Как найти момент равнодействующей пары сил

Содержание:

1. Теория пар сил
2. Силы, направленные в одну сторону
3. Силы направлены в противоположные стороны и различные по модулю
4. Пара сил и ее момент
5. Эквивалентность пары сил
6. Добавление пар сил
7. Условия равновесия пар сил
8. Момент силы относительно точки на оси. Момент пары сил
9. Момент силы относительно точки
10. Теорема о моменте равнодействующей системы сходящихся сил
11. Момент сил относительно оси
12. Момент пары сил и его свойства

Парой сил называется система двух равных по модулю, противоположных по направлению параллельных сил.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Теория пар сил

Пару сил в механике рассматривают как одно из основных понятий наряду с понятием силы.
Парой сил называют систему двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Пара сил не составляет системы сил, эквивалентной нулю. Пару сил нельзя заменить одной силой, и, следовательно, она не имеет равнодействующей, а является такой системой сил, упростить которую нельзя. Каждая из сил, входящих в состав пары сил, имеет свойства обычных сил.

Пара сил, действующая на твердое тело, характеризуется, прежде всего, плоскостью действия. Плоскостью действия пары сил называют плоскость, в которой расположены силы пары.

Силы, направленные в одну сторону

Пусть в абсолютно твердого тела в точках А и В приложены две параллельные силы и направленные в одну сторону (рис. 4.1). Найдем их равнодействующую. Для этого в точках А и В к телу приложим две равные по величине и противоположные по направлению силы и, действующих по прямой АВ.

Поскольку , то согласно первой аксиомой статики , а согласно второй аксиомой . Добавляя попарно силы и , и , используя аксиому параллелограмма сил, получим:

 то есть 

 то есть 

Итак, 

Силы  и  не является параллельными лежат в одной плоскости, поэтому их линии
действия имеют точку пересечения А. Перенесем силы  и   вдоль их линий действия в эту точку. Получим силы

Сила — скользящий вектор, поэтому  Разложим теперь силу  на составляющие , а силу — на составляющие так, чтобы: 

Получим:

Поскольку силы  и  направлены по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая  cпрямована по той же прямой в том же направлении и ее величина равна сумме этих сил, то есть Учитывая (4.1), запишем Перенесем силу вдоль линии ее действия в точку С отрезка АВ. Получим силу Это означает, что сила — равнодействующая сил  

Найдем точку приложения равнодействующей сил и . С сходства одинаково заштрихованных треугольников запишем:

 и 

Поскольку, то, откуда, учитывая свойство пропорции, имеем

Итак, равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, параллельна этих сил, направленная в ту же сторону, что и составляющие силы; модуль
равнодействующей равна сумме модулей составляющих сил, а линия ее действия разделяет расстояние между точками приложения этих сил внутри на части, обратно
пропорциональны величинам этих сил.

Из изложенного следует, что произвольную силу можно разложить на две параллельные силы. Если то

Силы направлены в противоположные стороны и различные по модулю

Пусть параллельные силы  и направлены в разные стороны  и (рис. 4.2). 

Найдем равнодействующую сил и  Для этого разложим силу на две параллельные силы: , прилагаемую в точке В, принимая  и  , прилагаемую в точке С. Сила является равнодействующей сил и поэтому

Согласно  (4.3), откуда

Поскольку Но  поэтому  Следовательно, сила — равнодействующая сил  Из формулы (4.4) получим 

Равнодействующая двух параллельных, разных по модулю, противоположно направленных сил параллельная им и направлена в сторону большей силы; модуль равнодействующей равна разности модулей составляющих сил. Линия действия равнодействующей проходит через точку, лежащую вне отрезка АВ со стороны большей силы и разделяет расстояние между точками приложения сил внешне на отрезки, обратно пропорциональны величинам этих сил.

Пара сил и ее момент

Система двух равных по модулю, параллельных, противоположно направленных сил, линии действия которых не совпадают, называется парой сил.

Пусть к некоторому абсолютно твердого тела приложена пара сил (Рис. 4.3, а).
Согласно определению пары сил: 

Элементами пары есть силы, составляющие пару, плечо пары, плоскость действия пары.

Плечо пары — это кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары, то есть длина перпендикуляра h, опущенного из любой точки линии действия одной из сил пары на линию действия второй силы (рис. 4.3, а). Поскольку сила -скользящий вектор, то силы в паре всегда можно разместить так, чтобы расстояние АВ между точками их приложения было плечом пары (Рис. 4.3, б).

Плоскость действия пары — это плоскость, в которой размещены силы пара. Она единственная, поскольку через две параллельные линии можно провести только одну
плоскость.

Как будет показано в § 5.3, пара сил не имеет равнодействующей.

Пара сил не является системой уравновешенных сил, ибо в первой аксиомой статики две равные по модулю и противоположны по направлению силы будут уравновешенной системой сил только тогда, когда имеют общую линию действия. Силы, составляющих пару, не имеют общей линии действия.

Пара сил, действующая на тело, пытается вращать его. По мере вращательного действия силы в статике, как известно, является момент. Следовательно, и действие пары сил на тело должна характеризоваться моментом. Докажем это с помощью следующей теоремы.

Теорема 4.1. Векторная сумма моментов сил пары относительно произвольного центра
(Точки) в пространстве является величиной постоянной для данной пары.

Доказательство. Пусть задано пару сил плечо которой h (рис. 4.4). Поскольку
действие пары на тело характеризуется вращательным эффектом, найдем сумму моментов сил пары относительно центра О, произвольно расположенного в пространстве.

Получим:

где — радиусы-векторы точек приложения сил и относительно центра О. С учетом формул (4.7) равенство (4.8) запишется так:

Здесь — радиус-вектор точки А, в которой приложено силу пары, относительно центра В, а потому Итак,

Известно, что вектор перпендикулярен плоскости векторов и , а его модуль 

Аналогично, учитывая, что , получим 

где вектор перпендикулярен плоскости векторов и , а модуль этого вектора 

Следовательно, сумма моментов сил пары относительно произвольного центра в пространстве не зависит от выбора этого центра и равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы. Теорема доказана.

Эта сумма моментов характеризует вращательное действие пары сил на тело. Назовем ее вектор-моментом пары сил. Обозначим вектор-момент пары сил или просто. Итак, вектор-момент пары сил  равен векторному моменту одной силы пары относительно точки приложения другой силы данной пары, то есть

С доказательства теоремы следует, что момент пары сил является вектором. Определим его величину и направление.

Величина момента пары по формулам (4.10) — (4.14) равна произведения величины одной из сил пары на плечо пары: 

Вектор-момент пары сил направляется перпендикулярно к плоскости действия пары так, чтобы с его конца было видно попытки пары сил вращать тело против часовой стрелки (рис. 4.4).

Если на тело действует система пары сил, расположенных в одной плоскости, то вектор-моменты всех пар сил системы перпендикулярны этой плоскости. Итак, вектор-моменты такой системы пар является системой параллельных векторов, для составления которых достаточно знать их величины и знаки. Поэтому целесообразно ввести понятие алгебраического момента пары сил.

Алгебраическим моментом пары сил называется взятый со знаком «+» или «-» произведение одной из сил пары на плечо пары: 

Алгебраический момент пары сил считаем положительным, если пара сил пытается вращать тело против часовой стрелки (рис. 4.5, а) и отрицательным, если пара сил пытается вращать тело по часовой стрелке (рис. 4.5, б). Алгебраические моменты пар сил на рисунках показывают дуговыми стрелками.

Эквивалентность пары сил

Рассмотрим теоремы, из которых вытекают основные свойства пары сил, которые предоставят нам возможность выполнять определенные действия над ними.

Теорема 4.2. Действие пары сил на тело не изменится при произвольном переносе этой пары в плоскости ее действия.

Доказательство. Пусть к некоторому телу приложена пара сил плечо которой АВ = h и расположенной в плоскости П (рис. 4.6). Возьмем произвольную точку С в плоскости П и отложим от нее под произвольным углом отрезок СD = h (рис. 4.7). В точках С и D приложим к телу две системы уравновешенных сили размещенных в плоскости П, линии действия которых параллельны.

Силы выбираем так, чтобы

Согласно второй аксиомой статики

Перенесем силы и силы вдоль линий их действия в точки пересечения (рис. 4.7). Пользуясь аксиомой параллелограмма сил, заменим системы сил и  из них равнодействующимии 

Учитывая формулы (4.7) и (4.17), получим 

Поскольку фигура является ромбом, то — биссектриса углов
и  Согласно с  равенством (4.19) параллелограммы, построенные на силах и — также ромбы. Поэтому их диагонали и является биссектрисами указанных углов, потому что две стороны каждого из этих ромбов совпадают со сторонами ромба Отсюда следует, что силы и имеют одну линию действия, которая совпадает с диагональю Учитывая формулу (4.20) и первую аксиому статики, делаем вывод, что силы и уравновешиваются. Итак, система сил и ее можно отбросить, то есть 

Это означает согласно формуле (4.18), заданной паре сил эквивалентна паре сил .

Покажем, что величина и направление векторов-моментов пар сил и совпадают. Действительно, величина момента заданной пары сил а знак (как видно из рис. 4.6) — положительный. Величина момента эквивалентной пары с учетом равенств (4.17).

Из рис. 4.8 видно, что знак момента также положительный, то естьСледовательно, можно считать, что полученная пара сил не что иное, как пара сил которая перенесена из исходного положения ее плеча АВ в положение плеча СD, и этот перенос не изменил кинематического состояния тела. Теорема доказана.

Теорема 4.3. Действие пары сил на твердое тело не изменится, если перенести эту пару в плоскость, параллельную плоскости ее действия.

Доказательство. Пусть на некоторое твердое тело действует пара сил с плечом АВ = h, которая размещена в плоскости (рис. 4.9, а).

Выберем в теле плоскость  параллельную плоскости . В плоскости возьмем точки С и D так, чтобы и 

Приложим к телу в точках С и D две системы уравновешенных сил  линии действия которых параллельны. Эти силы размещены в плоскости   и удовлетворяют условию (4.17), а следовательно,

Проведем отрезки АС и ВD, точкой пересечения которых есть точка А.

Поскольку  и  то ABCD — параллелограмм с диагоналями АС и BD, а потому

Добавим попарно силы и  , и Они параллельны и равны по модулю, поэтому их равнодействующая и будут приложены в точке О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD (рис. 4.9, б).

Равнодействующая силы и равны по модулю и направлены в противоположные
стороны. Итак, система сил уравновешена, то есть 

и можно записать 

Сравнивая соотношения (4.21) и (4.22), получим  Это означает, что воздействие на тело пар сил и одинакова.  Легко показать, что вектор-моменты этих пар сил равны. Действительно, учитывая формулу (4.17), имеем:

Вектор-моменты и направлены перпендикулярно плоскостям и в одно и ту же сторону. Таким образом,, а следовательно, .
Теорема доказана.

Теорема 4.4. Действие пары на тело не изменится, если изменить силы и плечо пары, оставляя неизменным ее вектор-момент.

Доказательство. Пусть к телу приложена пара сил с плечом АВ = h, размещена в плоскости П (рис. 4.10).

Приложим к телу в точках А и В две силы , действующих по прямой АВ. Это означает, что , а 

За аксиомой параллелограмма сил найдем равнодействующие систем сил и  

Учитывая, что и  получим 

Итак, . Это означает, что линии действия сил и параллельные, то есть
силы , образуют пару сил, которая лежит в плоскости П. Итак, учитывая формулу (4.23), получим 

Плечо новой пары  Величина момента заданной пары сил, а полученной пары Из рис. 4.10
видно, что поскольку  находим , а с получаем  Тогда или  Очевидно, что знаки моментов и также совпадают. Итак, изменив силу и плечо заданной пары сил, оставив неизменным ее вектор-момент, получили эквивалентную пару сил. Теорема доказана.

Из доказанных теорем следует:
1) пары эквивалентны, если равны их векторы-моменты;
2) вектор-момент пары сил является вектором свободным. Это означает, что его можно приложить в произвольной точке твердого тела.
Сформулированы три теоремы можно объединить в одну теорему: пары сил являются эквивалентными, если равны их векторы-моменты.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что вектор-момент пары сил является полной характеристикой статическому воздействию пары на твердое тело. Поэтому действия над парами сил можно заменить эквивалентными операциями над их векторами-моментами.

Добавление пар сил

1. Геометрическое определение момента результирующей пары сил
Установим правило сложения пар сил, лежащих в плоскостях, которые пересекаются. Это правило вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4.5. Две пары сил, которые лежат в плоскостях, пересекающихся эквивалентны одной паре, вектор-момент которой равен геометрической сумме векторов-моментов данных пар.

Доказательство. Пусть пары сил и  размещены соответственно в плоскостях П1  и П2, пересекающихся (рис. 4.11).

Пользуясь теоремой 4.4, приведем обе пары к плечу АВ, размещенного на линии пересечения плоскостей П1   и П2 , то есть 

При этом должны выполняться равенства

 и 

Добавим согласно аксиоме параллелограмма силы, приложенные в точках А и В. Получим  и . Принимая во внимание, что  и   будем иметь . Итак, система пари  эквивалентна одной паре Найдем вектор — момент этой пары:

Теорема доказана.

Аналогично можно добавить n пар сил в пространстве. В результате получим одну пару сил, вектор-момент которой равен векторной сумме векторивмоментив составляющих пар сил, а именно:

2. Аналитическое определение момента результирующей пары сил
Спроектируем равенство (4.25) на оси прямоугольной декартовой системы координат и используем теорему о проекции суммарного вектора на ось. Получим проекции момента результирующей пары сил на оси координат:

где , — проекции вектора момента результирующей пары на соответствующие оси координат; , — проекции вектора момента
и-й пары на оси выбранной системы координат.

Тогда величина вектора момента пары 

а направление его найдем по формулам: 

Известно (§ 4.2), что вектор-моменты пар, размещенных в одной плоскости, есть коллинеарными и поэтому добавляются алгебраически. Итак, момент результирующей
пары плоской системы пар равна сумме алгебраических моментов составляющих пар

Условия равновесия пар сил

1. Геометрическое условие равновесия пространственной системы пар сил

Пусть на тело действует n пар сил, произвольно расположенных в пространстве, вектори-моменты которых равны

В § 4.4 было доказано, что такая система пар сил эквивалентна одной паре сил, вектор-момент которой определяется формулой (4.25). очевидно, что тело под действием системы пар сил остается в равновесии, если вектор-момент результирующей пары будет равняться нулю 

Это условие равновесия, учитывая формулу (4.25), запишем в виде 

Формула (4.29) является геометрической условием равновесия пространственной системы пар, которую можно сформулировать так: пространственная система пар сил будет
находиться в равновесии тогда и только тогда, когда вектор-момент результирующей пары или геометрическая сумма векторов-моментов составляющих пар будет равняться нулю.

2. Аналитические условия равновесия пространственной системы пар сил

Из условия (4.29), учитывая формулу (4.26), получаем, что в случае равновесия пространственной системы пар сил то есть 

Формулы (4.30) являются аналитическими условиями равновесия пространственной системы пар сил, которые формулируются так: пространственная система пар сил будет
находиться в равновесии тогда и только тогда, когда алгебраические суммы проекций
векторов-моментов составляющих пар на три взаимно перпендикулярные оси координат будут равны нулю.

3. Условие равновесия плоской системы пар сил

Условие равновесия плоской системы пар сил получаем из равенства (4.28).
Плоская система пар сил будет находиться в равновесии тогда и только тогда, когда сумма алгебраических моментов составляющих пар сил будет равняться нулю:

Условие равновесия плоской системы пар можно получить также из условий равновесия (4.30).

Действительно, пусть система пар сил размещена в координатной плоскости . Тогда вектор-моменты всех пар сил данной системы перпендикулярны плоскости , то есть или . Отсюда получим такое условие равновесия

Поскольку , то условия равновесия (4.32) и (4.31) эквивалентны для системы пар сил, расположенных в плоскости .

Момент силы относительно точки на оси. Момент пары сил

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны, приложенных к телу в двух разных точках.

Момент силы относительно точки

Моментом силы относительно точки (Центра) (рис. 2.1) называется вектор, который  равен векторному произведению радиуса- вектора , проведенного из центра в точку приложения силы, на вектор

                                                                                                      (2.1)

Модуль этого векторного произведения:

                                                                                                    (2.2)

Опустим перпендикуляр из точки на линию действия силы . Длину этого перпендикуляра назовем плечом силы относительно точки . Тогда (2.2) запишем в виде:

                                                                                                      (2.3)

Итак, момент силы относительно центра  численно равен произведению модуля силы на
плечо, и направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, в ту сторону, откуда «вращение» тела под действием силы вокруг точки (или самый короткий поворот вектора направлению вектора ) видит наблюдатель, находящийся на конце вектора-момента, таким, что происходит против часовой стрелки (рис 2.2).

Очевидно, момент силы относительно точки имеет все свойства векторного произведения.  Из формулы (2.1) можно найти проекции вектора на координатные оси. Как известно из векторной алгебры,
                                                                                                         (2.4)

Раскрывая этот определитель по элементам первой строки и раскладывая вектор   на составляющие    на осях координат, получим

                                                                                                     (2.5)

Сравнивая левую и правую части равенства (2.5), имеем

                                                                                                     (2.6)

Модуль, и направление момента силы относительно точки можно определить еще и так:

Заметим, что формулы (2.6) легко получить, пользуясь правилом циклической
 перестановки индексов. 
 По определению момента силы относительно точки имеем:
 1) если переместить силу вдоль линии ее действия, то момент силы относительно точки не изменится;
 2) момент силы относительно точки всегда равен нулю, когда линия действия силы проходит через эту точку (в этом случае плече равно нулю),
 3) момент силы относительно точки численно равен удвоенной площади треугольника  (Рис. 2.3), построенного на силе и центре момента (О).

Теорема о моменте равнодействующей системы сходящихся сил

Теорема Вариньона. Момент равнодействующей сходящейся системы сил относительно произвольного центра равен векторной (геометрической) сумме моментов составляющих сил относительно того самого центра:

                                                                                                   (2.8)

Доказательство. Пусть в точке А пересекаются линии действия системы сходящихся сил
(рис. 2.4, а). Обозначим через  радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А. Равнодействующую заданной системы найдем, построив многоугольник сил
(рис. 2.4, б). Тогда по определению момента силы относительно точки О
получим: 
                                                                                                  (2.9)

что и требовалось доказать.

 Если силы и точка О размещены в одной плоскости, то их моменты перпендикулярны этой плоскости и лежат на одной прямой. Поэтому момент равнодействующей такой системы сил равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой
точки.

Момент сил относительно оси

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси (рис. 2.5).
 Из этого определения следует, что моменты сил относительно координатных осей вычисляются по формулам (2.6). Эти формулы, в частности, показывают, что момент силы
относительно оси не зависит от выбора точки на оси.

При решении конкретных задач моменты сил относительно осей удобно вычислять более наглядным способом (рис. 2.6) по следующему правилу.
 1. Проводим произвольную плоскость перпендикулярную оси и находим точку
пересечения этой плоскости с осью.
 2. Проектируем силу на указанную плоскость.
 3. Вычисляем момент проекции , силы на эту плоскость относительно точки О:

При этом момент силы относительно оси считается положительным, если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси , что сила пытается повернуть тело вокруг оси против  часовой стрелки.
 Как видно из рис. 2.6, численное значение момента силы относительно оси можно выразить удвоенной площадью треугольника который лежит в плоскости 

Из определения момента силы относительно оси следует, что он равен нулю, если линия действия силы и ось лежат в одной плоскости.
 Пример 1.  Сила   приложена в точке А с координатами (2; 3,4) и составляет
с осью угол  , с осью — угол , а с осью — угол . При этом
 Вычислить момент этой силы относительно оси
 Решение.

По формулам (2.6), есть

 для определения  предварительно нужно найти 
Известно, что  откуда 

или 

Если  то Тогда, 

Если  то  Тогда, 

Момент пары сил и его свойства

Парой сил называется система двух равных по величине сил . параллельных между собой, что направлены в противоположные стороны вдоль несовпадающих линий действия и приложенные к одному телу (рис. 2.7, а). Плоскость называется плоскостью действия пары сил, или плоскостью пары. Плечом пары    называется самое короткое расстояние между линиями действия сил пары.  

Определим, чему равна сумма моментов сил, составляющих пар относительно произвольной точки. 

Пусть О — произвольная точка пространства (Рис. 2.7, б), a — силы, составляющие пару и приложенные соответственно в точках А и В. Пусть Из определения момента силы относительно точки имеем:

                                                                                            (2.10)

Полученная векторная сумма не зависит от положение точки , в отношении которой вычисляются моменты, а определяется лишь точками приложения сил, составляющих пару.
Векторное произведение называется моментом пары сил и обозначается
Модуль момента пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на
плечо пары.
 Как видим, момент пары направленный перпендикулярно к плоскости действия пары в ту
сторону, откуда «вращение» пары происходит против часовой стрелки.

Итак, момент пары сил — вектор свободный и математически определен в виде

                                                                                                       (2.11)

Ниже показано, что момент пары полностью определяет статическое действие пары сил на твердое тело, то есть полной характеристикой механического воздействия пары сил на это тело. Из определения момента пары сил и аксиомы I о двух силах следует, что пара сил является уравновешенной системой  (система сил, эквивалентная нулю) тогда и только тогда, когда момент пары равна нулю. Другие свойства пары сил определяются следующими теоремами.

 Теорема 1. Не меняя действия пары сил на твердое тело, его можно переносить и произвольно вращать в плоскости действия, изменяя величину силы, входящей в нее, и длину плеча так, чтобы момент пары оставался неизменным.

Доказательство. Пусть задано пару сил и с плечом . В плоскости действия этой пары выберем произвольный отрезок (рис. 2.8, а). В точках с и d этого отрезка
на линиях, перпендикулярные к нему, приложим соответственно две системы сил
 и  каждая из которых эквивалентна нулю. Причем Продолжим линии действия сил и к пересечению их с линиями действия и  сил   Полученные точки пересечения обозначим через
Перенесем теперь силы и  а также силы и как скользящие векторы в точки  и    Пусть — равнодействующая сходящихся сил и , приложенных в точке, а  равнодействующая  сходящихся сил и приложенных в точке  Понятно, что система сил эквивалентна нулю, поскольку по построению силы и   равны по величине, направлены в противоположные стороны и приложенные к концам диагонали параллелограмма   Итак, систему  можно отбросить, не нарушая состояния тела. Таким образом, пару сил  которая осталась, эквивалентна заданной паре сил

Покажем, что при указанном перемещении пары сил можно изменять  величину
силы, входящей в нее, и длину плеча, о чем говорится в теореме. Для этого рассмотрим исходную пару сил (рис. 2.8, б).
Приложим к точкам а и b систему сил  эквивалентную нулю. Пусть и 
равнодействующие сходящихся систему  сил и ,  приложенных соответственно в точках а и Ь. Тогда система сил эквивалентна системе сил а следовательно, паре сил Момент пары сил , равен  а момент пары сил  равна . Легко убедиться, что алгебраические значения этих моментов одинаковы. Кроме того, из рис. 2.8, а видно, что направления вращений, создаваемых парами, совпадают. Итак, моменты пар сил  и равны между собой. Теорема доказана.

Теорема 2. Две пары сил, которые лежат в одной или параллельных плоскостях и имеют одинаковые по величине, но противоположные по направлению моменты, составляют систему пар сил, эквивалентную нулю.

Доказательство. Пусть в плоскости заданы две пары сил и , в которых одинаковые  алгебраические значения моментов, но противоположные направления вращений, создаваемых этими парами. По теореме 1, преобразуем пару сил так, чтобы эти пары имели общие точки приложения сил, которые составляют пары (рис. 2.9). Из рисунка и условия видим, что мы получили систему сил эквивалентную нулю. Итак, система с двух пар и эквивалентна нулю. Моменты этих пар соответственно равны:

                                                                                                  (2.12)

С другой стороны, сумма моментов всех сил, которые составляют эти пары, определяется выражением:

                                                                                                  (2.13)

которое является суммой моментов составляющих пар, равных нулю. Следовательно, эта система двух пар сил эквивалентна нулю.

Поскольку момент пары сил — вектор свободный, то доказанные теоремы справедливы также для случая пар сил, лежащих в параллельных плоскостях.
 Из доказанных теорем следует вывод об эквивалентности двух пар сил, имеющих геометрически одинаковые моменты.
 Кроме того, эти теоремы позволяют установить правило составления пар сил, которые лежат не только в параллельных плоскостях, но и в тех, которые пересекаются.
 Так, если задан систему n пар  то она может быть заменена одной, эквивалентной заданной системе пар — результирующей парой. Причем момент результирующей пары  равен векторной (геометрической) сумме моментов составляющих пар:

                                                                                                    (2.14)

Отметим, что пару сил нельзя заменить одной силой, которая была бы эквивалентна по действию на твердое тело двум равным по величиной, параллельным и противоположно направленным силам. Действительно, если предположить, что пара сил эквивалентна некоторой силе , то через их эквивалентность момент пары сил и момент силы  относительно произвольной точки, должны быть одинаковыми. Выбрав эту точку на линии действия силы , мы приходим к противоречию, поскольку момент пары сил остается без изменений, он не зависит от выбора центра, а момент силы равен нулю. Этим доказывается приведенное утверждение.

Итак, пара сил, действующих на твердое тело, образует новый самостоятельный элемент статики, который вместе с силой составляет важное понятия механики. Основные свойства этого элемента и основные преобразования, которым он подлежит, вполне устанавливаются доказанными теоремами о парах.
 Эти свойства и превращения будут выглядеть так:

1) пару сил можно переносить в плоскости ее действия, в том числе и вращать на любой угол;
 2) пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости действия этой пары;
 3) можно изменять силы, образующие пару и плечо, не меняя момента пары;
 4) несколько пар сил, произвольно расположенных в пространстве, можно заменить одной парой, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих пар.
 Из изложенного в главах 1 и 2 приходим к такому важному выводу: механическое влияние в статике характеризуется тремя типами векторов: силой — скользящим вектором, моментом силы относительно точки — приложенным вектором и парой сил — свободным вектором.

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Произвольная система сил
5. Плоская произвольная система сил
6. Трение
7. Расчет ферм
8. Расчет усилий в стержнях фермы
9. Пространственная система сил
10. Произвольная пространственная система сил
11. Плоская система сходящихся сил
12. Пространственная система сходящихся сил
13. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
14. Естественный способ задания движения точки
15. Центр параллельных сил
16. Параллельные силы
17. Система произвольно расположенных сил
18. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
19. Кинематика
20. Кинематика твердого тела
21. Движения твердого тела
22. Динамика материальной точки
23. Динамика механической системы
24. Динамика плоского движения твердого тела
25. Динамика относительного движения материальной точки
26. Динамика твердого тела
27. Кинематика простейших движений твердого тела
28. Общее уравнение динамики
29. Работа и мощность силы
30. Обратная задача динамики
31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
33. Сферическое движение твёрдого тела
34. Движение свободного твердого тела
35. Сложное движение твердого тела
36. Сложное движение точки
37. Плоское движение тела
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

50

Пара сил:

Парой сил называют систему двух численно равных параллельных сил, направленных в противоположные стороны

Пара сил и ее момент. Равнодействующая двух не равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны, равна их разности. Если же такие силы по модулю равны, то они не имеют равнодействующей. Они и не уравновешивают друг друга, за исключением того частного случая, когда они имеют одну общую линию действия. Систему двух численно равных параллельных сил, приложенных к одному телу и направленных в противоположные стороны, называют парой сил.

Пусть на тело (рис. 39, а) действует пара сил, причем одна из сил пары приложена в точке А, а другая в точке В. (Тело на рисунке не показано.) Назовем плечом пары кратчайшее расстояние (длину перпендикуляра) между линиями действия сил пары. Сила является скользящим вектором, поэтому силы пары (или одну из них) можно перенести в такое положение (рис. 39, б), чтобы на чертеже отрезок, соединяющий точки их приложения, был перпендикулярен линиям действия сил, т. е. изображал бы плечо.

Плоскость, в которой лежат линии действия сил пары, называют плоскостью пары.

Механическое воздействие пары сил на твердое тело зависит не только от величины сил, но в равной степени также и от плеча. Поэтому за меру механического воздействия пары сил на твердое тело принимают момент пары—величину, численно равную произведению модуля силы на плечо пары:

M=hF.      (24)

Момент пары, подобно моменту силы относительно точки,— векторная величина. Вектор момента пары перпендикулярен плоскости пары. Но у всякой плоскости имеется две стороны. Условились вектор момента восставлять с той стороны, с которой пара представляется поворачивающей свое плечо против хода часов (рис. 40). Таким образом, вектор момента пары сил характеризует не только величину воздействия пары на тело, но также и плоскость пары и направление, в котором силы пары стремятся повернуть тело.

В частном случае плоской системы сил момент пары рассматривают как алгебраическую величину и считают положительным, если силы пары стремятся повернуть плечо против вращения стрелок часов, если же силы пары стремятся повернуть плечо по ходу часов, то момент считают отрицательным (рис. 41).

Сумма моментов двух сил пары относительно любой точки пространства равна моменту пары

Свойства пары

Чтобы лучше пояснить понятие пары сил—одно из важнейших понятий механики, покажем, что момент пары сил равен сумме моментов двух сил пары относительно произвольно взятой точки. Для упрощения доказательства мы предположим сначала, что эта точка находится в плоскости пары, а затем распространим теорему на любую точку.

В плоскости пары возьмем совершенно произвольно какую-либо точку О, примем ее за начало плоской системы координат (рис. 42, а), проведем через нее в произвольном направлении ось Ox и перпендикулярно к ней ось Оу. По формуле (16) определим моменты сил пары относительно этой точки О, выбранной нами произвольно и принятой за начало координат:

Но, как видно из чертежа (рис. 42, б),

Подставляя эти величины и складывая, определим сумму моментов двух сил лары относительно точки О:

Таким образом, сумма моментов двух сил пары относительно любой точки О, взятой на ее плоскости, не зависит от их относительного положения (расстояния и ориентации) и равна моменту пары. Отсюда мы можем сделать вывод, что момент пары сил не изменится, если эту точку заменить какой-либо другой или если пару перенести в любое другое место ее плоскости, или повернуть на любой угол в ее плоскости.

Рассмотрим теперь самый общий случай, т. е. не будем накладывать никаких ограничений на положение пары сил и центра моментов. Примем произвольно взятую точку О (рис. 42, в) за начало прямоугольной системы координат, проведем плоскость хОу параллельно плоскости пары, направим оси Ox и Oy произвольно в этой плоскости, а ось Oz-перпендикулярно к ней. Тогда координаты точек приложения сил пары и проекции сил на оси выразятся равенствами, подобными только что написанным, лишь с добавлением третьей координаты, и мы будем иметь:

Учитывая написанные значения координат и проекций сил, определим по (23) суммы моментов двух сил пары относительно координатных осей. Относительно оси Ox получим 

Рис. 42

Аналогично относительно оси Oy

и относительно оси Oz

Теперь по формуле (22) находим, что модуль вектора суммы моментов двух сил пары относительно произвольно взятого центра О равен произведению модуля силы пары на плечо пары. Направлен этот вектор по оси Oz, т. е. перпендикулярно к плоскости пары сил.

Мы убедились, что сумма моментов двух сил пары относительно точки О равна моменту пары вне зависимости не только от положения пары в ее плоскости, но также и от расстояние плоскости пары от центра моментов. Иными словами, момент пары не изменится, если пару перенести в параллельную плоскость.

Момент пары выражается свободным вектором, перпендикулярным к плоскости пары, численно равным произведению силы на плечо

Как уже было сказано, момент пары является мерой механического воздействия пары сил на тело, а потому механическое воздействие пары сил на твердое тело не изменяется, если эту пару поворачивают в ее плоскости, переносят в другое место плоскости или в параллельную плоскость.

Эти на первый взгляд парадоксальные свойства пары поясним примерами. Гаечный ключ (рис. 43) одинаково действует на гайку, к каким бы граням этой гайки его ни приложить — момент пары не изменится от поворота пары сил в ее плоскости. Трансмиссионный вал (рис. 44) сообщает шкиву вращающий момент независимо от места закрепления шкива на валу — момент пары не изменится от переноса пары в параллельную плоскость.

Но только при изучении динамики, после знакомства с инерцией вращающегося тела и с понятием главных центральных осей, когда читатель узнает, что вращение тела зависит от массы каждой частицы тела и от их распределения, ему станет совершенно ясно, почему Действие пары сил на тело не зависит от положения пары сил в ее плоскости.

Момент пары сил не имеет фиксированной, определенной точки приложения. Он является свободным вектором, т. е. он имеет свою величину и свое направление, но приложить его можно в любой точке твердого тела, на которое действует пара сил. В этом заключается принципиальное отличие момента пары от момента силы относительно точки, являющегося прикрепленным вектором, приложенным в центре момента, или от скользящего вектора, примером которого является сила.

Две пары сил с равными моментами эквивалентны

Эквивалентность пар

Обратим особое внимание на то, что момент пары не является только произведением, а есть мера, полностью характеризующая воздействие пары сил на твердое тело. Две пары с одинаковыми моментами оказывают на тело одинаковое действие, если даже силы одной пары (а также и плечо) не равны силам (и плечу) другой пары.

Докажем сначала, что данную пару (F₁F₂), модули сил которой F, а плечо AB (рис. 45, а), можно, не изменяя ее механического воздействия на твердое тело (тело на рис. 45 не показано), заменить другой парой с таким же моментом, но с большими силами и соответственно меньшим плечом.

Приложим к телу в точке В, как показано на рис. 45, б, две взаимно уравновешенные силы и , по модулю равные Р. Складывая параллельные силы и , направленные в одну сторону, найдем их равнодействующую , по модулю равную F+P, направленную в ту же сторону и приложенную в точке C на расстояниях AC и ВС, обратно пропорциональных модулям слагаемых сил (рис. 45, в)

Складывая силы и , приложенные к телу в точке В, получим их равнодействующую , по модулю равную F+P и направленную в сторону слагаемых сил.

Новую пару сил (R₁R₂) мы получили из данной пары (F₁F₂), присоединив к ней взаимно уравновешенные силы P₁ и P₂. Следовательно, обе пары эквивалентны. Момент новой пары равен

или, принимая во внимание написанную выше пропорцию, из которой следует, что P ^. BC = F ^. AC, получим

т. е. моменты эквивалентных пар равны между собой и данную пару мы заменили другой парой с тем же моментом, но с меньшим плечом.

Чтобы убедиться, что всякую пару сил (F₁F₂) можно заменить другой парой сил с тем же моментом, но с большим плечом и соответственно с меньшими силами, сложим (см. рис. 45, б) силы F₁ с P₂, F₂ с P₁. Мы получим новую пару (Q₁Q₂) (рис. 45, г) с моментом

что и требовалось доказать.

Следовательно, механическое воздействие пары на твердое тело не изменится, если эту пару заменить любой другой парой с таким же моментом. ,Момент пары является свободным вектором, поэтому
эквивалентные пары находятся в одной или в параллельных плоскостях.

Момент пары сил, полученной от сложения нескольких пар, равен сумме моментов слагаемых пар.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Сложение пар

Покажем, что несколько пар, приложенных к твердому телу, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме их моментов. Пусть к некоторому телу приложены две пары сил, одна из которых лежит в плоскости l и имеет момент M₁, а другая — в плоскости ll и имеет момент M₂. Для общности доказательства предположим, что эти плоскости не пересекаются под углом δ. Воспользовавшись только что доказанными свойствами пар, представим каждую данную пару парой, ей эквивалентной, лежащей в той же плоскости и имеющей плечо AB (рис. 46), расположенное по линии пересечения обеих плоскостей. Модули сил F₁ первой пары и F₂—второй определим из условия эквивалентности

Рис. 46

Сложим силы обеих пар, приложенные к телу в точке А, а затем сложим силы, приложенные в точке В. Получим два параллелограмма сил с вершинами в точках А и В. Эти параллелограммы равны между собой, так как попарно равны и параллельны их стороны. Следовательно, равны и параллельны диагонали параллелограммов.

В результате сложения двух пар мы получили одну пару сил c тем же плечом и с силами, равными геометрической сумме соответствующих сил слагаемых пар. Найдем момент M этой пары.

На векторах моментов M₁ и M₂ построим как на сторонах параллелограмм, называемый параллелограммом моментов. Диагональ этого параллелограмма по величине и по направлению изображает момент пары (RR’), полученной в результате сложения пар (F₁, F₁^/) и (F₂, F₂^/). В самом деле, стороны параллелограмма моментов перпендикулярны и пропорциональны сторонам параллелограмма сил, а потому и диагональ параллелограмма моментов перпендикулярна плоскости пары и равна R^.АВ.

Мы пришли к заключению, что для сложения двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях, достаточно сложить их моменты. Но методом доказательства от n к n+1 нетрудно показать, что теорема остается справедливой для любого количества пар сил, т. е.

      (25)

Если сумма моментов всех пар равна нулю, то система пар находится в равновесии, так как наличие такой системы эквивалентно ее отсутствию. Справедливо и обратное заключение: если система пар находится в равновесии, то сумма моментов всех пар системы равна нулю. Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия системы пар, не лежащих в одной плоскости, является равенство нулю геометрической суммы моментов всех пар системы:

      (26)

Момент пары является векторной величиной, а потому суммирование надо производить, разумеется, геометрически, т. е. по правилу параллелограмма. В частном, но очень важном случае (имеющем большое применение в технике), когда пары расположены в одной плоскости, сложение моментов производят алгебраически. В самом деле. Будем поворачивать плоскости l и ll на рис. 46 до их совпадения. Тогда угол δ станет равным нулю, параллелограммы выродятся в отрезки прямой и геометрические суммы сил и сумма моментов превратятся в сложение векторов, направленных по прямой, т. е. в алгебраическое сложение.

Поэтому, чтобы сложить пары сил, расположенные в одной плоскости, достаточно алгебраически сложить их моменты:

      (25^/)

Необходимым и достаточным условием равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех пар системы:

       (26^/)

Задача №1

Шлюпка (рис. 47, а) висит на двух шлюпбалках, причем вес ее, равный 960 кГ, распределяется между ними поровну. Шлюпбалка ABC нижним полушаровым концом опирается на подпятник Л и на высоте 1,8 .и над ним свободно проходит через подшипник B-, вылет шлюпбалки равен 2,4 м. Пренебрегая весом шлюпбалки, определить давление ее на опоры А и В.

Решение. Требуется определить давление на опоры, но мы будем определять реакции в опорах и рассмотрим для этого равновесие шлюпбалки. Какие же силы действуют на шлюпбалку? На одну шлюпбалку приходится половина веса шлюпки (480 кГ). Эта сила приложена в точке C (рис. 47, б) и направлена вертикально вниз.

В точках А и В на шлюпбалку наложены связи, и в этих точках приложены реакции связей, равные и противоположные давлениям на опоры.

Подшипник В допускает перемещение по вертикали, следовательно, реакция связи, направленная, как известно, перпендикулярно виртуальным перемещениям, горизонтальна. Очевидно, она направлена влево, так как шлюпбалка давит на подшипник вправо.

Рис. 47

Направление реакции в шарнире обычно бывает неизвестным, поэтому реакцию в подшипнике разложим на две составляющие Xa и Ya, направленные, как показано на чертеже.

Мы видим, что система сил, приложенных к шлюпбалке, представляет собой две пары сил. Для равновесия такой системы необходимо и достаточно выполнение условия (26)

Заметим, что момент пары (R_B, X_A) положителен, так как эта пара стремится повернуть шлюпбалку против часовой стрелки, а момент (0,5G, Y_A) отрицателен, потому что под действием этой пары шлюпбалка стремится повернуться по ходу часовой стрелки. Из написанного уравнения находим R_B = 640 кГ. Векторы сил пары равны и противоположны, следовательно, реакция X_A = 640 кГ и направлена вправо, реакция Y_A = 480 кГ и направлена вверх, а давления направлены в обратные стороны.

Ответ. X_A =— 6,4 кн, Y_A=— 4,8 кн, X_B =— 6,4 кн.

Задача №2

К окружности трех дисков: А — радиуса 15 см (рис. 48, а), В —радиуса 10 см и С—радиуса 5 см приложены пары сил; величины сил, составляющих пары, соответственно равны 10 кГ, 20 кГ и P. Оси OA, OB и ОС лежат водной плоскости. Угол AOB — прямой. Определить величину силы P и угол BOC = а так, чтобы система трех дисков, будучи совершенно свободной, оставалась в равновесии.

Решение. Рассмотрим равновесие твердого тела, представляющего собой три пересекающиеся оси OA, OB и ОС, на которые жестко насажены диски. К окружностям дисков приложены три пары, две из которых известны, у третьей известно только плечо. Представим моменты этих пар в виде векторов (рис. 48, б), направленных перпендикулярно плоскостям дисков и численно равных: М₁= 150 н ^. см, М₂ = 200 н ^. см и М₃ = 5P. По условию равновесия (26) геометрическая сумма моментов пар должна равняться нулю, следовательно, треугольник моментов должен быть замкнут. Отсюда следует, что оси OA, OB и ОС лежат в одной плоскости. Решая треугольник, легко получаем ответ.

Ответ. P = 50 н, α = arctg (—0,75) = 143°10′.