Как найти модуль суммы комплексных чисел

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.

Формула

Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Формула

Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$: $ a > 0 $, тогда $ varphi = arctg frac{b}{a} $ $ a < 0, b ge 0 $, тогда $ varphi = pi + arctg frac{b}{a} $ $ a < 0, b < 0 $, тогда $ varphi = -pi + arctg frac{b}{a} $ $ a = 0, b > 0 $, тогда $varphi = frac{pi}{2}$ $ a = 0, b < 0 $, тогда $varphi = -frac{pi}{2}$

Пример 1

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 — 4i $.

Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части: $$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$ Применяя формулу вычисления модуля получаем: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$ Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент: $$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$

Ответ

$$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $

Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю: $$ a = Re z = 0 $$ Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$ Вычисляем модуль по уже известной формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$ А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$

Ответ

$$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$

Пример 3

Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$

Решение

Выписываем действительную и мнимую часть: $$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$ Так как $ a > 0 $, то аргумент равен $$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$ Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$

Пример 4

Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$

Решение

Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$ Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$ Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой: $$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$ $$ = pi — arctg(sqrt{3}) = pi — frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$

Ответ

$$ varphi = frac{2pi}{3} $$

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Другими словами, суммой двух заданных комплексных чисел является комплексное число, действительная и мнимая части которого определяется как сумма соответственно действительных и мнимых частей исходных слагаемых.

«Сложение и вычитание комплексных чисел» 👇

Содержание:

Хроника возникновения комплексных чисел:

Исследование.

1) Подтвердите примерами справедливость следующих высказываний. Если высказывание ложно, то сделайте так, чтобы оно стало истинным.

• а) Если а и b — натуральные числа, то корень уравнения х + а = b также является натуральным числом.
• б) Если а и b -целые числа, то корень уравнения ах = b также является целым числом
• в) Если а неотрицательное рациональное число, то корень уравнения х₁ = а также является рациональным числом.
• г) Если а неотрицательное действительное число, то корень уравнения х₂ = а также является действительным числом.

2) Существует ли действительное число квадрат которого равен -1?

3)

• а) Существуют ли действительные корни уравнения х₂ = а при
• б) Можно ли решить эту задачу расширив множество действительных чисел?

4) Существует ли однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой оси? А какие числа соответствуют точкам на координатной плоскости?

На множестве действительных чисел уравнение х₂ = -1 не имеет решений. Значит, мы должны расширить множество действительных чисел так, чтобы корни этого уравнения входили в него. Для этого введём новое число и примем, что оно является корнем уравнения х₂ + 1 = 0, т.е. . Отсюда . После этого, корнями уравнения х₂ + 1 = 0 являются числа . Число называется мнимой единицей.

Расширим множество действительных чисел так, чтобы в него входили все действительные числа и число , и были справедливы все свойства сложения и умножения. Для произвольных действительных чисел а и b введём «произведение» и «сумму» , и назовём комплексным числом следующее выражение . Выражение вида называется комплексным числом, где а и b — действительные числа, мнимая единица.Комплексные числа можно обозначать через и т.д.Например, . Запись называется алгебраической формой комплексного числа, а является действительной частью, b — мнимой частью комплексного числа , и записывается так: . При а = 0 получается число вида . Эти числа называются чисто мнимыми числами. При а = 0, b = 0 комплексное число равно нулю и наоборот, если а + = 0, то а = 0 и b = 0.

Следствие: для комплексных чисел а + и с + равенство

а + = с + справедливо тогда и только тогда, если а = с, b = d.

Пример. Из равенства найдите х и у.

Решение: Из равенства действительных и мнимых частей получаем: х = 5

.

Суммой комплексных чисел называется комплексное число

Действия над комплексными числами

Произведением комплексных чисел и называется число , т.е.

Значит, два комплексных числа умножаются по правилу умножения многочленов при условии, что .

Пример №1

Рассмотрим частные случаи степеней мнимых единиц:

Как видно, натуральные степени мнимой единицы равны , -1, —‘, 1 и повторяются через каждые четыре шага, т.е.справедливо равенство

Пример №2

Вычислите: а) б)

Решение: а) б)

Число называется сопряжённым для числа и обозначается как : . Ясно, что если число является сопряжённым для числа , то число является сопряжённым для числа . Поэтому, числа называются взаимно сопряжёнными комплексными числами. Действительные части взаимно сопряжённых чисел равны, а мнимые части являются противоположными числами.

Произведение взаимно сопряжённых комплексных чисел является действительным числом: .

В частном случае, сопряжённым для действительного числа является само число, для мнимого — произведение числа и (-1).

Для каждого комплексного числа существует противоположное число и . Для каждого, отличного от нуля, комплексного числа существует противоположное.

Вычитание и частное комплексных чисел определяется равенствами:

Для нахождения отношения комплексных чисел, удобнее числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое для знаменателя .

Пример №3

Найдём разность и отношение чисел .

Решение:

Все свойства арифметических операций для действительных чисел, справедливы для комплексных чисел. Как следствие, получаем, что любые алгебраические тождества справедливы для множества комплексных чисел. Например, для комплексных чисел и справедливы тождества

Квадратный корень комплексного числа

Число, квадрат которого равен называется квадратным корнем комплексного числа и обозначается как .

Пример №4

Найдём квадратный корень комплексного числа

Решение: Пусть . Возведём обе части равенства в квадрат:

Из равенства действительных и мнимых частей имеем:

Отсюда получаем решение (2; -1) и (-2; 1). Значит,

Примечание: В отличии от действительных чисел, говоря о квадратном корне комплексного числа, имеется в виду каждое из двух значений, различающихся знаками. Корни квадратного уравнения для множества комплексных чисел находится по тому же правилу, что и для действительных чисел.

Пример №5

Решим уравнение .

Решение:

.

Легко можно проверить, что также в силе остаётся и теорема Виета. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни являются сопряжёнными числами. Комплексное число задаётся парой действительных чисел (а; b) и эта пара соответствует определённым точкам на координатной плоскости. Поставим в соответствие числу точку А (а; b) и обозначим её через . Каждая точка на координатной плоскости изображает комплексное число и наоборот, каждое комплексное число на координатной плоскости, соответствует одной точке. Действительные числа располагаются на оси абсцисс, чисто мнимые числа на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат — мнимой, а плоскость — комплексной плоскостью.

Пример:

Точки, соответствующие комплексно сопряжённым числам располагаются симметрично оси абсцисс.

Модуль и аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть на комплексной плоскости комплексному числу соответствует точка М(а; b). Обозначим расстояние ОМ через R, угол между лучом ОМ и положительным направлением оси абсцисс через . Из по теореме Пифагора имеем:

Отсюда:

Расстояние, от начала координат до точки соответствующей комплексному числу, называется модулем комплексного числа и обозначается как: .

Угол, образованный конечной стороной угла поворота луча ОМ,

называется аргументом комплексного числа .

Из :

Модуль числа имеет единственное значение, а аргумент находится с точностью . То есть, если одно из значений аргумента равно , то другое будет иметь вид .

Для аргумента комплексного числа, обычно берётся угол принадлежащий промежутку [0; ).

Пример №6

Найдём модуль и аргумент комплексного числа

Решение: Из того, что следует,что

и принимая внимание, что угол расположен в I четверти,

получим:

Из формул , получаем:

Тогда

Для комплексного числа число называется тригонометрической формой комплексного числа.

В частном случае для модуля и аргумента числа имеем:

Пример №7

Запишем комплексное число

в тригонометрической форме.

Решение:

Так как угол принадлежит II четверги, то

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме .

Чтобы найти произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, надо перемножить их модули и сложить их аргументы.

Пример:

Теперь найдём отношение

Модуль отношение равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример:

Возвести число в степень с натуральным показателем n можно умножив n раз число

Модуль степени комплексного числа с натуральным показателем равен степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания умноженному на показатель степени n.

Пример:

Формулу называют формулой Муавра. При помощи этой формулы можно найти синус и косинус n кратных углов через синус и косинус одинарных углов. Например, при n = 2 имеем:

Отсюда

Из равенства двух комплексных чисел имеем:

Аналогичным образом можно написать формулы для .

Корень n-ой степени комплексного числа

Найдём значение выражения .

Запишем в виде и найдём корень n — ой степени

виде .

Возведём каждую из двух сторон в n-ую степень:

Если два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на .

Это значит,

Таким образом,

Отсюда при для первых значений полученного числа равны значениям, полученным при .

Обозначим корни — ой степени единицы через

Как видно, модули корней -ой степени равны 1, аргументы отличаются друг от друга в раз. То есть, эти числа расположены внутри единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат, и соответствуют комплексным числам, являющимися вершинами правильного -угольника.

Корнем -ой степени комплексного числа называется такое число , что . Если , то для корня -ой степени существуют различных значений.

Запишем в виде

.

Для получим:

Из равенства двух комплексных чисел получим:

Значения при отличаются от первых значений на

Поэтому, должно соблюдаться следующее:

Формула корни n-ой степени комплексного числа

Если , то

Пример №8

Найдём все значения

Решение: пусть

Отсюда

При

При

При

Для чего нужны комплексные числа

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Арифметические операции над комплексными числами

Комплексным числом называется выражение вида где — действительные числа, — мнимая единица.

Число называется действительной частью числа и обозначается (от франц. reele — «действительный»), а число — мнимой частью числа и обозначается (от франц. imaginaire — «мнимый»), т.е.

Действительное число является частным случаем комплексного при Комплексные числа вида не являющиеся действительными, т.е. при называются мнимыми, а при т.е. числа вида — чисто мнимыми.

Числа называются сопряженными.

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если В частности, если

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

2. Умножение комплексных чисел

В частности,

т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен — 1.

3. Деление двух комплексных чисел

Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1)-(16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов если считать Например, произведение комплексных чисел (16.2) есть

Пример №9

Даны комплексные числа

Найти

Решение:

(учли, что ).

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получим

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

Оси , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа называются соответственно действительной и мнимой осями.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается (см. рис. 16.1):

Угол образованный радиусом-вектором с осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Из значений выделяется главное значение удовлетворяющее условию Например,

Очевидно (см. рис. 16.1), что

Следовательно, комплексное число можно представить как

Представление комплексного числа в виде (16.6), где называется тригонометрической формой комплексного числа.

Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чиселих суммы и разности

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произ ведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент — сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

Геометрически умножение числа означает изменение длины радиуса-вектора раз и его поворот вокруг точки против часовой стрелки на угол

Пример №10

Комплексные числа представить в тригонометрической форме и найти

Решение:

По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа а из соотношений (16.5)

получим аргумент числа (берем его главное значение):

Аналогично т.е.

Теперь по формулам (16.7) и (16.8)

Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень , известную как формула Муавра:

Пример №11

Найти

Решение:

По формуле Муавра (16.9)

Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Пусть

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

или

Отсюда следует, что

Итак,

где

При значения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень -й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет различных значений.

Пример №12

Найти

Решение:

В примере 16.2 было получено

откуда получаем три значения корня

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки расположенные на окружности радиуса (рис. 16.3). ►

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.

Отсюда следует показательная форма комплексного числа.

где

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.

Формы записи комплексного числа

Решение простейшего квадратного уравнения невозможно в области вещественных чисел. Однако, если выполнить решение формально, то получим

Определение: Выражение называется мнимой единицей.

Определение: Комплексным числом называется выражение вида где х,у

Определение: Приведенная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Определение: Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.

Определение: Комплексное число называется нулевым, если вещественная и мнимая части равны нулю.

Определение: Комплексно-сопряженным к комплексному числу называется комплексное число

Пример №13

Записать комплексно-сопряженное число к комплексному числу

Решение:

Согласно определению комплексно-сопряженного числа получаем

Замечание: Двойное комплексное сопряжение приводит к исходному комплекс- ному числу, т.е.

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в области вещественных чисел, так как нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел. Однако это ограничение снимается в области комплексных чисел.

Пример №14

Решить квадратное уравнение

Решение:

Вычислим дискриминант уравнения таким образом, Следовательно,

Замечание: Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда состоит из комплексно-сопряженных корней.

Комплексное число изобретается на комплексной плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой М(х; у) (Рис. 2):

Рис. 2. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.

Пример №15

Изобразить на комплексной плоскости число z = 2-3i (Рис. 3).

Решение:

Рис. 3. Изображение комплексного на комплексной плоскости. Если перейти от декартовой системы координат к полярной системе отсчета, т.е. то комплексное число

Определение: Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Обратный переход от полярной системы отсчета к декартовой системе координат осуществляется по формулам:при этом является модулем, а — аргументом комплексного числа z .

Замечание: Аргумент комплексного числа определяется в зависимости от знаков вещественной и мнимой частей:

Действия с комплексными числами

1. Для того чтобы сложить (найти разность) два комплексных числа и сложить (найти разность) отдельно действительные и мнимые части,

Пример №16

Найти сумму и разность чисел Изобразить все числа на комплексной плоскости.

Решение:

Найдем сумму заданных комплексных чисел Вычислим разность данных чисел Изобразим заданные и полученные числа на комплексной плоскости (Рис. 4):

Рис. 4. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости.

Замечание: Отметим, что

2. Для того чтобы найти произведение двух комплексных чисел и надо их перемножить, как два выражения с учетом того, что

Замечание: Отметим, что

Замечание: Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеет вид Из полученной формулы видно, что модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, n-ая степень любого комплексного числа будет иметь вид При извлечении корня п -ой степени применяют формулу Муавра где величина

3. Деление комплексного числа на комплексное число осуществляется так

Замечание: Деление этих чисел в тригонометрической форме записи имеет вид: т.е. при делении комплексных чисел берут отношение модулей этих чисел, а из аргумента первого числа вычитают аргумент второго комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа

Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 22, Первый семестр), например,

Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу,

запишем комплексное число в показательной форме: Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаем

Комплексные числа и арифметические операции

Как известно, под комплексным числом понимается выражение вида

где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.

Числа вида отождествляются с действительными числами; в частности, . Числа вида 0 + iy = iy называются чисто мнимыми.

Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:

Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число

Сопряженным числом к числу (1) называется комплексное число

Таким образом,

На множестве комплексных чисел следующим образом определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

I. Пусть z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂.Тогда

Rez₁ = Re z₂, Im z₁ = Im z₂

В частности, z = 0 Re z = 0, Im z = 0.

II. z₁±z₂= (x₁± x₂) + i(y₁ ± y₂)-

Отсюда следует, что

Re (z₁ ± z₂) — Re z₁ ± Re z₂,

Im (z₁ ± z₂) — Imz₁ ± 1mz₂

III. z₁z₂ = (x₁x₂ — y₁y₂) + i(x₁y₂+x₂y₁).

Отсюда, в частности, получаем важное соотношение

==+=-1

Заметим, что правило умножения III получается формально путем умножения двучленов + и + с учетом (7).

Очевидно также, что для имеем

==

Легко проверить следующие свойства:

1)

• Заказать решение задач по высшей математике

Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть поставлена в соответствие точка плоскости z(x, у) (рис. 161), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вместо комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.

На оси Ох расположены действительные числа: z =:, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она носит название мнимой оси.

Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки г от начала координат.

С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки Oz; угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, называется аргументом ф = Arg z этой точки. Здесь . Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение Arg z называется главным значением его и обозначается через arg z:

Для аргумента ср имеем (рис. 161)

где

Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = ; 3) arg i = .

Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассматривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда получаем

Таким образом, имеем тригонометрическую форму комплексного числа

где

Теорема: При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).

Действительно, если число соответствует точке с координатами , а число — точке с координатами то числу отвечает точка Так как (рис. 162) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х₂ и у₂ равны между собой, то четырехугольник с вершинами 0, есть параллелограмм. Следовательно, радиус-вектор точки является суммой радиусов-векторов точек и .

Следствие. Так как есть длина вектора , то

Теорема: При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как , то равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах (рис. 163), т. е. равен разности радиусов-векторов точек .

Следствие. Расстояние между двумя точками равно

Теоремы о модуле и аргументе

Теорема: Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Действительно, если

то имеем

Отсюда

и

где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и правой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.

Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т. е.

( — целое положительное число).

Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произведения равных сомножителей.

Пример №17

Построить точку .

Решение:

Имеем

Следовательно, при умножении на i вектор поворачивается на прямой угол против хода часовой стрелки (рис. 164).

Теорема: Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть

Так как

то на основании теоремы 1 имеем

Отсюда

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть

где . Тогда на основании имеем

Отсюда получаем

Таким образом,

Заметим, что здесь под понимается арифметическое значение корня.

Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения , так как при всех прочих значениях k получаются повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем

Из формулы (4) следует, что корень -й степени из любого комплексного числа =0 имеет точно л значений.

Пример №18

Найти

Решение:

Так как , то на основании формулы (4) имеем

Отсюда

Точки представляют собой равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса (рис. 165).

Понятие функции комплексной переменной

Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость г) и O’uv (плоскость w).

Определение: Если каждой точке z Е (Е — множество точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w Е’ (Е’ — множество точек плоскости w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная)

с областью определения Е, значения которой принадлежат множеству Е’ (рис. 166). Если множество значений функции f(z) исчерпывает все множество Е то Е’ называется множеством значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае пишут

Множества Е и Е’ можно изображать на одной комплексной плоскости.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят свое применение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описывать «историю» движения объема жидкости (или газа).

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример:

Во что переходит сектор Е

(рис. 167, а) при отображении

Решение:

Имеем

Поэтому отображенная область E’ представляет собой полукруг (рис. 167, б).

Определение комплексных чисел

Определение комплексного числа и основные функции комплексной переменной

Определение 7.1. Множеством комплексных чисел называется множество пар действительных чисел на котором введены операции сложения и умножения следующим образом. Если то Элементы множества называются комплексными числами. Два комплексных числа называются равными, если

Операции сложения и умножения на множестве обладают привычными свойствами (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения).

Лемма 7.1. Для любых комплексных чисел выполняются равенства

□ Докажем, например, свойство 4 (свойство 5 доказывается аналогично, свойства 1, 2, 3 очевидны).

Пусть  Тогда

Два последних комплексных числа совпадают. После раскрытия скобок оказывается, что оба они равны

■

Определение 7.2. Комплексное число отождествляется с действительным числом а.

Это определение оправдывается тем, что установлено взаимно однозначное соответствие между множеством пар и множеством действительных чисел, сохраняющее операции сложения и умножения:

Такое соответствие в высшей алгебре называется изоморфизмом.

Определение 7.3. Комплексное число (0,1) обозначается буквой

Легко видеть, что т.е.

Далее, так как то пару можно записать в виде В дальнейшем комплексное число так и будем записывать: где Определения операций при этом запишутся так:

Иными словами, комплексные числа можно складывать и умножать, пользуясь известными законами сложения и умножения (лемма 7.1), имея в виду, что

Определение 7.4. Разностью двух комплексных чисел и называется такое комплексное число что (обозначается ). Частным двух комплексных чисел () называется такое комплексное число z, что (обозначается ).

Проверим, что эти операции однозначно определены.

□ Пусть Для разности имеем: откуда  Тогда Разность двух комплексных чисел определяется однозначно: т.е. вычитание можно осуществлять непосредственно.

Для частного имеем: откуда Так как то определитель этой системы решая систему по правилу Крамера, получим:    Частное двух комплексных чисел определено однозначно:

Такое деление можно осуществлять непосредственно:

Комплексное число называется сопряжённым к числу Мы воспользовались тем, что Произведённые действия аналогичны домножению числителя и знаменателя дроби со знаменателем вида где на число сопряжённое к знаменателю (такие действия применяются для избавления от иррациональности в знаменателе).

Определение 7.5. Пусть где Тогда числа называются соответственно действительной и мнимой частью числа                   (). Комплексное число называется числом, сопряжённым к  Действительное неотрицательное число называется модулем числа

Лемма 7.2. Для любых комплексных чисел имеют место следующие соотношения: 

Доказать эти утверждения будет предложено самостоятельно в качестве упражнения.

Множество комплексных чисел геометрически интерпретируется как множество точек плоскости (комплексная плоскость ). Если координаты точек заданы в прямоугольной системе координат 0, (кратчайший поворот от осуществляется против часовой стрелки), то комплексное число соответствует точке с координатами Такое соответствие является взаимно однозначным. Точка симметрична точке относительно оси абсцисс, которая называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью. Расстояние от точки до начала координат равно (см. рис. 7.1).

Аргументом числа называется угол поворота от положительного луча действительной оси к лучу (против часовой стрелки). Этот угол определён с точностью до и обозначается Аргумент нулевого комплексного числа не определён. Фактически мы ввели полярные координаты на комплексной плоскости: При этом и комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

Пример:

Записать в тригонометрической форме числа

□  1) 

При записи комплексного числа в тригонометрической форме обычно берут одно фиксированное («наиболее простое») значение аргумента. Возьмём Тогда

2)  Тогда ().

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить. При умножении модули чисел перемножаются, аргументы складываются. При делении модули делятся, аргументы вычитаются.

Лемма 7.3. Пусть Тогда

 

Если
откуда следует, что

Степень с целым показателем для комплексных чисел определяется так же, как и для действительных. Поэтому мы можем сформулировать

Следствие (формула Муавра). Если то при любом целом имеет место равенство

Иными словами, при возведении комплексного числа в целую степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример:

Применяя формулу Муавра, получить известные формулы тригонометрии для

□ Имеем: Возводя двучлен в куб, получим: (мы воспользовались тем, что ). Приравнивая действительные и мнимые части двух равных выражений, имеем

Определение 7.6. Пусть — натуральное число, Корнем степени из комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

Лемма 7.4. Если принимает единственное значение 0 при любом Если то принимает ровно комплексных значений, имеющих одинаковый модуль различных значений аргумента 

□ Правая часть леммы очевидна, так как и если
 Пусть теперь Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на (пока значение стояло только под знаком косинуса и синуса, неоднозначность определения можно было не учитывать, если сравнивать сами углы — эту неоднозначность учитывать необходимо). Итак, откуда (арифметический корень степени из положительного числа),

При замене получим тот же угол, увеличенный на поэтому существенно различные значения дают лишь значений далее значения корня повторяются).    

Замечание. значений на комплексной плоскости соответствуют точкам, лежащим в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример №19

Найти все значения

□ 1) поэтому  Получим 3 значения: (см. рис. 7.2).

Первое из них — арифметическое значение кубического корня из положительного числа 8.

2) поэтому

Получим 4 значения:

(см. рис. 7.3). здесь — арифметическое значение корня 4-й степени из положительного числа 5.

3) ,  поэтому

Получим 3 значения:

(см. рис. 7.4).    ■

Определение 7.7. Пусть Тогда определяется как комплексное число

Если (при получаем обычное действительное значение ). Отмстим, что при любых

Лемма 7.5. Для любых имеют место равенства 

□ Пусть Тогда

Далее, так как откуда следует второе утверждение леммы.    

Пример №20

Вычислить

□ Имеем:

Так как при всех выполняются равенства
, то функция комплексной переменной  имеет мнимый период Привычной взаимной однозначности отображения при помощи функции уже нет.

Определение 7.8. Логарифмом комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

Лемма 7.6. Если не определен. Если принимает бесконечно много значений, имеющих одинаковую действительную часть (обычный натуральный логарифм положительного числа) и бесконечное число значений мнимой части

□ Первая часть леммы следует из того, что при любых Пусть теперь  Тогда (откуда ),

Таким образом, множество значений функции есть вся комплексная плоскость, кроме точки 0.

Пример №21

Найти все значения  

Определение 7.9. Для любых определим так:

Если

Поэтому

Аналогично,

Отметим также, что все известные формулы тригонометрии сохраняются для комплексных значений аргументов (при этом ).   Например, для всех

Так как

Легко видеть, что Косинус на действительной оси соответствует гиперболическому косинусу на мнимой оси и наоборот: аналогично для синусов. Поэтому формально все операции для тригонометрических и гиперболических функций проводятся одинаково с точностью до некоторых степеней числа (если работать только с действительными числами, то всё будет происходить одинаково с точностью до степеней числа —1). Этим и объясняется сходство формул тригонометрии с соответствующими формулами для гиперболических функций, включая формулы для производных и разложения по формуле Тейлора.

Комплекснозначные функции действительной переменной

Рассмотрим функцию такую, что  Тогда при всех можно рассмотреть

Так как можно интерпретировать как плоскость , то комплекснозначная функция действительной переменной фактически есть двумерная вектор-функция, значения которой записываются как комплексные числа.

Определение 7.10. Комплекснозначная функция действительной переменной называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) в точке или на промежутке, если таковыми же являются обе функции Для дифференцируемой функции по определению  

Для комплекснозначных функций сохраняются формулы производной суммы, произведения и частного.

Лемма 7.7. Если комплекснозначные функции действительной переменной дифференцируемы в точке то функции также дифференцируемы в этой точке, причем

в точке (в последнем случае нужно требовать, чтобы

□ Докажем лемму для случая производной произведения. Утверждение для производной суммы доказывается проще, а для производной частного — несколько сложнее, но, по сути дела, аналогично.

Пусть функции дифференцируемы в точке Тогда

Функция дифференцируема в точке так как существуют и конечны все производные в последнем выражении. Далее,

Легко видеть, что это выражение совпадает с

Пример №22

Доказать, что при любом имеет место равенство

т.е. привычная для действительных формула сохраняется и при комплексных

□ Пусть

Тогда

С другой стороны,

что совпадает с

Отметим, что производная комплекснозначной функции берётся по действительной переменной. Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении комплекснозначных функций комплексной переменной и при дифференцировании их по комплексной переменной. Здесь имеют место совершенно неожиданные эффекты (например, если функция дифференцируема в окрестности точки, то она имеет производные всех порядков в этой окрестности), которые студенты обычно изучают на III курсе (курс ТФКП — теория функций комплексной переменной).

Многочлены

Функция комплексной переменной

где называется многочленом степени от переменной Многочлен степени 0 — это постоянная функция где Нулевому многочлену не приписывается никакая степень (иногда удобно считать, что его степень равна ). Если все , то говорят о многочлене с действительными коэффициентами ( или по смыслу задачи). Если все то говорят о многочлене с комплексными коэффициентами

Если — многочлен степени то многочлен можно разделить с остатком на

где

Теорема 7.1 (Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен

□ Из (7.1) имеем при

Следствие. Многочлен делится без остатка на  тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена

□ Утверждение немедленно следует из теоремы Безу.

Таким образом, число является корнем многочлена  тогда и только тогда, когда где степень многочлена на единицу меньше степени Р.

Теорема 7.2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

В настоящее время мы не располагаем математическим аппаратом для доказательства этой теоремы, поэтому примем её без доказательства. Доказана она будет очень просто в курсе ТФКП (и даже двумя способами — как простое следствие из теоремы Лиувилля или теоремы Руше).

Теорема 7.3. Многочлен с комплексными коэффициентами

раскладывается в произведение линейных множителей

где (среди чисел  возможно, есть равные).

□    По основной теореме алгебры где — многочлен степени Применяя такую же процедуру к получим: — многочлен степени и т.д. В конце концов дойдём до многочлена степени 0.

где (комплексная постоянная). Здесь — комплексные числа, среди которых могут быть равные.

Если раскрыть скобки в правой части (7.2), то коэффициент при будет равен С, т.е.

Определение 7.11. Комплексное число называется корнем кратности многочлена степени  если  — многочлен такой, что При корень называется простым, при — кратным.

Если , то число не является корнем многочлена

В общем случае, учитывая кратность корней, многочлен степени раскладывается на линейные множители:

где все комплексные числа различны, корень имеет кратность , при этом степень многочлена равна

Лемма 7.8. Пусть  (многочлен, сопряжённый к P). Число является корнем многочлена Р  кратности тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена той же кратности

 □ Так как то утверждение достаточно доказать лишь в одну сторону. Пусть Тогда

Так как — любое комплексное число, то в последней записи можно заменить Получим

Это и означает, что — корень многочлена кратности

Следствие. Если — многочлен с действительными коэффициентами, то числа одновременно являются его корнями, причем кратности их совпадают (т.е. недействительные корни появляются «парочками» — взаимно сопряжённые корни одинаковой кратности).

□ Это очевидно из леммы 7.8, так как — один и тот же многочлен.  

Теорема 7.4. Многочлен степени с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей:

□ По теореме 7.3 и лемме 7.8

где  — действительные корни многочлена кратностей соответственно, a — оставшиеся корни ( имеют одинаковую кратность ). Очевидно, что степень многочлена равна т.е. эта сумма равна

Пусть  Тогда

Получили квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами который имеет отрицательный дискриминант Остаётся символически заменить подчёркивая этим, что нас интересуют лишь действительные значения и мы получим нужное равенство. 

Теорема 7.4 является примером утверждения, в формулировке которого отсутствуют комплексные числа (чисто действительное утверждение), а естественное доказательство его получается с выходом во множество комплексных чисел. Таких утверждений можно встретить немало в различных математических курсах и прикладных науках.

Кстати, квадратный трехчлен с комплексными коэффициентами имеет такой же вид разложения на линейные множители, как и квадратный трёхчлен с действительными корнями в элементарной алгебре:

Корни — комплексные, и они обязательно существуют. Роль дискриминанта сводится только к определению того, различны ли корни или они совпадают (т.е. квадратный трёхчлен имеет один корень кратности 2). Если то квадратный трёхчлен имеет два различных простых корня, если  — один корень кратности 2. В самом деле, решая квадратное уравнение методом выделения полного квадрата, получим, как и в элементарной алгебре:

Если и уравнение имеет один корень кратности 2 Если то (писать ± не имеет смысла, так как  и под понимаются оба значения квадратного корня из ненулевого комплексного числа). Окончательно получим привычную формулу корней квадратного уравнения:

Пример №23

Решить уравнение

□ Найдём оба значения Пусть Тогда   Решая эту систему, получим:  Полученное биквадратное уравнение  решается при помощи замены Квадратное уравнение имеет корни Так как Получили два значения квадратного корня: Тогда корни данного уравнения равны

Пример №24

Найти все значения  решая уравнение 

□ Левая часть раскладывается на множители:

Поэтому один из корней равен 2. Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней поэтому  имеет всего одно действительное значение 2. Найдём оставшиеся два комплексно-сопряжённых значения. Решаем квадратное уравнение по формуле чётного коэффициента:

Во множестве комплексных чисел имеет два значения поэтому имеет 3 комплексных значения: (такой же результат был получен в примере 7.3 другим способом).    ■

Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей

Мы будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции — многочлены степеней соответственно где Дробь называется правильной, если и неправильной, если

Лемма 7.9. Если правильная дробь и —действительный корень многочлена кратности  то

где  — многочлен, для которого является корнем кратности a — такой многочлен, что дробь является правильной.

□ Так как — корень кратности то где — многочлен такой, что Рассмотрим число  и многочлен (это многочлен, так как и числитель делится нацело на ).

Так как степень G меньше степени Q и степень Р меньше степени Q, то степень числителя последней дроби меньше степени Q; значит, степень меньше степени т.е. дробь правильная. Далее, откуда

Утверждение леммы, очевидно, сохраняется, если все числа и многочлены считать комплексными.

Лемма 7.10. Пусть — неприводимый квадратный трёхчлен, входящий в разложение многочлена на множители в степени Тогда правильная дробь представляется в виде

где  — многочлен, в разложение которого входит в степени — такой многочлен, что дробь является правильной.

□ Пусть где  и комплексно-сопряжённые корни квадратного трёхчлена — действительный многочлен такой, что Рассмотрим действительные числа А и В такие, что

Такие числа А и В определены единственным образом, так как если то равенство (7.3) перепишется так:

и числа А, В находятся из системы очевидно, имеющей единственное решение. Из (7.3) следует также, что так как  — многочлены с действительными коэффициентами.

Рассмотрим многочлен  (это — многочлен, так как  значит, числитель делится нацело на и на следовательно, делится на ). Пусть степень Q равна Так как степень G не превосходит то степень многочлена не превосходит т.е. меньше степени Q. Степень Р также меньше степени Q, поэтому степень числителя последней дроби меньше степени Q.

Значит, степень меньше, чем , т.е. меньше степени  и дробь правильная. Далее,

откуда

Последовательно выделяя из многочлена линейные, а затем неприводимые квадратичные множители, и применяя соответственно леммы 7.9 и 7.10, получим разложение  в сумму правильных дробей вида

(здесь

— как разложение многочлена в теореме 7.4).

Все слагаемые последней суммы называются простейшими дробями. Все коэффициенты, обозначенные символом , являются действительными числами (вообще говоря, различными). Всего их штук. Можно доказать, что они определены единственным образом. Процесс выделения слагаемых по леммам 7.9 и 7.10 прекратится, когда в знаменателе останется ровно один множитель вида Но такая правильная дробь сама будет простейшей. Таким образом, доказана

Теорема 7.5. Любая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами раскладывается в сумму простейших дробей.

Пример №25

Разложить в сумму простейших дробей:

а)  Приводя к общему знаменателю, имеем: При  получим при получим Окончательно имеем: 

б) Приводя в общему знаменателю, имеем:
При получим Приравнивая коэффициенты при получим т.е. Приравнивая свободные члены, получим откуда Окончательно имеем

в)

Приводя к общему знаменателю, имеем: Приравнивая коэффициенты при получим:  откуда Окончательно имеем

Вычисление комплексного числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

где 
х – переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число  такое, что

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют
действительных корней, например: 

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому
множеству символ i , такой что  ( i называется мнимой единицей).
Тогда ±i – два корня уравнения 
 

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество

Суммой двух комплексных чисел  называется число
.
Произведением двух комплексных чисел  называется число

Для числа z= a +bi число а называется действительной частью,
число b – мнимой частью. Обозначения: 

Пример №26

Найти 

Решение:

 

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2)
имеет решение во множестве С.
 

Пример №27

Решить уравнение

Решение:

 

Определение 1.3. Для комплексного числа z =a +bi число z =a -bi называется комплексно-сопряженным, число называется модулем z.

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат ( O,x,y ) и на оси Ох отложить а – действительную часть z, а на оси Oy – b – мнимую часть z, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех
комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

При этом  – длина радиуса-вектора точки z.

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z =a +bi  называется
угол , который образует радиус-вектор точки z с положительным
направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Argz . Аргумент
определен с точностью до 2 πn. При этом значение  называется
главным и обозначается argz.
 

Замечание.

При этом

Если – аргумент z, то z представляется в виде 

тригонометрическая форма комплексного числа.
 

Теорема 1.2. Пусть 

Доказательство
 

Из формул (1.5) следует, в частности, что  – формула Муавра. (1.6)

Пример №28

Представить числа  в тригонометрической форме.

Решение:

поэтому по формуле (1.3)

Тогда по формуле (1.4)

поэтому по формуле (1.3)

Тогда 

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент комплексного числа z при
умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель
степени. Обозначим  – формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для z можно переписать в виде показательная форма комплексного числа.

Пример №29

Вычислить 

Решение:

Согласно примеру 1.3 

Поэтому

 

Определение 1.5. Корнем n-й степени из числа z C называется такое
число , что , при этом обозначается . Таким образом

Из формулы (1.8) видно что корней n-й степени из числа z, при этом,
если , то

 

Пример №30

Найти 

Решение: