Как найти массу отрезка прямой - Autoru.top - решение различных проблем

Вариант 13

Вычислить криволинейные интегралы:

1. , где — отрезок прямой ОВ; О(0;0;0); В(-2;4;5)

Решение

Сначала составим уравнение прямой OB.

Введем параметр T: и перепишем уравнение прямой в параметрической форме:

Далее применяем формулу

Очевидно, что параметр T изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен

Ответ:

2. , где — дуга кривой ,

Решение

Так как кривая L задана в полярной системе координат, то для вычисления криволинейного интеграла следует использовать формулу

В силу того, что

Имеем

Ответ:

3. , где — окружность .

Решение

Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид

Для вычисления интеграла применим формулу .

Так как

то

Ответ:

4. , где — верхняя половина эллипса ., «пробегаемая» по ходу часовой стрелки.

Решение

По формуле

Имеем

, , ,, , , , .

Тогда

Ответ:

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции . Найти функцию . .

Решение

P(X;Y)= , Q(X;Y)=, = , = =.

Так как P, Q, , непрерывны и =, то данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции F(X;Y) и

В качестве (X0;Y0) можно брать любую точку из области непрерывности функций P, Q, , , поэтому возьмем (0;0).

Ответ:

6. Вычислить массу отрезка прямой , заключённого между координатными осями, если линейная плотность в каждой его точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точке равна 4.

Решение

Так как линейная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точке равна 4, то

По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой .

Так как то

Ответ:

1. Дана функция и точки , . Вычислить: 1) производную этой функции в точке по направлению ; 2)

Решение

Найдём направляющие косинусы вектора . Его длина . Следовательно , ,

Вычисляем частные производные функции в точке

, ,

Тогда по формуле

Градиент скалярного поля U есть вектор GradU, направленный по нормали к поверхности уровня поля в сторону возрастания поля и численно равный наибольшей производной по направлению

Он вычисляется по формуле .

В нашем случае , ,

Тогда ,

2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S, где S – часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями.

Решение

Данная поверхность S представляет собой часть плоскости , расположенную в первом октанте.

Запишем уравнение плоскости в виде . Тогда , .

Используя формулу , имеем

Ответ:

3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостью z=2.

Решение

Поверхность S является частью параболоида , отсеченной плоскостью . Поверхность S однозначно проецируется на плоскость в область ― круг радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности , которая является границей .

Поэтому, получаем

Ответ:

4. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону пирамиды, образуемою плоскостью и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса. , :

Решение

При вычислении потока данного примера рассмотрим сумму потоков, т. к. поверхность состоит из четырех частей.

Где – соответственно нормали к поверхностям и .

Будем вычислять каждый из слагаемых интегралов отдельно. В первом интеграле взаимно однозначно проектируется, например, на плоскость , а уравнение его плоскости .

Принимая ,

Найдем единичный вектор нормали к этой плоскости .

Здесь , что и соответствует нормали к внешней стороне треугольника. После этого находим

Тогда

Во втором интервале , и

.

В третьем интеграле и .

В четвертом интеграле и

Окончательно получаем .

Решим задачу с помощью теоремы Остроградского:

Поэтому

Где – объем пирамиды .

Ответ:

5. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости : с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора этой плоскости двумя способами: 1) использовав определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса , :

Решение

В результате пересечения плоскости с координатными плоскостями получим треугольник и укажем на нем положительное направление обхода контура .

1. Вычислим циркуляцию данного поля по формуле:

На отрезке имеем: , , ,.

,, ,

На отрезке , , , ,

,, ,

На отрезке , , , ,

Следовательно,

2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса. Для этого вычислим:

В качестве поверхности в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды : .

По формуле Стокса имеем: ,

Где ,

Следовательно, .

Ответ:

6. Найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .

Решение

Находим частные производные функции в любой точке и в точке : , ,

, .

Тогда в точке имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке достигается в направлении :

.

7. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля в точке .

Решение

Модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля. По формуле:

Тогда

Тогда в т. ,

Ответ:

8. Выяснить, является ли векторное поле потенциальным.

Решение

Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:

В нашем случае

Следовательно, поле потенциальное.

< Предыдущая Следующая >

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Следствия.

а) Если плоская кривая l задана явно: , и , то

. (5.2)

б) Если плоская кривая l задана в полярных
координатах: , то

. (5.3)

Некоторые приложения КИ-1

1. Масса материальной линии. Пусть , —
линейная плотность массы материальной линии l. Тогда масса этой линии
есть:

.
(5.4)

2. Длина пространственной (или плоской) кривой l есть L: .

3. Статические моменты и
координаты центра тяжести.

а) Для плоской
линии c плотностью и
массой m статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox:

, ;

координаты центра тяжести:

, .

б) Для пространственной
линии l c плотностью и массой m статические моменты
относительно плоскостей и Oxy:

,
, ;

координаты центра тяжести:

, , .

Пример 17.
Вычислить
КИ-1: , где l – прямолинейный отрезок,
соединяющий точки и .

Ñ Уравнения отрезка прямой
AB в параметрической форме:
, или . Тогда и из
(5.1) имеем .

Замечание. В случае явного задания
отрезка прямой следует воспользоваться
формулой (5.2). #

Пример 18. Вычислить КИ-1: , где l– кривая, заданная
уравнением при условии .

Ñ Для построения кривой l преобразуем уравнение ее
к виду ; таким образом, l есть полуокружность с
центром в точке радиуса 1, расположенная слева
от оси Oy (рис. 14.22).

Наличие комбинации в подынтегральной функции и в уравнении l наводит на мысль провести вычисления
в полярных координатах, которые связаны с декартовыми координатами формулами . Тогда: из
Рис. 14.22 получаем – уравнение l в полярных координатах; из рис. 14.22 (или условий , , следует: ; , = ==, и из (5.3) . #

Пример 19. Найти массу одного витка
материальной винтовой линии , , (рис.
14.23), если линейная плотность в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния этой точки от начала координат.

Ñ По условию задачи
плотность +

=, где k – коэффициент про-

порциональности,
. Для одного витка .
Из формул (5.4) и (5.1) имеем: =

= .
#

Задачи для
самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

81. , где l – отрезок прямой , заключенный между точками и .

82. ,
где l – контур прямоугольника с вершинами: .

83. ,
где l– дуга параболы ,
отсеченная параболой .

84. ,
где l– первая арка циклоиды .

85. , где l— половина лемнискаты .

86. , где l – часть спирали Архимеда
, заключенная внутри круга радиуса R с центром в точке .

87. , где l – первый виток
конической винтовой линии , , .

88. , где l –четверть окружности , лежащая в первом октанте.

89. , где l – дуга гиперболы , .

90. , где l– дуга астроиды в первом квадранте.

91. Найти массу первого
витка винтовой линии , плотность которой в каждой
точке равна полярному радиусу этой точки.

92. Найти массу линии , , от
точки, соответствующей t=0, до произвольной точки, если плотность в
каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке равна единице.

93. Найти массу дуги
параболы , если линейная плотность в текущей точке
равна .

Вычислить координаты
центра тяжести дуги однородной кривой :

94. , от точки до точки .

95. .

96. .

14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода
(КИ-2)

Пусть : 1) в
точках непрерывной кривой AB из пространства определены
ограниченные скалярные функции ;

2) — произвольное разбиение кривой AB на элементарные дуги с длинами и
проекциями , , на соответствующие оси координат; 3) — произвольный набор точек;

4) — интегральная сумма, соответствующая
данному разбиению и данному выбору точек.

Определение. Конечный предел
интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения AB , ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом
второго рода от функций по пути AB: .

Механически КИ-2
представляет собой работу переменной силы , точка
приложения которой описывает кривую AB.

Источник

Пример 4.

Вычислить работу векторного поля вдоль отрезка прямой , если , .

Решение.

Уравнение прямой запишем в параметрическом виде:

и вычислим производные от функций ; ;

Пределы интегрирования для переменной определим, учитывая, что при переходе от точки к точке функция меняется от до . Тогда .

Следовательно,

Пример 5.

Вычислите работу векторного поля вдоль линии : от начала координат до точки .

Решение

Зададим кривую параметрическими уравнениями: . Тогда . На участке параболы выполняется неравенство , откуда следует, что .

Учитывая это, криволинейный интеграл можно свести к определенному интегралу.

Вариант 1

1. Вычислить момент инерции относительно оси OX однородного участка линии (первая арка).

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке .

Вариант 2

1. Вычислить массу отрезка прямой AB, если линейная плотность в каждой точке

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке .

Вариант 3

1. Вычислить массу дуги параболы , отсеченной параболой , если плотность в каждой точке равна ординате этой точки.

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии L от точки M к точке N, где L — ломаная, соединяющая точки .

Вариант 4

1. Вычислить массу контура прямоугольника ABCD, если линейная плотность в каждой его точке определяется выражением .

Вариант 5

1. Вычислить длину дуги кривой от до .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии L от точки M к точке N, где L — отрезок MN, соединяющий точки и .

Вариант 6

1. Вычислить массу участка линии , если линейная плотность в каждой точке равна ее расстоянию до начала координат.

Вариант 7

1. Вычислить момент инерции относительно начала координат однородного первого витка винтовой линии .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии L от точки к точке .

Вариант 8

1. Вычислить массу части окружности в первой четверти, если плотность .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке , где L — ломаная, соединяющая точки .

Вариант 9

1. Вычислить статический момент относительно оси OX однородного контура .

Вариант 10

1. Вычислить массу контура треугольника ABC, если линейная плотность в каждой его точке ;

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке

Вариант 11

1. Вычислить момент инерции относительно оси OY однородного участка линии от точки до точки .

Вариант 12

1. Вычислить массу контура , если плотность в каждой его точке равна .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке .

Вариант 13

1. Вычислить статический момент относительно оси OX однородной части кривой , , находящейся в верхней полуплоскости.

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке .

Вариант 14

1. Вычислить массу дуги линии от точки до точки , если плотность в каждой ее точке равна .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке .

Вариант 15

1. Найти массу контура правого лепестка лемнискаты , если плотность в каждой его точке равна .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке .

Вариант 16

1. Вычислить длину дуги кривой

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии — отрезок MN от точки к точке .

Вариант 17

1. Вычислить массу прямолинейного стержня , где , если линейная плотность в каждой его точке вычисляется по закону .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии — ломаная MKN, от точки к точке , где .

Вариант 18

1. Вычислить момент инерции верхней половины окружности относительно оси OY, если ее плотность .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии — отрезок MN, от точки к точке .

Вариант 19

1. Вычислить массу первого витка винтовой линии , если плотность в каждой ее точке равна .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии — отрезок MN, от точки к точке .

Вариант 20

1. Найти центр тяжести однородной дуги окружности радиуса при центральном угле .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии — отрезок MN, от точки к точке .

Вариант 21

1. Вычислить массу прямолинейного стержня , где , если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию до начала координат.

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии — отрезок MN, от точки к точке .

Вариант 22

1. Вычислить длину дуги линии , при .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке , где L: циклоида: .

Вариант 23.

1. Вычислить массу контура треугольника , где , если плотность в каждой его точке .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке , если отрезок .

Вариант 24

1. Вычислить момент инерции относительно начала координат участка однородной линии .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке .

Вариант 25

1. Вычислить массу контура , если плотность в каждой его точке равна расстоянию точки до начала координат.

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке , где ломаная .

Вариант 26

1. Вычислить длину дуги цепной линии при .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке , где ломаная .

Вариант 27

1. Найти координаты центра тяжести однородной кардиоиды .

2. Найти работу поля вектора при перемещении точки вдоль линии от точки к точке , где ломаная .

Вариант 28

1. Найти координаты центра тяжести однородной кардиоиды .

Вариант 29

1. Найти массу четверти эллипса , расположенной в первой четверти, если плотность в каждой точке равна ординате этой точки.

Вариант 30

1. Найти координаты центра тяжести первого витка однородной винтовой линии .

Источник

Приложения криволинейных интегралов

Краткая теория

Длина дуги

Длину дуги

плоской или пространственной линии

определяют по формуле:

Масса дуги

Если

– линейная плотность вещества в точках дуги,
то массу

дуги

определяют по формуле:

Статистические моменты

Статистические
моменты

плоской дуги

относительно координатных осей

определяют по формулам:

Моменты инерции

Моменты
инерции

плоской дуги

относительно координатных осей

определяют по формулам:

Полярный момент инерции

Полярный
момент инерции

плоской дуги

относительно начала координат определяют по
формуле:

Площадь фигуры

Площадь

фигуры, расположенной в плоскости

и ограниченной замкнутой линией

, вычисляют по формуле:

Работа, приложенная к точке, при перемещении по дуге

Работу, совершаемую силой

приложенной в точке

при перемещении ее по дуге

, вычисляют по формуле:

Примеры решения задач

Задача 1

Найти
момент инерции относительно оси

четверти однородной окружности

, расположенной в первом
квадранте.

Решение

Окружность
однородна, следовательно

, следовательно искомый
момент инерции:

Для
удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности

Тогда:

Ответ:

Задача 2

Найти
массу дуги кривой

от точки

до

, если плотность в каждой точке
ее равна абсциссе точки;

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Плотность
дуги:

Искомая масса будет выражаться
криволинейным интегралом 1-го рода:

Производная:

Искомая масса:

Ответ:

Задача 3

Найти
массу дуги окружности

, лежащей в первой
четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

Решение

Плотность:

Искомая масса будет
выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Параметрическое
уравнение окружности:

Окружность лежит в
первой четверти, поэтому

Ответ:

Задача 4

Вычислить
работу силы

при обходе точки ее приложения по границе

области

в положительном направлении, начиная от точки

Решение

Искомая
работа будет равна криволинейному интегралу 2-го рода:

Для
вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

Ответ:

Задача 5

Вычислить
работу силового поля

при перемещении материальной точки вдоль пути

Решение

Искомая работа будет
выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Параметр

Перейдем к
определенному интегралу:

Искомая работа:

Ответ:

Задача 6

Вычислить
работу силы

при перемещении материальной точки вдоль линии

от точки

до точки

Решение

Искомая работа будет
выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Криволинейный
интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:

Получаем:

Ответ:

Источник

Условие

Вычислить массу прямолинейного стержня АВ , где А(0‚-2)‚ В(4‚0)‚ если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию до начала координат.|

математика
523

Решение

★

m= ∫_ ( ∪ AB) μ (x;y)d [i]l[/i]- криволинейный интеграл первого рода по длине дуги

μ (x;y) — обратно пропорциональна расстоянию произвольной точки М(x;y) до начала координат.

[m]d=sqrt{x^2+y^2} [/m]- расстояние произвольной точки М(x;y) до начала координат.

[m]μ (x;y)=frac{1}{sqrt{x^2+y^2}}[/m]

[b]Составим уравнение прямой АВ:[/b]

[m]frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

[m]frac{x-0}{4-0}=frac{y-(-2)}{0-(-2)}[/m]

[m]frac{x}{4}=frac{y+2}{2}[/m] ⇒ [m]frac{x}{2}=y+2[/m] ⇒ [m]y=frac{1}{2}x-2[/m]

0 ≤ x ≤ 4

тогда

[m]y`=frac{1}{2}[/m]

[m]dl=sqrt{1+(y`(x))^2}dx=sqrt{1+(frac{1}{2})^2}dx=frac{sqrt{5}}{2}[/m]

[m]μ (x;y)=frac{1}{sqrt{x^2+y^2}}=frac{1}{sqrt{x^2+(frac{1}{2}x-2)^2}}=frac{1}{frac{5}{4}x^2-2x+4}[/m]

m= ∫_ ( ∪ AB) μ (x;y)d [i]l[/i]= [m]∫ _{0}^{4}frac{1}{frac{5}{4}x^2-2x+4}cdot frac{sqrt{5}}{2}dx[/m] — определенный интеграл=

= [m] sqrt{5}∫ _{0}^{4}frac{1}{5x^2-8x+16}dx=∫ _{0}^{4}frac{1}{x^2-frac{8}{5}x+frac{16}{5}}dx=∫ _{0}^{4}frac{1}{(x-frac{4}{5})^2-(frac{4}{5})^2+frac{16}{5}}dx=∫ _{0}^{4}frac{1}{(x-frac{4}{5})^2-(frac{8}{5})^2}dx[/m]

табличный интеграл см. скрин

Написать комментарий

Источник

Приложения криволинейных интегралов

Краткая теория

Длина дуги

Масса дуги

Статистические моменты

Моменты инерции

Полярный момент инерции

Площадь фигуры

Работа, приложенная к точке, при перемещении по дуге

Примеры решения задач

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Условие

Решение

Написать комментарий

Не пропустите также: