Как найти мгновенную скорость шарика

Была ли эта статья полезной?

План-конспект урока по теме «Неравномерное движение.
Мгновенная скорость»

                                                                              
Дата:                 

Тема:
«Неравномерное движение. Мгновенная скорость»

Цели:

 Образовательная: Обеспечить и сформировать осознанное усвоение знаний
о неравномерном движении и мгновенной скорости;

Развивающая:
Продолжить развитие навыков самостоятельной деятельности, навыков работы в
группах.

Воспитательная: 
Формировать познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину
поведения.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Оборудование и источники информации:

Исаченкова, Л. А. Физика : учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред.
образования с рус. яз. обучения / Л. А. Иса­ченкова, Г. В. Пальчик, А. А.
Сокольский ; под ред. А. А. Сокольского. Минск : Народная асвета, 2015

Структура урока:

1.    
Организационный момент(5
мин)

2.    
Актуализация опорных
знаний(5мин)                                             

3.    
Изучение нового материала
(14 мин)  

4.    
Физкультминутка   (3 мин)

5.    
Закрепление знаний
(13мин)                               

6.    
Итоги урока(5
мин)                                                   

Содержание урока

I.           
Организационный
момент

Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны разобраться с понятиями
неравномерное движение и мгновенная скорость. А это значит, что Тема
урока: Неравномерное движение. Мгновенная скорость

II.Актуализация опорных знаний

Мы изучили равномерное прямолинейное движение. Однако
реальные тела — автомобили,
корабли, самолеты, детали механизмов и др. чаще всего движутся и не
прямолинейно, и не равномерно. Каковы закономер­ности таких движений?

III. Изучение нового материала

Рассмотрим пример. Автомобиль движется по участку
дороги, изображен­ному на рисунке 68. На подъеме движение автомобиля
замедляется, при спус­ке — ускоряется. Движение автомобиля и не
прямолинейное, и не равномерное. Как описать такое движение?

Прежде всего, для этого необходимо уточнить понятие скорость.

Из 7-го класса вам известно, что такое средняя скорость. Она
определяется как отношение пути к промежутку времени, за который этот путь
пройден:

(1)

Будем называть ее средней скоростью пути. Она
показывает, какой путь в среднем проходило тело за единицу времени.

Кроме средней скорости пути, необходимо ввести и среднюю
скорость пе­ремещения:

 (2)

Каков смысл средней скорости перемещения? Она
показывает, какое пере­мещение в среднем совершало тело за единицу
времени.

Сравнив формулу (2) с формулой (1) из § 7, можно сделать вывод: средняя скорость< u> равна скорости такого равномерного
прямолинейного дви­жения, при котором за промежуток времени Δt тело совершило бы пере­мещение Δr.

Средняя скорость пути и средняя скорость перемещения —
важные харак­теристики любого движения. Первая из них — величина скалярная,
вторая — векторная. Так как Δr<s, то
модуль средней скорости перемещения не больше средней скорости пути |<u>| < <u>.

Средняя скорость характеризует движение за весь
промежуток времени в це­лом. Она не дает информации о скорости движения в
каждой точке траектории (в каждый момент времени). С этой целью вводится мгновенная
скорость — скорость движения в данный момент времени (или в данной точке).

Как определить мгновенную скорость?

Рассмотрим пример. Пусть шарик скатывается по наклонному желобу из
точки  (рис.
69). На рисунке показаны положения шарика в различные момен­ты времени.

Нас интересует мгновенная скорость шарика в точке О.
Разделив перемеще­ние шарика Δr₁ на соответствующий промежуток времени Δ среднюю скорость перемещения <>
=  на
участке Скорость
<>
может намного отличаться от мгновенной скорости в точке О. Рассмотрим
меньшее перемеще­ние Δ = В₂. Оно произойдет
за меньший промежуток времени Δ.
Средняя скорость <>
= хотя
и не равна скорости в точке О, но уже ближе к ней, чем <>.
При дальнейшем уменьшении перемещений (Δ, Δ, …) и проме­жутков времени (Δ, Δ,,
…) мы будем получать средние скорости, которые все меньше отличаются друг от
друга и от мгновенной скорости шарика в точке О.

Значит, достаточно точное значение мгновенной скорости
можно найти по формуле  при
условии, что промежуток времени Δt очень мал:

           
(3)

Обозначение Δt —» 0 напоминает, что скорость, определенная
по формуле (3), тем ближе к мгновенной скорости, чем меньше Δt.

Мгновенную скорость криволинейного движения тела
находят аналогично (рис. 70).

Как направлена мгновенная скорость? Ясно, что в первом
примере направ­ление мгновенной скорости совпадает с направлением движения
шарика (см. рис. 69). А из построения на рисунке 70 видно, что при
криволинейном движении мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в той точке, где в этот момент находится
движущееся тело.

Понаблюдайте за раскаленными частицами, отрывающимися
от точильного камня (рис. 71, а). Мгновенная скорость этих частиц в
момент отрыва направ­лена по касательной к окружности, по которой они двигались
до отрыва. Анало­гично спортивный молот (рис. 71, б) начинает свой полет по
касательной к той траектории, по которой он двигался при раскручивании метателем.

Мгновенная скорость u постоянна только при равномерном прямолинейном
движении. При движении по криволинейной траектории изменяется ее направление
(объясните почему). При неравномерном движении изменяется ее модуль.

Если модуль мгновенной скорости возрастает, то
движение тела называют ускоренным, если он убывает — замедленным.

Приведите самостоятельно примеры ускоренных и
замедленных движений тел.

В общем случае при движении тела может изменяться и
модуль мгновенной скорости, и ее направление (как в примере с автомобилем в
начале параграфа) (см. рис. 68).

В дальнейшем мгновенную скорость мы будем называть
просто скоростью.

IV.           
 Закрепление знаний

1.     Быстрота неравномерного движения на участке
траектории характеризу­ется средней скоростью, а в данной точке траектории — мгновенной
скоростью.

2.     Мгновенная скорость приближенно равна средней
скорости, опреде­ленной за малый промежуток времени. Чем меньше этот промежуток
време­ни, тем меньше отличие средней скорости от мгновенной.

3.     Мгновенная скорость направлена по касательной
к траектории дви­жения.

4.     Если модуль мгновенной скорости возрастает, то
движение тела назы­вают ускоренным, если он убывает — замедленным.

5.     При равномерном прямолинейном движении
мгновенная скорость оди­накова в любой точке траектории.

V.           
Итоги урока  

Итак, подведем итоги. Что вы сегодня узнали на уроке?

Организация домашнего задания

 § 9, упр. 5 №1,2

Рефлексия.

  Продолжите фразы:

·        
Сегодня на уроке я узнал…

·        
Было интересно…

·        
Знания, которые я получил
на уроке, пригодятся

Средняя скорость

Если тело перемещается неравномерно, то описывая его движение в качестве одного из параметров можно воспользоваться средней скоростью движения на отдельных отрезках пути. Но такое описание дает очень приближенную, грубую характеристику перемещения. Поскольку находя средние скорости, мы проводим замену неравномерного движения на движение с постоянной скоростью на избранных отрезках пути, думая, что скорость изменяется скачкообразно при переходе от одного отрезка времени к другому. Графиком пути, отражающем перемещение тела, с постоянной скоростью, отличающейся на разных временных отрезках, станет ломаная линия, имеющая звенья с различным наклоном.

Допустим, что материальная точка перемещается вдоль прямой линии, которая не совпадает с осями координат. При этом ее положение определяет радиус- вектор $vec r_1$, соответствующий моменту времени $t_1$. В момент времени $t_2$ положение материальной точки в пространстве определяет вектор $vec r_2$.

Вектор перемещения нашей материальной точки определим как:

$Delta vec r=vec r_2-vec r_1(1).$

Из формулы (2) видно, что в ней происходит деление вектора на скаляр, в результате мы имеем вектор, направление которого совпадает с направлением вектора перемещения.

Векторы скорости и перемещения обладают одинаковыми направлениями.

Переход от средней скорости к мгновенной скорости

В выражении (2) средняя скорость найдена для отрезка времени, равного $Delta t$. Разделим данный временной отрезок на более мелкие. Если материальная точка перемещается неравномерно, то вновь найденные средние скорости будут отличаться, от средней скорости для всего отрезка $Delta t$. Уменьшим временной отрезок $Delta t$, станут меньше и отрезки времени внутри него. Средние скорости в уменьшенных промежутках времени будут отличаться от средней скорости на всем отрезке времени, но величина различия станет меньше.

Устремим рассматриваемый промежуток времени к нулю (∆t→0), средняя скорость при этом устремится к предельному значению, которое называют мгновенной скоростью.

Если тело перемещается равномерно, то мгновенная скорость его движения в каждый момент времени совпадает со скоростью этого движения. Говорят, что мгновенная скорость равномерного движения является постоянной.

Мгновенная скорость неравномерного перемещения – это переменный параметр, который принимает разные значения для разных моментов времени. При этом мгновенную скорость можно считать изменяющейся непрерывно на всем отрезке времени, на котором рассматривается движение.

Мгновенную скорость в каждый момент времени можно определить как тангенс угла наклона касательной к кривой – траектории движения в рассматриваемой точке.

Компоненты вектора мгновенной скорости в декартовой системе координат

В декартовой системе координат радиус-вектор запишем как:

$vec r(t)=x(t)vec i+y(t)vec j+z(t)vec k (4)$,

принимая во внимание, что единичные орты ($vec i ; vec j; vec k$) не изменяются во времени, и используя определение мгновенной скорости (3), получаем:

$vec v(t)=frac{dx}{dt}vec i+frac{dy}{dt}vec j+frac{dz}{dt}vec k (5).$

Из формулы (5) мы видим, что составляющие вектора скорости в декартовой системе координат задаются выражениями:

$ v_x=frac{dx}{dt} (6),$

$ v_y=frac{dy}{dt} (7),$

$ v_z=frac{dz}{dt} (8).$

При этом величину мгновенной скорости можно найти как:

$ v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 (9).$

Направление мгновенной скорости

Будем описывать движение материальной точки через параметры траектории. При этом нам известны траектория движения точки и связь пути ($s$) и времени $t$. Путь отмеряется по траектории, от точки траектории, которую мы принимаем за начальную. При этом любая точка траектории характеризуется собственной величиной $s$. Из сказанного выше следует, что радиус-вектор – это функция от $s$, траекторию зададим уравнением:

$vec r = vec r(s)(10)$.

Получаем, что в определении мгновенной скорости (3) мы можем считать радиус – вектор как сложную функцию ($vec r(s(t))$). При этом ее производную найдем, применяя правило дифференцирования сложной функции:

$vec v=frac{dvec r}{dt}=frac{dvec r}{ds}frac{ds}{dt}(11)$,

где по определению мгновенной скорости ее величина равна: $v=frac{ds}{dt}$.

Обозначим $Delta s$ — расстояние между парой точек по траектории; $|Delta vec r|$– расстояние между рассматриваемыми точками по кратчайшему расстоянию (прямой). При сближении наших точек разница между $Delta s$ и $|Delta vec r|$ уменьшается, запишем:

$frac{dvec r}{ds}=lim_{Delta sto 0} (frac {Delta vec r}{Delta s})=lim_{Delta sto 0}(frac{Delta vec r}{|Delta r|}frac {|Delta r|}{Delta s})=vec tau (12).$

где $vec tau$ — единичный вектор, являющийся касательным к траектории движения точки.

Принимая во внимание сказанное выше выражение (12) для мгновенной скорости можно записать как:

$vec v=vvec tau$(13).

Из формулы (13) становится очевидно, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения материальной точки.

Рассматривая направления мгновенной скорости движения материальной точки подчеркнем, что:

1. Мгновенная скорость материальной точки перемещающейся по прямой — это вектор, который направлен по траектории ее движения.
2. При перемещении материальной точки по криволинейной траектории вектор мгновенной скорости имеет направление по касательной к траектории движения точки.

Скорость при равнопеременном движении

Самым простым способом неравномерного движения является равнопеременное перемещение тела, движение с постоянным ускорением. Это движение бывает:

• равноускоренным, если скорость и ускорение имеют одинаковые направления, при этом величина скорости увеличивается;
• равнозамедленное, при противоположном направлении скорости и ускорения, в этом случае скорость по модулю уменьшается.

При равнопеременном движении скорость в любой момент времени можно вычислить, если использовать выражение:

$vec v(t)=vec v_0+vec a bullet t (14),$

где $vec v_0$ — начальная скорость движения точки; $vec a$ — постоянное ускорения точки.