Как найти мощность множества онлайн - Autoru.top

bold{mathrm{Basic}}

bold{alphabetagamma}

bold{mathrm{ABGamma}}

bold{sincos}

bold{gedivrightarrow}

bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}

bold{sumspaceintspaceproduct}

bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}

bold{H_{2}O}

square^{2}

x^{square}

sqrt{square}

nthroot[msquare]{square}

frac{msquare}{msquare}

log_{msquare}

theta

infty

int

frac{d}{dx}

ge	le	cdot	div	x^{circ}	(square)	\|square\|	(f:circ:g)	f(x)	ln	e^{square}
left(squareright)^{‘}	frac{partial}{partial x}	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	sin	cos	tan	cot	csc	sec

alpha	beta	gamma	delta	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

A	B	Gamma	Delta	E	Z	H	Theta	K	Lambda	M
N	Xi	Pi	P	Sigma	T	Upsilon	Phi	X	Psi	Omega

sin	cos	tan	cot	sec	csc	sinh	cosh	tanh	coth	sech
arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc	arcsinh	arccosh	arctanh	arccoth	arcsech

begin{cases}square\squareend{cases}	begin{cases}square\square\squareend{cases}	=	ne	div	cdot	times	<	>	le	ge
(square)	[square]	▭:longdivision{▭}	times twostack{▭}{▭}	+ twostack{▭}{▭}	— twostack{▭}{▭}	square!	x^{circ}	rightarrow	lfloorsquarerfloor	lceilsquarerceil

overline{square}	vec{square}	in	forall	notin	exist	mathbb{R}	mathbb{C}	mathbb{N}	mathbb{Z}	emptyset
vee	wedge	neg	oplus	cap	cup	square^{c}	subset	subsete	superset	supersete

int	intint	intintint	int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}	sum	prod
lim	lim _{xto infty }	lim _{xto 0+}	lim _{xto 0-}	frac{d}{dx}	frac{d^2}{dx^2}	left(squareright)^{‘}	left(squareright)^{»}	frac{partial}{partial x}

(2times2)	(2times3)	(3times3)	(3times2)	(4times2)	(4times3)	(4times4)	(3times4)	(2times4)	(5times5)
(1times2)	(1times3)	(1times4)	(1times5)	(1times6)	(2times1)	(3times1)	(4times1)	(5times1)	(6times1)	(7times1)

mathrm{Радианы}	mathrm{Степени}	square!	(	)	%	mathrm{очистить}
arcsin	sin	sqrt{square}	7	8	9	div
arccos	cos	ln	4	5	6	times
arctan	tan	log	1	2	3	—
pi	e	x^{square}	0	.	bold{=}	+

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

кардинальность:left{c,:d,:eright}
кардинальность:left{1,:2,:3,:4right}
кардинальность:left{0.5right}

Описание

Пошаговое определение мощности множества

set-cardinality-calculator

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

Middle School Math Solutions – Equation Calculator

Welcome to our new «Getting Started» math solutions series. Over the next few weeks, we’ll be showing how Symbolab…

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Источник

Calculate the Number Of Subsets (Powersets) in a Set

The power set of a set is the set of all subsets of a set, including empty set and itself. It is commonly denoted as P(S). A simple online algebra calculator to calculate the number of subsets (powersets) in a set with ease.

Algebra Calculator

Code to add this calci to your website

Powersets: The power set is the set of all subsets of a given set. A set with n elements will have 2ⁿ subsets. The subset (or powerset) of any set S is written as P(S), P(S), P(S),P(S) or 2S. The power set must be larger than the original set and is closely related to the binomial theorem. The number of subsets with k elements in the power set of a set with n elements is given by the number of combinations, C(n, k), also called binomial coefficients.

Number of Subsets Calculator: Just enter the values for a set separated by a comma in this algebra calculator and you could calculate the number of subsets (powersets) in a set within the fractions of seconds.

Источник

Алгебра множеств — это математический аппарат, позволяющий выполнять над множественными объектами операции сложения и вычитания. Разность двух множеств — это алгебраическая операция, результатом которой является совокупность элементов, содержащее все элементы первого аргумента, не входящие во второй.

Теория множеств

Теорию множеств разработал немецкий математик Георг Кантор. Перевод математического аппарата на теоретико-множественный язык произвел переворот в современной науке. Ключевая мысль, на которой базируется канторовская теория, состоит в элементарном понятии пересчета предметов при помощи взаимно-однозначного соответствия.

Представьте себе античного пастуха, который не имеет представления о числах и счете. Как он может узнать, сколько у него овец и все ли они вернулись с выгула? Ответ элементарный и в тоже время исключительно математический. Выпуская стадо из загона, пастух постепенно откладывает столько камней, сколько овец вышло пастись. Вечером он загоняет стадо и возвращает камни на место. Если несколько животных потерялось, то он сразу это увидит по тому, сколько камней осталось не переложенными. Этот примитивный прием счета предметов лег в основу канторовской теории: взаимно-однозначное соответствие элементов множества камней и множества овец.

Понятие множества

Множество — элементарный математический объект, не сводимый к определению через другие термины. В классическом определении под множеством определяют совокупность неупорядоченных элементов, мыслимых как одно целое. Примерами реальных множеств выступают множества людей на планете, набор домов на улице или совокупность звезд на небе.

Каждое множество имеет подмножество, то есть набор элементов с общей характеристикой, которые принадлежат конкретной совокупности. В примере выше подмножествами множества людей будет совокупность жителей Европы, подмножеством для набора домов станут только кирпичные дома, а подмножеством всех существующих звезд выступят звезды галактики Млечный путь.

Георг Кантор пришел к выводу, что любой математический объект можно представить в виде определенного множества. Например, число 13 — это одноэлементное множество A = {13}, которое принадлежит надмножеству натуральных чисел. Как и с числами, с множествами легко выполнять алгебраические операции, то есть складывать и вычитать. Согласно аксиомам теории множеств, результат операции над совокупностями элементов должен также приводить к множеству. Пустое множество — нуль алгебры множеств, представляющий собой пустой набор элементов. Если из A вычесть A, то мы получим пустое множество.

Мощность множества

Мощность множества — это количество объектов, которое оно в себя включает. Число 13 как одноэлементное множество характеризуется мощностью, равной единице, а мощность пустого множества равна нулю. Множества можно сравнивать по мощности. Равномощными называются объекты, между элементами которых можно установить взаимно-однозначное отношение. Как и говорилось выше, множество камней и множество овец — это два равномощных математических объекта и именно с ними легко оперировать в прикладных задачах. Примером равномощных объектов в реальности можно привести базы данных. К примеру, множество студентов и множества их оценок по разным предметам в базе данных университета.

Разность множеств

Разность двух множеств A и B — это третьей множество C, каждый элемент которого принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Математическим языком разность двух совокупностей записывается как A/B, а читается как «A без B». Такое прочтение позволяет интуитивно понять результат операции вычитания множеств.

Наша программа позволяет определить разность двух множеств разной мощности. Калькулятор работает с неупорядоченными объектами, поэтому порядковый номер элементов для него не важен. Для решения задач на разность множеств вам потребуется ввести в ячейку калькулятора совокупность чисел через запятую. Вы можете оперировать как целыми числами, так и десятичные дробями. Так как числа перечисляются через запятую, отделять целую часть от дробной требуется точкой. Например, множество рациональных чисел запишем как Q = {0,25; 0,75; 1,75}.

Пример работы калькулятора

Простая задача

В учебнике по теории множеств для чайников приведена простая задача. Есть множество X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и множество Y = {2, 4, 6, 7}. Требуется найти разность этих двух элементов. Вспомним, что разность X/Yчитается как X без Y, следовательно, решением данной задачи будет множество Z, содержащее элементы совокупности X за вычетом элементов Y. Общие для X и Y члены в данном случае — это 2, 4, 6. Объект X без этих элементов выглядит как {1, 3, 5}. Это и будет наше множество Z.

Заключение

Теория множеств находит широкое применение в прикладных науках. Используйте наш калькулятор для решения примеров по данной теме или для проверки результатов ваших вычислений.

Источник

Перечислить все элементы множества C´В´A, если А={1,4,-5} B={7,9,-1} C={0,2}

Дан универсум U = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Построить его подмножества: A = {x | 2 < x ≤ 6},
B = {x | x −чётно}, C = {x | x ≥ 4}. Найти заданное множество: (A− B) −C

Математически доказать тождество Au(BnC)=(AuB)n(AuC)

найти АUB, AnB, B/A, BxA для множеств А={а,в,с,м,р}, В={р,а,с,г,д,ф}

Объединением множест А={1,2,3,8,9 } и B={8,9,10,11,12} будет множество С, состоящее из элементов

Изобразите в прямоугольной системе координат множества AxB,если А={a∈R, -1≤a≤3} B={b∈N, b=3}

Источник

Мощность множества

Множество равномощно множеству , если существует биекция fcolon Ato B .

Из того, что существует биекция fcolon Ato B , следует, что соответствие $f^{-1}$ есть биекция на . Поэтому если равномощно , то и равномощно , и мы можем говорить, что множества и равномощны.

Факт равномощности множеств и будем записывать так: Asim B .

Из определения равномощности и свойств биекции также следует, что для любого множества имеет место Asim A (тождественное отображение есть биекция множества на себя); а для любых множеств A,,B,,C из Asim B и Bsim C следует Asim C (композиция биекций есть биекция).

Таким образом, отношение равномощности множеств есть отношение эквивалентности, заданное на «множестве всех множеств» (на самом деле на множестве всех подмножеств некоторого универсального множества).

Примечание. Зачастую в литературе по теории множеств равномощные множества и называют «эквивалентными множествами». Однако следует различать общее понятие отношения эквивалентности и его частный случаи — эквивалентность, или равномощность, множеств.

Если мы обозначим через |A| класс эквивалентности множества по отношению sim , то утверждение о равномощности множеств и можно записать так: |A|=|B| .

Этот класс эквивалентности |A| называют мощностью множества .

Конечные множества $A={a_1,ldots,a_n}$ и $B={b_1,ldots,b_n}$ равномощны тогда и только тогда, когда множества и состоят из одного и того же числа элементов, т.е. n=m . Отсюда, в частности, следует, что конечное множество не является равномощным никакому своему собственному подмножеству. Это свойство конечных множеств можно сформулировать так.

Теорема 1.8. Если — конечное множество и fcolon Ato A — инъекция, то она является сюръекцией и, следовательно, биекцией.

В силу приведенных выше соображений мощностью конечного множества $A={a_1,ldots, a_n}$ можно считать натуральное число , так как, задавая такое число, мы задаем и класс всех (попарно равномощных) множеств вида ${a_1,ldots,a_n}$ . Обратно, каждый такой класс однозначно определяет натуральное число как число элементов в каждом множестве данного класса. Естественно считается, что мощность пустого множества равна нулю.

Перейдем теперь к исследованию мощности бесконечных множеств. Таковы хорошо известные нам ещё со школы числовые множества mathbb{N},,mathbb{Z},,mathbb{Q},,mathbb{R} и mathbb{C} .

Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают aleph_0 (читается «алеф нуль»).

Любую биекцию nucolonmathbb{N}to M называют нумерацией счетного множества ; если элемент есть nu(n) для некоторого ninmathbb{N} , то этот элемент обозначаем через a_n , называя натуральное число номером элемента a_n относительно данной нумерации .

Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности a_1,ldots,a_n,ldots или ${a_n}_{ninmathbb{N}}$ . Другими словами, счетное множество есть область значений некоторой функции натурального аргумента.

Пример 1.21. а. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: nu(n)=2n-1,~ ninmathbb{N}

б. Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число kgeqslant2 , счётно. Нумерацию можно задать так: nu(n)=kn,~ ninmathbb{N} . В частности, при k=2 получаем, что множество всех четных чисел счётно. Этот и предыдущий примеры показывают, что бесконечное (счетное) множество может иметь собственное равномощное ему подмножество.

в. Множество mathbb{Z} всех целых чисел счётно. Нумерацию можно установить так:

$nu(n)= begin{cases}dfrac{n}{2}-1,& text{if}quad n=2k;\[7pt] -dfrac{n+1}{2},& text{if}quad n=2k-1.end{cases}(kin mathbb{Z})$

Свойства счётных множеств

Рассмотрим свойства счетных множеств.

Теорема 1.9. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть M_0 — бесконечное множество. Значит, оно не пусто и существует элемент a_1in M_0 . Положим $M_1=M_0 setminus{a_1}$ . Множество M_1 не пусто, так как в противном случае имело бы место равенство $M_0={a_1}$ , что противоречит предположению о бесконечности M_0 . Выберем элемент a_2in M_1 и положим

$M_2= M_1setminus {a_2}= M_0setminus {a_1,a_2}.$

Множество M_2 также не пусто, поскольку иначе мы бы имели $M_0={a_1,a_2}$ и множество M_0 было бы конечным.

Методом математической индукции можно показать, что для любого множество $M_n=M_0 setminus {a_1,ldots,a_n}$ , где $a_1in M_0,ldots,a_nin M_{n-1}$ , не пусто. Тогда существует элемент $a_{n+1}=M_n$ и $a_{n+1}notin M_{n+1}= M_n setminus {a_{n+1}}$ . Таким образом, все элементы $a_n,~nin mathbb{N}$ , попарно различны и множество ${a_ncolon, nin mathbb{N}}$ счетно, а его нумерация может быть задана так: nu(n)=a_n .

Теорема 1.10. В любом бесконечном множестве можно выделить два не пересекающихся между собой счетных подмножества.

Доказательство. Разобьем множество натуральных чисел на два подмножества:

$mathbb{N}_1={ncolon, n=2k-1,~ kin mathbb{N}}$ (множество нечетных чисел),
$mathbb{N}_2={ncolon, n=2k,~ kin mathbb{N}}$ (множество четных чисел).

Оба этих множества счетны (см. пример 1.21).

Согласно теореме 1.9, бесконечное множество содержит некоторое счетное подмножество . Пусть установлена некоторая его нумерация. Разобьем это подмножество на два подмножества: всех элементов с четными и всех элементов с нечетными номерами. По построению эти подмножества не пересекаются и являются счетными, поскольку счётны множества четных и нечетных чисел.

Теорема 1.11. Любое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство.Пустое подмножество конечно по определению. Пусть — счетное множество, а — его некоторое непустое подмножество. Поскольку множество счетно, можно считать, что задана некоторая его нумерация. Следовательно, каждый элемент подмножества имеет свой номер. Запишем номера элементов множества в порядке возрастания: i_1,ldots, i_n, ldots . Если среди них есть наибольший номер i_p , то подмножество конечно. В противном случае получим счетное подмножество ${a_{i_1}, a_{i_2},ldots,a_{i_n},ldots}$ , нумерация которого установлена так: $nu(n)=a_{i_n}$ .

Если множество конечно или счетно, его называют не более чем счетным. Семейство $(A_i)_{iin I}$ множеств называют не более чем счетным, если множество (индексов) не более чем счетно.

Теорема 1.12. Объединение любого не более чем счетного семейства счетных множеств счетно.

Пусть $(A_i)_{iin I}$ — конечное или счетное семейство счетных множеств. Рассмотрим сначала случай, когда множества A_i попарно не пересекаются.

В этом случае нумерация объединения конечного семейства счетных множеств может быть проведена по схеме, изображенной на рис. 1.14, а нумерация объединения счетного семейства счетных множеств — по схеме, приведенной на рис. 1.15.

Схемы нумераций объединений конечного и счётного семейств счётных множеств

Пусть теперь $(A_i)_{iinmathbb{N}}$ — произвольное счетное семейство счетных множеств, т.е. множества A_i могут пересекаться. В этом случае, применяя указанные на рис. 1.14 и 1.15 схемы нумерации к конечному или счетному объединению счетных множеств, следует пропускать каждый раз элементы, которые уже получили номера.

Полезно отметить также и следующий факт.

Теорема 1.13. Объединение конечного и счетного множеств счетно.

Теорема 1.14. Пусть — бесконечное множество, а — его не более чем счетное подмножество. Если множество Msetminus N бесконечно, то оно равномощно множеству .

По теореме 1.10 в множестве Msetminus N , поскольку оно бесконечно, можно выбрать счетное подмножество . Ясно, что Ncap N'=varnothing . Множество Ncup N' является счетным как объединение двух счетных множеств или объединение счетного и конечного множеств. Поэтому существует биекция fcolon Ncup N'to N' . Поскольку

bigl(M setminus (Ncup N')bigr)cup (Ncup N')=M,qquad M setminus (Ncup N')cup N'= M setminus N.

то требуемую биекцию на Msetminus N строим так: на подмножестве Msetminus (Ncup N') , общем для и , эта биекция совпадает с тождественным отображением; на подмножестве Ncup N' эта биекция есть биекция .

Следствие 1.1. Если — бесконечное множество, а — не более чем счетное множество, то Msim Mcup N .

Существуют бесконечные множества, не являющиеся счетными. Это вытекает из следующих рассуждений.

Рассмотрим множество всех последовательностей нулей и единиц, т.е. последовательностей вида

${alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n,ldots}$ , где $alpha_iin {0;1}$ для каждого igeqslant1 .

Обозначим множество таких «двоичных» последовательностей через ${0;1}^{omega}$ .

Теорема Кантора

Теорема 1.15 (Кантора). Множество ${0;1}^{omega}$ не есть счетное множество.

Пусть множество ${0;1}^{omega}$ и счетное. Тогда существует биекция $varphicolonmathbb{N}{0;1}^{omega}$ . Выпишем все последовательности varphi(n):

$begin{aligned}&varphi(1)= {alpha_{11},alpha_{12},ldots,alpha_{1n},ldots},\ &varphi(2)= {alpha_{21},alpha_{22},ldots,alpha_{2n},ldots},\ &cdotscdotscdotscdotscdots\ &varphi(n)= {alpha_{n1},alpha_{n2},ldots,alpha_{nn},ldots},\ &cdotscdotscdotscdotscdots end{aligned}$

Построим последовательность $beta={beta_1,ldots,beta_n,ldots}$ : положим beta_i=1 , если $alpha_{ii}=0$ , и beta_i=0 , если $alpha_{ii}=1$ . Ясно, что эта последовательность не совпадает ни с одной из последовательностей varphi(n) , а это противоречит допущению, что любая последовательность из ${0;1}^{omega}$ есть varphi(k) для некоторого .

Итак, mathbb{N} не равномощно ${0;1}^{omega}$ .

В то же время ${0;1}^{omega}$ содержит подмножество последовательностей, в каждой из которых только один член отличен от нуля. Это подмножество равномощно множеству всех одноэлементных подмножеств mathbb{N} и, следовательно, самому . Следовательно, множество ${0;1}^{omega}$ бесконечно, но не равномощно счетному множеству и потому не является счетным.

Теорема 1.16. Множество $2^{mathbb{N}}$ всех подмножеств множества натуральных чисел и множество ${0;1}^{omega}$ равномощны.

Определим отображение varphi множества $2^{mathbb{N}}$ на множество ${0;1}^{omega}$ следующим образом: если Xsubseteq mathbb{N} , то varphi(X)_i=1 при iin X и varphi(X)_i=0 при inotin X .

Тем самым подмножеству ставится в соответствие последовательность varphi(X) , i-й член которой равен единице тогда и только тогда, когда число есть элемент множества . Докажем, что varphi — биекция $2^{mathbb{N}}$ на ${0;1}^{omega}$ .

Покажем, что отображение varphi — инъекция. Пусть и — различные подмножества mathbb{N} . Тогда найдется число iin Xsetminus Y или число jin Ysetminus X . В первом случае в последовательности varphi(X) i-й член будет равен единице, а в последовательности varphi(Y) — нулю. Таким образом, varphi(X)ne varphi(Y) . Во втором случае varphi(Y)_j=1, varphi(X)_j=0 и опять . Следовательно, отображение varphi — инъекция.

Покажем, что varphi — сюръекция. Возьмем произвольную последовательность $alphain{0;1}^{omega}$ . Образуем множество $X_{alpha}={icolon, alpha_i=1}$ . Ясно, что $varphi(X_{alpha})=alpha$ . Таким образом, для любой последовательности $alphain{0;1}^{omega}$ существует подмножество $X_{alpha}in2^{mathbb{N}}$ , такое, что $varphi(X_{alpha})=alpha$ . Следовательно, varphi — сюръекция.

Таким образом, мы показали, что varphi — биекция, а множества $2^{mathbb{N}}$ и ${0;1}^{omega}$ равномощны.

Множество мощности континуум (континуальное множество)

Мощность множества $2^{mathbb{N}}$ обозначают и называют мощностью континуума, а любое множество, эквивалентное множеству $2^{mathbb{N}}$ , называют множеством мощности континуума или континуальным множеством.

Теорема 1.17. Множество действительных чисел отрезка [0;1] равномощно множеству всех последовательностей нулей и единиц ${0;1}^{omega}$ .

Каждое действительное число из отрезка [0;1] представим в виде бесконечной дроби в двоичной системе счисления. Число 1 представим в виде периодической дроби, содержащей бесконечное число единиц — 0,!1(1) . Конечные рациональные дроби представим как бесконечные, дополнив справа бесконечным числом нулей. Таким образом, каждое число из [0;1] представлено в виде последовательности нулей и единиц. Кроме этого, выбросим счетное множество всех периодических дробей вида 0,alpha_0alpha_1ldotsalpha_k0(1) , поскольку каждая такая дробь представляет то же самое число, что и дробь 0,alpha_0 alpha_1 ldots alpha_k1(0) , где $alpha_iin{0;1}$ для всякого i=overline{1,k} . Легко видеть, что полученное таким образом множество двоичных дробей равномощно множеству ${0;1}^{omega}$ .

Следствие 1.2. $[0;1]sim2^{mathbb{N}}$ .

Выше была доказана равномощность множеств $(0;1)^{omega}$ и $2^{mathbb{N}}$ . Тогда имеем $[0;1]sim {0;1}^{omega}sim 2^{mathbb{N}}$ .

Теорема 1.18. Следующие множества равномощны:

1) множество действительных чисел отрезка [0;1] ;
2) множество действительных чисел интервала (0;1) ;
3) множество действительных чисел отрезка [a;b] ;
4) множество действительных чисел интервала (a;b) ;
5) множество действительных чисел (числовая ось) mathbb{R} ;
6) множество всех подмножеств множества натуральных чисел $2^{mathbb{N}}$ .

Покажем равномощность множеств [0;1] и (0;1) . Из множества действительных чисел отрезка [0;1] выделим двухэлементное подмножество {0;1} . Разностью этих множеств будет множество действительных чисел интервала (0;1) , и, согласно теореме 1.14, [0;1]sim(0;1) .

Отображение y=(b-a)x+a задает биекцию множества [0;1] на множество [a;b] . Следовательно, эти множества равномощны. Заметим, что аналогично доказывается равномощность (0;1) и (a;b) .

Покажем, что (0;1)simmathbb{R} . Биекцию можно установить, например, с помощью функции $y=frac{1}{pi}operatorname{arctg}x+frac{1}{2}$ .

Поскольку равномощность [0;1] и 2W ранее доказана, имеем

$[0;1]sim (0;1)sim [a;b]sim (a;b)sim mathbb{R}sim 2^{mathbb{N}}.$

Замечание 1.7. Заметим, что если в условиях теоремы 1.14 множество несчетно, а — его счетное подмножество, то множество Msetminus N бесконечно, ибо иначе получилось бы, что множество M=(Msetminus N)cup N счетно как объединение конечного и счетного множеств.

Таким образом, можно утверждать, что для любого несчетного множества и его не более чем счетного подмножества имеет место равенство |Msetminus N|=|M| .

Сравнение мощностей множеств

До сих пор речь шла о равенстве мощностей. Однако мощности разных множеств можно в определенном смысле сравнивать, говоря о большей или меньшей мощности.

Считают, что мощность множества не превышает мощность множества B~(|A|leqslant|B|) , если равномощно некоторому подмножеству множества . Можно показать, что из соотношений и |B|leqslant|A| следует, что |A|=|B| .

Мощность множества считается строго меньшей мощности множества B~(|A|<|B|) , если множества и неравномощны и существует собственное подмножество множества , равномощное множеству , то есть

(Ansim B) и (exists C subset B)(Asim C) .

Можно доказать, что из |A|leqslant|B| и |B|leqslant|C| следует |A|leqslant|C| .

Таким образом, на множестве всех мощностей (т.е. на множестве всех классов эквивалентности по отношению sim ) установлено отношение порядка.

Из определения сразу следует, что мощность любого конечного множества строго меньше мощности aleph_0 , а из доказательства теоремы 1.15 вытекает, что aleph_0<c . Кроме того, согласно теореме 1.9, мощность счетного множества aleph_0 является наименьшей на множестве всех бесконечных мощностей (т.е. мощностей бесконечных множеств). Можно сказать, что всякое бесконечное множество не менее чем счетно.

Без доказательства приведем две важные теоремы.

Теорема Кантора–Бернштейна

Теорема 1.19 (Кантора–Бернштейна). Для любых двух множеств и имеет место в точности одно из следующих трех условий: либо |A|<|B| , либо |B|<|A| , либо |B|=|A| .

Таким образом, любые два множества сравнимы по мощности. Другими словами, «шкала мощностей» линейно упорядочена.

Теорема 1.20. Для любого множества верно неравенство |2^A|>|A| .

В силу теоремы 1.20 нет наибольшей мощности, так как для любого множества существует множество большей мощности — его булеан. Заметим, что для счетного множества теорема 1.20 сводится к теореме Кантора 1.15.

Теорема 1.21 (теорема о квадрате). Для любого бесконечного множества его декартов квадрат Mtimes M равномощен самому множеству .

Доказательство проведем для частных случаев счетного и континуального множеств.

Сначала обратимся к счетному множеству. Для доказательства утверждения достаточно показать, что mathbb{N}times mathbb{N}sim mathbb{N} , т.е. задать на mathbb{N}timesmathbb{N} некоторую нумерацию. Рассмотрим множество $A_i= {(i,j)colon, jinmathbb{N}}$ упорядоченных пар. Это множество счетно по построению. Легко видеть, что справедливо равенство

$mathbb{N}times mathbb{N}= bigcuplimits_{iinmathbb{N}}A_i,,$

откуда, согласно теореме 1.12, вытекает счетность декартова квадрата mathbb{N}times mathbb{N} множества как счетного объединения счетных множеств.

Перейдем к континуальному множеству. Докажем, что множество всех упорядоченных пар двоичных последовательностей эквивалентно множеству всех таких последовательностей, т.е. $2^{mathbb{N}}times 2^{mathbb{N}}sim 2^{mathbb{N}}$ .

Паре последовательностей (alpha,beta)) поставим в соответствие последовательность

alpha_0,~ beta_0,~ alpha_1,~ beta_1,~ ldots,~ alpha_n,~ beta_m,~ ldots

Это соответствие будет взаимно однозначным, т.е. установлена биекция между $2^{mathbb{N}}times 2^{mathbb{N}}$ и $2^{mathbb{N}}$ .

Получается, что — как это ни удивительно — в квадрате «столько же» точек, сколько и в каждой его стороне. Можно обобщить это утверждение для произвольной конечной декартовой степени множества .

Следствие 1.3. Множество рациональных чисел mathbb{Q} счетно.

Каждому рациональному числу, представленному несократимой дробью a/b , однозначно соответствует упорядоченная пара (a;b) , и, напротив, любая упорядоченная пара (a;b) взаимно простых целых чисел и однозначно определяет несократимую дробь a/b и, значит, рациональное число. Следовательно, множество mathbb{Q} эквивалентно некоторому бесконечному подмножеству множества mathbb{Z}times mathbb{Z} . Поскольку множество счетно, из теоремы 1.11 вытекает, что любое его бесконечное подмножество счетно. Таким образом, множество mathbb{Q} счетно.

В заключение приведем сводку результатов по мощностям некоторых конечных множеств.

Теорема 1.22. Если и — конечные множества и |M|=m , a |N|=n , то:

1) мощность множества всех отображений в равна n^m ;
2) мощность множества всех биекций из на себя равна
3) мощность множества всех инъекций из в (mleqslant n) равна $A_n^m=frac{n!}{(n-m)!}$ ;
4) мощность множества всех подмножеств множества равна 2^n ;
5) мощность множества всех k-элементных подмножеств множества равна $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$ ;
6) мощность прямого произведения Mtimes N равна mcdot n .

Напомним, что в комбинаторике число P_n называют числом перестановок элементов, число A_n^m — числом размещений без повторений из элементов по , число C_n^k (обозначаемое также tbinom{n}{k} ) — числом сочетаний из элементов по . Эти числа называются также биномиальными коэффициентами, поскольку

$(a+b)^n=sumlimits_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$ (формула бинома Ньютона).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Номер Строки

Calculate the Number Of Subsets (Powersets) in a Set

Algebra Calculator

Теория множеств

Понятие множества

Мощность множества

Разность множеств

Пример работы калькулятора

Простая задача

Заключение

Мощность множества

Свойства счётных множеств

Теорема Кантора

Множество мощности континуум (континуальное множество)

Сравнение мощностей множеств

Теорема Кантора–Бернштейна

Не пропустите также: