Как найти массу фигуры ограниченной линиями

Рассмотрим в
плоскости
материальную пластину, т.е. некоторую
область,
в которой распределено некое вещество
с поверхностной плотностью .
Тогда, как известно (см. § 1, IV),
масса всей пластины есть двойной интеграл
по от :

Один из примеров
вычисления массы приведён в § 3. Рассмотрим
ещё один характерный пример.

Пример 4.
Вычислить массу прямоугольного
равнобедренного тре-угольника с
гипотенузой .
Известно, что плотность
в любой точке треугольника
пропорциональна расстоянию от
до гипотенузы, а в вершине прямого угла
равна .

C

Решение.

Впишем данный треугольник в систему
координат так, как показано на рисунке.
Тогда координаты вершин треугольника:

.

Уравнения катетов:

(левый) и

(правый). Таким
образом, область можно записать так:

Лучше, однако,
записать область иначе:

Далее, по условию
,
т.е. .
Коэффициент пропорциональности находим
из условия

Итак, для искомой
массы имеем:

Отметим, что
размерность полученного ответа – это
размерность массы.

Замечание.
Область интегрирования симметрична
относительно оси
,
а подынтегральная функцияв симметричных точках принимает равные
значения. Поэтому можно ограничиться
вычислением интеграла по одной, например,
правой половине области и затем удвоить
полученный результат:

IV Вычисление координат центра масс пластины

Известно из физики,
что, если масса распределена дискретно
в отдельных
точках,
то координатыцентра масс такой системы материальных
точек вычисляются по формулам

в которых
– масса, сосредоточенная в точке.

Пусть теперь в
плоской области
имеем непрерывное распределение массы
с поверхностной плотностью.
Чтобы найти координаты центра масс
такой области, поступим обычным образом.
Разобьём областьна отдельные частии выберем точкиМасса,
распределенная в,
приближенно равна,
где– площадь области.
Если считать, что вся массасосредоточена в точке,
то придём к дискретному распределению
массы, и поэтому

Чтобы получить
точные значения для
и,
необходим переход к пределу при

Но три суммы в
написанных выше формулах – это
интегральные суммы и в пределе дадут
интегралы:

Интегралы, стоящие
в числителях этих формул, называют
статическими моментами области
относительно
осейисоответственно.

Пример 5.
Найти положение центра масс круга
радиуса
,
если плотность в каждой точки
круга пропорциональна расстоянию от

до фиксированной точки окружности.

Решение.
Пусть центр круга имеет коорди-наты ,
а фиксированная точка из условия – это
начало координат. Теперь условия задачи
звучат так: “Найти координаты центра
масс фигуры ,
ограниченной линией ,
если поверхностная плотность ,
т.е. .”

Вычисляем
сначала массу области (она стоит в
знаменателях формул для
и ).
Так как
– круг, то лучше перейти в ПСК, уравнение
окружности при этом имеет вид

.
Итак:

Теперь вычисляем
статические моменты области:

При вычислении
использованы свойства интегралов по
симметричному промежутку от чётной и
нечётной функции.

Имеем для координат
центра масс:

Результат
можно получить без вычисления .
Область симметрична относительно оси
,
а плотность в симметричных точках
одинакова. Следовательно, центр масс
лежит на оси симметрии.

Итак, центр масс
данного круга лежит на диаметре,
проходящем через фиксированную точку
из условия примера, на расстоянии от этой точки.

Соседние файлы в папке Лекции по мат.анализу

• #
• #
• #
• #
• #
• #

(схема 42)

1. Вычисление объема тела

Пусть функция f(x;y) ≥ 0.
Рассмотрим тело, ограниченное    
поверхностью z = f(x;y), плоскостью z=0 и цилиндрической поверхно­стью, образующие которой
па­раллельны оси 0z, а направ­ляющей
служит граница об­ласти D. Как было показано 
выше, согласно формуле (6.3) объем данного тела равен     

                                                                                                                                                   (6.18)

Пример 6.9. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом z= x²+y²+1,
плоскостью x+y
–3=0 и координатными плоскостями.

Решение. Основанием тела служит треугольник ОАВ. Область D в данном
случае определяется неравенствами:

. Заметим, что тело, заданное по условию, аналогично телу,
изображенному на рисунке 6.6 (пример 6.5). Следовательно, используя формулу
(6.18), получим:

2.
Вычисление площади плоской фигуры

Если положить в формуле (6.18) f(x,y)=1, то цилиндрическое тело «превратится»  в  прямой  цилиндр  с  высотой  h=1. Объем такого цилиндра,

как
известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади  S области D:

                                                                                                                                                                                       (6.19)

или,  в полярных
координатах,

                                                                                                                                                                    (6.20)

Пример
6.10. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной прямой y=2x+1 и параболой y=x²+1.

Решение. Решая совместно систему

, находим точки пересечения этих линий: A(0;1)
и  B(2;5).

Применяя формулу (6.19), будем иметь:

Пример 6.11. Вычислить площадь фигуры ограниченной лемнискатой  

 (рис. 6.9).

Решение. Переходим к полярной системе координат, полагая x=r cosφ  и y=r sinφ; тогда получаем

 . В силу симметрии кривой относительно координатных осей
можно вычислить сначала ту часть, которая расположена  первой четверти. В этом случае угол φ будет изменяться от 0 до, а радиус r от 0 до . По формуле (6.20) получим:

3.
Вычисление массы плоской фигуры (пластины)

Масса плоской пластинки D с
переменной плотностью γ=γ(x,y) находится
по формуле

.                                                                                                                                                                         (6.21)

4.
Определение статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей 0x и 0y могут быть вычислены по формулам

        ;                                                                                                   (6.22)

а
координаты центра масс фигуры – по формулам

    .                                                                                                                                                       (6.23)

Статические моменты широко используются в
сопротивлении материалов и других технических науках.

5.
Определение моментов  инерции плоской
фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m  на
квадрат расстояния d точки до оси, т.е. . Моменты инерции плоской фигуры относительно 0x и 0y могут быть
вычислены по формулам:

                                                                                                  (6.24)

Момент
инерции фигуры относительно начала координат – по формуле

.                                                                                                                                                                      (6.25)

Пример
6.12. Найти массу, статические
моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти,
ограниченной эллипсом  и координатными осями.
Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению
координат точки.

Решение. По
формуле (6.21) находим массу пластины. По условию, γ=γ(x,y)=k∙xy, где k –
коэффициент пропорциональности.Тогда

.

Находим
статические моменты пластинки по формулам (6.22):

Находим
координаты центра тяжести пластинки, используя формулы (6.23):

  6. Поверхностный интеграл I рода

Обобщением двойного интеграла является поверхностный интеграл. Пусть в трехмерном пространстве Оxyz в точках некоторой поверхности площади S определена непрерывная функция u = f (x;y;z). Разобьем поверхность на конечное число n частей S_i, площади которых равны ∆S_i, а диаметры – d_i, . Выберем в каждой части S_i  произвольную точку M_i(x_i;y_i;z_i)
и составим сумму произведений вида

.                                                                                                                                                                   (6.26)

Она
называется интегральной суммой для функции f(x;y;z) по поверхности S. Если при интегральная
сумма (6.26) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения поверхности S, ни от выбора точек M_i(x_i;y_i;z_i), то он называется поверхностным интегралом I рода от
функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается . Следовательно, 

 .                                                                                                                                (6.27)

Теорема 6.3
(о существовании поверхностного интеграла). Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная
плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а
функция f(x;y;z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный
интеграл существует

Формула                                                                                            (6.28)

выражает интеграл по поверхности
S
через двойной интеграл по проекции S на плоскость x0y. Отметим, что если поверхность S задана
уравнением вида  y=y(x;z) или x=x(y;z), то аналогично получим:

 и                                                                                                       (6.29)

,                                                                                                          (6.30)

где
D₁ и D₂ –
проекции  поверхности S на
координатные плоскости xОz и   yОz
соответственно.

Пример 6.13. Вычислить , где S – часть цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями z = 0 и z = 3.

Решение. Из уравнения заданной
цилиндрической поверхности выразим  и учтём, что
при x = 0 в плоскости xОy: . Так как частные производные равны , то согласно формуле (6.30),
имеем 

         Приведем некоторые примеры применения
поверхностного интеграла I рода.

6.1. Площадь
поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = f(x;y), a ее проекция на
плоскость x0y есть область D, в которой  z = f(x;y), z_x(x;y) и z_y(x;y) –
непрерывные  функции, то ее площадь S
вычисляется по формуле:

        .                                                                                                                                                     (6.31)

Пример 6.14. Вычислить площадь части плоскости x+y+z=4,
вырезаемой цилиндром x²+y² =4 (рис. 6.10).

Решение. Применим формулу (6.31). Область интегрирования D есть круг
радиуса r=2. Находим частные производные и  заданной
функции z=4 – x – y:

 . Тогда .

Чтобы вычислить этот интеграл, введём полярные
координаты. Область D определяется: . Следовательно,

 Кроме того, поверхностный интеграл применяют для
вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных
поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы  γ=γ(x;y;z). Все эти величины
определяются одним и тем же способом:

– данную область разбивают на конечное число мелких частей;

– делают для каждой такой части  предположения, упрощающие задачу;

– находят приближенное значение  искомой величины;

– переходят к пределу при неограниченном измельчении разбиения
области.

Проиллюстрируем описанный способ на примере
определения массы материальной поверхности.

6.2. Масса
поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной
поверхности есть γ=γ(x;y;z). Для нахождения
массы поверхности:

1.     Разбиваем поверхность S на n частей S_i, , площадь которых обозначим ∆S_i.

2.     Выберем произвольную точку M_i(x_i;y_i;z_i) в каждой области S_i. Предполагаем, что 
в переделах области  S_i
плотность постоянна  и  равна её

значению  в
точке M_i.

3.     Масса m_i области  S_i  мало отличается от
массы γ(x_i;y_i;z_i)∙∆S_i   однородной области с постоянной полностью γ= γ(x_i;y_i;z_i).

4.     Суммируя  m_i
по всей области, получаем:.

5.     За точное значение массы материальной поверхности S
принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при
стремлении к нулю диаметров областей S_i, то есть

 .                                                                                                               (6.32)

6.3. Моменты
и центр тяжести поверхности. Статические
моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по
соответствующим формулам:

Пример 6.15.
Вычислить координаты центра тяжести
однородной поверхности параболоида z=x²+y², ограниченной плоскостью z=1.

Решение. Вершина заданного параболоида совпадает с началом
координат. Так как поверхность однородная (постоянная плотность массы), то,
основываясь на ее симметрии, можно сделать вывод, что центр тяжести расположен
на оси 0z. Тогда x_c=0, y_c=0
и по формуле (6.36)  аппликата. Пересечем параболоид поверхностью z=1,
спроектируем линию пересечения на плоскость x0y – получим окружность x²+y²=1 в
качестве области D. Вычислим элемент поверхности параболоида z=x²+y² по
формуле (6.31), учитывая, что:

.

Аналогично, переходя к полярным координатам на
плоскости x0y, получим:

.

Таким образом,, то есть центр тяжести заданного параболоида, ограниченного плоскостью z=1, находится в точке (0;0;1) и совпадает с точкой
пересечения поверхности с плоскостью