Как найти круговую скорость планеты

Любой предмет, будучи подброшенным вверх, рано или поздно оказывается на земной поверхности, будь то камень, лист бумаги или простое перышко. В то же время, спутник, запущенный в космос полвека назад, космическая станция или Луна продолжают вращаться по своим орбитам, словно на них вовсе не действует сила притяжения нашей планеты. Почему так происходит?

На нашей Земле всемирное тяготение воздействует на любое материальное тело. Тогда логично будет предположить, что есть некая сила, нейтрализующая действие гравитации. Эту силу принято называть центробежной.

Центробежную силу легко ощутить привязав на один конец нитки небольшой груз и раскрутив его по окружности. При этом чем больше скорость вращения тем сильнее натяжение нити, а чем медленнее вращаем мы груз тем больше вероятность, что он упадет вниз.

Таким образом мы вплотную приблизились к понятию «космическая скорость». Простыми словами — это скорость, позволяющая любому объекту преодолеть тяготение небесного тела и их системы.  Космические скорости используются для характеристики типа движения космического аппарата в сфере действия небесных тел: Солнца, Земли и Луны, других планет и их естественных спутников, а также астероидов и комет.

Это также значит, что космическая скорость есть у каждого объекта, который движется по орбите. Размер и форма орбиты космического объекта зависят от величины и направления скорости, которую данный объект получил на момент выключения двигателей, и высоты, на которой произошло данное событие.

Космическая скорость (первая v1, вторая v2, третья v3 и четвёртая v4) — это минимальная скорость, при которой какое-либо тело в свободном движении сможет:

• v1 — стать спутником небесного тела (то есть способность вращаться по орбите вокруг небесного тела и не падать на его поверхность);
• v2 — преодолеть гравитационное притяжение небесного тела и начать двигаться по параболической орбите;
• v3 — покинуть при запуске планету, преодолев притяжение Звезды;
• v4 — при запуске из планетной системы объект покинул Галактику.

Космические скорости могут быть рассчитаны для любого удаления от центра Земли. Однако в космонавтике часто используются величины, рассчитанные конкретно для поверхности шаровой однородной модели Земли радиусом 6371 км.

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость или Круговая скорость V1 — скорость, которую необходимо придать объекту без двигателя, пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты.

Иными словами, первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Формула

где   G — гравитационная постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), — первая космическая скорость. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 378 км), найдем

7,9 км/с

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения —

Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала относительно массы небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела.

Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой:

• для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца.
• для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с.
• для Луны скорость убегания равна 2,4 км/с, несмотря на то, что в действительности для удаления тела на бесконечность с поверхности Луны необходимо преодолеть притяжение Земли, Солнца и Галактики.

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие вторую космическую скорость, движутся по параболе.

Формула

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу — спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния .

Третья космическая скорость

Третья космическая скорость — минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы.

Только на космических кораблях, которым доступны такие скорости, принципиально могут быть осуществлены пилотируемые межзвёздные перелёты к планетным системам других звёзд.

Взлетая с поверхности Земли и наилучшим образом используя орбитальное движение планеты космический аппарат может достичь третей космической скорости уже при 16,6 км/с относительно Земли, а при старте с Земли в самом неблагоприятном направлении его необходимо разогнать до 72,8 км/с.

Здесь для расчёта предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость сразу на поверхности Земли и после этого не получает негравитационного ускорения (двигатели выключены и сопротивление атмосферы отсутствует).  Если к тому же учесть притяжение других планет, которое может как ускорить, так и притормозить аппарат, то диапазон возможных значений 3-й космической скорости станет еще больше.

При наиболее энергетически выгодном старте скорость объекта должна быть сонаправлена скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца. Орбита такого аппарата в Солнечной системе представляет собой параболу.

Четвёртая и пятая космическая скорости

Четвёртая космическая скорость — минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение галактики Млечный Путь. Она используется довольно редко.

Четвёртая космическая скорость не постоянна для всех точек Галактики, а зависит от расстояния до центральной массы.

Для нашей галактики таковой является объект Стрелец A*, сверхмассивная чёрная дыра.

По грубым предварительным расчётам в районе нашего Солнца четвёртая космическая скорость составляет около 550 км/с. Значение сильно зависит не только (и не столько) от расстояния до центра галактики, а от распределения масс вещества по Галактике, о которых пока нет точных данных, ввиду того что видимая материя составляет лишь малую часть общей гравитирующей массы, а все остальное — скрытая масса.

Ещё реже в некоторых источниках встречается понятие «пятая космическая скорость». Это скорость, позволяющая добраться до иной планеты звездной системы вне зависимости от разности плоскостей эклиптики планет. Например, для Солнечной системы и, конкретно, для Земли, чтобы орбита межпланетного перелета была перпендикулярной к земной орбите, нужна скорость запуска 43,6 километра в секунду.

Видео

Источники

https://ru.wikipedia.org/wiki/Космическая_скорость

https://mirznanii.com/a/9233/kosmicheskie-skorosti

http://www.astronet.ru/db/msg/1162252

https://fb.ru/article/54389/kosmicheskaya-skorost

Если мы подбросим камень в воздух – он упадет на Землю. Если у самолета на высоте 10 километром отключаться двигатели – он тоже упадет на Землю. Но спутники и космические корабли, что мы запускаем в космос, не падают. Почему?

Все дело в том, с какой скоростью тот или иной объект удаляется от планеты. Хватит ли этому объекту энергии преодолеть притяжение планеты.

Первая космическая скорость

Это та самая минимальная скорость для выхода корабля или спутника на круговую орбиту, равную радиуса планеты, без учета вращения планеты и сопротивления ее атмосферы.

Если скорость будет превышать первую, но не достигнет второй космической скорости, то траектория тела из круговой начнет переходить в эллиптическую.

Впервые такую скорость смог достичь первый искусственный спутник Земли «Спутник-1» СССР 4 октября 1957 года.

Расчет

Вторая космическая скорость

Это минимальная скорость, которую следует придать телу для того, чтобы оно покинуло замкнутую орбиту и смогло улететь от небесного тела за пределы его гравитационного поля.

Иными словами, для Земли, это та скорость, с которой должны двигаться космические аппараты (КА) для полетов к другим объектам Солнечной системы: Луны, Марса и т.д.

Движение тела на второй космической скорости происходит по параболической траектории.

Впервые такую скорость развил Советский космический аппарат Луна-1 2 января 1959 года, чтобы преодолеть расстояние от Земли до Луны и изучить наш естественный спутник.

Расчет

Третья космическая скорость

Такую скорость необходимо придать телу, чтобы оно смогло покинуть Солнечную систему. Так как 99,8% массы Солнечной системы приходится на Солнце, то можно сказать, что КА надо преодолеть гравитационное притяжение Солнца.

Расчет

Для Солнечной системы это величина равна 16,650 км/с.

Самое выгодное расположение космодрома для подобного запуска – максимально близко к экватору, так как на экваторе самая большая скорость собственного вращения Земли вокруг своей оси и направление движения в сторону вращения Земли и в сторону орбитального движения Земли по орбите.

КА «Новые горизонты» покинул атмосферу Земли со скоростью близкой к третьей космической – 16,26 км /с. Относительно Солнца он имел скорость 45 км/с. Такой скорости недостаточно, чтобы покинуть Солнечную систему. Но благодаря гравитационному маневру у Юпитера, «Новые горизонты» добавил еще 4 км/с, что позволило ему покинуть Солнечную системы, предварительно показав нам карликовую планету Плутон.

Четвертая космическая скорость

Эта та скорость, которая позволит покинуть галактику в данной точке.

Четвертая космическая в основном не зависит от месторасположения Земли в Млечном пути. Она зависит от расположения и плотности звездного вещества в окрестностях Солнечной системы. А эти данные пока мало изучены.
Для нашей части галактики четвертая космическая скорость примерно равна 550 км/с.

Пятая космическая скорость

Эта скорость редко применима и является больше «фантазией», так как такую скорость необходимо развить для путешествия на другую планету в другую звездную систему, независимо от их взаимного расположения, с траекторией перпендикулярно плоскости эклиптики.

Для Земли эта скорость будет равна 43,6 км/с.

Почему спутники не падают на Землю

Этот вопрос поднимался в самом начале статьи. Теперь давайте на него ответим.

На спутник на орбите действует сила тяжести со стороны Земли. И под действием этой силы спутнику логичнее упасть.
Но, он летит вокруг Земли с первой космической скоростью – 7,9 км/с. Вспомните, чем больше скорость – тем сложнее затормозить. Вот и здесь, спутник и хотел бы упасть, но он не может затормозить и просто пролетает мимо Земли по инерции, тем самым продолжая бесконечное падение.

То есть, спутники падают, но промахиваются и не попадают в Землю.

Еще больше космоса и интересных фактов в телеграмм-канале.

Orbital velocity is defined as the velocity at which a body circles around another body. The more substantial the body in the centre of attraction is, the higher the orbital velocity for a given height or distance. For an artificial or natural satellite, orbital velocity can be interpreted as the velocity necessary to maintain it in its orbit. Space organizations rely on it heavily to figure out how to launch satellites. It aids scientists in determining the speeds at which satellites must rotate around a planet or celestial body in order to avoid colliding with it.

Formula

The orbital velocity of a satellite orbiting around the Earth is determined by its height above the Earth. More is the orbital velocity, the closer satellite is to the Earth. It is equal to the square root of the product of the gravitational constant and mass of the body divided by the radius of its orbit.

where,

G is the gravitational constant,

M is the mass of object at centre,

R is the radius of the orbit.

Derivation

The formula for orbital velocity is derived through the concepts of gravitational force and centripetal force.

Suppose a satellite of mass m and radius r is orbiting circularly around planet Earth at an altitude h from Earth surface. Let us say, the mass and radius of Earth is M and R respectively. This implies that,

=> r = R + h   ……. (1)

Now, we know that to make the satellite revolve in its orbit, a centripetal force of mV²/r is required. This force is provided by the gravitational force existing between the satellite and the earth.

So, we have

=> mV²/r = GMm/r²

=> V² = GM/r

Using (1), we have

=> V² = GM/(R + h)

As (R + h) ≈ R, we get

This derives the formula for orbital velocity of an object or satellite revolving around a planet.

Sample Problems

Problem 1. Find the orbital velocity of an object revolving around the planet Earth if the radius of Earth is 6.5 × 10⁶ m, the mass of Earth is 5.9722 × 10²⁴ kg and the gravitational constant G is 6.67408 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2.

Solution:

We have,

G = 6.67408 × 10^-11

R = 6.5 × 10⁶

M = 5.9722 × 10²⁴

Using the formula we have,

V = √(GM/R)

= (6.67408 × 10^-11)(5.9722 × 10²⁴)/(6.5 × 10⁶)

= 29.8 km/s

Problem 2. Find the orbital velocity of an object revolving around the planet Mercury if the radius of Mercury is 2439.7 km, the mass of Mercury is 0.33 × 10²⁴ kg and the gravitational constant G is 6.67408 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2.

Solution:

We have,

G = 6.67408 × 10^-11

R = 2439.7

M = 0.33 × 10²⁴

Using the formula we have,

V = √(GM/R)

= (6.67408 × 10^-11)(0.33 × 10²⁴)/(2439.7)

= 47.4 km/s

Problem 3. Find the orbital velocity of an object revolving around the planet Venus if the radius of Venus is 6051.8 km, the mass of Venus is 4.87 × 10²⁴ kg and the gravitational constant G is 6.67408 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2.

Solution:

We have,

G = 6.67408 × 10^-11

R = 6051.8

M = 4.87 × 10²⁴

Using the formula we have,

V = √(GM/R)

= (6.67408 × 10^-11)(4.87 × 10²⁴)/(6051.8)

= 35 km/s

Problem 4. Find the orbital velocity of an object revolving around the planet Mars if the radius of Mars is 3389 km, the mass of Mars is 0.642 × 10²⁴ kg and the gravitational constant G is 6.67408 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2.

Solution:

We have,

G = 6.67408 × 10^-11

R = 3389

M = 0.642 × 10²⁴

Using the formula we have,

V = √(GM/R)

= (6.67408 × 10^-11)(0.642 × 10²⁴)/(3389)

= 24.1 km/s

Problem 5. Find the orbital velocity of an object revolving around the planet Jupiter if the radius of Jupiter is 69911 km, the mass of Jupiter is 1898 × 10²⁴ kg and the gravitational constant G is 6.67408 × 10-11 m3 kg-1 s-2.

Solution:

We have,

G = 6.67408 × 10^-11

R = 69911

M = 1898 × 10²⁴

Using the formula we have,

V = √(GM/R)

= (6.67408 × 10^-11)(1898 × 10²⁴)/(69911)

= 13.1 km/s

Problem 6. Find the orbital velocity of an object revolving around the planet Saturn if the radius of Saturn is 58232 km, the mass of Saturn is 568 × 10²⁴ kg and the gravitational constant G is 6.67408 × 10-11 m3 kg-1 s-2.

Solution:

We have,

G = 6.67408 × 10^-11

R = 58232

M = 568 × 10²⁴

Using the formula we have,

V = √(GM/R)

= (6.67408 × 10^-11)(568 × 10²⁴)/(58232)

= 9.7 km/s

Problem 7. Find the orbital velocity of an object revolving around the planet Uranus if the radius of Uranus is 25362 km, the mass of Uranus is 86.8 × 10²⁴ kg and the gravitational constant G is 6.67408 × 10-11 m3 kg-1 s-2.

Solution:

We have,

G = 6.67408 × 10^-11

R = 25362

M = 86.8 × 10²⁴

Using the formula we have,

V = √(GM/R)

= (6.67408 × 10^-11)(86.8 × 10²⁴)/(25362)

= 6.8 km/s

Last Updated :
27 Apr, 2022

Like Article

Save Article