Как найти квадрат косинуса угла в треугольнике - Autoru.top

Теорема косинусов

Определение теоремы косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

a²=b²+c²-2*b*c*cos(A)

b²=a²+c²-2*a*c*cos(B)

c²=a²+b²-2*a*b*cos(C)

Расчёт стороны по теореме косинусов

Введите сторону

Введите угол

Формула расчёта стороны по теореме косинусов

Где a, b и c — стороны треугольника,
A — угол между сторонами b и c

Расчёт углов треугольника по теореме косинусов

Введите сторону a

a =

Введите сторону b

b =

Введите сторону c

c =

Формулы расчёта углов по теореме косинусов

Где a, b и c — стороны треугольника,
A, B и C — углы треугольника

Доказательство теоремы косинусов

Дано

Треугольник со сторонами a, b и c.

Доказать

a²=b²+c²-2*b*c*cos(α)

Доказательство

Из вершины B проведём высоту h

Сравним и упростим

Теорема доказана

Источник

Содержание:

Формула теоремы косинусов
Следствие из теоремы косинусов
Примеры решения задач

Формула теоремы косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $alpha$, противолежащим стороне $a$,
справедливо соотношение:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c cos alpha$

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов,
были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» древнегреческого математика Евклида
(ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков
стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог,
астроном и математик Региомонтан (1436 — 1476), назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени выдающегося средневекового астронома и
математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 — 929).

В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её
стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Следствие из теоремы косинусов

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1):

$$cos alpha=frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$$
Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$, то угол $alpha$ — острый;

Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$, то угол $alpha$ — прямой;

Если $b^{2}+c^{2}-a^{2} lt 0$, то угол $alpha$ — тупой.

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике $ABC AC=3, BC=5$ и $AB = 6 .$ Найти угол, противолежащий стороне $AB$

Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:

$$cos angle A C B=frac{A C^{2}+B C^{2}-A B^{2}}{2 cdot A C cdot B C}=frac{3^{2}+5^{2}-6^{2}}{2 cdot 3 cdot 5}=$$

$$=frac{9+25-36}{30}=-frac{2}{30}=-frac{1}{15}$$

Тогда

$$angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$$

Ответ. $angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Задан треугольник
$ABC$, длины сторон которого $AC=17, BC=14, angle ACB=60^{circ}$.
Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.

Решение. Согласно теореме косинусов

$$A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B=$$

$$=17^{2}+14^{2}-2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60^{circ}=289+196-238=24$$

Тогда

$$A B=sqrt{247}$$

Ответ. $A B=sqrt{247}$

Источник

Учебник

Геометрия, 9 класс

Теорема косинусов

Теорема косинусов

Если в треугольнике даны две стороны и угол между ними, то такой треугольник один, единственный. Т.е. любой другой треугольник с такими данными будет в точности равен ему, по 2-му признаку равенства треугольников. Ну, раз единственный и неповторимый, то его третья сторона должна быть однозначно определяема.

_____________________________________________________________________________________

Теорема косинусов    Квадрат стороны треугольника      равен     сумме квадратов двух

других сторон минус     удвоенное произведение этих сторон   на    косинус угла между ними.

$AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos ACB$

_____________________________________________________________________________________

Факты:

Теорема косинусов позволяет найти косинус любого угла по трем известным сторонам, а значит, и сам угол.
Если из трех сторон и одного угла известны три величины, то четвертое неизвестное можно всегда вычислить.
Теорема косинусов дает возможность вычислять медианы треугольника, применяя теорему к малым треугольникам.
Для прямоугольного треугольника теорема косинусов «упрощается» до теоремы Пифагора $AB^2=AC^2+BC^2$.

А если угол тупой? Что означает тригонометрия больших углов?

$cos130=-cos50$, $sin115=sin65$ , $tg135=-tg45$.

Связь тригонометрии тупых углов $90 < alpha < 180$ с тригонометрией острых выражается формулами:
$sinalpha=sinleft(180-alpharight)$ $cosalpha=-cosleft(180-alpharight)$ $tgalpha=-tgleft(180-alpharight)$ $ctgalpha=-ctgleft(180-alpharight)$

Если $b^2+c^2-a^2>0$, то $alpha$ — острый; если $b^2+c^2-a^2=0$, то $alpha$ — прямой; если $b^2+c^2-a^2<0$ , то угол $alpha$ — тупой.

Расчет треугольников по теореме косинусов

Задача 1: В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $7sqrt{3}$ см, сторона $BC$ равна $1$ см , угол $C$ = $150^o$ . Найти длину стороны $AB$.

Решение: Применим теорему косинусов $AB^2=left(7sqrt{3}right)^2+1-14sqrt{3}cos150$ .
Тупой угол в $150^o$ выразим через острый : $cos150=cosleft(180-30right)=-cos30=-frac{sqrt{3}}{2}$. $Rightarrow$
$AB^2=147+1-28sqrt{3}left(-frac{sqrt{3}}{2}right)$ , $AB^2= 148 + 21 = 169$ $Rightarrow$ Ответ: $AB = 13$

Задача 2: В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $17$ см, сторона $BC$ равна $14$ см , угол $ACB$ = $60^o$ .
Найти длину третьей стороны .

Решение: Из теоремы косинусов для угла $angle ACB$ : $Rightarrow$ $AB^2=17^2+14^2-2cdot17cdot14cdotcos60$ $Rightarrow$
квадрат стороны $AB^2= 289+196-238 = 247$ $Rightarrow$ Ответ: $AB = sqrt{247}$

Задача 3: В $bigtriangleup ABC$ известны $AC=3$ , $BC=5$ см, $AB=6$ .
Найти косинус угла $C$ и медиану $BM$ .

Решение: Из теоремы косинусов для стороны $AB$ выразим косинус требуемого угла $ACB$:
$cos ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}=frac{9+25-36}{30}=-frac{1}{15}$ . Отрицательное значение косинуса говорит о том, что это тупой угол $>90^o$
Для нахождения медианы $ВМ$ распишем еще раз теорему косинусов, но уже для треугольника $ВМС$ от угла $С$:
$BM^2=BC^2+MC^2-2cdot BCcdot MCcdotcos C$ учтем, что медиана делит сторону пополам $MC=frac{AC}{2}=1,5$
Подставим $BM^2=25+2,25-2cdot5cdot1.5cdotleft(-frac{1}{15}right)=27,25+1=28,25$, получим $BM=sqrt{28,25}=0,5sqrt{113}$
Ответ: $cos ACB=-frac{1}{15}$ , $BM=0,5sqrt{113}$ .

Задача 4: В прямоугольном $bigtriangleup ABC$ известны $AB=9$ , $BC=3$ см ; $M$ делит $AB$ : $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$.
Найти $CM$ .

Решение: По свойству аддитивности отрезка $AM + MB = 9$ , по условию $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$ $Rightarrow$ $AM = 3$ , $MB = 6$
Из прямоугольного $bigtriangleup ABC$ по определению косинуса угла: $cos B=frac{BC}{AB}=frac{3}{9}=frac{1}{3}$ .
Из $bigtriangleup CMB$ по теореме косинусов найдем $CM$ : $CM^2=CB^2+MB^2-2cdot CBcdot MBcdotcos B$ , подставим числа
$CM^2=3^2+6^2-2cdot3cdot6cdotfrac{1}{3}=33$ $Rightarrow$ требуемый отрезок $CM=sqrt{33}$ . Ответ: $CM=sqrt{33}$

Задача 5: Одна из сторон треугольника больше другой на $8$ см, а угол между ними $120^o$ .
Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны $28$ см .

Решение: Метод введения неизвестного: Обозначим одну из сторон треугольника как $x$ ,
выразим нужные величины через х и составим уравнение: величина другой стороны будет равна $x+8$ см.
По теореме косинусов: $28^2=x^2+left(x+8right)^2-2xcdotleft(x+8right)cdotcos120$ , где $cos120=cosleft(180-60right)=-cosleft(60right)=-0,5$,
Итак, составили уравнение $784=x^2+x^2+16x+64-2xleft(x+8right)left(-0,5right)$ $Rightarrow$ $3x^2+24x+720=0$
решим квадратное уравнение : один корень отрицательный — не нужен , другой $x=frac{-24+96}{6}=12$
Периметр $P=12+left(12+8right)+28=60$. Ответ: $60$.

Задача 6: В $bigtriangleup ABC$ известны стороны $a=15$ , $b=18$, $c=25$ . Найти: углы $α$, $β$, $γ$ (приближённо) .

Решение: Углы $α$ и $β$ найдём по теореме косинусов для соответствующих углов.
$cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , вычисляем $cosalpha=frac{18^2+25^2-15^2}{2cdot18cdot25}approx0,8$ , привлекаем калькулятор: $alphaapprox36,4^o$ ;
$cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , вычисляем $cosbeta=frac{15^2+25^2-18^2}{2cdot15cdot25}approx0,7$ , …. калькулятор: $betaapprox45,3^o$ .
Найдём $γ$ по теореме о 180 = сумма углов: $gamma=180-left(alpha+betaright)$ и $gammaapprox180-left(36,4+45,3right)approx98,3$ .
Ответ: $alphaapprox36,4^o$ , $betaapprox45,3^o$ , $gammaapprox98,3$

Задача 7: В $bigtriangleup ABC$ $AB=c=3$ м, $AC = b = 6$ м. , $alpha=60$ . Найти: сторону $a = BC$ , углы $β$, $γ$ .

Решение: Треугольник задан двумя сторонами и углом между ними, следовательно, он задан полностью.
По теореме косинусов $a^2=b^2+c^2-2bccdotcosalpha$ найдём сторону $a$:
$a^2=6^2+3^2-2cdot6cdot3cdotcos60=36+9-36cdotfrac{1}{2}=27$ $Rightarrow$ $a=3sqrt{3}$ .
По теореме косинусов найдем и угол $β$ : $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , $cosbeta=frac{27+9-36}{18sqrt{3}}=0$ $Rightarrow$ $β=90$ .
Значит $bigtriangleup ABC$ — прямоугольный , тогда угол $γ=90-α$ . Ответ: $a=3sqrt{3}$ , $β = 90$ , $γ=30$ .

Задача 8: Стороны треугольника равны $11$ , $12$ и $13$ . Найти биссектрису, проведенную к стороне, равной 12.

дано: $AB=11$ , $BC=12$ , $AC=13$ Найти биссектрису $AK=?$ .
Решение: Найдем косинус угла из теоремы косинусов : $AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos angle ACB$
Выразим косинус $cos angle ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}$ , $cos angle ACB=frac{13^2+12^2-11^2}{2cdot 13cdot 12}=frac{19}{39}$
Найдем отрезки $BK$ , $KC$ на которые биссектриса делит сторону … по теореме биссектрис $frac{BK}{KC}=frac{AB}{AC}$
Система уравнений: $frac{BK}{KC}=frac{11}{13}$ и аддитивность $BK+KC=BC=12$. Получаем $BK=5,5$ , $BK=6,5$
Теперь, для нахождения биссектрисы $AK$ еще раз используем теорему косинусов для треугольника $bigtriangleup AKC$
$AK^2=AC^2+KC^2-2cdot ACcdot KCcdotcos angle ACB$ подставим значения $AK^2=13^2+6,5^2-2cdot 13cdot 6,5cdot frac{11}{13}=frac{429}{4}$.
Ответ: $AK=frac{sqrt429}{2}$.

Задача 9: Стороны треугольника равны $11$ , $12$ и $13$ . Найти медиану, проведенную к большей стороне.

Решение: Воспользуемся формулой для длины медианы: $m_c=frac{1}{2}sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$
Подставим значения $m_c=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot12^2-13^2}=frac{1}{2}sqrt{242+288-169}=frac{1}{2}sqrt{361}=frac{19}{2}=9,5$ Ответ: $m_c=9,5$

Задача 10: В треугольнике $ABC$ $AB=11$ , $AC=23$ , медиана $AK=10$ . Найти $BC$ .

Решение: Воспользуемся формулой для длины медианы и подставим в неё данные из условия:
$AK=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot23^2-BC}$ $Rightarrow$ $100=frac{1}{4}left(242+1058-BC^2right)$ $Rightarrow$ $BC^2=900$ Ответ: $BC=30$ .

Упражнения:

Источник

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано:

∆ ABC.

Доказать:

$[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 cdot AB cdot AC cdot cos angle A]$

Доказательство:

I. Если треугольник ABC — остроугольный.

1) Опустим перпендикуляр CD на сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

$[C{D^2} = A{C^2} - A{D^2}.]$

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

следовательно,

$[C{D^2} = A{C^2} - {(AC cdot cos angle A)^2}.]$

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

По теореме Пифагора

$[B{C^2} = B{D^2} + C{D^2}]$

$[B{C^2} = {(AB - AC cdot cos angle A)^2} + ]$

$[ + A{C^2} - {(AC cdot cos angle A)^2}]$

Упрощаем

$[B{C^2} = A{B^2} - 2 cdot AB cdot AC cdot cos angle A + ]$

$[ + {(AC cdot cos angle A)^2} + A{C^2} - {(ACcdotcos angle A)^2}]$

Откуда

$[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 cdot AB cdot AC cdot cos angle A.]$

II. Если треугольник ABC — тупоугольный.

1) Опускаем перпендикуляр CD на прямую, содержащую сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

$[C{D^2} = A{C^2} - A{D^2}]$

По определению косинуса,

Так как углы A и CAD — смежные, то ∠CAD=180º-∠A. По формуле приведения

$[cos ({180^o} - angle A) = - cos angle A.]$

$[C{D^2} = A{C^2} - {( - ACcos angle A)^2}]$

$[C{D^2} = A{C^2} - {(ACcos angle A)^2}.]$

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

Дальнейшая часть доказательства полностью повторяет рассуждения пункта I.

III. Если треугольник ABC — прямоугольный, где ∠A=90º, получаем теорему Пифагора (cos90º=0).

Источник

Теорема косинусов (ЕГЭ 2022)

Что же такое теорема косинусов?

Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника. Она однажды тебя спасёт!

Дальше смотри рисунки и ты все поймешь. Один рисунок лучше тысячи слов 🙂

Разберёшься в ней – будь уверен, что любая задача с треугольником окажется тебе под силу!

Поехали!

Теорема косинусов — коротко о главном

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

( displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2abcos gamma )

Почему теорема косинусов это… теорема Пифагора

И причем тут теорема Пифагора? Сейчас поясню.

Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

( displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}})

А что будет, если угол ( displaystyle angle C), скажем, острый?

treugolnik s ostrym uglom dlya teoremy kosinusov

Вроде ясно, что величина ( displaystyle {{c}^{2}}) должна быть меньше, чем ( displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}). Но вот на сколько меньше?

А если угол ( displaystyle angle C) – тупой?

treugolnik s tupym uglom dlya teoremy kosinusov

Ну, тогда величина ( displaystyle {{c}^{2}}) больше, чем ( displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}})?

Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной ( displaystyle angle C)?

Обрати внимание на вот эту добавку к теорему Пифагора: ( displaystyle «-2abcos gamma »).

Вот она и «адаптирует» теорему Пифагора под острые и тупые углы треугольника. Сейчас мы докажем теорему косинусов и ты увидишь в теореме косинусов теорему Пифагора своими глазами.

Доказательство теоремы косинусов

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

( displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2abcos gamma )

Рассмотрим три случая:

угол С острый,
угол С тупой,
угол С прямой.

И убедимся, что для всех трех случаев теорема косинусов работает!

Угол С острый

( displaystyle angle C<{{90}^{circ }})

Проведем высоту ( displaystyle AH) из точки ( displaystyle A) и рассмотрим треугольник ( displaystyle AHB).

dokazatelstvo teoremy kosinusov treugolnik

Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

( displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}})

Что такое ( displaystyle AH) и ( displaystyle HB) ?

( displaystyle AH) можно выразить из треугольника (прямоугольного!) ( displaystyle AHC).

( displaystyle AH=bsin gamma )

А вот ( displaystyle BH=a-CH=a-bcos gamma ) (снова из ( displaystyle Delta AHC) ).

Подставляем:

Угол С тупой

( displaystyle angle C>{{90}^{circ }})

Начинаем точно также: опускаем высоту из точки ( displaystyle A).

И снова:

( displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}})

dokazatelstvo teoremy kosinusov treugolnik 2

А теперь, внимание, отличие!

( displaystyle AH=bsin left( {{180}^{circ }}-gamma right)) — это из ( displaystyle Delta AHC) , который теперь оказался снаружи ( displaystyle Delta ABC), а

( displaystyle BH=a+bcos left( {{180}^{circ }}-gamma right)).

Вспоминаем, что:

Угол С прямой

( displaystyle angle C={{90}^{circ }}).

Но тогда ( displaystyle cos gamma =0) и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

( displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}).

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле:

( displaystyle {cos gamma =frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}-{c}^{2}}}{2{a}{b}}})

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

И приходи к нам на бесплатные вебинары и занятия ( о них ниже).

Бонус: Вебинар на решение задач по теореме косинусов и синусов

Теорема косинусов (и синусов) — универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов.

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

Этот вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике (о нем ниже). Вы выучите сами теоремы и научитесь применять их при решении задач первой части.

Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж — c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Источник

Теорема косинусов

Определение теоремы косинусов

Расчёт стороны по теореме косинусов

Формула расчёта стороны по теореме косинусов

Расчёт углов треугольника по теореме косинусов

Формулы расчёта углов по теореме косинусов

Доказательство теоремы косинусов

Формула теоремы косинусов

Следствие из теоремы косинусов

Примеры решения задач

Геометрия, 9 класс

Теорема косинусов

Теорема косинусов (ЕГЭ 2022)

Теорема косинусов — коротко о главном

Почему теорема косинусов это… теорема Пифагора

Доказательство теоремы косинусов

Угол С острый

Угол С тупой

Угол С прямой

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Бонус: Вебинар на решение задач по теореме косинусов и синусов

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Не пропустите также: