Как найти круговой интеграл

Содержание:

1. Двойной интеграл
2. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах
3. Двойной интеграл в полярных координатах
4. Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования
5. Геометрический смысл двойного интеграла
6. Свойства двойного интеграла
7. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
8. Двойной интеграл в полярных координатах
9. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла
10. Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла

Двойной интеграл

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл

На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.

Задача.

Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью снизу конечной замкнутой областью плоскости и с боков прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе области и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости (рис. 245).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Тело указанного вида для краткости называется цилиндроидом. В частном случае, когда верхнее основание цилиндроида есть плоскость, параллельная нижнему основанию его, то цилиндроид называется цилиндром.

Примером цилиндра служит круговой цилиндр, рассматриваемый в средней школе.

Обобщая рассуждение, обычно применяемое для нахождения объема кругового цилиндра, нетрудно доказать, что объем цилиндра с площадью основания и высотой равен

Для вычисления объема данного цилиндроида разобьем основание его на конечное число элементарных ячеек (вообще говоря, криволинейных). В каждой из этих ячеек выберем точку и построим прямой цилиндрический столбик с основанием и высотой равной аппликате поверхности в выбранной точке.

Объем такого столбика на основании формулы объема цилиндра, очевидно, равен

где — площадь соответствующей ячейки. Сумма объемов этих цилиндрических столбиков представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное криволинейное тело, причем аппроксимация является, вообще говоря, тем более точной, чем меньше диаметры ячеекПоэтому объем нашего цилиндроида приближенно выразится суммой

Формула (2) дает возможность найти объем с любой степенью точности, если число ячеек достаточно велико и линейные размеры их весьма малы. Обозначим через диаметр ячейки , т. е. наибольший линейный размер ее. Точнее говоря, под диаметром ограниченной замкнутой (т. е. с присоединенной границей) фигуры (дуги, площадки и т. п.) понимается длина наибольшей ее хорды где (рис. 246)2)

Из данного определения следует, что фигура имеющая диаметр целиком помещается внутри круга радиуса описанного из любой ее точки как из центра. Поэтому если то фигура «стягивается в точку». Аналогично определяется диаметр пространственного тела.

Пусть — наибольший из диаметров ячеек Предполагая, что в формуле (2) число ячеек неограниченно возрастает причем диаметр наибольшей из них становится сколь угодно малым в пределе получаем точную формулу для объема цилиндроида

Выражение, стоящее в правой части формулы (3), называется двойным интегралом от функции распространенным на область и обозначается следующим образом:

Поэтому для объема цилиндроида окончательно имеем

Обобщая конструкцию, примененную для вычисления объема цилиндроида, приходим к следующим определениям.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Опрелеление 1. Двумерной интегральной суммой (2) от данной функции распространенной на данную область называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек области назначения функции в выделенных точках этих ячеек (рис. 247).

Опрелеление 2. Двойным интегралом (4) от функции распространенным на данную область называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы (2) при неограниченном возрастании числа элементарных ячеек и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа дробления области на элементарные ячейки и выбора точек в них. В формуле (4) называется подынтегральной функцией, — областью интегрирования, а — элементом площади.

Справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА. Если область с кусочно-гладкой границей ограничена и замкнута а функция непрерывна в области то двойной интеграл существует, т. е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа дробления области на элементарные ячейки и выбора точек в них.

В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.

В формуле (6) нет необходимости указывать, что так как из очевидно, следует

Если то двойной интеграл (6) представляет собой объем прямого цилиндроида, построенного на области как на основании и ограниченного сверху поверхностью (геометрический смысл двойного интеграла).

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем при решении задач мы будем использовать это обстоятельство, выбирая наиболее подходящие сетки. Весьма часто удобной оказывается прямоугольная сетка, образованная пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям и (рис. 248).

В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники со сторонами, равными и за исключением, возможно, ячеек, примыкающих к границе Чтобы подчеркнуть использование прямоугольной сетки, в обозначении интеграла (4) полагают (двумерный элемент площади в прямоугольных координатах), причем где и сумма (8) распространяется на все значения и для которых (можно показать, что непрямоугольные ячейки, примыкающие к кусочно-гладкой границе не влияют на значение предела (8)).

В следующих параграфах мы рассмотрим основные способы вычисления двойного интеграла.

Примеры с решением

Пример 1.

Найти

где — квадрат

Расставляя пределы интегрирования, будем иметь Геометрически представляет собой объем цилиндроида с квадратным нижним основанием, ограниченного сверху параболоидом вращения (рис. 254).

Пример 2.

Вычислить двойной интеграл

где — прямоугольник

Расставляя пределы интегрирования и разделяя переменные, будем иметь

Пример 3.

Вычислить где — треугольник с вершинами (рис. 255).

Область ограничена прямыми 2 и является стандартной как относительно оси так и оси

Для вертикали точка входа в область есть «точка выхода» — Таким образом, при фиксированном переменная для точек области меняется от до Поэтому, интегрируя в двойном интеграле (10) сначала по при а затем по согласно формуле (5) будем иметь

Аналогично, для горизонтали «точка входа» в область есть и «точка выхода» — Следовательно, при фиксированном переменная для точек области меняется от до Произведя в двойном интеграле (10) интегрирование сначала по при а затем по на основании формулы (9) получаем

Мы пришли, как и следовало ожидать, к тому же самому результату, причем второй способ вычисления оказался несколько более сложным.

Пример 4.

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Область интегрирования ограничена кривыми (рис. 256). Отсюда, изменяя роли осей координат, получаем

Следовательно,

Пример 5.

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле если область интегрирования есть круговое кольцо, ограниченное окружностями (рис. 257). Область не является стандартной. Для расстановки пределов интегрирования в интервале (13) разбиваем область на четыре стандартные относительно оси области как указано на рисунке. Используя уравнение окружностей

имеем

Аналогичная формула получится, если мы будем расставлять пределы интегрирования в другом порядке.

Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах

Предположим для определенности, что область интегрирования представляет собой криволинейную трапецию (рис. 249)

где — однозначные непрерывные функции на отрезке Такую область будем называть стандартной относительно оси Заметим, что вертикаль, проходящая через точку оси при пересекает границу области только в двух точках («точка входа») и («точка выхода»).

Пусть — функция, непрерывная в области и = — ее двойной интеграл.

1) Предположим сначала, что в области Тогда двойной интеграл представляет собой объем цилиндроида (рис. 250), ограниченного снизу областью сверху поверхностью и с боков прямой цилиндрической поверхностью

Для вычисления объема применим метод сечений (гл. XV, § 5). А именно, пусть — площадь сечения цилиндроида плоскостью перпендикулярной оси в точке ее (рис. 250).

Тогда имеем

Но представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком и сверху кривой

Поэтому

Можно доказать, что при наших условиях непрерывна при

Подставляя выражение (4) в формулу (3), получим окончательно

Таким образом, двойной интеграл равен соответствующему повторному интегралу (5), т. е. вычисление двойного интеграла сводится к двум квадратурам. Заметим, что при вычислении внутреннего интеграла в формуле (5) рассматривается как постоянная величина.

2) В случае знакопеременной функции например, если при и при двойной интеграл (2) равен алгебраической сумме объемов цилиндроидов, построенных соответственно на основаниях (pиc. 251),

т. е. Можно доказать, что формула (5) справедлива и в этом случае.

Отметим один важный случай: пусть — прямоугольник (рис. 252) и где — функция, непрерывная на и зависящая только от и — функция, непрерывная на и зависящая только от

В силу формулы (5) имеем

Но внутренний интеграл в формуле (7) есть постоянное число, поэтому его можно вынести за знак внешнего интеграла и мы получим

т. е. двойной интеграл (8) равен произведению двух однократных интегралов.

Замечание 1. Если область — стандартная относительно оси (рис. 253) то по аналогии с формулой (5) получаем

В частности, если область есть прямоугольник: a есть прямоугольник: a то имеем

Отсюда получаем

т е. если пределы интегрирования в повторном интеграле от непрерывной функции конечны и постоянны, то результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам и , полагая

Область интегрирования разобьем на элементарные ячейки с помощью координатных линий (окружности) и = (лучи) (рис. 258).

Введем обозначения Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна

Что касается ячеек неправильной формы, примыкающих к границе области интегрирования то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла (ср. § 1, формула (8)) и мы их будем игнорировать.

В качестве точки для простоты выберем вершину ячейки с полярными координатами и Тогда декартовы координаты точки равны

и, следовательно,

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости. Поэтому, учитывая формулы (3) и (3′)» получаем

где — максимальный диаметр ячеек и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области

С другой стороны, величины и суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовы координаты некоторых точек плоскости Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами и Следовательно,

Выравнивая формулы (4) и (5), получаем окончательно

Выражение называется двумерным элементом площади в полярных координатах (ср. гл. XV, § 2).

Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты и заменить по формулам (2), а вместо элемента площади и подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования определяется неравенствами

где — однозначные непрерывные функции на отрезке (рис. 259) Тогда по аналогии с прямоугольными координатами (см. § 2) имеем

где

Пример 6.

Переходя к полярным координатам и вычислить двойной интеграл где первая четверть круга радиуса с центром в точке (рис. 260). Так как то , применяя формулу (6), получаем

Область определяется неравенствами Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 7.

В интеграле

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник. ограниченный прямыми (рис. 261).

В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: и, следовательно, область определяется неравенствами Отсюда на основании формул (6) и (8), учитывая, что имеем

Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования

Понятие «двойной интеграл» является естественным обобщением понятия «определенный интеграл» на случай функции двух переменных. Поэтому его определение принципиально не отличается от определения определенного интеграла и вводится аналогичным образом.

Пусть функция или где определена и непрерывна в замкнутой области плоскости то есть на множестве точек координатной плоскости, ограниченная сомкнуты линией (или линиями) , с учетом точек линии — пределы области.

Выполним такую (стандартную) процедуру:

1) разобьем область произвольным образом какими-либо линиями на n частичных областей с площадями (или просто — на плоскостей (рис. 26.1) и самую большую из расстояний между двумя точками границы плоскости назовем диаметром плоскости  а максимальный среди них — диаметром разбиения области
2) выберем на каждой из плоскостей произвольным образом по точке вычислим и найдем произведения
3) составим сумму всех таких произведений

которую назовем интегральной суммой для функции в области
4) вычислим границу (если она существует) интегральной суммы (26.1) при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю при неограниченном росте то есть вместе с

Рис. 26.1

Конечна граница интегральной суммы когда диаметр разбиения стремится к нулю а называется двойным интегралом (от) функции по области и обозначается так:

 или 

где — знак (символ) двойного интеграла;

— область интегрирования;

— подынтегральная функция;

— подынтегральное выражение;

— переменные интегрирования;

— элемент площади, или дифференциал площади.

Следовательно, по определению

Теорема 26.1 (существование двойного интеграла). Если задана функция двух переменных непрерывна в рассматриваемой замкнутой области, то существует конечное предел интегральной суммы (то есть двойной интеграл), и она не зависит ни от способа разбиения области на плоскости, ни от выбора точек в них для составления интегральной суммы.

Теорему приводим без доказательства.
Функция для которой существует двойной интеграл по области называется интегрируемой на этой области.

Согласно теореме 26.1 разбиения области можно осуществлять простым из возможных способов (рис. 26.2), а именно: в декартовой системе координат — прямыми, параллельными координатным осям.

Рис. 26.2

В этом случае плоскость — прямоугольник со сторонами который образуется при переходе от точки к точке где Поэтому потому приросты независимых переменных  равны их дифференциалам:

Таким образом, можно записать:

Геометрический смысл двойного интеграла

В дальнейшем тело, ограниченное поверхностью плоскостью и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси а направляющей предел области (рис. 26.3), коротко будем называть цилиндрическим телом для функции на (области)

Анализируя с геометрической точки зрения процедуру, которая предшествовала определению двойного интеграла для неотъемлемой в области функции приходим к выводу: каждое слагаемое интегральной суммы численно равен объему прямой призмы с площадью основания и высотой (рис. 26.3), а интегральная сумма численно дает приближенное значение объема цилиндрического тела для функции  на области

Рис. 26.3

Свойства двойного интеграла

Сравнивая определение двойного интеграла и определение определенного интеграла функции одной переменной, можно сделать вывод, что по структуре эти определения аналогичны. Поэтому свойства двойного интеграла, а также их доведения почти повторяют соответствующие свойства определенного интеграла. Приведем эти свойства.

1. Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3. Если область разбить на две области и которые не имеют общих внутренних точек, и функция непрерывна в области то

4. Если в области то

5. Если в каждой точке области функции и непрерывны и удовлетворяют условию то

6. Если функция непрерывна в области и удовлетворяет двойное неравенство где и — наименьшее и наибольшее значение функции в области , то

где — площадь области

7. Если функция   непрерывна в области то в этой области существует такая точка что

где — площадь области

Значение называется средним значением функции в области

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Установим формулы для вычисления двойного интеграла  опираясь на его геометрический смысл (26.3) и формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла: (26.11) где — площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси а и = — уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Область плоскости называется правильной, или простой, в направлении оси если она ограничена прямыми  и двумя непрерывными кривыми и  а любая прямая параллельная оси пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис. 26.4 а, б).

Рис. 26.4

Рассмотрим цилиндрическое тело для функции на правильной в направлении оси области (рис. 26.5). Проведем произвольную плоскость, параллельную плоскости В сечении цилиндрического тела этой плоскостью получаем криволинейную трапецию, площадь которой выражается интегралом от функции где фиксировано, а меняется от Таким образом, площадь сечения равна:

Согласно формуле (26.11) объем данного цилиндрического тела равна:

Рис. 26.5

С другой стороны, на основании геометрического смысла двойного интеграла имеем:

Сопоставляя последние две формулы, окончательно получаем:

или в более удобной (для использования) форме:

Правую часть формулы (26.12) как определенный интеграл от определенного интеграла называют двукратным или повторным интегралом от функции по области В нем интеграл по переменной y называют внутренним, а по переменной — внешним интегралом

Согласно формуле (26.12) сначала проводят интегрирования по переменной то есть находят внутренний интеграл (при этом переменная считается постоянной), после чего полученную функцию от интегрируют в пределах от до с переменной то есть вычисляют внешний интеграл.

Аналогично область плоскости называется правильной, или простой, в направлении оси если она ограничена прямыми и  и двумя непрерывными кривыми и а любая прямая , параллельная оси пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис.26.6 а, б).

Рис. 26.6

Для правильной в направлении оси области вычисления двойного интеграла сводится к вычислению двукратного или повторного, интеграла по формуле:

Как итог рассматриваемого наведем порядок нахождения двойного интеграла:

1) строим область интегрирования ограниченную заданными линиями;
2) анализируем ее с целью установления того, является ли она правильной в направлении хотя бы одной из осей координат, и определяем границы интегрирования;
3) применяем одну из формул, (26.12) или (26.13), и находим сначала внутренний интеграл (как правило, со сменными пределами интегрирования), а затем — внешний (с постоянными пределами интегрирования).

Рис. 26.7

Если область не является правильной, то ее подают в виде объединения правильных областей, осуществив ее разбиение на части прямыми, параллельными координатным осям, и применяют свойство 3 двойного интеграла, а именно:

Формулы приведения двойного интеграла к повторным (26.12) и (26.13) существенно упрощаются, если область является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис. 26.7).

В этом случае пределы интегрирования являются постоянными не только для внешнего, но и для внутреннего интеграла:

и в каком порядке интегрировать сначала по переменной а затем по переменной или наоборот, не имеет значения.

Вычислим если область — прямоугольник:  

По формуле (26.15) имеем:

Если подынтегральная функция является произведением функции от с функцией от и пределы интегрирования постоянные, то двойной интеграл равен произведению определенных интегралов по каждой переменной.

Вычислим  если область ограничена линиями: и

Построим область интегрирования (рис. 26.8). Она является правильным в направлении оси поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной а внешнее — по

Рис. 26.8

Вычислим если область  ограничена линиями:
и

Построим область (рис. 26.9).

Рис. 26.9

Она является правильной в направлении оси поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной  а внешнее — по

Вычислим если область ограничена линиями:
и

Построим область (рис. 26.10).
Находим точки взаимного пересечения каждой пары линий, ограничивающих .
Линии — пересекаются в начале координат

Рис. 26.10

Область не является правильным ни в направлении оси ни в направлении оси Разобьем ее прямой на две правильные в направлении оси области и По формуле (26.14) имеем:

Двойной интеграл в полярных координатах

При переходе в двойном интеграле от декартовых координат и  к полярным и используют связь между координатами и (24.4):

и выражение для дифференциала площади в полярных координатах:

Соответствующая формула перехода имеет вид:

где  и — полярные координаты точек области

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению двукратного (повторного) интеграла по переменными и .

Если область является разностью двух криволинейных секторов (рис. 26.11), то есть фигурой, ограниченной лучами, которые образуют с полярной осью углы и и кривыми и где то

Рис. 26.11

Если область ограничена сомкнутой линией и начало координат лежит внутри области, то

Переход к полярным координатам в двойном интеграле целесообразно делать, если область интегрирования представляет собой круг, кольцо или их частями, то есть граница области содержит дуги кругов и отрезки лучей, исходящих из полюса

Вычислим  где — круг 

Пределом области является окружность радиуса 2 с центром в точке

Применим формулы перехода от декартовых координат к полярным:

В координатах уравнение границы области примет вид:

Построим в декартовых координатах круг или  (рис. 26.12). В полярных координатах соответствующая область интегрирования — криволинейный сектор, ограниченный лучами а полярный радиус меняется от до

Рис. 26.12

По формуле (26.17) имеем:

Вычислим с помощью двойного интеграла в полярных координатах несобственный интеграл Эйлера-Пуассона:

Для этого рассмотрим двойной интеграл  где — четверть круга некоторого радиуса расположенного в первом квадранте декартовой системы координат: Для вычисления перейдем к полярным координатам: тогда

Если теперь неограниченно увеличивать радиус то получим несобственный интеграл по всей первой четверти (рис. 26.13), так как при область

Рис. 26.13

расширяется так, что любая точка первой четверти попадет в и останется в ней, а направляться в

С другой стороны, при и и поэтому можно записать:

поскольку определенный интеграл (а с ним и несобственный) не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Таким образом, откуда: 

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла

Если в формуле (26.3): положить то интегральная сумма для функции в области давать приближенно площадь этой области

а за ее точное значение принимается значение интеграла:

Если область — разность двух криволинейных секторов (рис. 26.11) — заданная в полярной системе координат неровностями то

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: 

Построим плоскую фигуру (рис. 26.14) и определим точки пересечения заданных линий — гиперболы и прямой, — решив систему их уравнений:

Рис. 26.14

Решим первое уравнение: откуда  тогда Следующим образом: . (Вторая ветвь гиперболы не показаны, поскольку она не имеет общих точек с прямой

Заданная фигура является областью, правильной и в направлении оси и в направлении оси Для вычисления ее площади воспользуемся формулой (26.19). В соответствующем повторном интеграле внешний интеграл берем по переменной от до а внутренний — по переменной от к

Вычислим площадь плоской области ограниченной кругом  и прямыми

Построим область для чего предварительно сведем уравнение окружности к каноническому виду (рис. 26.15).

Площадь заданной области целесообразно вычислить в полярных координатах: Запишем уравнение окружности в координатах или По уравнениям заданных прямых устанавливаем, что угол изменяется от до Таким образом, согласно формуле (26.20) имеем:

Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла

По определению двойного интеграла и его геометрическим смыслом было доказано, что двойной интеграл равен объему тела, ограниченного поверхностью областью плоскости и цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области и образующими, параллельными оси а именно:

Найдем объем тела, ограниченного поверхностями:

Проанализируем уравнение поверхностей и построим область интегрирования Заданное пространственное тело ограничено: сверху — плоскостью боков — двумя параболическими цилиндрами и с образующими, параллельными оси снизу — областью которая «вырезается» на плоскости цилиндрическими поверхностями и плоскостью (рис. 26.16).

Рис. 26.16

По формуле (26.3) получаем:

Найдем объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостями (в I октанте).

Построим область интегрирования согласно условию задачи (рис. 26.17).
Вычислим объем осуществив в двойном интеграле переход к полярным координатам, при этом уравнение окружности запишется как а прямые и образуют с осью углы и в соответствии.

Рис. 26.17
Итак, по формуле (26.17) получим:

Рассмотрим две задачи, в которых двойной интеграл применяется для вычислений в сфере экономики.

1. Пусть — областьь посевов некоторой сельскохозяйственной культуры. В каждой точке известна урожайность этой культуры (например, по наблюдениям из космоса). Тогда величина численно равна урожая, который можно собрать с области  при отсутствии потерь.

2. Аналогично, если функция описывает плотность населения в точке некоторого региона-области то величина численно равна численности населения этого региона.

В обоих задачах аналитическое выражение подынтегральной функции устанавливается как эмпирическая формула.

Подводя итоги темы «двойной интеграл», отметим, что рядом с двойными существуют также и многомерные (-мерные, ) интегралы. Определение соответствующих интегралов вводятся аналогично тому, как это было сделано при определении двойного интеграла, а их вычисления сводится к вычислению -кратных определенных интегралов. Наиболее распространенными являются тройные интегралы от функции по пространственной (трехмерной) области ограниченной некоторой замкнутой поверхностью. Взятие тройного интеграла сводится к последовательному вычисления трех определенных интегралов.

Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры

Понятие криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы — обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f(x, y) — функция двух переменных, а L — кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

1. Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
2. В каждой части свободно выбрать точку M.
3. Найти значение функции в выбранных точках.
4. Значения функции умножить на
   • длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
   • проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
5. Найти сумму всех произведений.
6. Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.

Случай криволинейного интеграла
первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

M i (ζ i ; η i ) — выбранная на каждом участке точка с координатами.

f i (ζ i ; η i ) — значение функции f(x, y) в выбранной точке.

Δs i — длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δx i — проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔs i — длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

.

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

.

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

.

Криволинейные интегралы второго рода

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

.

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

.

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл

.

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(x, y) и f = Q(x, y) и интегралы

,

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть на плоскости задана кривая y = y(x) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b. Тогда в точках кривой подынтегральная функция f(x, y) = f(x, y(x)) («игрек» должен быть выражен через «икс»), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

.

Если интеграл проще интегрировать по y, то из уравнения кривой нужно выразить x = x(y) («икс» через «игрек»), где и интеграл вычисляем по формуле

.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

где AB — отрезок прямой между точками A(1; −1) и B(2; 1) .

Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ) ):

.

Из уравнения прямой выразим y через x :

.

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни «иксы»:

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

,

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — часть линии окружности

,

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая — четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как

,

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t :

.

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции «игрек», выраженной через «икс»: y = y(x) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение «игрека» через «икс» и определим дифференциал этого выражения «игрека» по «иксу»: . Теперь, когда всё выражено через «икс», криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции «икс», выраженной через «игрек»: x = x(y) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

, если

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке — синяя). Напишем уравнение прямой и выразим «игрек» через «икс»:

.

Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:

б) если L — дуга параболы y = x² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема. Если функции P(x,y) , Q(x,y) и их частные производные , — непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

.

,

а в подынтегральные функции подставим

—

выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L — часть эллипса

отвечающая условию y ≥ 0 .

Решение. Данная кривая — часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .

,

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Если дан криволинейный интеграл и L — замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина.

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox — A(2; 0) , с осью Oy — B(0; −3) .

Из уравнения прямой выразим y :

.

, .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем:

Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — дуга параболы между точками О(0; 0) и B(2; 2) .

Решение. Так как , то .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — дуга астроиды

в первом квадранте.

Решение. В первом квадранте . Определим дифференциал дуги:

Представляем криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычисляем его:

Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — первая арка циклоиды

Решение. Циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π . Определим дифференциал дуги:

.

Подставим в криволинейный интеграл dl и y , выраженные через параметр t и получаем:

Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — отрезок прямой от точки A(1; 1) до точки B(3; 5) .

Решение. Составим уравнение прямой AB :

.

Из полученного уравнения прямой выразим «игрек»:

Поэтому и теперь можем вычислить данный криволинейный интеграл:

Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L — первая арка циклоиды

Решение. Из уравнений кривой следует

.

Так как циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π , то получаем соответствующие пределы интегрирования. Решаем данный криволинейный интеграл:

.

Уравнением кривой M 0 M 1 является y = 1 , тогда dy = 0 , на кривой M 1 M x — константа, значит, dx = 0 . Продолжаем и завершаем решение:

Вычисление длины дуги кривой

Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл первого рода равен длине дуги кривой L:

.

Пример 12. Вычислить длину дуги кривой

,

где .

Решение. Составляем криволинейный интеграл первого рода:

.

Определим производную «игрека»:

.

Продолжаем и завершаем решение:

Вычисление площади участка плоскости

Если границей участка D плоскости является кривая L, то площадь участка D можно вычислить в виде криволинейного интеграла второго рода

.

Пример 13. Вычислить площадь участка плоскости, ограниченного эллипсом

.

Решение. Площадь участка плоскости можно вычислить как криволинейный интеграл второго рода

,

где L — замкнутая линия, ограничивающая участок. Так как

.

Вычисление площади цилиндрической поверхности

Пусть на плоскости xOy дана гладка кривая L, в точках которой определена непрерывная функция двух переменных . Построим цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна оси Oz, и которая заключена между кривой L и поверхностью . Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле

.

Вычисление массы материальной кривой

Если L — материальная кривая с плотностью , то массу материальной кривой можно вычислить по формуле

Определение статических моментов материальной кривой

Статические моменты материальной кривой с плотностью относительно осям координат вычисляются по формулам

,

.

Вычисление моментов инерции материальной кривой

Моменты инерции материальной кривой с плотностью относительно осей координат и начала системы координат можно вычислить по формулам

,

,

.

Вычисление координат центра тяжести материальной кривой

Координаты центра тяжести материальной кривой с плотностью можно определить по формулам

,

.

Вычисление работы силы

Если под воздействием переменной силы материальная точка перемещается из точки M в точку N по кривой L=MN, то приложенную работу можно вычислить по формуле

.

Пример 14. В каждой точке плоскости действует сила . Вычислить работу, совершаемую силой при перемещении единицы массы по дуге параболы из точки O(0;0) в точку А(4;2) .

Решение. Работу силы вычислим как криволинейный интеграл второго рода

.

Используя уравнение параболы, производим замену переменной

Примеры решений криволинейных интегралов

В этом разделе вы найдете подробные решения криволинейных интегралов первого и второго рода (непосредственное вычисление, по разным путям, по формуле Грина), а также применение к вычислению моментов инерции, массы, работы, силы притяжения и т.п.

Криволинейные интегралы 1-го рода: примеры решений

Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по указанной кривой $L$:

Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл I рода $int_L y^2 dl$, $L$ — арка циклоиды $x=(t-sin t)/2$, $y=(1-cos t)/2$, $0 le t le pi$.

Задача 3. Вычислить криволинейный интеграл $int_L y^2 dl$, где $L$ – дуга параболы $y^2=2x$ от точки $(0;0)$ до точки $(1;sqrt<2>)$.

Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 100 рублей, срок от нескольких часов.

Криволинейные интегралы 2-го рода: примеры решений

Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода, взятый вдоль ориентированной кривой $L$: $int_L x^2 dy -xydx$, где $L$ — часть кривой $x^4-y^4=6x^2y$ от точки $A=(-4sqrt<2>;4)$ до точки $B=(0;0)$

Задача 5. Вычислить интеграл $$int_L z^2x dx +(z+x+y)dy +y^2zdz,$$ где $L$ — кривая $a^2+y^2=ax, x^+y^2=z^2$ положительно ориентированная на внешней стороне цилиндра.

Задача 6. Вычислить криволинейный интеграл $int_ (y^2+x)dx+2x/y dy$ вдоль кривой $y=e^x$ от точки $A(0;1)$ до точки $B(1;e)$.

Задача 7. Проверить, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и найти его значение.

Задача 8. Проверить криволинейный интеграл, который не зависит от пути интегрирования, и найти его значение (двумя способами – непосредственно и с помощью потенциала).

Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении, используя формулу Грина

$$int_l (x-y^2)dy + (x^3+3y)dx, quad l: x=y, y=x^2.$$

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Моменты инерции: примеры решений

Задача 10. Найти моменты инерции относительно осей однородных дуг $L$ плотности $rho$.

Задача 11. Вычислить момент инерции верхней половины окружности $x^2+y^2=a^2$ относительно оси $Oy$, если плотность $delta=1$.

Другие задания: примеры решений

Задача 12. Найти координаты силы притяжения дугой астроиды $x=a cos^3 t$, $y=a sin^3 t$, $0 le t le pi/2$ единичной массы, помещенной в начале координат, если плотность астроиды в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат.

Задача 13. Вычислить работу силы $F(z,-x,y)$ вдоль дуги винтовой линии $z=2cos t$, $y=3sin t$, $z=4t$, $0 le t le 2pi$.

Задача 14. Доказать, что данное выражение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ является полным дифференциалом функции $Ф(x,y)$ и найти ее с помощью криволинейного интеграла.

Задача 15. Вычислить работу силы $overline$ при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой $L$ от точки $B$ до точки $C$, если значения параметра $t$ в точках $B$ и $C$ заданы.

$$ overline=-x overline+2y^2overline, quad x=2cos t, y=sint, quad t_B=0, t_C=pi/6. $$

Пример 6.2 Вычислить поверхностный интеграл int(x*dy*dz+y*dx*dz+z*dx*dy, ds) по поверхности сигма — внешняя сторона куба, ограниченного плоскостями z=0, y=0, x=0, x=1, y=1, z=1.

Решение: Построим куб, который ограничен заданными плоскостями:

Вычисляем поверхностный интеграл ІІ рода по всем шести поверхностям, поэтому формула примет вид

Для каждой поверхности куба запишем уравнение плоскости и ее предела по граням:
отсюда — нормальный внешний вектор.
На плоскости Oxz и Oyz поверхность z=1 проектируется в прямые, где dydz=0, dxdz=0

отсюда вектор нормали равен
На плоскости Oxz и Oyz поверхность z=0 проектируется в прямые, где dydz=0.

Поскольку в условии куб ограничен плоскостями z=0, y=0, x=0, x=1, y=1, z=1, то по соответствующим плоскостям ситуация будет аналогична, поэтому поверхностный интеграл равен сумме

Пример 6.4 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность :

(нормаль внешня).
Решение: Уравнение x^2+y^2=2y сводим к каноническому виду x^2+(y-1)^2=1 — цилиндр вытянут вдоль оси Oz и радиусом R=1;
z=x^2+y^2 — эллиптический параболоид с вершиной в начале координат (0;0;0) ветками вытянут вверх вдоль оси Oz.
Построим цилиндр и параболоид

Это вносит определенную ясность в условие задания да и Вам более приятно читать ответы с рисунками, чем голые формулы.
Как видим из рисунка половина области V задается следующими пределами:

Рассматриваем половины в силу четности всех функций, поэтому конечный результат умножим на 2.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=-2x, Q=Q(x;y;z)=z, R=R(x;y;z)=x+y множители при направляющих векторного поля.
Найдем поток векторного поля по формуле Остроградського-Гаусса:

Тройной интеграл сводим к двойному, а дальнейше, перейдя к полярной системе координат, находим значение интеграла.

Пример 6.6 Вычислить поверхностный интеграл int(z²*dy*dz, ds) по поверхности сигма, где — внешняя часть эллипсоида

Решение: Построим эллипсоид и его проекцию в декартовую плоскость:

Проекция плоскости на Oxy ограничена следующим образом

(Взяли четверть области).

Дальше выражаем поверхность как функцию z(x, y)

z^2=(1-x^2/a^2-y^2/b^2) *c^2
затем находим дифференциал поверхности по формуле

Этот интеграл будем вычислять для верхней половины эллипсоида, поскольку для нижней значение поверхностного интеграла будет таким же. Таким образом, результат умножим на 2.
Вычислим направляющие косинусы поверхности:

Перед радикалами поставим знак » — «, поскольку внешняя нормаль  образует с-осью Oz острый угол.
Следовательно, сводим поверхностный интеграл к повторному, дальше делаем замену переменных и находим якобиан перехода.

Все превращения дают возможность без вычисления тяжелых интегралов найти компактный ответ.

Пример 6.9 Вычислить поверхностный интеграл int((y-z)*dy*dz, ds) по поверхности сигма, где сигма — внешняя сторона конической поверхности x^2+y^2=z^2 ().

Решение: Построим конус, который ограничен сверху:
x^2+y^2=z^2 ().

Его проекция в плоскость Oyz дает равнобедренный треугольник, ограниченный линиями

При расстановке пределов учли четность функций, поэтому результат нужно будет умножить на 2.
Находим поверхностный интеграл ІІ рода :

Проинтегрировать приведенные функции по силам каждому студенту.

Пример 6.13 Вычислить поверхностный интеграл int(x*dx*dz, ds) по поверхности сигма, где сигма — внешняя сторона треугольника, образованного пересечением плоскости x-y+z=1 с координатными осями.

Решение: Построим пространственный треугольник x-y+z=1 и его проекцию.

Проектировать всегда следует в ту плоскость Oxz по которой идет интегрирование

Вычисляем поверхностный интеграл ІІ рода:

Пример 6.15 Вычислить поверхностный интеграл int(yz*dy*dz, ds) по поверхности сигма — внешняя сторона треугольника, образованного пересечением плоскости x+y+z=4 с координатными осями.

Решение: Построим плоскость сигма: x+y+z=4.

Видим, что проекция треугольника в Oyz имеет такие пределы

Поверхностный интеграл ІІ рода сводим к повторному и вычисляем

Брать подобные интегралы не сложно, вся проблема сводится к правильному построению поверхности и корректной расстановки пределов интегрирования.
Интегрировать не трудно, поскольку, как правило, заданы самые простые функции.

Пример 6.16 Вычислить поверхностный интеграл int(xz*dx*dz, ds) по поверхности сигма- внешняя сторона треугольника, образованного пересечением плоскости x+y+z=3 с координатными осями.

Решение: Построим пространственный треугольник: x+y+z=3.

Заданная плоскость проектируется на область D в Oxz следующим образом

Имея пределы сводим поверхностный интеграл ІІ рода к повторному

Пример 6.23 Вычислить поверхностный интеграл int((x+z)*dy*dz, ds) по поверхности , где — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.

Решение: Выполняем рисунок к задаче

Плоскость проектируется треугольником в Oyz

Поверхностный интеграл ІІ рода вычисляем с учетом уравнения поверхности x=1-y-z.

Вычисления сами по себе тяжелые, потому на практических и экзаменах эта тема не должна создавать Вам трудностей.