Как найти момент инерции сложного тела

Момент инерции
сложной фигуры равен сумме моментов
инерции ее составных частей:

.
(9.11)

Это непосредственно
следует из свойств определенного
интеграла

,

где
A=A₁+A₂+A₃+
. . . .

Таким
образом, для вычисления момента инерции
сложной фигуры надо разбить ее
на ряд простых
фигур, вычислить мо­менты инерции
этих фигур и затем просуммировать эти
моменты
инерции.

Указанная теорема
справедлива также и для центробежного
момента инерции.

Моменты инерции
прокатных сечений (двутавров, швелле­ров,
уголков и т. д.) приводятся в таблицах
сортамента.

17. Изменение моментов инерции при повороте осей

сумма моментов
инерции относительно любых взаимно
пер­пендикулярных осей не меняется
при их повороте.

Формула
(9.18) может быть использована для вычисления
центробежного момента инерции относительно
осей х, у
по известным осевым моментам инерции
относительно осей х,
y
и x₁,
y₁.Для
вычисления момента инерции сложной
фигуры надо разбить ее
на ряд простых
фигур, вычислить мо­менты инерции
этих фигур и затем просуммировать эти
моменты инерции.

Сумма моментов
инерции относительно любых взаимно
пер­пендикулярных осей не меняется
при их повороте.

18 Главные оси инерции. Главные моменты инерции.

tg2α₀
=2 D_xy
/ (I_y
–
I_x).
Эта
формула определяет положение двух осей,
относительно одной из которых осевой
момент инерции максимален, а относи­тельно
другой — минимален,

Такие
оси называют главными. Моменты инерции
относи­тельно главных осей называются
главными
моментами
инерции.

Ф

ормула
для определения главных моментов
инерции: для данного случая (I_x>I_y)
максимальный момент инерции I_max
имеет место относительно
главной оси, повернутой на
угол α₀
по отношению к оси х, а минимальный
момент инерции — относительно другой,
перпендикулярной оси

Относительно
главных осей центробеж­ный момент
инерции равен нулю.

Таким
образом, главными осями называют
оси, обладающие
следующими свойствами:

1. Центробежный
момент инерции относительно этих осей
равен нулю.

2. Моменты инерции
относительно главных осей имеют
эк­стремальные значении (относительно
одной—максимум, отно­сительно другой
— минимум).

Главные оси,
проходящие через центр тяжести сечения,
называются главными центральными осями.

Во многих случаях
удается сразу определить положение
главных центральных осей. Если фигура
имеет ось симметрии, то она является
одной из главных центральных осей,
вторая прохо­дит через центр тяжести
сечения перпендикулярно первой.
Ска­занное следует из того обстоятельства,
что относительно оси симметрии и любой
оси ей перпендикулярной, центробежный
момент инерции равен нулю.

Если два главных
центральных момента инерции сечения
равны между собой, то у этого сечения
любая центральная ось является главной
и все главные центральные моменты
инерции одинаковы (круг, квадрат,
шестиугольник, равносторонний
треугольник).

19 Зависимость между центробежными моментами инерции относительно двух систем параллельных осей

Пусть
оси x₀y₀
—центральные
оси и момент инерции D_x0y0
известен. Найдем центробежный момент
инерции относительно осей х₁
и у₁.

D_x1y1=D_x0y0+Aab. Центробежный
момент инерции относительно системы
взаим­но перпендикулярных осей,
параллельных центральным, равен
центробежному моменту инерции относительно
этих централь­ных осей плюс произведение
площади фигуры на координаты ее центра
тяжести относительно новых осей.

Если
оси x₀
и y₀
являются центральными главными
осями, то
относительно этих осей D_x0y0
=0
и формула (10.3а)
упрощается:

D_x1y1=Aab
.

Д
ля
сложной фигуры, состоящей из п
простых фигур,(
при
условии, что собственные центральные
оси каждой фигу­ры являются главными
осями).

Моменты
инерции относи­тельно главных осей
называются
главными
моментами
инерции. Главные оси, проходящие через
центр тяжести сечения, называются
главными центральными осями. Центробежный
момент инерции относительно системы
взаим­но перпендикулярных осей,
параллельных центральным, равен
центробежному моменту инерции относительно
этих централь­ных осей плюс произведение
площади фигуры на координаты ее центра
тяжести относительно новых осей.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Это скалярная величина, которая показывает, насколько трудно изменить скорость вращения объекта вокруг текущей оси вращения. Иными словами, во вращательном движении тело вращается вокруг фиксированной оси. Каждая частица в теле движется по кругу с линейной скоростью, то есть каждая частица движется с угловым ускорением.

Обозначается момент инерции символом II (альтернативно обозначается JJ).

I=mr2I=mr^2,

где mm – масса тела, rr – расстояние от тела до оси вращения.

Момент инерции играет похожую роль в механике вращения с массой в обычной линейной механике. Действительно, момент инерции напрямую зависит от массы, а также от распределения этой массы относительно оси вращения.

Чем вращение массы тела происходит дальше от оси, тем труднее изменить скорость вращение этой системы.

Момент инерции в системе СИ измеряется в кг·м² (килограмм умноженный на квадратный метр).

Связь момента инерции со вторым законом Ньютона

Момент инерции занимает место массы во «вращательной» версии второго закона Ньютона. Если рассмотреть массу mm, прикрепленную к одному концу стержня (для простоты объяснения массу стержня приравняем к 0). Другой конец стрежня прикреплен так, что вся система может вращаться вокруг центральной точки.

Далее система приводится во вращения, в результате действия тангенциальной силы FTFT на тело. Из второго закона Ньютона:

FT=maT или FT=m(rα)F_T = ma_T ~ или ~ F_T = m(rα)

В механике вращения крутящий момент τ=F⋅rτ = F·r занимает место силы. Умножив на rr последнее выражение, получим:

FTr=m(rα)rF_T r= m(rα) r, отсюда

τ=mr2ατ = mr^2α,

τ=Iατ = Iα

Это выражение можно использовать для определения поведения массы в ответ на действующий крутящий момент.

Момент инерции сложных фигур

Для более сложных фигур, чтобы найти момент инерции необходимо сделать несколько промежуточных вычислений. Для многих геометрических фигур существуют таблицы с уравнениями для моментов инерции. Более трудоемким будет вычисление момента инерции сложного тела, если представить его как сумму более простых тел.

Полученные моменты вращений каждого тела, объединяются в инерцию составного объекта.

Проблема, которая может возникнуть, состоит в том, что ось вращения для каждого тела будет отличаться и не будет совпадать с моментом инерции главного тела. Уравнение ниже позволяет связать момент инерции одного тела относительно момента инерции всего составного объекта:

I0=Ic+md2I_0 = I_c +md^2,

I0I_0 — момент инерции относительно точки OO (например, точка вокруг которой вращается составной главный объект), IcI_c — момент инерции относительно точки СС (например, точка вокруг которой вращается часть объекта), mm – масса части объекта, dd – расстояние между точками OO и CC.
Момент инерции важен почти во всех физических задачах, связанных с массой во вращательном движении. Он используется для расчета момента импульса и позволяет объяснить (посредством сохранения момента импульса), как изменяется вращательное движение при изменении распределения массы. А также при необходимости поиска энергии, которая хранится в виде вращательной кинетической энергии во вращающемся маховике.

Тест по теме «Момент инерции»

Содержание

• Что такое момент инерции?
• Пошаговая процедура определения момента инерции композитных или нестандартных форм
• Пример 1: дырокол для квадратных отверстий
• Решение
• Пример 2: C-образная форма
• Решение
• Пример 3 — Форма змеи
• Решение
• Пример 4: I-образная форма
• Решение
• Пример 5: Сложная фигура
• Решение

Что такое момент инерции?

Момент инерции, также называемый «угловой массой или вращательной инерцией», а «второй момент площади» — это инерция вращающегося тела по отношению к его вращению. Момент инерции, применяемый к областям, не имеет реального значения при рассмотрении сам по себе. Это просто математическое выражение, обычно обозначаемое символом я. Однако при использовании в таких приложениях, как изгибные напряжения в балках, это начинает иметь значение. Математическое определение момента инерции указывает, что площадь делится на маленькие части dA, и каждая площадь умножается на квадрат ее плеча момента вокруг оси отсчета.

I = ρ² dA

Обозначение ρ (rho) соответствует координатам центра дифференциальной области dA.

Пошаговая процедура определения момента инерции композитных или нестандартных форм

1. Определите оси X и Y сложной фигуры. Если не указан, создайте свои оси, нарисовав оси X и Y на границах фигуры.

2. Определите и разделите сложную форму на основные формы, чтобы упростить вычисление момента инерции. При решении для момента инерции составной области разделите составную область на основные геометрические элементы (прямоугольник, круг, треугольник и т. Д.), Для которых известны моменты инерции. Вы можете показать разделение, нарисовав сплошные или пунктирные линии на неправильной форме. Обозначьте каждую основную форму, чтобы избежать путаницы и ошибок в расчетах. Пример показан ниже.

3. Найдите площадь и центр тяжести каждой базовой формы, создав табличную форму решения. Получите расстояния от осей центроида всей неправильной формы, прежде чем переходить к вычислению момента инерции. Всегда не забывайте вычитать области, соответствующие отверстиям. Обратитесь к статье ниже для расчета расстояний до центра тяжести.

• Расчет центроида сложных форм методом геометрической декомпозиции

4. После того, как вы получили положение центра тяжести по осям, переходите к вычислению момента инерции. Вычислите момент инерции каждой базовой формы и обратитесь к формуле для основных форм, приведенной ниже.

Ниже приведен момент инерции основных форм для его центральной оси. Чтобы успешно вычислить момент инерции сложной формы, вы должны запомнить основную формулу момента инерции основных геометрических элементов. Эти формулы применимы только в том случае, если центр тяжести основной формы совпадает с центром тяжести неправильной формы.

5. Если центр тяжести основной формы не совпадает, необходимо перенести момент инерции с этой оси на ось, где расположен центр тяжести составной формы, используя «Формулу переноса момента инерции».

Момент инерции относительно любой оси в плоскости области равен моменту инерции относительно параллельной центральной оси плюс коэффициент передачи, составленный из произведения площади основной формы на квадрат расстояние между осями. Формула передачи момента инерции приведена ниже.

6. Получите сумму моментов инерции всех основных форм, используя формулу передачи.

Пример 1: дырокол для квадратных отверстий

Решение

а. Найдите центр тяжести всей составной формы. Поскольку фигура симметрична в обоих направлениях, то ее центр тяжести находится в середине сложной фигуры.

Расположение центра тяжести сложной формы от осей x = 25 мм y = 25 мм

б. Найдите момент инерции сложной фигуры, вычтя момент инерции области 2 (A2) из ​​области 1 (A1). Нет необходимости использовать формулу передачи момента инерции, поскольку центр тяжести всех основных форм совпадает с центром тяжести составной формы.

I = MOI A1 — MOI A2 I = bh ^ 3/12 — bh ^ 3/12 I = (50) (50) ^ 3/12 — (25) (25) ^ 3/12 I = 488281,25 мм ^ 4

Пример 2: C-образная форма

Решение

а. Найдите центр тяжести всей сложной формы, составив таблицу.

Расположение центра тяжести составной формы от осей x = 76000/2800 x = 27,143 мм y = 84000/2800 y = 30 мм

б. Найдите момент инерции, используя формулу передачи. Слово «MOI» означает «момент инерции».

Ix = MOI A1 + MOI A2 + MOI A3 Ix = bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 Ix = (40) (20) ^ 3 / 12 + (800) (20) ^ 2 + (40) (20) ^ 3/12 + (800) (20) ^ 2 + (20) (60) ^ 3/12 Ix = 1053333,333 мм ^ 4

Iy = MOI A1 + MOI A2 + MOI A3 Iy = bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 Iy = (20) ( 40) ^ 3/12 + (800) (40 — 27,143) ^ 2 + (20) (40) ^ 3/12 + (800) (40 — 27,143) ^ 2 + (60) (20) ^ 3/12 + (1200) (27.143-10) ^ 2 Iy = 870476.1905 мм ^ 4

Пример 3 — Форма змеи

Решение

а. Найдите центр тяжести всей сложной формы, составив таблицу.

Расположение центра тяжести сложной формы от осей x = 38500/1100 x = 35 мм y = 27500/1100 y = 25 мм

б. Найдите момент инерции, используя формулу передачи. Слово «MOI» означает «момент инерции».

Ix = MOI A1 + MOI A2 + MOI A3 Ix = bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 + bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 Ix = (30) (10) ^ 3 / 12 + (300) (20) ^ 2 + (10) (50) ^ 3/12 + (30) (10) ^ 3/12 + (300) (20) ^ 2 Ix = 349166,6667 мм ^ 4

Iy = MOI A1 + MOI A2 + MOI A3 Iy = bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 + bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 Iy = (10) (30) ^ 3 / 12 + (300) (20) ^ 2 + (50) (10) ^ 3/12 + (10) (30) ^ 3/12 + (300) (20) ^ 2 Iy = 289166,6667 мм ^ 4

Пример 4: I-образная форма

Решение

а. Найдите центр тяжести всей составной формы. Поскольку фигура симметрична в обоих направлениях, то ее центр тяжести находится в середине сложной фигуры.

Расположение центра тяжести составной формы от осей x = 20 мм y = 20 мм

б. Найдите момент инерции, используя формулу передачи. Слово «MOI» означает «момент инерции».

Ix = MOI A1 + MOI A2 + MOI A3 Ix = bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 + bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 Ix = (40) (10) ^ 3 / 12 + (400) (15) ^ 2 + (10) (20) ^ 3/12 + (40) (10) ^ 3/12 + (400) (15) ^ 2 Ix = 193333,3333 мм ^ 4

Iy = MOI A1 + MOI A2 + MOI A3 Iy = bh ^ 3/12 + bh ^ 3/12 + bh ^ 3/12 Iy = (10) (40) ^ 3/12 + (20) (10 ) ^ 3/12 + (10) (40) ^ 3/12 Iy = 108333,3333 мм ^ 4

Пример 5: Сложная фигура

Решение

а. Найдите центр тяжести всей сложной формы, составив таблицу.

Положение центра тяжести составной формы от осей x = 15571.79633 / 1057.079633 x = 14.73095862 мм y = 12191.32376 / 1057.079633 y = 11.53302304 мм

б. Найдите момент инерции, используя формулу передачи. Слово «MOI» означает «момент инерции».

Ix = MOI A1 + MOI A2 + MOI A3 Ix = (pi) r ^ 4/4 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/36 + Ad ^ 2 Ix = ( пи) (10) ^ 4/4 + (157,0796327) (34,24413182 — 11,533) ^ 2 + (20) (30) ^ 3/12 + (600) (15 — 11,533) ^ 2 + (20) (30) ^ 3/36 + (300) (11,533 — 10) ^ 2 Ix = 156792,0308 мм ^ 4

Iy = MOI A1 + MOI A2 + MOI A3 Iy = (pi) r ^ 4/4 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/12 + Ad ^ 2 + bh ^ 3/36 + Ad ^ 2 Iy = ( пи) (10) ^ 4/4 + (157.0796327) (14,73 — 10) ^ 2 + (30) (20) ^ 3/12 + (600) (14,73 — 10) ^ 2 + (30) (20) ^ 3/36 + (300) (26,67 — 14,73) ^ 2 Iy = 94227,79522 мм ^ 4

Содержание:

Геометрия масс:

Центр масс

При рассмотрении движения твердых тел и других механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Если механическая система состоит из конечного числа материальных точек

где — масса системы. Обозначая декартовы координаты материальных точек , из (1) проецированием на декартовы оси координат получим следующие формулы для координат центра масс:

Рис. 21

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы, как, например, в случае кольца. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Векторная величина  называется статическим моментом массы относительно точки . Скалярная величина  называется статическим моментом

массы относительно координатной плоскости . Величины  и  являются соответственно статическими моментами массы относительно координатных плоскостей  и .

Радиус-вектор и координаты центра масс через статические моменты массы выражаются формулами

Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами и с изменяющимися от частицы к частице радиусом-вектором .

Суммы в пределе переходят в интегралы. Формулы (1) и (Г) принимают форму

где — масса тела.

Для однородных сплошных тел , где — плотность тела, общая для всех элементарных частиц; —объем элементарной частицы; —объем тела.

Для тел типа тонкого листа, которые можно принять за однородные материальные поверхности, , где  — поверхностная плотность; —площадь поверхности элементарной частицы; —площадь поверхности.

Для тонкой проволоки, которую можно принять за отрезок линии, , где — линейная плотность; —длина элемента линии; —длина отрезка линии.

В этих случаях определение центра масс тел сводится к вычислению центра масс объемов, площадей и длин линий соответственно.

Моменты инерции

Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.

Моменты инерции относительно точки и оси

Моментом инерции механической системы, состоящей из материальных точек, относительно точки называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до точки (рис. 22), т. е.

Момент инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции. В случае сплошного тела сумма переходит в интеграл и для полярного момента инерции имеем

где — масса элементарной частицы тела, принимаемой в пределе за точку; —ее расстояние до точки .

Моментом инерции   системы материальных точек относительно оси  называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси (рис. 22), т. е.

Рис. 22

В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом:

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции. Радиус инерции относительно оси определяется по формуле

где —масса тела.

Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой оси определяется выражением

В справочниках по моментам инерции приводят таблицы значений радиусов инерции различных тел.

Формула (5′) позволяет считать радиус  инерции тела относительно оси расстоянием от этой оси до такой точки, в которой следует поместить массу тела, чтобы ее момент инерции оказался равным моменту инерции тела относительно рассматриваемой оси.

Моменты инерции относительно оси и точки имеют одинаковую размерность — произведение массы на квадрат длины .

Кроме моментов инерции относительно точки и оси используются также моменты инерции относительно плоскостей и центробежные моменты инерции. Эти моменты инерции удобно рассмотреть относительно координатных плоскостей и осей декартовой системы координат.

Моменты инерции относительно осей координат

Моменты инерции относительно декартовых осей координат , и и их начала — точки (рис. 23) — определяются выражениями

где — координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид

Из приведенных формул следует зависимость

Если через точку провести другую систему декартовых осей координат , то для них по формуле (8) получим

Из сравнения (8) и (8′) следует, что

Рис. 23

Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависит от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т. е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат.

Для осей координат можно определить следующие три центробежных момента инерции:

Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции.

Моменты инерции относительно осей и точек — величины положительные, так как в них входят квадраты координат. Центробежные моменты инерции содержат произведения координат и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Центробежные моменты инерции имеют важное значение при рассмотрении давлений на подшипники при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях.

Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей , которые определяются выражениями

Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера)

Установим зависимость между моментами инерции системы относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Пусть имеем две системы прямоугольных, взаимно параллельных осей координат и . Начало системы координат находится в» центре масс системы (рис. 24).

Рис. 24

По определению момента инерции относительно оси имеем

где — масса точки , а  и — координаты этой точки относительно систем координат и соответственно. Если обозначить координаты центра масс относительно системы координат , то для взаимно параллельных осей координаты одной и той же точки  связаны соотношениями параллельного переноса

Подставим эти значения координат в выражение момента инерции . После преобразований получим

В этом соотношении —масса системы, , так как и вследствие k = 1

того, что по условию центр масс находится в начале координат этой системы координат.

Величина , где —расстояние между осями и . Окончательно

Связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, составляет содержание так называемой теоремы Штейнера или Гюйгенса— Штейнера: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

Из теоремы Штейнера следует, что для совокупности параллельных осей момент инерции является наименьшим относительно оси, проходящей через центр масс.

Если взять ось параллельной , то для нее получим

где — расстояние между параллельными осями и .

Исключая момент инерции  из двух последних формул, получим зависимость моментов инерции относительно двух параллельных осей, не проходящих через центр масс:

Установим изменение центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей координат. Имеем

Учитывая, что получаем

где — координаты центра масс относительно системы координат . Аналогичные формулы получаются для двух других центробежных моментов инерции:

Так как начало системы координат находится в центре масс, то , , и тогда

т. е. центробежные моменты инерции при параллельном переносе осей координат из любой точки в центре масс изменяются в соответствии с (10).

Если производится параллельный перенос осей из точки в центр масс, то, согласно (10), имеем:

Исключая из (10) и (10′) центробежные моменты инерции Л’з» Лу, получим формулы для изменения центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей координат из точки  в точку :

где и — координаты центра масс в двух системах взаимно параллельных осей координат.

Моменты инерции простейших однородных тел

Моменты инерции тел сложной формы часто удается вычислить, если их предварительно разбить на тела простой формы. Моменты инерции сложных тел получают суммируя моменты инерции частей этих тел. Получим формулы для вычисления моментов инерции некоторых однородных простейших тел.

Однородный стержень

Имеем однородный стержень длиной и массой (рис. 25). Направим по стержню ось . Вычислим момент инерции стержня относительно оси , проходящей перпендикулярно стержню через его конец. Согласно определению момента инерции сплошного тела относительно оси, имеем

так как , где —плотность стержня.

Вычисляя интеграл, получаем

Рис. 25

Таким образом,

Момент инерции стержня относительно оси , проходящей через центр масс и параллельной оси , определяется по теореме Штейнера:

Следовательно,

т. е.

Прямоугольная пластина

Прямоугольная тонкая пластина имеет размеры  и и массу (рис. 26). Оси и расположим в плоскости пластины, а ось —перпендикулярно ей. Для определения момента инерции пластины относительно оси разобьем пластину на элементарные полоски шириной и массой и проинтегрируем по от 0 до . Получим

так как .

Аналогичные вычисления для оси дадут

так как эта ось проходит через середину пластины. Для определения момента инерции пластины относительно оси следует предварительно вычислить момент инерции отдельной заштрихованной полоски относительно параллельной оси по формуле (12) для стержня и применить затем теорему Штейнера. Для элементарной полоски имеем

Рис. 26

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до , получим

Итак, для моментов инерции пластины относительно осей координат получены следующие формулы:

Круглый диск

Имеем тонкий однородный диск радиусом и массой (пис. 27). Вычислим момент его инерции относительно точки . Этот момент инерции для тонкого диска совпадает с моментом инерции  относительно координатной оси , перпендикулярной плоскости диска. Разобьем диск на концентрические полоски шириной , принимаемые в пределе за материальные окружности. Масса полоски равна ее площади , умноженной на плотность , т.е. . Момент одной полоски относительно точки равен . Для всего диска

Таким образом, 

Рис. 27

Для осей координат и , расположенных в плоскости диска, в силу симметрии . Используя (8), имеем , но , поэтому

В случае тонкого проволочного кольца или круглого колеса, у которых масса распределена не по площади, а по его ободу, имеем

Круглый цилиндр

Рис. 28

Для круглого однородного цилиндра, масса которого , радиус и длина (рис. 28), вычислим прежде всего его момент инерции относительно продольной оси симметрии . Для этого разобьем цилиндр плоскостями, перпендикулярными оси , на тонкие диски массой и толщиной . Для такого диска момент инерции относительного оси равен . Для всего цилиндра

т.е.

Вычислим момент инерции цилиндра относительно его поперечной оси симметрии . Для этого разобьем цилиндр поперечными сечениями, перпендикулярными его продольной оси, на элементарные диски толщиной . Момент инерции элементарного диска массой относительно оси , по теореме Штейнера, .

Чтобы получить момент инерции всего цилиндра относительно оси , следует проинтегрировать полученное выражение по в пределах от 0 до и результат удвоить. Получим

Но  — масса цилиндра. Следовательно,

Таким образом, момент инерции цилиндра относительно его поперечной оси симметрии получается как сумма моментов инерции относительно этой оси диска и стержня, массы которых равны по отдельности массе цилиндра. Диск получается из цилиндра симметричным сжатием его с торцов до срединной плоскости при сохранении радиуса, а стержень — сжатием цилиндра в однородный стержень, расположенный по оси цилиндра, при сохранении длины.

Шар

Пусть масса шара , радиус (рис. 29). Разобьем шар на концентрические сферические слои радиусом и толщиной . Масса такого слоя , где ; —объем слоя, равный произведению площади поверхности сферы радиусом на толщину слоя , т.е. . Таким образом, масса элементарного слоя .  Для момента инерции шара относительно его центра имеем

т.е.

Рис. 29

Для осей координат, проходящих через центр шара, в силу симметрии . Но . Следовательно,

Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку

В заданной точке выберем декартову систему осей координат . Ось  образует с осями координат углы   (рис. 30). По определению момента инерции относительно оси  имеем

или для сплошных тел

В дальнейшем используется определение (20). Сплошные тела считаются разбитыми на малых частей, принимаемых за точки.

Из прямоугольного треугольника получаем

где — координаты точки . Отрезок  является проекцией радиуса-вектора на ось . Для получения проекции вектора на ось его следует умножить скалярно на единичный вектор этой оси . Имеем

Умножая в (21) , выраженный через координаты точки , на единицу в виде и используя значение (22) для , получим

Подставляя (23) в (20) и вынося косинусы углов за знаки сумм, имеем

Учитывая, что

—    моменты инерции относительно осей координат, а

—    центробежные моменты инерции относительно тех же осей, получим

Для определения момента инерции , кроме углов , определяющих направление оси, необходимо знать в точке шесть моментов инерции: . Их удобно расположить как элементы единой таблицы или матрицы:

Матрица, или таблица (25), составленная из осевых и центробежных моментов инерции относительно декартовых осей координат, называется тензором инерции в точке . В тензоре инерции условились центробежные моменты инерции брать со знаком минус. Компоненты тензора инерции (отдельные осевые или центробежные моменты инерции) зависят не только от выбора точки, но и от ориентации осей координат в этой точке.

Для определения момента инерции относительно какой-либо оси, проходящей через заданную точку, для рассматриваемого тела необходимо иметь тензор инерции в этой точке и углы, определяющие направление оси с осями координат.

Рис. 30

Эллипсоид инерции

Для характеристики распределения моментов инерции тела относительно различных осей, проходящих через заданную точку, используется поверхность второго порядка — эллипсоид инерции. Для построения этой поверхности на каждой оси (см. рис. 31), проходящей через точку , откладывают от этой точки отрезок

Геометрическое место концов отрезков расположится на поверхности, которая называется эллипсоидом инерции. Получим уравнение эллипсоида инерции. Для этого выразим косинусы углов через координаты точки . Имеем:

Подставляя эти значения косинусов углов в (24) и сокращая на , получим уравнение поверхности второго порядка:

Это действительно уравнение эллипсоида, так как отрезок имеет конечную длину для всех осей, для которых моменты инерции не обращаются в нуль. Другие поверхности второго порядка, например гиперболоиды и параболоиды, имеют бесконечно удаленные точки. Эллипсоид инерции вырождается в цилиндр для тела в виде прямолинейного отрезка, если точка расположена на самом отрезке. Для оси, направленной по этой прямой линии, момент инерции обращается в нуль и соответственно отрезок  равен бесконечности.

Для каждой точки имеется свой эллипсоид инерции. Эллипсоид инерции для центра масс тела называют центральным эллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции (его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Они являются его осями симметрии.

В случае эллипсоида вращения все прямые, расположенные в экваториальной плоскости эллипсоида, перпендикулярной оси вращения, будут главными осями инерции. Для шара любая прямая, проходящая через его центр, есть главная ось инерции.

Моменты инерции относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции, а относительно главных центральных осей инерции — главными центральными моментами инерции.

Если уравнение эллипсоида инерции отнести к его главным осям , то оно примет вид

где —текущие координаты точки, расположенной на эллипсоиде инерции, относительно главных осей инерции; — главные моменты инерции. Уравнение эллипсоида инерции (27′) не содержит слагаемых с произведениями координат точек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, т. е.

Справедливо и обратное утверждение: если центробежные моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей равны нулю, то эти оси являются главными осями инерции. Обращение в нуль трех центробежных моментов инерции является необходимым и достаточным условием того, что соответствующие прямоугольные оси координат есть главные оси инерции.

Главные моменты инерции часто обозначают , вместо . Для главных осей инерции формула (24) принимает форму

• Заказать решение задач по теоретической механике

Свойства главных осей инерции

Теорема 1. Если одна из декартовых осей координат, например  (рис. 31), является главной осью инерции для точки , а две другие оси  и — любые, то два центробежных момента инерции, содержащих индекс главной оси инерции , обращаются в нуль, т.е. и .

Главная ось инерции является осью симметрии эллипсоида инерции. Поэтому каждой точке эллипсоида, например , соответствует симметричная относительно этой оси точка . Подставляя в уравнение эллипсоида инерции (27) последовательно координаты этих точек, получим

Вычитая из первого уравнения второе, имеем

Так как всегда можно выбрать точки, для которых и  отличны от нуля, то .

Рис. 31

Аналогичные рассуждения для двух симметричных относительно оси точек и приводят к заключению, что . В аналитической геометрии при исследовании уравнений поверхностей второго порядка доказывается обратное утверждение, что если и , то ось есть главная ось. Таким образом, обращение в нуль центробежных моментов инерции и является необходимым и достаточным условием, чтобы ось была главной осью инерции для точки .

Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то для любой точки, лежащей в этой плоскости, одна из главных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие главные оси инерции расположены в этой плоскости.

Рис. 32

Для доказательства теоремы выберем в плоскости симметрии точку и в ней оси прямоугольной системы координат , причем ось направим перпендикулярно плоскости симметрии (рис. 32). Тогда каждой точке тела массой  соответствует симметричная относительно плоскости точка с такой же массой. Координаты точек и отличаются только знаком у координат .

Для центробежного момента инерции имеем

так как часть тела (I), соответствующая точкам с положительными координатами , одинакова с частью тела (II), у которой точки имеют такие же координаты , но со знаком минус. Аналогично доказывается, что

Так как центробежные моменты инерции и  обращаются в нуль, то ось есть главная ось инерции для точки . Другие две главные оси инерции перпендикулярны оси и, следовательно, расположены в плоскости симметрии.

Центр масс однородного симметричного тела находится в плоскости симметрии. Поэтому одна из главных центральных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие расположены в этой плоскости.

Доказанная теорема справедлива и для неоднородного тела, имеющего плоскость материальной симметрии.

Теорема 3. Если однородное тело имеет ось симметрии или неоднородное тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Теорема доказывается аналогично предыдущей. Для каждой точки тела с положительными координатами  и массой существует симметричная относительно оси точка с такой же массой и такими же по величине, но отрицательными координатами , если осью симметрии является ось . Тогда

так как суммы по симметричным относительно оси частям тела (I) и (II) отличаются друг от друга только знаком у координаты .

Аналогично доказывается, что .

Таким образом, ось  является главной осью инерции для любой точки, расположенной на оси симметрии тела. Она есть главная центральная ось инерции, так как центр масс находится на оси симметрии.

Теорема 4. Главные оси инерции для точки , расположенной на главной центральной оси инерции, параллельны главным центральным осям инерции (рис. 33).

Выберем в точке главной центральной оси инерции систему декартовых осей координат , взаимно параллельных главным центральным осям инерции . Тогда координаты точки тела в двух системах осей координат будут связаны между собой формулами параллельного переноса осей

где . Используя эти формулы, вычисляем центробежные моменты инерции и . Имеем

так как

где —масса тела;  — координата центра масс относительно системы координат . Аналогично получаем

Если — центр масс системы, то  и . Для главных центральных осей инерции центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.

Используя полученные формулы при этих условиях, имеем:    

Рис. 33

Следовательно, оси есть главные оси инерции для произвольной точки , расположенной на главной центральной оси инерции . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы в качестве следствия получаем: главная центральная ось инерции является главной осью инерции для всех своих точек. Действительно, главная ось инерции для точки , лежащей на главной центральной оси инерции , совпадает с этой осью. Главная ось инерции таким свойством не обладает. Главные оси инерции для точки , расположенной на главной оси инерции точки , не параллельны главным осям инерции для этой точки. Они в общем случае повернуты относительно этих осей.

Определение главных моментов инерции и направления главных осей

Пусть известны компоненты тензора инерции в точке относительно осей координат . Для определения направления главных осей инерции в точке используем уравнение эллипсоида инерции относительно этих осей

Если оси координат являются главными осями инерции, то радиус-вектор точки эллипсоида инерции, расположенной на главной оси инерции, например оси (рис. 34), направлен по нормали к эллипсоиду, т. е. параллельно вектору , который, согласно его определению, вычисляется по формуле

Параллельные векторы отличаются друг от друга скалярным множителем, который обозначим . Тогда для параллельных векторов и и их проекций на оси координат имеем:

Рис. 34

В этих уравнениях являются координатами точки конца вектора , проведенного из точки вдоль какой-либо главной оси инерции для этой точки.

Для частных производных из (27′) получаем:

Подставляя их значения в (28′) и перенося все слагаемые в левую часть, после объединения и сокращения на общий множитель получим следующую систему уравнений для определения координат точки , находящейся на главной оси инерции:

Так как (29) является однородной системой линейных уравнений, то отличные от нуля решения для координат получаются только при условии, что определитель этой системы равен нулю, т. е.

Это кубическое уравнение для определения называется уравнением собственных значений тензора инерции.

В общем случае имеется три различных действительных корня кубического уравнения ,  которые являются главными моментами инерции. Действительно, если ось совпадает с главной осью инерции, то для точки эллипсоида инерции, расположенной на этой оси, и . Первое уравнение (29) принимает вид

Так как , то  и , которое следует обозначить . Аналогично можно получить , если оси и  — главные оси инерции.

Подставляя в (29) получим только два независимых уравнения для определения координат точки  эллипсоида инерции, соответствующих главной оси инерции, для которой главный момент инерции есть . Третье уравнение системы будет следствием двух других уравнений, так как определитель этой системы равен нулю. Из (29) можно найти только две величины, например и . Они определят направление вектора вдоль главной оси инерции, момент инерции относительно которой есть . Модуль радиуса-вектора остается неопределенным. Аналогично определяются направления векторов и вдоль двух других главных осей инерции, для которых главные моменты инерции равны и . Можно доказать, что векторы , , , направленные вдоль главных осей инерции, взаимно перпендикулярны.

Таким образом, если известен тензор инерции для осей  , то можно определить как направление главных осей инерции, так и главные моменты инерции. Для главных осей инерции тензор инерции (25) принимает форму

Выражение компонентов тензора инерции через главные моменты инерции

Определим компоненты тензора инерции в точке относительно осей координат , если в этой точке известны главные моменты инерции относительно главных осей инерции , т. е. . Предположим, что ориентация осей координат относительно главных осей инерции задана таблицей углов:

Осевые моменты инерции относительно осей  через главные моменты инерции определяются по формуле (24′). Принимая последовательно за ось оси координат , получим

Для выражения центробежных моментов инерции через главные моменты инерции используем формулы преобразования координат точек тела при повороте осей координат вокруг точки (рис. 35). Эти формулы получим проецированием на оси  радиуса-вектора  точки , разложенного предварительно на составляющие, параллельные осям двух систем осей координат в точке . Имеем

где — координаты точки относительно системы осей координат , а — относительно . Проецирование вектора на какую-либо ось прямоугольной системы координат эквивалентно скалярному умножению этого вектора на единичный вектор оси. Умножая обе части (32) последовательно на единичные векторы осей координат и учитывая таблицу углов для осей, получим

Рис. 35

Используя (33) для центробежного момента инерции , имеем

так как центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, т. е.

Оси координат и взаимно перпендикулярны, поэтому косинусы их углов удовлетворяют условию

или

Используя это соотношение для исключения величины  и добавляя в первом слагаемом (34) под знаком суммы , а во втором , после объединения слагаемых с одинаковыми произведениями косинусов получим

где

— главные моменты инерции. Аналогично получаются выражения для и . Итак имеем

Формулы (31) и (35) дают выражения всех компонентов тензора инерции для осей координат через главные моменты инерции, если известны углы этих осей с главными осями инерции. В приложениях встречаются частные случаи, когда одна из осей координат совпадает с главной осью инерции.

Если ось совпадает с главной осью инерции (рис. 36), то . Это же можно получить из (35). Необходимые для вычисления углы соответственно равны:

Из (35) имеем

В формуле (35′) с полюсом следует брать главный момент инерции с индексом той оси, на положительное направление которой указывает дуговая стрелка поворота осей  на угол до совпадения с осями . В рассматриваемом случае поворот осей вокруг  до совпадения с главными осями производится от оси к оси ; следовательно, с плюсом следует взять главный момент инерции и с минусом — .

Рис. 36    

Если оси расположены, как показано на рис. 37, то дуговая стрелка поворота осей до совпадения с главными осями инерции  на угол  направлена к отрицательному направлению оси . Поэтому в (35′) , следует взять со знаком минус, а  знаком плюс, в чем нетрудно убедиться, используя (35) и таблицу углов. Имеем:

= 90°; р2 = а; Р3 = 90° + а;

Рис. 37

Аналогично при совпадении осей с Оу’ и повороте осей Oxz вокруг до совпадения с осями  на угол  от к в направлении против часовой стрелки имеем:

При совпадении осей и и повороте осей вокруг на угол от к против часовой стрелки получим:

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.