Как найти массу шара через интеграл

I Вычисление объёмов тел

.

Пример
1. Вычислить
объём тела, ограниченного поверхностями
,,.

Решение.
Тело, представляет собой полушар с
конической выемкой. Проекция на плоскость
– круг радиусас центром в начале координат, следовательно,
координатаССК изменяется от 0 до.
Проекция на плоскость– полукруг с вырезанным сектором
(сечение
конусаэтой плоскостью – это).
Координатаизменяется отна образующих конуса дона плоскости.
И, наконец, координата.

Итак, объём тела

Здесь повторный
интеграл представляет собой произведение
трех интегралов, ибо внутренние интегралы
не зависят от внешних переменных.

II Вычисление масс тел

где
– плотность распределения массы.

Пример
2. Найти
массу шара
если плотность в каждой точкепропорциональна расстоянию отдо некоторой фиксированной точки
поверхности шара.

Решение.
Поместим фиксированную точку в начало
координат, а центр шара на ось
.
Тогда уравнение сферы в сферических
координатах имеет вид (см. §6, замечание
3):,.
Далее, плотность,.
Имеем для массы:

III Вычисление координат центра масс тела

Формулы для
координат центра масс тела выводятся
так же как аналогичные формулы для
плоской фигуры. Не будем выводить их, а
просто приведем:

Пример
3. Найти
положение центра масс однородного
конуса с радиусом основания
и высотой.

Решение.
Расположим конус обычным образом:
основание в плоскости
,
вершина на оси.
Выясним какие поверхности ограничивают
это тело. Одна из них – это плоскость,
а вторая – это нижняя часть конической
поверхности,
смещенная вверх наН.
Имеем:

Коэффициент
найдем из того усло-вия, что пересечение
этой поверхности с плоскостью– круг радиусаR:

.

Итак, задачу можно
сформулировать так: «Найти координаты
центра масс тела, ограниченного
поверхностями
и,
если
».
Тело симметрично относительно оси
и в симметричных точках плотность
одинакова. Следовательно, центр масс
лежит на оси:

Итак, центр масс
однородного конуса расположен на его
оси на расстоянии четверти высоты от
основания.

IV Вычисление моментов инерции тела

Формулы для
всевозможных моментов инерции тела
аналогичны подобным формулам для плоской
фигуры.

Моменты инерции
относительно осей координат:

Моменты инерции
относительно координатных плоскостей:

Момент инерции
относительно начала координат:

Пример
4. Найти
момент инерции цилиндра
относительно фиксированной образующей,
если плотность в каждой его точке обратно
пропорциональна расстоянию от точки
до этой образующей.

Решение.
Пусть образующая, о которой говорится
в условии задачи, лежит на оси
,
а центр нижнего основания на оси.
Цилиндр ограничен поверхностями

Цилиндрическое
уравнение третьей поверхности:
.
Плотность

в силу условия
Итак, момент инерции:

V Вычисление силы притяжения точки телом

Пусть в точке А
находится
масса
,
а в точкеВ
– масса М.
Известно, что М
притягивает
(и наоборот) с силойтакой, что,
где).

Пусть теперь эти
точки находятся в системе координат:
Проекциисилывычисляются по формулам

Но
поэтому, например,гдеАналогичные формулы есть дляи.
Итак, проекции силы:

Пусть теперь тело
имеет плотность.
Как найти силу,
с которой телопритягивает массу,
находящуюся в точке?
Можно поступить обычным, при построении
приложений интеграла, способом. Всю
областьразбиваем на части,
выбираем точкии считаем, что вся массасосредоточена в.
Получим системуматериальных точек:с массой.
(Подобным образом мы поступали при
вычислении координат центра масс и
моментов инерции плоской фигуры. Так
же можно поступить и при нахождении
этих характеристик пространственной
области.)

Точка
притягиваетс силой,
где, например,

вычисляются
аналогично. Суммируя и переходя к
пределу, получим для проекций полной
силы
:

где

Пример 5.
Найти силу, с которой однородный конус
притягивает массу,
находящегося в его вершине.

Решение.
Впишем данный конус в систему координат
так, как показано на рисунке. Такой конус
можно описать как тело, ограниченное
поверхностями
и(смотри пример 3).

В силу симметрии
и однородности
сила притяжения направлена по оси.
Имеем:

.

Переходим к
цилиндрическим координатам. Полярные
координаты проекции произвольной точки
тела на плоскость
изменяются в пределах,
а координатаизменяется от конуса до плоскости, т.е.
отдо.

Итак,

Соседние файлы в папке Лекции по мат.анализу

• #
• #
• #
• #
• #
• #

ОбъемОбластиВыражается формулой

(20.12)

В сферических координатах этот интеграл имеет вид

(20.13)

А в цилиндрических координатах

Если тело занимает объемИ— плотность его в — точке

, то масса тела равна

(20.15)

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам

(20.16)

Где— масса тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей определяются интегралами

Момент инерции тела относительно оси Ои определяется интегралом

Где— расстояние точкиТела от осиВ частности, моменты инерции

Тела относительно координатных осейОпределяются формулами

(20.17)

Момент инерции тела относительно начала координат определяется формулой  Очевидно, верны следующие соотношения:

Ньютоновым потенциалом тела в точкеНазывается интеграл

(20.18)

Где— объем тела,— плотность тела,

Материальная точка массыПритягивается телом с силой, проекции которой На оси координатРавны:

Пример 20.9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Данное тело ограничено сферами радиусовИЦентрами в начале координат и конусом с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Оно расположено над плоскостьюСечение этого тела плоскостьюИзображено на рис. 20.3.

Для вычисления объема тела перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). Уравнение сферыПримет видТак как

Аналогично преобразуется уравнение второй сферы. Уравнение конусаПримет видПотому что

Откуда

По формуле (20.13) находим

Пример 20.10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Рис. 20.3  Рис. 20.4

Данное тело ограничено сферойИ параболоидом вращения

; сечение тела плоскостьюИзображено на рис. 20.4. Для вычисления объема тела перейдем к цилиндрическим координатам по формулам (20.7). В цилиндрических координатах получаем(уравнение сферы),

(уравнение параболоида). Отметим, что при постоянных значенияхИВнутри тела z изменяется от(для точкиПересечения с поверхностью параболоида)

До(для точкиПересечения с верхней частью поверхности сферы).

При постоянномИзменяется от 0 (для точек, лежащих на оси) до наибольшего значения в точках линии пересечения данных поверхностей, так как с возрастаниемДля поверхности параболоида возрастает, а для шара убывает (что видно из уравнений поверхностей). Для линии пересечения поверхностей ИИмеемОткуда

(второй корень дает мнимые значения для р). Следовательно, для точек линии пересеченияВнутри тела р изменяется от 0 до. Заметив еще, что

Ф изменяется от 0 до 2тс, по формуле (20.14) получим

Пример 20.11. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом

При наличии выраженияВ уравнении поверхности по

Лезен переход к обобщенным сферическим координатам по формулам (20.11). Якобиан в этом случае равен

Уравнение данной поверхности в новых координатах примет вид(ибо

, поэтому

Для данного телаИзменяется от 0 до 1. Заметив, чтоПо

Формуле (20.6) получим

Итак,В частном случае, приПолучаем объем ша

Ра

Замечание. Поскольку эллипсоидсимметричен относительно координатных плоскостей, то можно найти объемЧасти данного тела. При вычислении интеграла нужно иметь в виду, что в этом случае

От предыдущих.

Пример 20.12. Найти массу шараЕсли плотность в

Каждой точке обратно пропорциональна расстоянию ее до начала координат.

Пусть— произвольная точка данного шара, тогда ее расстояниеДо

Начала координат выражается формулойПоэтому плотностьВ

Соответствиис условием задачи определяется формулой

, где— коэффициент пропорциональности. По

Формуле (20.15) имеем

Где областьОтраничена сферойДля вычисления данного

Интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). Подынтегральная функция, а уравнение сферы примет вид

По формуле (20.10) находим

Пример 20.13. Найти центр тяжести шара если плотность в каждой точке его обратно пропорциональна расстоянию до начала координат.

Воспользуемся формулами (20.16). Масса m была определена в предыдущей задаче (см. пример 20.12). Из соображений симметрии следует, чтоНайдем

Замечание. КоординатыМожно получить с помощью

Первых двух формул (20.16).

Следовательно,

Пример 20.14. Вычислить момент инерции однородного куба относительно одного из его ребер.

Начало прямоугольной декартовой системы координат поместим в одной из вершин куба, а оси направим вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер. Обозначим черезРебро куба и найдем его момент инерции относительно оси воспользовавшись третьей из формул (20.17). Так как куб является однородным, то в указанных формулах можно положить:

Гпава 21

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Масса поверхности

Пусть на поверхности $sigma $ распределена масса с поверхностной плотностью $mu (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } $,$mathbf { textit { z } } )$. Тогда масса $mathbf { textit { m } } $ поверхности равна

$mathbf { textit { m } } =iintlimits_sigma { mu (x,y,z)dsigma } $.

Статические моменты и центр масс

Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей $mathbf { textit { OYZ } } $, $mathbf { textit { OXZ } } $, $mathbf { textit { OXY } } $ равны соответственно $M_ { yz } =iintlimits_sigma { xmu dsigma } , M_ { xz } =iintlimits_sigma { ymu dsigma } , M_ { xy } =iintlimits_sigma { zmu dsigma } $

Координаты центра масс поверхности

$sigma $ равны $mathbf { textit { x } } _ { c } =frac { M_ { yz } } { m } $, $mathbf { textit { y } } _ { c } =frac { M_ { xz } } { m } $, $mathbf { textit { z } } _ { c } =frac { M_ { xy } } { m } $.

Моменты инерции

Момент инерции поверхности $sigma $ относительно прямой $mathbf { textit { L } } $ равен $mathbf { textit { I } } _ { L } =iintlimits_sigma { r_L^2 mu dsigma } $, где $r_L =mathbf { textit { r } } _ { L } (mathbf { textit { x } } ,mathbf { textit { y } } ,mathbf { textit { z } } )$ — расстояние от точки { $mathbf { textit { x } } ,mathbf { textit { y } } ,mathbf { textit { z } } $ } , лежащей на поверхности $sigma $, до прямой $mathbf { textit { L } } $. В частности, моменты инерции относительно координатных осей $mathbf { textit { OX } } ,mathbf { textit { OY } } $, $mathbf { textit { OZ } } $ равны

$I_x =iintlimits_sigma { (y^2+z^2)mu dsigma } $,

$I_y =iintlimits_sigma { (x^2+z^2)mu dsigma } $,

$I_z =iintlimits_sigma { (x^2+y^2)mu dsigma } $.

Момент инерции относительно точки $mathbf { textit { P } } (mathbf { textit { x } } _ { 0 } $,$mathbf { textit { y } } _ { 0 } $,$mathbf { textit { z } } _ { 0 } )$ равен $ I_p =iintlimits_sigma { ((x-x_0 )^2+(y-y_0 )^2+(z-z_0 )^2)mu (x,y,z)dsigma } $

Момент инерции относительно начала координат равен $ I_0 =iintlimits_sigma { (x^2+y^2+z^2)mu (x,y,z)dsigma =frac { 1 } { 2 } (I_x +I_y +I_z ). } $

Пример 1

Найти координаты центра масс полусферы $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } +mathbf { textit { z } } ^ { 2 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } ,mathbf { textit { z } } leqslant 0$, если поверхностная плотность в каждой точке сферы равна расстоянию от этой точки до оси $mathbf { textit { OZ } } $.

Решение

Масса полусферы $sigma $ равна

$ begin{array} { l } M=iintlimits_sigma { mu dsigma =iintlimits_sigma { sqrt { x^2+y^2 } dsigma = } } iintlimits_ { x^2+y^2leqslant R^2 } { sqrt { x^2+y^2 } cdot sqrt { 1+((sqrt { R^2-x^2-y^2 } { ) } ‘_x )^2+((sqrt { R^2-x^2-y^2 } { ) } ‘_y )^2 } } dxdy= \ =iintlimits_ { x^2+y^2leqslant R^2 } { sqrt { x^2+y^2 } cdot sqrt { 1+frac { x^2+y^2 } { R^2-x^2-y^2 } } dxdy= } iintlimits_ { x^2+y^2leqslant R^2 } { sqrt { x^2+y^2 } cdot frac { Rdxdy } { sqrt { R^2-x^2-y^2 } } =Rintlimits_0^ { 2pi } { dvarphi } intlimits_0^R { frac { r^2dr } { sqrt { R^2-r^2 } } = } } \ =2pi Rintlimits_0^R { frac { r^2-R^2+R^2 } { sqrt { R^2-r^2 } } dr=2pi Rleft( { R^2arcsin left. { frac { r } { R } }right|_0^R -intlimits_0^R { sqrt { R^2-r^2 } } dr }right)=frac { pi ^2R^3 } { 2 } . } \ end{array} $

{ Мы воспользовались тем, что интеграл $intlimits_0^R { sqrt { R^2-r^2 } dr } $ равен четверти площади круга радиуса $mathbf { textit { R } } $ , т.е. $frac { pi R^2 } { 4 } $ } .

Пример 2

Найти массу поверхности $G:left { { { begin{array} { * { 20 } c } { x^2+y^2+z^2=16 } hfill \ { ygeqslant 0 } hfill \ { 0leqslant zleqslant 3 } hfill \ end{array} } }right.$ с поверхностной плотностью $gamma = 2z^ { 2 } + 3$.

Решение

На рассматриваемой поверхности $z=sqrt { 16-x^2-y^2 } $,

$frac { partial z } { partial x } =-frac { x } { sqrt { 16-x^2-y^2 } } ,frac { partial z } { partial y } =-frac { y } { sqrt { 16-x^2-y^2 } } .$ Тогда

$ dS=sqrt { 1+frac { x^2 } { 16-x^2-y^2 } +frac { x^2 } { 16-x^2-y^2 } } dxdy=frac { 4 } { sqrt { 16-x^2-y^2 } } dxdy. $

Проекцией $D$ этой поверхности на координатную плоскость $Oxy$ является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу массы поверхности и перехода к полярным координатам, получим:

$ begin{array} { c } M=4iintlimits_D { frac { 2(16-x^2-y^2)+3 } { sqrt { 16-x^2-y^2 } } } dxdy=4intlimits_0^pi { dvarphi } intlimits_3^4 { frac { 2(16-rho ^2)+3 } { sqrt { 16-rho ^2 } } } rho drho = \ =4pi left( { -frac { 1 } { 2 } }right)intlimits_7^0 { frac { 2t+3 } { sqrt t } } dt=2pi intlimits_0^7 { left( { 2t^ { frac { 1 } { 2 } } +3t^ { -frac { 1 } { 2 } } }right) } dt=2pi left( { frac { 4 } { 3 } t^ { frac { 3 } { 2 } } +6t^ { frac { 1 } { 2 } } }right)left| { { begin{array} { * { 20 } c } { ^7 } hfill \ { _0 } hfill \ end{array} } }right.= \ =2pi left( { frac { 28 } { 3 } sqrt 7 +6sqrt 7 }right)=frac { 92sqrt 7 } { 3 } pi . \ end{array} $