Теорема косинусов и синусов
О чем эта статья:
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов:
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
- Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b × cos α,
- DB = c – b × cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
- h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2
Приравниваем правые части уравнений:
- b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
- a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
- c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
-
Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.
- Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.
Теорема косинусов
Формула теоремы косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $alpha$, противолежащим стороне $a$, справедливо соотношение:
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» древнегреческого математика Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог, астроном и математик Региомонтан (1436 — 1476), назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени выдающегося средневекового астронома и математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 — 929).
В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.
Следствие из теоремы косинусов
Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1):
Если $b^<2>+c^<2>-a^<2>>0$, то угол $alpha$ — острый;
Если $b^<2>+c^<2>-a^<2>=0$, то угол $alpha$ — прямой;
Если $b^<2>+c^<2>-a^ <2>lt 0$, то угол $alpha$ — тупой.
Примеры решения задач
Задание. В треугольнике $ABC AC=3, BC=5$ и $AB = 6 .$ Найти угол, противолежащий стороне $AB$
Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:
$$angle A C B=arccos left(-frac<1><15>right)$$
Ответ. $angle A C B=arccos left(-frac<1><15>right)$
Теорема косинусов
Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.
- a² = b² + c² – 2b.c.cosα
- b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
- c² = a² + b² – 2a.b.cosγ
Например:
Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.
Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:
cos α = cos 120º = — 1/2 (это значение можно найти в таблицах)
a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)
Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.
Следствия
Следствие косинуса угла треугольника
При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.
Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.
Решение:
Будем использовать эту версию формулы:
cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8
Следствие верхней части формулы cos α
Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):
- b²+c²−a² 0, значит угол α — острый.
Доказательство теоремы косинусов
Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C
1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a CD = a.cos C.
2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:
3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:
sin C = BD/a BD = a.sinC.
4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²
5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²
6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C
6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC
7. Выносим за скобки «a²»: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC
8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C
Теорема косинусов для равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике:
- две его стороны равны;
- углы при основании равны.
Используем формулу теоремы косинусов
a² = b² + c² – 2b.c.cosα
Подставляем все известные:
x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º
x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)
Теорема синусов
Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_19_7.php
http://www.uznaychtotakoe.ru/teorema-kosinusov/
Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
asinA=bsinB=csinC
(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).
Теорема синусов используется для вычисления:
-
неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;
-
неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения
sin180°−α=sinα
.
Наиболее часто используемые тупые углы:
sin120°=sin180°−60°=sin60°=32;sin150°=sin180°−30°=sin30°=12;sin135°=sin180°−45°=sin45°=22.
Радиус описанной окружности
, где (R) — радиус описанной окружности.
Выразив радиус, получаем
R=a2sinA
, или
R=b2sinB
, или
R=c2sinC
.
Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно (2) данных величин (две стороны или сторона и угол).
Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы (3) данных величины.
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:
Теорема косинусов используется для вычисления:
-
неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;
-
вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.
Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения
cos180°−α=−cosα
.
Наиболее часто используемые тупые углы:
cos120°=cos180°−60°=−cos60°=−12;cos150°=cos180°−30°=−cos30°=−32;cos135°=cos180°−45°=−cos45°=−22.
Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.
Источники:
Рис. 1-3. Треугольник, окружность, © ЯКласс.
Учебник
Геометрия, 9 класс
Теорема косинусов
Теорема косинусов
Если в треугольнике даны две стороны и угол между ними, то такой треугольник один, единственный. Т.е. любой другой треугольник с такими данными будет в точности равен ему, по 2-му признаку равенства треугольников. Ну, раз единственный и неповторимый, то его третья сторона должна быть однозначно определяема.
_____________________________________________________________________________________
Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
$AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos ACB$
_____________________________________________________________________________________
Факты:
- Теорема косинусов позволяет найти косинус любого угла по трем известным сторонам, а значит, и сам угол.
- Если из трех сторон и одного угла известны три величины, то четвертое неизвестное можно всегда вычислить.
- Теорема косинусов дает возможность вычислять медианы треугольника, применяя теорему к малым треугольникам.
- Для прямоугольного треугольника теорема косинусов «упрощается» до теоремы Пифагора $AB^2=AC^2+BC^2$.
А если угол тупой? Что означает тригонометрия больших углов?
$cos130=-cos50$, $sin115=sin65$ , $tg135=-tg45$.
Связь тригонометрии тупых углов $90 < alpha < 180$ с тригонометрией острых выражается формулами:
$sinalpha=sinleft(180-alpharight)$ $cosalpha=-cosleft(180-alpharight)$ $tgalpha=-tgleft(180-alpharight)$ $ctgalpha=-ctgleft(180-alpharight)$
Если $b^2+c^2-a^2>0$, то $alpha$ — острый; если $b^2+c^2-a^2=0$, то $alpha$ — прямой; если $b^2+c^2-a^2<0$ , то угол $alpha$ — тупой.
Расчет треугольников по теореме косинусов
Задача 1: В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $7sqrt{3}$ см, сторона $BC$ равна $1$ см , угол $C$ = $150^o$ . Найти длину стороны $AB$.
- Решение: Применим теорему косинусов $AB^2=left(7sqrt{3}right)^2+1-14sqrt{3}cos150$ .
- Тупой угол в $150^o$ выразим через острый : $cos150=cosleft(180-30right)=-cos30=-frac{sqrt{3}}{2}$. $Rightarrow$
- $AB^2=147+1-28sqrt{3}left(-frac{sqrt{3}}{2}right)$ , $AB^2= 148 + 21 = 169$ $Rightarrow$ Ответ: $AB = 13$
Задача 2: В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $17$ см, сторона $BC$ равна $14$ см , угол $ACB$ = $60^o$ .
Найти длину третьей стороны .
- Решение: Из теоремы косинусов для угла $angle ACB$ : $Rightarrow$ $AB^2=17^2+14^2-2cdot17cdot14cdotcos60$ $Rightarrow$
- квадрат стороны $AB^2= 289+196-238 = 247$ $Rightarrow$ Ответ: $AB = sqrt{247}$
Задача 3: В $bigtriangleup ABC$ известны $AC=3$ , $BC=5$ см, $AB=6$ .
Найти косинус угла $C$ и медиану $BM$ .
- Решение: Из теоремы косинусов для стороны $AB$ выразим косинус требуемого угла $ACB$:
- $cos ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}=frac{9+25-36}{30}=-frac{1}{15}$ . Отрицательное значение косинуса говорит о том, что это тупой угол $>90^o$
- Для нахождения медианы $ВМ$ распишем еще раз теорему косинусов, но уже для треугольника $ВМС$ от угла $С$:
- $BM^2=BC^2+MC^2-2cdot BCcdot MCcdotcos C$ учтем, что медиана делит сторону пополам $MC=frac{AC}{2}=1,5$
- Подставим $BM^2=25+2,25-2cdot5cdot1.5cdotleft(-frac{1}{15}right)=27,25+1=28,25$, получим $BM=sqrt{28,25}=0,5sqrt{113}$
- Ответ: $cos ACB=-frac{1}{15}$ , $BM=0,5sqrt{113}$ .
Задача 4: В прямоугольном $bigtriangleup ABC$ известны $AB=9$ , $BC=3$ см ; $M$ делит $AB$ : $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$.
Найти $CM$ .
- Решение: По свойству аддитивности отрезка $AM + MB = 9$ , по условию $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$ $Rightarrow$ $AM = 3$ , $MB = 6$
- Из прямоугольного $bigtriangleup ABC$ по определению косинуса угла: $cos B=frac{BC}{AB}=frac{3}{9}=frac{1}{3}$ .
- Из $bigtriangleup CMB$ по теореме косинусов найдем $CM$ : $CM^2=CB^2+MB^2-2cdot CBcdot MBcdotcos B$ , подставим числа
- $CM^2=3^2+6^2-2cdot3cdot6cdotfrac{1}{3}=33$ $Rightarrow$ требуемый отрезок $CM=sqrt{33}$ . Ответ: $CM=sqrt{33}$
Задача 5: Одна из сторон треугольника больше другой на $8$ см, а угол между ними $120^o$ .
Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны $28$ см .
- Решение: Метод введения неизвестного: Обозначим одну из сторон треугольника как $x$ ,
- выразим нужные величины через х и составим уравнение: величина другой стороны будет равна $x+8$ см.
- По теореме косинусов: $28^2=x^2+left(x+8right)^2-2xcdotleft(x+8right)cdotcos120$ , где $cos120=cosleft(180-60right)=-cosleft(60right)=-0,5$,
- Итак, составили уравнение $784=x^2+x^2+16x+64-2xleft(x+8right)left(-0,5right)$ $Rightarrow$ $3x^2+24x+720=0$
- решим квадратное уравнение : один корень отрицательный — не нужен , другой $x=frac{-24+96}{6}=12$
- Периметр $P=12+left(12+8right)+28=60$. Ответ: $60$.
Задача 6: В $bigtriangleup ABC$ известны стороны $a=15$ , $b=18$, $c=25$ . Найти: углы $α$, $β$, $γ$ (приближённо) .
- Решение: Углы $α$ и $β$ найдём по теореме косинусов для соответствующих углов.
- $cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , вычисляем $cosalpha=frac{18^2+25^2-15^2}{2cdot18cdot25}approx0,8$ , привлекаем калькулятор: $alphaapprox36,4^o$ ;
- $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , вычисляем $cosbeta=frac{15^2+25^2-18^2}{2cdot15cdot25}approx0,7$ , …. калькулятор: $betaapprox45,3^o$ .
- Найдём $γ$ по теореме о 180 = сумма углов: $gamma=180-left(alpha+betaright)$ и $gammaapprox180-left(36,4+45,3right)approx98,3$ .
- Ответ: $alphaapprox36,4^o$ , $betaapprox45,3^o$ , $gammaapprox98,3$
Задача 7: В $bigtriangleup ABC$ $AB=c=3$ м, $AC = b = 6$ м. , $alpha=60$ . Найти: сторону $a = BC$ , углы $β$, $γ$ .
- Решение: Треугольник задан двумя сторонами и углом между ними, следовательно, он задан полностью.
- По теореме косинусов $a^2=b^2+c^2-2bccdotcosalpha$ найдём сторону $a$:
- $a^2=6^2+3^2-2cdot6cdot3cdotcos60=36+9-36cdotfrac{1}{2}=27$ $Rightarrow$ $a=3sqrt{3}$ .
- По теореме косинусов найдем и угол $β$ : $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , $cosbeta=frac{27+9-36}{18sqrt{3}}=0$ $Rightarrow$ $β=90$ .
- Значит $bigtriangleup ABC$ — прямоугольный , тогда угол $γ=90-α$ . Ответ: $a=3sqrt{3}$ , $β = 90$ , $γ=30$ .
Задача 8: Стороны треугольника равны $11$ , $12$ и $13$ . Найти биссектрису, проведенную к стороне, равной 12.
- дано: $AB=11$ , $BC=12$ , $AC=13$ Найти биссектрису $AK=?$ .
- Решение: Найдем косинус угла из теоремы косинусов : $AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos angle ACB$
- Выразим косинус $cos angle ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}$ , $cos angle ACB=frac{13^2+12^2-11^2}{2cdot 13cdot 12}=frac{19}{39}$
- Найдем отрезки $BK$ , $KC$ на которые биссектриса делит сторону … по теореме биссектрис $frac{BK}{KC}=frac{AB}{AC}$
- Система уравнений: $frac{BK}{KC}=frac{11}{13}$ и аддитивность $BK+KC=BC=12$. Получаем $BK=5,5$ , $BK=6,5$
- Теперь, для нахождения биссектрисы $AK$ еще раз используем теорему косинусов для треугольника $bigtriangleup AKC$
- $AK^2=AC^2+KC^2-2cdot ACcdot KCcdotcos angle ACB$ подставим значения $AK^2=13^2+6,5^2-2cdot 13cdot 6,5cdot frac{11}{13}=frac{429}{4}$.
- Ответ: $AK=frac{sqrt429}{2}$.
Задача 9: Стороны треугольника равны $11$ , $12$ и $13$ . Найти медиану, проведенную к большей стороне.
- Решение: Воспользуемся формулой для длины медианы: $m_c=frac{1}{2}sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$
- Подставим значения $m_c=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot12^2-13^2}=frac{1}{2}sqrt{242+288-169}=frac{1}{2}sqrt{361}=frac{19}{2}=9,5$ Ответ: $m_c=9,5$
Задача 10: В треугольнике $ABC$ $AB=11$ , $AC=23$ , медиана $AK=10$ . Найти $BC$ .
- Решение: Воспользуемся формулой для длины медианы и подставим в неё данные из условия:
- $AK=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot23^2-BC}$ $Rightarrow$ $100=frac{1}{4}left(242+1058-BC^2right)$ $Rightarrow$ $BC^2=900$ Ответ: $BC=30$ .
Упражнения:
Содержание:
Теорема синусов, теорема косинусов:
Теорема синусов
Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть 
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описанной около треугольника, т. е.
Доказательство:
Пусть дан треугольник АВС, ВС = 
— радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.
1) Угол 
острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором 
как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что 
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим 
т. е. 
откуда 
2) Угол 
тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника 
Из прямоугольного треугольника 
как вписанный угол, опирающийся на диаметр) 
Поскольку 
то 
откуда 
3) Для 
справедливость равенства 
докажите самостоятельно, В силу доказанного 
откуда 
Теорема доказана.
Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция 
позволяет решить две следующие задачи:
- зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
- зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.
С помощью формулы 
можно решить еще три задачи (рис. 153):
- зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
- зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
- зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.
Повторение
Пример:
В остроугольном треугольнике известны стороны 
и угол 
Найти два других угла 
округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.
Решение:
По теореме синусов 
откуда 
При помощи калькулятора (таблиц). находим 
Тогда 
По теореме синусов 
откуда 
Ответ: 
Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом 
то, зная 
вначале мы нашли бы острый угол 
А затем, используя формулу 
получили бы, что 
Пример:
Доказать справедливость формулы площади треугольника 
где 
— его стороны, R — радиус описанной окружности.
Доказательство:
Воспользуемся известной формулой площади треугольника: 
По теореме синусов 
откуда 
Тогда 
Что и требовалось доказать.
Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника 
Пример:
Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).
Решение:
Способ 1. Из формулы 
следует, что 
Найдем 
. Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда 
Из 
по теореме Пифагора 
откуда 
Тогда 
Способ 2. Используем формулу 
из которой 
Так как 
то 
Ответ: 
Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу 
где 
— боковая сторона, 
— высота, проведенная к основанию 
Заменив 
в формуле 
получим 
— формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:
Теорема косинусов
Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны 
треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон 
). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е.
Доказательство:
Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из 
находим 
откуда 
Из 
по теореме Пифагора 
По основному тригонометрическому тождеству 
Тогда 
Справедливость теоремы для случаев, когда 
или 
тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон 
теорема косинусов запишется так:
Замечание. Если 
, то по теореме Пифагора 
Так как 
то 
Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:
• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;
• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).
Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.
Следствие:
Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, найти его углы (косинусы углов). Из равенства 
следует формула
Для углов 
получим:
Пример:
В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).
По теореме косинусов
Используя записанную выше формулу, можно сразу получить:
Следствие:
С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
Так, из формулы 
с учетом того, что 
следует:
- если
то и угол острый; - если то и угол тупой;
- если то и угол прямой.
то 
и угол 
острый;
то 
и угол 
тупой;
то 
и угол 
прямой.При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
Пример:
Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как 
то 
угол 
тупой и данный треугольник тупоугольный.
Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:
- остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон:
- тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:
- прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:
Следствие:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: 
Доказательство:
Пусть в параллелограмме ABCD 
— острый, откуда 
— тупой (рис. 169). По теореме косинусов из 
(1)
Из 
Поскольку cos 
то
(2)
Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим 
что и требовалось доказать.
Данная формула дает возможность:
- • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
- • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.
Следствие:
Медиану 
треугольника со сторонами а, b и с можно найти по формуле 
Доказательство:
Рассмотрим 
— медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: 
Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма 
Отсюда следует, что 
Утверждение доказано.
Аналогично: 
Формула медианы позволяет:
- зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
- зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
- зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.
Пример:
а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, 
Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.
Решение:
а) По теореме косинусов 
Отсюда 
б) Пусть 
По теореме косинусов 
то есть 
Отсюда 
или 
так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.
Пример:
Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — 
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.
Решение:
Пусть в 
стороны АВ = 6, ВС = 10 и 
(рис. 171).
Поскольку 
то 
откуда 
Так как 
и по условию 
— тупой, то 
. Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:
Ответ: 14.
Пример:
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.
Решение:
Обозначим стороны треугольника 
Пусть 
— медиана (рис. 172).
По формуле медианы 
откуда 
По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
Ответ: 24.
Формула Герона
Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: 
а также по двум сторонам и углу между ними: 
Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.
Теорема (формула Герона).
Площадь треугольника со сторонами 
можно найти по формуле 
где 
— полупериметр треугольника.
Доказательство:
(рис. 183). Из основного тригонометрического тождества 
следует, что 
Для 
синус положительный. Поэтому 
Из теоремы косинусов 
откуда 
Тогда 
Так как
Теорема доказана.
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.
Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.
Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними).
Дано: 
(рис. 184).
Найти : 
Решение:
Рис. 184
1) По теореме косинусов 
2) По следствию из теоремы косинусов 
3) Угол 
находим при помощи калькулятора или таблиц.
4) Угол 
Замечание. Нахождение угла 
по теореме синусов 
требует выяснения того, острый или тупой угол 
Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Дано: 
(рис. 185).
Найти: 
Решение:
1) Угол 
2) По теореме синусов 
(sin 
и sin 
находим при помощи калькулятора или таблиц).
3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоремы синусов: 
или 
(cos 
и sin 
находим при помощи калькулятора или таблиц).
Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).
Дано: 
(рис. 186).
Найти: 
и радиус R описанной окружности.
Решение:
1) По следствию из теоремы косинусов
2) Зная 
угол 
находим при помощи калькулятора или таблиц.
3) Аналогично находим угол 
4) Угол 
5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле 
где 
Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов 
затем нахождение по косинусу угла его синуса 
и, наконец, использование теоремы синусов 
для нахождения R.
Пример №4
Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.
Решение:
Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим: 
Тогда 
Радиус R описанной окружности найдем из формулы 
Имеем: 
Ответ: 
Способ 2. Так как 
поскольку 
то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: 
а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: 
Пример №5
Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.
Решение:
Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и 
Проведем 
(рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:
Так как 
СН = 8. Площадь трапеции 
Ответ: 76.
Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов
Пример:
Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).
Решение:
Пусть 
Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому 
Так как в четырехугольнике АВМС 
, то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. 
где R — радиус. Из 
по теореме косинусов 
Из 
по теореме синусов 
откуда 
Ответ: 
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треугольников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.
Пример №6
В прямоугольном треугольнике АВС известно: 
высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.
Решение:
Построим 
симметричный 
относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку 
то вокруг четырехугольника 
можно описать окружность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник 
вписан в эту окружность, 
По теореме синусов 
откуда 
Ответ: 8.
Пример №7
Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = 
На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.
Решение:
Способ 1. Так как 
(диагонали квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то 
поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диаметр 
Тогда 
Пусть СО = х. По теореме косинусов из 
находим 
из 
находим 
По свойству вписанного четырехугольника 
Поскольку 
то 
откуда находим 
Тогда 
.
Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):
Способ 3. Достроим 
до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда 
Ответ: 
Пример №8
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, 
Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).
Решение:
Пусть 
и
— радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда 
Отсюда 
Применим формулу Герона:
С другой стороны, 
Из уравнения 
находим 
= 2. Откуда 
(см), 
(см), 
(см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.
Теорема Стюарта
Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отрезок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула
Доказательство:
По теореме косинусов из 
и 
(см. рис. 194) следует:
(1)
(2)
Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на 
Сложим почленно полученные равенства:
Из последнего равенства выразим 
Теорема доказана.
Следствие:
Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)
Доказательство:
По свойству биссектрисы треугольника 
Разделив сторону 
с в отношении 
получим:
По теореме Стюарта 
Пример №9
Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).
Доказательство:
Пусть дан треугольник АВС, 
— биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и 
(рис. 196). Нужно доказать, что 
Выразим 
и через 
и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому 
откуда 
откуда 
По формуле биссектрисы треугольника 
Из условия 
следует: 
Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: 
Отсюда 
(второй множитель при положительных 
больше нуля). Утверждение доказано.
Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике
Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е.
(рис. 197).
Доказательство:
Из 
по теореме косинусов 
Так как 
(по свойству вписанного четырехугольника) и 
откуда 
Аналогично из 
получим 
Тогда 
Теорема доказана.
Запомните:
- Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:
- Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы:
- Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
- Пусть — стороны треугольника и с — большая сторона. Если , то треугольник тупоугольный, если то треугольник остроугольный, если , то треугольник прямоугольный.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
- Формула Герона:
- Формула медианы:
— стороны треугольника и с — большая сторона. Если 
, то треугольник тупоугольный, если 
то треугольник остроугольный, если 
, то треугольник прямоугольный.
- Параллельность прямых и плоскостей
- Перпендикулярность прямой и плоскости
- Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
- Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
- Углы и расстояния в пространстве
- Подобие треугольников
- Решение прямоугольных треугольников
- Параллелограмм
Содержание:
- Формула теоремы косинусов
- Следствие из теоремы косинусов
- Примеры решения задач
Формула теоремы косинусов
Теорема
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.
То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $alpha$, противолежащим стороне $a$,
справедливо соотношение:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c cos alpha$
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов,
были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» древнегреческого математика Евклида
(ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков
стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог,
астроном и математик Региомонтан (1436 — 1476), назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени выдающегося средневекового астронома и
математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 — 929).
В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её
стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.
Следствие из теоремы косинусов
-
Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1):
$$cos alpha=frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$$
-
Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$, то угол $alpha$ — острый;
Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$, то угол $alpha$ — прямой;
Если $b^{2}+c^{2}-a^{2} lt 0$, то угол $alpha$ — тупой.
Примеры решения задач
Пример
Задание. В треугольнике $ABC AC=3, BC=5$ и $AB = 6 .$ Найти угол, противолежащий стороне $AB$
Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:
$$cos angle A C B=frac{A C^{2}+B C^{2}-A B^{2}}{2 cdot A C cdot B C}=frac{3^{2}+5^{2}-6^{2}}{2 cdot 3 cdot 5}=$$
$$=frac{9+25-36}{30}=-frac{2}{30}=-frac{1}{15}$$
Тогда
$$angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$$
Ответ. $angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Задан треугольник
$ABC$, длины сторон которого $AC=17, BC=14, angle ACB=60^{circ}$.
Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.
Решение. Согласно теореме косинусов
$$A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B=$$
$$=17^{2}+14^{2}-2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60^{circ}=289+196-238=24$$
Тогда
$$A B=sqrt{247}$$
Ответ. $A B=sqrt{247}$