Как найти критические точки первого рода

(схема 31)

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума)  функции y=f (x), если существует такая δ–окрестность точки x₀, что для всех   из этой окрестности
выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума функции называются
точками экстремума (рис. 3.5).

Теорема 3.15 (необходимое условие существования точек экстремума функции одной переменной). Если дифференцируемая
функция y=f (x) имеет
экстремум в точке x₀,
то её производная в этой точке равна
нулю или не существует

Точки, в которых производная  функции 
либо равна  нулю, либо не
существует, называют критическими точками 1-го  рода. 

Критические точки, в которых производная функции равна
нулю, называются точками стационарности.

Функция y=f (x) называется возрастающей
на некотором интервале (a;b), если на этом интервале большему значению
аргумента x соответствует большее
значение  переменной y, и убывающей, если большему
значению аргумента x соответствует меньшее значение
переменной  y.

 Для
дальнейшего исследования критические точки помещают на числовую ось, которая
делится этими точками на интервалы, после чего 
поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.16 (достаточное условие возрастания и убывания
функции одной переменной). Если
на некотором интервале (a;b) функция y=f (x) дифференцируема и при этом ее производная  положительна (отрицательна), то функция на данном
интервале возрастает (убывает)

Теорема 3.17 (достаточное условие существования точек экстремума функции ). Если функция y=f (x) непрерывна и
дифференцируема в некоторой δ –окрестности критической точки x₀ и при переходе через нее
производная  меняет знак  с плюса на минус, то точка x₀ является точкой максимума; если
с минуса на плюс, то точка x₀ является точкой минимума функции

Те критические
точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто
критическими точками 1-го рода.

        Критические точки 1-го рода, в которых
производная не существует, делятся на классы:

– точки, в которых функция непрерывна, но при выполнении теоремы 3.17 имеет в этих точках  «острый» экстремум (угловые
точки или точки излома) (рис. 3.6);

– точки, в которых функция непрерывна, но касательная в них к графику
функции параллельна оси 0y (угловой коэффициент такой касательной

, то есть не существует); например, для функции  такой точкой является x₀=0;

– точки, в которых функция терпит разрыв (всегда переходят в класс
критических точек 2-го рода).

Но проведенное таким образом исследование, не дает ответ на очень важный
вопрос: как возрастает (убывает) функция – выпукло или вогнуто? Ответ на
поставленный вопрос дает дальнейшее рассмотрение функции с помощью второй
производной. Дадим ряд необходимых определений.

Функция называется выпуклой (выпуклой вверх) на некотором интервале (a;b), если касательная, проведенная к графику 
функции в каждой точке этого интервала, лежит выше графика функции.

Функция называется вогнутой (выпуклой вниз) на некотором интервале (a;b), если касательная, проведенная к графику  функции в каждой точке этого интервала, лежит
ниже графика функции.

Точки, отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости функции,
называются ее точками перегиба (см. рис. 3.5).

Теорема 3.18 (необходимое
условие существования точек перегиба функции). Если дважды дифференцируемая функция y=f (x) имеет перегиб в точке x₀,
то в этой точке вторая производная
равна нулю или не существует

Точки, в которых вторая производная функции либо равна нулю, либо не
существует, называют критическими точками 2-го рода.

Для дальнейшего исследования критические точки 2-го
рода помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы,
после чего  поверяют выполнение следующих
достаточных условий.

Теорема 3.19 (достаточное
условие выпуклости и вогнутости 
функции). Если на некотором интервале (a;b) функция y=f(x) дважды
дифференцируема и при этом ее вторая производная  положительна (отрицательна), то функция на данном интервале вогнута
(выпукла)

Примечание. Очевидно,
что на интервале выпуклости функция имеет точку максимума, а на интервале
вогнутости – точку минимума (см. рис. 3.5).

Теорема 3.20 (достаточное условие существования точек
перегиба функции). Если функция y=f(x) непрерывна и дважды дифференцируема в некоторой окрестности критической
точки 2-го рода  и при переходе через нее
вторая производная меняет знак, то данная точка 
является точкой перегиба функции

Те критические точки функции, для которых достаточное условие 3.19 не
выполняется, остаются просто критическими точками 2-го рода. Критические точки
2-го рода, в которых вторая производная не существует, делятся на классы:

– точки,
в которых функция непрерывна и при выполнении теоремы 3.20 имеет в этих точках
«острый» перегиб,  – в них можно провести
к графику функции бесконечное множество касательных (рис.
3.7);

– угловые точки (переходят из критических точек первого рода);

– точки,  в которых функция терпит разрыв  (в точках разрыва 2-го рода график  функции имеет вертикальную асимптоту).

Для окончательного перечисления точек экстремума и перегиба функции
необходимо найти их ординаты, после чего выписать указанные точки двумя
координатами.

Для завершения исследования функции и построения графика необходимо
проверить наличие у нее асимптот. Напомним,
что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до
которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном
удалении от начала координат точки по кривой (рис. 3.8).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными,
горизонтальными.

Говорят, что прямая x=a является вертикальной асимптотой графика

.

Например, кривая  имеет вертикальную
асимптоту x=-1,  так как  .

Уравнение наклонной асимптоты  ищем в виде 
y=kx+b (рис. 3.8).

Коэффициенты
k и b находятся
по формулам:  

                                                                                                         (3.41)

 и     .                                                                                      (3.42)

  Верно и
обратное: если существуют конечные пределы (3.41) и (3.42), то прямая  y=kx+b является
наклонной асимптотой.

  Если хотя бы
один из пределов (3.41) или (3.42) не существует или равен бесконечности, то
кривая y=f (x) наклонной
асимптоты не имеет.

  В частности,
если k=0, то . Поэтому y=b
– уравнение горизонтальной асимптоты.

  Примечание. Асимптоты графика функции y=f (x) при ∆x→+∞ и ∆x→–∞  могут быть разными. Поэтому при нахождении
пределов (3.41) и (3.42) следует отдельно рассматривать случай, когда ∆x→+∞ и когда ∆x→–∞.

 Пример 3.16.
 Исследовать методами дифференциального
исчисления и построить график функции .

Решение.

1.      Область
определения: .

2.     Исследуем функцию на непрерывность и классифицируем
ее точки разрыва. Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x=4. Вычислим
односторонние пределы в этой точке:

.

Таким образом, точка x=4 является для заданной функции точкой разрыва второго
рода, а прямая x=4 – вертикальной асимптотой графика.

3.     Проведем исследование функции методами
дифференциального вычисления. Для исследования на экстремум и промежутки
монотонности вычислим первую производную:. На основании теоремы 3.15 найдем критические точки
первого рода, в которых производная равна нулю или не существует

.

Результаты исследования заданной функции с помощью
первой производной занесем в таблицу 3.1,
основываясь на теоремах  3.16, 3.17.

Таблица 3.1                             

Исследование
функции с помощью первой производной

    . Следовательно, A (–2; –4) – точка максимума, а B(10; 20) –
точка минимума функции.

4.     Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и точки
перегиба с помощью второй производной, основываясь на теоремах 3.23, 3.24:

.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет.
Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости. Результаты
исследования занесем в следующую таблицу 3.2.

Таблица 3.2                                         

Исследование
функции с помощью второй производной

5.  Исследуем график
функции на наличие наклонных и горизонтальных асимптот, уравнение которых как
прямых линий y=kx+b.

Согласно (3.41) . Так как , то горизонтальных асимптот не существует.

Согласно (3.42) .

Таким образом, прямая y=x+4 –
наклонная асимптота графика.

Очевидно, график заданной функции пересекает ось 0y в точке (0; –5) и, на основе обобщения
результатов всех предыдущих исследований, имеет вид, представленный на рисунке 3.9

Содержание:

1. Схема исследования функции и построение ее графика
2. Условия возрастания и убывания функции.
3. Экстремумы функции
4. Наибольшее и наименьшее значения функции
5. Условия выпуклости. Точки перегиба

Схема исследования функции и построение ее графика

График заданной функции можно строить по произвольно взятым точкам. При таком способе можно не обнаружить всех особенностей ее графика.

Проведя предварительно исследования, мы ищем характерные для данного графика точки и тем упрощаем решение задачи о построении графика.

При исследовании функции и построении ее графика целесообразно придерживаться следующей схемы:

Первый этап (использование вида заданной функции).

1) Находим область определения функции, точки разрыва.
2) Исследуем функцию на четность или нечетность, периодичность.
3) Находим асимптоты графика функции.
4) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Второй этап (использование производной первого порядка).
5) Находим критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания, точки экстремумов и экстремальные значения функции.

Третий этап (использование производной второго порядка).
6) Находим критические точки второго рода, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба и значения функции в этих точках.

Четвертый этап. Составим таблицу результатов исследования.

Наносим полученные точки, асимптоты на координатную плоскость и строим график функции с учетом точек разрыва, интервалов возрастания и убывания функций, промежутков выпуклости и вогнутости графика функций.

Пример 1. Исследовать функцию y = x³ – 3x² и построить ее график.

Решение.
1) Область определения функции: вся числовая ось .
2) Функция ни четная ни нечетная, поскольку  y (-x) = -x³ — 3x², поэтому y (-x) ≠ y (x) ≠ — y (x).
Функции не периодическая.
3) Вертикальных асимптот график не имеет, потому что нет точек разрыва.

Исследуем, имеет ли график наклонные асимптоты y = kx + b:

Наклонных асимптот график также не имеет.

4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: при x = 0, y = 0; то есть точка O (0; 0);
при y = 0:    x³ — 3x² = 0⇒  x² (x – 3) = 0⇒ x = 0 и x = 3,  то есть точка M (3; 0).

Второй этап.
5) Находим производную первого порядка:
y ‘= 3x² – 6 x = 3x (x – 2).

Находим критические точки первого рода:
3x (x – 2) = 0, x₁ = 0, x₂ = 2.

Критические точки разбивают область определения на промежутки (-∞, 0) ∪ (0,2) ∪ (2, ∞) (рис. 19).

Рис. 19.                                                                                                  Рис. 20.

Находим знаки производной в этих промежутках:
y’ (3) = 3⋅ 3 (3 – 2) = 9 > 0,
y’ (1) = 3 ⋅ 1 (1 – 2) = –3 < 0,
y’ (1) = 3 (–1) (–1 – 2) = 9 > 0.

Следовательно, функция возрастает на промежутках (–∞; 0) ∪ (2; ∞), убывает на
промежутке (0; 2).

В точке x = 0 функция имеет максимум, y_max = y (0) = 0.
В точке x = 2 функция имеет минимум,

Третий этап.
6) Находим производную второго порядка:
y»= 6 x – 6 = 6 (x – 1). Находим критические точки второго рода: 6 (x — 1) = 0, x = 1 . Критическая точка x = 1 разбивает область определения на промежутки: (-∞, 1) ∪ (1, ∞) (рис. 20). Находим знаки второй производной в этих промежутках:
y» (0) = 6 (0 – 1) = –6 < 0,
y» (2) = 6 (2 – 1) = 6 > 0.

Следовательно, график функции выпуклый на промежутке (-∞, 1), вогнутый на промежутке (1; ∞). Точка x = 1 является точкой перегиба,
7) Составим таблицу, где занесем все результаты исследования.

Найдем еще дополнительно
y (-1) = (-1) ³ – 3 ⋅ (–1) ² = 4.

Наносим все характерные точки на координатную плоскость и строим график (рис.21).

Рис. 21.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.

Первый этап.
1) Область определения функции (; 2) ∪ (2; ). Функция имеет разрыв в точке x = 2.

2) Функция ни четная, ни нечетная, поскольку
   и   y (-x) ≠ y (x) ≠ — y (x).
Функция непериодическая.

3) Поскольку в точке разрыва x = 2,
 а   

то прямая x = 2 — вертикальная асимптота.
Исследуем, имеет ли график наклонные асимптоты y = kx + b:

Итак, y = 0 — горизонтальная асимптота.

4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: при  x = 0, то есть точка ,   при y = 0 —   x = 3, то есть точка M₁ (3; 0).

Переходим ко второму этапу:
5) Найдем производную первого порядка:

Находим критические точки первого рода:

Учитывая точку x = 2, где производная не существует, разобьем область определения на промежутки (; 2) ∪ (2; 4) ∪ (4; ) (рис.22) и установим знаки первой производной в этих промежутках:

Следовательно, функция возрастает на промежутке (2; 4), убывает на промежутках (; 2) ∪ (4; ) .В точке x = 4 функция имеет максимум,
 Имеем точку 

         
Рис. 22.                                                                                  Рис. 23

Переходим к третьему этапу:
6) Находим вторую производную:

Найдем критические точки второго рода:
  4x – 20 = 0;    x = 5; 

Учитывая точку x = 2, где y» не существует, разбиваем область определения на промежутки: (; 2) ∪ (2, 5) ∪ (5; )  (рис. 23).

Установим знаки второй производной в этих промежутках:

Следовательно, график функции выпуклый на промежутках: (; 2) ∪ (2; 5), вогнута на промежутке (5; ). Точка x = 5 является точкой перегиба,  
Имеем точку Составим таблицу, куда занесем результаты исследования:

Строим график (рис. 24).

Рис. 24.

Условия возрастания и убывания функции.

1) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная была положительна всюду на , т. е.

, .

2) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (не убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна всюду на , т. е.

, .

3) Аналогично, достаточным условием строгого убывания дифференцируемой функции , , является условие

, ;

необходимым и достаточным условием убывания — условие

, .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Экстремумы функции

1) Точка называется точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой верно неравенство

.

Если для всех из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство

,

то точка называется точкой строгого локального максимума функции .

Аналогично, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

,

то точка называется точкой локального минимума, если для всех из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство

,

то точка называется точкой строгого локального минимума.

Для краткости слово “локальный” часто опускают и пишут просто “точка минимума” или “точка строгого максимума”.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

2) Необходимые условия экстремума. Если точка является точкой экстремума функции, то либо , либо не существует.

Эти условия не являются достаточными.

Точки, в которых функция определена, а производная функции равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

3) Достаточные условия строгого экстремума (с использованием первой производной). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , в которой, однако, функция непрерывна. Тогда точка является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки , в которой

при и при

При выполнении условий (1) принято говорить, что производная функции при переходе через точку меняет знак плюс на знак минус.

Если же

при и при

т. е. если производная при переходе через точку меняет знак минус на плюс, то — точка строгого минимума.

4) Условия строгого экстремума (с использованием производных высших порядков). Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно. Тогда если

а

то при четном точка является точкой строгого экстремума, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если ; при нечетном экстремума в точке нет.

В частности, если

, a ,

то в точке имеется строгий максимум в случае и строгий минимум в случае .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

функции, непрерывной на отрезке, существуют на этом отрезке точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейерштрасса).

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет на нем локальных максимумов в точках . Тогда наибольшее значение функции на отрезке равно наибольшему из чисел

Аналогично, если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем локальных минимумов в точках , то ее наименьшее значение на этом отрезке равно наименьшему из чисел

Условия выпуклости. Точки перегиба

1) Функция называется выпуклой вниз (или вогнутой вверх) на интервале , если для любых точек и этого интервала и любых чисел и таких, что , верно неравенство

Геометрический смысл выпуклости вниз функции на интервале заключается в том, что точки любой дуги графика функции расположены не выше хорды, стягивающей эту дугу (рис. 20.1). Если функция выпукла вниз на некотором интервале, то ее график тоже называют выпуклым вниз.

Если при тех же условиях относительно выполняется неравенство

то функция называется выпуклой вверх (или вогнутой вниз).

В том случае, когда при и , неравенство (4) или (5) является строгим, функция называется строго выпуклой вниз или соответственно строго выпуклой вверх на интервале .

Например, функция строго выпукла вниз на всей числовой оси.

Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вниз этой функции; интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх — интервалом (строгой) выпуклости вверх этой функции.

Интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз называют интервалами выпуклости.

2) Условия выпуклости функции. Для того чтобы функция , дважды дифференцируемая на интервале , была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная была неотрицательна на , т. е.

Условие

является достаточным условием строгой выпуклости вниз функции на интервале .

Условие (7) не является необходимым для строгой выпуклости. В самом деле, функция строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производная равна нулю в точке .

Аналогично, для функции , имеющей на интервале вторую производную, необходимым и достаточным условием выпуклости вверх на этом интервале является условие

а достаточным условием строгой выпуклости вверх — условие

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Если существуют интервалы

и , ,

на одном из которых строго выпукла вниз, а на другом строго выпукла вверх, то говорят, что при переходе через точку функция меняет направление выпуклости. .

3) Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если функция при переходе через точку меняет направление выпуклости, то точка называется точкой перегиба функции . В этом случае точку называют точкой перегиба графика функции .

Если — точка перегиба графика / функции , то график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую ее сторону. Заметим, что обратное утверждение неверно (см. задачу 62).

На рис. 20.2 и рис. 20.3 представлены график функции и график обратной ей функции , для которых точка является точкой перегиба. Функция в точке имеет бесконечную производную.

Функция (рис. 20.4)

при переходе через точку меняет направление выпуклости, в точке имеет бесконечную производную, однако точка не является для нее точкой перегиба, так как при функция разрывна. Для функции точка (рис. 20.5) не является точкой перегиба, поскольку при переходе через точку направление выпуклости

не меняется (это так называемая точка возврата). При переходе через точку функция

меняет направление выпуклости, но точка не является для нее точкой перегиба (рис. 20.6), так как в этой точке у функции нет ни конечной, ни бесконечной производной (это так называемая угловая точка).

4) Необходимые условия существования точки перегиба. Если точка является точкой перегиба функции , то либо , либо не существует.

Эти условия не являются достаточными. В самом деле, для функции вторая производная в точке равна пулю, а для функции

вторая производная в точке не существует, по ни для , пи для точка не является точкой перегиба.

Точки перегиба функции следует искать среди критических точек ее первой производной.

5) Достаточные условия существования точки перегиба (с использованием второй производной). Пусть функция дифференцируема в точке и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Тогда точка является точкой перегиба функции , если существует окрестность точки , в которой либо

при и при

либо

при и при

В этом случае принято говорить, что при переходе через точку вторая производная меняет знак.

6) Условия существования точки перегиба (с использованием производных высших порядков). Пусть функция имеет в точке производные до порядка включительно, и пусть

тогда если — нечетное число, то — точка перегиба; если же — четное число, то не является точкой перегиба.

В частности, если

то — точка перегиба функции .

Примеры с решением

Пример 1.

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) ;

3)

1) Данная функция всюду дифференцируема, причем

Так как при и и при , то на интервалах и функция строго возрастает, а на интервале строго убывает.

2) Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем

Так как при всех , то данная функция является невозрастающей на всей числовой оси. На интервале она постоянна, на интервале строго убывает.

3) Данная функция является четной, поэтому достаточно найти интервалы монотонности при . Решая при неравенство

получаем

или ,

откуда

или .

Таким образом, на интервалах и , , функция строго возрастает. На интервалах , , очевидно, справедливо неравенство , и поэтому на этих интервалах функция строго убывает. Если , то, используя четность функции, получаем, что на интервалах , , функция строго возрастает, а на интервалах , , строго убывает.

Следует обратить внимание на то, что данная функция не является монотонной ни в какой окрестности точки . В любой окрестности этой точки содержится счетное множество интервалов возрастания и счетное множество интервалов убывания данной функции.

Пример 2.

Найти точки экстремума функции .

Функция имеет производную при всех , причем

Следовательно, у функции может быть только один экстремум в точке . Так как при и при , то точка является точкой строгого минимума.

Пример 3.

Найти экстремумы функции

Так как

то критические точки функции — и . Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на знак минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус па плюс, поэтому в точке у функции минимум.

Тот же результат можно получить, используя вторую производную. Так как и , а , то в точке функция имеет максимум, а в точке — минимум.

Вычислив значения функций в точках и , найдем экстремумы функции: максимум и минимум .

Пример 4.

Исследовать на экстремум функцию:

1)

2)

3)

1) Функция определена и дифференцируема при всех , кроме точки . Вычисляем ее производную:

и находим критические точки: и . Легко видеть, что существует окрестность точки , в которой , т. е. при

переходе через точку знак производной не изменяется. Следовательно, эта критическая точка не является точкой экстремума. В точке функция имеет строгий минимум, так как существуют левая окрестность этой точки, в которой , и правая окрестность этой точки, в которой . Вычисляя значение функции при , находим минимум:

2) Функция определена и непрерывна при всех . Вычисляем ее производную:

В точках , производная не существует. Таким образом, функция имеет три критические точки: , , . При переходе через точку производная не меняет знака, поэтому критическая точка не является точкой экстремума. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке функция имеет минимум. При переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, поэтому — точка максимума. Минимум функции равен , а максимум равен .

3) Функция дифференцируема при всех . Так как и уравнение имеет только одно решение, а именно , то экстремум может быть только в точке . Вычисляем вторую производную:

Поскольку , находим следующие производные в точке :

Таким образом, первой не равной нулю оказалась производная четного порядка. Следовательно, в точке функция имеет экстремум. Так как , то при у функции минимум, равный

Пример 5.

Исследовать на экстремум функцию , заданную параметрически уравнениями

Функции и дифференцируемы при всех значениях параметра , причем производная

при положительна. Поэтому при можно найти по формуле . Так как

то

Производная равна нулю только при , поскольку при всех . Следовательно, у данной функции две критические точки: (при ) и (при ). Если принадлежит левой окрестности точки , то параметр принадлежит левой окрестности точки , где .

В некоторой правой окрестности точки производная . Поэтому в точке функция имеет максимум, равный . Аналогично убеждаемся в том, что при переходе через точку , соответствующую значению , производная меняет знак минус на плюс. Таким образом, в точке у функции минимум, равный

С
учетом изложенного в настоящей главе
можно рекомендовать следующую схему
исследования функции в
построения
ее графика:

1)найти
область определения функции;

2)
исследовать функцию на четность и
нечетность;

3)
исследовать функцию на периодичность;

4)
исследовать функцию на непрерывность,
найти точки разрыва;

5) найти
критические точки первого рода;

6)
найти интервалы монотонности и
экстремумы
функции;

7) найти
критические точки второго рода;

найти
интервалы выпуклости и точки перегиба;

9) найти
асимптоты графика функции;

10)
найти точки пересечения графика функции
с осями координат (если это возможно);

11)
построить график функции.

Пример
1. Построить график функции

.

Решение.
1) Данная функция определена на всей
числовой оси, кроме точек х
=
-2 и х
=
2.

1. Функция
   нечетна, так как

.

3) Функция
непериодическая.

4)
Функция непрерывна во всей области ее
определения.
Точки х
= -2
и х
=
2 являются точками раз­рыва.

5) Находим

.

Очевидно,
что f‘(x)
= O
при
x
= 0 и x=±2.
Крометого,
f‘(x)
не
существует при х
=
±2. Следовательно,
f(x)
имеет следующие критические точки
первого рода:

.

6)
Методом пробных точек определяем знак
про_из« водной в каждом из интервалов:

,(рис.
15).

Следовательно,
функция f
(x)
в интервалах
-возрастает,а в интервалах
—
убывает.

В точке
функция
имеет максимум, а в точке-минимум.
Так как при переходе

Рис
15

через
критическую точку х₃
= 0 производная
не
меняет знак, то в этой
точке
экстремума нет. Имеем:

и

7)
Находим

Так
как f
» (х) = 0
при х
= 0
и f
«(x)
не существует при x
= ±2, то х₂
=
-2, х₃
= 0 и x₄
= 2 являются крити­ческими точками
второго рода.

Определяем знак вто­рой производной
f«(x)
в
ка­ждом из интервалов ]-;
-2[, ]-2; 0[, ]0; 2[ и ]2; +[ (рис. 16).

Рис. 16

Мы
видим, что в интерва­лах ]-
;
-2[ и ]0; 2[ гра­фик функции обращен
выпук­лостью вверх, а в интервалах]-2;
0[ и ]2; +[—
выпук­лостью вниз. Вторая произ­водная
меняет свой знак в ка­ждой из критических
точек второго рода, однако точких=2
не принадлежат области определения
функций и
поэтому
лишь точка х
= 0
является точкой перегиба. Имеем f(0)
= 0, следовательно, точкой перегиба
являет­ся начало координат.

9) Так
как

и

то
х
=
-2 и x
= 2 являются вертикальными асимптотами.
Далее, находим:

Следовательно,
у
= х является
наклонной асимптотой

Результаты
исследования заносим в таблицу 4.

Таблица 4

По
полученным
данным строим график функции (рис. 17).

Рис
17

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а если:
1) она определена в этой точке;
2) существует предел функции в этой точке

3) значение предела равно значению функции в точке х = а, т.е.

Если одно из условий нарушается то функция называется разрывной в точке х = а, а сама точка х = а называется точкой разрыва. Все элементарные функции являются непрерывными на интервалах определенности.

Классификация точек разрыва

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x) если существуют конечные односторонние пределы справа

и слева
.

Если, кроме этого, выполняется хотя бы одно из условий

то функция в точке х = а имеет неустранимый разрыв первого рода.

Если пределы равны, однако функция не существует

то имеем устранимый разрыв первого рода.

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции у= f(x) если граница справа или слева не существует или бесконечна.

Скачком функции в точке разрыва х = х0 называется разность ее односторонних границ

если они разные и не равны бесконечности.

При нахождении точек разрыва функции можно руководствоваться следующими правилами:

1) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной на определенном интервале.
2) элементарная функция может иметь разрыв в точке где она не определена при условии, что она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки.
3) Неэлементарные функция может иметь разрывы как в точках где она определена, так и в тех где она определена.
Например, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то на границе стыка может быть разрывной.

Рассмотрим несколько задач по данной теме.

Задача 1.
Найти точки разрыва функции
а)

Решение:
Функция определена во всех точках кроме тех где знаменатель обращается в нуль x = 1, x = 1. Область определения функции следующая

Найдем односторонние пределы в точках разрыва

При нахождении односторонних границ подобного вида достаточно убедиться в знаке функции и в том, что знаменатель стремится к нулю. В результате получим границу равную бесконечности или минус бесконечности.

Поскольку в точках x = 1, x = -1 функция имеет бесконечные односторонние пределы, то аргументы являются точками разрыва второго рода. График функции приведен на рисунке ниже

——————————————————-

б)

Решение:
Задача достаточно простая. В первую очередь находим нули знаменателя

Таким образом функция определена на всей действительной оси за исключением точек , которые являются точками разрыва. Вычислим односторонние пределы справа и слева

Пределы бесконечны поэтому, по определению, имеем точки разрыва второго рода.

Из графиков приведенных функций видим что для ряда из них отыскания точек разрыва сводится до нахождения вертикальных асимптот. Но бывают функции которые и без вертикальных асимптот имеют разрывы первого или второго рода.

——————————————————-

в)

Решение:
Заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x = -3. Вычислим односторонние границы в этой точке

Они различаются по значениям, однако есть конечными. Итак точка x = -3 является неустранимой точкой разрыва І рода.

——————————————————-

Задача 2.
Найти точки разрыва функции если они существуют. Вычислить скачок функции в точке разрыва. Построить график функции.

а)

Решение:
Для заданной функции точка x = 2 является точкой разрыва. Найдем предел функции , чтобы определить характер разрыва

По определению, точка x = 2 является неустранимой точкой разрыва первого рода. Вычислим скачок функции при x=2

График функции на интервале который нас интересует приведен далее

——————————————————-

б)

Решение:
Неэлементарная функция y (x) определена для всех положительных значений аргумента. Точки которые разбивают функцию на интервалы могут быть разрывами. Для проверки найдем соответствующие пределы

Поскольку предел функции в точке x = 2 равен значению функции в этой точке то функция — непрерывная.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции скачок равен 6-6 = 0.

Исследуем на непрерывность вторую точку

По определению функция в точке x = 2 имеет неустранимый разрыв І рода.

Прыжок функции равен 29 — (- 3) = 31.

По условию задания построим график функции.

Из приведенного материала Вы должны научиться находить разрывы первого и второго рода, а также различать их. Для этого подобрано немного примеров, которые в полной мере раскрывают все важные вопросы темы. Все остальное сводится к нахождению простых односторонних пределов и не должно быть для Вас сложным.

Инфоурок

›

Математика

›Презентации›Презентация по математике «Критические точки первого рода»

Презентация по математике «Критические точки первого рода»