Как найти косинус тупого угла между векторами - Autoru.top

Два вектора

a→

b→

всегда образуют угол.

Угол между векторами может принимать значения от

0°

до

180°

включительно.

Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.

Векторы могут образовать:

1. острый угол;

2. тупой угол;

3. прямой угол (векторы перпендикулярны).

Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:

4. угол величиной

0°

(векторы сонаправлены);

5. угол величиной

180°

(векторы противоположно направлены).

Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен

0°

Угол между векторами записывают так:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ

Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.

1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).

Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен

0°

, а косинус равен (1), скалярное произведение также будет положительным.

2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).

Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен

180°

. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен (-1).

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.

2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.

Особенный третий случай!

Обрати внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен (0).

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как

a→2

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

a→2≥0

, к тому же

a→2>0

, если

a→≠0→

2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения:

a→⋅b→=b→⋅a→

3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения:

a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→

4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения:

k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→

Использование скалярного произведения

Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми

Ознакомимся с ещё одним определением.

Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.

Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.

Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.

Если

a→x1;y1;z1

b→x2;y2;z2

, то

a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2

Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.

Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что

cosα=a→⋅b→a→⋅b→

, то

cosα=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2x12+y12+z12 ⋅x22+y22+z22

Угол между прямой и плоскостью

Введём понятие о нормальном векторе плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла

между нормальным вектором

n→

данной плоскости и неким вектором

b→

равен синусу угла

между прямой и плоскостью, так как

вместе образуют угол в

90°

При нахождении косинуса угла между

n→

b→

можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор

b→

, и плоскостью.

Источник

Угол между векторами

Определение

Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.

Угол между векторами

На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:

(left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.

Острый:

Острый угол между векторами

Тупой:

Тупой угол между векторами

Прямой:

Прямой угол

С величиной (0^circ) (то есть, векторы сонаправлены):

0 градусов

С величиной (180^circ) (векторы направлены в противоположные стороны):

180 градусов

Нахождение угла между векторами

Как правило, угол между ( overrightarrow a) и (overrightarrow b) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.

Определение

Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.

Формула скалярного произведения:

(left(overrightarrow a;overrightarrow bright)=left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|timescosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))

Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен (0^circ), а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
Если α равен (180^circ), то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус (90^circ) равен 0.

В случае, если overrightarrow a и overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})

Расчет угла, если вектор задан координатами

В случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде (overrightarrow a=left(a_x;a_yright)) и (overrightarrow b=left(b_x;b_yright)), то угол между ними можно найти следующим образом:

Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:

(overrightarrow a=left(a_x;a_y;a_zright))

( overrightarrow b=left(b_x;b_y;b_zright))

то формула принимает такой вид:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z}{sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})

Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат

В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.

Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между (overrightarrow{AC}) и (overrightarrow{BC}).

Решение

Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:

(overrightarrow{AC}=(6-3, -1-(-2))=(3,1))

(overrightarrow{BC}=(6-2, -1-1)=(4,-2))

После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:

(cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac{(overrightarrow{AC};;overrightarrow{BC})}{left|overrightarrow{AC}right|cdotleft|overrightarrow{BC}right|}=frac{3cdot4+1cdot(-2)}{sqrt{3^2+1^2}cdotsqrt{4^2+{(-2)}^2}}=frac{10}{sqrt{10}cdot2sqrt5}=frac{10}{10sqrt2}=frac1{sqrt2})

Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac1{sqrt2}.)

Примеры решения задач

Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.

Задача 1

Известно, что (overrightarrow a) и (overrightarrow b). Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.

Решение

Применим формулу:

( cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})

Подставим известные значения:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{-9}{3cdot6}=-frac12)

Далее найдем угол между данными векторами:

(arccosleft(-frac12right)=frac{3pi}4)

Ответ: (left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=-frac12,;left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{3pi}4.)

Задача 2

В пространстве даны координаты (overrightarrow a=(8; -11; 7)) и (overrightarrow b=(-2; -7; 8)). Вычислить угол α между ними.

Решение

Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:

Подставляем значения и получаем:

(cosleft(alpharight)=frac{8cdot(-2)+(-11)cdot(-7)+7cdot8}{sqrt{8^2+{(-11)}^2+7^2}cdotsqrt{{(-2)}^2+{(-7)}^2+8^2}}=frac{117}{sqrt{234}cdotsqrt{117}}=frac{sqrt{117}}{sqrt{234}}=frac1{sqrt2}=frac2{sqrt2})

Теперь находим угол α:

(alpha=arccosleft(frac2{sqrt2}right)=45^circ)

Ответ: (45^circ).

Задача 3

Известны (overrightarrow a=(3; 4)) и (overrightarrow b=(2; 5)). Найти угол между ними.

Решение

Для расчета используем формулу:

Подставим известные значения и получим:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}}=frac{3cdot2+4cdot5}{sqrt{3^2+4^2}cdotsqrt{2^2+5^2}}=frac{26}{sqrt{25}cdotsqrt{29}}=frac{26}{5sqrt{29}})

Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{26}{5sqrt{29}})

Источник

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник

Learn how to take the dot or cross product of 2 vectors to find the angle between them

Dot Product Formula

Cross Product Formula

Understanding the Dot Product Formula

Video

Tips

If you’re learning about angles and vectors in math class, your teacher probably just assigned you problems to find the angle between 2 vectors. It can definitely seem a little confusing to get started, so that’s why we’re here to help! In this article, we’ll tell you about the 2 formulas that find the angle between 2 vectors and walk you through how to use them. Read on to get your math problems solved!

Things You Should Know

1
2

Identify the vectors’ coordinates in your math problem. Most math problems give you the dimensional coordinates of each vector, which are sometimes also called components. You use each vector’s coordinates to find their magnitudes and combined dot product. If your math problem already gives the vectors’ magnitudes, skip the magnitude step below.^[2]

Advertisement
3

Calculate the magnitude of each vector. Picture a right triangle drawn from the vector’s x-component, its y-component, and the vector itself. The vector forms the hypotenuse of the triangle, so to find its magnitude, simply use the Pythagorean theorem. Just plug each vector’s coordinates into the theorem.^[3]
4

Calculate the dot product of the 2 vectors. The dot product is a way to multiply vectors, which is also commonly called the scalar product.

To calculate the dot product, multiply the same direction coordinates of the vectors, then add the results together.

For computer graphics programs, see Tips before you continue.^[4]

Defining Dot Product
In mathematical terms, • = u₁v₁ + u₂v₂, where (u₁, u₂) are the coordinates for vector u. If your vector has more than 2 components, simply continue to add + u₃v₃ + u₄v₄…
5

Plug the dot product and each vector’s magnitude into the formula. Remember, the formula is ${displaystyle theta =cos^{-1}}$ ( • ) / (|||| ||||) Now that you know both the dot product and the magnitudes of each vector, simply enter them into this formula.

Finding Cosine with Dot Product and Magnitude
In our example, θ = cos^-16 / (2√2•3). Simplify to get θ = cos^-1(√2 / 2).
6

Use a scientific calculator to find the angle based on the cosine. On most calculators, use either the arccos or cos^-1 function on your calculator to find the angle θ. Simply enter “arccos” and the dot product divided by the vectors’ magnitudes. For some results, use the unit circle to work out the angle.

Finding an Angle with Cosine
In our example, θ = cos^-1(√2 / 2). Enter «arccos(√2 / 2)» in your calculator to get θ = 45º. Alternatively, find the angle θ on the unit circle where cosθ = √2 / 2.

1
2

Find the cross product using the vectors’ coordinates. In most math problems, you have the dimensional coordinates, or components, of each vector written as . To find the cross product, make a matrix with the first vector’s coordinates in the first row and the second vector’s coordinates in the second row. Calculate the i, j, and k values for each matrix section.^[6]
3

Calculate the magnitude of the cross product. The final step in finding the cross product of vectors is finding the magnitude of their coordinates. Remember, use the Pythagorean Theorem to find a vector’s magnitude. Just plug in the i, k, j coordinates of the cross product of the vectors to get their magnitude.^[7]
4

Find the magnitude of each vector. Now, calculate the magnitude of each vector using their dimensional coordinates. Just plug the coordinates into the Pythagorean Theorem like in the step above.^[8]
5
6
Find the angle using a calculator. Simply take the inverse sine of the cross product and magnitudes to find the angle between the vectors. Using your calculator, find the arcsin or sin^-1 function. Then, enter in the cross product and magnitude.^[10]
- In our example, enter “arcsin(√1539 / √14 * √110) into your calculator to get θ = 88.5º.

1
Understand the purpose of the angle formula. This formula was not derived from existing rules. Instead, it was created as a definition of 2 vectors’ dot product and the angle between them. However, this decision was not arbitrary. With a look back to basic geometry, you see why this formula results in intuitive and useful definitions.
- The examples below use 2-dimensional vectors because these are the most intuitive to use. Vectors with 3 or more components use the same formula.
2

Review the Law of Cosines used in the formula. Take an ordinary triangle, with angle θ between sides a and b, and opposite side c. The Law of Cosines states that c² = a² + b² -2abcos(θ). This is derived fairly easily from basic geometry.^[11]
3

Connect 2 vectors to form a triangle. Sketch a pair of 2D vectors on paper, vectors and , with angle θ between them. Draw a third vector between them to make a triangle. In other words, draw vector such that + = . This vector = — .^[12]
4
Write the Law of Cosines for the triangle. Insert the length of the «vector triangle» sides in our example into the Law of Cosines:^[13]
- ||(a — b)||² = ||a||² + ||b||² — 2||a|| ||b||cos(θ)
5

Write the Law of Cosines using the dot product of vector a and b. Remember, the dot product is the magnification of 1 vector projected onto another. A vector’s dot product with itself doesn’t require any projection, since there is no difference in direction. This means that • = ||a||². Use this fact to rewrite the equation:^[14]
6

Rewrite the dot product into the angle formula. Expand the left side of the formula, then simplify to reach the formula used to find angles.^[15]

Add New Question

Question

How do I find the angle between two vectors? For example, vector A = 4i + 2j — 2k and vector B = 3i +2j + 3k?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

Use the formula with the dot product, θ = cos^-1 (a * b) / ||a|| * ||b||. To get the dot product, multiply Ai by Bi, Aj by Bj, and Ak by Bk then add the values together. To find the magnitude of A and B, use the Pythagorean Theorem (√(i^2 + j^2 + k^2). Then, use your calculator to take the inverse cosine of the dot product divided by the magnitudes and get the angle.
Question

If the cosine formula gives me 0, it means that the vector are perpendicular. But how do I know if it’s 90° or -90° ?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

The angle between 2 vectors is always between 0° and 180°, so the angle is 90°.
Question

In the above example cosθ was 1/√2. But here cosθ can be 45 degrees or 315 degrees. Why is that the answer is not 315?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

When you find the angle between 2 vectors, the angle is always going to be between 0° and 180°.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If you are working on a computer graphics program, you most likely only care about the direction of the vectors, not their length. Take these steps to simplify the equations and speed up your program:^[16]
For a quick plug and solve, use this formula for any pair of two-dimensional vectors: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Article SummaryX

1. Calculate the length of each vector.
2. Calculate the dot product of the 2 vectors.
3. Calculate the angle between the 2 vectors with the cosine formula.
4. Use your calculator’s arccos or cos^-1 to find the angle. For specific formulas and example problems, keep reading below!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,719,261 times.

Did this article help you?

Источник

План урока:

Угол между векторами

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярное произведение в координатах

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Вычисление угла между векторами

Свойства скалярного произведения

Угол между векторами

Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:

В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Понятие скалярного произведения векторов

Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

Ответ: 8.

Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

Решение.

Скалярное произведение в координатах

Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

Если вектор а имеет координаты {x₁; у₁}, а координаты b– это {x₂; у₂},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х₁ – х₂;у₁ – у₂}. С учетом этого (2) примет вид

В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?

Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

В результате мы получили доказываемую нами формулу.

Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

Вычисление угла между векторами

Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.

Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

Источник

Угол между векторами

Нахождение угла между векторами

Расчет угла, если вектор задан координатами

Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат

Примеры решения задач

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Things You Should Know

Video

About This Article

Did this article help you?

Угол между векторами

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярное произведение в координатах

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Вычисление угла между векторами

Свойства скалярного произведения

Не пропустите также: