Как найти косинус если известны вершины - Autoru.top

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

Задача

Дано: ΔABC,

A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

Решение:

1) Угол A образован векторами

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Следовательно,

$[cos A = frac{{overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right| cdot left| {overrightarrow {AC} } right|}}.]$

Найдём координаты векторов:

$[overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),]$

$[overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),]$

Находим скалярное произведение векторов:

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

Длины (или модули) векторов:

$[left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {8^2 + 1^2 } = sqrt {65} ,]$

$[left| {overrightarrow {AC} } right| = sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = sqrt {26} .]$

Отсюда

$[cos A = frac{{ - 13}}{{sqrt {65} cdot sqrt {26} }} = frac{{ - 13}}{{sqrt {5 cdot 13 cdot 2 cdot 13} }} = ]$

$[= frac{{ - 13}}{{13sqrt {10} }} = - frac{1}{{sqrt {10} }} = - frac{{sqrt {10} }}{{10}}.]$

2) Угол B образован векторами

Таким образом,

$[cos B = frac{{overrightarrow {BA} cdot overrightarrow {BC} }}{{left| {overrightarrow {BA} } right| cdot left| {overrightarrow {BC} } right|}}.]$

Так как

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

$[overrightarrow {BC} (x_C - x_B ;y_C - y_B ),]$

$[left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {( - 9)^2 + ( - 6)^2 } = sqrt {117} .]$

$[cos B = frac{{78}}{{sqrt {65} cdot sqrt {117} }} = frac{{13 cdot 6}}{{sqrt {5 cdot 13 cdot 9 cdot 13} }} =]$

$[= frac{{13 cdot 6}}{{13 cdot 3sqrt 5 }} = frac{2}{{sqrt 5 }} = frac{{2sqrt 5 }}{5}.]$

3) Угол C образован векторами

$[cos C = frac{{overrightarrow {CA} cdot overrightarrow {CB} }}{{left| {overrightarrow {CA} } right| cdot left| {overrightarrow {CB} } right|}}.]$

$[cos C = frac{{39}}{{sqrt {26} cdot sqrt {117} }} = frac{{13 cdot 3}}{{sqrt {2 cdot 13 cdot 9 cdot 13} }} = ]$

$[= frac{{13 cdot 3}}{{13 cdot 3sqrt 2 }} = frac{1}{{sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 }}{2}.]$

Ответ:

$[cos A = - frac{{sqrt {10} }}{{10}},cos B = frac{{2sqrt 5 }}{5},cos C = frac{{sqrt 2 }}{2};]$

ΔABC — тупоугольный.

Источник

Как найти косинус угла треугольника с вершинами

Косинусом угла называется отношение прилежащего к данному углу катета к гипотенузе. Эта величина, как и другие тригонометрические соотношения, используется для решения не только прямоугольных треугольников, но и многих других задач.

Инструкция

Для произвольного треугольника с вершинами А, В и С задача нахождения косинуса одинакова для всех трех углов, если треугольник остроугольный. Если в треугольнике есть тупой угол, определение его косинуса следует рассмотреть отдельно.

В остроугольном треугольнике с вершинами А, В и С найдите косинус угла при вершине А. Опустите высоту из вершины В на сторону треугольника АС. Точку пересечения высоты со стороной АС обозначьте D и рассмотрите прямоугольный треугольник АВD. В этом треугольнике сторона АВ исходного треугольника является гипотенузой, а катеты — высота ВD исходного остроугольного треугольника и отрезок АD, принадлежащий стороне АС. Косинус угла А равен отношению АD/АВ, поскольку катет АD является прилежащим к углу А в прямоугольном треугольнике АВD. Если известно, в каком соотношении высота ВD делит сторону АС треугольника, то косинус угла А найден.

Если же величина АD не дана, но известна высота ВD, косинус угла можно определить через его синус. Синус угла А равен отношению высоты ВD исходного треугольника к стороне АС. Основное тригонометрическое тождество устанавливает связь между синусом и косинусом угла:

Sin² A+ Cos² A=1. Для нахождения косинуса угла А вычислите: 1- (ВD/AC)², из полученного результата нужно извлечь квадратный корень. Косинус угла А найден.

Если в треугольнике известны все стороны, то косинус любого угла найдите по теореме косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Тогда косинус угла А в треугольнике со сторонами а, b, с вычислите по формуле: Cos A = (а²-b²-c²)/2*b*с.

Если в треугольнике нужно определить косинус тупого угла, воспользуйтесь формулой приведения. Тупой угол треугольника больше прямого, но меньше развернутого, он может быть записан как 180°-α, где α — острый угол, дополняющий тупой угол треугольника до развернутого. По формуле приведения найдите косинус: Cos (180°-α)= Cos α.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Прямая на плоскости

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Пример . В задачах даны координаты точек A , B , C . Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC .
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=x_j-x_i; Y=y_j-y_i
здесь X , Y координаты вектора; x_i , y_i — координаты точки А_i ; x_j , y_j — координаты точки А_j
Например, для вектора AB: X=x₂-x₁=12-7=5 ; Y=y₂-y₁=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми. Угол между векторами a₁(X₁;Y₁) , a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂=X₁X₂+Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.88) = 28.07 0
Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂) , представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB . Каноническое уравнение прямой:
или
y= 3 /₅x- 41 /₅ или 5y-3x+41=0

Найти косинусы углов треугольника

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

1) Угол A образован векторами

$[cos A = frac{{overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right| cdot left| {overrightarrow {AC} } right|}}.]$

$[overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),]$

$[overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),]$

$[left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {8^2 + 1^2 } = sqrt {65} ,]$

$[left| {overrightarrow {AC} } right| = sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = sqrt {26} .]$

$[cos A = frac{{ - 13}}{{sqrt {65} cdot sqrt {26} }} = frac{{ - 13}}{{sqrt {5 cdot 13 cdot 2 cdot 13} }} = ]$

$[= frac{{ - 13}}{{13sqrt {10} }} = - frac{1}{{sqrt {10} }} = - frac{{sqrt {10} }}{{10}}.]$

2) Угол B образован векторами

$[cos B = frac{{overrightarrow {BA} cdot overrightarrow {BC} }}{{left| {overrightarrow {BA} } right| cdot left| {overrightarrow {BC} } right|}}.]$

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

Как найти косинус угла между векторами

Чтобы найти косинус угла между векторами нужно, скалярное произведение этих векторов разделить на произведение их длин.

Примеры вычисления косинуса угла между векторами

Задание. Найти косинус угла $phi$ между векторами $bar=(4 ;-3)$ и $bar=(1 ;-2)$

Решение. Так как векторы заданы на плоскости, воспользуемся формулой

Ответ. $cos phi=frac>$

Задание. Найти косинус угла между векторами $bar=(3 ;-4 ; 0)$ и $bar=(4 ;-4 ;-2)$, заданных в пространстве.

Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами, воспользуемся формулой

Подставляя координаты векторов $bar$ и $bar$, получим

Ответ. $begin cos phi=frac end$

Источник

Как найти косинус внутреннего угла при вершине В?

riuyt777
[0]

6 лет назад

Даны вершины треугольника А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2).Найти косинус внутреннего угла при вершине В

Vasil Stryzhak
[11.5K]

6 лет назад

Вычислим стороны треугольника АВС, используя формулу определения расстояния между точками в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве.

Затем, применив теорему косинусов, найдем искомый угол.

Решение:

а=ВС=√((3-2)²+(1-2)²+(-2+2)²)=√3

b=АС=√((3-2)²+(1+2)²+(-2+2)²)=√10

с=АВ=√((2-2)²+(2+2)²+(-1+2)²)=√17

cosβ=(a²+c²-b²)/2ac =(3+17-10)/(2√3*√17)=5/√51

Дополнительно: β=45⁰,56

система выбрала этот ответ лучшим

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

epimkin
[1.9K]

6 лет назад

Вот таким образом у меня получилось, если не ошибся в арифметике

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

SVFE48
[7.4K]

4 месяца назад

Чтобы найти косинус внутреннего угла при вершине В, нужно найти вектора, соединяющие вершину В с вершинами А и С. Вектор АВ будет иметь координаты (2-2; 2-(-2); (-1)-(-2))=(0;4;1). Вектор СВ будет иметь координаты (3-2; 1-2; (-2)-(-1))=(1;-1;-1). Теперь нужно найти скалярное произведение этих векторов и их длины. Скалярное произведение равно (01)+ (4-1) + (1*-1) = -5, а длины векторов равны sqrt(0^2+4^2+1^2)=sqrt(17) и sqrt(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=sqrt(3). Таким образом, косинус внутреннего угла при вершине В равен -5/(sqrt(17)*sqrt(3))= -5/51= -0.09803921568627451.

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

storus
[73.8K]

5 лет назад

Найти косинус угла АВС можно по формуле для расчёта угла между двумя векторами.

Зная координаты вершин А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2), находим вектора АВ = {0; -4; –1}, СВ = {1; -1; -1}. Для этого мы использовали формулу вида:

Затем полученные значения вставляем в следующую формулу:

Производим простые вычисления и получаем: cos a= 5/√51

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

Валерий Альбертович
[7K]

более года назад

Для начала вычислив вектор AB, вычтя из координат вершины B координаты вершины A. В итоге получаем AB = (0, 4, 1). Те же самые вычисления производим для вектора CB = (1, -1, -1). Далее подставляем в формулу cosa = (AB*CD)/(|AB|*|CD|) = 5/√51 — получили ответ.

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

Анна Сереевна Буянова
[0]

6 месяцев назад

Даны вершины треуольника АВС. Найти косинус угла при вершине А и площадь треугольника АВС

А(-3;-7;-5) В(0;-1;-2) С(-5;-6;-6). Напишите пожалуйста полное решение

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

Знаете ответ?

Источник

Учебник

Геометрия, 9 класс

Теорема косинусов

Теорема косинусов

Если в треугольнике даны две стороны и угол между ними, то такой треугольник один, единственный. Т.е. любой другой треугольник с такими данными будет в точности равен ему, по 2-му признаку равенства треугольников. Ну, раз единственный и неповторимый, то его третья сторона должна быть однозначно определяема.

_____________________________________________________________________________________

Теорема косинусов    Квадрат стороны треугольника      равен     сумме квадратов двух

других сторон минус     удвоенное произведение этих сторон   на    косинус угла между ними.

$AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos ACB$

_____________________________________________________________________________________

Факты:

Теорема косинусов позволяет найти косинус любого угла по трем известным сторонам, а значит, и сам угол.
Если из трех сторон и одного угла известны три величины, то четвертое неизвестное можно всегда вычислить.
Теорема косинусов дает возможность вычислять медианы треугольника, применяя теорему к малым треугольникам.
Для прямоугольного треугольника теорема косинусов «упрощается» до теоремы Пифагора $AB^2=AC^2+BC^2$.

А если угол тупой? Что означает тригонометрия больших углов?

$cos130=-cos50$, $sin115=sin65$ , $tg135=-tg45$.

Связь тригонометрии тупых углов $90 < alpha < 180$ с тригонометрией острых выражается формулами:
$sinalpha=sinleft(180-alpharight)$ $cosalpha=-cosleft(180-alpharight)$ $tgalpha=-tgleft(180-alpharight)$ $ctgalpha=-ctgleft(180-alpharight)$

Если $b^2+c^2-a^2>0$, то $alpha$ — острый; если $b^2+c^2-a^2=0$, то $alpha$ — прямой; если $b^2+c^2-a^2<0$ , то угол $alpha$ — тупой.

Расчет треугольников по теореме косинусов

Задача 1: В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $7sqrt{3}$ см, сторона $BC$ равна $1$ см , угол $C$ = $150^o$ . Найти длину стороны $AB$.

Решение: Применим теорему косинусов $AB^2=left(7sqrt{3}right)^2+1-14sqrt{3}cos150$ .
Тупой угол в $150^o$ выразим через острый : $cos150=cosleft(180-30right)=-cos30=-frac{sqrt{3}}{2}$. $Rightarrow$
$AB^2=147+1-28sqrt{3}left(-frac{sqrt{3}}{2}right)$ , $AB^2= 148 + 21 = 169$ $Rightarrow$ Ответ: $AB = 13$

Задача 2: В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $17$ см, сторона $BC$ равна $14$ см , угол $ACB$ = $60^o$ .
Найти длину третьей стороны .

Решение: Из теоремы косинусов для угла $angle ACB$ : $Rightarrow$ $AB^2=17^2+14^2-2cdot17cdot14cdotcos60$ $Rightarrow$
квадрат стороны $AB^2= 289+196-238 = 247$ $Rightarrow$ Ответ: $AB = sqrt{247}$

Задача 3: В $bigtriangleup ABC$ известны $AC=3$ , $BC=5$ см, $AB=6$ .
Найти косинус угла $C$ и медиану $BM$ .

Решение: Из теоремы косинусов для стороны $AB$ выразим косинус требуемого угла $ACB$:
$cos ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}=frac{9+25-36}{30}=-frac{1}{15}$ . Отрицательное значение косинуса говорит о том, что это тупой угол $>90^o$
Для нахождения медианы $ВМ$ распишем еще раз теорему косинусов, но уже для треугольника $ВМС$ от угла $С$:
$BM^2=BC^2+MC^2-2cdot BCcdot MCcdotcos C$ учтем, что медиана делит сторону пополам $MC=frac{AC}{2}=1,5$
Подставим $BM^2=25+2,25-2cdot5cdot1.5cdotleft(-frac{1}{15}right)=27,25+1=28,25$, получим $BM=sqrt{28,25}=0,5sqrt{113}$
Ответ: $cos ACB=-frac{1}{15}$ , $BM=0,5sqrt{113}$ .

Задача 4: В прямоугольном $bigtriangleup ABC$ известны $AB=9$ , $BC=3$ см ; $M$ делит $AB$ : $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$.
Найти $CM$ .

Решение: По свойству аддитивности отрезка $AM + MB = 9$ , по условию $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$ $Rightarrow$ $AM = 3$ , $MB = 6$
Из прямоугольного $bigtriangleup ABC$ по определению косинуса угла: $cos B=frac{BC}{AB}=frac{3}{9}=frac{1}{3}$ .
Из $bigtriangleup CMB$ по теореме косинусов найдем $CM$ : $CM^2=CB^2+MB^2-2cdot CBcdot MBcdotcos B$ , подставим числа
$CM^2=3^2+6^2-2cdot3cdot6cdotfrac{1}{3}=33$ $Rightarrow$ требуемый отрезок $CM=sqrt{33}$ . Ответ: $CM=sqrt{33}$

Задача 5: Одна из сторон треугольника больше другой на $8$ см, а угол между ними $120^o$ .
Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны $28$ см .

Решение: Метод введения неизвестного: Обозначим одну из сторон треугольника как $x$ ,
выразим нужные величины через х и составим уравнение: величина другой стороны будет равна $x+8$ см.
По теореме косинусов: $28^2=x^2+left(x+8right)^2-2xcdotleft(x+8right)cdotcos120$ , где $cos120=cosleft(180-60right)=-cosleft(60right)=-0,5$,
Итак, составили уравнение $784=x^2+x^2+16x+64-2xleft(x+8right)left(-0,5right)$ $Rightarrow$ $3x^2+24x+720=0$
решим квадратное уравнение : один корень отрицательный — не нужен , другой $x=frac{-24+96}{6}=12$
Периметр $P=12+left(12+8right)+28=60$. Ответ: $60$.

Задача 6: В $bigtriangleup ABC$ известны стороны $a=15$ , $b=18$, $c=25$ . Найти: углы $α$, $β$, $γ$ (приближённо) .

Решение: Углы $α$ и $β$ найдём по теореме косинусов для соответствующих углов.
$cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , вычисляем $cosalpha=frac{18^2+25^2-15^2}{2cdot18cdot25}approx0,8$ , привлекаем калькулятор: $alphaapprox36,4^o$ ;
$cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , вычисляем $cosbeta=frac{15^2+25^2-18^2}{2cdot15cdot25}approx0,7$ , …. калькулятор: $betaapprox45,3^o$ .
Найдём $γ$ по теореме о 180 = сумма углов: $gamma=180-left(alpha+betaright)$ и $gammaapprox180-left(36,4+45,3right)approx98,3$ .
Ответ: $alphaapprox36,4^o$ , $betaapprox45,3^o$ , $gammaapprox98,3$

Задача 7: В $bigtriangleup ABC$ $AB=c=3$ м, $AC = b = 6$ м. , $alpha=60$ . Найти: сторону $a = BC$ , углы $β$, $γ$ .

Решение: Треугольник задан двумя сторонами и углом между ними, следовательно, он задан полностью.
По теореме косинусов $a^2=b^2+c^2-2bccdotcosalpha$ найдём сторону $a$:
$a^2=6^2+3^2-2cdot6cdot3cdotcos60=36+9-36cdotfrac{1}{2}=27$ $Rightarrow$ $a=3sqrt{3}$ .
По теореме косинусов найдем и угол $β$ : $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , $cosbeta=frac{27+9-36}{18sqrt{3}}=0$ $Rightarrow$ $β=90$ .
Значит $bigtriangleup ABC$ — прямоугольный , тогда угол $γ=90-α$ . Ответ: $a=3sqrt{3}$ , $β = 90$ , $γ=30$ .

Задача 8: Стороны треугольника равны $11$ , $12$ и $13$ . Найти биссектрису, проведенную к стороне, равной 12.

дано: $AB=11$ , $BC=12$ , $AC=13$ Найти биссектрису $AK=?$ .
Решение: Найдем косинус угла из теоремы косинусов : $AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos angle ACB$
Выразим косинус $cos angle ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}$ , $cos angle ACB=frac{13^2+12^2-11^2}{2cdot 13cdot 12}=frac{19}{39}$
Найдем отрезки $BK$ , $KC$ на которые биссектриса делит сторону … по теореме биссектрис $frac{BK}{KC}=frac{AB}{AC}$
Система уравнений: $frac{BK}{KC}=frac{11}{13}$ и аддитивность $BK+KC=BC=12$. Получаем $BK=5,5$ , $BK=6,5$
Теперь, для нахождения биссектрисы $AK$ еще раз используем теорему косинусов для треугольника $bigtriangleup AKC$
$AK^2=AC^2+KC^2-2cdot ACcdot KCcdotcos angle ACB$ подставим значения $AK^2=13^2+6,5^2-2cdot 13cdot 6,5cdot frac{11}{13}=frac{429}{4}$.
Ответ: $AK=frac{sqrt429}{2}$.

Задача 9: Стороны треугольника равны $11$ , $12$ и $13$ . Найти медиану, проведенную к большей стороне.

Решение: Воспользуемся формулой для длины медианы: $m_c=frac{1}{2}sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$
Подставим значения $m_c=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot12^2-13^2}=frac{1}{2}sqrt{242+288-169}=frac{1}{2}sqrt{361}=frac{19}{2}=9,5$ Ответ: $m_c=9,5$

Задача 10: В треугольнике $ABC$ $AB=11$ , $AC=23$ , медиана $AK=10$ . Найти $BC$ .

Решение: Воспользуемся формулой для длины медианы и подставим в неё данные из условия:
$AK=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot23^2-BC}$ $Rightarrow$ $100=frac{1}{4}left(242+1058-BC^2right)$ $Rightarrow$ $BC^2=900$ Ответ: $BC=30$ .

Упражнения:

Источник

Как найти косинус угла треугольника с вершинами

Прямая на плоскости

Найти косинусы углов треугольника

Как найти косинус угла между векторами

Примеры вычисления косинуса угла между векторами

Как найти косинус внутреннего угла при вершине В?

Геометрия, 9 класс

Теорема косинусов

Не пропустите также: