Как найти максимум случайной величины - Autoru.top

Функции одного переменного
- Монотонное преобразование случайной величины
Функции двух переменных. Действия над случайными величинами
- Распределение максимума двух случайных величин
- Распределение минимума двух случайных величин
- Сложение случайных величин. Свертка распределений
- Гамма-плотности
- Другие действия над случайными величинами
Функции нескольких переменных
- Экстремумы и порядковые статистики
- Распределение минимума n случайных величин
- Распределение порядковых статистик
Кратные свертки. Некоторые специальные распределения
- Z -распределение Фишера
- Многомерное нормальное распределение
- Независимость функций независимых аргументов
Функция распределения случайной величины
- Свойства функции распределения
- График функции распределения

Задача установления закона распределения функции от случайных величин по заданному закону распределения аргументов является основной.

Общая схема рассуждений здесь следующая. Пусть — закон распределения . Тогда очевидно имеем

где — полный прообраз полуинтервала, т.е. совокупность тех значений вектора , для которых . Последняя вероятность легко может быть найдена, так как закон распределения случайных величин известен

Аналогично, в принципе, может быть найден закон распределения и векторной функции случайных аргументов.

Сложность реализации схемы (*)-(**) зависит только от конкретного вида функции и закона распределения аргументов.

Настоящая глава посвящена реализации схемы (*)-(**) в конкретных, важных для приложений, ситуациях.

Функции одного переменного

Пусть — случайная величина, закон распределения ко-торой задан функцией распределения . Если функция распределения случайной величины , то приведенные выше соображения дают

где через обозначен полный прообраз полупрямой . Соотношение (1) является очевидным следствием (*) и для рассматриваемого случая проиллюстрировано на рис. 1.

Монотонное преобразование случайной величины

Пусть — непрерывная монотонная функция (для определенности — монотонно невозрастающая) и . Для функции распределения получаем

(здесь — функция, обратная к , существование которой обеспечивается монотонностью и непрерывность. Для монотонно неубывающей аналогичные выкладки дают

В частности, если — линейна, , то при а > 0 (рис. 2)

а при а < О

Линейные преобразования не меняют характера распределения, а сказываются лишь на его параметрах.

Линейное преобразование равномерной на [а, b] случайной величины

Пусть Тогда

Линейное преобразование нормальной случайной величины

Пусть Тогда , и вообще, если то

◄ Пусть, например, а > 0. Из (4) заключаем, что

Положим в последнем интеграле u = ах + b. Эта замена дает

Важное тождество, являющееся источником многих интересных приложений, может быть получено из соотношения (3) при

Лемма:

Если — случайная величина с непрерывной функцией распределения , то случайная величина — равномерна на [0, 1].

Имеем

— монотонно не убывает и заключена в пределах от 0 до 1. Поэтому

На промежутке же получаем

Одним из возможных путей использования доказанной леммы является, например, процедура моделирования случайной величины с произвольным законом распределения . Как следует из леммы, для этого достаточно уметь получать значения равномерной на [0, 1] случайной величины, тогда значения могут быть получены из тождества

В заключение заметим, что если случайная величина непрерывна и функция не только монотонна, но и дифференцируема, то также непрерывна. При этом плотность случайной величины легко может быть получена из (2) или (3):

Если ) свойством монотонности не обладает, то результат может быть получен скрупулезным следованием логике соотношения (1), как показывают приводимые ниже примеры.

Распределение квадрата равномерной на [—1, 1] случайной величины

Пусть . Рассмотрим (рис. 3)

Отсюда для плотности получим

Распределение случайной величины, обратной к случайной величине с распределением Коши

Пусть — случайная величина, имеющая распределения Коши (см. п. 2.1.1) и Положим (рис. 4). Следуя (1), получаем:

Таким образом, если

Функции двух переменных. Действия над случайными величинами

Пусть — двумерный случайный вектор с законом распределения — борелевская функция двух переменных, . Как и выше, задачу нахождения закона распределения случайной величины решает схема (*)-(**). В частности, умение решать эту задачу дает возможность производить арифметические действия над случайными величинами: складывать, вычитать, умножать, делить и т. п. Особенно важным для дальнейшего является случай независимых компонент вектора , на котором мы будем всякий раз останавливаться подробнее.

Распределение максимума двух случайных величин

Пусть — функция распределения вектора

Если вектор непрерывен и существует плотность распределения , то также непрерывна и, очевидно, ее плотность дается соотношением

Если дополнительно компоненты — независимы, то

а в случае непрерывности

Распределение минимума двух случайных величин

Пусть — функция распределения вектора .

Для последней вероятности получаем (рис. 5).

Действительно, из

следует

а из последнего легко получается (5).

Окончательно имеем

В случае непрерывности с плотностью получаем, что также непрерывна и

Если — независимы, то

и для непрерывных

Отметим важную особенность экспоненциального распределения — если , и они независимы, то

Действительно, (9) дает

Более того, как будет показано ниже, при достаточно широких предположениях относительно распределения независимых случайных величин , величина имеет распределение, близкое к экспоненциальному.

Сложение случайных величин. Свертка распределений

Пусть — функция распределения вектора . Для удобства изложения будем предполагать, что обладает обобщенной плотностью . Тогда получаем

(здесь — абсолютно непрерывная составляющая распределения дискретна, — абсолютно непрерывная составляющая, сосредоточенная на гладкой линии ).

В частности, если вектор непрерывен, то сумма также непрерывна; соотношение (10) записывается в виде

и плотность распределения ц дается соотношением

Если дискретна с рядом распределения , то сумма также дискретна и

— ее ряд распределения.

Рассмотрим теперь процедуру сложения независимых случайных величин. В этом случае соотношения (10) и (12) приобретают более компактный и завершенный вид.

Пусть ) — плотность распределения случайной величины — плотность распределения случайной величины

В случае независимости £i и £2 получаем

и соотношение (10) можно записать в виде

Обобщенная плотность суммы независимых случайных величин дается в этом случае соотношением

Отметим следующие, важные для приложений, частные случаи соотношений (15) и (16):

непрерывны и независимы, тогда сумма непрерывна и

2. дискретны и независимы, тогда сумма дискретна и

3. непрерывна, любая

4. дискретна, любая

5. непрерывна, дискретна, в этом случае сумма непрерывна и

Закон распределения суммы независимых случайных величин называется сверткой законов распределения слагаемых.

Например, соотношение (17) дает формулу свертки плотностей, (18) — свертки рядов распределения, (20) — свертки плотности с рядом распределения. Обычно свертка обозначается знаком «*». Это обозначение дает возможность символически представить функцию распределения суммы независимых слагаемых в виде

плотность распределения в виде

и т. д.

Как правило, при сложении независимых случайных величин характер распределения меняется, даже если складываются одинаково распределенные случайные величины.

Пример:

— независимые, равномерные на [0, 1] случайные величины. В соответствии с (15)

Таким образом, свертка двух равномерных на [0, 1] случайных величин есть «треугольная» случайная величина (рис. 6).

Пример:

Тогда

Свертка двух экспоненциальных не является экспоненциальной случайной величиной (рис. 7).

Она является представителем семейства гамма-законов распределения (см. ниже).

Устойчивые относительно свертки распределения играют важную роль в теории и приложениях. Не касаясь вопроса о том, каким условиям должны удовлетворять и как описываются распределения, инвариантные относительно свертки, отметим инвариантность следующих часто встречающихся в приложениях распределений: нормального, пуассонова, гамма-распределения, распределения Коши и распределения Бернулли.

Сформулируем и докажем соответствующие утверждения для нормального распределения, распределения Пуассона и для гамма-распределения.

Теорема:

Если

◄ По формуле (15) имеем

Элементарный (но несколько утомительный) подсчет дает

Поэтому

Отметим, что нормальное распределение в некотором смысле «устойчиво» относительно свертки, а именно, если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то оказывается слагаемые обязательно нормальны!

Теорема:

Если

Гамма-плотности

Будем говорить, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами , если ее плотность распределения задается соотношением

Обозначение:

Здесь -гамма-функция Эйлера

Отметим следующие, хорошо известные свойства гамма-функции:

— натуральное.

В справедливости этих свойств легко убедиться, интегрируя (22) по частям.

Определение плотности (22) корректно, так как для любых и выполнено условие нормировки

Имеет место теорема.

Теорема:

Если

В последнем интеграле положим . Тогда

откуда

Поскольку — плотность, то для нее должно быть выполнено условие нормировки, поэтому

где

Отсюда окончательно заключаем, что

Другие действия над случайными величинами

Задача нахождения закона распределения результата других арифметических действий над случайными величинами решается аналогично. Отметим здесь основные соотношения для случая независимых операндов, следующие из (*)-(**).

Вычитание

(см. соотношения (13)—(14)).

Обобщенная плотность разности при этом имеет вид

Частные случаи (24), соответственно, для непрерывных

и дискретных случайных величин

Аналоги соотношений (19), (20) и (21) очевидны.

Умножение

Выражение для обобщенной плотности произведения

Аналоги соотношений (17)-(21) очевидны.

Деление

Будем дополнительно предполагать, что

Аналогично для у > 0 имеем

Для дальнейшего нам понадобится выражение функции и плотности распределения частного в предположении, что знаменатель неотрицателен:

Учитывая вид области интегрирования (рис. 8, , удобно в (27) расставить пределы интегрирования так, чтобы внешне интегрирование велось по , а внутренне

Обобщенная плотность при этом дается равенством

Функции нескольких переменных

В этом разделе мы остановимся на некоторых специфических функциях п переменных и их законах распределения, часто встречающихся в приложениях и играющих важную роль в статистике.

Экстремумы и порядковые статистики

Распределение максимума n случайных величин

Очевидное обобщение рассуждений предыдущего пункта (см. (1)) дает: если — функция распределения то

Если вектор непрерывен с плотностью , то плотность дается соотношением

В случае независимости компонент вектора в совокупности

а в предположении непрерывности

Распределение минимума n случайных величин

Обобщая соотношение (8) дословным повторением выкладок, получаем для вектора с независимыми в совокупности компонентами

Для непрерывных также непрерывна и

Заметим, что здесь, как и для случая двухкомпонентного вектора , из условия экспоненциальное компонент следует экспоненциальное минимума.

Если n достаточно велико, то оказывается, что этот результат — экспоненциальное минимума — слабо зависит от характера распределения компонент. Точнее, имеет место следующее утверждение.

Теорема:

Пусть случайные величины — независимы в совокупности, непрерывны на и одинаково распределены. Тогда при распределение минимума близко к экспоненциальному:

Здесь

◄ Соотношение (3) в условиях теоремы дает

В силу непрерывности , в окрестности нуля (точнее, в правой полуокрестности) выполняется равенство

Из соотношения (*) ясно, что при т. е. вся информация о поведении минимума сосредоточена в окрестности нуля. Положим Тогда

Указанное обстоятельство является теоретическим осмыслением т. н. «принципа слабого звена», широко используемого в теории надежности — надежность агрегата, функционирование которого необходимо зависит от надежности большого количества составляющих, определяется надежностью самого ненадежного из них и описывается экспоненциальным распределением.

Распределение порядковых статистик

Пусть — случайный вектор с законом распределения . Вектор назовем вектором порядковых статистик, а его компоненты —
порядковыми статистиками, если Компоненты вектора расположены в порядке неубывания

Найдем закон распределения m-й компоненты в предположении независимости и одинаковой распределенности компонент Логику рассуждений рассмотрим на примере n = 3, m = 2.

Для того, чтобы вторая порядковая статистика приняла значение, меньшее у, нужно чтобы не менее двух из трех компонент вектора приняли значения, меньшие у. Это значит, что

Аналогично для произвольных m и n

Кратные свертки. Некоторые специальные распределения

Столь же очевидно обобщается на случай произвольного конечного числа слагаемых понятие свертки случайных величин

Общие формулы при этом уже достаточно громоздки и необозримы, если только сворачиваемые распределения не являются устойчивыми относительно свертки — в последнем случае ситуация в техническом плане не сложнее, чем в случае двух переменных.

Особо отметим, что для нормальных, независимых в совокупности случайных величин из свойств линейного преобразования и теоремы 1 следует, что, если т. е. линейная комби нация независимых нормальных случайных величин является нормальной случайной величиной.

Распределение — Пирсона

Пусть независимы в совокупности.

Распределение суммы квадратов п независимых нормальных с параметрами (0, 1) случайных величин называется —распределением Пирсона с n степенями свободы.

Читается — хи-квадрат. Обозначение: . Устойчивость -распределения относительно свертки усматривается непосредственно из определения

Для нахождения закона распределения случайной величины , заметим, что если

◄ Действительно,

откуда

В силу устойчивости гамма-распределения относительно свертки получаем

t-распределение Стьюдента

Пусть — независимые нормальные с параметрами (0, 1) случайные величины и пусть

Распределение случайной величины t называется распределением Стьюдента с n степенями свободы.

Обозначение: t = t[n].

Найдем выражение для закона распределения t[n]. Отметим, что числитель рассматриваемого отношения нормален с параметрами , а знаменатель неотрицателен и его распределение дается выражением

Из (7) заключаем, что

отсюда для плотности имеем

Поэтому для частного t[n], следуя (28), получаем

Делая в последнем интеграле замену

приходим к формуле

Заметим, что при — плотность распределения Коши.

Z -распределение Фишера

Пусть — независимые в совокупности нормальные с параметрами (0, 1) случайные величины. Положим

Величина Z называется случайной величиной Фишера-Снедекора. Обозначение Z = Z[n, m].

Закон распределения случайной величины Z найдем, используя (28) и (7). Имеем

Из соотношения (4) для линейного преобразования окончательно получаем

Многомерное нормальное распределение

Пусть — независимые в совокупности нормальные с параметрами (0, 1) случайные величины, — невырожденная матрица порядка — столбец. Рассмотрим случайный вектор , задаваемый соотношением

Отметим, что каждая компонента является линейной комбинацией нормальных с параметрами (О, 1) случайных величин

и, в силу сделанного выше замечания, является нормальной случайной величиной.

Найдем закон распределения вектора (13). Пусть — борелевское, тогда

Сделаем в последнем интеграле замену переменных, положив

В силу невырожденности А эта замена невырождена и ее якобиан равен Получим

поэтому для любого борелевского имеем

Положим тогда

Для закона распределения вектора получим

отсюда следует, что — непрерывный вектор, плотность которого дается равенством

т. е. полностью определяется матрицей К и вектором m.

Распределение (14)-(15) называется невырожденным нормальным п-мерным распределением с параметрами (К, m). Обозначение

Отметим, что здесь К — симметричная, положительно определенная матрица, , m — произвольный вектор из

Компоненты нормального случайного вектора — нормальные случайные величины. Однако нормальности компонент недостаточно для того, чтобы вектор был нормальным в смысле определения, данного выше.

Пример:

Пусть с равными вероятностями

◄ Компонента нормальна с параметрами (0, 1), что немедленно следует из выкладок

В то же время, совместное распределение сосредоточено на паре прямых , так что обобщенная плотность распределения этого вектора может быть представлена в виде

и не является плотностью совместного нормального распределения (15). ►

Отметим еще одно важное свойство компонент нормального вектора: они независимы тогда и только тогда, когда матрица К — диагонально.

◄ Действительно, если независимы и нормальны , то для совместной плотности получаем

Легко убедиться в том, что плотность (17).имеет вид (15) с

Обратно, пусть Тогда и плотность (15) принимает вид

т. е. представима в виде произведения нормальных плотностей, каждая из которых является индивидуальной плотностью распределения г-й компоненты, что и означает независимость компонент . ►

Пусть теперь — независимые, А — m х n-матрица, ранг которой rang А = r. Можно показать, что вектор имеет r-мерное нормальное распределение, которое в случае r = m является невырожденным в с параметрами , в случае же r < m это распределение вырождено в и сосредоточено на некотором подпространстве L, dim L = r.

Независимость функций независимых аргументов

В заключение этой главы рассмотрим одно важное свойство функций случайных аргументов.

Пусть — случайные векторы, законы распределения которых даются, соответственно, функциями — борелевское из , В — борелевское из . Пусть — борелевские функции в соответственно. Тогда имеет место

Теорема:

Если векторы независимы, то случайные величины — независимы.

◄ Из независимости векторов получаем

Рассмотрим

В силу соотношения (18) последняя вероятность представима в виде

откуда и следует искомое. ►

Функция распределения случайной величины

Функцией распределения случайной величины называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньше , т.е.

Геометрически есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно — дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства функции распределения

1) Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

2) — неубывающая функция, т.е. , если .

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале: .

4) Вероятность того, что непрерывная, случайная величина примет одно определённое значение, равна нулю. Тем самым имеет смысл рассматривать вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал, пусть даже сколько угодно малый.

5) Если возможное значение случайной величины принадлежит интервалу ,то: , при ; , при .

6) Если возможное значение непрерывной случайной величины расположены на всей оси, то .

График функции распределения

Функция распределения случайной величины

График функции распределения непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу изображен на рис. 13.

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. На рис. 14 изображен график функции распределения дискретной случайной величины заданной таблицей распределения

Пример:

Построить график функции

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

Решение:

График функции изображен на рис. 15. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале (2, 3), равна приращению функции распределения на этом интервале: .

На этой странице размещён краткий курс лекций по теории вероятностей и математической статистике с теорией, формулами и примерами решения задач:

Теория вероятностей краткий курс для школьников и студентов

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение заданий и задач по предметам:

Теория вероятностей
Математическая статистика

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

Случайные события и их вероятности
Случайные величины
Числовые характеристики случайных величин
Законы больших чисел
Статистические оценки
Статистическая проверка гипотез
Статистическое исследование зависимостей
Теории игр
Вероятность события
Теорема умножения вероятностей
Формула полной вероятности
Теорема о повторении опытов
Нормальный закон распределения
Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных
Системы случайных величин
Нормальный закон распределения для системы случайных величин
Вероятностное пространство
Классическое определение вероятности
Геометрическая вероятность
Условная вероятность
Схема Бернулли
Многомерные случайные величины
Предельные теоремы теории вероятностей
Оценки неизвестных параметров
Генеральная совокупность

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	Математическое ожидание максимума независимых с.в. 17.02.2012, 23:27
22/12/06 58	Здравствуйте, в ходе решения более крупной задачи возникла необходимость вычислить математические ожидания максимума независимых случайных величин, т.е. $X_1,...,X_n$ - независимые случайные величины, требуется найти $M(max{X_1,...,X_n})$ для основных законов распределения (Бернули, биномиального, Пуассона, геометрического, нормального, показательного и равномерного). Очень прошу вас помочь советом или ссылкой, где это можно узнать. Наверняка задача уже была решена миллион раз, однако я поискала в интернете и ничего подходящего не нашла, а попытки самостоятельно решить задачу зашли в тупик, поскольку предметом долго не занималась и навыки постепенно покинули мое слабоумное существо. Заранее спасибо, Марина.

Хорхе

Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в.

17.02.2012, 23:37

Заслуженный участник

14/02/07
2648

Довольно легко вывести формулу для функции распределения максимума независимых, если есть функция распределения одной величины. Для Пуассона и для биномиального ничего хорошего, чувствую, не выйдет, а для остальных математическое ожидание должно легко считаться.

Александрович	Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в. 18.02.2012, 04:17
21/01/09 3914 Дивногорск	Очень прошу вас помочь советом или ссылкой, где это можно узнать. Е.С.Венцель, Л.А.Овчаров «Теория вероятностей и её инженерные приложения» 2000г. Закон распределения максимальной из n независимых случайных величин. стр. 377.

marishka82	Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в. 18.02.2012, 09:44
22/12/06 58	Спасибо, мальчики, за ответы. Т.е. все таки необходимо в явном виде найти функцию распределения максимума? Какими-то косвенными способами найти математическое ожидание не получится?

Александрович	Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в. 18.02.2012, 09:50
21/01/09 3914 Дивногорск	Т.е. все таки необходимо в явном виде найти функцию распределения максимума? А в чём проблема, если функция распределения случайной величины вам известна?

—mS—

Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в.

18.02.2012, 16:22

Заслуженный участник

23/11/06
4171

Какими-то косвенными способами найти математическое ожидание не получится?

Нет, не получится.

А в чём проблема, если функция распределения случайной величины вам известна?

Думаю, никто не будет против, если Вы покажете здесь отсутствие проблем при нахождении, например, математического ожидания максимума $n$ независимых случайных величин с распределением Пуассона (даже одним и тем же). Функция распределения, полагаю, известна.

Александрович	Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в. 18.02.2012, 17:00
21/01/09 3914 Дивногорск	Думаю, никто не будет против, если Вы покажете здесь отсутствие проблем при нахождении, например, математического ожидания максимума независимых случайных величин с распределением Пуассона (даже одним и тем же). Функция распределения, полагаю, известна. Укажите параметр распределения и значение .

ИСН

Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в.

18.02.2012, 17:25

Заслуженный участник

18/05/06
13417
с Территории

Александрович	Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в. 18.02.2012, 17:42
21/01/09 3914 Дивногорск

Хорхе

Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в.

18.02.2012, 17:49

Заслуженный участник

14/02/07
2648

(Оффтоп)

— Штурман, приборы!
— 16!
— Что 16?
— А что приборы?

Расскажите же нам, как Вы это нашли.

marishka82	Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в. 18.02.2012, 20:52
22/12/06 58	Хорхе писал(а): Расскажите же нам, как Вы это нашли. Возможно воспользовались одним из замечательных продуктов WolframResearch? Но меня к сожалению мало интересуют числовые значения математических ожиданий, мне нужно найти аналитическое выражение для нескольких классов распределений. Александрович, а что в той книжке, которую вы рекомендовали есть? Там объясняется как найти функцию распределия max{X1,…,Xn}?

—mS—

Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в.

18.02.2012, 20:58

Заслуженный участник

23/11/06
4171

А в чём проблема искать функцию распределения максимума? Если величины независимы и имеют одно и то же распределение с функцией распределения $F(x)$ , то

Да и всё равно не 5,6.

ИСН

Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в.

18.02.2012, 21:20

Заслуженный участник

18/05/06
13417
с Территории

Проблема в том, что функция невыразима. А численно-то и я умею.

PAV

Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в.

18.02.2012, 21:29

Супермодератор

29/07/05
8248
Москва

marishka82

фамильярный тон на форуме не поощряется.

По сути вопроса: Вам может помочь книга В.Б. Невзорова «Рекорды. Математическая теория». Там написано и то, как считать распределения порядковых статистик (частным случаем которых является максимум), и приведены явные формулы для моментов.

Однако красивых формул для них может не оказаться. В частности, в соответствующей главе утверждается, что для случая нормального распределения моменты представляются через элементарные функции только для $nle 7$ . Правда, здесь речь идет, видимо, о произвольных

моментах для различных

порядковых статистик. В частном случае первого момента и максимума, возможно, дело обстоит чуть лучше. В качестве примера в книге приведено явное значение математического ожидания максимума из пяти величин, имеющих стандартное нормальное распределение:
$Emax{X_1,X_2,X_3,X_4,X_5}=frac{5}{4pi^{1/2}}+frac{15arcsin(1/3)}{2pi^{3/2}}$

ИСН

Re: Математическое ожидание максимума независимых с.в.

18.02.2012, 21:35

Заслуженный участник

18/05/06
13417
с Территории

представляются через элементарные функции только для $nle 7$

Ушёл думать, как такое вообще может быть. :shock:

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Рассматривается
n статически независимых с.в. X_i
(i
= 1, 2, …, n)
и имеется вероятность того, что ни одна
из них не превысит х.
Вероятность непревышения значения х
величиной X_iProb(X_i<x)=P_i(x),

где P_i(x)
– интегральный закон распределения
X_i.

Вероятность
непревышения х
ни одной из величин X_i:

(61.4),

где P_n(x)
– интегральный закон распределения
максимумов совокупности n
с.в. X_i.

Тогда
плотность распределения вероятностей:

(62.4).

Для 3-х с.в.

Если
закон распределения всех с.в. X_i
одинаков, то

(63.4),

где P_n(x)
и p_n(x)
– интегральная функция распределения
и плотность распределения максимумов,
получаемых при n
реализациях одной и той же с.в. X_i.

М.о. и дисперсия
максимума в n
опытах:

(64.4),

(65.4).

Распределение
Пуассона

Это дискретное
распределение описывает число событий,
происходящих в одинаковых промежутках
времени при условии, что события
происходят независимо одно от другого
с постоянной интенсивностью. Вероятность
того, что с.в. Х
примет значение, равное m
(m
– целое число):

(65.4)

Распределение
зависит от одного параметра ,
называемого пуассоновским потоком.

Существуют некоторые
недостатки при описании реальных с.в.:
так в некоторых законах с.в. может
принимать отрицательные значения
(нормальный закон), хотя этими законами
описываются изначально только
положительные величины (предел текучести
стали и т.д.). Кроме того, теоретические
распределения допускают, хотя и с малой
вероятностью, возможность сколь угодно
больших отклонений с.в. от среднего
значения.

Все теоретические
закономерности и законы теории
вероятностей относятся к идеальным
схемам. Применяемые обычно теоретические
законы распределения относятся к
ситуациям с неограниченным нарастанием
числа случайных факторов или с
неограниченным повторением некоторого
явления и имеют характер предельных
закономерностей, к которым приближаются
реальные распределения.

Кроме
перечисленныхиспользуются и другие
распределения – Пирсона 3-го рода, Рэлея,
Максвелла, Пирсона 2-го рода, ²
(хи-квадрат), Стьюдента, Фишера и т.д.

5. Случайные функции

5.1 Характеристики случайных функций

Случайная
функция
– функция, которая в результате опыта
может принять тот или иной неизвестный
заранее конкретный вид. Обычно аргументом
случайной функции (с.ф.) является время,
тогда с.ф. называют случайным
процессом
(с.п.).

С.ф. непрерывно
изменяющегося аргумента t
называется такая с.в., распределение
которой зависит не только от аргумента
t=t₁,
но и от того, какие частные значения
принимала эта величина при других
значениях данного аргумента t=t₂.
Эти с.в. корреляционно связаны между
собой и тем больше, чем ближе одни к
другим значения аргументов. В пределе
при интервале между двумя значениями
аргумента, стремящемся к нулю, коэффициент
корреляции равен единице:

т.е.
t₁
и t₁+t₁
при t₁0
связаны линейной зависимостью.

С.ф.
принимает в результате одного опыта
бесчисленное (в общем случае несчетное)
множество значений – по одному для
каждого значения аргумента или для
каждой совокупности значений аргументов.
Эта функция имеет одно вполне определенное
значение для каждого момента времени.
Результат измерения непрерывно
изменяющейся величины является такой
с.в., которая в каждом данном опыте
представляет собой определенную функцию
времени.

С.ф. можно также
рассматривать как бесконечную совокупность
с.в., зависящую от одного или нескольких
непрерывно изменяющихся параметров t.
Каждому данному значению параметра t
соответствует одна с.в X_t.
Вместе все с.в. X_t
определяют с.ф. X(t).
Эти с.в. корреляционно связаны между
собой и тем сильнее, чем ближе друг к
другу.

Элементарная
с.ф. – это
произведение обычной с.в. Х
на некоторую неслучайную функцию (t):
X(t)=X(t),
т.е. такая с.ф., у которой случайным
является не вид, а только ее масштаб.

С.ф.
— имеет м.о. равное нулю.p[x(t₁)]
– плотность распределения с.в. Х
(значения с.ф. X(t)),
взятой при произвольном значении t₁
аргумента t.

Реализация с.ф.
X(t)
– описывается уравнением x=f₁(t)
при t=t₁
и уравнением x=f₂(t)
при t=t₂.

Вообще функции
x=f₁(t)
и
x=f₂(t)
– различные функции. Но эти функции
тождественны и линейны тем более, чем
более (t₁t₂)
t₁
ближе к t₂.

Одномерная плотность
вероятности с.ф. p(x,t)
– зависит от х
и от параметра t.
Двумерная плотность вероятности
p(x₁,x₂;t₁,t₂)
– совместный закон распределения
значений X(t₁)
и X(t₂)
с. ф. X(t)
при двух произвольных значениях t
и t
аргумента t.

.
(66.5)

В общем случае
функция X(t)
характеризуется большим числом n-мерных
законов распределения
.

М.о. с.ф. X(t)
— неслучайная функция
,
которая при каждом значении аргументаt
равна м.о. ординаты с.ф. при этом аргументе
t.

— функция, зависящая
от x
и t.

Аналогично и
дисперсия — неслучайная функция.

Степень
зависимости с.в. для различных значений
аргумента характеризуется автокорреляционной
функцией.

Автокорреляционная
функция
с.ф. X(t)
— неслучайная функция двух аргументов
K_x(t_i,t_j),
которая при каждой паре значений t_i,
t_j
равна корреляционному моменту
соответствующих ординат с.ф. (при i=j
корреляционная функция (к.ф.) обращается
в дисперсию с.ф.);

(67.5)=(34.3),

где
— совместная плотность распределения
двух с.в. (значений с.ф.), взятых при двух
произвольных значенияхt₁
и t₂
аргумента t.
При t₁=t₂=t
получаем дисперсию D(t).

Автокорреляционная
функция — совокупность м.о. произведений
отклонений двух ординат с.ф.
,
взятых при аргументахt₁
и t₂,
от ординат неслучайной функции м.о.
,
взятых при тех же аргументах.

Автокорреляционная
функция характеризует степень изменчивости
с.ф. при изменении аргумента. На рис.
видно, что зависимость между значениями
с.ф., соответствующим двум данным
значениям аргумента t
— слабее в первом случае.

Рис.
Корреляционно связанные случайные
функции

Если две с.ф. X(t)
и Y(t),
образующие систему не являются
независимыми, то тождественно не равна
нулю их взаимная корреляционная функция:

(68.5),

где
— совместная плотность распределения
двух с.в. (значений двух с.ф.X(t)
и Y(t)),
взятых при двух произвольных аргументах
(t₁
— аргумент функции X(t),
t₂
— аргумент функции Y(t)).

Если X(t)
и Y(t)
независимы, то K_XY(t₁,t₂)=0.
Система из n
с.ф. X₁(t),
X₂(t),…,X_n(t)
характеризуется n
м.о.
,n
автокорреляционными функциями
и ещеn(n-1)/2
корреляционными функциями
.

Взаимная
корреляционная функция (характеризует
связь между двумя с.ф., т.е. стохастическую
зависимость)
двух с.ф.X(t)
и Y(t)
— неслучайная функция двух аргументов
t_i
и t_j,
которая при каждой паре значений t_i,
t_j
равна корреляционному моменту
соответствующих сечений с.ф. Она
устанавливает связь между двумя
значениями двух функций (значения —
с.в.), при двух аргументах t₁
и t₂.

Особое значение
имеют стационарные
случайные
функции,
вероятностные характеристики которых
не меняются при любом сдвиге аргумента.
М.о. стационарной с.ф. постоянно (т.е. не
является функцией), а корреляционная
функция зависит лишь от разности значений
аргументов t_i
и t_j.

(69.5)

Это
четная функция (симметрично OY).

Из (69.5)
.

При большом значении
интервала времени =t₂—t₁
отклонение ординаты с.ф. от ее м.о. в
момент времени t₂
становится практически независимым от
значения этого отклонения в момент
времени t₁.
В этом случае функция K_X(),
дающая значение корреляционного момента
между X(t₁)
и
X(t₂),
при 
стремится к нулю.

Многие стационарные
с.ф. обладают эргодическим
свойством, которое заключается в том,
что при неограниченно возрастающем
интервале наблюдения среднее наблюденное
значение стационарной с.ф. с вероятностью,
равной 1, будет неограниченно приближаться
к ее м.о. Наблюдение стационарной с.ф.
при разных значениях t
на достаточно большом интервале в одном
опыте равноценно наблюдению ее значений
при одном и том же значении t
в ряде опытов.

Иногда
требуется определить характеристики
преобразованных с.ф. по характеристикам
исходных с.ф. Так если

(70.5),

то
т.е. м.о. интеграла (производной) от с.ф.
равно интегралу (производной) от м.о.
(y(t)
— скорость изменения с.ф. X(t),
— скорость изменения м.о.).

При интегрировании
или дифференцировании с.ф. получаем
также с.ф. Если X(t)
распределена нормально, то Z(t)
и Y(t)
распределены тоже нормально. Если X(t)
– стационарная с.ф., то Z(t)
уже не стационарная с.ф., т.к.
зависит отt.

Примеры
корреляционных функций.

1)
(из (2) при);
2)
;

3)
;
4);

5)(из (3) при);
6)
(из (4) при).

На
графиках 
= 1, 
= 5, 
= 1.


— характеризует
быстроту убывания корреляционной связи
между ординатами с.ф. при увеличении
разности аргументов этих ординат .

 — характеризует
«степень нерегулярности процесса».
При малом 
ординаты процесса оказываются сильно
коррелированными и реализация процесса
похожа на синусоиду; при большом 
периодичность с частотой 
становится незаметной.

Корреляционные
функции 4 и 6 – не имеют производных при
=0.
Соответствующие спектральные плотности:

2) ;

3) ;

4) ;

6) .

Чтобы
найти корреляционную функцию интеграла
(производной) от с.ф., нужно дважды
проинтегрировать (продифференцировать)
корреляционную функцию исходной с.ф.
сначала по одному, затем по другому
аргументу:

(71.5).

Формула (71) для
стационарной функции примет вид:

Корреляционная
функция с.ф. и ее производной
.
Для дифференцируемого стационарного
процесса ордината с.ф. и ее производной,
взятая в тот же момент времени являются
некоррелированными с.в. (а для нормального
процесса и независимыми).

При умножении с.ф.
на детерминированную получаем с.ф.
Z(t)=a(t)X(t),
корреляционная функция которой равна

K_Z(t₁,t₂)=a(t₁)a(t₂)
K_X(t₁,t₂)
(72.5),

где
a(t)
— детерминированная функция.

Сумма двух с.ф.
является тоже с.ф. Z(t)=X(t)+Y(t)
и ее корреляционная функция при наличии
корреляционной связи между X(t)
и Y(t):

K_Z(t₁,t₂)=K_X(t₁,t₂)+
K_Y(t₁,t₂)+2K_XY(t₁,t₂),
(73.5)

где
K_XY(t₁,t₂)
— см. (68.5) — взаимная корреляционная
функция двух зависимых с.ф. X(t)
и
Y(t).

Если X(t)
и Y(t)
независимы, то K_XY(t₁,t₂)=0.
М.о. с.ф. Z(t):

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание:

Числовые характеристики случайных величин:

Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.

Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.

Математическое ожидание случайной величины

Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С. (5.3)
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = С·M(X). (5.4)
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е
Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X)·M(Y). (5.6)
Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).

Дисперсия случайной величины

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:

Для непрерывной случайной величины: На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: Для непрерывной случайной величины:

Рассмотрим свойства дисперсии.

Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

Пример №1

Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства дисперсии, находим

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии:

Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.

Мода и медиана. Квантили

Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.

Пример №2

Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности

Решение:

Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия или откуда

Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.

Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

Пример №3

По данным примера 5.3 найти квантиль

Решение:

Находим функцию распределения

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.

Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: Для непрерывной случайной величины:

Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

Для непрерывной случайной величины: Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожиданиепри k = 2 второй центральный момент – дисперсия

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).

Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число (Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Числовые характеристики независимых испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (т.е. повторные независимые испытания). В этом случае математическое ожидание числа появлений события А в n испытаниях находится по формуле M(X) = np, (5.30) а дисперсия по формуле D(X) = npq. (5.31)

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое n взаимно независимых случайных величин через

Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии D каждой из величин:
Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин:

Пример:

По данному распределению выборки (табл. 2.1) найти эмпирическую функцию распределения.

Решение. Определяем объем выборки:
Определяем относительные частоты вариант (табл. 2.2):

Так как значение есть сумма относительных частот вариант попадающих в интервал запишем эмпирическую функцию распределения:

График примет вид:

Нормальный закон распределения
Основные законы распределения вероятностей
Асимптотика схемы независимых испытаний
Функции случайных величин
Формула полной вероятности
Повторные независимые испытания
Простейший (пуассоновский) поток событий
Случайные величины

Источник

Аннотация: Цель работы: практически освоить метод максимального правдоподобия для точечной оценки неизвестных параметров заданного вероятностного распределения случайной величины. Среда программирования — MATLAB.

Теоретическая часть

Метод максимального или наибольшего правдоподобия предложен Р. Фишером [6, 13]. С помощью этого метода производится точечная оценка неизвестных параметров априорно известного закона распределения случайной величины.

Рассмотрим сначала суть метода при оценке параметров дискретного распределения случайной величины [6].

Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина примет значение $x_{i}mbox{ }(i=1,2,...,n)$ , через .

Определение. Функцией правдоподобия случайной дискретной величины называют функцию аргумента theta :

L(x_1,x_2,...,x_n;theta)=p(x_1;theta)p(x_2;theta) ...,p(x_n;theta),

(
7.1)

где $x_{1},mbox{ }x_{2},...,x_{n}$ — фиксированные числа, полученные при измерении случайной величины .

В качестве точечной оценки параметра theta принимают такое его значение $theta^{*}=theta^{*}(x_1,x_2,...,x_n)$ , при котором функция правдоподобия достигает максимума. Оценку $theta^{*}$ называют оценкой максимального правдоподобия.

Для упрощения расчетов в рассмотрение вводится логарифм функции правдоподобия lnL , которую называют логарифмической функцией правдоподобия. Функции и lnL достигают максимума при одном и том же значении своего аргумента, поэтому вместо отыскания максимума функции ищут максимум функции lnL . Записывая необходимое условие экстремума функции правдоподобия в случае скалярного параметра, получаем уравнения правдоподобия

$frac{partial L(vec x_n;theta)}{partial theta}=0,$

(
7.2)

или

$frac{partialln L(vec x_n;theta)}{partial theta}=0,$

(
7.3)

где vec x_n — заданная выборка случайных величин.

Уравнение правдоподобия (7.3) с логарифмической функцией, как правило, более простое относительно функции правдоподобия (7.2).

Если распределение случайной величины зависит от вектора параметров , то уравнение (7.3) заменяется системой уравнений

$frac{partialln L(vec x_n;theta)}{partial theta_k}=0,qquad k=overline{1,r}.$

(
7.4)

Именно уравнения (7.3) и (7.4) принято называть уравнениями правдоподобия [13]. Во многих случаях решение системы (7.4), являющейся, как правило, нелинейной, приходится искать численными методами.

Рассмотрим применение метода максимального правдоподобия для оценки параметров непрерывного распределения случайных величин генеральной совокупности .

Пусть — непрерывная случайная величина, которая в результате испытаний приняла значения $x_{1},mbox{ }x_{2},...,x_{n}$ . Предполагается, что вид плотности распределения f(x) задан, но неизвестен параметр theta , которым определяется эта функция.

Определение. Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины называют функцию аргумента theta

L(x_1,x_2,...,x_n;theta)=f(x_1;theta)f(x_2;theta) ... f(x_n;theta),

(
7.5)

где $x_{1},mbox{ }x_{2},...,x_{n}$ — фиксированные числа.

Оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра theta распределения непрерывной случайной величины ищут так же, как в случае дискретной величины.

Замечание. Если плотность распределения непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами theta_1 и theta_2 , то функция правдоподобия является функцией двух независимых аргументов theta_1 и theta_2 :

L(x_1,x_2,...,x_n;theta_1,theta_2)=f(x_1;theta_1,theta_2)f(x_2;theta_1,theta_2) ... f(x_n;theta_1,theta_2),

(
7.6)

Как для дискретных распределений, так и для непрерывных точку максимума логарифмической функции распределения lnL аргумента theta можно искать через необходимое условие экстремума:

найти производную $frac{dln L}{d theta}$ ;
приравнять производную нулю и найти критическую точку — корень полученного уравнения (его называют уравнением правдоподобия);
найти вторую производную $frac{d^2ln L}{d theta^2}$ ; если вторая производная при $theta=theta^{*}$ отрицательна, то $theta^{*}$ – точка максимума [6].

Найденную точку максимума $theta^{*}$ принимают в качестве оценки максимального правдоподобия параметра theta .

Метод максимального правдоподобия имеет ряд достоинств: его оценки, вообще говоря, состоятельны (но они могут быть смещенными), распределены асимптотически нормально (при больших значениях приближенно нормально) и имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими асимптотически нормальными оценками; если для оцениваемого параметра theta существует эффективная оценка $theta^{*}$ , то уравнение правдоподобия имеет единственное решение $theta^{*}$ ; этот метод наиболее полно использует данные выборки об оцениваемом параметре, поэтому он особенно полезен в случае малых выборок. Недостаток метода состоит в том, что он часто требует сложных вычислений.

Практическая часть

1. Оценка параметра экспоненциального распределения

Рассматривается пример поиска методом максимального правдоподобия оценки параметра lambda экспоненциального распределения случайной величины, для которой функция плотности имеет вид

$f(x)=begin{cases} lambda e^{-lambda x},&xge0,\ 0,&x<0.\ end{cases}$

(
7.7)

К характеристикам экспоненциального распределения относятся математическое ожидание M[X] и дисперсия D[X] :

$M[X]=frac{1}{lambda},$

(
7.8)

$D[X]=frac{1}{lambda^2}.$

(
7.9)

Замечание. Во встроенных функциях MATLAB параметром экспоненциального распределения является математическое ожидание случайной величины.

Возможная программная реализация точечной оценки параметра экспоненциального распределения:

clear,clc,close all
%%% Проверка на закрытие диалоговых окон
try
   global h11
   close(h11);
end
try
   global n11
   
close(n11);
end
 
try
   global v11
   close(v11)
end
 
%% ВВОД ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
options.Resize = 'on';
options.WindowStyle = 'modal'; %%'normal';
options.Interpreter = 'tex';
P1 = inputdlg({'bfВвод параметра:......................................................'},...
sprintf('Теоретическая величина параметра'),1,{'1.23'},options);
%% ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К СТРОКОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
P2 = char(P1);
%% ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ЧИСЛУ С ДВОЙНОЙ ТОЧНОСТЬЮ
P0 = str2num(P2);
 
%% КОНТРОЛЬ ВВОДА ПАРАМЕТРА
if isempty(P0)
h11 = errordlg('Параметр должен быть действительным положительным числом!','Ошибка ввода');
    return
end
%% КОНТРОЛЬ ВВОДА ПАРАМЕТРА
global h11
if P0 <= 0 | ~isreal(P0) | ~isfinite(P0)
    h11 = errordlg('Параметр должен быть конечным действительным положительным числом!','Ошибка ввода');
    return
end
% ВВОД ЧИСЛА ПРОГОНОВ ПРОГРАММЫ
n1 = inputdlg({'bfВвод числа прогонов программы..........................'},...
    'Число прогонов программы',1,{'10'}, options);
 
% ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ЧИСЛОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
n = str2num(char(n1));

%% Контроль ввода цифр
if isempty(n)
    global n11
n11 = errordlg('Число прогонов программы должно быть целым положительным числом!', 'Ошибка ввода');    
    return
end
if ~isreal(n) | ~isfinite(n)
global n11

n11 = errordlg('Число прогонов программы должно быть целым положительным числом!', 'Ошибка ввода');   
    return
end
%% Контроль целого положительного числа циклов
if n <= 0 | n ~= round(n)
global n11
n11 = errordlg('Число прогонов программы должно быть целым положительным числом!', 'Ошибка ввода');
return
end
 
% ВВОД ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
v1 = inputdlg({'bfВвод числа измерений случайной величины...................................'},...
    'Число измерений случайной величины',1,{'1234'}, options);
 
% ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ЧИСЛОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
v = str2num(char(v1));
if isempty(v)
    global v11
v11 = errordlg('Число измерений должно быть положительным целым числом!','Ошибка ввода');   
    return
end
if ~isreal(v) | ~isfinite(v)
  global v11
v11 = errordlg('Число измерений должно быть положительным целым числом!','Ошибка ввода');   
    return
end
% КОНТРОЛЬ ЦЕЛОГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ 
% СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
if v <= 0 | v ~= round(v)
    global v11
v11 = errordlg('Число измерений должно быть положительным целым числом!','Ошибка ввода');
return
        end
syms m
k = 0;
%% ЦИКЛ ЗАДАННОГО ЧИСЛА ПРОГОНОВ ПРОГРАММЫ
for I = 1:n
    k=k+1;
%% ФОРМИРОВАНИЕ ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
t = exprnd(1/P0,v,1);
%% ФОРМИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ МАКСИМАЛЬНОГО 
%% ПРАВДОПОДОБИЯ
L = m^(length(t))*exp(-m*sum(t));
%% ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ МАКСИМАЛЬНОГО 
%% ПРАВДОПОДОБИЯ
Lg = log(L);

%% ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
dLg = diff(Lg,m);

%% ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИМВОЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ К СТРОКОВОЙ 
dLg = char(dLg);
%% РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОЦЕНИВАЕМОГО 
%% ПАРАМЕТРА
as1(k) = double(solve(dLg));
%% УСРЕДНЕНИЕ ОЦЕНИВАЕМОГО ПАРАМЕТРА
as(k) = mean(as1);
end
%% ОКОНЧАНИЕ ЦИКЛА ЗАДАННОГО ЧИСЛА ПРОГОНОВ ПРОГРАММЫ
mcp = mean(as);
%% ВЫВОД РЕЗУЛЬТАТОВ В КОМАНДНОЕ ОКНО
fprintf('nt%s%gn t%s%gn','Теоретический параметр: ',P0,...
'Оценка параметра: ', mcp)
fprintf('tОтносительная погрешность: %g%sn',abs(P0-mcp)/P0*100,'%')
 
%% ГРАФИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
figure(1)
%% set(gcf,'position',[a(3)/90,a(3)/20,a(3)/2.1,a(4)/2])
plot(1:n,as1,'r:','linew',2),grid off,hold on,
plot(1:n,as,'linew',2),
title(sprintf('%s%g','bfТеоретический параметрfontsize{12} lambdafontsize{10} = ',P0))
 xlabel('bf Количество циклов'),
ylabel('bf Эмпирический параметрfontsize{14} lambda'),
legend('bf Измеряемая величинаfontsize{12} lambda',...
    'bf Средняя величинаfontsize{12} lambda'),
set(gcf,'color','w')
 
%% ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭМПИРИЧЕСКОЙ 
%% ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ
t = 0 : 0.1 : 4;
y1 = P0*exp(-P0*t); %exppdf(t,1/P0); % встроенная функция
y2 = mcp*exp(-mcp*t); %exppdf(t,1/mcp);
 
figure(2)
plot(t, y1, 'r', 'linew',2),
hold on
plot(t, y2, 'bo', 'linew',2)
grid off
legend('bf Теоретическая функция плотности (PDF)',...
'bf Эмпирическая функция плотности'),
text(t(end)/3,2/3*max(max([y1,y2])),['bf',...
sprintf('Теоретический параметр: %gn Эмпирический параметр: %g',P0,mcp)])
xlabel('bf Случайная величина'),
ylabel('bf Функция плотности'),
set(gcf,'color','w')

Задание 1

Видоизмените программу так, чтобы параметры задачи вводились в одном диалоговом окне .
В соответствии с номером компьютера задайте следующие значения параметра:
№ 1: ; № 2: ; № 3: ; № 4: ; № 5: ;

№ 6: ; № 7: ; № 8: ; № 9: ; № 10: .
Рассчитайте оценку параметра при следующих объемах выборок (в соответствии с номером компьютера):
```
№ 1: n = 200; № 2: n = 300; № 3: n = 400; № 4: n = 500; № 5: n = 600;
№ 6: n = 700; № 7: n = 800; № 8: n = 900; № 9: n = 1000; № 10: n = 2000;
```
Число прогонов программы выберите по равномерному закону из следующих интервалов (в соответствии с номером компьютера):
```
№ 1: (10-19); № 2: (20-29); № 3: (30-39); № 4: (40-49); № 5 (50-59);
№ 6: (60-69); № 7: (70-79); № 8: (80-89); № 9: (90-99); № 10: (100-110).
```
Проверьте, доставляет ли максимум функции правдоподобия найденная оценка параметра экспоненциального распределения?
Напишите программу по оценке параметров нормального закона по методу максимального правдоподобия.