Как найти критическую область распределения

1) Отыскание правосторонних критических
областей. Чтобы найти критическую
область надо найти критическую точку.
Для ее нахождения задают определенный
уровень значимости ,
а затем при выполнении нулевой гипотезы
вероятность выполнения неравенства
P(K>k_кр)=.
Далее критическая точка определяется
по таблице приложений. Если после
нахождения критической точки K>k_кр,
то нулевую гипотезу отвергают, противном
случае принимают.

2) отыскание левосторонних критических
областей. Сводится к отысканию
критической точки. Левосторонняя
критическая область определяется
неравенством: K<k_кр,
где k_кр<0.

Критическую точку находят из требования,
что при справедливости нулевой гипотезы,
при заданном уровне значимости 
выполняется равенство: P(K<k_кр)=.

3) отыскание двусторонних критических
областей. Сводится к отысканию
критических точек. Двусторонняя
критическая область определяется
неравенствами: K<k₁;
K>k₂
, где k₂> k₁.
Критическая точка определяется из
требования, что пр справедливости
нулевой гипотезы при заданном уровне
значимости 
выполняется равенство:P(K<k₁)+
P(K>k₂)=.

В частности, если при справедливости
нулевой гипотезы можно получить
распределения критерия K, симметричного
относительно нуля, и как следствие
задать критические точки, также
симметричные относительно 0, т.е. получаем
точки –k_кр и +k_кр, где k_кр>0.

Тогда P ( K
< — k_кр ) = P ( K
> + k_кр)=/2.

Мы строили критическую область, исходя
из предположения, что вероятность
попадания критерия в критическую область
равна заданному уровню значимости 
при справедливости нулевой гипотезы.
Оказывается, целесообразно рассмотреть
вероятность попадания критерия в
критическую область справа при
справедливости конкурирующей гипотезы
Н₁. Т.е. гипотезу Н₀ отвергаем.

опр: Мощностью критерия называют
попадание критерия в критическую область
при справедливости конкурирующей
гипотезы. Пусть для проверки гипотезы
задан определенный уровень значимости
 и фиксированный
объем выборки n, тогда
критическую область нужно строить так,
чтобы мощность критерия была максимальна,
при этом ошибка второго рода сводится
к минимуму.

30. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

На практике задача сравнения дисперсий
возникает в том случае, если требуется
сравнить точность приборов, инструментов
либо методов измерений. Очевидно, точнее
тот прибор, инструмент, метод, для
которого дисперсия минимальна.

Пусть генеральные совокупности Х и У
распределены нормально. По независимым
выборкам с объемом соответственно n₁
и n₂, извлеченным из
соответствующей генеральной совокупности
вычислены исправленные выборочные
дисперсии S_x²
и S_y².
Требуется по исправленным дисперсиям
при заданном уровне значимости 
проверить нулевую гипотезу о равенстве
дисперсий генеральной совокупности
Н₀:D(X)=(Y).

Если окажется, что гипотеза Н₀
верна, т.е. генеральные дисперсии равны,
то различие выборочных дисперсий
незначимо, что объясняется случайными
причинами. Например, случайным отбором
элементов выборки. Например, если
различие исправленных выборочных
дисперсий незначимо, а они вычислены
по выборке, показывающей точность
измерения, то это означает, что оба
прибора, на которых производятся
измерения, имеют одинаковые точности.
Если гипотеза Н₀ отвергнута, т.е.
исправленные выборочные дисперсии
различаются значимо, то это не может
объясняться случайными причинами, а
означает, что сами генеральные дисперсии
различны.

В качестве критерия проверки гипотезы
Н₀ вводят случайную величину F:

. Величина f при справедливости
гипотезы Н₀ имеет распределение
Фишера – Снедекорда с k₁=n₁-1
и k₂=n₂-1
степенями свободы, где k₁
– степень свободы выборки с наибольшей
дисперсией. Ее значение (случайной
величины F) по заданному
уровню значимости ,
а также степенями свободы k₁
и k₂ определяют
по таблице критических точек распределения
Фишера – Снедекорда. (F(,k₁,k₂))
и по полученной критической точке
определяют критическую область.
Критические области в зависимости от
конкурирующей гипотезы различаются:

Случай 1:

Гипотеза Н₀: D(X)=D(Y)

Гипотеза Н₁: D(X)>D(Y)

В этом случае строят одностороннюю
критическую область, а именно
правостороннюю, исходя из требования,
чтобы вероятность попадания критерия
в критическую область, при справедливости
Н₀ была равна заданному уровню
значимости .

P(F<F_кр(,
k₁, k₂))=.
Критическую точку F_кр(,
k₁, k₂)
находят по таблице приложений, учитывая,
что k₁ — степень
свободы выборки с наибольшей исправленной
дисперсией. Далее вычисляют наблюдаемое
значение критерия:

,
и сравнивают между собой F_кр
и F_набл.

Если F_набл<F_кр,
то Н₀ – отвергают, если F_набл>F_кр,
то Н₀ – принимают.

В этом случае строят двухстороннюю
критическую область, исходя из требования,
чтобы вероятность попадания критерия
в эту область при справедливости нулевой
гипотезы была равна заданному уровню
значимости .

Нам нужно выбрать границы двусторонней
критической области. Оказывается, что
наибольшая мощность критерия в любом
из двух интервалов критической области
равна /2. Т.о., если
обозначить через F₁
левую границу критической области, а
через F₂ – вторую,
тогда P(F<F₁)=P(F>F₂)=/2.
Мы видим, что достаточно найти критические
точки, чтобы найти саму критическую
область. Правую критическую область
F₂=F_кр(/2,
k₁, k₂)
находим по таблице приложений. При этом
не только вероятность попадания критерия
в правую часть критической области
равна /2, но и
вероятность попадания в левую часть
критической области также равна /2.
Т.к. эти события несовместны, то
P(F<F₁;F>F₂)=/2+/2=.
Далее находят F_набл:

и
сравнивают F_набл с
F_кр.

Если F_набл<F_кр,
то Н₀ – отвергают, если F_набл>F_кр,
то Н₀ – отвергают.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



5.5. Гипотеза о генеральной средней нормального распределения

Постановка задачи такова: предполагается, что генеральная

средняя  нормального

распределения равна некоторому значению . Это нулевая гипотеза:

Для проверки гипотезы на уровне значимости  проводится выборка

объема  и рассчитывается выборочная средняя . Исходя из полученного значения и специфики той или иной задачи, можно

сформулировать следующие конкурирующие гипотезы:

1)
2)
3)
4) , где  – конкретное альтернативное значение

генеральной средней.

При этом возможны две принципиально разные ситуации:

5.5.1. Если генеральная дисперсия  известна

Тогда в качестве статистического критерия  рассматривают случайную величину , где  – случайное значение выборочной средней. Почему случайное?

Потому что в разных выборках мы будем получать разные значения , и заранее предугадать это значение невозможно.

Далее находим критическую область. Для конкурирующих гипотез  и  (случай ) строится левосторонняя область, для гипотез  и  (случай ) – правосторонняя, и для гипотезы  – двусторонняя – по той причине, что

конкурирующее значение генеральной средней может оказаться как больше, так и меньше -го.

Чтобы найти критическую область нужно отыскать критическое значение . Оно определяется из соотношения   – для односторонней области (лево-

или право-) и  – для

двусторонней области, где  –

выбранный уровень значимости, а  – старая знакомая функция

Лапласа.

Теперь на основании выборочных данных рассчитываем наблюдаемое значение

критерия:

Это можно было сделать и раньше, но такой порядок более последователен и логичен.

Интерпретация результатов зависит от типа критической области:

1) Для левосторонней критической области. Если , то гипотеза  на уровне значимости  принимается. Если  , то отвергается. И картинки тут недавно были, просто заменю букву:

2) Правосторонняя критическая область. Если , то гипотеза  принимается, в случае  (красный цвет) – отвергается:

3) Двусторонняя критическая область. Если  (незаштрихованный интервал), то гипотеза  принимается, в противном случае –

отвергается:

Условие принятия гипотезы здесь часто записывают компактно – с помощью модуля:

И немедленно приступаем к задачам, а то по студенческим меркам я тут уже на пол диссертации наговорил:)

Пример 31

Из нормальной генеральной совокупности с известной дисперсией  извлечена выборка объёма  и по ней найдена выборочная средняя . Требуется на уровне значимости 0,01 проверить нулевую

гипотезу  против конкурирующей

гипотезы .

Прежде чем приступить к решению, пару слов о смысле такой задачи. Есть генеральная совокупность с известной

дисперсией и есть веские основания полагать, что генеральная средняя равна 20 (нулевая гипотеза). В результате

выборочной проверки получена выборочная средняя 19,3, и возникает вопрос: это результат случайный или

же генеральная средняя и на самом деле меньше двадцати? – в частности, равна 19 (конкурирующая гипотеза).

Решение: по условию, известна генеральная дисперсия , поэтому для проверки гипотезы  используем случайную величину .
Найдём критическую область. Для этого нужно найти критическое значение. Так как конкурирующее значение 

 меньше чем , то критическая область будет

левосторонней (см. теоретический материал выше).

Критическое значение  определим из соотношения . Для уровня значимости :

По таблице значений функции Лапласа или с помощью экселевского Макета (пункт 1*) определяем, что этому значению функции соответствует аргумент . Таким образом, при  (красная критическая область) нулевая

гипотеза отвергается, а при  –

принимается:

В данном случае .

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на

уровне значимости  нулевую

гипотезу  принимаем.

Такой, вроде бы неожиданный результат, объясняется тем, что генеральное

стандартное отклонение достаточно великО: , а посему нет оснований отвергать «главное» значение  (несмотря на то, что выборочная средняя  гораздо ближе к конкурирующему

значению  ). Иными словами, такое

значение выборочной средней, вероятнее всего, объясняется естественным разбросом вариант .

Ответ: на уровне значимости 0,01 нулевую гипотезу принимаем.

Что означает «на уровне значимости 0,01»? Это означает, что мы с 1%-ной вероятностью рисковали отвергнуть

нулевую гипотезу, при условии, что она действительно справедлива. Не забываем, что на самом деле она всё же может быть

и неверной, т.к. существует -вероятность того, мы приняли неправильную гипотезу.

Примеры расчёта мощности критерия  для заданного уровня значимости  и различных конкурирующих значений можно найти,

например, в учебном пособии и задачнике В. Е. Гмурмана (поздние издания). Это более редкая задача, на которой я не

останавливаюсь в своём курсе, ибо его цель – разобрать наиболее «ходовые» задачи
и, главное – заинтересовать вас математической статистикой!

То была «обезличенная» задача, коих очень много, но мы будем менять мир к лучшему… физическими и химическими способами:)

Заодно и понятнее будет, что здесь к чему:

Пример 32

По результатам  измерений

температуры в печи найдено .

Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с . Проверить на уровне значимости  гипотезу  против конкурирующей гипотезы .

Сначала разберём, в чём жизненность этой ситуации. Есть печка. Для нормального технологического процесса нужна

температура 250 градусов. Для проверки этой нормы 5 раз измерили температуру, получили 256 градусов. Из многократных

предыдущих опытов известно, что среднеквадратическая погрешность измерений составляет 6 градусов (она обусловлена погрешностью

самого термометра и другими случайными обстоятельствами)

И здесь не понятно, почему выборочный результат (256 градусов) получился больше нормы – то ли температура действительно

выше и печь нуждается в регулировке, то ли это просто погрешность измерений, которую можно не принимать во внимание.

Решение: по условию, известно генеральное среднее квадратическое отклонение , поэтому для проверки гипотезы  используем случайную величину .

Найдём критическую область. Так как в конкурирующей гипотезе  речь идёт о бОльших значениях температуры, то эта область будет

правосторонней. Критическое значение определим из соотношения . Для уровня значимости :

По таблице значений функции Лапласа или с помощью Макета (пункт 1*) определяем, что . Таким образом, при   (красный цвет) нулевая гипотеза отвергается, а при  – принимается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне

значимости  нулевую гипотезу

 отвергаем.

Как бы сказали статистики, выборочный результат  статистически значимо отличается от нормативного значения , и печь нуждается в регулировке (для

уменьшения температуры).

Ответ: на уровне значимости  гипотезу  отвергаем.

Ещё раз осмыслим – что означает «на уровне значимости 0,05»? Это означает, что с вероятностью 5% мы отвергли

правильную гипотезу (совершили ошибку 1-го рода). И тут остаётся взвесить риск – насколько критично чуть-чуть уменьшить

температуру (если мы всё-таки ошиблись и температура на самом деле в норме). Если даже небольшое уменьшение температуры

недопустимо, то имеет смысл провести повторное, более качественное исследование: увеличить количество замеров , использовать более совершенный термометр,

улучшить условия эксперимента и т.д.

Следующая задача для самостоятельного решения, и на всякий случай я ещё раз продублирую ссылку на таблицу значений функции Лапласа и Макет:

Пример 33

Средний вес таблетки сильнодействующего лекарства (номинал) должен быть равен 0,5 мг. Выборочная проверка  выпущенных таблеток показала, что средний вес

таблетки равен  мг. Многократными

предварительными опытами на фармацевтическом заводе установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним

квадратическим отклонением  мг. На

уровне значимости  проверить

гипотезу о том, что средний вес таблеток действительно равен .

РассмотрИте как конкурирующую гипотезу , так и гипотезу . И в самом деле – ведь полученное значение  является случайным и в другой выборке оно

может запросто оказаться и меньше чем 0,5.

Краткое решение, как обычно, в конце книги.

Кстати, это ещё один пример, где ошибка 2-го рода (ошибочное принятие неверной нулевой гипотезы), может повлечь

гораздо более тяжелые последствия (опасную передозировку). Поэтому в такой ситуации лучше включить паранойю и увеличить уровень

значимости до  – при этом мы

будем чаще отвергать правильную нулевую гипотезу (совершать ошибку 1-го рода), но зато перестрахуемся и проведём более

тщательное исследование.

Можно ли одновременно уменьшить вероятности ошибок 1-го и 2-го рода?
(значения  и ) 

Да можно. Если увеличить объём выборки. Что совершенно логично.

Теперь вторая ситуация. Та же задача, почти всё то же самое, но:

5.5.2. Генеральная дисперсия  НЕ известна

Если значение  не

известно, то остаётся ориентироваться на исправленную выборочную дисперсию

 и критерий  , где  – случайное значение выборочной средней, а  – соответствующее исправленное стандартное отклонение. Данная случайная величина имеет

распределение Стьюдента с  степенями свободы. Алгоритм

решения полностью сохраняется:

Пример 34

На основании  измерений

найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна  мм и  мм. В предположении о нормальном распределении проверить на уровне

значимости  гипотезу  мм против конкурирующей гипотезы  мм.

И начнём мы опять со смысла задачи. Согласно норме, высота сальниковой камеры должна равняться 50 мм. Но по выборке из 7

измерений получено среднее значение 51 мм и за неимением генеральной дисперсии вычислена исправленная

выборочная дисперсия. Возникает вопрос: выборочный результат случаен или нет?

Решение: так как генеральная дисперсия не известна, то для проверки гипотезы  используем случайную величину .

Конкурирующая гипотеза имеет вид , а значит, речь идёт о двусторонней критической области. Критическое значение можно найти по таблице распределения Стьюдента либо с помощью Макета (пункт 2в). Для уровня значимости  и количества степеней свободы :

Таким образом, при  нулевая

гипотеза принимается, и вне этого интервала (в критической области при ) – отвергается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:
 – полученное значение попало в

область принятия гипотезы (), поэтому на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу

принимаем.

Ответ: на уровне значимости 0,05 гипотезу  мм принимаем.

Иными словами, с точки зрения статистики, выборочный результат  мм, скорее всего (! но это не точно), обусловлен погрешностью

выборки, и на самом деле высота сальниковой камеры соответствует норме (50 мм).

Творческая задача для самостоятельного решения:

Пример 35

Нормативный расход автомобильного двигателя составляет 10 л на 100 км. После конструктивных изменений, направленных на

уменьшение этого показателя, были получены следующие результаты 10 тестовых заездов:

На уровне значимости 0,05 выяснить, действительно ли расход топлива стал меньше.

Да, это не редкость – когда нужно не только проверить гипотезу, но и предварительно рассчитать выборочные значения.

Следует отметить, что даже при известной генеральной дисперсии, ориентироваться на неё тут нельзя, ибо

конструктивные изменения могут изменить не только генеральную среднюю, но и генеральную дисперсию.

И в лучших традициях книги, все числа уже забиты в Эксель – там же инструкция по

расчётам выборочных показателей. Если кто-то что-то запамятовал, то вот ролик о

том, как провести эти вычисления быстро (Ютуб).

В данной задаче критическая область левосторонняя, и критическое значение  для односторонней  области отыскивается по самой нижней строке таблицы или с помощью Макета (тот же пункт 2в). Постарайтесь грамотно оформить решение, образец в конце

книги.  Продолжаем.

Как отмечалось в начале главы, статистической является гипотеза либо о

законе распределения статистической совокупности либо о числовых параметрах известных  распределений, и начали мы со

второй группы. Таких гипотез воз и маленькая

тележка, и самые популярные из них я только что разобрал. Теперь перейдём к 1-му типу гипотез:

5.6. Гипотеза о законе распределения генеральной совокупности

5.4. Процесс проверки статистической гипотезы

| Оглавление |



Проверка статистических гипотез

Лиховодова Т.Б. Лекция.
Статистическая проверка гипотез о виде закона распределения
1.1. Задача выравнивания статистического распределения.
Задача определения вида закона распределения случайной величины состоит из двух этапов. На первом этапе решается задача «выравнивания» статистического распределения. Порядок решения этой задачи может быть следующим:
1. На основании статистических данных, оформленных в виде интервальной таблицы частот P*, строят полигон или гистограмму и по внешнему виду этих графиков выдвигают гипотезу (делают предположение) о возможном теоретическом законе распределения случайной величины (кривой распределения).
Замечание: В некоторых случаях вид теоретической кривой распределения выбирается заранее из соображений, связанных с существом задачи.
2. Выясняют, от каких параметров зависит аналитическое выражение выбранной кривой распределения, и находят статистические оценки этих параметров. В этом случае задача выравнивания статистического распределения переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями оказывается наилучшим.
Например, если выдвигается гипотеза о нормальном законе распределения X ~ N(α; σ), то он зависит только от двух параметров: математического ожидания а и среднего квадратического отклонения σ. Их наилучшими статистическими оценками будут соответственно среднее выборочное и выборочное среднее квадратическое отклонение то есть
,
3. С учетом выдвинутой гипотезы о законе распределения случайной величины находят вероятности рi, попадания случайной величины в каждый из интервалов, указанных в статистической таблице распределения, записывают их в третьей строке таблицы и сравнивают полученные значения вероятностей рi, с соответствующими данными частотами рi* (для наглядности можно изобразить графически). Проводя такое сравнение, делается приблизительная оценка степени согласования статистического и теоретического распределений. На этом первый этап решения задачи об определении закона распределения случайной величины заканчивается.
Пример 2. Для разумного планирования и организации работы ремонтных мастерских специальной техники оказалось необходимым изучить длительность ремонтных операций, производимых мастерскими. Результаты (сгруппированные по интервалам) соответствующего статистического обследования (фиксированы длительности операций в 100 случаях) представлены таблицей:
li
0-20
20-40
40-60
60-80
80 -100
100-120
120-140
ni
36
24
16
10
7
4
3
Требуется выровнять это статистическое распределение с помощью показательного закона
(при ),
где λ — длительность операции в единицу времени.
Решение.
1. По данной таблице абсолютных частот построим таблицу относительных частот и соответствующую ей гистограмму.
.
Гистограмма относительных частот имеет вид:
Высоты прямоугольников гистограммы равны:
; ;
; ;
2. По внешнему виду гистограммы выдвигаем гипотезу, что случайная величина T (время ремонта) подчиняется показательному закону
,
который зависит только от одного параметра λ (длительность операции в единицу времени).
Параметр
,
где mi- математическое ожидание (среднее время ремонта) случайной величины T.
Следовательно, для выравнивания статистического распределения с помощью кривой показательного распределения найдем статистическую оценку параметра mi:
(числа 10, 30, 50, 70, 90, 110, 130 – это середины интервалов).
Тогда параметр .
3. Запишем теоретический закон распределения в виде функции плотности вероятности с учетом значения :
.
По формуле вероятности попадания случайной величины (распределенной по показательному закону) на заданный интервал (α, β)
найдем теоретические вероятности рi, попадания случайной величины Т в каждый из семи интервалов и сравним их с соответствующими статистическими частотами pi *.
;
;
;
;
;
;
.
Для удобства сравнения теоретических вероятностей pi с частотами рi* запишем полученные вероятности pi в третью строку таблицы:
li
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
100-120
120-140
pi*
0,36
0,24
0,16
0,10
0,07
0,04
0,03
pi
0,40
0,23
0,15
0,08
0,06
0,03
0,02
Замечаем, что расхождение между опытными частотами рi* и теоретическими вероятностями рi незначительны. Следовательно, вполне допустима гипотеза о показательном законе распределения изучаемой случайной величины Т.
4. Построим на одном графике с гистограммой выравнивающую ее кривую распределения f(t) . Для этого вычислим значения
например, на правых концах интервалов.
;
;
;
;
;
;
.
Построим график полученной кривой распределения f(t), в той же системе координат, что и гистограмма относительных частот.
Из рисунка видно, что теоретическая кривая f(t) сохраняет, в основном, существенные особенности статистического распределения.
Пример 3. При массовых стрельбах из пушек для одинаковых общих условий были зафиксированы продольные ошибки (в метрах) попадания снарядов в цель:
4,8; -3,2; -15,0; 9,5; 36,6; 12,1; 20,9; 8,4; -4,0; 30,5; 22,3; 7,5; 12,7; 23,4; 8,4; 28,4; -8,5; 6,5; -16,5; 2,5; 14,9; 31,2; 4,3; 21,2; 27,5; 20,6; 2,0; -38,5; 3,8; 18,0; 16,8; 0,6; -22,5; 1,5; -9,0; 12,4; 3,5; -22,5; 5,8; -12,6; 7,7; 8,0; 17,0; 26,1; 8,0; -32,0; 9,8; -9,8; 0,8; 2,6; 32,4; 3,9; 11,7; 35,5; 5,0; -14,6;-3,8; -36,0; -26,0; 8,2; 19,6; -9,2; 38,0; 3,4; 6,7; 11,4; -6,6; 19,4; 45,5; 2,3; -13,1; -2,5; 3,8; 26,3; 12,7; 39,0; -25,0; 4,0; 1,8; -11,0; 17,2; 1,2; 51,0; 25,8; 1,0; 22,3; -3,5; -10,5; 37,4; 14,7; 24,8; -1,0; 0,9; -20,5; 56,4; -0,8; 5,0; 0,4; -0,3; 17,1; 25,0; 13,3; 15,5;-19,4; -9,5; 19,7; 32,5; 15,7; 20,1; -1,5; 25,0; 27,5; -7,5; 32,0; 17,3; 58,2; 9,5; -15,7; 6,2; -8,4; 21,1; 18,9; 14,0; 28,8; 25,5; -16,8; 3,4;-4,7; 40,5; 16,3; -5,4; 28,9; 59,5; 14,4; 11,9; 24,6; 13,5; -12,9; 10,9; -24,9;-7,4; 11,0; 42,0; 2,1; 12,4; 22,0; 22,8;-8,0; 29,6; 5,8; -6,8; -4,5; 10,5; 44,0; 21,4; -5,0; 10,2; -8,2; -9,0; -23,7.
Построить гистограмму, выдвинуть гипотезу о наиболее подходящем законе распределения изучаемой случайной величины и произвести выравнивание статистического распределения с помощью предложенного теоретического распределения.
Решение.
1. Построим интервальный статистический ряд и гистограмму случайной величины X — продольных ошибок попадания снарядов в цель.
В данном случае наименьшая ошибка равна (-38,5 м), наибольшая — (59,5 м). Диапазон изменения ошибок разобьем на 10 равных интервалов. Для простоты расчета возьмем диапазон изменения ошибок от — 40 м до 60 м.
Объем выборки n=160. Интервальная таблица частот примет вид:
li
(-40;-30)
(-30;-20)
(-20;-10)
(-10;0)
(0;10)
(10;20)
(20;30)
(30;40)
(40;50)
(50; 60)
ni
4
5
11
24
39
31
28
9
5
4
pi*
0,025
0,031
0,069
0,15
0,24
0,19
0,175
0,056
0,031
0,025
Построим гистограмму относительных частот:
2. Внешний вид гистограммы статистического распределения случайной величины X позволяет нам выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения:
.
Нормальный закон зависит от двух параметров: от математического ожидания α и среднего квадратического отклонения σ.
Найдем оценки этих параметров с помощью выборочных данных.
С учетом полученных оценок параметров α и σ запишем функцию плотности нормального закона распределения:
.
3. Найдем теоретические вероятности рi, попадания случайной величины X на каждый из 10 интервалов по следующей формуле:
и сравним их с данными частотами pi*.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Внесем значения рi, для сравнения с рi* в таблицу:
li
(-40; -30)
(-30; -20)
(-20; -10)
(-10; 0)
(0; 10)
(10; 20)
(20; 30)
(30; 40)
(40; 50)
(50; 60)
pi*
0,025
0,031
0,069
0,15
0,24
0,19
0,175
0,056
0,031
0,025
pi
0,012
0,037
0,087
0,158
0,206
0,205
0,155
0,085
0,036
0,012
Поскольку расхождения статистического и теоретического распределений незначительны, то вполне может быть правдоподобной гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины X. Справедливость выдвинутого предположения проверяется с помощью «критерия согласия» Пирсона.
1.2. Задача проверки правдоподобия гипотез о законе распределения с помощью «критерия согласия» (критерия Пирсона)
При изучении многих статистических данных необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен и есть основания предположить, что он имеет определенный вид, то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. В данной гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.
Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр θ равен определенному значению , то выдвигают гипотезу: θ =.Здесь речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.
Возможны гипотезы о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и др.
Все выводы, которые делаются в математической статистике, вообще говоря, являются гипотезами, т.е. предположениями о неизвестных параметрах известных распределений, об общем виде неизвестного теоретического распределения или функции распределения изучаемой случайной величины. Такие гипотезы называют статистическими гипотезами. Различают простые и сложные, параметрические и непараметрические статистические гипотезы. Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет закон распределения случайной величины. Сложной называют гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, гипотезы «вероятность появления события A в схеме Бернулли равна 0,4 «, «закон распределения случайной величины– нормальный с параметрами α=0, σ=1» являются простыми в отличие от сложных гипотез: «вероятность появления события A в схеме Бернулли заключена между значениями 0,3 и 0,6», «закон распределения случайной величины не является нормальным». Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое условие о значении параметра известного распределения. Гипотезу, в которой сформулированы предположения относительно вида распределения, называют непараметрической.
Если исследовать всю генеральную совокупность, то, естественно, можно было бы наиболее точно установить справедливость выдвигаемой гипотезы. Однако такое исследование не всегда возможно, и суждение об истинности статистических гипотез проверяется на основании выборки. Выдвигаемую (проверяемую) гипотезу называют основной или нулевой гипотезой H0. Если, например, по полигону или гистограмме частот, построенным по некоторой выборке, можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону, то может быть выдвинута гипотеза H0: α=α0, σ=σ0. Одновременно с гипотезой H0 выдвигается альтернативная (конкурирующая) гипотеза H1. Если гипотеза H0 будет отвергнута, то имеет место конкурирующая ей гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H1, являющуюся логическим отрицанием H0.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, в связи с чем возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку осуществляют статистическими методами, ее называют статистической. В результате статистической проверки гипотезы неправильное решение может быть принято в двух случаях: с одной стороны, на основании результатов опыта можно отвергнуть правильную гипотезу; с другой– можно принять неверную гипотезу. Очевидно, последствия этих ошибок могут оказаться различными. Отметим, что правильное решение может быть принято также в двух случаях:
1) гипотеза принимается, и она в действительности является правильной;
2) гипотеза отвергается, и она в действительности не верна.
По полученным значениям статистики основная гипотеза принимается или отклоняется. При этом, так как выборка носит случайный характер, могут быть допущены два вида ошибок:
– может быть отвергнута правильная гипотеза, в этом случае допускается ошибка первого рода;
– может быть принята неверная гипотеза, тогда допускается ошибка второго рода.
Вероятность α совершить ошибку 1 рода, т.е. отвергнуть гипотезу H0, когда она верна, называется уровнем значимости критерия. Обычно принимают α= 0,1; 0,05; ; 0,01. Смысл α: при α= 0,05 в 5 случаях из 100 имеется риск допустить ошибку 1 рода, т.е. отвергнуть правильную гипотезу.
Вероятность допустить ошибку 2 рода, т.е. принять гипотезу H0, когда она неверна, обозначают β. Вероятность 1–β не допустить ошибку 2 рода, т.е. отвергнуть гипотезу H0, когда она ошибочна, называется мощностью критерия.
Для проверки справедливости нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину K, точное или приближенное распределение которой известно. Эту случайную величину K, которая служит для проверки нулевой гипотезы, называют статистическим критерием (или просто критерием).
Для проверки статистической гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и получают частное (наблюдаемое) значение критерия Kнабл.
После выбора определенного статистического критерия для решения вопроса о принятии или непринятии гипотезы множество его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых называется областью принятия гипотезы (или областью допустимых значений критерия), а второе – критической областью.
Критической областью называется совокупность значений статистического критерия K, при которых нулевую гипотезу H0 отвергают.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений критерия) называется совокупность значений статистического критерия K, при которых нулевую гипотезу H0 принимают.
Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение статистического критерия Kнабл принадлежит критической области, то основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной; если оно принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
Поскольку статистический критерий K – одномерная случайная величина, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Следовательно, и критическая область, и область принятия гипотезы – также интервалы. Тогда должны существовать точки, их разделяющие.
Критическими точками (границами) kкр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
В отличие от интервального оценивания параметров, в котором имелась лишь одна возможность ошибки – получение доверительного интервала, не накрывающего оцениваемый параметр – при проверке статистических гипотез возможна двойная ошибка (как I рода α, так и II рода β). Вероятности оценок I и II рода (α и β ) однозначно определяются выбором критической области. Естественным является желание сделать α и β сколь угодно малыми. Однако эти требования являются противоречивыми, ибо при фиксированном объеме выборки можно сделать сколь угодно малой лишь одну из величин – α или β, что сопряжено с неизбежным увеличением другой.
Одновременное уменьшение вероятностей α и β возможно лишь при увеличении объема выборки. При разработке статистических критериев необходимо уменьшать как ошибку I рода, так и ошибку II рода.
Поскольку одновременное уменьшение ошибок I и II рода невозможно, то при нахождении критических областей для данной статистики уровень значимости задают, стараясь подобрать такой критерий, чтобы вероятность ошибки II рода была наименьшей.
Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области.
Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K>kкр, где kкр>0.
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K

k2, где k2>k1.
Если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами K<-kкр, K>kкр, где kкр>0 или, что равносильно, |K|>kкр.
Как найти критическую область? Пусть K=K(x1,x2,…,xn)– статистический критерий, выбранный для проверки нулевой гипотезы H0, k0– некоторое число, . Найдем правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K>kкр, где kкр>0. Для ее отыскания достаточно найти критическую точку kкр. Рассмотрим вероятность P(K>k0) в предположении, что гипотеза H0 верна. Очевидно, что с ростом k0 вероятность P(K>k0) уменьшается. Тогда k0 можно выбрать настолько большим, что вероятность P(K>k0) станет ничтожно малой. Другими словами, при заданном уровне значимости α можно определить критическое значение kкр из неравенства P(K>kкр)=α.
Критическую точку kкр ищут из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы H0 вероятность того, что критерий K примет значение, большее kкр, была равна принятому уровню значимости α:
.
Для каждого из известных статистических критериев (нормального, Стьюдента, критерия Пирсона χ2 , Фишера-Снедекора, Кочрена и др.) имеются соответствующие таблицы, по которым находят kкр, удовлетворяющее этим требованиям. После нахождения kкр по данным выборок вычисляют реализовавшееся (наблюдаемое) значение Кнабл критерия K. Если окажется, что Kнабл>kкр, (т.е. реализовалось маловероятное событие), то нулевая гипотеза Н0 отвергается. Следовательно, принимается конкурирующая гипотеза H1. Если же Kнаблk2, где k2>k1. Критические точки k1, k2 находят из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы Н0 сумма вероятностей того, что критерий K примет значение, меньшее k1 или большее k2, была равна принятому уровню значимости α:
.
Если распределение критерия симметрично относительно нуля, и для увеличения его мощности выбрать симметричные относительно нуля точки– kкр и kкр, kкр>0, то , и из следует
.
Это соотношение и служит для отыскания критических точек двусторонней критической области.
Отметим, что принцип проверки статистической гипотезы не дает логического доказательства ее верности или неверности. Принятие гипотезы Н0 следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный содержащийся в ней факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.
Если проверка статистических гипотез основана на предположении об известном законе распределения генеральной совокупности, из которого следует определенное распределение критерия, то критерии проверки таких гипотез называют параметрическими критериями. Если закон распределения генеральной совокупности неизвестен, то соответствующие критерии называются непараметрическими. Понятно, что непараметрические критерии обладают значительно меньшей мощностью, чем параметрические. Отсюда следует, что для сохранения той же мощности при использовании непараметрического критерия по сравнению с параметрическим необходимо иметь значительно больший объем наблюдений.
В случае если закон распределения генеральной совокупности неизвестен, но имеются основания предположить, что предполагаемый закон имеет определенный вид (например, А), то проверяют нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность распределена по закону A.
Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения так же, как и проверка гипотезы о неизвестных параметрах известного закона распределения, производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Поэтому возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на этот вопрос и служат критерии согласия.
Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Одним из основных критериев согласия является критерий χ2 (критерий Пирсона).
Критерий Пирсона позволяет, в частности, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Для проверки этой гипотезы будем сравнивать эмпирические (т.е. наблюдаемые) и теоретические (т.е. вычисленные в предположении нормального закона распределения) частоты, которые, как правило, различаются.
Случайно (незначимо) или неслучайно (значимо) это расхождение? Ответ на этот вопрос и дает критерий согласия Пирсона. Для проверки предположения о нормальном распределения с помощью критерия Пирсона обычно выполняют следующий алгоритм.
1. Весь интервал наблюдаемых значений случайной величины X (выборки объема n) делят на k частичных интервалов (одинаковой длины, находят середины частичных интервалов
.
В качестве частоты ni варианты xi*принимают число вариант, попавших в i -ый интервал. Получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:
xi*
x1*
x2*
…
xl*
ni
n1
n2
…
nl
2. Вычисляют в * и выборочное среднее квадратическое отклонение σ*.
3. Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к величине и вычисляют концы интервалов (:, , причем полагают наименьшее значение z1 =−∞, а наибольшее zк = +∞.
4. Вычисляют теоретические вероятности pi попадания случайной величины в интервалы ( по формуле
,
где Φ(x) – функция Лапласа.
Находят теоретические частоты ni’=npi.
Пусть по выборке объема нормально распределенной генеральной совокупности получено эмпирическое распределение
xi
x1
x2
…
xl
ni
n1
n2
…
nl
и вычислены теоретические частоты ni’.
Необходимо при уровне значимости α проверить справедливость нулевой гипотезы H0: {генеральная совокупность распределена нормально}.
В качестве критерия проверки гипотезы H0 примем случайную величину
(2.18)
Величина, определенная формулой (2.18)– это случайная величина, т.к. в различных опытах она принимает различные, неизвестные заранее значения. Ясно, что χ2→0 при ni→ni’, т.е. чем меньше различаются эмпирические ni и теоретические ni’ частоты, тем меньше значение критерия χ2. Таким образом, критерий характеризует близость эмпирического и теоретического распределения.
Известно, что при n→∞ закон распределения случайной величины χ2 стремится к закону распределения χ2 с k степенями свободы. Поэтому случайная величина в формуле (2.18) обозначается через χ2, а сам критерий называют критерием согласия χ2.
Число степеней свободы k находят из равенства k =l–r–1, где l число групп (частичных интервалов), r– число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки (для нормального закона распределения r=2, поэтому k=l–3).
Построим правостороннюю критическую область (т.к. односторонний критерий более «жестко» отвергает гипотезу H0), исходя из требования, чтобы, в предположении справедливости гипотезы H0, вероятность попадания критерия в эту область была равна принятому уровню значимости α : . Следовательно, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия гипотезы H0 – неравенством .
Значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, обозначим χ2набл. Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы H0. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0: {генеральная совокупность распределена нормально}, необходимо вычислить теоретические частоты ni’ и наблюдаемое значение критерия согласия χ2 Пирсона . По таблице критических точек распределения χ2 по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=l–3 найти критическую точку .
Если наблюдаемое значение критерия χ2набл попало в область принятия гипотезы , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0. (рис. 2.6).
Рис.2.6. Иллюстрация принятия нулевой гипотезы
с помощью критерия Пирсона
Если наблюдаемое значение критерия χ2набл попало в критическую область , то нулевую гипотезу H0 отвергают (рис.2.7).
Рис. 2.7. Иллюстрация случая, когда отвергают нулевую гипотезу
с помощью критерия Пирсона
Для контроля вычислений наблюдаемого критерия χ2набл можно использовать равенство
Пример 3. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности:
ni
14
18
32
70
20
36
10
ni’
10
24
34
80
18
22
12
Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0 и ей конкурирующую Н1.
Н0: признак Х имеет нормальный закон распределения.
Н1: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.
В данном случае рассматривается правосторонняя критическая область.
Проверим гипотезу с помощью случайной величины , которая имеет распределение χ2 c k=l–3=7–3=4 степенями свободы. Вычислим наблюдаемое значение критерия χ2 по выборочным данным.
Расчеты представим в таблице:
ni
ni’
14
10
1,6
18
24
1,5
32
34
0,118
70
80
1,25
20
18
0,222
36
22
8,909
10
12
0,333
, (по таблице приложения 1). Сравниваем и . Так как >, то есть наблюдаемое значение критерия попало в критическую область, нулевая гипотеза отвергается. Справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.
Пример 4. Задача о бомбардировках Лондона. Задача возникла в связи с бомбардировками Лондона во время Второй мировой войны. Для улучшения организации оборонительных мероприятий, необходимо было понять цель противника. Для этого территорию города условно разделили сеткой из 24-х горизонтальных и 24-х вертикальных линий на 576 равных участков. В течение некоторого времени в центре организации обороны города собиралась информация о количестве попаданий снарядов в каждый из участков. В итоге были получены следующие данные:
Число попаданий
1
2
3
4
5
6
7
Количество участков
229
211
93
35
7
1
Решение. Гипотеза H0: стрельба случайна (нет «целевых» участков).
Закон редких событий– распределение Пуассона.
,
где S– число попаданий, .
.
Вычислим pi по формуле :
;
;
;
;
;
;
;
;
Вычислим n∙pi:
; ; ; ;; ; ; .
хi
ni
n∙рi
ni – n∙рi
(ni – n∙рi)2
1
2
3
4
5
6
7
229
211
93
35
7
1
226,36
210,81
98,49
30,52
6,91
1,15
0,23
0,027
2,63
0,18
-5,5
4,47
0,09
-1,15
-0,23
0,97
6,93
0,03
30,21
20
0,01
1,33
0,05
0,95
0,03
0,307
0,655
0,001
1,152
0,23
34,197
Итого
= 36,57
Определим критическое . Число степеней свободы r = l – k – 1, где k=1, l = 8. По таблице приложения 1 находим критическое при r = 8–1–1=6 и α = 0,05: = 12,59. Так как , т. е. 36,57 > 12,59, то имеем все основания считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами не случайными и отвергнуть гипотезу о пуассоновском законе распределения.
Таким образом, статистическое определение вида закона распределения случайной величины позволяет исследователям получать данные, которые возможно использовать для последующих научных выводов и решения практических задач с достаточно высокой степенью достоверности.
1.3. Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. В таблице приведены результаты измерения роста (в см.) случайно отобранных 100 студентов:
интервалы роста
154-158
158-162
162-166
166-170
170-174
174-178
178-182
число студентов ni
10
14
26
28
12
8
2
Произвести выравнивание статистического распределения с помощью нормального закона распределения.
С помощью «Критерия Пирсона» при уровне значимости а = 0,05 проверить правдоподобие гипотезы о нормальном распределении роста студентов.
Задача 2. При уровне значимости α= 0,01 проверить гипотезу о показательном законе распределения признака X генеральной совокупности по выборке, данные которой приведены в таблице:
xi
3,0-3,6
3,6-4,2
4,2-4,8
4,8-5,4
5,4-6,0
6,0-6,6
6,6-7,2
ni
43
35
22
15
8
5
2

Содержание:

Проверка статистических гипотез:

Статистической гипотезой называется гипотеза, которая относится к виду функции распределения, к параметрам функции распределения, к числовым характеристикам случайной величины и т.д., и которую можно проверить на основе опытных данных. Например, предположение о том, что отклонение истинного размера детали от расчетного имеет нормальный закон распределения, является статистической гипотезой. Предположение о наличии жизни на Марсе статистической гипотезой не является, так как оно не выражает какого-либо утверждения о законе распределения или иных характеристиках случайной величины.

Пример статистической гипотезы

Рассмотрим упрощенный пример. Пусть выдвинута гипотеза о том, что плотность вероятности

Есть возможность произвести только одно наблюдение. В этом случае выборочным пространством служит числовая ось. Из рис. 3.6.1 видно, что значения случайной величины из отрезка имеют относительно большую плотность вероятности и попадание наблюдаемого значения в этот отрезок не противоречит гипотезе. Напротив, значения вне этого отрезка в соответствии с гипотезой маловероятны, и реализация одного из этих значений говорит не в пользу гипотезы. В этом упрощенном примере важно следующее: выборочное пространство мы разбили на две части. Одну из них, точки вне отрезка , обозначим через и назовем критической областью. Если наблюдение попадает в , то гипотезу отвергаем, а если не попадет, то будем считать гипотезу не противоречащей опытным данным или правдоподобной.

В случае выборки объема по тому же принципу разбивают выборочное пространство на две части. Одну их них, выборки самые маловероятные при данной гипотезе, обозначают через и называют критической областью. В случае попадания выборки в критическую область гипотезу отвергают. В противном случае признают гипотезу не противоречащей опытным данным. Если говорить о проверке гипотез с точки зрения статистических решающих функций, то, приписав каждой выборке определенное решение, принять или отвергнуть гипотезу, мы тем самым разбиваем выборочное пространство на две части: область принятия гипотезы и критическую область.

Статистическим критерием называют правило, указывающее, когда статистическую гипотезу следует принять, а когда отвергнуть. Построение статистического критерия сводится к выбору в выборочном пространстве критической области , при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Обычно в критическую область включают самые маловероятные при данной гипотезе выборки.

Даже при верной гипотезе наблюдения могут сложиться неблагоприятно, в итоге выборка может попасть в критическую область и гипотеза будет отвергнута. Вероятность такого исхода мала, так как к критической области отнесены самые маловероятные при данной гипотезе выборки. Вероятность можно рассматривать как вероятность ошибки, когда гипотеза отвергается. Эту вероятность называют уровнем значимости критерия. Критерии для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины обычно называют критериями согласия.

Статистический критерий в описанном виде может быть сложным, и трудно будет установить, принадлежит ли выборка критической области или нет. Поэтому предпочитают на выборочном пространстве задать некоторую функцию, которая каждой выборке ставит в соответствие определенное число. Значения функции, которые соответствуют критической области, естественно считать критическими значениями. Проверка гипотезы тогда сводится к вычислению по выборке значения этой функции и проверке, является ли оно критическим. Есть функции, не зависящие от вида проверяемой гипотезы. Одна из таких функций дает знаменитый критерий «хи-квадрат».

Критерий согласия «хи-квадрат»

Пусть выдвинута гипотеза о законе распределения случайной величины X. Требуется проверить, насколько эта гипотеза правдоподобна. Для этого разобьем множество возможных значений случайной величины на разрядов  Для непрерывной случайной величины роль разрядов играют интервалы значений, для дискретной – отдельные возможные значения или группы таких значений. В соответствии с выдвинутой гипотезой каждому разряду соответствует определенная вероятность

Например, если выдвинута гипотеза, что случайная величина X имеет функцию распределения а в качестве выбраны интервалы то

Нужно проверить, согласуется ли наша гипотеза с опытными данными.

Идея проверки гипотезы состоит в сравнении теоретических вероятностей разрядов (3.6.1) с фактически наблюдаемыми частотами попадания в эти разряды. Для этого производится независимых наблюдений случайной величины и определяется число попаданий в каждый из разрядов. Пусть в й разряд попало наблюдений. Если гипотеза верна и каждому разряду действительно соответствует вероятность (3.6.1), то при большом числе наблюдений в силу закона больших чисел частоты будут приблизительно равны теоретическим вероятностям Тогда величина

где – некоторые коэффициенты, должна быть малой.

Если же гипотеза ложная, то при больших частоты разрядов будут близки к вероятностям, отличным от и величина (3.6.2) будет относительно большой. Значит, по величине (3.6.2) можно судить о том, насколько гипотеза согласуется с опытными данными. Критическую область составят те выборки, для которых эта величина велика.

Английский статистик К. Пирсон (1900 г.) показал, что при выборе коэффициентов   случайная величина

имеет распределение, которое не зависит от выдвинутой гипотезы и определяется функцией плотности вероятности

где – число, называемое числом степеней свободы. Число равно разности между числом разрядов и числом связей, наложенных на величины . Связью называется всякое соотношение, в которое входят величины .

При данной гипотезе и фиксированном числе наблюдений величина зависит от Каждому соответствует свое слагаемое, но не все могут изменяться свободно, так как они связаны соотношением  Значит, величина вместе с величинами однозначно определяют величину которая поэтому свободно меняться не может. Число степеней свободы соответствует числу свободно меняющихся величин . На могут быть наложены и другие связи. Если всего связей то независимо меняющихся величин будет . Связь налагается всегда. Другие связи могут возникнуть, например, если при выдвижении гипотезы с помощью величин оцениваются параметры предполагаемого закона распределения. Чем больше , тем сильнее график вытянут вдоль горизонтальной оси (рис. 3.6.2).

Составлены специальные таблицы (см. прил., табл. П4), в которых для любого и заданной вероятности указаны такие значения что

На рис. 3.6.2 заштрихованная площадь равна . Вероятность можно понимать, как вероятность того, что в силу чисто случайных причин, за счет наблюдения тех, а не других значений случайной величины, мера расхождения между гипотезой и результатами наблюдений будет больше или равна Эти вероятности можно использовать для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины следующим образом.

Предположим, что гипотеза верна. Выберем вероятность настолько малой, чтобы ее можно было считать вероятностью практически невозможного события. Для выбранного  и числа степеней свободы из таблицы распределения величины находим Если гипотеза верна, то значения являются практически невозможными, их следует отнести к критической области.

Итак, построена критическая область: . В предположении, что гипотеза верна, на основе опытных данных вычисляется . Обозначим это вычисленное значение через  Если , то произошло событие, которое практически невозможно при верной гипотезе. Это дает повод в гипотезе усомниться и объяснить такое большое значение неудачным выбором гипотезы, поскольку расхождения между и случайными признать нельзя. При  гипотеза отвергается.

Если же окажется, что  то расхождение между гипотезой и опытными данными можно объяснить случайностями выборки. В этом случае можно заключить, что гипотеза не противоречит опытным данным, или что гипотеза правдоподобна. Это, конечно, не означает, что гипотеза верна. Скромность вывода в последнем случае можно объяснить тем, что согласующиеся с гипотезой факты гипотезы не доказывают, а делают ее лишь правдоподобной. В то же время всего один факт, противоречащий гипотезе, ее отвергает.

Замечание 1. Хотя и маловероятно, чтобы при верной гипотезе превзошло уровень но это все-таки может случиться и верная гипотеза будет отвергнута. Вероятность такого события равна и ее можно рассматривать как вероятность ошибки, как вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна. Напомним, что вероятность ошибки, когда гипотеза отвергается, называют уровнем значимости критерия. Не следует думать, что чем меньше уровень значимости, тем лучше. При слишком малых критерий ведет себя перестраховочно и бракует гипотезу только при кричаще больших значениях

Замечание 2. Каждый разряд вносит в величину вклад, равный где – среднее число попаданий в данный разряд, если гипотеза верна. При малых значениях велика роль каждого отдельного наблюдения. Например, если в этот разряд попало одно 205 наблюдение, то вклад в этого разряда равен При этот вклад будет равен всего лишь В итоге при малом от попадания или непопадания в этот разряд наблюдаемого значения существенно зависит окончательный вывод. Чтобы снизить роль отдельных наблюдений, обычно рекомендуется сделать разбивку на разряды так, чтобы все были достаточно большими. На практике это сводится к требованию иметь в каждом разряде не менее пяти – десяти наблюдений. Для этого разряды, содержащие мало наблюдений, рекомендуется объединять с соседними разрядами.

Пример №1

Были исследованы 200 изготовленных деталей на отклонение истинного размера от расчетного. Сгруппированные данные исследований приведены в виде статистического ряда: 

Требуется по данному статистическому ряду построить гистограмму. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу о типе закона распределения отклонений. Подобрать параметры закона распределения (равные их оценкам на основе опытных данных). Построить на том же графике функцию плотности вероятности, соответствующую выдвинутой гипотезе. С помощью критерия согласия проверить согласуется ли выдвинутая гипотеза с опытными данными. Уровень значимости взять, например, равным 0,05.

Решение. Для того чтобы получить представление о виде закона распределения изучаемой величины, построим гистограмму. Для этого над каждым интервалом построим прямоугольник, площадь которого численно равна частоте попадания в интервал (рис. 3.6.3).

По виду гистограммы можно выдвинуть предположение о том, что исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения. Параметры нормального закона (математическое ожидание и дисперсию) оценим на основе опытных данных, считая в качестве представителя каждого интервала его середину:

Итак, выдвинем гипотезу, что исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения т.е. имеет функцию плотности вероятности

График удобно строить с помощью таблицы функции (см. прил., табл. П1):

Например, точка максимума и точки перегиба имеют ординаты соответственно

График функции  приведен на рис. 3.6.3.

Вычислим меру расхождения между выдвинутой гипотезой и опытными данными, т.е. величину . Для этого сначала вычислим вероятности, приходящиеся на каждый интервал в соответствии с гипотезой:

Аналогично: 

Вычисление удобно вести, оформляя запись в виде таблицы. 

Итак, мера расхождения между гипотезой и опытными данными равна

Построим критическую область для уровня значимости Число степеней свободы для равно двум. Так как число интервалов равно пяти, а на величины наложены три связи:  В итоге Для заданного уровня значимости и числа степеней свободы находим из таблицы распределения (см. прил., табл. П4) критическое значение

Критическая область для проверки гипотезы имеет вид Значение в критическую область не входит. Вывод: гипотеза опытным данным не противоречит. Меру расхождения можно объяснить случайностями выборки.

Ответ. Гипотеза опытным данным не противоречит.

Пример №2

В виде статистического ряда приведены сгруппированные данные о времени безотказной работы 400 приборов.

Согласуются ли эти данные с предположением, что время безотказной работы прибора имеет функцию распределения ? Уровень значимости взять, например, равным 0,02.

Решение. Вычислим вероятности, приходящиеся в соответствии с гипотезой на интервалы:

Вычислим .

Число степеней свободы равно трем, так как на четыре величины наложена только одна связь Для трех степеней свободы и уровня значимости находим из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) критическое значение Значение входит в критическую область. Вывод: гипотеза противоречит опытным данным. Гипотезу отвергаем и вероятность того, что мы при этом ошибаемся, равна 0,02.

Ответ. Гипотеза опытным данным противоречит.

Пример №3

Монету подбросили 50 раз. Герб выпал 32 раза. С помощью критерия «хи-квадрат» проверить, согласуются ли эти результаты с предположением, что подбрасывали симметричную монету.

Решение. Выдвинем гипотезу, что монета была симметричной. Это означает, что вероятность выпадения герба при каждом броске равна 1/2. В описанном опыте герб выпал 32 раза и 18 раз выпала цифра. Вычисляем

Число степеней свободы для равно так как слагаемых два, а связь на величины наложена одна: Для числа степеней свободы и уровня значимости, например, равного находим из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4), что Это означает, что при уровне значимости критическую область для величины составляют значения Вычисленное значение попадает в критическую область, гипотеза отвергается. Вероятность того, что мы при таком выводе ошибаемся, равна 0,05.

Ответ. Предположение о симметричности монеты не согласуется с опытными данными.

Пример №4

Для каждого из 100 телевизоров регистрировалось число выходов из строя в течение гарантийного срока. Результаты представлены в виде статистического ряда:

Согласуются ли эти данные с предположением о том, что число выходов из строя имеет пуассоновский закон распределения?

Решение. Если случайная величина Х – число выходов из строя телевизора, имеет пуассоновский закон распределения, то

где параметр неизвестен.

Оценим параметр из опытных данных. В законе распределения Пуассона параметр равен математическому ожиданию случайной величины. Оценкой математического ожидания служит среднее арифметическое:

Итак, выдвигаем гипотезу, что изучаемая случайная величина имеет закон распределения

Для проверки выдвинутой гипотезы зададим уровень значимости, например, равный 0,02. Последние три разряда, содержащие мало наблюдений, можно объединить. В итоге имеем три разряда и число степеней свободы равно так как на величины наложены две связи: Из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) для заданного и числа степеней свободы находим, что критическая область имеет вид

Вычислим теперь . В соответствии с выдвинутой гипотезой разряды имеют вероятности:

Вычисление произведем, фиксируя промежуточные результаты в таблице.

Вычисленное значение в критическую область не входит. Вывод: гипотеза о пуассоновском законе распределения изучаемой случайной величины опытным данным не противоречит.

Ответ. Гипотеза не противоречит опытным данным.

Пример №5

В течение пяти рабочих дней недели на контактный телефон фирмы поступило соответственно 69, 50, 59, 75, 47 звонков. Можно ли считать при уровне значимости  что интенсивность звонков не зависит от дня недели?

Решение. Сначала построим критическую область. Общее количество звонков равно 300. Число степеней свободы равно , так как разрядов пять, а связей одна По таблице распределения «хи- квадрат» находим для что критическое значение Итак, критическая область имеет вид

Выдвинем гипотезу, что интенсивность звонков не зависит от дня недели, т.е. с вероятностью 1/5 каждый вызов может поступить в любой рабочий день недели.

В предположении, что гипотеза верна, вычислим значение . Вычисление удобно оформить в виде таблицы.

Сумма элементов последнего столбца дает Вывод: гипотеза опытным данным не противоречит.

Ответ. Гипотеза опытным данным не противоречит.

Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин

Постановка задачи. Можно ли по результатам наблюдений двух случайных величин сделать вывод об их зависимости или независимости. В приложениях эта задача имеет следующую постановку. Пусть каждый элемент генеральной совокупности обладает двумя признаками A и B, признак A имеет градации (или уровни) признак B различается по уровням Возникает вопрос, связаны ли друг с другом эти признаки?

Естественно считать, что A и B независимы, если при выборе любого элемента генеральной совокупности независимы события «признак A принимает значение » и «признак B принимает значение » при всех и . Формально это означает, что

 

для всех и . Проверить непосредственно выполнение соотношения (3.6.4) нет возможности, так как значения входящих в него вероятностей неизвестны.

Пусть у взятых наугад членов генеральной совокупности определены величины признаков A и B. По этим результатам можно найти – число наблюдений пары значений признаков и . Тогда общее число наблюдений значений признака равно

Аналогично, число наблюдений признака равно

Обычно результаты наблюдений оформляют в виде таблицы, которую называют таблицей сопряженности признаков.

Таблица сопряженности признаков:

Введем обозначения для вероятностей. Положим

Необходимо проверить гипотезу для всех пар 

Если наблюдений много (хотя бы несколько десятков), то по теореме Бернулли

Критерий основан на сравнении наблюдаемых чисел появления комбинаций признаков с числами появлений, которые должны были бы быть, если бы признаки были независимы и не подвергались различным случайностям.

Поскольку вероятность наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, то за оценку вероятности совместного появления событий и можно принять произведение (обе эти дроби – оценки соответствующих вероятностей). Тогда теоретическое число наблюдений пары и должно быть равным

Эту величину можно назвать теоретическим числом появлений пары и . При верной гипотезе величины не должны значительно отличаться от О степени расхождения между ними можно судить по величине

Если гипотеза о независимости верна, то при величина имеет распределение «хи-квадрат» с степенями свободы. Число степеней свободы определяется из следующих соображений. Всего слагаемых   На них накладываются связи. Прежде всего,

Определяя мы воспользовались равенствами (3.6.5), но в силу   фактически независимых слагаемых будет Из тех же соображений в равенствах (3.6.6) только слагаемое является независимым. Поэтому число степеней свободы

В таблице распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находим такое, что Критическая область для проверки гипотезы имеет вид Остается вычислить фактическое значение . Если оно попадает в критическую область, то гипотеза отвергается, при этом вероятность ошибочности этого вывода равна . Если вычисленное значение не входит в критическую область, то гипотеза опытным данным не противоречит.

Пример №6

Данные о сдаче экзамена 246 студентами сгруппированы в зависимости от места окончания студентом средней школы.

Можно ли по этим данным заключить, что успеваемость студентов практически не зависит от места получения ими среднего образования? (Уровень значимости взять, например, равным 0,05.)

Решение. Предположим, что успеваемость студентов не зависит от места получения среднего образования (это гипотеза, которую предстоит проверить). Число степеней свободы равно Для уровня значимости и числа степеней свободы из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) находим критическое значение Критическую область составляют значения . Вычислим фактическое значение по формуле (3.6.7):

Вычисленное значение т.е. не является критическим. Расхождения в данных по успеваемости можно объяснить случайными факторами (случайный отбор студентов, случайности при выборе билета на экзамене и т.д.).

Ответ. Предположение о независимости успеваемости студентов от места получения ими среднего образования не противоречит опытным данным.

Проверка параметрических гипотез

Критерий для проверки гипотезы формируют за счет отнесения к критической области выборок, которые при данной гипотезе наименее вероятны. Но может оказаться, что одинаково маловероятных выборок при данной гипотезе больше, чем это необходимо для формирования критерия данного уровня значимости. Тогда трудно решить какие именно выборки следует включать в критическую область. Этих трудностей можно избежать, если вместе с проверяемой гипотезой рассматривать и альтернативные гипотезы.

Пусть случайная величина Х имеет функцию распределения тип которой известен. Значение параметра неизвестно, но для определено множество допустимых значений Обычно гипотеза об истинном значении параметра сводится к утверждению, что принадлежит некоторому множеству Например, в качестве w может быть названо одно из допустимых значений.

Определение. Параметрической статистической гипотезой называется утверждение, что против альтернативы что

Гипотезу называют нулевой гипотезой и считают, что она истинна, если действительно При нулевую гипотезу называют ложной.

Гипотеза, однозначно определяющая вероятностное распределение, называется простой. В противном случае гипотезу называют сложной. Например, гипотеза о симметричности и однородности игрального кубика проста, так как однозначно определяет вероятности всех исходов при подбрасывании кубика. Гипотеза о том, что ошибка измерений имеет нормальный закон распределения, является сложной, так как при разных значениях параметров получаются разные нормальные законы распределения.

Простая параметрическая гипотеза против простой альтернативы может быть описана указанием одной точки в и одной точки в

Параметрическую гипотезу проверяют по обычной схеме. Производят наблюдений случайной величины, в результате которых получают некоторые результаты В выборочном пространстве формируется критическая область при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Но выбор критической области при наличии альтернативной гипотезы имеет свои особенности.

При любом критерии проверки статистической гипотезы по результатам наблюдений возможны ошибки двух типов: ошибка первого рода возникает при отклонении гипотезы , когда она верна, а ошибка второго рода совершается, если принимается ложная гипотеза .

Обозначим через вероятность того, что выборка попадет в критическую область, если значение параметра равно . Эта вероятность как функция параметра называется функцией мощности критерия . При каждом эта функция показывает с какой вероятностью статистический критерий отклоняет гипотезу, если на самом деле Х имеет функцию распределения

Заметим, что при равна вероятности ошибки первого рода. Величина при равна вероятности ошибки второго рода. Это вероятность непопадания в критическую область, т.е. вероятность принятия гипотезы : , когда эта гипотеза ложная.

Разным критериям для проверки гипотезы против альтернативы сопутствуют разные вероятности . Естественно желание сделать обе эти вероятности минимально возможными. Но обычно уменьшение одной из них влечет увеличение другой. Необходимо компромиссное решение, которое достигается следующим образом. Выбирают вероятность практически невозможного события в качестве уровня значимости . Это и есть вероятность ошибки первого рода. Критическую область формируют так, чтобы при заданном уровне значимости , вероятность ошибки второго рода была как можно меньше.

Учет ошибок первого и второго рода позволяет сравнивать между собой критерии. Пусть – два критерия для проверки гипотезы против альтернативы , имеющие одинаковые уровни значимости . Если при этом

и

то критерий называют более мощным, чем . Из определения видно, что имеет большую вероятность отвергнуть ложную гипотезу при одинаковой с вероятности ошибки первого рода. Если мощнее любого другого критерия, имеющего уровень значимости a, то называют наиболее мощным критерием.

Пусть необходимо проверить гипотезу против альтернативы . Для определенности рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией плотности вероятности где параметр неизвестен. Если наблюдения независимы, то выборочная точка  будучи многомерной случайной величиной, имеет функцию плотности вероятности

Согласно сформулированным требованиям относительно ошибок первого и второго рода, критическую область следует выбрать так, чтобы при заданном вероятность

и при этом вероятность

 

была наибольшей.

Такую задачу впервые решили в начале тридцатых годов прошлого века Ю. Нейман и Э. Пирсон, и полученный ими результат носит их имя. Для формулировки этого результата понадобится понятие взаимной абсолютной непрерывности функций, которое состоит в том, что в каждой точке функции или обе равны нулю, или обе нулю не равны.

Лемма Неймана–Пирсона

Если и взаимно абсолютно непрерывны, то для любого  можно указать  что точки выборочного пространства, в которых

образуют критическую область для которой При этом будет наиболее мощным критерием для проверки гипотезы против альтернативы

Замечание. Для дискретных величин в неравенстве (3.6.8) роль играет вероятность именно тех результатов наблюдений, которые получены, т.е

Пример №7

Известно, что при тщательном перемешивании теста изюмины распределяются в нем примерно по закону Пуассона, т.е. вероятность наличия в булочке изюмин равна приблизительно где – среднее число изюмин, приходящихся на булочку. При выпечке булочек полагается по стандарту на 1000 булочек 9000 изюмин. Имеется подозрение, что в тесто засыпали изюмин меньше, чем полагается по стандарту. Для проверки выбирается одна булочка и пересчитываются изюмины в ней.

Построить критерий для проверки гипотезы о том, что против альтернативы  Вероятность ошибки первого рода взять приблизительно 0,02.

Решение. Для проверки гипотезы против альтернативыпо лемме Неймана–Пирсона в критическую область следует включить те значения , для которых

где С – некоторая постоянная.

Тогда  Логарифмирование этого неравенства приводит к неравенству . Так как  то 

Итак, в критическую область следует включить значения где значение зависит от ошибки первого рода. При по формуле Пуассона получаем вероятности:

 

Отсюда следует, что если включить в критическую область значения для числа изюмин то вероятность ошибки первого рода будет равна Итак, если изюмин в булке окажется три или меньше гипотезу следует отвергнуть в пользу ее альтернативы.

Заметим, что при добавлении в критическую область значения вероятность ошибки первого рода останется достаточно малой

Ответ.

Пример №8

Изготовитель утверждает, что в данной большой партии изделий только 10% изделий низкого сорта. Было отобрано наугад пять изделий и среди них оказалось три изделия низкого сорта. С помощью леммы Неймана–Пирсона построить критерий и проверить гипотезу о том, что процент изделий низкого сорта действительно равен 10 против альтернативы, что процент низкосортных изделий больше 10 Вероятность ошибки первого рода выбрать 0,01. Какова вероятность ошибки второго рода, если ?

Решение. Согласно проверяемой гипотезе при альтернативном значении 1 По лемме Неймана–Пирсона в критическую область следует включить те значения k, для которых

 

где С – некоторая постоянная.

После сокращения на неравенство приводится к виду

Прологарифмируем обе части неравенства

или

Так как  то выражение в скобке неотрицательно. Поэтому 

Значит, в критическую область следует включить те из значений которые больше некоторого зависящего от уровня значимости (от вероятности ошибки первого рода). Для определения в предположении, что гипотеза верна, вычисляем вероятности: 

Если к критической области отнести значения то вероятность ошибки первого рода будет равна

В условиях задачи оказалось, что среди пяти проверенных три изделия бракованных. Значение входит в критическую область. Гипотезу отвергаем в пользу альтернативы. Вероятность того, что мы это делаем ошибочно, меньше 0,01.

Вероятностью ошибки второго рода называется вероятность принять ложную гипотезу. Гипотеза будет принята при Если вероятность изготовления бракованного изделия на самом деле равна то вероятность принять ложную гипотезу равна 

Вероятность ошибки второго рода велика потому, что критерий построен на скудном статистическом материале (всего пять наблюдений!).

Ответ. При уровне значимости 0,01 нулевую гипотезу отвергаем.

Пример №9

Количество первосортных изделий в крупной партии не должно быть менее 90%. Для проверки выбрали наугад 100 изделий. Среди них оказалось только 87 изделий первого сорта. Можно ли считать при вероятности ошибки первого рода, равной 0,05, что в данной партии менее 90 % первосортных изделий?

Решение. Построим критическую область для проверки гипотезы против альтернативы и посмотрим, попадает ли значение 87 в критическую область. Из леммы Неймана–Пирсона следует (см. рассуждения в примере 3.19 только с учетом неравенства ), что существует такое , что меньшее или равное k0 число первосортных изделий следует отнести к критической области. Так как независимых опытов проделано много (), то можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра–Лапласа, согласно которой

Откуда, с учетом нечетности функции Лапласа, имеем  или  Из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) 227 находим, что  Поэтому и Так как – целое число, то 0 k = 85. Итак, критическую область для проверки нулевой гипотезы составляют значения Число 87 в критическую область не попадает. Нет оснований сомневаться в том, что в данной партии не менее 90% первосортных изделий.

Ответ. Наличие в выборке менее 90% первосортных изделий можно объяснить случайностями выборки.

Пример №10

Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения причем значение дисперсии известно. Получены – результаты независимых наблюдений случайной величины. Построить критерий для проверки гипотезы против альтернативы полагая вероятность ошибки первого рода

Решение. Так как наблюдения независимы, то -мерная случайная величина имеет плотность вероятности, равную произведению плотностей вероятности своих компонент: 

Поэтому по лемме Неймана–Пирсона к критической области должны быть отнесены те выборки, для которых

После логарифмирования неравенства получаем

откуда 

Так как по условию  то

 

Итак, в критическую область следует включать выборки, для которых   Свяжем значение  с величиной ошибки первого рода. Так как нормальный закон устойчив, то сумма имеет тоже нормальный закон распределения Если гипотеза верна, то значение С3 можно найти из условия

Отсюда  Это означает, что аргумент функции Лапласа отрицателен. В силу нечетности функции Лапласа имеем По таблице функции Лапласа находим, что Поэтому Значит, Итак, если сумма окажется меньше величины то гипотезу следует отвергнуть в пользу альтернативной гипотезы

Ответ. 

Проверка гипотезы о значении медианы

Пусть Х непрерывная случайная величина, а m – значение ее медианы, т.е. Проделано n независимых наблюдений над случайной величиной. Можно ли считать по их результатам что значение медианы равно m₀ против альтернативы, что значение медианы равно m₁ (для определенности пусть )?

Предположим, что значение m действительно равно m₀ (т.е. верна нулевая гипотеза ) и рассмотрим последовательность величин

Если гипотеза верна, то Подсчитаем число положительных разностей в нашей выборке и обозначим его через S.

Величину S можно представить в виде при и при Заметим, что случайная величина принимает два значения 0 и 1 с вероятностями каждое, если гипотеза верна. Поэтому при верной нулевой гипотезе величина S имеет биномиальное распределение:

Очевидно, что при медиане равной вероятность   В итоге задача сводится к проверке гипотезы против альтернативы

Согласно лемме Неймана–Пирсона для любого существует такая постоянная величина С > 0 , что значения k, для которых

образуют критическую область наиболее мощного критерия. Так же как и в примере 3.19 легко показать, что в критическую область следует относить в первую очередь самые маленькие значения k. Остается только найти наибольшее k, для которого , где – вероятность ошибки первого рода.

Пример №11

По результатам независимых наблюдений случайной величины исследователь в отношении медианы m отверг гипотезу и принял альтернативную гипотезу Какова вероятность ошибки первого рода при таком выводе?

Решение. Ошибка первого рода совершается, когда отвергается верная гипотеза. Предположим, что нулевая гипотеза верна и медиана m действительно равна 3,5. Только в трех наблюдениях результаты превосходят 3,5. Как было показано выше, при альтернативе в критическую область следует включать в первую очередь малые значения k. Значение k = 3 было отнесено исследователем к критической области. В предположении, что гипотеза верна имеем

Откуда  .

Ответ. 

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий

Пусть над случайной величиной X проделано n независимых наблюдений, в которых получены результаты а над величиной Y проделано m независимых наблюдений и получены значения Предположим, что известны дисперсии но неизвестны математические ожидания Пусть, кроме того, каждая серия состоит из достаточно большого числа наблюдений (хотя бы несколько десятков в каждой серии). Построим критерий для проверки по результатам наблюдений гипотезы о том, что

Предположим, что гипотеза верна. Так как серии опытов достаточно велики, то для средних арифметических имеем приближенные равенстваЕсли гипотеза верна, то и величина должна быть относительно малой. Напротив, большие значения этой величины плохо согласуются с гипотезой. Поэтому критическую область составят те серии наблюдений, для которых где С – некоторая постоянная величина.

Свяжем эту постоянную C с уровнем значимости Согласно центральной предельной теореме каждая из величин распределена приблизительно нормально, как сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями. С учетом того, что можно утверждать, что имеет распределение a – распределение Из факта устойчивости нормального закона распределения можно заключить, что при верной гипотезе тоже имеет нормальный закон распределения с параметрами  и 

Запишем для нормального закона распределения стандартную формулу (????):

или 

По заданному из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) найдем такое чтобы или Тогда при правая часть равенства (3.6.9) будет равна . Поэтому при уровне значимости критическую область для проверки гипотезы о равенстве двух математических ожиданий составят те серии наблюдений, для которых

Замечание 1. Если дисперсии неизвестны, то большое число наблюдений в каждой серии позволяет достаточно точно оценить дисперсии по этим же опытным данным:

Пример №12

Среднее арифметическое результатов 25 независимых измерений некоторой постоянной величины равно 90,1. В другой серии из 20 независимых измерений получено среднее арифметическое, равное 89,5. Дисперсия ошибок измерения в обоих случаях одинакова и равна   Можно ли считать, что измерялась одна и та же постоянная величина?

Решение. Выдвигаем гипотезу, что в каждой из серий измерялась одна и та же постоянная величина. Зададимся, например, уровнем значимости По таблице значений функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что

Тогда критическая область для проверки гипотезы определяется неравенством Так как в нашем случае то сомневаться в том, что измерялась одна и та же постоянная величина, оснований нет. Расхождения в значениях средних арифметических можно объяснить ошибками измерений.

Ответ. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит опытным данным.

Пример №13

По двум независимым выборкам объемов  = 10 и  = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки дисперсий:  При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу  D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе  D(X)>D(Y).
 

Решение. 1) По данным выборки вычисляем

2) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения 

находим число:   

3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е. , то нет основания отвергать гипотезу
Ответ: гипотеза  : D(X)=D(Y) принимается.

Пример №14

По двум независимым выборкам объемов =10 и =15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки дисперсий:  При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу  D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе  D(X)≠D(Y).
 

Решение. 1) По данным выборки вычисляем

2) По табл. П 2.7 (см. приложение 1), учитывая значения 

находим число:   

3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е.  , то нет основания отвергать гипотезу .

Ответ: гипотеза H0 : D(X)=D(Y) принимается.

Пример №15

По трем независимым выборкам объемов  = 10 и  = 15 и  = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y и  Z найдены оценки дисперсий:  При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу  : D(X)=D(Y)=D(Z).
 

Решение. 1) По данным выборок вычисляем: 

2) По табл.  П 2.5 (см. приложение 2), учитывая значения 

находим число

3) Сравниваем: так как 2,06 < 6,0 , т.е.  , следовательно нет основания отвергать нулевую гипотезу.
Ответ: гипотезу  : D(X) = D(Y) =D(Z)  принимают.

Пример №16

По двум независимым выборкам объемов =10 и =16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки математических ожиданий  и исправленные выборочные дисперсии  . Проверить нулевую гипотезу:    :
M(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе   : M(X) ≠ M(Y) и уровне значимости α = 0,01.
 

Решение  1) Так как  то предварительно проверим гипотезу  D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе : D(X)>D(Y). Для этого поступаем по аналогии с решением 1 задачи.

а) По данным выборки вычисляем

б) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения 

находим число:

в) Сравниваем: так как 1,44 < 3,89, т.е.   , то гипотеза о равенстве генеральных дисперсий принимается, то есть различие между    = 0,62 и = 0,43 считаем незначительным.

2) Проверим гипотезу   :  M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе

а) Найдем по табл.  П 2.6 (см. приложение 2) значение  по заданному α = 0,01 и числу k = 10 + 16 – 2 = 24 :

б) Найдем число

в) Сравнить числа   так как  и гипотеза   :  M(X) = M(Y) о равенстве средних принимается.
Ответ: гипотеза    :  M(X) = M(Y) принимается.

Пример №17

По двум независимым выборкам объемов =10 и =16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, с дисперсиями  вычислены оценки математических ожиданий  
При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу   : M(X) = M(Y)  и конкурирующей гипотезе  : M(X) ≠ M(Y).
 

Решение. Воспользуемся замечанием 6. 1) Вычислим:

2) Находим  из уравнения

используя табл. П 2.2 (см. приложение 2).
Следовательно,

3) Сравниваем: так как 2,19 > 1,96, т.е.  , то гипотезу  отвергают.
Значит, различие генеральных математических ожиданий значительное.
Ответ: гипотеза    :  M(X) = M(Y) отвергается, т.е. M(X) ≠ M(Y).

Определение статистической гипотезы

Определение: Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Выдвинутую гипотезу называется основной (нулевой) и обозначается Противоречащую ей называется конкурирующей (альтернативной) и обозначается 

Гипотеза называется простой, если она содержит только одно предположение. Сложная гипотеза состоит из простых.

 -ошибка первого рода (вероятность отвергнуть правильную гипотезу).

 -ошибка второго рода (вероятность принять неверную нулевую гипотезу). При увеличении  возрастает и  И наоборот. Единственный способ одновременного уменьшения  — увеличение количества испытаний. Величина  носит название мощности критерия.

Статистический критерий проверки основной гипотезы Н0

Статистический критерий проверки основной гипотезы

 Определение. Для проверки основной гипотезы  используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которое известно. Эта случайная величина называется статистическим критерием или просто критерием  

Определение. Областью принятия гипотезы  называется совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Точки, отделяющие область принятия гипотезы от критической области, называется критическими точками. Критическая область может быть:

Выбор одного из этих случаев определяется видом конкурирующей гипотезы.

Основные шаги при проверке статистических гипотез:

1) выдвигаем 

2) выдвигаем 

3) задаем  — уровень значимости

4) строим статистический критерий

5) строим критическую область

6) считаем наблюдаемое значение критерия и сравниваем с критическими точками

7) если наблюдаемое значение попадает в область принятия гипотезы, то нет причины отвергать  если наблюдаемое значение попадает в критическую область, то  отвергается на заданном уровне значимости 

Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины. Критерий согласия Пирсона

Пусть — генеральная совокупность (случайная величина) с неизвестной функцией распределения 

— выборка (результаты измерений;  

1)  выборка сделана из генеральной совокупности  с функцией распределения 

2)  функция распределения  отлична от 

3) задаем  — уровень значимости

4) строим статистический критерий

Разобьем область, которой принадлежат результаты измерений, на промежутков  одинаковой длины

Пусть

 — количество значений  из числа наблюдаемых, которые принадлежат 

 — вероятность того, что значения  принадлежат промежутку вычисленная в предположении справедливости нулевой гипотезы; 

 — относительная частота попадания значений  из числа наблюдаемых  промежуток 

Тогда

 — эмпирическая функция распределения.

За меру отклонения истинной функции распределения  от эмпирической  возьмем следующую случайную величину 

Теорема Пирсона:

Какова бы ни была  при  распределение величины  стремится к распределению хи-квадрат с  степенями свободы.

Замечание. Если в процессе проверки гипотезы приходится производить оценку параметров распределения, то количество степеней свободы  уменьшается на количество неизвестных параметров.

 -статистический критерий для проверки нулевой гипотезы

5)    строим критическую область

Критическая область — правосторонняя

 квантиль распределения хи-квадрат с  степенями свободы.

6) считаем наблюдаемое значение критерия  и сравниваем его с критическим 

7) Вывод: если  то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на выбранном уровне значимости  в противном случае  отвергается на заданном уровне значимости 

Пример №18

По выборке объема  проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

В качестве параметров нормального распределения выберем их точечные оценки: 
1)  генеральная совокупность  имеет нормальное распределение с параметрами 
2)  распределение  отлично от 
3) 
4) строим статистический критерий

Замечание: если для какого-либо интервала не выполняется условие  то этот интервал объединяется с соседним интервалом.

1,384 — наблюдаемое значение статистического критерия 
5) строим критическую область

 квантиль распределения хи-квадрат с  степенями свободы порядка 1-

 число неизвестных параметров распределения, которые пришлось оценивать. 

7) Вывод: нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на уровне значимости 

Критерий Колмогорова — Смирнова

в классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона; используется для проверки гипотезы о соответствии эмпирического любому теоретическому непрерывному распределению  с заранее известными параметрами: применим для негруппированных данных или для группированных в случае малой ширины интервала. 

_ выборка (результаты измерений; 

1)  выборка сделана из генеральной совокупности  с функцией распределения 

2)  функция распределения  отлична от 

3)  — уровень значимости

4)    строим статистический критерий

 — статистика критерия Колмогорова

5)    строим критическую область

Критическая область — правосторонняя; критические значения   составляют: 

6) сравниваем наблюдаемое значение критерия  с критическим 

7) Вывод: если  то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на выбранном уровне значимости  в противном случае  отвергается на заданном уровне значимости 

Проверка гипотез о параметрах известного распределения генеральной совокупности

Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности 

  — выборка

Пример №19

На завод поступила партия станков. По результатам исследования 13 станков найдена исправленная выборочная дисперсия размера изготовления станками деталей  Требуется ли дополнительная наладка станка, если допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей  -уровень значимости)

Решение:

 нет основания отвергнуть  на уровне значимости 0,01, следовательно подналадка не нужна.

Проверка гипотез о параметре  биномиального распределения.

(сравнение относительной частоты с гипотетической вероятностью  появления события в отдельном испытании)

 выборка;

В электронных таблицах Excel для проверки гипотез о параметрах нормально распределенных генеральных совокупностей по результатам экспериментов есть специальные тесты, упрощающие процедуру вычислений.

Двухвыборочный -тест для средних служит для проверки гипотезы о различии между средними математическими ожиданиями двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

Двухвыборочный -тест с одинаковыми (различными) дисперсиями используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Парный двухвыборочный -тест используется для проверки гипотезы о равенстве средних в том случае, если обе выборки сделаны из одной и той же генеральной совокупности (например, в разные моменты времени, до и после какого-либо воздействия).

Двухвыборочный   — тест для дисперсий служит для проверки гипотез о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

Пример №20

На предприятии провели выборочный опрос работающих об их средней заработной плате за предыдущий год. Данные опроса представлены в табл. 1.

С  помощью  критерия  Пирсона  проверить  гипотезу  о  том,  что средняя заработная  плата  по  всему  предприятию  распределена  по нормальному закону с уровнем значимости 
 

Решение. Найдем функцию распределения признака    в генеральной совокупности,  применяя  формулу 
Для  этого  предварительно  вычислим  среднюю  выборочную  и  исправленную статическую дисперсию  

За функцию распределения признака    в генеральной совокупности принимается 

Выполним разбиение области значений случайной величины  на  интервалы  таким  образом, чтобы частоты были больше или равны 5. Разбиение представлено в табл. 2.

Для расчета теоретического ряда частот необходимо предварительно вычислить значения вероятностей  по формуле

и применить формулу для вычисления теоретических частот:

где — 

Например.

Значение функции  вычисляется по табл. П2 (часть 1) значений функции Лапласа. Результаты вычислений представим в табл. 3.

Значения  вычислим по формуле 

Так как два параметра распределения признака в генеральной совокупности находились на основании выборки, то функцию  можно приближенно считать распределенной по закону  степенями свободы (здесь число интервалов  поскольку оценивались два параметра закона распределения). При уровне значимости  границей критической области будет  (по табл. П5). Так как  то гипотеза  о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Следует отметить, что на практике все шире начинают применять критерии согласия не столько для проверки согласия экспериментальных данных с некоторой гипотетической функцией, сколько для подбора наилучшей функции распределения, хотя выбор подходящего закона должен основываться прежде всего на понимании механизма изучаемого явления.

Пример №21

Наблюдалось следующее распределение по минутам числа появлений на остановке автобуса, имеющего пятиминутный интервал движения.

Проверить гипотезу о равномерном законе распределения.

Решение. 1. Вычисляем по данному вариационному ряду вероятности  попадания  в интервал по формуле

2. Для проверки гипотезы о том, что число появлений автобуса на остановке есть случайная величина, распределенная по равномерному закону, вычисляем критерии  для чего составим таблицу.

Контроль:  Вычисления произведены правильно.

3. Определяем  по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы  то есть 

4.Так как  то нет оснований отклонить гипотезу о равномерном распределении  на отрезке [0; 5].

Пример №22

Рассмотрим вариационный ряд.

1. Если построить гистограмму частостей, то ее вид будет напоминать экспоненциальную кривую. Поэтому произведем «выравнивание» статистических данных по показательному закону. Запишем его дифференциальную функцию:

Для нахождения точечной оценки параметра  вначале вычислим заменив каждый интервал его серединой:

Тогда  Следовательно, дифференциальная функции предполагаемого показательного закона распределения имеет вид 

2. Для проверки соответствия эмпирических данных с предполагаемым показательным законом распределения применим критерий согласия 

3. Вычислим вероятности попадания случайной величины  в частичные интервалы  по формуле

Для нахождения  построим вспомогательную таблицу.

4. Найдем в таблице критических точек  распределения по уровню значимости  и числу степеней свободы критическое значение 

5. Так как  то нет оснований для отклонения гипотезы об экспоненциальном законе распределения.

Пример №23

Из продукции цеха случайно отобрано 200 выборок по 5 деталей. Регистрировалось число бракованных деталей. В итоге получен вариационный ряд:

Требуется, используя критерий Пирсона при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина  (число бракованных деталей) распределена по биноминальному закону.

1. Найдем частость  и применим ее в качестве оценки вероятности того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной.

По формуле Бернулли  найдем вероятности  того, что интересующее нас событие появится в  испытаниях ровно  раз.

2. Для проверки нулевой гипотезы выдвигаем критерий 

где  — число групп выборки, оставшихся после объединения.

3. Вычисляем  При составлении расчетной таблицы для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия Пирсона мы объединим эмпирические частоты  После объединения число групп выборки 

4. Находим  один параметр (вероятность  оценивался по выборке, то есть  поэтому при определении числа степеней свободы

 значит, нет основании отклонить нулевую гипотезу о биноминальном законе распределения.

Пример №24

Проведено наблюдение за числом вызовов телефонной станции. С этой целью в течение 100 случайно выбранных 5-секундных интервалов времени регистрировалось число вызовов. Получен следующий вариационный ряд:

Проверить, используя критерий  гипотезу о том, что распределение числа вызовов согласуется с законом Пуассона. Уровень значимости принять 

Вероятность ровно  вызовов в течение  случайно выбранных отрезков времени вычисляется по формуле Пуассона:

1. Найдем точечную оценку параметра  генеральной совокупности:

Таким образом, функция вероятностей предполагаемого закона Пуассона имеет вид 

2.Применим критерии 

3. Находим  Для этого все необходимые вычисления приводим в табл. 7.

Контроль:  Вычисления произведены верно.

4. По таблице П5 по заданному уровню значимости и числу степеней свободы  найдем 

5. Так как  то нет оснований для отклонения гипотезы о том, что закон распределения числа вызовов на телефонной станции является законом Пуассона.

Итак, мы рассмотрели критерий  при помощи которого проверяли гипотезу о согласии данных выборки с конкретным теоретическим законом распределения для любой случайной величины как непрерывной, так и дискретной.

Пример №25

Менеджер кредитного отдела нефтяной компании выясняет, является ли среднемесячный баланс владельцев кредитных карточек, равным 75 у.е. Аудитор случайным образом отобрал 100 счетов и нашел, что среднемесячный баланс владельцев составил 83,4 у.е. с выборочным стандартным отклонением, равным 23,65 у.е. Определить на 5%-м уровне значимости, может ли этот аудитор утверждать, что средний баланс отличен от 75 у.е.

Решение. 1. Исходя из условия задачи, сформулируем гипотезы: 

 — неизвестно. Уровень значимости 

2. Для проверки гипотезы  применим критерий

с двусторонней критической областью.

3. Вычислим 

5. Так как  то нулевая гипотеза отклоняется. Значит, среднемесячный баланс владельцев карточек отличен от 75 у.е.

Пример №26

По двум независимым выборкам, объемы которых извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние:  генеральные дисперсии известны:  Требуется при уровне значимости  проверить нулевую гипотезу  при конкурирующей гипотезе: 

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид  поэтому критическая область — двусторонняя.

Найдем правую критическую точку из равенства

По таблице П2, часть 1, функции Лапласа находим  Так как  то нулевую гипотезу отвергаем, т. е. выборочные средние различаются значимо.

Пример №27

Менеджер предприятия решил выяснить, существует ли разница в производительности труда рабочих дневной и вечерней смены. Случайно организованная выборка 10 рабочих дневной смены показала, что средний выпуск продукции составил 74,3 ед./ч, а выборочная дисперсия оказалась равной  Выборка же 10 рабочих вечерней смены выявила, что средний выпуск продукции равнялся  На 1%-м уровне значимости  определить, существует ли разница в производительности труда рабочих вечерней и дневной смены.

Решение. Так как выборочные дисперсии различны, проверим предварительно нулевую гипотезу  равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием Фишера-Снедекора

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:  Дисперсия 20 больше дисперсии 17,8; дисперсия 18 больше дисперсии 16. Поэтому в качестве альтернативной примем гипотезу  В этом случае критическая область правосторонняя. По таблице П7 критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости  и числам степеней свободы  находим

Так как  — нет оснований отклонить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, поскольку предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние. Итак:

 (так как  — имеем правостороннюю критическую область.

2. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину 

4. Находим  по таблице П6 критических точек распределения Стьюдента 

Так как  то нет оснований отклонить гипотезу  т. е.

не существует разницы в производительности труда рабочих дневной и вечерней смены, а имеющие место различия случайны, незначимы.

Пример №28

Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых  Получены следующие результаты:

 Требуется при уровне значимости  проверить гипотезу  при альтернативной гипотезе  Предполагается, что случайные величины распределены нормально.

Решение. Рассматриваемый в этом параграфе критерий предполагает, что генеральные дисперсии одинаковы, но исправленные дисперсии различны, поэтому вначале нужно сравнить дисперсии, используя критерий Фишера-Сиедекора. Сделаем это, приняв в качестве альтернативной гипотезы  Найдем наблюдаемое значение критерия:  Пo таблице П7 критических точек распределения Фишера-Снедекора находим  Так как  — дисперсии различаются незначимо и, следовательно, можно считать, что допущение о равенстве генеральных дисперсий выполняется.

Сравним средние, для чего вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

По условию, альтернативная гипотеза имеет вид  поэтому критическая область двусторонняя. По уровню значимости  и числу степеней свободы  находим по таблице критических точек распределения Стьюдента критическую точку 

Так как  — нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве средних.

Таким образом, средние размеры изделий существенно не различаются.