6+4=-2) м
А после нее:(-6+4+9=7) м и т.д.
Теперь соединяем точки по порядку:
Задача 7. Постройте траекторию движения колибри, если начальное положение его по оси Х – 1 м, по оси Y – 3 м, а проекция его скорости на оси, расположенные перпендикулярно друг другу, описывается следующими графиками:
Решение:
Увидел сложную задачу – пиши всё, что знаешь! Зачем? Так надо! Пиши!
Скорость изменяется скачками, но на отдельных промежутках она постоянна. Тело движется равномерно.
Тело изменяет свое положение в пространстве. Изменяет свою координату.
Вспомним, как записывается уравнение координаты тела при равномерном прямолинейном движении:
Мы учились делать это раньше. Построим графики зависимости координаты от времени.
Итак, по оси Х у нас 3 участка, обозначим их вспомогательными линиями на нашем новом графике:
Начнем с первого участка. Знаем проекцию скорости и даже начальную координату! Подарок судьбы.
Строим его на первом промежутке:
Теперь координата тела – 17м и тело начинает двигаться с другой скоростью. Из координаты 17 тело движется со скоростью… А, ни с какой скоростью. Проекция скорости на эту ось равна нулю, поэтому:
Координата не меняется. Рисуем:
Тело на 17 м. Оттуда продолжаем движение с проекцией скорости -2 м/с. Тогда: (x=17-2cdot t)
Аналогично строим график для оси Y. Теперь у нас есть два графика:
Построим траекторию движения в плоскости. Для этого нам нужны оси Х и Y одновременно!
Давай построим их:
Всегда бери длину с запасом! Чтобы потом не перечерчивать оси. Наибольшее значение по Х – 17м. По Y – 15м. На всякий случай будем брать 20Х20.
Давай будем анализировать по секундам. Каковы были координаты тела в момент начала отсчета? Давай посмотрим.
В начальный момент времени координата по Х равна 1м, по Y – 3м. В конечный момент по Х координата равна 13, по Y – 15м.
Отметим эти точки:
Дальше будем рассматривать «переломные моменты». Для первого графика это 8 и 10с, для второго – 4 и 6с.
То есть секунды: 4, 6, 8, 10.
Запишем координаты точек для нужных нам секунд:
Отметим их и соединим прямой, укажем последовательность:
Теперь ты знаешь, как работать с графиками равномерного прямолинейного движения и их уравнениями! Движемся дальше. Иронично звучит 🙂
Средняя скорость по перемещению. Средняя путевая скорость
Хочешь, покажу фокус?
Из горной пещеры вылетает дракон, а за ним в ту же секунду выбегает доблестный рыцарь. Дракон хочет разрушить замок, находящийся от пещеры на расстоянии 7 километров. Задача рыцаря – добраться до замка первым и остановить дракона.
Рыцарь скачет на лошади прямо к замку по равнине в течении 20 минут. Он обнаруживает, что мост через реку на пути к замку разрушен, поэтому решает переплыть реку, и (спасибо его хорошей подготовке) у него уходит лишь 5 минут на то, чтобы снять с себя доспехи и сделать это. Затем в течении 10 минут он продолжает движение к замку.
Дракон после вылета из пещеры движется вперед и вверх, на это у него уходит 15 минут. На какой-то высоте он останавливается, потому что видит стаю пролетающих мимо уток. Драконы, динозавры, птицы… Смекаешь, да? Он решает поиграться со своими «родственниками», на что у него уходит 15 минут. Затем он вспоминает о замке и стремительно пикирует к нему на протяжении 5 минут.
Давай всё это изобразим для наглядности:
Дракон и рыцарь совершили одинаковые перемещения, так? 7 км, ведь они оказались у замка, двигаясь из пещеры.
Давай посчитаем время каждого в пути. И для дракона, и для рыцаря оно составило 35 минут. Они прибыли к замку одновременно.
Так что ж получается… Они совершили одинаковое перемещение за одинаковый промежуток времени.
Но их траектории были очень различны! И двигались они по-разному!
Для того, чтобы описать это, существует средняя скорость по перемещению.
Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено.
Средняя скорость дракона и рыцаря по перемещению одинакова, ведь они пришли одновременно в одно и то же место.
Есть подвох, о котором тебе на математике не рассказали. Ты все время работал не с этой средней скоростью. А с этой:
Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.
Понял, да? Путевая – про путь, а не про перемещение. Средняя путевая скорость совпадает (по модулю) со средней скоростью по перемещению только в том случае, если тело двигалось по прямой в одном направлении.
Средняя путевая скорость дракона сильно отличается от средней путевой скорости рыцаря.
Если не помнишь, в чем отличие пути от перемещения, советую посмотреть основные определения кинематики!
Относительность движения. Операции над скоростями
Давай вспомним одну из важнейших вещей, когда мы говорим про движение. Мы давали ему определение, когда говорили о кинематике в целом.
Это тело отсчета. То тело, относительно которого мы рассматриваем движение.
Мы уже знаем, что относительно одного тела тело может нестись с бешеной скоростью, а относительно другого не двигаться вовсе.
От системы отсчета зависит изменение положения тела. А что еще от нее зависит? Траектория зависит?
Однажды человек изобрел колесо и изменил мир. Давай воспользуемся этим изобретением для того, чтобы найти ответ на вопрос выше.
Возьмем какую-то точку на колесе и пусть оно катится по дороге! Как движется эта точка относительно оси колеса? По кругу.
А относительно Земли?
Эта кривая называется циклоида. И она точно отличается от траектории движения точки относительно оси колеса.
Сегодня мы научимся определять и связывать скорости в разных системах отсчета.
А еще на относительности основан главный закон скоростей – закон об их сложении.
Поступим как настоящие ученые. Готовые формулы – для слабаков. Мы будем выводить их сами.
По реке плывет плот (П) со спортсменом (С). На берегу реки сидит рыбак (Р) и наблюдает за этим. В какой-то момент пловец прыгает с плота и движется к другому берегу реки. Их несёт течение реки.
Давай изобразим это:
Давай нарисуем вектор перемещения спортсмена относительно плота и назовем его относительным перемещением:
Теперь нарисуем вектор перемещения плота, которого несет течение. Назовем этот вектор переносным:
А теперь посмотрим, как спортсмен двигался относительно рыбака, и назовем вектор этого перемещения абсолютным:
Ты только посмотри! У нас тут треугольник!
Нет, оставь свои теории заговора и иллюминатов. Не тот треугольник. Треугольник суммы векторов!
Переносное перемещение и относительное в сумме дают абсолютное!
Как связать перемещение со скоростью? Нужно поделить его на время!
http://reshator.com/sprav/fizika/7-klass/uravnenie-dvizheniya-grafiki-ravnomernogo-pryamolinejnogo-dvizheniya/
http://youclever.org/physics/ravnomernoe-pryamolinejnoe-dvizhenie/
Скорость, ускорение и время являются основными величинами для вывода уравнения движения. В общем, производная скорости по времени дает ускорение.
В кинематике скорость можно найти, используя ускорение и время. С скорость и ускорение связаны с величиной и направлением, для определения скорости мы используем как алгебраический метод, так и интегральное исчисление. В этом посте обсуждается, как найти скорость с учетом ускорения и времени, используя оба метода.
Представим, что тело движется с ускорением «а», преодолевая определенное расстояние в момент «t».
Алгебраическим методом:
Из кинематического определения ускорение — скорость изменения скорости движущегося тела.
а=в/т
Здесь мы считаем; первоначально тело обладает минимальной скоростью; следовательно, начальная скорость можно считать примерно равной нулю.
Переставляя члены, мы получаем скорость тела как;
v = а * т
Методом интегрального исчисления:
Производная по времени от скорость дает ускорение тела. Это определяется следующим уравнением.
d/dt[v(t)]= а(t)
Преобразуя приведенное выше уравнение
dv (t) = a (t) dt
Интегрируя приведенное выше уравнение по времени t
∫d/dt[v(t)]=∫a(t) dt+C
Где; C — интегральная постоянная.
Следовательно; v = при + C
Вышеприведенное уравнение дает скорость; таким образом, умножение ускорения на время дает скорость.
Как найти скорость по графику ускорения и времени?
Построен график ускорения в зависимости от времени, что позволяет определить различные физические величины, такие как рывки и удары. скорость. Область, покрытая графиком «ускорение – время», показывает скорость.
Например, машина движется с начальной скоростью 16 м / с. Как со временем, машина начинает разгоняться. В ускорение автомобиля постоянна во времени. Через некоторое время машина внезапно останавливается, что показано на приведенном ниже графике.
Пунктирная линия используется как контрольная линия, когда тело останавливается.
Площадь, занимаемая в график ускорение – время представляет собой прямоугольник. Площадь прямоугольника определяется как
А = l × b
Из приведенного выше графика длина прямоугольника — это ускорение, а ширина — время; следовательно, уравнение
А = а * т
Но площадь графика at — это скорость, тогда
v = а * т
v = 7 × 8
v = 56 м / с.
Следовательно, по определению На графике времени разгона площадь — это не что иное, как скорость.
Как найти начальную скорость с ускорением и временем?
Когда тело начинает двигаться из одной точки в другую, вначале оно обладает некоторой скоростью. Тело не нуждается постоянная скорость пока не достигнет конечного пункта назначения. Скорость тела изменяется со временем по мере его прохождения, и, следовательно, тело приобретает ускорение.
Из приведенного выше объяснения ясно, что движущееся тело может иметь разные скорости. Тела скорость на начальном этапе может отличаться от финального. Давайте обсудим нахождение скорости с ускорением и временем в начальной точке.
Рассмотрим сначала автомобиль, движущийся со скоростью vi, а его скорость изменится через некоторое время t. Теперь тело ускоряется с ускорением «а», и, наконец, когда оно достигает конечной точки, оно имеет скорость vf.
Начальную скорость можно рассчитать тремя способами.
Используя алгебраический метод:
Ускорение из-за изменения скорости определяется выражением
а = (vf-vi)/т
а * т = vf — vi
О перестановке
vi = Vf — в
Вышеприведенное уравнение дает начальную скорость движущегося тела.
По расчетам:
Исходя из определения ускорения, уравнение имеет вид
а=дв/дт
Изменение условий;
адт = дв
Интегрируя приведенное выше уравнение, выбирая пределы в качестве начальной скорости vi в момент времени t = 0 и конечной скорости vf в момент t.
а (t — 0) = (vf — vi)
при = vf — vi
Преобразуя приведенное выше уравнение, мы получаем начальную скорость.
vi = Vf — в
Графическим методом:
Построен график зависимости скорости от времени, наклон которого дает ускорение — затем, найдя наклон, можно вычислить начальную скорость.
Исходя из приведенного выше графика, мы можем сказать это.
- В единый интервал времени скорость тела изменяется.
- OD — время, затрачиваемое телом на путешествие, а BD — конечная скорость тела.
- Перпендикулярные линии от BD к A проводятся параллельно OD. Таким же образом проводится линия BE параллельно OD.
На приведенном выше графике показано, что
Начальная скорость тела vi = ОА
Конечная скорость тела vf = БД
На графике BD = BC + DC
Следовательно, vf = ВС + ПОС
Но DC = OA = vi
vf = до нашей эры + ви
На графике наклон = ускорение a
а=ВС/АС
Но AC = t (из графика)
а=БК/т
при = BC
Подставляя значение BC
vf = при + vi
vi = Vf — в
Как найти изменение скорости в зависимости от ускорения и времени
В общем, изменение скорости со временем дает ускорение.
Пусть тело движется с ускорением ‘a’ со временем ‘t’, изначально скорость объекта равна vi, а в конечной точке имеет скорость vf. Тогда изменение скорости определяется по уравнению:
∆a=(Δv/Δt)
Где ∆v — изменение скорости, а ∆t — изменение во времени.
∆v = ∆a∆t
Но изменение скорости определяется разница между начальной и конечной скоростью. Это дается уравнением ниже.
∆v = vf -vi
Изменение в скорость можно рассчитать с помощью графика «ускорение – время». Площадь под графиком at показывает изменение скорости.
Давайте ясно поймем это, рассмотрев пример, представленный графиком, приведенным ниже.
Площадь на графике времени ускорения представляет собой треугольник. Следовательно, вычисляя изменение скорости дается путем вычисления площади треугольника. Формула для определения площади треугольника:
А=(1/2)чб
Здесь h — высота треугольника, ускорение считается высотой, а b — основание треугольника, которое определяется осью времени. Таким образом, изменение скорости равно
∆v=(1/2)*6*9
∆v = 29 м / с.
По изменению скорости мы можем узнать начальную и конечную скорость тела.
Решены задачи о том, как найти скорость с ускорением и временем.
Задача 1) Лодка движется с начальной скоростью 11 м / с. Лодка развивает ускорение 3 м / с.2 каждые 10 секунд. Затем рассчитайте изменение скорости и конечную скорость лодки.
Решение:
Данные приведены для расчета:
Начальная скорость лодки vi = 11 м / с.
Изменение ускорения, достигаемого лодкой a = 3 м / с2.
Изменение по времени t = 10 сек.
∆v = ∆a∆t
∆v = 3 × 10
∆v = 30 м / с
Чтобы найти окончательную скорость, уравнение
∆v = vf -vi
vf = ∆v + vi
vf = 30 + 11
vf = 41 м / с.
Задача 2) График ускорение – время приведен ниже. Найдите изменение скорости и вычислите начальную скорость, если конечная скорость равна 54 м / с.
Решение:
Приведенные данные:
Конечная скорость vf = 54 м / с. На графике ускорение-время покрытая область представляет собой трапецию. Таким образом, площадь трапеции определяется выражением
А=[(а+б)/2)]*ч
Где a и b — прилегающее основание трапеции, h — высота. Из графика; a = 9 единиц, b = 5 единиц, h = 4 единицы.
А=[(9+5)/2]*4
А = 28 шт.
Изменение скорости равно площади трапеции.
∆v = 28 м / с.
Чтобы найти начальную скорость
∆v = vf -vi
vi = Vf — ∆v
vi = 54 — 28
vi = 26 м / с.
Задача 3) дается график ускорение – время для определения изменения скорости.
Решение:
Приведенный выше график можно разделить на три части, представленные пунктирной линией, как показано на рисунке ниже.
На приведенном выше графике можно понять следующие термины.
OAD и BCE — треугольник; площадь треугольника задается формулой
а=(1/2)чб
ABCD — прямоугольник; площадь прямоугольника определяется выражением
А = l × b
Чтобы найти изменение скорости, необходимо вычислить сумму площадей всех геометрических структур.
∆v = A=(1/2)hb+lb+(1/2)hb
Изменение скорости ∆v = 180 м / с.
Задача 4) Найдите начальную скорость мяча, который ускоряется со скоростью 6 м / с.2 со временем 8 сек. Конечная скорость мяча составляет 100 м / с.
Решение:
Приведены данные: ускорение мяча a = 6 м / с2.
Время t = 8 сек.
Конечная скорость vf = 100 м / с.
Для нахождения начальной скорости тела задается уравнение
vi = Vf — в
vi = 100 — (6 × 
vi = 100 — 48
vi = 52 м / с.
Задача 5) Рассчитайте изменение скорости движущегося объекта, имеющего начальную скорость 34 м / с. Ускорение объекта 12 м / с.2, а изменение по времени — 7 сек.
Решение:
Данный:
Начальная скорость объекта vi = 34 м / с.
Ускорение объекта a = 12 м / с2.
Изменение по времени t = 7 сек.
Конечная скорость объекта определяется выражением;
vf = Vi + в
vf = 34 + (12 * 7)
vf = 34 + 84
vf = 118 м / с.
Изменение скорости определяется выражением;
∆v = vf — vi
∆v = 118 — 34
∆v = 84 м / с.
Задача 6) Диск движется с начальной скоростью 25 м / с. Диск меняет свою скорость каждые 10 секунд. Изменение ускорения 5 м / с.2. Рассчитайте конечную скорость диска.
Решение:
Приведенные данные:
Начальная скорость диска vi = 25 м / с.
Изменение ускорения ∆a = 5 м / с2.
Изменение времени ∆t = 10 сек.
Изменение скорости равно
∆v = ∆a∆t
∆v = 5 × 10
∆v = 50 м / с.
Конечная скорость диска может быть рассчитана по формуле, приведенной ниже.
∆v = vf — vi
50 = вf -25
vf = 50 + 25
vf = 75 м / с.