Как найти крутящий момент в сечении

В этой статье начнем говорить о кручении. Это одна из базисных тем в сопромате, как и растяжение-сжатие. Знания этой темы помогут тебе при изучении более сложных тем курса «сопротивление материалов».

Кручение – это такой вид деформации, при котором в сечениях стержня возникают крутящие моменты (T).

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Детали, которые широко используются в машиностроении.

Что такое крутящий момент?

Крутящий момент – это внутренний силовой фактор, возникающий в сечениях стержней испытывающих деформацию кручения.

На практике же стержни не работают исключительно на кручение, они могут и растягиваться, и изгибаться. Но это уже более продвинутые темы – сложное сопротивление. В этом же разделе будем рассматривать чистое кручение.

В чем измеряется крутящий момент и как обозначается?

Крутящие моменты обозначаются буквой – T (сокращённое с английского: Torque – крутящий момент), однако, часто в другой литературе ты можешь встретить обозначение — М_кр. Ты можешь использовать любое обозначение, какое больше нравиться, либо которое использует твой преподаватель.

В задачах тебе будут даны крутящие моменты, скорее всего, в Н·м либо кН·м.

Построение эпюры крутящих моментов

В этой статье расскажу, как строить эпюры при кручении: крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания (углов поворотов).

На самом деле, многие рассматриваемые здесь принципы сильно похожи на те, что мы изучали ранее в уроке про построение эпюр при растяжении (сжатии). Здесь фактически будем делать всё то же самое, только оперировать другими обозначениями и названиями. После изучения того урока, с кручением у тебя точно не возникнет никаких трудностей.

В качестве примера, возьмём следующую расчётную схему:

Будем считать, что стержень изготовлен из стали (G = 8 · 10¹⁰ Па), а диаметры ступеней равны: d₁=150 мм, d₂=200 мм, d₃=300 мм.

Под действием внешних моментов (M), их еще часто называют вращающими или скручивающими моментами, в поперечных сечениях стержня возникают внутренние моменты – крутящие (T).

Правило знаков для крутящих моментов

Чтобы построить эпюру крутящих моментов, необходимо задаться каким-то правилом знаков для крутящих моментов. В этой статье я буду использовать следующее правило:

• Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то крутящий момент (T) – положительный.

• Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то крутящий момент (T) – отрицательный.

Можно учитывать знак крутящего момента ровно наоборот. Главное, придерживаться этого правила при расчёте всех участков и ориентироваться по полученным эпюрам: в какую сторону у тебя будут направлены внешние моменты, внутренние – крутящие моменты, куда будут поворачиваться сечения. Как видишь, знаки здесь нам нужны, чтобы задать определённые правила игры, а правило знаков – условное и не имеет физического смысла.

Расчёт крутящих моментов

Что же, давай, наконец, приступим к расчёту крутящих моментов. Пронумеруем расчётные участки:

Используя правило знаков, описанное выше, рассчитаем крутящие моменты на каждом участке:

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Построение эпюры касательных напряжений при кручении

Касательные напряжения по высоте круглого сечения, будут распределены следующим образом:

Как видишь, касательные напряжения будут максимальны на поверхности стержня, они нас и будут интересовать больше всего, т. к. по ним выполняются прочностные расчёты, для них и будем строить эпюру – максимальных касательных напряжений.

Расчёт максимальных касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении, можно определить по формуле:

где Wp — полярный момент сопротивлния, T — крутящий момент.

Полярный момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле:

Поэтому формулу для нахождения максимальных касательных напряжений для круглого поперечного сечения, можно записать в следующем виде:

По условию задачи диаметры участков известны. Осталось вычислить максимальные касательные напряжения на каждом участке:

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Построение эпюры углов закручивания (поворотов)

Под действием внешних – скручивающих моментов, поперечные сечения стержня будут поворачиваться на определенный угол (φ). В этом разделе будем учиться определять эти углы закручивания (поворотов) поперечных сечений и строить эпюру.

Обозначим точки в характерных сечениях стержня:

Расчёт начинаем от жёсткой заделки и сразу можем записать, что в точке A, угол поворота равен нулю, т. к. здесь заделка ограничивает любые повороты сечения:

Чтобы рассчитать поворот сечения B, нужно учесть поворот предыдущего сечения:

А также, угол закручивания участка между расчётными сечениями:

Угол закручивания участка можно посчитать по формуле:

где l – длина участка; I_p – полярный момент инерции; G – модуль сдвига.

G – модуль сдвига (модуль упругости 2 рода) – определяется при испытании образцов на кручение, тем самым зависит от материала образца.

Модуль сдвига (G) известен, по условию задачи.

Формула для определения полярного момента инерции для круглого сечения следующая:

Зная диаметры, сразу вычислим полярные моменты инерции для каждого участка:

Определим угол закручивания сечения B, с учётом вышеуказанных формул:

Также можно перевести это значение в привычные градусы:

Для двух других сечений расчёт производится аналогичным образом.

Угол поворота сечения С

Угол поворота сечения D

По рассчитанным значениям, построим эпюру углов закручивания поперечных сечений:

Таким образом, свободный торец стержня, повернётся на 0.58 градуса, относительно неподвижного сечения A.

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчёты на прочность в целом похожи на расчёты при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений расчёт ведётся по касательным напряжениям.

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Их назначение – передача крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет либо круглое сечение, либо кольцевое.

Условие прочности

За допустимое касательное напряжение [τ], часто в задачах по сопромату, принимают напряжение в два раза меньше, чем допустимое нормальное напряжение [σ]:

Максимальные касательные напряжения (τ_max) в сечениях можно найти по формуле:

где T – крутящий момент в сечении;

W_p – полярный момент сопротивления сечения.

Полярные моменты сопротивления можно посчитать этим формулам.

Содержание:

1. Пример решения задачи 78.
2. Вычисление моментов, передаваемых на вал. построение эпюр крутящих моментов для валов
3. Пример решения задачи 79.
4. Пример решения задачи 80.
5. Напряжения и перемещения при кручении брусьев круглого поперечного сечения
6. Пример решения задачи 81.
7. Пример решения задачи 82.
8. Пример решения задачи 83.
9. Пример решения задачи 84.
10. Пример решения задачи 85.
11. Пример решения задачи 86.
12. Пример решения задачи 87.
13. Пример решения задачи 88.
14. Пример решения задачи 89.
15. Пример решения задачи 90.
16. Статически неопределимые задачи кручения
17. Пример решения задачи 93.
18. Пример решения задачи 94.
19. Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения
20. Пример решения задачи 95.
21. Пример решения задачи 96.

Под кручением понимается такой вид иагруження бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают только крутящие моменты.

Кручение имеет место при действии па брус внешних пар сил, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня.

Моменты этих внешних пар, являющиеся нагрузкой для бруса, называют внешними, вращающими или скручивающими моментами.

Простейший случай кручения показан на рис. 79: брус находится под действием двух равных и противоположных скручивающих моментов, приложенных по концам. Моменты пар, приложенных к брусу, должны удовлетворять условию равновесия

В общем случае на брус может действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешивающихся. Для случая, представленного па рис. 80,

При действии на брус скручивающих моментов в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты (рис. 81). Чтобы определить крутящий момент в каком-либо произвольном сечении бруса, необходимо мысленно разрезать его по этому сечению, отбросить одну

из его частей, а к оставшейся части приложить уравновешивающий крутящий момент и найти его величину из условия равновесия. Крутящий момент в любом сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от сечения, и направлен в противоположную сторону п-о отношению к результирующему моменту.

Крутящий момент, действующий на одну часть бруса (левую), равен Рис. 82 и противоположно направлен крутящему моменту, действующему в том же сечении на его другую часть (правую) (рис. 82).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В простейшем случае, когда брус нагружен по концам двумя равными и противоположно направленными скручивающими моментами (см. рис. 79), крутящий момент в любом поперечном сечении бруса имеет одинаковую величину:

Если к брусу приложено несколько скручивающих моментов, то крутящий момент будет оставаться постоянным в пределах каждого участка между местами приложения скручивающих моментов и меняется скачком на границах участков. Изменение крутящих моментов по длине бруса изображают графически в виде эпюры крутящих моментов.

Пример решения задачи 78.

Для бруса изображенного на .рис. 83, а, определить реактивный момент в заделке, а также

величины крутящих моментов в поперечных сечениях участков построить эпюру крутящих моментов, если

Решение:

Определим реактивный момент в заделке, составив уравнение равновесия бруса

откуда

Знак «плюс» указывает, что направление момента в заделке предварительно было выбрано правильно.

Для определения крутящих моментов и построения эпюры применим метод сечений для каждого из трех участков бруса. Проведем сечение на участке Часть бруса, расположенная слева от сечения, будет находиться в равновесии под действием скручивающего момента (реакции заделки) и момента приложенного в сечении и заменяющего действие отброшенной правой части (рис. 83, б). Значение найдем из условия равновесия:

или

Если взять сечение (на участке ), то крутящий момент (рис. 83, в), возникающий в этом сечении, должен уравновешивать сумму скручивающих моментов действующих на отсеченную левую часть, т. е.

откуда

Ту же величину крутящего момента для сечения получим, если будем рассматривать равновесие правой отсеченной части, па которую действуют скручивающие моменты В этом случае

Но из условия равновесия

Знак крутящего момента физического смысла не имеет. Условимся считать крутящий момент положительным, если он при взгляде на сечение со стороны отброшенной части направлен по часовой стрелке.

Для левой части бруса, отсеченной любой плоскостью в пределах участка

откуда

По найденным данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 83, г). Для этого проводим ось абсцисс параллельно оси бруса. Точки соответствуют сечениям, в которых приложены скручивающие моменты. В точке отложим ординату величина которой в выбранном масштабе соответствует крутящему моменту — Так как на участке крутящий момент постоянен, то проведем прямую линию параллельную оси

Далее, от точки отложим отрезок величина которого в выбранном масштабе будет соответствовать крутящему моменту Крутящий момент на участке постоянен. Поэтому из точки проведем линию параллельную Заметим, что в тех сечениях, где приложены скручивающие моменты, ординаты эпюры изменяются скачком на величину, равную значению приложенного момента. Аналогично строится эпюра и на участке (ординаты отложены вниз от оси, так как отрицателен).

Следует обратить внимание на то, что наибольший крутящий момент равен 1,4 кн-м, в то время как наибольший скручивающий момент равен 1,6 кн-м. Это общее положение — лишь в частных случаях величины наибольшего крутящего момента и наибольшего скручивающего момента совпадают. В дальнейшем следует учесть, что .расчет бруса на прочность и на жесткость ведут по наибольшему крутящему моменту.

Вычисление моментов, передаваемых на вал. построение эпюр крутящих моментов для валов

На практике обычно известны не моменты, действующие на вал, а передаваемая валом мощность и его угловая скорость. В СИ единицей мощности является ватт (вт) — работа в один джоуль, совершенная в одну секунду Угловая скорость в этой системе измеряется в радианах в секунду

Как известно из теоретической механики, между моментом, мощностью и угловой скоростью существует зависимость

где — в -ваттах, — в радианах в секунду, — в ньютоно-метрах.

Пример решения задачи 79.

Изображенный на рис. 84 трансмиссионный вал .получает движение при помощи ременной передачи от шкива, насаженного на валу двигателя (на

рисунке не показан), к шкиву на валу. В свою очередь шкивы сидящие на этом валу, также через ременные передачи приводят в движение рабочие машины. Эти шкивы передают мощности Вал вращается с угловой скоростью

Построить эпюру крутящих моментов без учета трения в подшипниках.

Решение:

Машина, соединенная ременной передачей со шкивом потребляет мощность так что скручивающий момент, передаваемый от вала машине,

Скручивающий момент, передаваемый через шкив

Через шкив передается скручивающий момент

Скручивающий момент, передаваемый валу двигателем через шкив

На участках вала между шкивами будут действовать крутящие моменты следующей величины: момент в любом поперечном сечении на участке определим из условия равновесия части вала, расположенной левее сечения

отсюда

Аналогично для сечения на участке

откуда

для сечения

откуда

Для построения эпюры крутящих моментов проведем ось абсцисс, параллельную оси вала. От точки отложим ординату соответствующую крутящему моменту Этот момент на участке не изменяется, поэтому эпюра на этом участке представляет собой прямую (рис. 84, б). Крутящему моменту соответствует ордината эпюры.

На участке крутящий момент постоянен. Наконец, от точки отложим ординату равную в выбранном масштабе Момент, представленный на эпюре ординатой постоянен на всем участке вала.

Из уравнения равновесия

следует, что за шкивом и перед шкивом крутящие моменты равны нулю. Эпюра крутящих моментов вала будет ограничена линией Из эпюры видно, что наиболее нагруженным участком вала является участок между шкивами в поперечных сечениях которого возникают наибольшие крутящие моменты.

Пример решения задачи 80.

Сохраняя данные предыдущего примера, построить эпюру крутящих моментов для вала с расположением шкивов, показанном на рис. 85, а.

Решение:

Применим метод сечений к каждому участку вала в отдельности. На участке вала слева от шкива крутящий момент равен нулю. В любом сечении участка крутящий момент { уравновешивает скручивающий момент приложенный слева от сечения (правую часть отбрасываем), т. е.

Этот момент на рис. 85, б представлен в масштабе ординатой отложенной вверх от оси абсцисс. В любом сечении участка вала крутящий момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, расположенных слева от сечения:

Этот момент представлен на эпюре ординатой

Крутящий момент определим как алгебраическую сумму скручивающих моментов, приложенных слева от сечения

Знак «минус» показывает, что крутящий момент отрицателен, а следовательно, ординату надо отложить вниз от оси абсцисс. Правее сечения крутящий момент равен нулю. Ломаная линия представляет собой эпюру крутящих моментов (рис. 85,6).

Сравнивая эпюры, представленные на рис. 84, б и 85, б, видим, что наибольший крутящий момент в первом случае равен 2781 а во втором случае — 1625 Отсюда следует, что величина наибольшего крутящего момента зависит от порядка расположения шкивов и в особенности от положения шкива получающего скручивающий момент от двигателя. Далее будет установлено, что рациональным расположением шкивов па валу можно получить экономию в материале, гак как уменьшение максимального крутящего момента ведет,’конечно, и к уменьшению требуемого диаметра вала.

Напряжения и перемещения при кручении брусьев круглого поперечного сечения

При кручении брусьев круглого (сплошного и кольцевого) поперечного сечения:

а) поперечные сечения, плоские до деформации бруса, остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса и после деформации;

б) диаметр бруса не изменяется; не изменяется также и его длина и расстояния между поперечными сечениями;

в) образующие цилиндра из прямых линий превращаются в винтовые.

Угол поворота торцового поперечного сечения бруса по отношению к защемленному сечению (рис. 85) называют полным углом закручивания бруса.

•Взаимный угол поворота двух бесконечно близких сечений — угол закручивания элемента длиной связан (как видно из рис. 86) с углом сдвига зависимостью

где — относительный угол закручивания. Касательное напряжение, возникающее в любой точке поперечного сечения (рис. 87), определяется по формуле

где (или — крутящий момент в рассматриваемом сечении;

— полярный момент инерции сечения.

Для круга

для кольца

где отношение внутреннего диаметра кольца к наружному. В точках контура поперечного сечения касательные напряжения будут иметь наибольшее значение, определяемое по формуле

где -полярный момент сопротивления.

Для сплошного круглого сечения

для кольцевого сечения

Угол закручивания бруса постоянного диаметра при одинаковом во всех поперечных сечениях крутящем моменте

Произведение условно называют жесткостью сечения бруса при кручении.

Пример решения задачи 81.

Стальной брус диаметром и длиной жестко заделан одним концом, а другой конец нагружен скручивающим моментом. При закручивании точка (см. рис. 86), взятая на окружности концевого сечения, перемещается в положение проходя дугу длиной 3 мм. Определить: угол сдвига «а поверхности бруса; относительный угол закручивания полный угол закручивания наибольшее

касательное напряжение крутящий момент в поперечных сечениях бруса;

Решение:

Угол сдвига, как видно из чертежа, равен отношению длины дуги к длине бруса:

Зная величину угла сдвига найдем относительный угол закручивания:

Полный угол закручивания

Наибольшее касательное напряжение определим на основании закона Гука:

Крутящий момент в любом поперечном сечении бруса

Пример решения задачи 82.

Стальной вал диаметром скручивается моментом Определить наибольшее напряжение угол сдвига на поверхности вала и относительный угол закручивания

Решение:

Наибольшее касательное напряжение определим по формуле

где а следовательно,

Зная определяем угол сдвига

Тогда относительный угол закручивания

Пример решения задачи 83.

Круглый дюралевым стержень длиной одним концом заделан жестко, а на другом конце нагружен скручивающим моментом. Определить величину момента и диаметр стержня, если наибольшее касательное напряжение а полный угол закручивания рад, модуль сдвига

Решение:

Наибольшее касательное напряжение определяют по формуле

Из этой формулы можно было бы определить стержня, если найти величину или отношение

Нетрудно видеть, что величину этого отношения легко определить из формулы

откуда Следовательно, откуда

Крутящий момент в любом поперечном сечении вала

Пример решения задачи 84.

Для определения модуля сдвига материала испытывают на кручение образец круглого поперечного сечения и производят с помощью зеркальных приборов измерения углов поворота двух его сечении. Вычислить модуль упругости, если приращению кргяшего момента соответствуют углы

поворота Расстояние между сечениями диаметр образца

Решение:

Приращение угла закручивания на длине соответствующее .изменению крутящего момента будет

Полярный момент инерции сечения

Модуль упругости определим из формулы для угла закручивания:

Пример решения задачи 85.

Стальная проволока длиной и диаметром одним концом закреплена в зажиме, а другой конец нагружен закручивающей парой сил. При каком угле закручивания наибольшие касательные напряжения достигнут если модуль сдвига

Решение:

Зная величину наибольшего касательного напряжения а также модуль упругости можно определить угол сдвига на наружной поверхности проволоки:

Угол закручивания определим по формуле

Эту задачу можно решить иначе, а именно: определим крутящий момент:

Тогда угол закручивания

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Условие прочности при кручении бруса круглого поперечного сечения имеет вид

где — допускаемое напряжение. Величину допускаемого .напряжения при кручении принимают равной от допускаемого напряжения при растяжении.

Зная диаметр бруса и допускаемое напряжение для его материала при данных условиях работы, можно определить максимальный допускаемый крутящий момент:

При проектном расчете требуемый «полярный момент сопротивления поперечного сечения бруса определяется но формуле

Во многих случаях расчет валов должен быть выполнен не только на прочность, но и на жесткость. Условие жесткости

здесь —допускаемый относительный угол закручивания.

Если величина задана в то величина должна быть подставлена в либо можно перевести значение в и тогда

При определении диаметра вала из условия жесткости («гири проектном ‘расчете) находят требуемую величину полярного момента инерции:

Допускаемый по условию жесткости крутящий момент определяется но формуле

Пример решения задачи 86.

При проверить прочность вала, имеющего диаметр Вал передает мощность 150 квт и вращается с угловой скоростью

Решение:

Определяем крутящий момент, равный моменту, передаваемому валу Полярный момент сопротивления поперечного сечения вала

Наибольшее напряжение

Пример решения задачи 87.

Ступенчатый стальной брус круглого сечения нагружен, как показано на рис. 88, а, скручивающими моментами

Требуется определить максимальные касательные’напряжения в сечениях вала, если Определить коэффициент запаса, если для материала бруса предел текучести при чистом сдвиге

Решение:

Составив уравнение равновесия, определим-реактивный момент в заделке:

откуда

Крутящий момент в произвольном сечении участка

Крутящий момент в произвольном сечении участка

Крутящий момент в произвольном сечении участка

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 88, б). Определим полярные моменты сопротивления поперечных сечений бруса: на участке

на участке

на участке

Искомые напряжения:

Коэффициент запаса определяем для наиболее нагруженного участка бруса

Пример решения задачи 88.

Проверить ‘прочность валов зубчатой передачи от электродвигателя к станку (рис. 89), приняв допускаемое напряжение Передаваемая мощность Угловая скорость вала электродвигателя Коэффициент полезного действия передачи

Решение:

Угловая скорость ведущего вала

Вычислим вращающий момент на валу

Крутящий момент в любом (расположенном левее шестерни поперечном сечении вала

(на рис. 89 изображена эпюра крутящих моментов для вала

Проверяем прочность этого вала

Определим вращающий момент па валу 2:

Крутящий момент в любом (расположенном между зубчатыми колесами) поперечном сечении вала 2

Проверим прочность вала 2:

Пример решения задачи 89.

Определить диаметр вала, передающего мощность Угловая скорость вала

Допускаемое напряжение допускаемый относительный угол закручивания

Решение:

Крутящий момент, возникающий в любом -поперечном сечении вала, равен передаваемому валом вращающему моменту:

Из условия прочности следует

Из условия жесткости

следует

(здесь

Окончательно принимаем

Пример решения задачи 90.

На валу насажены три шкива, из которых шкив соединен со шкивом двигателя при помощи ремня и -получает мощность а шкивы и эту мощность отдают станкам, соответственно (рис. 90, а). Определить диаметры вала если допускаемое напряжение а угловая скорость вала Определить угол поворота сечения, совпадающего с серединой шкива по отношению к сечению если

Решение:

В этой задаче вал имеет ступенчатую форму. Чтобы определить диаметры вала необходимо найти величины скручивающих моментов, передаваемых шкивами, после чего определить крутящие

моменты в сечениях на участках вала. Скручивающий момент, действующий на шкив

Скручивающие моменты, действующие на шкивы

Крутящий момент в любом сечении участка вала

Крутящий момент в любом сечении участка вала

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 90, б). Зная величины крутящих моментов, а также величину допускаемого напряжения определим диаметры вала на участках

тогда

тогда откуда

принимаем

Для определения углов закручивания будем руководствоваться правилом: угол закручивания отсчитывает ся от сечения вала в месте расположения главного шкива

Определим угол поворота сечения относительно сечения

Так как вал вращается, то неподвижных сечений здесь нет. Но пас интересуют .не повороты сечений вообще, а углы поворота отдельных сечений, получающиеся в результате деформации вала. «Поэтому, приняв условно сечение за неподвижное, вычислим значения углов поворота отдельных сечений относительно сечения

На участке угол поворота сечения, расположенного на расстоянии от сечения будет где угол поворота сечения относительно сечения

— крутящий момент на участке

При

т. е. угол поворота сечения относительно сечения составляет

На участке угол поворота сечения, расположенного -на расстоянии от сечения равен алгебраической сумме углов закручивания участков и части участка длиной т. е.

Эпюра углов закручивания показана на рис. 90, в

Статически неопределимые задачи кручения

т. е. на основе применения лишь метода сечении. Так же как и при решении .статически неопределимых задач на растяжение (сжатие), дополнительно к уравнениям статики должны быть составлены уравнения перемещении.

Пример решения задачи 93.

В сечении бруса круглого поперечного сечения приложен скручивающий момент Концы -бруса жестко заделаны (рис. 93, а). Определить реактивные моменты в заделках; построить эпюру крутящих моментов н найти требуемый диаметр бруса, если допускаемое напряжение

Решение:

В заделках бруса возникают реактивные моменты которые связаны с заданным моментом уравнением равновесия

Неизвестных величии две, а уравнение статики можно составить лишь одно и, следовательно, задача статически неопределима.

Составим второе уравнение, т. е. уравнение перемещений. При этом учтем, что угол поворота сечения одинаков как по отношению к левому, так и к правому концу

где

После подстановки значений получим

Решая совместно уравнения (1) и (2), найдем

откуда

Взяв произвольное поперечное сечение на расстоянии от левой опоры, найдем, что крутящий момент в этом сечении

В произвольном поперечном -сечении вала на расстоянии от левой опоры крутящий момент

Эпюра крутящих моментов показана на рис. 93, б. Диаметр бруса определим по наибольшему крутящему моменту из формулы

откуда

Пример решения задачи 94.

Стальной валик и дюралевая трубка жестко заделаны на одном конце, а на другом скреплены с диском, к которому приложен скручивающий момент (рис. 94). Определить (в долях ) крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях трубки и валика.

Модули сдвига: стали дюраля

Решение:

В поперечных сечениях валика возникает крутящий момент а трубки — Сумма этих моментов равна скручивающему моменту, приложенному к диску.

Задача статически неопределима, так как уравнение статики можно составить только одно, а неизвестных моментов два.

Угол поворота диска, к которому приложен -скручивающий момент, равен углу закручивания валика. Точно так же можно утверждать, что угол поворота диска равен углу закручивания трубки. Следовательно, углы закручивания валика и трубки одинаковы:

Используя формулу для угла закручивания, получаем

или

где

После несложных преобразований получаем

или

Используя уравнение статики, получаемм

откуда

и

Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения

Задачу об определении касательных-напряжений при кручении стержней ‘прямоугольного поперечного сечения Методами сопротивления материалов решить нельзя. Это связано с тем, что в данном случае ‘первоначально плоские поперечные сечения искривляются, как это видно из рис. 95, а. По степени перекашивания сетки квадратиков, нанесенных на боковых гранях стержня, можно судить о величине касательных напряжений в различных точках. Квадратики, лежащие у ребер стержня, не перекашиваются — в этом месте касательные напряжения равны нулю. Наибольшее искажение квадратиков возникает в средних точках -боковых граней бруса— здесь касательные напряжения достигают своего наибольшего значения. На рис. 95, б представлено поперечное сечение бруса. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках т. е. в серединах ‘длинных-сторон прямоугольника. Величина этих ‘напряжений определяется по формуле

где — соответственно меньшая и большая «стороны поперечного сечения; —числовой коэффициент, зависящий от отношения

Величины этого коэффициента приведены в табл. 5.

Таблица 5

Наибольшее .напряжение в середине малой стороны поперечного сечения определяют-по формуле

где — табличная величина, зависящая также от отношения (см. табл. 5).

Угол закручивания

где —численный коэффициент, зависящий от отношения (см. табл. 5), а величина — геометрическая характеристика крутильной жесткости для бруса прямоугольного сечения.

Пример решения задачи 95.

Определить максимальное напряжение, возникающее в поперечном сечении стального стержня и его угол закручивания. Поперечное сечение — прямоугольник со сторонами и скручивающий момент Длина стержня

Решение:

Выбор коэффициентов производим по отношению

Такого значения в табл. 5 нет. Поэтому определим а интерполированием по значениям, соответствующим

После этого определим по формуле

Угол закручивания

Значение коэффициента ( определим интерполированием по значениям при

Пример решения задачи 96.

Определить размеры прямоугольного сечения стержня с отношением сторон -нагруженного моментом Допускаемое напряжение допускаемый относительный угол закручивания

Решение:

Из условия прочности

найдем

где (взято из табл. 5).

Но откуда

Найдем значения из условия жесткости:

откуда

-где (взято по табл. 5), подставлено Учитывая, что имеем

Из последнего выражения

Тогда

Принимаем размеры, полученные из условия жесткости.

Кручением
называется такой вид деформации стержня,
при котором в его поперечных сечениях
возникает только один внутренний силовой
фактор – крутящий
момент. Все
остальные внутренние усилия – нормальная
и поперечная силы, изгибающи й момент
при кручении отсутствуют. Кручение
испытывают многие детали машин и
сооружений: валы двигателей и станков,
оси моторных вагонов и двигателей,
элементы пространственных конструкций
и т.д. Как показали исследования, характер
деформации скручиваемого стержня
зависит от формы его поперечного сечения.
Особое место среди стержней, подвергаемых
кручению, принадлежит стержням с круглым
поперечным сечением. Такие стержни,
испытывающие кручение, называют валами.

К скручиваемому
стержню в разных его сечениях может
быть приложено несколько внешних
моментов. Рассмотрим случай, когда все
внешние моменты взаимно уравновешены
и действуют в плоскостях, прерпендикулярных
оси стержня (Рис.11.9,а):

(11.25)

Рис.11.9

Для
определения крутящего момента в
каком-либо сечении стержня воспользуемся
правилом, полученном при использовании
метода сечений, изложенном в теме №1.
На основании этого правила главный
вектор и главный момент всех внутренних
сил, действующих в рассматриваемом
сечении на оставшуюся часть тела,
равняются соответственно главному
вектору и главному моменту всех внешних
сил, приложенных к отброшенной части
тела.

Таким
образом, чтобы определить крутящий
момент
,
необходимо просуммировать все внешние
моменты, действующие по одну сторону
от рассматриваемого сечения. Слева от
сеченияIII,
в котором определяется крутящий момент,
действуют внешние моменты
и.
Следовательно, крутящий момент в сеченииIII
будет равен:

.

Здесь
и в дальнейшем при построении эпюр
крутящих моментов следует пользоваться
следующим правилом знаков: если смотреть
на отброшенную часть со стороны сечения,
в котором определяется крутящий момент,
то при вращении внешним моментом стержня
по часовой
стрелке его
следует брать со знаком “минус”,
и наоборот – при вращении внешним
моментом вала против
часовой стрелки
его следует брать со знаком “плюс”.

Рассмотрим пример
построения эпюры крутящих моментов.

Пример
11.1. Построить
эпюру крутящих моментов для стержня,
изображенного на рис.11.10а.

Рис.11.10

Решение:

1.
Разобьем вал на участки: I,
II, III, IV и
V.

2. Пользуясь
правилом для определения крутящих
моментов, изложенным выше, находим:

;

кНм;кНм;

кНм;

.

Крутящие
моменты на участках I,
II, III опредеделялись
слева, на участках IV,
V 
справа.

3. Откладываем
полученные моменты от базисной линии
и строим эпюру крутящих моментов
(Рис.11.10б).

11.9. Вывод формул для напряжений и деформаций при кручении валов

Рассмотрим
стержень круглого поперечного сечения,
на поверхности которого нанесена сетка,
образованная системой образующих и
окружностей, сотавляющих внешние контуры
сечений (Рис.11.11).

Рис.11.11

Наблюдения
показывают, что после закручивания
прямоугольники, образованные сеткой,
перекашиваются, ось стержня остается
прямолинейной, контуры поперечных
сечения, круглые и плоские до деформации,
не меняют своих очертаний и после
деформации. При кручении происходит
поворот одного сечения по отношению к
другому на угол, называемый углом
закручивания. Расстояние между поперечными
сечениями практически не меняется, а
это указывает на отсутствие продольных
деформаций. Если провести прямую линию
вдоль
радиуса поперечного сечения стержня в
торцовом сечении, то в процессе
закручивания эта прямая линия не
искривляется.

Приведенные
наблюдения отражают лишь те деформации,
которые происходят на поверхности
стержня, но не позволяют делать какие-либо
заключения о деформации внутренних
волокон. В связи с этим сформулируем
ряд гипотез, которые затем положим в
основу последующих выводов. Эти гипотезы
следующие:

1. Сечения плоские
до закручивания, остаются плоскими
после закручивания.

2. Радиусы, проведенные
мысленно в любом поперечном сечении, в
процессе кручения не искривляются.

3. Поперечные
сечения, не удаляясь друг от друга в
процессе деформации, лишь скользят одно
относительно другого, в связи с чем при
кручении наблюдается деформация чистого
сдвига.

Принятые гипотезы
позволяют предположить, что при кручении
круглого стержня в результате сдвига
возникают только касательные напряжения,
а нормальные равны нулю.

Для
вывода формулы для касательных напряжений
при кручении валов рассмотрим стержень
радиуса
,
заделанный одним концом (Рис.11.12), на
свободном конце которого приложим пару
сил с моментом.

Рис.11.12

На
боковой поверхности стежня проведем
образующую AD, которая после кручения
займет положение АD₁.
Под действием скручивающего момента
сечениеI
– I повернется
на угол
относительно жесткой заделки. СечениеII –
II повернется
на угол
.
Таким образом, взаимный угол поворота
сеченийI
– I и II
– II составит
.

Рассмотрим
отдельно элемент стержня длиной
.
Левое сечение элемента будем считать
неподвижным (Рис.11.13). Образующая ВС
наклонится на малый уголи займет положение ВС₁.
Угол сдвига волокна, принадлежащего
поверхности вала, найдем из равенства:

.

Для
произвольного волокна, отстоящего от
центра тяжести на расстоянии
угол сдвига будет равен:

.

Рис.11.13

Применяя
для двух точек С₁
и D₁
закон Гука
при сдвиге (11.6), запишем выражения для
касательных напряжений:

;
(11.26)

.
(11.27)

Сравнивая
формулы (11.26) и (11.27), приходим к выводу,
что касательные напряжеения при кручении
вала пропорциональны расстоянию от оси
вала. Наибольшие напряжения будут в
точках, наиболее удаленных от центра
тяжести сечения.

Формула (11.27)
представляет собой закон изменения
касательных напряжений в поперечном
сечении вала. На рис.11.14 представлен
график изменения касательных напряжений.

Рис.11.14

Выделим
вокруг точки на расстоянии
от центра тяжести площадкуи вычислим момент силы, действующей на
этой площадке,
относительно оси стержня:

.

Полный крутящий
момент будет равен:

.
(11.28)

Подставляя
в формулу (11.28) значение
из формулы (11.27), получим:

.
(11.29)

В
формуле (11.29) величина
для всех точек поперечного сечения
одинакова, поэтому ее можно вынести за
знак интеграла. Под знаком интеграла
останется величина,
представляющая собой полярный момент
инерции поперечного сечения.
Тогда выражение (11.29) преобразуется к
виду:

или

.
(11.30)

Подставляя
выражение для
в формулу (11.27), получим:

.
(11.31)

Выражение
(11.31) представляет собой закон распределения
касательных напряжений вдоль радиуса
сечения и позволяет определить касательное
напряжение в любой точке поперечного
сечения. При
,
т.е. в центре тяжести поперечного сечения,
касательные напряжения равны нулю.

Максимальные
напряжения в сечении возникают в наиболее
удаленных точках сечения при
:

.
(11.32)

Выражение
(11.31) так же, как и выражение (11.27)
устанавливают прямо пропорциональную
зависимость величины касательных
напряжений от расстояния точки до центра
тяжести сечения. Графически этот закон
представлен на рис.11.14.

Величина
называетсяполярным моментом
сопротивления круглого сечения при
кручении и характеризуетвлияние
размеров сечения на способность
скручиваемого элемента сопротивляться
внешним нагрузкам, не разрушаясь.

Угол
закручивания поперечного сечения
можно определить из формулы (11.30):

.

Интегрируя это
выражение по всей длине стержня, получим:

.
(11.33)

Если вал имеет
постоянный диаметр, а крутящий момент
по всей длине стержня не меняется, то
после интегрирования выражения (11.33),
угол закручивание будет иметь вид:

.
(11.34)

Величина
называется жесткостью поперечного
сечения вала при кручении и характеризует
влияние геометрических размеров
поперечного сечения и физических
характеристик материала на способность
вала сопротивляться закручиванию.

Для ступенчатых
стержней или же стержней, у которых
крутящий момент меняется по длине
скачкообразно, угол закручивания между
начальным и конечным сечениями вала
определяется как сумма углов закручивания
с постоянным отношением
:

,
(11.35)

где
число участков вала.

Полный угол
закручивания не всегда может характеризовать
жесткость вала при кручении. Если на
протяжении длины вала крутящие моменты
имеют разные знаки, то полный угол
закручивания может оказаться небольшим,
в то время как на отдельных участках
угол закручивания может быть значительным.
В связи с этим для оценки жесткости
скручиваемого стержня применяется
другая мера – относительный угол
закручивания

.
(11.36)

Размерность
относительного угла закручивания
или.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лекция 7. КРУЧЕНИЕ

Крутящие моменты (внутренний силовой фактор) в поперечных сечениях
стержня. Кручение стержней круглого поперечного сечения: допущения,
деформации, напряжения, углы закручивания. Условия прочности, жёсткости.
Построение эпюр крутящих моментов.
 

Кручение имеет место в случае действия на вал момента (пары сил)
относительно его продольной оси, и в поперечных сечениях бруса возникает
только один силовой фактор – крутящий момент. Брус, работающей на
кручение называется валом. При кручении вала его поперечные сечения
поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса.

Напряжения и деформации при кручении бруса. Под действием внешнего
скручивающего момента, приложенного на правом конце бруса, левый конец
которого жестко закреплен, брус будет закручиваться. Выделим из бруса
элементарный цилиндр длиной dx (рис. 19). Будем считать, что левое
сечение бруса жестко закреплено. Под действием крутящего момента T
правое сечение повернется на некоторый угол dφ.Так как ds = γ•dx = ρ•dφ,
то получаем . Из данной зависимости видно, что угол сдвига γ изменяется по радиусу вала по линейному закону.  

 

Рис. 19. Расчетная схема при кручении

Деформация бруса при кручении характеризуется относительным углом закручивания .

При малых углах закручивания вала в теории кручения круглых стержней принимаются допущения:

1. Поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к его оси до
деформации, остаются плоскими (не коробятся) и перпендикулярными к оси
вала и после деформации (гипотеза Бернулли).

2. Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются и не изменяют своей длины.

3. Длина вала в результате закручивания не изменяется.

Поперечное сечение вала ведет себя при кручении, как жесткий диск,
и деформацию кручения можно рассматривать, как результатсдвига одного
поперечного сечения относительно другого. В этом случае в точках
поперечного сечения вала возникают только касательные напряжения.

Теория кручения, основанная на упомянутых допущениях, подтверждается экспериментальными данными.

Согласно закону Гука при сдвиге, имеем . Откуда получаем:

 

Из полученной зависимости следует, что касательные напряжения изменяются по радиусу по линейному закону.

При кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному
сечению, приводятся к одной составляющей – к крутящему моменту.
Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенные через точки
их действия (рис. 20). Крутящий момент T в сечении бруса определяется
по формуле

 

где ρ – плечо элементарной силы.

Подставляя значение касательного ускорения, получим

             (8)

Элементарный угол закручивания бруса: полный угол закручивания

 

Рис. 20. Эпюра 

Максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса будет определяться по зависимости:

 

Прочность и жесткость при кручении. Условие прочности при кручении имеет вид

 

Условие жесткости:

(9)

Для бруса круглого сечения эти условия принимают вид:

 

Построение эпюр крутящих моментов. Крутящий момент, возникающий
в поперечном сечении стержня, определяется методом сечений. Крутящий
момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных
к любой из частей стержня. Эпюра крутящих моментов – это график,
показывающий изменения крутящего момента по длине вала. Правило знаков
для эпюры крутящих моментов

При построении эпюры крутящих моментов используется правило
знаков: скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня
против хода часовой стрелки при взгляде на поперечное сечение, вызывает
в этом сечении положительный крутящий момент.

Брус разбивается на участке, на каждом участке проводится сечение
и определяется крутящий момент. Затем строится эпюра крутящих моментов.

 

Рис. 21. Эпюра крутящих моментов