Как найти меньшую полуось эллипса

Уравнение линии второго порядка:

 . (4.15)

Рассмотрим некоторые виды линий второго порядка.

1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром. 

В случае окружности уравнение 4.15 примет вид: 

 .

Если центр окружности находится в точке  , а ее радиус равен  (рис. 4.1), то уравнение окружности имеет вид:

 . (4.16)

Если центр окружности находится в точке  , а ее радиус равен  (рис. 4.2), то уравнение окружности имеет вид:

 . (4.17)

Например, запишем уравнение окружности с центром в точке  и радиусом  . Согласно формуле 4.17 получим:  . 

2. Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Расстояние от точки эллипса до фокуса называют фокальным радиусом.

На рисунке 4.3 изображен эллипс: точка  – центр эллипса; точки  и  – его фокусы;  и  – фокальные радиусы;  – большая ось эллипса;  – малая ось эллипса;  – расстояние между фокусами. 

Каноническое уравнение эллипса: 

 , (4.18)

где  – большая полуось;  – меньшая полуось. 

Фокусы имеют координаты

 и  , (4.19)

где 

 . (4.19.1) 

Эксцентриситет эллипса находят по формуле:

 . (4.20)

3. Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

На рисунке 4.4 изображена гипербола: точки  и  – ее вершины; точки  и  – ее фокусы;  – действительная ось гиперболы;  – мнимая ось;  – расстояние между фокусами; прямые (1) и (2) – асимптоты.

Каноническое уравнение гиперболы:

 , (4.21)

где  – действительная полуось;  – мнимая полуось.

Фокусы имеют координаты  и  , где 

 . (4.22)

Эксцентриситет гиперболы находят по формуле:

 . (4.23)

Уравнения асимптот гиперболы:

 . (4.24)

4. Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы: 

 . (4.25)

где ось  – ось симметрии параболы;  – расстояние от фокуса до директрисы  (рис. 4.5). 

Фокус имеет координаты:

. (4.25.1)

Уравнение директрисы параболы имеет вид:

 . (4.25.2)

Если осью симметрии параболы является ось  (рис.4.6), то каноническое уравнение параболы имеет вид: 

 . (4.26)

В этом случае фокус имеет координаты:

 . (4.26.1) 

Уравнение директрисы  параболы имеет вид:

  . (4.26.2) 

Пример 1. Найдите большую и меньшую полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса  .

Решение. 1. С учетом 4.18, зная, что  , а  , найдем большую и меньшую полуоси:  ,  . 

2. По формуле 4.19.1 получим:  . По формулам 4.19 запишем фокусы:  и  .

3. По формуле 4.20 найдем эксцентриситет:  .

Пример 2. Найдите действительную и мнимую полуоси, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы  . 

Решение. 1. С учетом 4.21, зная, что  , а  , найдем действительную и мнимую полуоси:  ,  . 

2. По формуле 4.22 получим:  . По формулам 4.19 запишем фокусы:  и  .

3. По формуле 4.23 найдем эксцентриситет:  .

4. По формуле 4.24 запишем уравнения асимптот:  . 

Пример 3. Найдите фокус и директрису параболы  .

Решение. С учетом 4.25, так как  , то  .По формуле 4.25.1 запишем фокус:  . По формуле 4.25.2 запишем уравнение директрисы:  .

Пример 4. Найдите фокус и директрису параболы  . 

Решение. С учетом 4.26, так как  , то  . По формуле 4.26.1 запишем фокус:  . По формуле 4.26.1 запишем уравнение директрисы:  . 

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства — вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина — в центре окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Эллипс в высшей математике

Рассмотрим уравнение

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

или

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

(рис. 206). Отсюда

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

F₁ и F₂ – фокусы эллипса;

а – большая полуось;

b – малая полуось

с – фокусное расстояние

Доказательство:

Когда точка M на линии эллипса находится на его пересечении с вертикальной осью, из теоремы Пифагора выходит, что

r₁ + r₂ = 2*√(b² + c²)

Когда точка M пересекает горизонтальную ось

r₁ + r₂ = а – c + а + c

По определению эллипса r₁ + r ₂ = const

Это позволяет после приравнивания получить

a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2а

Что и требовалось доказать.

Уравнение эллипса

Доказательство уравнения:

Введём прямоугольную декартову систему координат.

Сначала докажем, что координаты любой из точек на эллипсе удовлетворяют приведённому каноническому уравнению. Затем покажем, что любое из решений уравнения является координатами точки, лежащей на линии эллипса. Из этого будет следовать удовлетворение каноническому уравнению только тех точек, которые лежат на поверхности эллипса. Опираясь на этот факт и на определение эллипса можно будет однозначно сделать вывод, что написанное нами уравнением является каноническим уравнением или, как ещё говорят, основной формулой эллипса.

1. Пусть М(х, у) будет точкой эллипса, т.е. сумму её фокальных радиусов примем равной 2а, т. е. r₁ + r₂ = 2a.
   С помощью формулы расстояния, разделяющего две точки на координатной плоскости, можно легко найти фокальные радиусы точки M.

   r₁ = √[(x + c)² + y²]
   r₂ = √[(x — c)² + y²]

   Из этих уравнений получаем √[(x + c)² + y²] + √[(x — c)² + y²] = 2a

   Если один из корней перенести в правую часть и возвести всё в квадрат, то придём к выражению
   (x + c)² + y² = 4a² – 4a√[(x — c)² + y²] + (x – c)² + y²

   После сокращения приходим к 2xc = 4a² – 4a√[(x-c)² + y²] – 2xc
   После приведения подобных членов, сокращения на 4 и уединения радикала будем иметь
   a√[(x-c)² + y²] = a² – xc

   Возведём это выражение в квадрат
   a²(x-c)² + a² y2 = a⁴ – 2a²xc + x²c²

   Если раскрыть скобки и сократить на -2a² xc, то a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + x²c²
   Отсюда легко получить (a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²)
   Из этого следует, что b²x² +a²y² = a²b²

2. Пусть некоторые числа (x, y) полностью удовлетворяют каноническому уравнению
   1 = (x²/a²) + (y²/b²)
   Пусть нам дана точка M(x,y) на координатной плоскости 0xy
   Из канонического уравнения следует, что Y² = b²(1- x²/a²)
   Если это равенство подставить в выражение для фокальных радиусов, которые имеет точка M, то можно получить
   r₁ = √[(x + c)² +y²] = √[x² +2xc + c² +b² – b²x²/a²] = √[x²(1 – b²/a²) + 2xc +c² +b²] =
   = √[x²(a² – b²)/a² + 2xc + (c² + b²)] = √[x² (c²/a²) + 2xc +a²] = √[x(c/a) +a]² = |a +xε|
   т. е. r₁ = |a +xε|
   Отношение 2с/2a = c/a = ε называется эксцентриситетом эллипса. Оно у него всегда меньше 1.
   То же самое просчитываем для r_2.
   Т. к. x²/a² больше или равно 1 или x больше или равно большой полуоси (a), то можно сделать вывод о справедливости неравенства a≥|x|> |x|* ε = |xε|
   Отсюда явно следует, что a+-|xε|>0 или a+-xε > 0 и r₁ = a + xε, r₂ = a — xε
   Из полученных равенств выходит, что r₁ + r₂ = 2a, это значит, что точка M однозначно является точкой эллипса. Это нам и нужно было доказать.

Свойства эллипса

• У эллипса имеются две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
  
  Доказательство:
  Переменные x и y в уравнение эллипса входят лишь во второй степени. Это означает, что если точка M с координатами (x,y) ему принадлежит, то и точки М₁ (-x, y) и M₂ (x, -y) тоже принадлежат ему. Легко проверить, что указанные координаты удовлетворяют каноническому уравнению эллипса. M₁ симметрична по отношению к оси X, а M₂ по отношению к оси Y. Получается, что у эллипса есть две взаимно перпендикулярные точки симметрии.
• У эллипса есть центр симметрии.
  
  Доказательство:
  Если координаты точки М(x,y) будут удовлетворять уравнению эллипса, то и точка
  N (–x; –y) ему тоже будет удовлетворять. M и N симметричны по отношению к началу координат. Это как раз и означает, что у эллипса имеется центр симметрии.
• Эллипс пересекает каждую из осей в двух точках.
  
  Доказательство:
  Возьмём произвольную точку эллипса M(x,y). Расстояние этой точки до фокусов будет

  r₁ = √[(x + c)² + y²]
  r₂ = √[(x — c)² + y²]

  Теперь давайте рассмотрим выражение

  (x+-c)² + y² = x² +- 2xc + c²+ y² =
  = x² +- 2xc + a² – b² +y² = x² +- 2xc+ a² — b² + b²(1-x²/a²) =
  = (a² – b²)*x²/a² +-2xc +a² = c²*x²/a²+-2xa(c/a) + a² = (a +c*x/a)²

  Эксцентриситет эллипса, как сказано ранее, меньше 1. Т. к. |x|≤ a, то a – εx > 0. Поэтому
  F₁M = a + εx и F₂M = a – εx. Напомним, что ε – это эксцентриситет эллипса.

А теперь несколько свойств эллипса без доказательств.

• Эллипс можно получить, сжав окружность.
• Если через эллипс проходят две прямые, то отрезок, концами которого являются середины отрезков созданных при пересечении прямых, обязательно пересекает середину, центр эллипса.
• Угол, созданный касательной к эллипсу и его радиусом, проходящем через фокусы указанной геометрической фигуры, в любых случаях пересекает середину эллипса.
• Уравнение касательной к эллипсу в точке М, имеющей координаты x_M и y_M 
  1 = (x*x_M)/a² + (y*y_M)/b²
• Эволюта эллипса представляет собой астероиду, растянутую вдоль его малой оси.
• Угол между касательной к эллипсу и одним его фокальным радиусом (r₁) имеет ту же величину, что и угол, разделяющий касательную и другой фокальный радиус (r₂) фигуры.

Как построить эллипс

Расскажем, как построить эллипс по его большой и малой полуосям и с помощью циркуля.

Построение эллипса по его большой и малой осям

Считается самым простым, не требующим серьёзных навыков.

Проведите две перпендикулярные оси;

От места пересечения осей на вертикальной отложите верх и вниз отрезки. Они будут составлять малую ось эллипса. На горизонтальной отложите отрезки вправо и влево. Из них будет состоять большая ось;

Проведите две концентрические окружности. Одну диаметром AB, диаметром CD;

Проведите ещё диаметры в различных направлениях;

В местах, где лучи соприкасаются с окружностями, проведите линии параллельные малой и большой осям эллипса, пока они не пересекутся в точках, которые принадлежат эллипсу;

Соедините полученные точки плавной линией.

Как построить эллипс с помощью циркуля

Во многом здесь всё аналогично предыдущему способу, поэтому перегружать текст иллюстрациями не будем.

Порядок действий следующий:

• Проведите две перпендикулярные линии. Они будут осями эллипса, а точка их пересечения центром геометрической фигуры;
• Определитесь с величиной большой и малой полуосей, если их значения не заданы в условии задачи;
• Установите раствор циркуля на длину большой полуоси (a). Поместите циркуль в точку O и отметьте на одной из линий две точки, P₁ и P₂. Установите раствор циркуля на длину малой полуоси. Опять поместите его в точку O и отметьте на другой из линий ещё две точки, обозначьте их как Q₁ и Q₂. Отрезки P₁P₂ и Q₁Q₂ будут большой и малой полуосями будущего эллипса;
• Установите раствор циркуля на величину a. Поместите циркуль в точке Q₁ или Q₂. После этого обозначьте циркулем на отрезке P₁P₂ точки F_{1 и} F₂. Это будут фокусы фигуры.
• Отметьте на P₁P₂ любую точку и обозначьте её T. Поставьте в этой точке циркуль и измерьте этим инструментом расстояние до P₁. Затем начертите окружность данного радиуса из фокуса F₁. После этого нужно сделать ещё одну окружность с радиусом величиной с расстояние от T до P₂, но уже с центром из F₂;
• Отметьте точки, в которых пересекаются обе окружности. Повторяйте процедуру, описанную в предыдущем пункте с новыми точками, отмечаемыми на отрезке P₁P₂;
• Соедините точки пересечения окружностей сплошной линией, когда построите их достаточное количество. Так у вас получится построить фигуру эллипс с помощью циркуля.

Примеры решения задач

Задача 1

Эллипс задан уравнением 16x² + 25y² = 400. Требуется найти большую и малую полуоси эллипса, координаты его фокусов и эксцентриситет.

Решение:

Разделим полученное уравнение на 400. Этим мы приведём его к виду

(x²/25) + (y²/16) =1. Большая полуось равна 5, корню квадратному из 25, а малая 4, корню квадратному из 16.

Из соотношения a² = b² + c² находим фокусное расстояние. Оно равно

c=+-√(a² – b²) = +-√(25-16) = +-3, а значит координаты фокусов будут

 F₁(-3,0) и F₂ (3,0). Эксцентриситет ε = с/a = 3/5.

Ответ: a = 5, b = 4, ε = 3/5.

Задача 2

Выяснить, является ли эллипсом линия, заданная как

 9x² + 25y² – 225 = 0

Преобразуем данное нам уравнение к каноническому виду. Для этого:

Перенесём 225 в правую сторону

 9x² + 25y² = 225

Поделим обе части этого уравнения на 225

(9x²/225) + (25y²/225) = 1

Сократим дроби и получим

(x²/25) + (y²/9) = 1

Как видим, нам удалось получить каноническое уравнение эллипса в чистом виде, т. е. исходное уравнение представляет собой эллипс, что и требовалось выяснить.

Ответ: 9x² + 25y² – 225 = 0 является уравнением эллипса.

Задача 3

Составить каноническое уравнение эллипса если расстояние между фокусами равно 8, а большая ось 10.

Решение:

Если большая ось равняется 10, значит полуось будет 5.

Если фокусное расстояние равно 8, то число c из координат фокусов будет 4.

Далее нужно подставить и вычислить

4 = √(25-b²)

Возведём это уравнение в квадрат

16 = 25 – b²

Перенесём b² влево, а 16 вправо

b² = 25 – 16 =9

В результате этих не сложных преобразований и вычислений получим каноническое уравнение

(x²/25) + (y²/9) = 1

Ответ: (x²/25) + (y²/9) = 1.

Задача 4

Получить каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 12/13, а большая полуось равна 26.

Решение:

Из уравнения эксцентриситета ε = с/a находим, что a = 13, а величина с = 12. Далее нужно вычислить квадрат длины меньшей полуоси

c = √(169 – b²)

Возведём обе части уравнения в квадрат

c² = 169 – b²

Отсюда

b² = 169 – 144 = 25

Далее остаётся лишь составить каноническое уравнение

(x²/169) + (y²/25) = 1

Ответ: (x²/169) + (y²/25) = 1

Задача 5

Найти фокусы у эллипса, который задан уравнением (x²/25) + (y²/16) = 1

Решение:

Нам нужно найти число с, которое определяет первые координаты фокусов

c = √(25-16) =3

Фокусы заданного эллипса будут равны

F₁(-3,0) и F₂(3,0).

Ответ: F₁(-3,0) и F₂(3,0).

• Полуось эллипса

  

  Свойства

  a, b — полуоси
  c, d — оси
  P — окружность
  S — площадь

  Полуоси эллипса представляют собой его радиусы, расположенные относительно друг друга под углом 90 градусов. Чтобы значения полуосей были актуальными для расчета площади и длины окружности, отрезки должны лежать на осях симметрии эллипса. Значения полуосей эллипса можно взять из уравнения, задающего его в плоскости. Чтобы найти полуоси эллипса, необходимо извлечь квадратный корень из соответствующих знаменателей.
  x^2/a^2 +y^2/b^2 =1

  Тогда, зная полуоси эллипса, можно найти его площадь и периметр по следующим формулам.
  S=πab
  P=4 (πab+(a-b))/(a+b)

Примеры решения задач

Задача 6.1.
Найти полуоси, координаты фокусов и
эксцентриситет эллипса

Решение.
Разделив данное уравнение эллипса на
,
приведем его к виду.
Отсюда следует, что большая полуось
эллипса,
а малая полуось.
Известно, что,
поэтому

.

Следовательно,
координаты фокусов
и,
а его эксцентриситет.

Ответ.

Задача 6.2.
Эллипс касается оси ординат в начале
координат, а центр симметрии его находится
в точке
.
Составить уравнение эллипса, если его
эксцентриситет равен.

Решение.
Выполним чертеж (рис. 2.35).

Известно, что
.
Следовательно, для нахождениянадо знать.
Найдемиз формулы эксцентриситета:,,
откуда.
Значит,,

Итак, уравнение
искомого эллипса

Ответ.

Задача 6.3.
Определитель траекторию точки
,
которая при своем движении остается
втрое ближе к точке,
чем к прямой

После преобразований
получаем искомое уравнение:

.

Таким образом,
точка
движется по эллипсу. При этом большая
ось эллипса и его фокусы расположены
на оси

Ответ.
.

Задача 6.4.
Действительная
полуось гиперболы
,
эксцентриситетСоставить каноническое уравнение
гиперболы и начертить ее.

Решение.
Эксцентриситет гиперболы
Следовательно,

,
,

откуда фокусы
гиперболы
,,
а мнимая полуось.
Искомым уравнением гиперболы будет

.

Ответ.
.

Задача 6.5. Дана
равносторонняя гипербола
.
Найти уравнение эллипса, фокусы которого
находятся в фокусах гиперболы, если
известно, что эллипс проходит через
точку.

Решение.
Для данной гиперболы
.
Следовательно, из соотношенияполучаем,
откуда.
Значит, фокусы гиперболыи.
В этих же точках находятся фокусы
эллипса.

Обозначим через
исоответственно большую и малую полуоси
эллипса. Тогда при условии, что,
будем иметьДля определенияииспользуем еще одно условие: что точкалежит на эллипсе, т.е. ее координаты
должны удовлетворять уравнению эллипса

(6.8)

Это значит, что
Таким образом, для определенияиимеем систему уравнений

решив которую,
получим
,Подставив эти значения в уравнение
(6.8), найдем

Ответ.

Задача 6.6.
Асимптоты гиперболы имеют уравнения
.
Фокусы лежат на осии расстояние между ними равно.
Написать каноническое уравнение
гиперболы и начертить ее.

Решение.
Так как фокусы гиперболы лежат на оси
,
то ее каноническое уравнение имеет вид

Разрешив уравнение
асимптот относительно
,
получим,
откуда.
Кроме того,,
т.е.Так как для гиперболы,
то для нахожденияиполучим систему уравнений

Ответ.

Задача 6.7.
Составить уравнение параболы и ее
директрисы, если парабола проходит
через точки пересечения прямой
и окружностии симметрична относительно оси.

Решение.
Найдем точки пересечения заданных
линий, решив совместно их уравнения:

В результате
получим два решения
и.
Точки пересеченияи.
Так как парабола проходит через точкуи симметрична относительно оси,
то в этой точке будет находиться вершина
параболы. Поэтому уравнение параболы
имеет вид.
Так как парабола проходит через точку,
то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению параболы:,,

Итак, уравнением
параболы будет
,
уравнение директрисыили,
откуда

Ответ.
;

Задача 6.8.
Мостовая арка имеет форму параболы.
Определить параметр
этой параболы, зная, что пролет арки
равен,
а высота

Решение. выберем
прямоугольную систему координат так,
чтобы вершина параболы (мостовой арки)
находилась в начале координат, а ось
симметрии совпадала с отрицательным
направлением оси
.
В таком случае каноническое уравнение
параболы имеет вид,
а концы хорды аркии.
Подставив координаты одного из концов
хорды (например,)
в уравнение параболы и решив полученное
уравнение относительно,
получим

Ответ.

Задача 6.9.
Привести уравнение кривой
к каноническому виду и построить эту
кривую.

Решение.
В уравнении
,,,,,Вычислим дискриминант старших членов:

.

Так как
,
данная линия является кривой эллиптического
типа.

Найдем центр кривой
из системы

Решив ее, получим
,.

С помощью
параллельного переноса осей координат
в центр
уравнение кривой в новой системеприводится к виду:

,

подставив в исходное
уравнение кривой, получим

(6.9)

Для дальнейшего
упрощения уравнения (6.9) применим правило
приведения квадратичной формы к
каноническому виду. Составим
характеристическое уравнение

или
.

Отсюда
.

Повернув теперь
оси координат так, чтобы направления
осей
исовпадали с главными направлениями
квадратичной формы, уравнение (6.5)
приведем к каноническому виду

или .

Из уравнения видно,
что это эллипс с полуосями
,.
Чтобы построить этот эллипс найдем
главное направление, соответствующее
характеристическому числу(его мы приняли за осьв каноническом уравнении). Подставив
коэффициенты нашего уравнения в систему

получим

Полагая
,
находим, что.
Единичный вектор

оси
имеет в системекоординатыи.
Следовательно,,
а.

Решение.
В исходном уравнении
,,,,,Дискриминант старших членов

Следовательно,
уравнение определяет нецентральную
линию второго порядка, т.е. линию
параболического типа.

Составим
характеристическое уравнение квадратичной
формы старших членов:

или

Отсюда
,

Найдем главное
направление, соответствующее
характеристическому числу
.
Для этого подставим в систему

коэффициенты
нашего уравнения. Получим

Полагая
,
имеем.
Следовательно, главное направление,
соответствующее характеристическому
числу,
определяется вектором.
Нормируя его, находим единичный вектор:.
Это значит, что,
а,
т.е. поворачиваем системуна угол.

Используя теперь
равенства (6.10), имеем:

Следовательно,
уравнение (10.17) в системе координат
принимает вид

(6.11)

Уравнение (6.11)
определяет параболу. Для приведения
его к каноническому виду найдем координаты
нового начала. Сгруппируем члены с
одинаковыми переменными и выделим
полный квадрат:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #